Двухмерная система координат. Трехмерная и n-мерная система координат. Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения

Ввод координат

Задание точек построения является фундаментальной операцией в любой графической системе, и AutoCAD в этом смысле не исключение. Формирование любых графических объектов опирается на заданные точки построения. AutoCAD располагает множеством средств и способов выполнения этой операции.

По умолчанию в системе AutoCAD используется декартова система координат.

В углу графической зоны экрана находится пиктограмма пользовательской системы координат (см. рис. 4.1), которая показывает направление осей координат X и Y.

Рис. 4.1. Виды пиктограммы пользовательской системы координат:

а) начало координат находится в точке пересечения осей;

б) начало координат находится за пределами экрана.

Для измерения значений координат AutoCAD использует безразмерные единицы. Это значит, что при вычерчивании пользователь может считать значения координат миллиметрами, сантиметрами, метрами и т.д. В нашей стране во многих случаях удобно считать безразмерные единицы миллиметрами, т.к. именно в миллиметрах задаются размеры стандартных листов бумаги. В любом случае, как бы ни воспринимал пользователь значения координат в AutoCAD, перед печатью ему будет предоставлена возможность выбрать масштаб изображения и размер бумаги, т.е. изображение любого размера в AutoCAD может быть распечатано на листе бумаге нужного формата в требуемом масштабе.

Совет: при перечерчивании эскиза с листа бумаги можно не задумываться, во сколько раз уменьшать или увеличивать размеры объектов, быстрее их измерять линейкой и чертить в масштабе 1:1. После окончания перечерчивания можно либо изменить размеры всего изображения, либо настроить опции печати таким образом, чтобы изображение было распечатано в нужном вам масштабе.

AutoCAD поддерживает декартовы (прямоугольные) и полярные координаты. В свою очередь, и декартовы, и полярные координаты могут задаваться в абсолютной или относительной форме.

Абсолютные координаты отсчитываются от начала координат, относительные координаты отсчитываются от последней указанной точки.

При вычерчивании в прямоугольной системе координат каждая точка на поле чертежа может быть однозначно определена парой чисел: значениями ее абсциссы X и ординаты Y. По умолчанию точка пересечения координатных осей X и Y имеет координаты 0,0. Точки левее нее будут иметь отрицательные координаты X, а точки, расположенные ниже – отрицательные координаты Y.

Если известны направление и длина отрезка от начала координат или от предыдущей точки построения, то в этом случае удобно использовать полярные координаты.

В полярных координатах каждая точка может быть однозначно определена парой чисел: значением радиус-вектора r (расстояние от начала координат до точки) и углом j (угол между нулевым направлением и направлением от начала координат до точки).

По умолчанию углы в AutoCAD измеряются и задаются в соответствии с рисунком 4.2. Нулевой угол определяется как направление на восток (горизонтально направо), положительный отсчет углов – против часовой стрелки.

Примечание. Системная переменная ANGDIR изменяет направление отсчета положительных углов. Она может принимать значения 0 и 1 (0 – против часовой стрелки, 1 – по часовой стрелке).

Рис. 4.2. Стандартная схема отсчета углов

В системе AutoCAD при вычерчивании объектов задавать координаты можно при помощи мыши (указывая точки непосредственно в графической зоне), а также в командной строке, используя клавиатуру; или комбинированным способом, когда направление задается с помощью мыши, а расстояние указывается с клавиатуры.

Двумерная система координат

Точка P имеет координаты (5,2).

Современная Декартова система координат в двух измерениях (также известная под названиемпрямоугольная система координат) задается двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу. Плоскость, в которой находятся оси, называют иногда xy-плоскости. Горизонтальная ось обозначается как x (ось абсцисс), вертикальная как y (ось ординат). В трехмерном пространстве до двух добавляется третья ось, перпендикулярная xy-плоскости - ось z. Все точки в системе декартовых координат, составляют так называемый Декартов пространство.

Точка пересечения, где оси встречаются, называется началом координат и обозначается как O. Соответственно, ось x может быть обозначена как Ox, а ось y - как Oy. Прямые, проведенные параллельно каждой оси на расстоянии единичного отрезка (единицы измерения длины) начиная с начала координат, формируют координатную сетку.

Точка в двумерной системе координат задается двумя числами, которые определяют расстояние от оси Oy (абсцисса или х-координата) и от оси Ох (ордината или y-координата) соответственно. Таким образом, координаты формируют упорядоченную пару (кортеж) чисел (x, y). В трехмерном пространстве добавляется еще z-координата (расстояние точки от ху-плоскости), и формируется упорядоченная тройка координат (x, y, z).

