მავნე პროგრამა არის შემაშფოთებელი ან საშიში პროგრამა, რომელიც...
textvc -მეზობლობაკომპლექტი ფუნქციურ ანალიზში და მასთან დაკავშირებულ დისციპლინებში არის ისეთი ნაკრები, რომლის თითოეული წერტილი ამოღებულია მოცემული ნაკრებიდან არაუმეტეს გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილი textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon
.
განმარტებები
- დაე გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილი
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): (X,\varrho)არის მეტრიკული სივრცე, გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): x_0 \X-ში,და გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon > 0. გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon-მეზობლობა გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcკომპლექტს უწოდებენ
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.
- მიეცეს ქვეჯგუფი გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილი
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): A \ქვეჯგუფი X.მერე გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon-ამ ნაკრების სამეზობლო ეწოდება კომპლექტს
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).
შენიშვნები
- გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილი
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon- წერტილის სამეზობლო გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): x_0ამგვარად უწოდებენ ღია ბურთს ცენტრში გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): x_0და რადიუსი გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილიtextvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon. - განმარტებიდან პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \არსებობს y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.
- გამოხატვის გარჩევა შეუძლებელია (შესრულებადი ფაილი
textvcარ მოიძებნა; იხილეთ მათემატიკა/README დაყენების დახმარებისთვის.): \varepsilon-მეზობლობა არის სამეზობლო და, კერძოდ, ღია ნაკრები.
მაგალითები
დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "ეპსილონის მეზობლობა"
ეფსილონის უბნის დამახასიათებელი ნაწყვეტი
- კარგი, რა - მისმინე? პატარა გოგონამ მოუთმენლად მიბიძგა.ჩვენ ახლოს მივედით... და ვიგრძენი ცქრიალა ტალღის საოცრად რბილი შეხება... ეს იყო რაღაც წარმოუდგენლად ნაზი, საოცრად მოსიყვარულე და დამამშვიდებელი და ამავდროულად, ჩემი გაკვირვებული და ოდნავ დამფრთხალი "სიღრმეში" შეღწევა. სული... მშვიდი „მუსიკა“ მირბოდა ჩემს ფეხზე, ვიბრირებდა მილიონობით სხვადასხვა ფერებში და, მაღლა ასწია, რაღაც ზღაპრულად ლამაზით დამიწყო შემოხვევა, რაც ყოველგვარ სიტყვას ეწინააღმდეგებოდა... ვიგრძენი, რომ დავფრინავდი, თუმცა არ იყო ფრენა არ იყო რეალური. მშვენიერი იყო!.. ყოველი უჯრედი დაიშალა და დნებოდა მოახლოებულ ახალ ტალღაში და ცქრიალა ოქრო ჩამოირეცხა, წაიღო ყველაფერი ცუდი და სევდიანი და დატოვა მხოლოდ სუფთა, პირველყოფილი შუქი ჩემს სულში...
არც კი მიგრძვნია, როგორ შევედი და თითქმის თავით ჩავვარდი ამ ცქრიალა სასწაულში. უბრალოდ წარმოუდგენლად კარგი იყო და არასდროს მინდოდა იქიდან წასვლა...
- კარგი, საკმარისია უკვე! ჩვენ წინ გვაქვს სამუშაო! გაბრწყინებულ მზეთუნახავში სტელას თავდაჯერებულმა ხმამ შემოიჭრა. - Მოგეწონა?
- ოჰ, როგორ! ამოვისუნთქე. -არ მინდოდა გარეთ გასვლა!
- ზუსტად! ასე რომ, რამდენიმე "აბანო" შემდეგ განსახიერებამდე ... და შემდეგ ისინი აღარ დაბრუნდებიან აქ ...
განიხილება უძრავ ხაზზე წერტილის მეზობლობის ზოგადი განმარტება. epsilon-ის უბნების, მარცხენა, მემარჯვენე და პუნქცია ბოლო წერტილების უბნების განმარტებები და უსასრულობაში. სამეზობლო ქონება. დადასტურებულია თეორემა ფუნქციის კოშის ზღვრის განსაზღვრაში ეპსილონის უბნისა და თვითნებური მეზობლობის გამოყენების ეკვივალენტობის შესახებ.
შინაარსიწერტილის მიმდებარეობის განსაზღვრა
x რეალური წერტილის მეზობლობა 0
ამ წერტილის შემცველ ნებისმიერ ღია ინტერვალს ეწოდება:
.
