Критерии оценки помехоустойчивости информационных систем. Когерентный и некогерентный прием

Прием сигналов дискретной модуляции может осуществляться различными способами. В практике электросвязи широкое распространение получили два вида приема – когерентный и некогерентный.

Когерентный прием (КП) предполагает использование в ПРУ когерентного (синхронного) детектора, представляющего собой линейную систему с переменными параметрами. Схема детектора состоит из перемножителя и фильтра низких частот (ФНЧ). Перемножаются принятый сигнал и опорное (синхронизирующее) колебание Рассмотрим статические характеристики отклика когерентного детектора.

Пусть на вход детектора поступает узкополосное колебание в виде суммы гармонического сигнала и узкополосного гауссовского шума, т.е. Тогда при равенстве частот
(условия синхронности) и единичном коэффициенте передачи детектора отклик последнего равен
, где
– полезная сигнальная составляющая отклика, а
- его шумовая составляющая, равная. Полезная составляющая детерминирована, а шумовая составляющая имеет гауссовское распределение вероятностей. Следовательно, ФПВ отклика когерентного детектора при действии на входе сигнала и шума.

При отсутствии на входе детектора полезного сигнала отклик будет определяться только шумовой гауссовской составляющей с ФПВ (46 ), но при
.

Некогерентный прием (НП) предполагает использование в ПРУ некогерентного детектора, представляющего собой нелинейный (часто диодный) преобразователь и ФНЧ. Данный детектор называют еще амплитудным детектором (детектором огибающей), так как в отличие от когерентного детектора его отклик не зависит от фазы входного сигнала.

Если на вход некогерентного детектора действует только узкополосная гауссовская помеха
, то отклик детектора будет пропорционален ее огибающей с ФПВ Рэлея (43). При действии суммы гармонического сигнала и узкополосного шума ФПВ отклик некогерентного детектора совпадает с ФПВ огибающей входной смеси, т.е. подчинено распределению Райса (45).

Прием сигналов ДАМ можно осуществить как на когерентный, так и на не когерентный детекторы. Если при приеме сигналов ДЧМ выделение посылок разных частот производить двумя полосовыми фильтрами, то в каждом из каналов можно также использовать либо когерентный, либо некогерентный детектор. Для детектирования сигналов ДФМ используют фазовый детектор., являющийся когерентным детектором при

Следует отметить, что прием сигналов ДФМ на практике связан с рядом сложностей: невозможностью обеспечения необходимой стабильности частоты
и фазыопорного колебания; вредным явлением обратной работы – случайным изменением текущей фазы на противоположную, что приводит к неправильному опознанию кодовых символов. Поэтому более широкое применение в практике нашла относительная фазовая модуляция. Детектриование сигнала ДФМ производится двумя методами: методом сравнения фаз (СФ) и методом сравнения полярностей (СП). При методе сравнения фаз в фазовом детекторе сравниваются фазы текущего и предыдущего, задержанного на время, колебаний. В методе сравнения полярностей производится сравнение продетектированных текущей и задержанной напосылок, принимающих два значения
.

Схемы приемников различных сигналов дискретной модуляции приведены на рис. 6. Здесь наряду с описанными выше детекторами имеются элементы последетекторной обработки. К ним относятся дискретизатор и решающее устройство (РУ). К дискретизатору наряду с откликом детектора
подводятся дискретизирующие импульсы с периодом, необходимые для взятия одного отсчета в середине посылки длительностью. В РУ отсчетысравниваются с пороговым напряжениеми принимается решение - предана 1, если
, или передан 0, если
. Кроме того, на схемах введены обозначения: ВУ – вычитающее устройство; ЛЗ - линия задержки; ФОН - формирователь опорного напряжения.

Под действием помех в канале связи РУ может ошибаться (выносить неправильные решения). Ошибочные решения бывают двух видов: переход 0 в 1 (передавался) но РУ ошибочно выдала 1), характеризующийся условной (апостериорной) вероятностью ошибки
, переход 1 в 0 (передавалась 1, но РУ выдало решение 0) характеризующаяся условной вероятностью ошибки
.

