Ортогональные сигналы для чайников. Ортогональные сигналы. Скалярное произведение сигналов

Увеличение числа уплотняемых каналов без увеличения числа физических линий возможно путём наделения сигналов особыми индивидуальными признаками, которые бы приводили к различению уплотняемых каналов с целью их дальнейшего разделения. Такими признаками в обще случае могут быть параметры переносчиков сигналов: амплитуда, частота, фаза в случае непрерывной модуляции, временное положение, длительность или форма импульсов при дискретной модуляции.

Пусть необходимо организовать одновременную и независимую работу индивидуальных каналов по общему групповому тракту. Предположим, что каждый канал есть результат я балансной амплитудной или узкополосной угловой модуляции первичного сигнала, линеаризованная модель которых в упрощённой форме имеет вид

, (6.5)

где
соответственно первичный сигнал и функция переносчика-го канала,
.

Будем также полагать, что сумма верхних границ эффективно передаваемых участков спектра первичных сигналов намного меньше частотыканальных переносчиков, т.е.

для всех
. (6.6)

Сигнал группового
тракта в соответствии с формулами (6.5) и (6.2) равен

. (6.7)

Функцию модели группового сигнала можно увязать с фильтрующими свойствами дельта-функции (см. также формулу (4.9) третьей главы), а именно

где
дельта-функция;
-ый дискретный отсчёт сигнала
;
время дискретизации.

Согласно (6.7) подставим в (6.8) значения канальных сигналов
, взятые в отсчётные моменты времени
,

. (6.9)

Если считать, что в канале передачи отсутствуют искажения и помехи, то оценка группового сигнала
(см. рисунок 6.1) равна сигналу
.

На приёмной стороне системы будем наблюдать за сигналом
в течение короткого промежутка времени, также для удобства возьмём
. Так как интервалотносительно короткий, то согласно (6.6) изменение сигналов
,
будет обусловлено действием только одних переносчиков, а не первичных сигналов. Тогда можно положить, что значения первичного сигнала являются константами для выбранного промежутка времени наблюдения, т.е.

,
. (6.10)

Нетрудно видеть, что условие (6.9) будет выполняться, если будут соблюдаться система равенств по отдельным отсчётам группового сигнала:

(6.11)

Система (6.11) получена с учётом (6.10).

Выражение (6.11) может быть переписано в компактной матричной форме. Введем в рассмотрение вспомогательный вектор отсчётов группового сигнала, вектор первичных сигналови матрицу переносчиков
:

.

С учётом введенных обозначений система (6.11) будет описываться так

. (6.12)

Так как передача группового сигнала происходит без искажения, то выделение первичных сигналов осуществляется по данным отсчётов группового сигнала. При этом признаки канальных сигналов определяются матрицей переносчиков
, которая должна быть «известной» для аппаратуры разделения каналов в приёмной части многоканальной системы. Другими словами, задача разделения каналов сводится к определению вектора отсчётных значений первичных сигналовпри условии, что известными являются вектор наблюдения группового сигналаи матрица переносчиков
. Следовательно, чтобы определить векторнадо решить систему линейных уравнений (6.12). Решение (6.12) можно записать в виде

где
матрица обратная
;
единичная матрица размерности
. Как видно из (6.13), решение системы линейных уравнений (6.12) связано с обращением квадратной матрицы переносчиков
.

Из курса линейной алгебры известно, что обращение квадратной матрицы связано с вычислением её определителя. Обозначим определитель матрицы
как
. Также из теории решения линейных уравнений известно, что единственность (однозначность) решения (6.13) возможно, если

. (6.14)

Ненулевое значение определителя (6.14) возможно тогда и только тогда, когда столбцы (и строки) матрицы
линейно независимы. Условие линейной независимости столбцов формулируется так: взвешенная сумма столбцов матрицы
равна нулевому вектору, т.е.

, (6.15)

только тогда, когда числа . Если найдётся хотя бы одно число
, то определитель (6.14) будет равен нулю и система (6.12) не будет иметь единственного и однозначного решения, что говорит невозможности разделения каналов на приёмной стороне многоканальной системы.