Выбор букв x, y, z происходит от общего правила наименования неизвестных величин второй половиной латинского алфавита. Буквы первой его половины используются для именования известных величин.

Стрелки на осях отражают то, что они простираются до бесконечности в этом направлении.

Пересечение двух осей создает четыре квадранта на координатной плоскости, которые обозначаются римскими цифрами I, II, III, и IV. Обычно порядок нумерации квадрантов - против часовой стрелки, начиная с правого верхнего (т.е. там, где абсциссы и ординату - положительные числа). Значение, которых приобретают абсциссы и ординаты в каждом квадранте, можно свести в следующую таблицу:

Трехмерная и n-мерная система координат

На этом рисунке точка P имеет координаты (5,0,2), а точка Q - координаты (-5, -5,10)

Координаты в трехмерном пространстве формируют тройку (x, y, z).

Координаты x, y, z для трехмерной декартовой системы можно понимать как расстояния от точки до соответствующих плоскостей: yz, xz, и xy.

Трехмерная Декартова система координат является очень популярной, так как соответствует привычным представлениям о пространственных измерения - высоту, ширину и длину (то есть три измерения). Но в зависимости от области применения и особенностей матиматичного аппарата, смысл этих трех осей может быть совсем другим.

Системы координат высших размерностей также применяются (например, 4-мерная система для изображения пространства-времени в специальной теории относительности).

Система декартовых координат в абстрактном n-мерном пространстве является обобщением изложенных выше положений и имеет n осей (по каждой на измерение), что является взаимоперпендикулярных. Соответственно, положение точки в таком пространстве будет определяться кортежем из n координат, илиn-кой.

Уравнение прямой в (планиметрия) в каноническом

виде, параметрическом и общем виде.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.

Если в (1) ввести параметр t

то уравнения прямой можно записать в виде

В зависимости от числа регулируемых величин САР принято подразделять на одномерные и многомерные.

Одномерными называются системы с одной регулируемой величи ной. Примеры таких систем рассмотрены ранее.

Системы с несколькими регулируемыми величинами называются многомерными. Многомерные САР используются для управления многомерными объектами регулирования, нормальное функционирование которых требует изменения по заданному закону не менее чем двух физических величин. Например, в генераторах переменного тока требуется регулировать величину напряжения и его частоту; в паровых машинах - скорость вращения выходного вала и давление пара в котле; в турбореактивных двигателях - скорость вращения и температуру выхлопных газов и т. д.

Многомерные объекты управления имеют несколько регулирующих органов, для перемещения каждого из которых используется одна или несколько одномерных систем регулирования. При этом в многомерных объектах число регулирующих органов обычно не превосходит числа регулируемых величин.

Пример 1.15. Рассмотрим управление полетом баллистической ракеты .

Боевые баллистические ракеты предназначены для доставки обычного или термоядерного боевого заряда из точки старта в точку цели.

Баллистические ракеты применяются в основном для стрельбы по неподвижным наземным целям.

Это позволяет наводить ракету на цель путем задания жесткой программной траектории, проходящей через цель. В качестве программной выбирается траектория, достаточно удобная с точки зрения управления и близкая к

Рис. 1.24. Программная траектория полета баллистической ракеты: С - точка старта; К - точка выключения двигательной установки; Ц - цель

Рис. 1.25. Связанная (а), программная (б) и путевая (в) системы координат

оптимальной траектории, соответствующей наименьшему расходу топлива при заданных значениях дальности и веса боевого заряда. Типичная программная траектория баллистической ракеты изображена на рис. 1.24 и состоит из активного участка на котором работают маршевые двигатели ракеты, и пассивного участка в начале которого двигательная установка выключается и на котором ракета летят как свободно брошенное тело.

Траектория движения ракеты обычно рассматривается в стартовой системе координат начало координат которой совмещается с точкой старта; ось осхс направлена в сторону цели по касательной к дуге большого круга, соединяющей точку старта и точку цели; ось осус направлена вертикально вверх, а ось осгс перпендикулярна плоскости осхсус и расположена таким образом, чтобы рассматриваемая система была правой (на рис. 1.24 ось осгс перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя). Плоскость называется плоскостью стрельбы.

С баллистической ракетой жестко связывается система координат (рис. 1.25, а), начало которой помещается в центре масс ракеты о, ось направлена по продольной оси ракеты, а ось расположена таким образом, чтобы на старте плоскость совпадала с плоскостью стрельбы. Ось перпендикулярна плоскости (на рис. 1.25, а она направлена на читателя). Система координат называется связанной системой. Плоскости являются плоскостями симметрии ракеты. Часто считают, что связанные оси совпадают с главными центральными осями инерции ракеты.