აქ ე 1
და ე 2
არის თვითნებური დადებითი რიცხვები.
ეფსილონი - x წერტილის მეზობლობა 0
ეწოდება წერტილთა სიმრავლე, საიდანაც x წერტილამდე მანძილი 0
ე-ზე ნაკლები:
.
x წერტილის პუნქციური მეზობლობა 0
ეწოდება ამ წერტილის მეზობლობა, საიდანაც გამოირიცხა თვით x წერტილი 0
:
.
სამეზობლო ბოლო წერტილები
თავიდანვე იქნა მოცემული წერტილის მეზობლობის განმარტება. იგი დანიშნულია როგორც. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ პირდაპირ მიუთითოთ, რომ სამეზობლო დამოკიდებულია ორ რიცხვზე შესაბამისი არგუმენტების გამოყენებით:
(1)
.
ანუ, სამეზობლო არის პუნქტების ნაკრები, რომელიც მიეკუთვნება ღია ინტერვალს.
ე 1
ე 2
, ვიღებთ epsilon - სამეზობლო:
(2)
.
ეფსილონი - სამეზობლო - არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც მიეკუთვნება ღია ინტერვალს თანაბარი ბოლოებით.
რა თქმა უნდა, ასო epsilon შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა და შეიძლება მივიჩნიოთ δ - მეზობლობა, σ - მეზობლობა და ა.შ.
ლიმიტების თეორიაში შეიძლება გამოვიყენოთ სამეზობლოს განმარტება, რომელიც ეფუძნება როგორც სიმრავლეს (1), ასევე სიმრავლეს (2). რომელიმე ამ უბნის გამოყენება იძლევა ეკვივალენტურ შედეგებს (იხ.). მაგრამ განმარტება (2) უფრო მარტივია, მაშასადამე, ხშირად გამოიყენება epsilon - წერტილის მეზობლობა (2-დან).
ასევე ფართოდ გამოიყენება ბოლო წერტილების მარცხენა, მემარჯვენე და პუნქცია უბნების ცნებები. წარმოგიდგენთ მათ განმარტებებს.
x რეალური წერტილის მარცხენა სამეზობლო 0
არის ნახევრად ღია ინტერვალი, რომელიც მდებარეობს რეალურ ღერძზე x-დან მარცხნივ 0
თვით წერტილის ჩათვლით:
;
.
x რეალური წერტილის მარჯვენა მეზობლობა 0
არის ნახევრად ღია ინტერვალი, რომელიც მდებარეობს x-ის მარჯვნივ 0
თვით წერტილის ჩათვლით:
;
.
პუნქცია ბოლო წერტილის უბნები
x წერტილის პუნქციური უბნები 0 იგივე უბნებია, საიდანაც თავად წერტილი გამორიცხულია. ისინი იდენტიფიცირებულია ასოს ზემოთ წრით. წარმოგიდგენთ მათ განმარტებებს.
x წერტილის პუნქცია 0
:
.
პუნქციური ეპსილონი - x წერტილის მეზობლობა 0
:
;
.
პუნქცია მარცხენა უბანი:
;
.
პუნქცია მარჯვენა უბანი:
;
.
წერტილების სამეზობლოები უსასრულობაში
ბოლო წერტილებთან ერთად შემოტანილია უსასრულობის წერტილების მეზობლობის ცნებაც. ისინი ყველა პუნქციაა, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი უსასრულობაში (უსასრულობაში განისაზღვრება, როგორც უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის ზღვარი).
.
;
;
.
შესაძლებელი იყო უსასრულოდ შორეული წერტილების უბნების დადგენა და ასე:
.
მაგრამ M-ის ნაცვლად, ჩვენ ვიყენებთ, ისე, რომ მეზობლობა უფრო პატარა ε-ით არის უფრო დიდი ε უბნის ქვესიმრავლე, ისევე როგორც ბოლო წერტილების უბნებისთვის.
სამეზობლო ქონება
შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ წერტილის მიმდებარეობის აშკარა თვისებას (სასრულო ან უსასრულობაში). ეს მდგომარეობს იმაში, რომ ε-ის უფრო მცირე მნიშვნელობების მქონე წერტილების უბნები არის ε-ის უფრო დიდი მნიშვნელობების მქონე უბნების ქვეჯგუფები. წარმოგიდგენთ უფრო მკაცრ ფორმულირებებს.
დაე, იყოს სასრული ან უსასრულოდ შორეული წერტილი. Გაუშვი .
მერე
;
;
;
;
;
;
;
.
საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია.
ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრების ეკვივალენტობა კოშის მიხედვით
ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ კოშის მიხედვით ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრისას შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც თვითნებური უბანი, ასევე თანაბარი დაბოლოების მქონე უბნები.
თეორემა
ფუნქციის ლიმიტის კოშის განმარტებები, რომლებიც იყენებს თვითნებურ უბნებს და უბნებს თანაბარი ბოლოებით, ექვივალენტურია.
მტკიცებულება
ჩამოვაყალიბოთ ფუნქციის ლიმიტის პირველი განმარტება.
რიცხვი a არის ფუნქციის ზღვარი წერტილში (სასრულო ან უსასრულობაში), თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არსებობს რიცხვები, რომლებიც დამოკიდებულია და-ზე, ისეთი, რომ ყველასთვის მიეკუთვნება a წერტილის შესაბამის მეზობელს:
.
ჩამოვაყალიბოთ ფუნქციის ლიმიტის მეორე განმარტება.
რიცხვი a არის ფუნქციის ზღვარი წერტილში, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არსებობს რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია იმაზე, რომ ყველასთვის:
.
მტკიცებულება 1 ⇒ 2
დავამტკიცოთ, რომ თუ რიცხვი a არის ფუნქციის ზღვარი 1-ლი განსაზღვრებით, მაშინ ის ასევე არის ლიმიტი მე-2 განსაზღვრებით.
დაე, პირველი განმარტება შენარჩუნდეს. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ასეთი ფუნქციები და , ამიტომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის მოქმედებს შემდეგი:
სად .
ვინაიდან რიცხვები და თვითნებურია, ჩვენ ვატოლებთ მათ:
.
შემდეგ არის ფუნქციები და , ასე რომ ნებისმიერისთვის მოქმედებს შემდეგი:
სად .
გაითვალისწინეთ, რომ.
იყოს უმცირესი დადებითი რიცხვი და. შემდეგ, როგორც ზემოთ აღინიშნა,
.
თუ , მაშინ .
ანუ, ჩვენ ვიპოვნეთ ასეთი ფუნქცია, ასე რომ ნებისმიერისთვის სწორია შემდეგი:
სად .
ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი a არის ფუნქციის ზღვარი და მეორე განმარტებით.
მტკიცებულება 2 ⇒ 1
დავამტკიცოთ, რომ თუ რიცხვი a არის ფუნქციის ზღვარი მე-2 განსაზღვრებით, მაშინ ის ასევე არის ლიმიტი 1-ლი განსაზღვრებით.
დაე, მეორე განმარტება შენარჩუნდეს. აიღეთ ორი დადებითი რიცხვი და. და იყოს მათგან ყველაზე პატარა. შემდეგ, მეორე განმარტების მიხედვით, არსებობს ისეთი ფუნქცია, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის და ყველასთვის, გამოდის, რომ
.
მაგრამ მიხედვით. მაშასადამე, აქედან გამომდინარე,
.
შემდეგ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის და ჩვენ ვიპოვნეთ ორი რიცხვი, ასე რომ ყველასთვის:
.
ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი a ასევე არის ლიმიტი პირველი განმარტებით.
თეორემა დადასტურდა.
ცნობები:
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
რა ხატები იცით უთანასწორობის ნიშნებისა და მოდულის გარდა?
ალგებრის კურსიდან ჩვენ ვიცით შემდეგი აღნიშვნა:
- უნივერსალური კვანტიფიკატორი ნიშნავს - "ნებისმიერისთვის", "ყველასთვის", "თითოეულისთვის", ანუ ჩანაწერი უნდა იკითხებოდეს "ნებისმიერი დადებითი epsilon-ისთვის";
– ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი, – არის მნიშვნელობა, რომელიც მიეკუთვნება ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს.
- გრძელი ვერტიკალური ჯოხი ასე იკითხება: „ასეთი“, „ასეთი“, „ასეთი“ ან „ისეთი“, ჩვენს შემთხვევაში, ცხადია, საუბარია რიცხვზე - მაშასადამე, „ისეთი“;
- ყველა "en" -ზე მეტი;
- მოდულის ნიშანი ნიშნავს მანძილს, ე.ი. ეს ჩანაწერი გვეუბნება, რომ მნიშვნელობებს შორის მანძილი ეპსილონზე ნაკლებია.
მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა
მართლაც, ცოტა დავფიქრდეთ - როგორ ჩამოვაყალიბოთ მიმდევრობის მკაცრი განმარტება? ... პირველი, რაც პრაქტიკული გაკვეთილის ფონზე მახსენდება, არის: „მიმდევრობის ზღვარი არის ის რიცხვი, რომელსაც მიმდევრობის წევრები უსასრულოდ უახლოვდებიან“.
კარგი, დავწეროთ თანმიმდევრობა:
ადვილი მისახვედრია, რომ ქვემიმდევრობა უსასრულოდ ახლოს არის რიცხვთან -1-თან, ხოლო ლუწი რიცხვები ახლოს არის "ერთთან".
იქნებ ორი ზღვარი? მაგრამ მაშინ რატომ არ შეიძლება ზოგიერთ მიმდევრობას ჰქონდეს ათი ან ოცი მათგანი? ამ გზით შეგიძლიათ შორს წახვიდეთ. ამასთან დაკავშირებით, ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ თუ მიმდევრობას აქვს ლიმიტი, მაშინ ის უნიკალურია.
შენიშვნა: თანმიმდევრობას არ აქვს ლიმიტი, მაგრამ მისგან შეიძლება განვასხვავოთ ორი ქვემიმდევრობა (იხ. ზემოთ), რომელთაგან თითოეულს აქვს თავისი ლიმიტი.
ამრიგად, ზემოაღნიშნული განმარტება გამოდის დაუსაბუთებელი. დიახ, ის მუშაობს მსგავსი შემთხვევებისთვის (რომელიც მე არ გამოვიყენე სწორად პრაქტიკული მაგალითების გამარტივებულ განმარტებებში), მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მკაცრი განმარტება.
მეორე მცდელობა: „მიმდევრობის ზღვარი არის ის რიცხვი, რომელსაც უახლოვდება მიმდევრობის ყველა წევრი, შესაძლოა მათი სასრული რაოდენობის გარდა“. ეს უფრო ახლოსაა სიმართლესთან, მაგრამ მაინც არ არის ბოლომდე ზუსტი. ასე, მაგალითად, თანმიმდევრობით, ტერმინების ნახევარი საერთოდ არ უახლოვდება ნულს - ისინი უბრალოდ უდრის მას =) სხვათა შორის, "მოციმციმე შუქი" ზოგადად იღებს ორ ფიქსირებულ მნიშვნელობას.
ფორმულირება არ არის რთული დასაზუსტებელი, მაგრამ შემდეგ ჩნდება სხვა კითხვა: როგორ დავწეროთ განმარტება მათემატიკური თვალსაზრისით? სამეცნიერო სამყარო ამ პრობლემას დიდი ხნის განმავლობაში ებრძოდა, სანამ სიტუაცია არ გადაჭრა ცნობილმა მაესტრომ, რომელმაც, არსებითად, კლასიკური მათემატიკური ანალიზი მთელი სიმკაცრით გააფორმა. კოშიმ შესთავაზა ფუნქციონირება უბნებთან, რამაც მნიშვნელოვნად გააუმჯობესა თეორია.
განვიხილოთ ზოგიერთი წერტილი და მისი თვითნებური მეზობლობა:
„ეპსილონის“ ღირებულება ყოველთვის დადებითია და, უფრო მეტიც, ჩვენ თავისუფლად შეგვიძლია მისი არჩევა. დავუშვათ, რომ მოცემულ სამეზობლოში არის გარკვეული თანმიმდევრობის წევრების ნაკრები (აუცილებლად არა ყველა). როგორ ჩამოვწეროთ ის ფაქტი, რომ, მაგალითად, მეათე ტერმინი დაეცა სამეზობლოში? დაე, ის იყოს მის მარჯვენა მხარეს. მაშინ მანძილი წერტილებს შორის და უნდა იყოს ნაკლები "ეპსილონზე": . ამასთან, თუ "x მეათედი" მდებარეობს "a" წერტილის მარცხნივ, მაშინ განსხვავება იქნება უარყოფითი და, შესაბამისად, მას უნდა დაემატოს მოდულის ნიშანი: .
განმარტება: რიცხვს ეწოდება მიმდევრობის ზღვარი, თუ მისი რომელიმე უბნისთვის (ადრე არჩეული) არის ნატურალური რიცხვი - ისეთი, რომ მიმდევრობის ყველა წევრი უფრო მაღალი რიცხვით იყოს სამეზობლოში:
ან უფრო მოკლე: თუ
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც არ უნდა მცირე მნიშვნელობა ავიღოთ „ეპსილონის“ მნიშვნელობა, ადრე თუ გვიან მიმდევრობის „უსასრულო კუდი“ სრულად იქნება ამ სამეზობლოში.
