Нелинейный фильтр калмана. Использование фильтра калмана для ассимиляции гидрометеорологических данных задача ассимиляции как проблема фильтрации. Для чего он нужен

1

Проведено исследование использования фильтра Калмана в современных разработках комплексированных навигационных систем. Приведен и разобран пример построения математической модели, использующей расширенный фильтр Калмана для повышения точности определения координат беспилотных летательных аппаратов. Рассмотрен частичный фильтр. Сделан краткий обзор научных работ, использующих данный фильтр для повышения надежности и отказоустойчивости навигационных систем. Данная статья позволяет сделать вывод, что использование фильтра Калмана в системах определения местоположения БПЛА практикуется во многих современных разработках. Существует огромное количество вариаций и аспектов такого использования, которое дает и ощутимые результаты в повышении точности, особенно в случае отказа стандартных спутниковых навигационных систем. Это является главным фактором влияния данной технологии на различные научные области, связанные с разработкой точных и отказоустойчивых навигационных систем для различных летательных аппаратов.

фильтр Калмана

навигация

беспилотный летательный аппарат (БПЛА)

1. Макаренко Г.К., Алешечкин А.М. Исследование алгоритма фильтрации при определении координат объекта по сигналам спутниковых радионавигационных систем // Доклады ТУСУРа. – 2012. – № 2 (26). – С. 15-18.

2. Bar-Shalom Y., Li X. R., Kirubarajan T. Estimation with Applications

to Tracking and Navigation // Theory Algorithms and Software. – 2001. – Vol. 3. – P. 10-20.

3. Bassem I.S. Vision based Navigation (VBN) of Unmanned Aerial Vehicles (UAV) // UNIVERSITY OF CALGARY. – 2012. – Vol. 1. – P. 100-127.

4. Conte G., Doherty P. An Integrated UAV Navigation System Based on Aerial Image Matching // Aerospace Conference. – 2008. –Vol. 1. – P. 3142-3151.

5. Guoqiang M., Drake S., Anderson B. Design of an extended kalman filter for uav localization // In Information, Decision and Control. – 2007. – Vol. 7. – P. 224–229.

6. Ponda S.S Trajectory Optimization for Target Localization Using Small Unmanned Aerial Vehicles // Massachusetts institute of technology. – 2008. – Vol. 1. – P. 64-70.

7. Wang J., Garrat M., Lambert A. Integration of gps/ins/vision sensors to navigate unmanned aerial vehicles // IAPRS&SIS. – 2008. – Vol. 37. – P. 963-969.

Одной из актуальных задач современной навигации беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) является задача повышения точности определения координат. Эта задача решается путём использования различных вариантов комплексирования навигационных систем. Одним из современных вариантов комплексирования является сочетание gps/глонасс-навигации с расширенным фильтром Калмана (Extended Kalmanfilter), рекурсивно оценивающего точность с помощью неполных и зашумленных измерений. В данный момент существуют и разрабатываются различные вариации расширенного фильтра Калмана, включающие разнообразное число переменных состояний . В этой работе мы покажем, насколько эффективным может быть его использование в современных разработках. Рассмотрим одно из характерных представлений подобного фильтра .

Построение математической модели

В данном примере мы будем говорить только о движении БПЛА в горизонтальной плоскости, иначе, мы рассмотрим так называемую проблему 2d локализации . В нашем случае это оправдано тем, что для многих практически встречающихся ситуаций БПЛА может оставаться примерно на одной и той же высоте. Это предположение широко используется для упрощения моделирования динамики летательных аппаратов . Динамическая модель БПЛА задается следующей системой уравнений:

где {} - координаты БПЛА в горизонтальной плоскости как функции времени, направление БПЛА, угловая скорость БПЛА, и vпутевая скорость БПЛА, функции и будем считать постоянными. Они взаимно независимы, с известными ковариациями и , равными и соответственно и используются для моделирования изменений ускорения БПЛА, вызванных ветром, маневрами пилота и т.д. Значения и являются производными от максимальной угловой скорости БПЛА и опытных значений изменений линейной скорости БЛА, - символ Кронекера.

Данная система уравнений будет приближенной из-за нелинейности в модели и из-за присутствия шума. Самый простой способ аппроксимации в данном случае - это приближение методом Эйлера. Дискретная модель динамической системы движения БПЛА показана ниже.

дискретный вектор состояний фильтра Калмана, позволяющий аппроксимировать значение непрерывного вектора состояний. ∆ - временной интервал между k и k+1 измерениями. {} и {} - последовательности значений белого гауссовского шума с нулевым средним значением. Матрица ковариации для первой последовательности:

Аналогично, для второй последовательности:

Выполнив соответствующие замены в уравнениях системы (2), получаем:

Последовательности и взаимно независимы. Они также являются последовательностями белого гауссовского шума с нулевым средним значением и с матрицами ковариации и соответственно. Преимущество этой формы в том, что она показывает изменение дискретного шума в интервале между каждыми измерениями. В итоге получаем следующую дискретную динамическую модель:

(3)

Уравнение для :

= + , (4)

где, х и y - координаты БПЛА в k-момент времени, а гауссовская последовательность случайных параметров с нулевым средним значением, которая используется для задания погрешности. Предполагается, что эта последовательность не зависит от {} и {}.

Выражения (3) и (4) служат основой для оценки местоположения БПЛА, где к-е координаты получены с помощью расширенного фильтра Калмана. Моделлирование отказа навигационных систем применительно к данному типу фильтра показывает его существенную эффективность .

Для большей наглядности приведем небольшой простой пример. Пусть некоторый БПЛА летит равноускоренно, с некоторым постоянным ускорением а.

Где, х - координата БПЛА в t-момент времени, а δ - некоторая случайная величина.

Предположим, что у нас есть gps-сенсор, который получает данные о местоположении летательного аппарата. Представим результат моделирования данного процесса в программном пакете MATLAB.

Рис. 1. Фильтрация показания сенсора с помощью фильтра Калмана

На рис. 1 видно, насколько эффективным может быть использование фильтрации по алгоритму Калмана.

Однако в реальной ситуации сигналы зачастую имеют нелинейную динамику и ненормальный шум. Именно в таких случаях и используется расширенный фильтр Калмана. В том случае, если дисперсии шумов не слишком велики (т.е. линейная аппроксимация является адекватной), применение расширенного фильтра Калмана дает решение задачи с высокой точностью. Однако в том случае, когда шумы не являются гауссовскими, расширенный фильтр Калмана применять нельзя. В этом случае обычно применяют частичный фильтр, в котором используются численные методы взятия интегралов на основе методов Монте Карло с марковскими цепями.