Угловое положение связанной системы координат (т. е. ракеты) относительно стартовой определяется тремя углами Эйлера: (рис. 1.26, а). Угол называется углом тангажа и представляет собой угол между продольной осью ракеты и горизонтальной плоскостью в точке старта. Угол называется углом рыскания и представляет собой угол между продольной осью ракеты плоскостью осхсус. Угол называется углом вращения (крена) и представляет собой угол между осью и плоскостью осхсус. Он характеризует угол поворота ракеты относительно продольной оси.

Программное положение ракеты задается при помощи программной системы координат опхиупгп (рис. 1.25, б), начало которой совпадает с программным положением центра масс ракеты; ось характеризует программное положение продольной оси ракеты; ось перпендикулярна оси и расположена в плоскости стрельбы; ось перпендикулярна плоскости оихиуп.

Угловое положение программной системы координат относительно стартовой определяется программными значениями угла тангажа Угла рыскания и угла вращения В большинстве случаев же касается программного значения угла тангажа ракеты, то он отличен от нуля. Объясняется это тем, что по конструктивным соображениям наиболее удобен вертикальный старт баллистической ракеты тогда как наибольшая дальность полета имеет место тогда, когда в момент выключения двигателя угол тангажа . Это заставляет предусматривать в процессе полета по программной траектории разворот продолыюй оси ракеты от значения до значения

Отклонения угловых координат ракеты от их программных значений в дальнейшем будем обозначать через

Рассмотрим еще путевую систему координат связанную с вектором путевой скорости ракеты V, характеризующим скорость перемещения центра масс ракеты относительно стартовой системы координат. Начало координат этой системы помещается в центре масс ракеты, ось направляется по вектору V, ось перпендикулярна оси и расположена в плоскости, параллельной плоскости стрельбы, а ось перпендикулярна плоскости (рис. 1.25, в). Угловое положение путевой системы координат относительно стартовой определяется углом наклона траектории 0 и курсовым углом (рис. 1.26, б), а относительно связанной - углом атаки а и углом скольжения Р (рис. 1.26, в). Для программной траектории

Существует много возмущений, отклоняющих движение ракеты от программного (порывы ветра, флюктуации тяги двигательной установки, отклонение конструктивных параметров ракеты от расчетных значений и др.). Для возвращения ракеты на программную траекторию необходимо иметь возможность изменять равнодействующую сил, приложенных к ракете.

Основными силами, действующие на ракету при полете на активном участке траектории, являются сила веса аэродинамическая сила и сила тяги Р (см. рис. 1.25, а). Равнодействующую приложенных к ракете сил удобно изменять, варьируя величину и направление вектора тяги Р. Для этой цели современные баллистические ракеты снабжаются специальными регулирующими (управляющими) органами. Вектор тяги приближенно можно считать направленным по продольной оси ракеты (см. рис. 1.25, а). В связи с этим изменение направления тяги двигателя возможно лишь за счет поворота корпуса ракеты относительно связанной оси или Этот поворот может быть осуществлен за счет создания моментов относительно указанных осей. Такие моменты, называемые управляющими, и создаются при помощи регулирующих органов ракеты, в качестве которых могут быть использованы аэродинамические или газовые рули и поворотные камеры сгорания основных или специальных рулевых двигателей ракеты. Для создания моментов относительно осей связанной системы координат чаще всего предусматривают четыре газовых руля или четыре поворотные камеры сгорания. В качестве примера на рис. 1.27 условно изображены четыре камеры сгорания, размещенные в торце ракеты. Камеры 1 и 3 расположены в плоскости и могут поворачиваться относительно оси, параллельной оси Камеры 2 и 4 расположены в плоскости и могут поворачиваться относительно оси, параллельной оси При одновременном отклонении камер сгорания 1 и 3 на один и тот же угол создается момент относительно связанной оси Точно так же при одновременном отклонении камер сгорания 2 и 4 на угол создается момент относительно связанной оси При отклонении камер сгорания и 3 или 2 и 4 на одинаковые углы в противоположные стороны возникает момент относительно продольной оси ракеты. Так как камеры сгорания расположены на сравнительно небольшом расстоянии от продольной оси ракеты, то, для того чтобы увеличить момент

Рис. 1.26. Взаимная угловая ориентация различных систем координат: а - связанной и стартовой; б - путевой и стартовой; в - связанной и путевой

Рис. 1.27. Управляющие органы ракеты

одновременно отклоняют все четыре камеры сгорания на один и тот же угол таким образом, что в каждой паре (1,3 и 2, 4) управляющие органы отклоняются в противоположные стороны.