Каждый столбец представлен в (6.15) отсчётами переносчиков -го канала. Следовательно, первое условие построения многоканальных систем связи заключается в обеспечениилинейной независимости переносчиков канальных сигналов.

Переносчики сигналов могут быть представлены непрерывными функциями времени
(
). В общем случае условие линейной независимости переносчиков канальных сигналов записывается в виде

только когда для некоторого временного интервала
, в течение которого осуществляется многоканальная передача сигналов.

Например, гармонические переносчики вида
(
) являются линейно независимыми, если будут иметь разные частотыдля каждого канала. В противном случае они будут линейно зависимыми, даже, если будут характеризоваться разными значениями амплитуд.

Как видно из формулы (6.13) для того, чтобы восстановить вектор первичного сигнала необходимо произвести обращение матрицы
, что является достаточно трудоёмкой операцией, которая усложняется при увеличении
количества каналов.

Решение уравнения (6.12) существенно упрощается, если матрица E является ортогональной, т.е. её обратная матрица равняется транспонированной матрице

и
. (6.16)

Выпишем подробнее произведение матриц
и приравняем его единичной матрице:

.

Из последнего равенства нетрудно установить новое свойство переносчиков: сумма произведения дискретных отсчётов «одноимённых» (с одним и тем же индексом одним и тем же номером канала
) переносчиков не равна нулю, а «разноимённых» (для разных индексовразных каналов
)равна нулю, т.е.

(6.17)

Свойство (6.17) определяет ортогональность переносчиков «разноимённых» канальных сигналов.

По существу левая часть выражения (6.17) в
-мерном пространстве Евклида есть скалярное произведение векторови, т.е.

, (6.18)

где
индекс транспонирования. Скалярное произведение отражает проекцию векторов друг на друга. Так, если
векторыиортогональны, то их взаимная проекция равна нулю. Если
, то сумма (6.17) и (6.18) равна квадрату длины (нормы) вектора.

Следует заметить, что если переносчики сигналов ортогональны, то решение линейной системы уравнений (6.12) резко упрощается

В общем случае, при
пространство Евклида переходит в бесконечномерное пространство Гильберта. В этом случае скалярное произведение отсчётов (6.17) заменяется скалярным произведением непрерывных функций переносчиков. Для вещественных функций переносчиков
и
принцип ортогональности на конечном временном интервале наблюдения
примет вид

. (6.20)

Для бесконечного интервала наблюдения
ортогональность непрерывных переносчиков будет иметь вид

где
некоторая весовая функция (смысл её поясняется ниже).

Представленные основы теории линейного разделения каналов были построены без учёта действия помех и искажений в каналах передачи. В этих условиях построение многоканальных систем может осуществляться без особой разницы, как из условия линейной независимости, так и условия ортогональности канальных переносчиков . Однако при наличии в каналах помех предпочтение отдаётся многоканальным системам с ортогональными переносчиками, позволяющими повысить помехоустойчивость передаваемых сигналов.

Спектральное представление сигналов. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала - это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2, ... (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты C m =(s,u m), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье.

Двасигнала и и v называются ортогональными , если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H- гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени , конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций {u 0 ,u 1 ,….,u n ,…}, ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

0, если i j

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис .

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию и k произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

(3.4)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

Прежде чем рассматривать общий случай когерентного приема, полезно и поучительно остановиться на частном слуяае ортогональных сигналов. Если при всех , получается существенное упрощение выражения для вероятности ошибки, так как в этом случае корреляционная матрица превращается в единичную (8.8) и переходит в следующее соотношение:

Заметим, что формула (8.9) представляет и общую вероятность ошибки, так как представляет просто переменную интегрирования и, следовательно, не зависит от переданного сигнала.