За количественную меру помехоустойчивости в системах электросвязи принимают среднюю на бит вероятность ошибки

При равенстве априорных вероятностей
а также условных вероятностей(условие симметричного двоичного ДКС), средняя на бит вероятность ошибки равна
.

Условные вероятности ошибок находятся интегрированием условных ФПВ отклика детектора

где
и
- соответственно ФПВ откликов детекторов при условии формирования на передаче в сигнале ИКМ 0 или 1.

Оценим помехоустойчивость передачи двоичных символов при различных сигналах дискретной модуляции и различных методах их приема.

При передаче сигналов ДАМ (см. рис 4г ) символ 0 соответствует отсутствию сигнала, а символ 1 передаче сигнала с постоянной амплитудой. При этом на выходе детектора ПРУ при передаче символа 0 напряжение будет иметь ФПВ
шума, а при передаче 1 – ФПВ сигнала и шума
(см. рис. 6а ).

Когерентный прием (при
) сигнала ДАМ характерен гауссовским ФПВ отклика детектора

где
- табулированная функция Лапласа (17);– ОСШ,
.

Некогерентный прием сигнала ДАМ характерен рэлеевским и райсовским распределением отклика детектора

Для симметричного ДКС эти вероятности равны
. Из (52) определим порогчерез

Зависимость
от, полученная на основе решения (54), представлена в табл. 2.

Таблица 2.

При передаче сигналов ДЧМ (см. рис. 4д) символ 0 соответствует передаче сигнала на частоте , а символ 1 передаче сигнала на частоте. Из рис. 6б следует, что при передаче 0 через ПФ, настроенный на частоту , будет проходить сигнал с несущей частотойи шум в полосе пропускания этого ПФ. Симметричная картина наблюдается при передаче символа 1.

Ошибочные решения здесь будут тогда, когда отклик детектора в канале, по которому сигнал не передается, превзойдет значение отклика в канале, по которому сигнал передается.

Для симметричного ДКС с учетом сказанного получаем:

а при некогерентном приеме

При передаче сигналов ДФМ (см. (34) и рис. 4е ) символ 0 соответствует передаче сигнала с начальной фазой
, а символ 1 – передаче сигала с начальной фазой
. В этом случае отклик когерентного (фазового) детектора будет иметь ФПВ вида (46 ). Выбрав фазу опорного напряжения
, получаем

Оценим помехоустойчивость передачи двоичных носителей фазовой модуляции, когда прием производится по методу сравнения фаз (СФ) и по методу сравнения полярностей (СП).

Ошибочный прием двоичного символа при ДОФМ – СП имеет место (см. рис. 6г ), когда осуществляется одно из двух несовместных событий: 1) данный символ принят правильно, а предыдущий ошибочно; 2) данный элемент принят ошибочно, а предыдущий правильно. Вероятность появления какого – либо из этих двух несовместных событий есть
при ДОФМ – СП

Скорость передачи информации по дискретному каналу связи определяют как количество взаимной информации
, передаваемой по ДКС в единицу времени

где для двоичного ДКС
- двоичные символы (нули и единицы) на передаче;
- соответственно на приеме;
- энтропия принятой последовательности двоичных единиц:

Для двоичного симметричного ДКС, когда и одинаковы вероятности передачи, формула (62) с учетом (63) и (64) может быть представлена в виде

где энтропия ошибочных решений

Так как вероятность ошибок
для различных видов сигналов зависит от ОСШна входе детектора, то изависит от ОСШ. Для сравнения скорости
при данном виде модуляции и способе приема с пропускной способностью НКС (скорость передачи информации при идеальном кодировании и модуляции)
(см. соотношение (42)) вводят показатель эффективности

Эффективность системы передачи высока, если
и
; эффективность низка при
и
.