Управляющие моменты зависят от величины тяги поворотных камер, расстояния между камерами и центром масс (для Мул и или продольной осью ракеты (для и угла отклонения камер сгорания (от их положения, показанного на рис. 1.27, при котором управляющие моменты равны нулю). Если углы отклонения поворотных камер невелики (что обычно имеет место), то приближенно можно считать, что управляющие моменты пропорциональны углам отклонения управляющих органов:

Здесь коэффициенты пропорциональности вследствие изменения тяги двигателеи с высотой и изменения положения центра масс ракеты из-за выгорания топлива представляют собой функции времени.

Управляющие органы типа поворотных камер сгорания позволяют менять направление вектора тяги двигательной установки ракеты. В ракетах с жидкостными реактивными двигателями можно менять и величину тяги, управляя работой турбонасосного агрегата подающего компоненты топлива (горючее и окислитель) в камеры сгорания. В большинстве случаев управление работой турбонасосного агрегата производится при помощи поворота некоторого валика. Угол поворота этого валика, отсчитываемый от его значения в номинальном режиме работы (в котором величина тяги равна программному значению) будем обозначать через

Рис. 1.28. Условное изображение баллистической ракеты как объекта регулирования

В общем случае можно считать, что баллистическая ракета БР имеет пять управляющих органов (1, 2, 3, 4 и что условно и изображено на рис. 1.28, где через 6з и 64 обозначены углы отклонения соответствующих поворотных камер или газовых рулей (при создании момента Мух выполняется равенство при создании момента

Регулируемыми величинами у баллистической ракеты являются три угловые координаты и три координаты характеризующие положение центра масс. Это говорит о том, что она представляет собой частный случай многомерного объекта регулирования. Собственное движение большинства баллистических ракет является неустойчивым, поэтому полет ракеты по программной траектории возможен только при помощи автоматического регулирования величин

Приближенно можно считать, что траектория ракеты на пассивном участке определяется параметрами ее движения в конце активного участка траектории. Это позволяет автоматически управлять полетом ракеты только на активном участке и считать целью управления достижение заданных значений параметров движения ракеты в момент выключения двигательной установки. При таком подходе величину также можно отнести к числу регулируемых величин (см. рис. 1.28).

Регулятор, автоматически обеспечивающий движение ракеты по программной траектории на активном участке полета, называется системой управления баллистической ракеты. Она представляет собой сложный комплекс приборов и устройств, автоматически управляющих движением ракеты и работой

двигательной установки. Совместно с ракетой и двигателем система управления образует весьма сложную динамическую систему, движение которой определяется большим количеством одновременно протекающих и самых различных своей физической природе процессов.

В ракетах большой дальности чаще всего используются так называемые автономные системы управления, в которых вся информация, необходимая для управления движением ракеты, вырабатывается бортовыми приборами.

Рис. 1.29. Функциональные схемы систем регулирования угла тангажа (а), рыскания (б) и вращения (в) баллистической ракеты

Обычно автономная система управления полетом баллистических ракет состоит из нескольких автоматических регуляторов, каждый из которых решает некоторые частные задачи управления. Основными из них являются регулятор углового движения ракеты (сокращенно - автомат угловой стабилизации), регулятор движения центра масс (или автомат стабилизации движения центра масс) и

регулятор момента выключения двигательной установки (или автомат управления дальностью полета).

Автомат управления дальностью предназначен для выключения двигательной установки ракеты в момент времени соответствующий требуемой дальности полета. Он представляет собой систему, работающую по разомкнутому циклу и выдающую разовую команду на выключение двигателя.

Автоматы стабилизации углового движения и движения центра масс из-за большого числа возмущений, действующих на ракету, строятся на базе принципа регулирования по отклонению. Применяемый в ракетной технике термин «автомат стабилизации» не совсем удачен, так как на самом деле речь идет не о стабилизации, а о программном регулировании параметров движения ракеты.

Рис. 1.30. Упрощенная схема гирогоризонта баллистической ракеты

Рис. 1.31. Упрощенная схема гировертиканта баллистической ракеты

Автомат угловой стабилизации совместно с ракетой образует замкнутую многомерную систему регулирования, предназначенную для изменения угловых координат ракеты по программному закону: Он состоит из трех одномерных регуляторов, каждый из которых обеспечивает программное изменение одной угловой координаты. Эти регуляторы представляют собой отдельные каналы автомата угловой стабилизации и называются каналами тангажа, рыскания и вращения.