Частичный фильтр

Представим один из алгоритмов, развивающих идеи расширенного фильтра Калмана - частичный фильтр. Частичная фильтрация является неоптимальным способом фильтрации, который работает при выполнении объединения методом Монте-Карло на множестве частиц, которые представляют собой распределение вероятностей процесса. Здесь частица это элемент, взятый из априорного распределения оцениваемого параметра. Основная идея частичного фильтра заключается в том, что большое количество частиц может быть использовано для представления оценки распределения. Чем большее число частиц используется, тем точнее множество частиц будет представлять априорное распределение. Фильтр частиц инициализируется помещением в него N частиц из априорного распределения параметров, которые мы хотим оценить. Алгоритм фильтрации предполагает прогон этих частиц через специальную систему, а затем взвешивание с помощью информации, полученной от измерения данных частиц. Полученные частицы и связанные с ними массы представляют апостериорное распределение оценочного процесса. Цикл повторяется для каждого нового измерения, и веса частиц обновляются для представления последующего распределения. Одна из основных проблем с традиционным подходом фильтрации частиц состоит в том, что в результате такой подход обычно имеет несколько частиц, имеющих очень большой вес, в отличие от большинства остальных, вес которых очень незначителен. Это приводит к нестабильности фильтрации . Эта проблема может быть решена введением частоты дискретизации, где N новых частиц берется из распределения, составленного из старых частиц. Результат оценки получают путем получения выборки среднего значения множества частиц. Если мы имеем несколько независимых выборок, то средняя выборка будет точной оценкой среднего значения, задающей конечную дисперсию.

Даже если фильтр частиц является неоптимальным, то при стремлении количества частиц к бесконечности эффективность алгоритма приближается в байесову правилу оценивания. Поэтому желательно иметь столько частиц, сколько возможно, чтобы получить наилучший результат. К сожалению, это приводит к сильному увеличению сложности вычислений, а, следовательно, вынуждает к поиску компромисса между точностью и скоростью расчета. Итак, число частиц должно быть выбрано исходя из требований к задаче оценки точности. Еще одним важным фактором для работы фильтра частиц является ограничение на частоту дискретизации. Как упоминалось ранее, частота дискретизации является важным параметром фильтрации частиц и без него в конечном итоге алгоритм становится вырождающимся. Идея заключается в том, что если веса распределяются слишком неравномерно и порог дискретизации скоро будет достигнут, то частицы с низким весом отбрасываются, и оставшееся множество образует новую вероятностную плотность, для которой могут браться новые выборки. Выбор порога частоты дискретизации представляет собой довольно сложную задачу, ведь слишком высокая частота служит причиной чрезмерной чувствительности фильтра к шуму, а слишком низкая дает большую погрешность. Также важным фактором является плотность вероятности .

В целом, алгоритм фильтрации частиц показывает хорошую производительность расчета местоположения для стационарных целей и в случае относительно медленно движущихся целей с неизвестной динамикой ускорения. В общем случае, алгоритм фильтрации частиц является более стабильным, чем расширенный фильтр Калмана, и менее склонным к вырождению и серьезным сбоям. В случаях нелинейного, негауссового распределения данный алгоритм фильтрации показывает весьма хорошую точность определения местоположения цели, в то время как алгоритм расширенной фильтрации Калмана нельзя использовать при таких условиях. К минусам данного подхода можно отнести его более высокую сложность относительно расширенного фильтра Калмана, а также то, что не всегда очевидно, как правильно подобрать параметры для этого алгоритма.

Перспективные исследования в данной области

Использование модели фильтра Калмана, подобной той, что привели мы, можно видеть в , где он используется для улучшения характеристик комплексированной системы (GPS + модель компьютерного зрения для сопоставления с географической базой), и также моделируется ситуация отказа спутникового навигационного оборудования. С помощью фильтра Калмана результаты работы системы в случае отказа были существенно улучшены (например, погрешность в определении высоты была снижена примерно в два раза, а погрешности в определении координат по разным осям снижены практически в 9 раз). Аналогичное использование фильтра Калмана приведено также в .

Интересная с точки зрения совокупности методов задача решается в . Там также используется фильтр Калмана с 5 состояниями, с некоторыми отличиями в построении модели. Полученный результат превосходит результат приведенной нами модели за счет использования дополнительных средств комплексирования (используются фото и тепловизионные изображения). Применение фильтра Калмана в данном случае позволяет уменьшить погрешность определения пространственных координат заданной точки до значения 5,5 м.

Заключение

В заключение отметим, что использование фильтра Калмана в системах определения местоположения БПЛА практикуется во многих современных разработках. Существует огромное количество вариаций и аспектов такого использования, вплоть до одновременного применения нескольких подобных фильтров с разными факторами состояний . Одним из наиболее перспективных направлений развития Калмановских фильтров видится работа над созданием модифицированного фильтра, погрешности которого будут представлены цветным шумом, что сделает его еще более ценным для решения реальных задач. Также большой интерес в данной области представляет собой частичный фильтр, с помощью которого можно фильтровать негауссовские шумы. Названное разнообразие и ощутимые результаты в повышении точности, особенно в случае отказа стандартных спутниковых навигационных систем, являются главными факторами влияния данной технологии на различные научные области, связанные с разработкой точных и отказоустойчивых навигационных систем для различных летательных аппаратов.

Рецензенты:

Лабунец В.Г., д.т.н., профессор, профессор кафедры теоретических основ радиотехники Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург;

Иванов В.Э., д.т.н., профессор, зав. кафедрой технологии и средств связи Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Библиографическая ссылка

Гаврилов А.В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УТОЧНЕНИЯ КООРДИНАТ БПЛА // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=19453 (дата обращения: 06.04.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Эти фильтры в литературе также называются фильтрами Калмана - Бьюси . В отличие от задачи Винера, для задания случайного входного полезного сигнала (задающего воздействия) здесь используется формирующий фильтр (рис. 4.2), представляющий собой некоторую динамическую систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями в общем случае с переменными коэффициентами и возбуждаемую многомерным белым шумом и с гауссовским распределением.

Рис. 4.2. Оптимальный фильтр Калмана.