Обычно качество системы связи оценивают по ее помехоустойчивости, основной характеристикой которой является средняя вероятность ошибки при данном отношении сигнал-шум. При этом для некоторых систем интерес представляет вероятность ошибки в бите сообщения а для некоторых - во всем кодовом слове (сообщении) При декодировании с возможностью отказа будем различать вероятность ошибки в кодовом слове и вероятность отказа

Вероятность ошибки может быть определена как по точным формулам, так и по приближенным. Альтернативным путем вычисления вероятности ошибки является статистическое моделирование на ЭВМ, однако последнее возможно, если вероятность ошибки в символе на выходе декодера достаточно мала, и связано с большими вычислительными затратами.

Будем рассматривать и жесткое, и мягкое декодирование, причем в случае мягкого (и квантованного) декодирования

ограничимся Наряду с вероятностью ошибки важной характеристикой является энергетический выигрыш кодирования (ЭВК)

где - отношение сигнал-шум при вероятности ошибки в бите (либо в -ичном символе) по входу декодера - вероятность ошибки по входу декодера, приводящая к вероятности ошибки по выходу декодера. Энергетический выигрыш показывает, на сколько децибел можно уменьшить отношение сигнал-шум в системе с кодированием по сравнению с системой без кодирования при одинаковых вероятности ошибки и скорости передачи.

Утверждение 3.17. В системе с асимптотический (при в случае жесткого и мягкого декодирования соответственно равен

где -минимальное расстояние кода; число исправляемых ошибок.

Приведем теперь краткую сводку формул, позволяющих вычислять в различных случаях вероятности ошибок декодирования.

Утверждение 3.18. Вероятности ошибок и отказа от декодирования для блочного линейного кода при исправлении ошибок вычисляются по формулам

где - вероятность ошибки в символе на входе декодера; число слов веса

Утверждение 3.19. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого и мягкого декодирования вычисляется по аддитивной оценке

где отношение сигнал-шум на бит; число информационных символов кода; скорость кода, - интеграл вероятности.

Утверждение 3.20. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для мягкого канала вычисляется по тангенциальной оценке

где - граничное значение аргумента, а находится из уравнения

Утверждение 3.21. Вероятность ошибки в бите при пороговом (мажоритарном) декодировании двоичного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого, квантованного и мягкого каналов вычисляется по формулам

где вероятность того, что при данном выходе канала ошибка в проверке будет равна 1; черта сверху означает усреднение, а

Здесь вероятность жесткой ошибки; вероятности попадания в соответствующую зону квантования в канале с двумя входами и выходами, а число символов в проверке, попавших в зону квантования.

При каскадном кодировании легко вычислять вероятность ошибки, комбинируя оценки утверждений 3.18-3.21, при этом в формулу для вероятности ошибки в бите или слове внешнего кода в качестве вероятности ошибки символа подставляется вероятность ошибки в слове внутреннего кода. Если декодер внешнего кода исправляет ошибки и стирания, то вероятность ошибки в бите оценивается по формуле

где вероятность ошибки в символе; вероятность стирания символа; дробная часть числа число ошибок; число стираний. В случае OK-кодов порядка вероятности ошибки в слове и бите задаются следующими выражениями :

где длина внешнего кода; число информационных символов в внешнем коде; число информационных символов в внутреннем коде;

Соответственно вероятность ошибки в слове внешнего кода и вероятность ошибки в бите внешнего кода при ошибочном декодировании внешним кодом

На рис. 3.10 приведены результаты расчета по (3.43) вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов БЧХ длины от 31 до 1023 с относительными скоростями при жестком декодировании по расстоянию, а на рис. 3.11 - результаты расчета энергетического выигрыша

Рис. 3.10 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов при жестком декодировании

Рис. 3.11 Зависимость от вероятности ошибки в бите для кодов при жестком декодировании