Функциональные схемы систем регулирования угловых координат ракеты показаны на рис. 1.29 и представляют собой частный случай общей функциональной схемы системы регулирования, работающей по отклонению (см. рис. 1.7). В качестве чувствительных элементов используются гироскопические измерители углов Обычно для этой цели применяются два трехстепенных гироскопа, определенным образом устанавливаемые на ракете БР и называемые гирогоризонтом и гировертикантом. Ориентация этих приборов относительно связанных осей ракеты в момент старта показана на рис. 1.30 и 1.31 .

Гирогоризонт (рис. 1.30) устанавливается на ракете таким образом, чтобы при старте ракеты вектор кинетического момента гироскопа Г был параллелен

плоскости стрельбы, плоскость наружной рамки гироскопа перпендикулярна плоскости стрельбы, а оси внутренней и наружной рамок параллельны осям стартовой системы координат. С гироскопом связывается потенциометрический датчик угла ДУ, движок которого жестко закреплен на оси наружной рамки гироскопа, а основание размещено на подвижном диске, который поворачивается от кулачка приводимого во вращение двигателем Д со стабилизированной скоростью вращения. Профиль кулачка выбирается таким, чтобы угол поворота основания датчика угла в определенном масштабе воспроизводил требуемый закон изменения угла тангажа во времени Двигатель Д и кулачок К образуют программный механизм тангажа (ПМ на рис. 1.29, а).

После старта вектор кинетического момента и плоскость наружной рамки сохраняют неизменными свое положение в пространстве, вследствие чего при колебаниях ракеты относительно связанной оси основание датчика угла перемещается относительно движка. В результате с датчика угла снимается напряжение пропорциональное отклонению угла тангажа от программного значения

Аналогично работает и гировертикант (см. рис. 1.31). В отличие от гирогоризонта он имеет два датчика угла, с одного из которых снимается напряжение пропорциональное углу рыскания, а с другого - напряжение пропорциональное углу вращения ракеты. Движок первого датчика жестко связан с осью наружной рамки гироскопа, а основание - с корпусом ракеты. У потенциометрического датчика угла вращения движок закреплен на оси внутренней рамки (ею является кожух гиромотора), а основание жестко связано с наружной рамкой гироскопа.

Сигналы с датчиков углов поступают на усилители-преобразователи УП (см. рис. 1.29), в которых усиливаются по мощности и преобразуются. С выхода усилителей-преобразователей управляющие сигналы (обычно ими являются электрические напряжения или токи) подаются на рулевые приводы поворачивающие управляющие органы ракеты таким образом, чтобы создаваемый ими момент стремился ликвидировать возникшие по тем или иным причинам отклонения угловых координат ракеты от программных значений.

Поворот управляющих органов ракеты требует значительных усилий, поэтому для их привода широко применяются электрогидравлические устройства. Чтобы обеспечить пропорциональность угла отклонения управляющих органов входному сигналу или рулевые приводы, как правило, выполняются в виде замкнутых систем, содержащих сравнивающий элемент СЭ, усилитель мощности УМ, двигатель того или иного типа (обычно называемый рулевой машинкой РМ) и датчик обратной связи ДОС (рис. 1.32, а). Замкнутый рулевой привод представляет собой разновидность следящей системы, осуществляющей слежение угла отклонения управляющих органов 6 за входным сигналом а. В качестве примера на рис. 1.32,6 показана одна из возможных схем электрогидравлического рулевого привода. Привод состоит из усилителя мощности УМ, электромагнитного преобразователя ЭМП, силового гидроцилиндра 5, поступательное перемещение поршня которого преобразуется в угол поворота вала 6, связанного с управляющими органами ракеты, и потенциометра обратной связи П, выходное напряжение которого пропорциональное углу 6 отклонения управляющих органов, вычитается из напряжения на, поступающего на вход привода с усилителя-преобразователя автомата угловой стабилизации. Рабочая жидкость подается в гидроцилиндр шестеренчатым насосом 4 по двум трубопроводам, в каждом из которых предусмотрен канал для слива рабочей жидкости, перекрываемый заслонкой 3.

Электромагнитный преобразователь состоит из ярма, на котором размещены две включенные последовательно поляризующие обмотки, подключенные к источнику постоянного напряжения, и якоря 1, несущего на себе обмотку управления, на которую подается выходной сигнал усилителя мощности. С якорем жестко связано подвешенное на пружинах коромысло 2, соединенное с дросселирующими заслонками 3.