На рис. 4.2 это показано для непрерывного случая.

Формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом, представляет собой модель входного процесса системы управления (систему-аналог). Состояние этой модели в каждый момент времени определяется совокупностью переменных состояния число которых обусловливается видом входного сигнала, т. е. его корреляционной функцией или спектральной плотностью. Определение состояния системы-аналога производится измерительным устройством которое на своем выходе дает совокупность входных сигналов системы управления т. е. многомерный входной сигнал, искаженный аддитивной помехой представляющей собой многомерный белый шум с гауссовым распределением. В дискретном варианте задачи Р. Калмана входные и выходные величины формирующего фильтра рассматриваются в дискретные моменты времени где - целое число, период дискретности. В этом случае

модель входного сигнала описывается системой линейных разностных уравнений.

Требуется построить динамическую систему - фильтр Калмана которая дает наилучшую оценку многомерной величины в виде совокупности выходных величин фильтра Далее из этой совокупности могут формироваться линейным образом выходные величины систем управления .

К оценке предъявляется требование несмещенности, т. е. ее математическое ожидание

Выражение (4.9) записывается также в другом виде. При заданных измерениях величины от момента до момента I оценка в некоторый момент времени должна обладать свойством

Кроме того, накладывается условие минимума дисперсии ошибки оценки, которое записывается в виде

где Г - любая положительно-определенная матрица. Матричное произведение представляет собой квадратичную форму с весовой матрицей Г. Выражение (4.11) означает, что оценка величины удовлетворяет условию минимума дисперсии ошибки каждой из составляющих совокупности величин

При использовании фильтров Калмана возможны следующие случаи.

1. Для непрерывных систем решается задача оптимальной фильтрации, т. е. задача выделения полезного сигнала из аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. В этом случае фильтр Калмана дает оценку совокупности переменных начиная с некоторого момента времени в виде первоначального грубого приближения которое тем точнее, чем больше имеется априорных сведений о совокупности Далее с течением времени эта оценка улучшается и постоянно приближается к теоретически достижимому

значению, которое уже не зависит от априорных сведений о значении а определяется свойствами формирующего фильтра и помехами измерительного устройства.

В установившемся состоянии фильтр Калмана совпадает с фильтром Винера и дает то же значение оценки.

2. В дискретных системах возможна постановка задачи оптимального определения оценки для времени по данным измерений входного сигнала в временных точках от до , т. е. задачи оптимального предсказания на один (или несколько) такт вперед. Эта задача имеет смысл и в случае равенства нулю помех измерительного устройства.

3. В дискретных системах возможна также постановка задачи оптимальной фильтрации, т. е. задачи определения оценки по данным предыдущих измерений, включая и момент времени Эта задача может быть решена в случае наличия конфликтной ситуации, даваемой помехами измерений.

Применительно к цифровым системам автоматического управления и регулирования необходимо отметить следующее. В цифровой системе управления, как правило, измерение входного сигнала в момент времени не дает возможности откорректировать ее выходную величину в этот же момент времени, так как реакция непрерывной части системы (ее приведенная весовая функция) на входной сигнал в этот же момент времени равна нулю и она не может быть не равной нулю. Поэтому выходная величина системы в момент времени может быть определена только в результате прогнозирования по результатам предыдущих измерений.

Указанная выше вторая задача, решаемая фильтрами Калмана, имеет очевидное практическое значение для цифровых автоматических систем. Однако следует заметить, что во многих случаях период дискретности цифровой системы управления приходится выбирать по различным соображениям (устойчивости, возможности потери входной информации и др.) сравнительно малым (тысячные и сотые доли секунды). Сама же непрерывная часть системы управления может содержать экстраполяторы, хорошо прогнозирующие требуемый выходной процесс. Такими экстраполяторами могут быть интеграторы различного вида и сами объекты управления. Поэтому задача оптимального прогнозирования на

такт вперед в некоторых случаях теряет свой смысл и может привести к неправильным решениям конкретной технической задачи. Однако прогнозирование на несколько тактов вперед обычно не теряет своего смысла и при малых периодах дискретности. Но в этом случае оно практически совпадает со случаем прогнозирования в непрерывных системах.

Третья задача, решаемая фильтром Калмана, имеет большие возможности, так как предполагает нахождение оптимального решения задачи построения системы управления при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Ограничения в использовании фильтров Калмана для построения цифровых систем управления определяются следующими обстоятельствами.

1. Построение фильтра Калмана предполагает полные априорные сведения о структуре формирующего фильтра, т. е. полные априорные сведения о статистических свойствах входного сигнала и полные сведения о действующих помехах. Если эти сведения малодостоверны, то оптимизация теряет здесь смысл либо следует идти по пути значительного усложнения системы за счет использования принципов адаптации.

2. Использование фильтров Калмана предполагает отсутствие ограничений на структуру оптимальной системы. Поэтому переход от требуемой теоретической структуры к реальной структуре системы управления, содержащей те или иные заданные элементы, может значительно ухудшить результаты. Эти ограничения обычно не сказываются в тех случаях, когда вся система выработки оценки многомерной величины строится, например, на ЦВМ и не включает в себя заданных заранее элементов системы управления.

3. При построении фильтра Калмана предполагается, как это будет показано ниже, что для обработки может быть использовано предыдущих значений входных сигналов, где - порядок разностного уравнения, описывающего формирующий фильтр (рис. 4.2). В реальных условиях работы цифровой системы управления можно использовать для обработки большее число предыдущих входных сигналов, что позволяет существенно снизить влияние помех измерения входных сигналов и получить результаты, лучшие по сравнению с фильтром Калмана.

Использование реальных фильтров. В некоторых случаях построения систем управления входной сигнал задан своими

характеристиками, но помехи отсутствуют или они сравнительно малы, в результате чего построение оптимальной системы в смысле Винера или Калмана теряет смысл. Это не означает, однако, что реальная система управления может быть построена со сколь угодно малой дисперсией ошибки. В идеализированном случае винеровского или калмановского фильтра на проектируемую систему не накладывается никаких предварительных ограничений. Увеличение общего коэффициента с целью повышения точности воспроизведения полезного сигнала здесь ограничивается возрастанием ошибки за счет увеличения пропускания помех, действующих на входе. Это и создает конфликтную ситуацию.