მაგალითად, მიმდევრობის "უსასრულო კუდი" სრულად შევა წერტილის ნებისმიერ თვითნებურად მცირე სამეზობლოში. ამრიგად, ეს მნიშვნელობა არის მიმდევრობის ლიმიტი განსაზღვრებით. შეგახსენებთ, რომ მიმდევრობას, რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.
უნდა აღინიშნოს, რომ მიმდევრობისთვის აღარ არის შესაძლებელი იმის თქმა, რომ „შევა უსასრულო კუდი“ - კენტი რიცხვების წევრები ფაქტობრივად ნულის ტოლია და „არსად არ წავალ“ =) ამიტომ ზმნა „დასრულდება“. ” გამოიყენება განმარტებაში. და, რა თქმა უნდა, ისეთი თანმიმდევრობის წევრები, როგორიცაა "არსად არ მიდიან". სხვათა შორის, შეამოწმეთ, იქნება თუ არა ნომერი მისი ლიმიტი.
ახლა ვაჩვენოთ, რომ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს. განვიხილოთ, მაგალითად, წერტილის სამეზობლო. სავსებით გასაგებია, რომ ასეთი რიცხვი არ არსებობს, რის შემდეგაც ყველა წევრი იქნება ამ სამეზობლოში - კენტი წევრები ყოველთვის "გადახტებიან" "მინუს ერთზე". ანალოგიური მიზეზის გამო, პუნქტში შეზღუდვა არ არსებობს.
დაამტკიცეთ, რომ მიმდევრობის ზღვარი ნულია. მიუთითეთ რიცხვი, რის შემდეგაც მიმდევრობის ყველა წევრი გარანტირებულია, რომ იქნება წერტილის ნებისმიერი თვითნებურად მცირე სამეზობლოში.
შენიშვნა: მრავალი მიმდევრობისთვის სასურველი ნატურალური რიცხვი დამოკიდებულია მნიშვნელობაზე - აქედან გამომდინარე აღნიშვნა.
გამოსავალი: განიხილეთ წერტილის თვითნებური მეზობლობა და შეამოწმეთ არის თუ არა ისეთი რიცხვი, რომ ყველა ტერმინი უფრო მაღალი რიცხვით იყოს ამ სამეზობლოში:
საჭირო რიცხვის არსებობის საჩვენებლად გამოვხატავთ .
ვინაიდან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის "en", მაშინ მოდულის ნიშანი შეიძლება მოიხსნას:
ვიყენებთ „სკოლის“ მოქმედებებს უტოლობებით, რაც გავიმეორე გაკვეთილებზე ხაზოვანი უტოლობა და ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანი გარემოებაა, რომ „ეპსილონი“ და „ენ“ დადებითია:
ვინაიდან მარცხნივ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე, ხოლო მარჯვენა მხარე ზოგადად წილადია, ის უნდა დამრგვალდეს:
შენიშვნა: ზოგჯერ ერთეულს ემატება უფლება გადაზღვევისთვის, მაგრამ სინამდვილეში ეს არის ზედმეტი. შედარებით რომ ვთქვათ, თუ ჩვენ ასევე შევასუსტებთ შედეგს დამრგვალებით, მაშინ უახლოესი შესაფერისი რიცხვი („სამი“) მაინც დააკმაყოფილებს თავდაპირველ უტოლობას.
ახლა კი ვუყურებთ უთანასწორობას და გავიხსენებთ, რომ თავდაპირველად განვიხილავდით თვითნებურ-მეზობლად, ე.ი. „ეპსილონი“ შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვის ტოლი.
დასკვნა : წერტილის ნებისმიერი თვითნებურად მცირე სამეზობლოსთვის ნაპოვნია მნიშვნელობა ისეთი, რომ უტოლობა მოქმედებს ყველა უფრო დიდი რიცხვისთვის. ამრიგად, რიცხვი არის მიმდევრობის ზღვარი განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.
სხვათა შორის, მიღებული შედეგიდან აშკარად ჩანს ბუნებრივი ნიმუში: რაც უფრო მცირეა -სამეზობლო, მით მეტია რიცხვი, რის შემდეგაც მიმდევრობის ყველა წევრი იქნება ამ სამეზობლოში. მაგრამ რაც არ უნდა პატარა იყოს „ეპსილონი“, შიგნით ყოველთვის იქნება „უსასრულო კუდი“, გარეთ კი - წევრების დიდი, მაგრამ სასრული რაოდენობაც კი.