Схема работает следующим образом. При на выходе усилителя мощности появляется ток направление которого зависит от знака ошибки Создаваемое этим током в обмотке управления магнитное поле взаимодействует с полем поляризующих обмоток, что вызывает поворот якоря 1 и

связанного с ним коромысла 2 относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, на угол, величина которого пропорциональна (в определенных пределах) величине тока а знак зависит от направления этого тока. При повороте коромысла одна из дросселирующих заслонок 3 опускается, а вторая - поднимается. Это приводит к тому, что в одном из питающих трубопроводов давление возрастает, а в другом - уменьшается. В результате поршень гидроцилиндра приходит в движение и поворачивает вал ним и управляющие органы ракеты. С валом 6 связан движок потенциометра об ратной связи П. Поэтому поворот управляющих органов ракеты будет продолжаться до тех пор, пока напряжение не уравновесит входное напряжение из ток и подвижные части привода занимают изображенное на рисунке положение, в котором заслонки 3 одинаково перекрывают сливные отверстия, и поршень гидроцилиндра неподвижен). Так как коэффициент пропорциональности), то из равенства из следует, что в рассмотренной схеме угол поворота управляющих органов пропорционален входному сигналу

Рис. 1.32. Функциональная схема рулевого привода (а) и упрощенная схема рулевого привода электрогидравлического типа (б)

Автомат угловой стабилизации даже при идеально точной его работе не может обеспечить полет ракеты по программной траектории при наличии возмущений, так как его чувствительные элементы не реагируют на перемещение центра масс ракеты. Поэтому при повышенных требованиях, предъявляемых к точности стрельбы, в состав системы управления вводится, кроме автомата угловой стабилизации, автомат стабилизации движения центра масс.

Автомат стабилизации движения центра масс совместно с ракетой образует замкнутую многомерную систему регулирования, предназначенную для изменения координат центра масс ракеты по программному закону: так как программная траектория лежит в плоскости стрельбы. Для определения координат центра масс в автономных системах используется инерциальный принцип, основанный на измерении составляющих полного ускорения ракеты по осям стартовой системы координат при помощи акселерометров с последующим двукратным интегрированием их выходных сигналов (рис. 1.33). Интегрирование показаний акселерометров А может быть осуществлено при помощи пассивных электрических цепей, операционных усилителей постоянного тока, интегрирующих приводов и др. В большинстве

случаев интегратор ускорения, ИУ конструктивно и схемно объединяется с акселерометром в одном устройстве, называемом интегрирующим акселерометром И А, а интегратор скорости ИС чаще всего выполняется в виде самостоятельного устройства.

В общем случае для стабилизации движения центра масс ракеты необходимы три акселерометра, оси чувствительности которых стабилизируются в требуемом направлении при помощи гироскопических устройств. Требования к точности работы акселерометров предъявляются очень высокие (предельная относительная погрешность порядка Поэтому обычно оси чувствительности акселерометров стабилизируют не по стартовым, а по программным осям ракеты. Объясняется это тем, что направление программной оси опхп близко к направлению вектора полного ускорения движения центра масс, вследствие чего проекции полного ускорения на программные оси опуп и опгп оказываются сравнительно небольшими по величине и могут быть измерены достаточно точно при помощи простых по конструкции и весьма компактных маятниковых акселерометров.

Что же касается проекции полного ускорения ракеты на программную ось опхп (или направление, близкое к ней), то она измеряется гироскопическими устройствами типа тяжелого гироскопа, обладающими высокой точностью при больших пределах измерения.

Рис. 1.33. Функциональная схема измерения одной из координат движения центра масс ракеты

Любые акселерометры используют в качестве чувствительного элемента некоторую массу, которая перемещается относительно основания при движении последнего с ускорением. Силы тяготения приложены как к массе, так и к основанию акселерометра и не могут вызвать их относительного перемещения при движении в поле тяготения. Поэтому при помощи акселерометров может быть измерено не истинное, а только так называемое кажущееся ускорение центра масс ракеты, обусловленное силами негравитационного характера. Одно- двукратное интегрирование кажущегося ускорения дает кажущиеся скорость и координату. Использование кажущихся ускорений, скоростей и координат вместо истинных приводит к появлению методической ошибки, имеющей сравнительно небольшую величину. Существование этой ошибки оправдывается значительным упрощением системы управления, которое дает применение кажущихся параметров движения вместо истинных.