В реальных системах помехи во входном сигнале могут и отсутствовать, но увеличение общего коэффициента усиления в этом случае ограничивается приближением к колебательной границе устойчивости, которое вызывает рост ошибки за счет увеличения колебательности системы. Максимальные достижимые коэффициенты усиления в этом случае будут определяться наличием в реальной системе некоторой совокупности звеньев с малыми постоянными времени, влияние которых уже не может быть скомпенсировано.

В этом смысле налнчие совокупности звеньев, характеризуемое суммой их постоянных времени или результирующим временным запаздыванием, эквивалентно по конечному результату действию на входе некоторой помехи. И в том и в другом случаях максимальная точность системы оказывается ограниченной, а дисперсия ошибки не может быть сделана меньше некоторого предельного значения.

Оценка минимальной суммы постоянных времени или суммарного временного запаздывания в проектируемой системе может быть сделана достаточно опытным конструктором при выборе ее элементов. При этом, конечно, конструктор может влиять на эту сумму в сторону ее уменьшения. Однако это может быть связано с переходом к более совершенным и дорогим элементам. Поэтому эта сумма может быть всегда оценена для данной конкретной ситуации и она зависит от уровня развития используемой техники.

Учет влияния малых постоянных времени накладывает на проектируемую систему некоторые ограничения, которых обычно нет при решении задачи оптимального синтеза. Эти ограничения в принципе могут быть учтены в виде

некоторого эквивалентного шума. Поясним это простейшим примером. Пусть полезный сигнал на входе имеет спектральную плотность для производной в виде

где - дисперсия первой производной, а - некоторая постоянная времени, и спектральную плотность помехи на входе соответствующую белому шуму. Пусть отыскивается оптимальное значение общего коэффициента усиления системы, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии вида

При отсутствии взаимной корреляции между полезным сигналом и помехой дисперсия ошибки

Дифференцирование (4.14) по коэффициенту усиления и приравнивание производной нулю дает условие минимума дисперсии ошибки

Подстановка (4.15) в (4.14) дает минимальное значение дисперсии ошибки, соответствующее оптимальному значению общего коэффициента усиления:

Пусть теперь решается задача оптимального выбора коэффициента усиления при том же полезном входном сигнале и при отсутствии помехи, но при условии, что передаточная функция разомкнутой системы может иметь вид

где - суммарное временное запаздывание, которое не может быть устранено в системе управления при выбранных

элементах. Такое суммарное временное запаздывание может быть введено, например, при наличии нескольких апериодических звеньев с малыми постоянными времени. Дисперсия ошибки в этом случае

Интеграл (4.18) не берется элементарным образом. Приближенное его вычисление дает

Минимум дисперсии ошибки будет при выполнении условия

Подстановка этого значения коэффициента усиления в (4.19) дает минимальную дисперсию ошибки

Приравнивание (4.16) и (4.21) позволяет определить уровень эквивалентного белого шума

который по своему действию приводит к такому же эффекту, как и влияние неустраняемого временного запаздывания.

Возможны, конечно, более сложные ситуации, когда, кроме наличия в системе некоторых малых параметров, на входе системы действуют реальные помехи. И в этом случае в принципе можно найти эквивалентную помеху, учитывающую наличие двух этих факторов. Однако подобный путь приводит к значительному усложнению расчетов. Поэтому эквивалентность малых постоянных времени по своему конечному действию входному шуму в системе управления имеет лишь некоторый познавательный интерес. Сама же задача синтеза системы управления в этом случае может более просто решаться на основе разработанных в настоящее время инженерных методов, предполагающих

использование типовых передаточных функций, типовых переходных характеристик, типовых логарифмических частотных характеристик и т. п.

Таким образом, при построении реальных фильтров, представляющих собой системы автоматического управления, работающие как при наличии помех на входе, так и при их отсутствии, структура их должна соответствовать изображенной на рис. 4.3. На вход системы поступает аддитивная смесь полезного сигнала и и помехи либо только полезный сигнал. Полезный сигнал может быть регулярной функцией времени, стационарным случайным процессом или нестационарным процессом. Помехи, как правило, представляются в виде случайного стационарного процесса с нулевым средним значением. Кроме того, на систему может действовать Еозмущение или несколько возмущений, приложенных к различным точкам объекта.

Рис. 4.3. Реальный одномерный фильтр.

Линейный оператор формирует из процесса и задающее воздействие которое и должно воспроизводиться на выходе системы управления с передаточной функцией Система управления должна состоять из неизменяемой части в качестве которой может рассматриваться, например, совокупность некоторых звеньев с малыми постоянными времени или звено временного запаздывания, и изменяемой части по отношению к которой имеется свобода выбора в части ее передаточной функции.

Таким образом, здесь приходится иметь дело с полужесткой структурой системы управления. Заметим, что сформулированное выше понятие неизменяемой части системы несколько отличается от обычно используемого в литературе, когда под неизменяемой частью просто понимается объект управления с его передаточной функцией. Дело в том, что применение различных корректирующих средств (последовательного типа, параллельного типа, обратных связей) позволяет активно влиять на передаточнуюфункциюобъекта, меняя ее нужным образом. Однако это может делаться только

до некоторого предела, который характеризуется минимальными значениями «остаточных» постоянных времени или временных запаздываний, которыми располагает конструктор. Поэтому неизменяемая часть системы определяется здесь в этом смысле.

При построении реальных фильтров возможны следующие случаи.

1. При условии задания характеристик полезного сигнала, помехи, возмущений и неизменяемой части системы требуется найти передаточную функцию системы управления при которой обеспечивается выполнение требований по точности, определяемых по среднеквадратичной ошибке, максимальной ошибке, наиболее вероятной ошибке или иным образом, и выполняются другие требования к системе, сформулированные в § 4.1.

Задача может облегчаться, если отсутствуют помехи на входе, либо отсутствуют возмущения, приложенные к объекту управления, либо отсутствует и то и другое. Однако она не становится при этом тривиальной.

2. При условии задания характеристик полезного сигнала, помехи, возмущений и неизменяемой части системы требуется определить передаточную функцию системы управления, при которой выполняется условие минимизации дисперсии ошибки что соответствует построению оптимальной системы.