თეორიული მინიმუმირიცხვითი თანმიმდევრობებისთვის გამოყენებული ლიმიტის კონცეფცია უკვე დანერგილია თემაში "".
რეკომენდირებულია ჯერ წაიკითხოთ იქ მოცემული მასალა.ამ თემის თემას რომ მივუბრუნდეთ, გავიხსენებთ ფუნქციის ცნებას. ფუნქცია რუკების კიდევ ერთი მაგალითია. ჩვენ განვიხილავთ უმარტივეს შემთხვევას
ერთი რეალური არგუმენტის რეალური ფუნქცია (რაც სხვა შემთხვევების სირთულეა - მოგვიანებით განვიხილავთ). ფუნქცია ამ თემის ფარგლებში გაგებულია როგორც
კანონი, რომლის მიხედვითაც სიმრავლის თითოეულ ელემენტს, რომელზეც ფუნქციაა განსაზღვრული, ენიჭება ერთი ან რამდენიმე ელემენტი
ნაკრები, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები. თუ ფუნქციის ფარგლების თითოეული ელემენტი დაკავშირებულია ერთ ელემენტთან
მნიშვნელობების ნაკრები, მაშინ ფუნქციას ეწოდება ერთმნიშვნელოვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ფუნქციას ეწოდება მრავალმნიშვნელოვანი. აქ, სიმარტივისთვის, ჩვენ მხოლოდ ვისაუბრებთ
ცალსახა ფუნქციები.დაუყოვნებლივ მინდა ხაზი გავუსვა ფუნქციასა და თანმიმდევრობას შორის არსებულ ფუნდამენტურ განსხვავებას: ამ ორ შემთხვევაში რუკებით დაკავშირებული სიმრავლეები არსებითად განსხვავებულია.
ზოგადი ტოპოლოგიის ტერმინოლოგიის გამოყენების აუცილებლობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ განვსაზღვრავთ განსხვავებას არაზუსტი მსჯელობის დახმარებით. ლიმიტის განხილვისას
მიმდევრობით, ჩვენ ვისაუბრეთ მხოლოდ ერთ ვარიანტზე: მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდა. რიცხვის მატებასთან ერთად, თავად ელემენტები
თანმიმდევრობა გაცილებით განსხვავებულად იქცეოდა. მათ შეეძლოთ „დაგროვება“ გარკვეული რაოდენობის პატარა უბანში; მათ შეეძლოთ განუსაზღვრელი ვადით გაიზარდონ და ა.შ.
უხეშად რომ ვთქვათ, მიმდევრობის მინიჭება არის ფუნქციის მინიჭება დისკრეტულ „დომენზე“. თუ ვსაუბრობთ ფუნქციაზე, რომლის განმარტებაც მოცემულია
თემის დასაწყისში, მაშინ ლიმიტის კონცეფცია უფრო ფრთხილად უნდა აშენდეს. აზრი აქვს ვისაუბროთ ფუნქციის ლიმიტზე როდესაც მისი არგუმენტი მიდრეკილია გარკვეული მნიშვნელობისკენ .
კითხვის ასეთ ფორმულირებას აზრი არ ჰქონდა მიმდევრობებთან მიმართებაში. საჭიროა გარკვეული განმარტებების გაკეთება. ყველა მათგანი დაკავშირებულია
ზუსტად როგორ მიისწრაფვის არგუმენტი სადავო მნიშვნელობისკენ.მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს - ახლა დროებით:
ეს ფუნქციები საშუალებას მოგვცემს განვიხილოთ სხვადასხვა შემთხვევები. ჩვენ აქ წარმოგიდგენთ ამ ფუნქციების გრაფიკებს პრეზენტაციის მეტი სიცხადისთვის.ფუნქციას აქვს ლიმიტი განსაზღვრების დომენის ნებისმიერ წერტილში - ეს ინტუიციურად ნათელია. განმარტების დომენის რომელ წერტილსაც ავიღოთ,
თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ თქვათ, რა მნიშვნელობა აქვს ფუნქციას, როდესაც არგუმენტი მიდის არჩეულ მნიშვნელობაზე, და ლიმიტი იქნება სასრული, თუ არგუმენტი
არ მიდის უსასრულობამდე. ფუნქციის გრაფიკს აქვს შესვენება. ეს გავლენას ახდენს ფუნქციის თვისებებზე შესვენების წერტილში, მაგრამ ლიმიტის თვალსაზრისით
ეს წერტილი არ არის ხაზგასმული. ფუნქცია უკვე უფრო საინტერესოა: ამ ეტაპზე გაუგებარია, ლიმიტის რა მნიშვნელობა უნდა მივანიჭოთ ფუნქციას.