В § 8.1 были рассмотрены два примера ортогональных сигналов, соответствующих дискретной фазово-импульсной модуляции и дискретной частотной функции. Предположим, что время передачи сигнала равно Т, а мощность сигнала S. Тогда энергия сигнала

Каждый сигнал передает символов сообщения. Так как по предположению все символы независимы и с равной вероятностью могут быть нулями и единицами, то безошибочному приему сигнала соответствует прием k бит информации. Следовательно, скорость передачи информации,

которую обозначим R, равна

С помощью (8.10) и (8.11) можно выразить основной параметр через отношение сигнал/шум , скорость передачи R и число сигналов М:

При сравнении качества двух систем связи с различным числом передаваемых сигналов разумно предполагать одинаковые значения отношения и R и не одинаковые значения отношения . На рис. 8.3 показана зависимость вероятности ошибки от при . Кривые были построены на основании результатов численного интегрирования (8.9) с помощью вычислительной машины IBM 704 .

Вероятность ошибки представляет вероятность неправильного приема последовательности из k бит, т. е. вероятность того, что появится ошибка в одной или нескольких битах из последовательности k бит. Сравним эти соотношения с соотношениями для когерентной двоичной системы связи, рассмотренной в § 7.1. Предположим, что с помощью такой системы были переданы k последовательных бит. Было показано, что вероятность ошибки при приеме любого одного бита равна , где Е - энергия сигнала и - скалярное произведение сигнала . Так как передается только один бит, то . Для того чтобы минимизировать ошибку, необходимо применить противоположные сигналы, так что . Наконец, вероятность правильного приема k последовательных бит равна k-й степени вероятности правильного приема одного бита. Следовательно, вероятность ошибки в одном или нескольких последовательных битах из переданных k бит при применении двоичной когерентной системы связи и использовании противоположных сигналов равна

(см. скан)

Рис. 8.3. Вероятность ошибки для ортогональных сигналов (k = 1, 2.....10, 15, 20).

Этот случай назовем некодированной передачей. На рис. 8.4 и 8.5 показаны для сравнения вероятности ошибок при некодированной передаче и при кодированной передаче с ортогональными сигналами для k = 5 и 10, вычисленные согласно (8.13) и (8.9) соответственно. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях необходимая мощность сигнала уменьшается почти в два раза при и почти в четыре раза при . Другими словами, при фиксированных значениях и применение кодирования дает возможность приблизительно удвоить скорость передачи данных при и учетверить ее при k = 10.

Вероятность ошибочного приема последовательности можно принять за меру качества, например, в случае передачи сообщений, состоящих из k бит и соответствующих символам телетайпа или квантованным выборочным данным. С другой стороны, если передается последовательность независимых бит то нужно определить вероятность ошибочной передачи определенного бита. Если при ортогональных сигналах произошла ошибка, то может быть выбрано с одинаковой вероятностью решение о неправильности любого из сигналов. Это следует из того, что скалярные произведения всех пар сигналов равны (в рассматриваемом случае равны нулю). Таким образом, если произошла ошибка, то вероятность того, что искажены i из k бит, равна Следовательно, среднее число искаженных бит равно

1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов

Продемонстрируем вначале возможность построения простейших множеств ортогональных сигналов за счет дробления доступного частотно-временного ресурса.

1.5.1. Кодирование временным сдвигом

Этот достаточно тривиальный способ кодирования означает, что каждый из сигналов сдвинут по времени относительно предшествующего на интервал, равный индивидуальной длительности сигнала . Очевидно, что не перекрывающиеся во временной области сигналы являются ортогональными (см. рисунок):

Для каждого индивидуального сигнала частотно-временное произведение , так что данные сигналы относятся к разряду простых. Недостатки ее, однако, также довольно очевидны и должны соответствующим образом учитываться. Во-первых, необходима точная синхронизация, поскольку флюктуации временного положения сигналов потенциально способны вызвать перекрытие последних, нарушающее их ортогональность. Другим недостатком этого простейшего ортогонального кодирования является то, что для сохранения требуемой энергии каждого сигнала необходимо обеспечить высокую пиковую мощность. Чем выше единицы значение пик-фактора (отношения пиковой мощности к средней), тем более жесткие требования предъявляются к линейности усилителя и, как итог, хуже его энергетические показатели. Для временного кодирования при .