Следует обратить внимание на то, что построение реальных фильтров представляет значительно более трудную задачу, чем построение, например, фильтра Винера. В этом можно убедиться, сравнив рис. 4.1 и рис. 4.3. Кроме того, выполнение первой сформулированной выше задачи часто оказывается более сложным, чем построение оптимальной системы. Дело заключается в том, что оптимальная система для имеющихся исходных данных всегда может быть построена и трудности нахождения оптимальной передаточной функции относятся к чисто математическим. Использование в настоящее время ЭВМ в значительной степени снимает эти трудности. Поэтому задача оптимизации системы управления, например, по минимуму дисперсии ошибки в некоторых случаях приобретает сейчас тривиальный характер.

В то же время задача построения системы с требуемой точностью при имеющихся исходных данных может и не

иметь решения. Если же решить эту задачу все же необходимо, то возможно, что придется решать попутно целый комплекс сложнейших проблем, связанных с переходом к более совершенным элементам системы управления, получением дополнительной информации о входных сигналах системы, например, по первой, второй и более высоким производным задающего воздействия, переходом к более совершенным средствам переработки информации и т. п.

Поэтому первая сформулированная выше задача не теряет своей актуальности, несмотря на развитие теории оптимальных систем, и, более того, она оказывает сейчас наиболее активное влияние на развитие техники автоматического управления.

Рис. 4.4. Реальный многомерный фильтр.

При переходе к многомерным системам управления задача построения реальных фильтров сохраняет свое значение. Структурная схема для этого случая изображена на рис. 4.4. На схеме показаны матрицы-столбцы полезных входных воздействий и помех задающих воздействий возмущающих воздействий управляемых величин и ошибки , а также матрицы передаточных функций

Все приведенные выше соображения по построению непрерывных систем управления на основе использования реальных фильтров практически сохраняют свое значение и для цифровых систем управления с учетом их особенностей - квантования по времени и квантования по уровню.

Фильтр Калмана

Постановка задачи

Обозначим за x k величину, которую мы будем измерять, а потом фильтровать. Это может быть координата, скорость, ускорение, влажность, температура, давление, и т.д.

Начнем с простого примера, который и приведет нас к формулировке общей задачи. Представьте себе, что у нас есть радиоуправляемый движущейся объект, который может перемещаться только вперед и назад. Мы, зная вес объекта, форму, покрытие поверхности, по которой он перемещается и т.д., рассчитали как контролирующий джойстик влияет на скорость движения v k .

Ри. 19 Движущийся объект

Тогда координата объекта будет изменяться по закону:

x k+1 = x k + v k dt (3.7)

В реальной же жизни мы не можем учесть в наших расчетах малые возмущения, действующие на объект (ветер, неровности поверхности, препятствия), поэтому настоящая скорость объекта будет отличаться от расчетной. К правой части написанного уравнения добавится случайная величина о k :

x k+1 = x k + v k dt +о k (3.8)

У нас есть установленный на объекте GPS сенсор, который пытается мерить истинную координату x k объекта, и, конечно же, не может ее померить точно, а мерит с ошибкой з л , которая является тоже случайной величиной.

В итоге с сенсора мы получаем ошибочные данные:

z k = x k + з k (3.9)

Задача состоит в том, что, зная неверные показания сенсора z k , найти хорошее приближение для истинной координаты объекта x k . Это хорошее приближение мы будем обозначать как.

В формулировке же общей задачи, за координату x k может отвечать все что угодно (температура, влажность и т.д.), а член, отвечающий за контроль системы извне, мы обозначим за u k (в примере c объектом u k = v k dt ).

Уравнения для координаты и показания сенсора будут выглядеть так:

x k+1 = x k + u k +о k

z k = x k + з k (3.10)

И так, что нам известно:

· u k - это известная величина, которая контролирует эволюцию системы. Мы ее знаем из построенной нами физической модели.

· Ошибка модели о k и ошибка сенсора з k - случайные величины. И их законы распределения не зависят от времени (от номера итерации k ).

· Средние значения ошибок равны нулю: Eо k = Eз k = 0 .

· Сам закон распределения случайных величин может быть нам и не известен, но известны их дисперсии и. Заметим, что дисперсии не зависят от k , потому что законы распределения не зависят от него.

· Предполагается, что все случайные ошибки независимы друг от друга: какая ошибка будет в момент времени k совершенно не зависит от ошибки в другой момент времени k ".

Нелишним будет отметить, что задача фильтрации - это не задача сглаживания. Мы не стремимся сглаживать данные с сенсора, мы стремимся получить наиболее близкое значение к реальной координате x k .

Алгоритм Калмана

Мы будем рассуждать по индукции. Представьте себе, что на k -ом шаге мы уже нашли отфильтрованное значение с сенсора, которое хорошо приближает истинную координату системы x k . Не забываем, что мы знаем уравнение, контролирующее изменение нам неизвестной координаты:

x k+1 = x k + u k +о k ,

поэтому, еще не получая значение с сенсора, мы можем предположить, что на шаге k+1 система эволюционирует согласно этому закону и сенсор покажет что-то близкое к. К сожалению, пока мы не можем сказать ничего более точного. С другой стороны, на шаге k+1 у нас на руках будет неточное показание сенсора z k+1 .

Идея Калмана состоит в том, что чтобы получить наилучшее приближение к истинной координате x k+1 , мы должны выбрать золотую середину между показанием z k+1 неточного сенсора и - нашим предсказанием того, что мы ожидали от него увидеть. Показанию сенсора мы дадим вес K, а на предсказанное значение останется вес (1-K):

Коэффициент K называют коэффициентом Калмана. Он зависит от шага итерации, поэтому правильнее было бы писать K k+1 , но пока, чтобы не загромождать формулы расчетах, мы будем опускать его индекс.

Мы должны выбрать коэффициент Калмана K таким, чтобы получившееся оптимальное значение координаты было бы наиболее близко к истинной координате x k+1 . К примеру, если мы знаем, что наш сенсор очень точный, то мы будем больше доверять его показанию и дадим значению z k+1 больше весу (K близко единице). Если же сенсор, наоборот, совсем не точный, тогда больше будем ориентироваться на теоретически предсказанное значение.

В общем случае, чтобы найти точное значение коэффициента Калмана K , нужно просто минимизировать ошибку:

Используем уравнения (3.10), чтобы переписать выражение для ошибки:

Доказательство:

Теперь необходимо разобраться, что такое минимизировать ошибку? Ведь ошибка, как мы видим, сама по себе является случайной величиной и каждый раз принимает разные значения.

На самом деле не существует однозначного подхода к определению того, что означает, что ошибка минимальна.