кодирования от для кодов БЧХ длины 127; 255; 511 с числом исправляемых ошибок На рис. 3.12 приведены результаты расчета зависимости ошибки в слове от отношения сигнал-шум для декодирования по максимуму правдоподобия кодов (7,4); (18,9); (24,12); (48,24); (128,64) (первый член). Расчет проводился по аддитивной и тангенциальной оценкам. На рис. 3.13 приведены характеристики субоптимальных алгоритмов декодирования Чейза, Велдона и оптимального порогового алгоритма для кодов (24, 12, 8) и (21, 11, 6) при различном числе уровней квантования. В приведены параметры мажоритарных кодов и при (они чуть хуже, чем у кодов БЧХ).

На рис. 3.14 приведены результаты расчета зависимости нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными кодами, принимаемыми по максимуму правдоподобия, и внешними кодами РС с исправлением ошибок при вероятности, ошибки в бите .

На рис. 3.15 приведены результаты расчета -кодов порядка с внешними кодами РС длины и внутренними кодами длины Внутренние коды декодируются по максимуму правдоподобия, а внешние - с исправлением ошибок .

На рис. 3.14, 3.15 приведены также огибающие соответствующего множества точек. Каждой одной колоколообразной кривой соответствует своя система внутренних вложенных кодов.

Рис. 3.12. Зависимость вероятности ошибки в слове от нормированного отношения сигнал-шум при мягком декодировании по максимуму правдоподобия аддитивная оценка, - тангенциальная оценка): 1 - код (7, 4); 2 - код (18, 9); 3 - код (24, 12), 4 - код (48, 24); 5 - код (128, 64)

Рис. 3.13 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум при субоптимальном декодировании код ( код (21, 11,6): 1 - алгоритм Чейза № 1; 2 - алгоритм Чейза № 2; 3 - алгоритм Чейза № 3; 4 - алгоритм Велдона ; 5, 6, 7 - пороговое декодирование 4)

Важным элементом использования корректирующих кодов в системах связи с двоичной фазовой модуляцией является возможность обеспечения устойчивости к начальной неопределенности и случайным скачкам фазы опорного колебания (к «обратной работе»). Известны различные методы по борьбе с «обратной работой», в том числе в случае отсутствия кодирования - применение относительной модуляции . Однако при применении

Рис. 3.14. Зависимость нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными и внешними кодами при

Рис. 3.15. Зависимость от скорости OK-кода при мягком декодировании внутрених кодов по максимуму правдоподобия

кодирования методы относительной модуляции становятся неэффективными в связи с пакетированием ошибок на входе декодера (при внутренней по отношению к кодированию относительной модуляции) . Здесь коротко рассмотрим кодовые методы устранения неоднозначности фазы, так как другие методы слабо зависят от кодовых свойств или менее эффективны. Эти методы связаны с использованием прозрачных и фазируемых кодов .

Определение 3.16. Прозрачным назовем двоичный код, в котором содержатся инверсии всех кодовых слов. Фазируемым назовем двоичный код, в котором не содержатся инверсии всех кодовых слов.

Утверждение 3.22. Для того чтобы линейный двоичный код был Прозрачным, необходимо и достаточно, чтобы сумма строк порождающей матрицы была равна вектору из одних единиц. «Прозрачная» форма порождающей матрицы единственна с точностью до перестановки строк.

В приведена следующая сводка фактов, известных относительно прозрачных кодов:

1. Коды Хэмминга, Голея, Рида - Маллера, примитивные коды БЧХ, коды на основе матриц Адамара, коды РС, коды Нордстрома - Робинсона, Кердока, Препараты, квадратично-вычетные, совершенные и равномерно упакованные прозрачны.

2. Каскадные коды Форни, обобщенно-каскадные и итеративные коды прозрачны, если прозрачны составляющие их коды. Операция прямой суммы кодов сохраняет прозрачность.