Обозначим через отклонения центра масс ракеты о от программного положения вдоль осей программной системы координат. Тогда задача автомата стабилизации движения центра масс будет заключаться в выполнении равенств с требуемой степенью точности. Любое из отклонений х, можно ликвидировать за счет составляющей силы тяги, направленной в сторону уменьшения отклонения (рис. 1.34). Так как вектор тяги жестко связан с корпусом ракеты, то создание такой составляющей возможно только посредством поворота ракеты относительно соответствующей связанной оси. Отсюда следует, что работа автомата стабилизации движения центра масс зависит от работы автомата угловой стабилизации и оба эти автомата должны рассматриваться совместно.

Для ракет с жидкостными реактивными двигателями автомат стабилизации движения центра масс состоит из трех одномерных регуляторов, каждый из которых обеспечивает программное изменение одной из координат центра масс ракеты. Эти регуляторы называются каналами нормальной стабилизации, боковой стабилизации и стабилизации скорости.

Канал нормальной стабилизации вместе с каналом тангажа автомата угловой стабилизации ликвидирует отклонения движения центра масс ракеты от программного в направлении программной оси опуп (которое достаточно близко к направлению нормали к программной траектории вследствие малости программного угла атаки), т. е. с требуемой степенью точности обеспечивает выполнение равенства Чувствительным элементом канала нормальной

стабилизации является интегрирующий акселерометр (рис. 1.35, а), ось чувствительности которого ориентирована по оси опуп программной системы координат и поворачивается вместе с ней (например, от программного механизма ПМ канала тангажа) в процессе движения ракеты на программной траектории. Выходной сигнал акселерометра пропорциональный проекции кажущейся скорости ракеты на его ось чувствительности, поступает на вход интегратору скорости в котором происходит интегрирование сигнала и формирование управляющего сигнала для канала нормальной стабилизации (обычно сигнал зависит как от самого отклонения у, так и от скорости его изменения Управляющий сигнал (Ту подается на рулевые приводы, отклоняющие управляющие органы 2 и 4 ракеты таким образом, чтобы ликвидировать отклонение у.

Канал нормальной стабилизации и канал тангажа в совокупности образуют систему управления нормальным движением ракеты, под которым понимается движение ракеты в плоскости, параллельной плоскости стрельбы.

Канал боковой стабилизации вместе с каналом рыскания автомата угловой стабилизации ликвидирует отклонения центра масс ракеты от плоскости стрельбы, т. е. с требуемой степенью точности обеспечивает выполнение равенства Его функциональная схема

Канал боковой стабилизации и канал рыскания в совокупности образуют систему управления боковым движением ракеты, под которым понимается движение ракеты в плоскости, параллельной плоскости

Смысл разделения полного движения ракеты на нормальное и боковое состоит в том, что при достаточно качественной стабилизации ракеты по углу вращения нормальное и боковое движения могут рассматриваться независимо друг от друга.

Теоретические исследования и экспериментальные пуски баллистических ракет показывают, что отклонение х в конце активного участка полета мало влияет на точность стрельбы по сравнению с отклонением величины скорости ракеты V от ее программного значения Поэтому для баллистических ракет с жидкостными реактивными двигателями вместо программного регулирования координаты центра масс обычно предусматривают программное регулирование кажущейся скорости ракеты. Эту задачу решает регулятор кажущейся скорости, представляющий собой третий канал автомата стабилизации движения центра масс. Чувствительным элементом регулятора является измеритель кажущейся скорости в виде тяжелого гироскопа (рис. 1.36).

Рис. 1.36. Функциональная схема регулятора кажущейся скорости ракеты

Ось чувствительности измерителя обычно стабилизируется в плоскости стрельбы по некоторому направлению близкому к направлению вектора программной скорости ракеты БР в конце активного участка полета. В результате с потенциометрического (или иного) датчика угла измерителя скорости снимается напряжение пропорциональное отклонению проекции кажущейся скорости на ось чувствительности тяжелого гироскопа от ее программного значения задаваемого программным механизмом ПМ посредством разворота основания потенциометра. После преобразования и усиления в усилителе-преобразователе УП это напряжение поступает на привод регулятора скорости изменяющий режим работы турбона-сосного агрегата (а вместе с ним и двигателя ракеты) таким образом, чтобы обеспечить с требуемой точностью выполнение равенства Если двигательная установка ракеты состоит из нескольких жидкостно-реактивных двигателей то каждый из них снабжается регулятором скорости описанного типа.