Точно как и в случае с дисперсией случайной величины, когда мы пытались оценить характерную ширину ее разброса, так и тут мы выберем самый простой для расчетов критерий. Мы будем минимизировать среднее значение от квадрата ошибки:

Распишем последнее выражение:

Доказательство:

Из того что все случайные величины, входящие в выражение (5.13) для e k+1 , независимы, следует, что все "перекрестные" члены равны нулю: E (о k з k+1 ) = E (e k о k ) = E (e k з k+1 ) =0.

Так же Eз k+1 =Eо k =0 , тогда формула для дисперсий выглядит намного проще:

Выражение (3.15) принимает минимальное значение, когда (приравниваем производную к нулю):

Подставляем в выражение (3.15) для среднеквадратичной ошибки минимизирующее ее значение коэффициента Калмана (5.17) . Получаем:

Наша задача решена. Мы получили итерационную формулу (3.18), для вычисления коэффициента Калмана. Практическая реализация в приложении А.

Рис. 20

Если проследить, как с шагом итерации k изменяется коэффициент Калмана K k , то можно показать, что он всегда стабилизируется к определенному значению K stab . К примеру, когда среднеквадратичные ошибки сенсора и модели относятся друг к другу как десять к одному, то график коэффициента Калмана в зависимости от шага итерации выглядит так:

Рис. 21

Основная идея фильтра Калмана состоит в том, что надо найти коэффициент K такой, чтобы отфильтрованное значение:

в среднем меньше всего отличалось бы от реального значения координаты x k+1 . Мы видим, что отфильтрованное значение есть линейная функция от показания сенсора z k+1 и предыдущего отфильтрованного значения. А предыдущее отфильтрованное значение является, в свою очередь, линейной функцией от показания сенсора z k и предпредыдущего отфильтрованного значения. И так далее, пока цепь полностью не развернется. То есть отфильтрованное значение зависит от всех предыдущих показаний сенсора линейно:

Поэтому фильтр Калмана называют линейным фильтром.

Как то так повелось, что очень нравятся мне всякие алгоритмы, имеющие четкое и логичное математическое обоснование) Но зачастую их описание в интернете настолько перегружено формулами и расчетами, что общий смысл алгоритма понять просто невозможно. А ведь понимание сути и принципа работы устройства/механизма/алгоритма намного важнее, чем заучивание огромных формул. Как это ни банально, но запоминание даже сотни формул ничем не поможет, если не знать, как и где их применить 😉 Собственно, к чему все это.. Решил я замутить описание некоторых алгоритмов, с которыми мне приходилось сталкиваться на практике. Постараюсь не перегружать математическими выкладками, чтобы материал был понятным, а чтение легким.

И сегодня мы поговорим о фильтре Калмана , разберемся, что это такое, для чего и как он применяется.

Начнем с небольшого примера. Пусть перед нами стоит задача определять координату летящего самолета. Причем, естественно, координата (обозначим ее ) должна определяться максимально точно.

На самолете мы заранее установили датчик, который и дает нам искомые данные о местоположении, но, как и все в этом мире, наш датчик неидеален. Поэтому вместо значения мы получаем:

где – ошибка датчика, то есть случайная величина. Таким образом, из неточных показаний измерительного оборудования мы должны получить значение координаты (), максимально близкое к реальному положению самолета.

Задача поставлена, перейдем к ее решению.

Пусть мы знаем управляющее воздействие (), благодаря которому летит самолет (пилот сообщил нам, какие рычаги он дергает 😉). Тогда, зная координату на k-ом шаге, мы можем получить значение на (k+1) шаге:

Казалось бы, вот оно, то что надо! И никакой фильтр Калмана тут не нужен. Но не все так просто.. В реальности мы не можем учесть все внешние факторы, влияющие на полет, поэтому формула принимает следующий вид:

где – ошибка, вызванная внешним воздействием, неидеальностью двигателя итп.

Итак, что же получается? На шаге (k+1) мы имеем, во-первых, неточное показание датчика , а во-вторых, неточно рассчитанное значение , полученное из значения на предыдущем шаге.

Идея фильтра Калмана заключается в том, чтобы из двух неточных значений (взяв их с разными весовыми коэффициентами) получить точную оценку искомой координаты (для нашего случая). В общем случае, измеряемая величина можем быть абсолютно любой (температура, скорость..). Вот, что получается:

Путем математических вычислений мы можем получить формулу для расчета коэффициента Калмана на каждом шаге, но, как условились в начале статьи, не будем углубляться в вычисления, тем более, что на практике установлено, что коэффициент Калмана с ростом k всегда стремится к определенному значению. Получаем первое упрощение нашей формулы:

А теперь предположим, что связи с пилотом нет, и мы не знаем управляющее воздействие . Казалось бы, в этом случае фильтр Калмана мы использовать не можем, но это не так 😉 Просто “выкидываем” из формулы то, что мы не знаем, тогда

Получаем максимально упрощенную формулу Калмана, которая тем не менее, несмотря на такие “жесткие” упрощения, прекрасно справляется со своей задачей. Если представить результаты графически, то получится примерно следующее:

Если наш датчик очень точный, то естественно весовой коэффициент K должен быть близок к единице. Если же ситуация обратная, то есть датчик у нас не очень хороший, то K должен быть ближе к нулю.

На этом, пожалуй, все, вот так вот просто мы разобрались с алгоритмом фильтрации Калмана! Надеюсь, что статья оказалась полезной и понятной =)

Винеровские фильтры лучше всего подходят для обработки процессов или отрезков процессов в целом (блочная обработка). Для последовательной обработки требуется текущая оценка сигнала на каждом такте с учетом информации, поступающей на вход фильтра в процессе наблюдения.

При винеровской фильтрации каждый новый отсчет сигнала потребовал бы пересчета всех весовых коэффициентов фильтра. В настоящее время широкое распространение получили адаптивные фильтры, в которых поступающая новая информация используется для непрерывной корректировки ранее сделанной оценки сигнала (сопровождение цели в радиолокации, системы автоматического регулирования в управлении и т.д). Особенный интерес представляют адаптивные фильтры рекурсивного типа, известные как фильтр Калмана.

Эти фильтры широко используются в контурах управления в системах автоматического регулирования и управления. Именно оттуда они и появились, подтверждением чему служит столь специфическая терминология, используемая при описании их работы, как пространство состояний.