1.5.2. Кодирование частотным сдвигом

Другим прямым способом реализации ортогональности служит кодирование частотным сдвигом . На основании дуальности времени и частоты или теоремы Парсеваля скалярные произведения сигналов и их спектров совпадают:

,

что позволяет механически перенести только что обсужденную схему в частотную область (см. рисунок).

При полном перекрытии сигналов во времени каждый из них занимает полосу не менее . Понятно, что каждый индивидуальный сигнал опять не является сигналом с распределенным спектром, поскольку его частотно-временное произведение , и значит, любая система со сколь угодно большим числом ортогональных сигналов подобного сорта, конечно, не является системой с распределенным спектром.

В отличие от кодирования временным сдвигом пик-фактор ортогональных сигналов данного вида и ошибки в синхронизации не играют столь критической роли, так как ортогональность достигается отсутствием перекрытия в частотной области. Вместо этого деструктивным в некоторых случаях может оказаться дрейф спектра (к примеру, вследствие эффекта Доплера). Тем не менее данный способ передачи чрезвычайно популярен и примером его непосредственного воплощения служит традиционная -ичная частотная манипуляция.

1.5.3. Ортогональное кодирование широкополосными сигналами

Двум ранее рассмотренным методам ортогональной передачи присуще дробление общего частотно-временного ресурса. Первый из них предполагает выделение некоторой части общего временного пространства каждому сигналу, тогда как частотная область совместно используется всеми сигналами. При втором же способе роли временного и частотного пространства меняются местами. Распределение выделенного ресурса при временном и частотном кодировании иллюстрирует ниже приведенный рисунок.

Альтернативой этим простейшим способам кодирования может служить метод, в котором любой сигнал занимает все доступное частотно–временное пространство: , , вследствие чего все сигналы являются широкополосными, поскольку

.

В этих условиях все сигналы совместно используют общий частотно-временной ресурс без распределения или дробления последнего (см. рисунок, на котором третья ось используется для нумерации сигналов).

Рассмотрим простой пример воплощения подобной идеи в форме дискретных БФМ сигналов. Образуем каждый из сигналов как последовательность следующих друг за другом элементарных импульсов или чипов прямоугольной формы и длительности с изменяющейся полярностью. Предположим использование таких законов чередования полярности чипов, что все сигналы оказываются ортогональными, как это имеет место в примере для M =4 на рисунке слева.

При нахождение законов чередования полярностей, обеспечивающих ортогональность сигналов, эквивалентно нахождению матрицы Адамара. Последняя является матрицей порядка M , состоящей только из элементов и обладающей ортогональными строками. Примеры матриц Адамара порядка два и четыре представлены ниже:

.

Достаточно мощным способом конструирования матриц Адамара служит рекуррентный алгоритм Сильвестра, позволяющий построить матрицу порядка , если уже была найдена матрица порядка :

.

Не трудно заметить, что, начиная алгоритм Сильвестра с простейшей матрицы , можно построить матрицы порядка , строками которых являются функции Уолша.

Ортогональные сигналы подобного типа лишены недостатков присущих сигналам, ортогональность которых обеспечивается временным или частотным кодированием. Они характеризуются пик-фактором, равным единице, и не требуют параллельных полосовых фильтров в приемнике. Относясь к широкополосным сигналам, они обладают всеми достоинствами широкополосной философии, которые будут рассмотрены позднее. Вследствие этого в настоящее время они находят широкое применение. Так следует упомянуть CDMA систему мобильного телефона 2-го поколения стандарта IS-95 (cdmaOne), в которой используются M =64 функции Уолша как в прямом (для образования каналов), так и в обратном (для рассмотренной выше 64-ичной передачи) каналах. В стандартах мобильной связи 3-го поколения WCDMA и cdma2000 планируется использовать значительно большее число (вплоть до 512) ортогональных сигналов на основе матриц Адамара.

Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 1.3-1.5. Как можно видеть, теоретически классическая задача -ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный -ичный ансамбль можно составить из простых сигналов. С другой стороны, существуют стимулы реализационного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема. Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временной ресурс принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным.

При исследовании некогерентного приема нам понадобятся такие понятия, как огибающая сигнала, его мгновенная фаза и мгновенная частота. Эти понятия довольно широко применяются в инженерной практике, но не всегда понимаются однозначно. В этом параграфе даются определения, которые будут использованы в этой и последующих главах. Хотя такие определения и не являются наиболее общими, они удобны для принятой здесь математической модели сигнала и помехи и достаточны для решения поставленных задач.

Пусть элемент сигнала , заданный на интервале , может быть представлен на этом интервале рядом (3.2):

Предположим, что все гармонические составляющие этого сигнала сдвинулись по фазе на некоторую величину . В результате получится сигнал

(4.4)

(4.5)

называют сопряженным с рядом . Он получается из поворотом фаз его составляющих на .

Выражение (4.4) можно записать в комплексной форме:

Комплексную функцию

(4.7)

назовем финитным аналитическим сигналом . Запишем аналитический сигнал в экспоненциальной форме:

(4.8)

- огибающая сигнала ;

(4.10)

Мгновенная фаза сигнала.

Производную по времени от мгновенной фазы называют мгновенной круговой частотой :

(4.11)

Легко видеть, что

(4.12)

Таким образом, все реализации сигнала , отличающиеся только сдвигом фазы составляющих ряда Фурье, имеют одинаковую огибающую и одинаковые мгновенные частоты, а их мгновенные фазы отличаются на .

Заметим, что приведенные определения огибающей и мгновенной частоты применимы к любому сигналу, выражаемому рядом (3.2), а не только к относительно узкополосным сигналам. Тем не менее представлением (4.12) особенно удобно пользоваться для узкополосных сигналов, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно меняющимися функциями времени, по сравнению с высокочастотным заполнением сигнала . Если - произвольно выбранная круговая частота в пределах той полосы частот, в которой сосредоточена основная часть мощности узкополосного сигнала, то функция также оказывается медленно меняющейся. При этом вместо (4.12) часто применяют такую запись:

(4.14)

Операцию преобразования функции в ее огибающую или в мгновенную частоту называют идеальным амплитудным или соответственно частотным детектированием. Для элемента сигнала, заданного на интервале эти операции физически реализуемы, если допустимо запаздывание на время, большее . Действительно, зная функцию на всем этом интервале, можно определить ее коэффициенты Фурье (см. рис. 3.1) и построить сопряженную функцию а затем воспроизвести (например, на вычислительной машине) и пo формулам (4.9) и (4.11). Реальный «линейный» амплитудный детектор выделяет огибающую поданного на него сигнала (или некоторую монотонную функцию от ) при условии, что его нагрузка является безынерционной для огибающей и полностью инерционной для высокочастотного заполнения сигнала . Очевидно, что эти условия противоречивы и могут быть выполнены лишь приближенно, с тем большей точностью, чем меньше отношение эффективной ширины спектра сигнала к его средней частоте. Аналогичное утверждение справедливо и для обычных частотных детекторов.

В дальнейшем будем рассматривать только сигналы с конечной базой, т. е. верхний предел суммирования в (3.2) и (4.5) будем считать сколь угодно большим, но конечным числом .

Сопряженные сигналы и ортогональны на интервале , т. е.

(4.15)

В этом легко убедиться, подставив в этот интеграл (3.2) и (4.5) и произведя почленное интегрирование:

Если два сигнала и взаимно ортогональны, то и сопряженные с ними сигналы и также ортогональны между собой. Для доказательства этого достаточно, представив сигналы соответствующими тригонометрическими полиномами, перемножить их и произвести интегрирование, в результате которого получим

Система сигналов называется ортогональной в усиленном смысле, если условия (4.18) выполняются для любой пары сигналов.