3. Условие прозрачности циклических кодов - делимость на проверочного многочлена или отсутствие корня 1 у порождающего многочлена.

4. Если известен весовой спектр линейного кода А, то код А дуальный коду А, будет прозрачным при условии где мощность кода

5. Для нелинейных кодов условие симметричности спектра расстояний эквивалентно условию прозрачности. Для прозрачности нелинейного кода, дуального данному коду со спектром расстояния необходимо выполнение условия при где компонента спектра расстояний кода; значение многочлена Кравчука.

Из п. 3 следует, что коды нечетной длины с проверкой на четность фазируемы. Известны также верхние границы объема прозрачных кодов и некоторые свойства весового нумератора линейного прозрачного кода. В частности, весовой нумератор может быть представлен в виде многочлена от

причем степени только нечетны при четном и только четны при нечетном степень не превосходит степень не превосходит

Весовой нумератор дуального к прозрачному кода можно представить в виде многочлена от

Рассмотрим корректирующую способность фазируемых кодов. Предварительно опишем процедуру приема фазируемых кодов, совмещенную с оценкой неизвестной «фазы» (как и ранее, ограничимся двоичным случаем).

Пусть А - фазируемый код с параметрами , А - множество инверсий всех слов кода А. Сформируем новый код с параметрами Процедура приема выглядит так:

2) если решение декодера принадлежит подкоду А, положить сдвиг фазы и выдать решение;

3) если решение принадлежит подкоду А, положить инвертировать решение.

Для кодов БЧХ справедливо следующее

Утверждение 3.23. Прозрачный код с расстоянием есть объединение его фазируемого подкода А с расстоянием с инверсиями слов этого подкода, причем

Данное утверждение практически очевидно: если учесть, что порождающий полином прозрачного кода есть то порождающий полином фазируемого кода есть

Рассмотрим теперь мажоритарные коды. В дополнение к определенным выше понятиям введем свойство автоматической фазируемости как некоторое свойство фазируемого кода, описываемое через свойство его декодера. Пусть существует декодер фазируемого кода, исправляющий только ошибки в канале без скачков фазы. Для автоматически фазируемого кода потребуем, чтобы тот же декодер без каких-либо изменений его структуры в канале со скачками фазы одновременно исправлял бы и ошибки, и скачки фазы. Будем подразумевать, что используется алгоритм декодирования мажоритарных кодов без коррекции синдрома.

Утверждение 3 24. Если в каждой проверке относительно ошибочного символа содержится четное число символов, то код прозрачен и исправляет ошибок

Утверждение 3.25. Если число разделенных проверок относительно ошибочного символа нечетно и в каждой проверке содержится нечетное число символов, то код автоматически фазируем и исправляет ошибок

Рассмотрим теперь применение утверждений 3 24 и 3.25 к конкретным кодам Заметим, что любой евклидово-геометрический двоичный код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования такого кода каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек .

Любой проективно-геометрический код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек .

Утверждение 3.26. Любой двоичный евклидово-геометрический код прозрачен, а проективно-геометрический код автоматически фазируем.

Теперь кратко рассмотрим способы реализации алгоритмов кодирования и декодирования корректирующих кодов, причем основное внимание будем уделять уже реализованным системам. Подробный обзор реализованных систем кодирования приведен по сверточным кодам в , а по блочным - в .

Если в начальные периоды развития техники кодирования предпочтение отдавалось аппаратным способам реализации кодеков, то в последнее время предпочтение часто отдается программным методам реализации и комбинированным программно-аппаратным методам. Кроме того, при реализации аппаратными методами все большее внимание уделяется технологии БИС и СБИС.

Под помехоустойчивостью понимают способность информационной системы противостоять вредному действию помех. В результате действия помех принятое сообщение будет в какой-то мере отличаться от переданного. Поэтому помехоустойчивость можно характеризовать как степень соответствия принятого сообщения переданному при заданной помехе. При сравнении нескольких систем та из них будет более помехоустойчивой, которая при одинаковой помехе обеспечит меньшее различие между принятым и переданным сообщениями.