Одна из основных задач, требующих своего решения в практике нейронных вычислений, – получение быстрых и надежных алгоритмов обучения НС. В этой связи может оказаться полезным использование в контуре обратной связи обучающего алгоритма линейных фильтров. Так как обучающие алгоритмы имеют итеративную природу, такой фильтр должен представлять собой последовательное рекурсивное устройство оценки.

Задача оценки параметров

Одной из задач теории статистических решений, имеющих большое практическое значение, является задача оценки векторов состояния и параметров систем, которая формулируется следующим образом. Предположим, необходимо оценить значение векторного параметра $X$, недоступного непосредственному измерению. Вместо этого измеряется другой параметр $Z$, зависящий от $X$. Задача оценивания состоит в ответе на вопрос: что можно сказать об $X$, зная $Z$. В общем случае, процедура оптимальной оценки вектора $X$ зависит от принятого критерия качества оценки.

Например, байесовский подход к задаче оценки параметров требует полной априорной информации о вероятностных свойствах оцениваемого параметра, что зачастую невозможно. В этих случаях прибегают к методу наименьших квадратов (МНК), который требует значительно меньше априорной информации.

Рассмотрим применения МНК для случая, когда вектор наблюдения $Z$ связан с вектором оценки параметров $X$ линейной моделью, и в наблюдении присутствует помеха $V$, некоррелированная с оцениваемым параметром:

$Z = HX + V$, (1)

где $H$ – матрица преобразования, описывающая связь наблюдаемых величин с оцениваемыми параметрами.

Оценка $X$, минимизирующая квадрат ошибки, записывается следующим образом:

$X_{оц}=(H^TR_V^{-1}H)^{-1}H^TR_V^{-1}Z$, (2)

Пусть помеха $V$ не коррелирована, в этом случае матрица $R_V$ есть просто единичная матрица, и уравнение для оценки становится проще:

$X_{оц}=(H^TH)^{-1}H^TZ$, (3)

Запись в матричной форме сильно экономит бумагу, но может быть для кого то непривычна. Следующий пример, взятый из монографии Коршунова Ю. М. "Математические основы кибернетики", все это иллюстрирует.
Имеется следующая электрическая цепь:

Наблюдаемые величины в данном случае – показания приборов $A_1 = 1 A, A_2 = 2 A, V = 20 B$.

Кроме того, известно сопротивление $R = 5$ Ом. Требуется оценить наилучшим образом, с точки зрения критерия минимума среднего квадрата ошибки значения токов $I_1$ и $I_2$. Самое важное здесь заключается в том, что между наблюдаемыми величинами (показаниями приборов) и оцениваемыми параметрами существует некоторая связь. И эта информация привносится извне.

В данном случае, это законы Кирхгофа, в случае фильтрации (о чем речь пойдет дальше) – авторегрессионная модель временного ряда, предполагающая зависимость текущего значения от предшествующих.

Итак, знание законов Кирхгофа, никак не связанное с теорией статистических решений, позволяет установить связь между наблюдаемыми значениями и оцениваемыми параметрами (кто изучал электротехнику – могут проверить, остальным придется поверить на слово):

$$z_1 = A_1 = I_1 + \xi_1 = 1$$

$$z_2 = A_2 = I_1 + I_2 + \xi_2 = 2$$

$$z_2 = V/R = I_1 + 2 * I_2 + \xi_3 = 4$$

Это же в векторной форме:

$$\begin{vmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} I_1\\ I_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{vmatrix}$$

Или $Z = HX + V$, где

$$Z= \begin{vmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{vmatrix} ; H= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} ; X= \begin{vmatrix} I_1\\ I_2 \end{vmatrix} ; V= \begin{vmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{vmatrix}$$

Считая значения помехи некоррелированными между собой, найдем оценку I 1 и I 2 по методу наименьших квадратов в соответствии с формулой 3:

$H^TH= \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 0 & 1& 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 3\\ 3 & 5 \end{vmatrix} ; (H^TH)^{-1}= \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -3 & 3 \end{vmatrix} $;

$H^TZ= \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 0 & 1& 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 2\\ 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7\\ 10 \end{vmatrix} ; X{оц}= \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -3 & 3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 7\\ 10 \end{vmatrix} = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5\\ 9 \end{vmatrix}$;

Итак $I_1 = 5/6 = 0,833 A$; $I_2 = 9/6 = 1,5 A$.

Задача фильтрации

В отличие от задачи оценки параметров, которые имеют фиксированные значения, в задаче фильтрации требуется оценивать процессы, то есть находить текущие оценки изменяющегося во времени сигнала, искаженного помехой, и, в силу этого, недоступного непосредственному измерению. В общем случае вид алгоритмов фильтрации зависит от статистических свойств сигнала и помехи.

Будем предполагать, что полезный сигнал – медленно меняющаяся функция времени, а помеха – некоррелированный шум. Будем использовать метод наименьших квадратов, опять же по причине отсутствия априорных сведений о вероятностных характеристиках сигнала и помехи.

Вначале получим оценку текущего значения $x_n$ по имеющимся $k$ последним значениям временного ряда $z_n, z_{n-1},z_{n-2}\dots z_{n-(k-1)}$. Модель наблюдения та же, что и в задаче оценки параметров:

Понятно, что $Z$ – это вектор–столбец, состоящий из наблюдаемых значений временного ряда $z_n, z_{n-1},z_{n-2}\dots z_{n-(k-1)}$, $V$ – вектор–столбец помехи $\xi _n, \xi _{n-1},\xi_{n-2}\dots \xi_{n-(k-1)}$, искажающий истинный сигнал. А что означают символы $H$ и $X$? О каком, например, векторе–столбце $X$ может идти речь, если все, что необходимо, – это дать оценку текущего значения временного ряда? А что понимать под матрицей преобразований $H$, вообще непонятно.

На все эти вопросы можно ответить только при условии введения в рассмотрение понятия модели генерации сигнала. То есть, необходима некоторая модель исходного сигнала. Это и понятно, при отсутствии априорной информации о вероятностных характеристиках сигнала и помехи остается только строить предположения. Можно назвать это гаданием на кофейной гуще, но специалисты предпочитают другую терминологию. На их "фене" это называется параметрическая модель.

В данном случае оцениваются параметры именно этой модели. При выборе подходящей модели генерации сигнала вспомним о том, что любую аналитическую функцию можно разложить в ряд Тейлора. Поразительное свойство ряда Тейлора заключается в том, что форма функции на любом конечном расстоянии $t$ от некой точки $x=a$ однозначно определяется поведением функции в бесконечно малой окрестности точки $x=a$ (речь идет о ее производных первого и высшего порядков).

