ინტეგრალური dx root of 1 4x 2. ინტეგრალის ამოხსნა ონლაინ

განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნა ძალიან გავრცელებული პრობლემაა უმაღლეს მათემატიკაში და მეცნიერების სხვა ტექნიკურ დარგებში. უმარტივესი ფიზიკური პრობლემებიც კი ვერ გადაიჭრება რამდენიმე მარტივი ინტეგრალის გამოთვლის გარეშე. აქედან გამომდინარე, სკოლის ასაკიდან გვასწავლიან ინტეგრალების ამოხსნის ტექნიკას და მეთოდებს, რომლებიც მოცემულია უმარტივესი ფუნქციების ინტეგრალებით. თუმცა, დროთა განმავლობაში, ეს ყველაფერი უსაფრთხოდ დავიწყებულია, ან არ გვაქვს საკმარისი დრო გამოთვლებისთვის, ან გვჭირდება იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ამონახსნიძალიან რთული ფუნქციიდან. ამ პრობლემების გადასაჭრელად, ჩვენი სერვისი თქვენთვის შეუცვლელი იქნება, რაც საშუალებას მოგცემთ ზუსტად იპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ონლაინში.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის ამოხსნა

ონლაინ სერვისი მისამართზე ვებგვერდისაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ინტეგრალის ონლაინ გადაჭრასწრაფი, უფასო და მაღალი ხარისხის. საჭირო ინტეგრალის ცხრილებში ძიება შეგიძლიათ შეცვალოთ ჩვენი სერვისით, სადაც სასურველი ფუნქციის სწრაფი შეყვანით მიიღებთ ტაბულურ ვერსიაში განუსაზღვრელი ინტეგრალის ამოხსნას. ყველა მათემატიკურ საიტს არ შეუძლია სწრაფად და ეფექტურად გამოთვალოს ფუნქციების განუსაზღვრელი ინტეგრალები ონლაინში, განსაკუთრებით თუ თქვენ გჭირდებათ განუსაზღვრელი ინტეგრალირთული ფუნქციიდან ან ისეთი ფუნქციებიდან, რომლებიც არ შედის უმაღლესი მათემატიკის ზოგად კურსში. საიტი ვებგვერდიდაგეხმარები ინტეგრალური ონლაინ რეჟიმში გადაჭრა და გაუმკლავდეს დავალებას. ვებსაიტზე არსებული ინტეგრალის ონლაინ გადაწყვეტის გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის მიიღებთ ზუსტ პასუხს.

მაშინაც კი, თუ ინტეგრალი თავად გსურთ გამოთვალოთ, ჩვენი სერვისის წყალობით გაგიადვილდებათ თქვენი პასუხის შემოწმება, შეცდომა ან შეცდომა, ან დარწმუნდეთ, რომ დავალება უნაკლოდ შესრულებულია. თუ პრობლემას ხსნით და განუსაზღვრელი ინტეგრალი უნდა გამოთვალოთ, როგორც დამხმარე მოქმედება, მაშინ რატომ კარგავთ დროს ამ მოქმედებებზე, რომლებიც შეიძლება უკვე ათასჯერ შეასრულეთ? უფრო მეტიც, ინტეგრალის დამატებითი გამოთვლები შეიძლება იყოს შეცდომა ან მცირე შეცდომის მიზეზი, რამაც შემდგომში გამოიწვია არასწორი პასუხი. უბრალოდ გამოიყენეთ ჩვენი სერვისები და იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ონლაინყოველგვარი ძალისხმევის გარეშე. პოვნის პრაქტიკული პრობლემებისთვის განუყოფელიფუნქციები ონლაინეს სერვერი ძალიან სასარგებლოა. თქვენ უნდა შეიყვანოთ მოცემული ფუნქცია, მიიღეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ონლაინ გადაწყვეტადა შეადარეთ პასუხი თქვენს გადაწყვეტას.

ცვლადის ირაციონალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც წარმოიქმნება ცვლადი და თვითნებური მუდმივებისგან შეკრების, გამოკლების, გამრავლების (მთლიანი ხარისხამდე აწევა), გაყოფისა და ფესვების აღების მოქმედებების სასრული რაოდენობის გამოყენებით. ირაციონალური ფუნქცია განსხვავდება რაციონალურიდან იმით, რომ ირაციონალური ფუნქცია შეიცავს ფესვების ამოღების ოპერაციებს.

არსებობს ირაციონალური ფუნქციების სამი ძირითადი ტიპი, რომელთა განუსაზღვრელი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე. ეს არის ინტეგრალები, რომლებიც შეიცავს წრფივი წილადი ფუნქციის თვითნებური მთელი ხარისხების ფესვებს (ფესვები შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიმძლავრის, მაგრამ ერთი და იგივე წრფივი წილადი ფუნქციიდან); დიფერენციალური ბინომის ინტეგრალები და კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის ინტეგრალები.