თუ ჩვენ მივუახლოვდებით წერტილს მარჯვნივ, მაშინ ფუნქცია მიისწრაფვის ერთი მნიშვნელობისკენ, თუ მარცხნივ, ფუნქცია მიდის სხვა მნიშვნელობისკენ. წინაში
მაგალითები არ იყო. ფუნქცია ნულისკენ მიდრეკისას, თუნდაც მარცხნივ, თუნდაც მარჯვნივ, იგივენაირად იქცევა, მიისწრაფვის უსასრულობისკენ -
ფუნქციისგან განსხვავებით, რომელიც მიდრეკილია უსასრულობისკენ, როგორც არგუმენტი ნულისკენ, მაგრამ უსასრულობის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ
მხარეს მივდივართ ნულამდე. და ბოლოს, ფუნქცია ნულზე სრულიად გაუგებრად იქცევა.ჩვენ ვაფორმირებთ ლიმიტის კონცეფციას ეპსილონ-დელტა ენის გამოყენებით. ძირითადი განსხვავება მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრისგან იქნება საჭიროება
განსაზღვრეთ ფუნქციის არგუმენტის სურვილი რაიმე მნიშვნელობამდე. ამისათვის საჭიროა ნაკრების ზღვრული წერტილის ცნება, რომელიც დამხმარეა ამ კონტექსტში.
წერტილს უწოდებენ სიმრავლის ზღვრულ წერტილს, თუ რომელიმე სამეზობლოშიაშეიცავს ქულების უსასრულო რაოდენობას,
კუთვნილი და განსხვავებული. ცოტა მოგვიანებით გაირკვევა, თუ რატომ არის საჭირო ასეთი განმარტება.ასე რომ, რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი იმ წერტილში, რომელიც არის სიმრავლის ზღვრული წერტილი, რომელზეც არის განსაზღვრული
ფუნქცია თუ
მოდით გავაანალიზოთ ეს განმარტება სათითაოდ. აქ გამოვყოფთ ნაწილებს, რომლებიც დაკავშირებულია არგუმენტის სურვილთან მნიშვნელობასთან და ფუნქციის სურვილთან
ღირებულებამდე. უნდა გვესმოდეს წერილობითი განცხადების ზოგადი მნიშვნელობა, რომელიც დაახლოებით შემდეგნაირად შეიძლება იქნას განმარტებული.
ფუნქცია მიდრეკილია როცა , თუ ავიღებთ რიცხვს წერტილის საკმარისად მცირე სამეზობლოდან , ჩვენ ამას გავაკეთებთ
მიიღეთ ფუნქციის მნიშვნელობა რიცხვის საკმარისად მცირე სამეზობლოდან. და უფრო მცირე იქნება იმ წერტილის სამეზობლო, საიდანაც აღებულია მნიშვნელობები
არგუმენტი, მით უფრო მცირე იქნება იმ წერტილის სამეზობლო, სადაც დაეცემა ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები.მოდით კვლავ დავუბრუნდეთ ლიმიტის ფორმალურ განმარტებას და წავიკითხოთ ის, რაც ახლა ითქვა. დადებითი რიცხვი ზღუდავს მეზობლობას
წერტილი, საიდანაც ავიღებთ არგუმენტის მნიშვნელობებს. უფრო მეტიც, არგუმენტის მნიშვნელობები, რა თქმა უნდა, არის ფუნქციის სფეროდან და არ ემთხვევა თავად ფუნქციას.
წერტილი: ჩვენ ვწერთ მისწრაფებას და არა დამთხვევას! ასე რომ, თუ არგუმენტის მნიშვნელობას ავიღებთ წერტილის მითითებული - სამეზობლოდან,
მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობა მოხვდება წერტილის -მეზობლად.