Имеется несколько способов введения количественных характеристик помехоустойчивости. Рассмотрим сначала способы описания помехоустойчивости дискретных систем. Эти системы характерны тем, что все возможные сигналы конечной длительности образуют дискретное конечное множество; пусть общее число возможных сигналов равно N. Действие шумов сводится к тому, что некоторые символы в сигнале подменяются другими, в результате чего вместо переданного (например, i- го) сигнала принимается другой (например, k- й) сигнал. Помехоустойчивость системы связи наиболее полно может быть охарактеризована набором вероятностей {P ik } того, что при передаче i- го сигнала будет принят k- й (i,k= 1,2,...,N ); и если мы хотим задать требования к помехоустойчивости системы с учетом ценности каждого из сообщений в отдельности, то задание всей матрицы {P ik } необходимо.

Однако сравнение систем по их матрицам {P ik } (которые можно назвать «стохастическими матрицами трансформации сообщений» связано с рядом затруднений, а часто и не необходимо: достаточно ввести более простые характеристики помехоустойчивости. К таким простым параметрам относится, например, средняя вероятность ошибочного приема, Р ош.ср. :

где p i – вероятность передачи i- го сигнала.

Другим собирательным параметром, характеризующим помехоустойчивость системы, может служить остаточная средняя неопределенность относительно переданного сообщения, т.е. энтропия

Н 0 = -(1 – Р ош.ср.) log (1 – P ош. ср.) – Р ош.ср. log Р ош.ср. (9.3)

Для непрерывных систем связи описание помехоустойчивости требует специфического подхода, так как множество возможных сигналов даже конечной длительности несчетно. Действие шумов в линии связи сводится к тому, что вместо отправленного сигнала x(t) на выходе премника наблюдается другая функция времени, y(t). Чем ближе y(t) к x(t) при заданном шуме, тем более устойчива система по отношению к данной помехе. Для количественного описания помехоустойчивости необходимо ввести меру различия двух функций x(t) и y(t) . Чаще всего в качестве такой меры принимается средний квадрат разности сравниваемых функций:

(9.4)

«Расстояние» между функциями x(t) и y(t) может быть также определено с помощью так называемой абсолютной ошибки

(9.5)

Другим способом является «частотно-взвешенный эффективный критерий» . Идея этого критерия состоит в том, чтобы придавать различным частотным компонентам разности х и у разные веса. Это эквивалентно пропусканию разности x(t) – y(t) через фильтр с определенной переходной функцией h(t) ; выходной сигнал такого фильтра выразится как

(9.6)

«Расстояние» между функциями x(t) и y(t) определится как средняя мощность сигнала на выходе рассматриваемого гипотетического фильтра:

(9.7)

Введенные выше меры различия отправляемого и принимаемого сигналов могут служить основой для характеристики помехоустойчивости систем. Например, система может считаться достаточно помехоустойчивой, если «расстояние» между отправленным сигналом и сигналом на выходе системы не превышает заданной величины.

В качестве меры помехоустойчивости могут быть приняты и другие числовые характеристики, например, логарифм обратной величины среднеквадратичной ошибки в непрерывном случае, минус логарифм вероятности ошибки в дискретном случае, различным способом введенные понятия эквивалентного отношения сигнала к шуму и пр.

В реальных системах связи прием осуществляется в условиях влияния помех. Это приводит к искажению сигнала, которое имеет случайный характер и усложняет процесс различения этих сигналов.

При оценке помехоустойчивости систем передачи информации анализ проводят с точки зрения обеспечения верности передачи сообщений по каналу связи, которая нужна, при заданных уровнях и характере сигнала и помех.

Количественная оценка помехоустойчивости системы передачи информации может быть проведена по степени соответствия принимаемых сообщений переданным в заданных условиях приема.