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. ფესვებს მრავალი მნიშვნელობა აქვს!

ფესვების შემცველი ინტეგრალების გამოთვლისას ხშირად გვხვდება ფორმის გამონათქვამები, სადაც არის ინტეგრაციის ცვლადის გარკვეული ფუნქცია. გასათვალისწინებელია, რომ. ანუ t > 0 , |ტ| = ტ. ტ< 0 , |ტ| = - ტ.ამიტომ, ასეთი ინტეგრალების გამოთვლისას საჭიროა ცალ-ცალკე განვიხილოთ შემთხვევები t > 0 და ტ< 0 . ეს შეიძლება გაკეთდეს ნიშნების დაწერით ან სადაც საჭიროა. ვივარაუდოთ, რომ ზედა ნიშანი ეხება შემთხვევას t > 0 , ხოლო ქვედა - საქმეს თ< 0 . შემდგომი გარდაქმნით, ეს ნიშნები, როგორც წესი, აუქმებენ ერთმანეთს.

შესაძლებელია მეორე მიდგომაც, რომელშიც ინტეგრანდელი და ინტეგრაციის შედეგი შეიძლება ჩაითვალოს რთული ცვლადების კომპლექსურ ფუნქციებად. მაშინ არ უნდა მიაქციოთ ყურადღება რადიკალურ გამონათქვამებში არსებულ ნიშნებს. ეს მიდგომა გამოიყენება, თუ ინტეგრანტი არის ანალიტიკური, ანუ რთული ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, ინტეგრანიც და მისი ინტეგრალიც მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციებია. ამიტომ, ინტეგრაციის შემდეგ, რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებისას, საჭიროა შევარჩიოთ ინტეგრანტის ერთმნიშვნელოვანი ტოტი (რიმანის ზედაპირი) და ამისთვის შევარჩიოთ ინტეგრაციის შედეგის შესაბამისი ტოტი.

ფრაქციული წრფივი ირაციონალურობა

ეს არის ინტეგრალები ფესვებით ერთი და იგივე წილადი წრფივი ფუნქციიდან:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია, რაციონალური რიცხვებია, m 1, n 1, ..., m s, n s არის მთელი რიცხვები, α, β, γ, δ არის რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალამდე ჩანაცვლებით:
, სადაც n არის r 1, ..., r s რიცხვების საერთო მნიშვნელი.

ფესვები შეიძლება სულაც არ იყოს წრფივი წილადი ფუნქციიდან, არამედ წრფივიც (γ = 0, δ = 1), ან ინტეგრაციის ცვლადზე x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

აქ მოცემულია ასეთი ინტეგრალების მაგალითები:
, .

ინტეგრალები დიფერენციალური ბინომებიდან

დიფერენციალური ბინომებიდან ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც m, n, p არის რაციონალური რიცხვები, a, b არის რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალამდე სამ შემთხვევაში.

1) თუ p არის მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება x = t N, სადაც N არის m და n წილადების საერთო მნიშვნელი.
2) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a x n + b = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.
3) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a + b x - n = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.

სხვა შემთხვევაში, ასეთი ინტეგრალები არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით.

ზოგჯერ ასეთი ინტეგრალები შეიძლება გამარტივდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით:
;
.

კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის შემცველი ინტეგრალები

ასეთ ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია. თითოეული ასეთი ინტეგრალისთვის არსებობს მისი გადაჭრის რამდენიმე მეთოდი.
1) გარდაქმნების გამოყენება იწვევს უფრო მარტივ ინტეგრალებს.
2) გამოიყენეთ ტრიგონომეტრიული ან ჰიპერბოლური ჩანაცვლება.
3) გამოიყენეთ ეილერის ჩანაცვლება.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდები უფრო დეტალურად.

1) ინტეგრანდული ფუნქციის ტრანსფორმაცია

ფორმულის გამოყენებით და ალგებრული გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვამცირებთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ფორმამდე:
,
სადაც φ(x), ω(x) რაციონალური ფუნქციებია.

ტიპი I

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P n (x) არის n ხარისხის მრავალწევრი.

ასეთი ინტეგრალები გვხვდება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით იდენტობის გამოყენებით:

.
ამ განტოლების დიფერენცირებით და მარცხენა და მარჯვენა გვერდების გათანაბრებით ვპოულობთ A i კოეფიციენტებს.

ტიპი II

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P m (x) არის m ხარისხის მრავალწევრი.

ჩანაცვლება t = (x - α) -1ეს ინტეგრალი დაყვანილია წინა ტიპზე. თუ m ≥ n, მაშინ წილადს უნდა ჰქონდეს მთელი რიცხვი.