Таким образом, существование рядов Тейлора означает, что аналитическая функция обладает внутренней структурой с очень сильной связью. Если, например, ограничиться тремя членами ряда Тейлора, то модель генерации сигнала будет выглядеть так:

$x_{n-i} = F_{-i}x_n$, (4)

$$X_n= \begin{vmatrix} x_n\\ x"_n\\ x""_n \end{vmatrix} ; F_{-i}= \begin{vmatrix} 1 & -i & i^2/2\\ 0 & 1 & -i\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

То есть формула 4, при заданном порядке полинома (в примере он равен 2) устанавливает связь между $n$-ым значением сигнала во временной последовательности и $(n-i)$–ым. Таким образом, оцениваемый вектор состояния в данном случае включает в себя, помимо собственно оцениваемого значения, первую и вторую производную сигнала.

В теории автоматического управления такой фильтр назвали бы фильтром с астатизмом 2-го порядка. Матрица преобразования $H$ для данного случая (оценка осуществляется по текущему и $k-1$ предшествующим выборкам) выглядит так:

$$H= \begin{vmatrix} 1 & -k & k^2/2\\ - & - & -\\ 1 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 0.5\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

Все эти числа получаются из ряда Тейлора в предположении, что временной интервал между соседними наблюдаемыми значениями постоянный и равен 1.

Итак, задача фильтрации при принятых нами предположениях свелась к задаче оценки параметров; в данном случае оцениваются параметры принятой нами модели генерации сигнала. И оценка значений вектора состояния $X$ осуществляется по той же формуле 3:

$$X_{оц}=(H^TH)^{-1}H^TZ$$

По сути, мы реализовали процесс параметрического оценивания, основанный на авторегрессионной модели процесса генерации сигнала.

Формула 3 легко реализуется программно, для этого нужно заполнить матрицу $H$ и вектор столбец наблюдений $Z$. Такие фильтры называются фильтры с конечной памятью , так как для получения текущей оценки $X_{nоц}$ они используют последние $k$ наблюдений. На каждом новом такте наблюдения к текущей совокупности наблюдений прибавляется новое и отбрасывается старое. Такой процесс получения оценок получил название скользящего окна .

Фильтры с растущей памятью

Фильтры с конечной памятью обладают тем основным недостатком, что после каждого нового наблюдения необходимо заново производить полный пересчет по всем хранящимся в памяти данным. Кроме того, вычисление оценок можно начинать только после того, как накоплены результаты первых $k$ наблюдений. То есть эти фильтры обладают большой длительностью переходного процесса.

Чтобы бороться с этим недостатком, необходимо перейти от фильтра с постоянной памятью к фильтру с растущей памятью . В таком фильтре число наблюдаемых значений, по которым производится оценка, должна совпадать с номером n текущего наблюдения. Это позволяет получать оценки, начиная с числа наблюдений, равного числу компонент оцениваемого вектора $X$. А это определяется порядком принятой модели, то есть сколько членов из ряда Тейлора используется в модели.

При этом с ростом n улучшаются сглаживающие свойства фильтра, то есть повышается точность оценок. Однако непосредственная реализация этого подхода связана с возрастанием вычислительных затрат. Поэтому фильтры с растущей памятью реализуются как рекуррентные .

Дело в том, что к моменту n мы уже имеем оценку $X_{(n-1)оц}$, в которой содержится информация обо всех предыдущих наблюдениях $z_n, z_{n-1}, z_{n-2} \dots z_{n-(k-1)}$. Оценку $X_{nоц}$ получаем по очередному наблюдению $z_n$ с использованием информации, хранящейся в оценке $X_{(n-1)}{\mbox {оц}}$. Такая процедура получила название рекуррентной фильтрации и состоит в следующем:

• по оценке $X_{(n-1)}{\mbox {оц}}$ прогнозируют оценку $X_n$ по формуле 4 при $i = 1$: $X_{\mbox {nоцаприори}} = F_1X_{(n-1)оц}$. Это априорная оценка;
• по результатам текущего наблюдения $z_n$, эту априорную оценку превращают в истинную, то есть апостериорную;
• эта процедура повторяется на каждом шаге, начиная с $r+1$, где $r$ – порядок фильтра.

Окончательная формула рекуррентной фильтрации выглядит так:

$X_{(n-1)оц} = X_{\mbox {nоцаприори}} + (H^T_nH_n)^{-1}h^T_0(z_n - h_0 X_{\mbox {nоцаприори}})$, (6)

где для нашего фильтра второго порядка:

Фильтр с растущей памятью, работающий в соответствии с формулой 6 – частный случай алгоритма фильтрации, известного под названием фильтра Калмана.

При практической реализации этой формулы необходимо помнить, что входящая в него априорная оценка определяется по формуле 4, а величина $h_0 X_{\mbox {nоцаприори}}$ представляет собой первую компоненту вектора $X_{\mbox {nоцаприори}}$.

У фильтра с растущей памятью имеется одна важная особенность. Если посмотреть на формулу 6, то окончательная оценка есть сумма прогнозируемого вектора оценки и корректирующего члена. Эта поправка велика при малых $n$ и уменьшается при увеличении $n$, стремясь к нулю при $n \rightarrow \infty$. То есть с ростом n сглаживающие свойства фильтра растут и начинает доминировать модель, заложенная в нем. Но реальный сигнал может соответствовать модели лишь на отдельных участках, поэтому точность прогноза ухудшается.

Чтобы с этим бороться, начиная с некоторого $n$, накладывают запрет на дальнейшее уменьшение поправочного члена. Это эквивалентно изменению полосы фильтра, то есть при малых n фильтр более широкополосен (менее инерционен), при больших – он становится более инерционен.

Сравните рисунок 1 и рисунок 2. На первом рисунке фильтр имеет большую память, при этом он хорошо сглаживает, но в силу узкополосности оцениваемая траектория отстает от реальной. На втором рисунке память фильтра меньше, он хуже сглаживает, но лучше отслеживает реальную траекторию.

Литература

1. Ю.М.Коршунов "Математические основы кибернетики"
2. А.В.Балакришнан "Теория фильтрации Калмана"
3. В.Н.Фомин "Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация"
4. К.Ф.Н.Коуэн, П.М. Грант "Адаптивные фильтры"