Оптимальным является приемное устройство, которое обеспечивает при заданном критерии оптимальности максимальную степень соответствия принимаемых сообщений переданным, т.е. высочайшую помехоустойчивость. Эту предельно достижимую в заданных условиях приема помехоустойчивость называют потенциальной помехоустойчивостью .

Прием двоичных сигналов представляет собой в общем случае статистическую задачу различения двух сигналов хотя бы по одному из его параметров (амплитуде, частоте, фазе и т.д.) при наличии помех.

Пусть на вход приемного устройства поступает смесь напряжений сигнала и флуктуационной помехи :

,

Чем больше априорная информация о параметрах сигналов, тем больше вероятность их правильного различения. В данном случае рассматривается ситуация, при которой все параметры сигналов (в том числе и их фазы) точно известны. По результатам наблюдения за реализацией принятого колебания необходимо с учетом критерия оптимальности определить, который из двух возможных символов или фактически передавался.

Совокупность возможных реализаций принятых колебаний образует пространство принимаемых сигналов.

Сигналы и изображены в этом пространстве соответствующими точками .

Каждой из возможных реализаций принятого сигнала отвечает определенная точка в пространстве сигналов, которая в общем случае не совпадает с или .

Разобьем пространство сигналов на две области, которые не перекрещиваются, каждая из которых соответствует принятию определенной гипотезы о том, что сигнал (или соответствующий ему символ или ) был передан.

(рис 1)

Под влиянием помех принятый сигнал может оказаться в другом подмножестве, что приведет к возникновению ошибки. По принятой реализации можно лишь судить о величине вероятности, какой был передан символ: или .

Поэтому максимум, что можно потребовать от приемника - это определить условные вероятности и , если будет известный принятый сигнал

Критерий Котельникова требует, чтобы всякий раз при приеме колебания выносилось решение, что передавался сигнал , для которого апостериорная вероятность имеет максимальное значение. Функциональная схема обработки сигналов в соответствии с этим критерием содержит устройства вычисления и , а также устройство сравнения и . Для двоичных сигналов правило решения сводится к проверке неравенства

. (1)

Схема отработки сигналов (рис 2)

При выполнении неравенства (1) регистрируется символ "1" (верна гипотеза ), в противном случае "0" (гипотеза - ошибочна).

Вычисление выполняется на основе известной формулы Байеса

, (2)

где - вероятность приема реализации

- вероятность приема при условии, что передан полезный сигнал ,

Априорная вероятность передачи символа

Так как приемник должен производить сравнение при данном и различных , то постоянный при этом сравнении множитель в правой части уравнения (2) значения не имеет и вместо значений можно сравнивать величины , то есть:

.

Левая часть этого выражения называется отношением правдоподобия , его обозначают . В случае, если = , приведенное правило упрощается:

.

Поскольку в принятой реализации может содержаться только или , то .

Если , то за переданный принимается , тогда вероятность ошибки

т.е. вероятность ошибки минимальна, если максимальна апостериорная вероятность . Это означает, что критерий эквивалентен критерию минимума вероятности ошибки:

При передаче данных справедливо равенство . В этом случае получим

При . Каналы, в которых соблюдается данное равенство, называются симметричными.

Критерий минимума вероятности ошибки часто называют критерием идеального наблюдателя Котельникова.

Рассмотренные критерии оценки помехоустойчивости по максимуму апостериорной вероятности и минимуму вероятности ошибки используются при передаче дискретных сообщений в системах связи, когда любые ошибочные переходы одинаково нежелательны.

Вместе с тем, имеются системы, в которых ошибочные переходы являются неравнозначными. Это различие учитывается критерием Неймана- Пирсона, на основе которого можно, задав некоторую допустимую величину вероятности , обеспечить минимальную вероятность . В тех случаях, когда априорные вероятности появления сигналов неизвестны, задачу оптимизации решают на основе минимаксного критерия , доставляющего минимальное значение максимального риска. В технических приложениях встречаются и другие критерии, учитывающие последствия правильного и ошибочного принятия статистических гипотез и .