III ტიპის

აქ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:
.
შემდეგ, α, β მუდმივები უნდა შეირჩეს ისე, რომ t-ის კოეფიციენტები მნიშვნელში ნული გახდეს:
B = 0, B 1 = 0.
შემდეგ ინტეგრალი იშლება ორი ტიპის ინტეგრალის ჯამად:
,
,
რომლებიც ინტეგრირებულია ჩანაცვლებით:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ჩანაცვლებები

ფორმის ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს სამი ძირითადი ჩანაცვლება:
;
;
;

ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს შემდეგი ჩანაცვლება:
;
;
;

და ბოლოს, ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
ჩანაცვლებები შემდეგია:
;
;
;

3) ეილერის ჩანაცვლებები

ასევე, ინტეგრალები შეიძლება შემცირდეს ეილერის სამი ჩანაცვლების რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე:
, ამისთვის > 0;
, ამისთვის c > 0 ;
, სადაც x 1 არის a x 2 + b x + c = 0 განტოლების ფესვი. თუ ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს.

ელიფსური ინტეგრალები

დასასრულს, განიხილეთ ფორმის ინტეგრალები:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია, . ასეთ ინტეგრალებს ელიფსური ეწოდება. ზოგადად, ისინი არ გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით. თუმცა არის შემთხვევები, როდესაც არსებობს A, B, C, D, E კოეფიციენტებს შორის მიმართებები, რომლებშიც ასეთი ინტეგრალები გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით.

ქვემოთ მოცემულია მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია რეფლექსურ მრავალწევრებთან. ასეთი ინტეგრალების გაანგარიშება ხორციელდება ჩანაცვლების გამოყენებით:
.

მაგალითი

გამოთვალეთ ინტეგრალი:
.

გამოსავალი

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

.
აქ x > 0 (u > 0 ) აიღეთ ზედა ნიშანი "+". x-ზე< 0 (უ< 0 ) - ქვედა ′- ′.

.

უპასუხე

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, უმაღლეს მათემატიკაში ამოცანების კრებული, „ლან“, 2003 წ.

მოცემულ X ინტერვალში დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), ან f(x-ის ინტეგრალი), თუ ყოველ x ∈X-ზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F" (x) = f(x). (8.1)

მოცემული ფუნქციისთვის ყველა ანტიწარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება ინტეგრაცია. განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) მოცემულ ინტერვალზე X არის ყველა ანტიწარმოებული ფუნქციის სიმრავლე f(x) ფუნქციისთვის; დანიშნულება -

თუ F(x) არის f(x) ფუნქციის ზოგიერთი ანტიწარმოებული, მაშინ ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ინტეგრალების ცხრილი

პირდაპირ განმარტებიდან ვიღებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ძირითად თვისებებს და ცხრილის ინტეგრალების ჩამონათვალს:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

ცხრილის ინტეგრალების სია

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (მ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = არქტანი x + C

8. = რკალი x + C

10. = - ctg x + C

ცვლადი ჩანაცვლება

მრავალი ფუნქციის ინტეგრირებისთვის გამოიყენეთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი ან ჩანაცვლებები,საშუალებას გაძლევთ დაიყვანოთ ინტეგრალები ცხრილის სახით.

თუ ფუნქცია f(z) უწყვეტია [α,β]-ზე, z =g(x) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული და α ≤ g(x) ≤ β, მაშინ

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

უფრო მეტიც, მარჯვენა მხარეს ინტეგრაციის შემდეგ უნდა გაკეთდეს ჩანაცვლება z=g(x).

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია ორიგინალური ინტეგრალის დაწერა ფორმაში:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Მაგალითად:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

მოდით, u = f(x) და v = g(x) იყოს ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი . შემდეგ, სამუშაოს მიხედვით,

d(uv))= udv + vdu ან udv = d(uv) - ვდუ.

d(uv) გამოხატვისთვის, ანტიწარმოებული აშკარად იქნება uv, ამიტომ ფორმულა მოქმედებს:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ეს ფორმულა გამოხატავს წესს ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. udv=uv"dx გამოხატვის ინტეგრაციას მივყავართ vdu=vu"dx გამოხატვის ინტეგრაციამდე.

მოდით, მაგალითად, გსურთ იპოვოთ ∫xcosx dx. მოდით დავაყენოთ u = x, dv = cosxdx, ამიტომ du=dx, v=sinx. მაშინ

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესს უფრო შეზღუდული ფარგლები აქვს, ვიდრე ცვლადების ჩანაცვლება. მაგრამ არსებობს ინტეგრალების მთელი კლასები, მაგალითად,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax და სხვა, რომლებიც გამოითვლება ზუსტად ინტეგრაციის გამოყენებით ნაწილების მიხედვით.