და ბოლოს, ჩვენ ვაგროვებთ განმარტებას. რაც არ უნდა პატარა ავირჩიოთ - წერტილის მეზობლობა, ყოველთვის იქნება წერტილის ასეთი მეზობლობა,
რომ მისგან არგუმენტის მნიშვნელობების არჩევისას მივალთ წერტილის მიმდებარედ. რა თქმა უნდა, ზომა ამ შემთხვევაში წერტილის სამეზობლოა
დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მიმდებარე ტერიტორია იყო მოცემული. თუ ფუნქციის მნიშვნელობის სამეზობლო საკმარისად დიდია, მაშინ მნიშვნელობების შესაბამისი გავრცელება
არგუმენტი დიდი იქნება. ფუნქციის მნიშვნელობის სიახლოვეს შემცირებით, არგუმენტის მნიშვნელობებში შესაბამისი გავრცელებაც შემცირდება (იხ. ნახ. 2).რჩება გარკვეული დეტალების გარკვევა. უპირველეს ყოვლისა, მოთხოვნა, რომ წერტილი იყოს ლიმიტი, გამორიცხავს პუნქტზე ზრუნვის აუცილებლობას
ეხლა -მეზობლობა ზოგადად ეკუთვნის ფუნქციის დომენს. მეორეც, პირობის ლიმიტის დადგენაში მონაწილეობანიშნავს
რომ არგუმენტს შეუძლია მიუახლოვდეს მნიშვნელობას მარცხნიდან ან მარჯვნივ.იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ფუნქციის არგუმენტი მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ცალ-ცალკე უნდა განისაზღვროს ზღვრული წერტილის ცნება. ლიმიტს უწოდებენ
მითითებული წერტილი, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის ინტერვალი შეიცავს უთვალავ სიმრავლეს
ქულები ნაკრებიდან.დავუბრუნდეთ მაგალითებს. ფუნქცია ჩვენთვის განსაკუთრებულ ინტერესს არ იწვევს. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სხვა მახასიათებლებს.
მაგალითები.
მაგალითი 1 ფუნქციის გრაფიკს აქვს შეკრულობა.
ფუნქციამიუხედავად წერტილში სინგულარობისა, მას აქვს საზღვარი ამ ეტაპზე. სინგულარობა ნულზე არის სიგლუვის დაკარგვა.
მაგალითი 2 ცალმხრივი საზღვრები.
ფუნქციას წერტილში არ აქვს ლიმიტი. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ლიმიტის არსებობისთვის საჭიროა, რომ როდის
მარცხნივ და მარჯვნივ, ფუნქცია მიისწრაფოდა იმავე მნიშვნელობისკენ. აქ აშკარად ასე არ არის. თუმცა, შეიძლება შემოვიტანოთ ცალმხრივი ლიმიტის ცნება.
თუ არგუმენტი მიდრეკილია მოცემულ მნიშვნელობისკენ უფრო დიდი მნიშვნელობების მხრიდან, მაშინ საუბარია მარჯვენა ზღვარზე; თუ უფრო მცირე მნიშვნელობების მხრიდან -
მარცხენა ლიმიტის შესახებ.
ფუნქციის შემთხვევაში- მარჯვენა ლიმიტი თუმცა, შეგვიძლია მოვიყვანოთ მაგალითი, როდესაც სინუსის უსასრულო რყევები ხელს არ უშლის ზღვრის არსებობას (უფრო მეტიც, ორმხრივი).
მაგალითი იქნება ფუნქცია. სქემა მოცემულია ქვემოთ; გასაგებია ბოლომდე აშენება სამეზობლოში
წარმოშობა შეუძლებელია. ლიმიტი at არის ნულის ტოლი.შენიშვნები .
1. არსებობს ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრის მიდგომა, რომელიც იყენებს მიმდევრობის ლიმიტს - ე.წ. ჰაინეს განმარტება. იქ იქმნება წერტილების თანმიმდევრობა, რომელიც გადადის საჭირო მნიშვნელობამდე
არგუმენტი - მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობების შესაბამისი თანმიმდევრობა გადადის ამ არგუმენტის მნიშვნელობის ფუნქციის ზღვარზე. ჰაინეს განმარტებისა და ენის განმარტების ეკვივალენტობა
„ეპსილონ-დელტა“ დადასტურებულია.
2. ორი ან მეტი არგუმენტის ფუნქციის შემთხვევა რთულდება იმით, რომ წერტილში ლიმიტის არსებობისთვის საჭიროა, რომ ლიმიტის მნიშვნელობა იყოს იგივე, თუ არგუმენტი მიდრეკილია.
სასურველ ღირებულებამდე. თუ არსებობს მხოლოდ ერთი არგუმენტი, მაშინ შეგიძლიათ იბრძოლოთ საჭირო მნიშვნელობისკენ მარცხნიდან ან მარჯვნივ. მეტი ცვლადის შემთხვევაში, ვარიანტების რაოდენობა მკვეთრად იზრდება. ფუნქციების საქმე
რთული ცვლადი და მოითხოვს ცალკე განხილვას.