Ранее рассмотрены основные регуляторы, входящие в состав системы управления полетом баллистической ракеты. Кроме них, в состав бортовой аппаратуры ракеты входит большое число разнообразных автоматических устройств и систем, выполняющих функции, не связанные непосредственно с задачей управления движением (устройства энергоснабжения, коммутационная аппаратура и др.).

Приведенный пример показывает, что многомерные системы регулирования существенно сложнее одномерных систем. Однако во многих практически важных случаях исследования многомерных систем удается свести к изолированному рассмотрению одномерных систем, входящих в их состав. Поэтому первые главы книги посвящены рассмотрению более простого для понимания одномерного случая.

По своей структуре все многомерные системы являются многоконтурными.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене) .
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.
***
Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P .
Двухмерная система координат
P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось O X ), вертикальная ось - осью ординат (ось ОY). Положительные направления выбирают на оси O X - вправо, на оси O Y - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Трехмерная система координат
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектора (см. РАДИУС-ВЕКТОР) r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
Через произвольную точку пространства O - начало координат - проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось O X (ось абсцисс), ось O Y (ось ординат), ось O Z (ось аппликат).
На осях координат могут задаваться единичные вектора i , j , k по осям OX ,OY , OZ соответственно.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат. В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси O X - на наблюдателя; по оси OY - вправо; по оси OZ - вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z , то получится движение по правилу правого винта.
Запись P(a,b,c) означает, что точка Р имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.
Каждая тройка чисел (a,b,c) задает единственную точку Р. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.
Координатная плоскость X O Y содержит оси O X и O Y , координатная плоскость Y O Z содержит оси O Y и O Z , координатная плоскость X O Z содержит оси O X и O Z .

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ" в других словарях:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь

Прямоугольная, или декартова система координат наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве. Содержание 1 Прямоугольная система координат на плоскости … Википедия

декартова система координат

Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Книги

• Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .

Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.

x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .

Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .

Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .

Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .

Задачи о точках в декартовой системе координат

Пример 1.

A (2; -3) ;

B (3; -1) ;

C (-5; 1) .

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

A x (2; 0) ;

B x (3; 0) ;

C x (-5; 0) .

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-3; 2) ;

B (-5; 1) ;

C (3; -2) .

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

A y (0; 2) ;

B y (0; 1) ;

C y (0; -2) .

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (2; 3) ;

B (-3; 2) ;

C (-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :

A" (2; -3) ;

B" (-3; -2) ;

C" (-1; 1) .

Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-2; 5) ;

B (3; -5) ;

C (a ; b ) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-1; 2) ;

B (3; -1) ;

C (-2; -2) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :

A" (1; 2) ;

B" (-3; -1) ;

C" (2; -2) .

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (3; 3) ;

B (2; -4) ;

C (-2; 1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A" (-3; -3) ;

B" (-2; 4) ;

C (2; -1) .

Пример 8.

A (4; 3; 5) ;

B (-3; 2; 1) ;

C (2; -3; 0) .

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy ;

2) на плоскость Oxz ;

3) на плоскость Oyz ;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :

A xy (4; 3; 0) ;

B xy (-3; 2; 0) ;

C xy (2; -3; 0) .

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :

A xz (4; 0; 5) ;

B xz (-3; 0; 1) ;

C xz (2; 0; 0) .

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :

A yz (0; 3; 5) ;

B yz (0; 2; 1) ;

C yz (0; -3; 0) .

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

A x (4; 0; 0) ;

B x (-3; 0; 0) ;

C x (2; 0; 0) .

5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

A y (0; 3; 0) ;

B y (0; 2; 0) ;

C y (0; -3; 0) .

6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

A z (0; 0; 5) ;

B z (0; 0; 1) ;

C z (0; 0; 0) .

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A (2; 3; 1) ;

B (5; -3; 2) ;

C (-3; 2; -1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy ;

2) плоскости Oxz ;

3) плоскости Oyz ;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :

A" (2; 3; -1) ;

B" (5; -3; -2) ;

C" (-3; 2; 1) .

2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :

A" (2; -3; 1) ;

B" (5; 3; 2) ;

C" (-3; -2; -1) .

3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :

A" (-2; 3; 1) ;

B" (-5; -3; 2) ;

C" (3; 2; -1) .

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:

A" (2; -3; -1) ;

B" (5; 3; -2) ;

C" (-3; -2; 1) .

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:

A" (-2; 3; -1) ;

B" (-5; -3; -2) ;

C" (3; 2; 1) .

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:

A" (-2; -3; 1) ;

B" (-5; 3; 2) ;

C" (3; -2; -1) .

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.