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება წარმოდგენილია შემდეგნაირად. მოდით, ინტერვალზე განისაზღვროს ფუნქცია f(x). მოდით დავყოთ სეგმენტი [a,b] ნნაწილები წერტილებით a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i ფორმის ჯამი ეწოდება განუყოფელი ჯამიდა მისი ზღვარი λ = maxΔx i → 0, თუ ის არსებობს და სასრულია, ე.წ. განსაზღვრული ინტეგრალიფუნქციები f(x) of აადრე ბდა დანიშნულია:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ფუნქცია f(x) ამ შემთხვევაში ეწოდება ინტეგრირებადი ინტერვალზე, რიცხვები a და b ეწოდება ინტეგრალის ქვედა და ზედა საზღვრები.

შემდეგი თვისებები მართალია გარკვეული ინტეგრალისთვის:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

ბოლო ქონება ე.წ საშუალო ღირებულების თეორემა.

ვთქვათ f(x) უწყვეტი იყოს . შემდეგ ამ სეგმენტზე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

∫f(x)dx = F(x) + C

და ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაგანსაზღვრული ინტეგრალის დაკავშირება განუსაზღვრელ ინტეგრალთან:

F(b) - F(a). (8.6)

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან მრუდით y=f(x), სწორი ხაზებით x=a და x=b და ღერძის სეგმენტი. ოქსი.

არასწორი ინტეგრალები

უსასრულო საზღვრების მქონე ინტეგრალები და უწყვეტი (შეუზღუდავი) ფუნქციების ინტეგრალები ე.წ. არა შენი. პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები -ეს არის ინტეგრალები უსასრულო ინტერვალზე, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(8.7)

თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ მას უწოდებენ f(x)-ის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი[a,+ ∞) ინტერვალზე და გამოიძახება ფუნქცია f(x). ინტეგრირებადი უსასრულო ინტერვალით[a,+ ∞). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი ითვლება არ არსებობს ან განსხვავდება.

არასწორი ინტეგრალები ინტერვალებზე (-∞,b] და (-∞, + ∞) ანალოგიურად არის განსაზღვრული:

მოდით განვსაზღვროთ შეუზღუდავი ფუნქციის ინტეგრალის კონცეფცია. თუ f(x) უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის xსეგმენტი, გარდა c წერტილისა, სადაც f(x)-ს აქვს უსასრულო შეუწყვეტლობა, მაშინ მეორე სახის არასწორი ინტეგრალი f(x) დაწყებული a-დან b-მდეთანხას ჰქვია:

თუ ეს საზღვრები არსებობს და სასრულია. Დანიშნულება:

ინტეგრალური გამოთვლების მაგალითები

მაგალითი 3.30.გამოთვალეთ ∫dx/(x+2).

გამოსავალი.ავღნიშნოთ t = x+2, შემდეგ dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

მაგალითი 3.31. იპოვეთ ∫ tgxdx.

გამოსავალი.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. მოდით t=cosx, შემდეგ ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

გამოსავალი.

მაგალითი3.33. იპოვე .

გამოსავალი. = .

მაგალითი3.34 . იპოვეთ ∫arctgxdx.

გამოსავალი. მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ავღნიშნოთ u=arctgx, dv=dx. მაშინ du = dx/(x 2 +1), v=x, საიდანაც ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; რადგან
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

მაგალითი3.35 . გამოთვალეთ ∫lnxdx.

გამოსავალი.ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. შემდეგ ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

მაგალითი3.36 . გამოთვალეთ ∫e x sinxdx.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ u = e x, dv = sinxdx, შემდეგ du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ ∫e x cosxdx ინტეგრალს ნაწილებით: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ჩვენ გვაქვს:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. მივიღეთ მიმართება ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, საიდანაც 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

მაგალითი 3.37. გამოთვალეთ J = ∫cos(lnx)dx/x.

გამოსავალი.ვინაიდან dx/x = dlnx, მაშინ J= ∫cos(lnx)d(lnx). თუ შევცვლით lnx-ს t-ით, მივიღებთ ცხრილის ინტეგრალს J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

მაგალითი 3.38 . გამოთვალეთ J =.

გამოსავალი.იმის გათვალისწინებით, რომ = d(lnx), ჩვენ ვცვლით lnx = t. შემდეგ J = .

მაგალითი 3.39 . გამოთვალეთ ინტეგრალი J = .

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს: . ამიტომ =
=
=. შეყვანილია ასე: sqrt(tan(x/2)).

და თუ შედეგის ფანჯარაში დააწკაპუნებთ ზედა მარჯვენა კუთხეში ნაბიჯების ჩვენებას, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.