Принимая во внимание, что при заданном детерминированном сигнале значение можно заменить плотностью вероятности , отношение правдоподобия можно записать в виде

.

Геометрический смысл критерия отношения правдоподобия при приеме двоичных полностью известных сигналов заключается в том, что переданным должен считаться тот символ, точка отображающая ( , ) находится ближе к точке у, которая отображает реализацию принятого колебания (рис 1).

Итак, решающее правило для оптимального приемника можно записать в виде:

В соответствии с этим правилом приемное устройство должно поделить все пространство сигналов на два непересекающихся подпространства сигналов А 1 и А 0 ; определить, в какой области находится точка у. Если она находится в подпространстве А 1 , то принимается решение, что передавалась 1, в противном случае – 0.

Указанное правило принятия решения можно записать следующим образом:
.
рис 3

Это неравенство определяет алгоритм оптимального приемника Котельникова , обеспечивающего минимум средней вероятности ошибки (рис. 3). Если энергия сигналов и одинаковы, неравенство, приведенное выше, можно представить в виде корреляционных интегралов

Структурная схема корреляционного приемника Котельникова представлена на рис. 4. По существу корреляционный приемник является активным фильтром и выполняет операцию скалярного произведения
рис 4

Цифровой согласованный фильтр

Когерентный и некогерентный прием

На рисунке 7.9,б показан детектор, который может использоваться для когерентного обнаружения любого цифрового сигнала. Подобный корреляционный детектор часто называется детектором, работающим по критерию максимального правдоподобия (maximum likelihood detector).

Вообще, схема DPSK менее эффективна, чем PSK, поскольку в первом случае вследствие корреляции между сигналами, ошибки имеют тенденцию к распространению (на соседние времена передачи символов). Стоит помнить, что схемы PSK и DPSK отличаются тем, что в первом случае сравнивается принятый сигнал с идеальным опорным, а во втором - два зашумленных сигнала. Отметим, что модуляция DPSK дает вдвое больший шум, чем модуляция PSK. Следовательно, при использовании DPSK следует ожидать вдвое (на 3 дБ) большей вероятности ошибки, чем в случае PSK; ухудшение качества передачи происходит довольно быстро с уменьшением отношения сигнал/шум. Преимуществом схемы DPSK можно назвать меньшую сложность системы.

Особенность согласованного фильтра - то, что его импульсная характеристика представляет собой запаздывающую версию зеркального отображения (поворота относительно оси t = 0) входного сигнала.

Рисунок 7.10. Цифровой согласованный фильтр:

а) дискретный согласованный фильтр;

б) пример обнаружения с использованием дискретного согласованного фильтра.

На рисунке 7.10, б, где сигналы-прототипы изображены как функции времени, видим, что крайняя слева выборка (амплитуда, равная +1 графика) s 1 (t) представляет выборку в момент времени к = 0. Предполагая, что передан был сигнал s 1 (t) и для упрощения записи мы пренебрегли шумом, можем записать принятую выборку r(к) как s 1 (t). Выборки заполняют разряды согласованного фильтра, и в конце каждого периода передачи символа в крайнем правом разряде каждого регистра расположена выборка к = 0. По этой причине коррелятор можно реализовать как согласованный фильтр.

На рисунке 7.10, б обнаружение, происходящее после выхода сигнала с согласованного фильтра, осуществляется обычным образом. Для принятия двоичного решения выходы Z i (k) изучаются при каждом значении k=N-l, соответствующем концу символа.

В таблице 8.1 и на рис.7.11 приведены аналитические выражения и графики Р в для наиболее распространенных схем модуляции, описанных выше.

Т а б л и ц а 7.1 - Вероятность ошибки для различных бинарных модуляций

Рисунок 7.11 - Вероятность появления ошибочного бита для бинарных систем нескольких типов