Хортой програм нь халдагч эсвэл аюултай программууд бөгөөд...
Тодорхой бус интегралыг олох нь дээд математик болон шинжлэх ухааны бусад техникийн салбарт маш түгээмэл асуудал юм. Хэд хэдэн энгийн интегралыг тооцоолохгүйгээр физикийн хамгийн энгийн бодлогуудыг ч шийдэж чадахгүй. Тиймээс бид сургуулийн наснаас эхлэн интегралыг шийдвэрлэх арга техник, хамгийн энгийн функцүүдийн интеграл бүхий олон тооны хүснэгтүүдийг өгдөг. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ бүхэн мартагдах болно, эсвэл тооцоо хийхэд хангалттай цаг байхгүй эсвэл бидэнд хэрэгтэй байна. тодорхойгүй интегралын шийдийг олмаш нарийн төвөгтэй функцээс. Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд манай үйлчилгээ танд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд тодорхойгүй интегралыг онлайнаар үнэн зөв олох боломжийг танд олгоно.
Тодорхой бус интегралыг шийд
Онлайн үйлчилгээ вэб сайтолох боломжийг танд олгоно интегралыг онлайнаар шийдвэрлэххурдан, үнэ төлбөргүй, өндөр чанартай. Хүснэгтээс шаардлагатай интегралын хайлтыг манай үйлчилгээгээр сольж болох бөгөөд хүссэн функцээ хурдан оруулснаар та тодорхойгүй интегралын шийдлийг хүснэгт хэлбэрээр авах болно. Бүх математикийн сайтууд функцүүдийн тодорхойгүй интегралыг онлайнаар хурдан бөгөөд үр дүнтэй тооцоолох чадваргүй байдаг, ялангуяа та олох шаардлагатай бол. тодорхойгүй интегралнийлмэл функцээс эсвэл дээд математикийн ерөнхий хичээлд ороогүй ийм функцээс. Вэб сайт вэб сайттуслана интегралыг онлайнаар шийднэ мөн даалгавраа даван туулах. Вэбсайт дээрх интегралын онлайн шийдлийг ашигласнаар та үргэлж тодорхой хариулт авах болно.
Хэдийгээр та интегралыг өөрөө тооцоолохыг хүсч байсан ч манай үйлчилгээний ачаар та хариултаа шалгах, алдаа, үсгийн алдаа олох эсвэл даалгавраа алдаагүй гүйцэтгэсэн эсэхийг шалгахад хялбар байх болно. Хэрэв та асуудлыг шийдэж байгаа бөгөөд тодорхой бус интегралыг туслах үйлдэл болгон тооцоолох шаардлагатай бол хэдэн мянган удаа хийсэн байж болох эдгээр үйлдлүүдэд яагаад цаг үрэх ёстой гэж? Түүнээс гадна интегралын нэмэлт тооцоо нь үсгийн алдаа эсвэл жижиг алдааны шалтгаан байж болох бөгөөд энэ нь дараа нь буруу хариулт өгөхөд хүргэсэн. Зүгээр л манай үйлчилгээг ашиглаад олоорой тодорхойгүй интеграл онлайнямар ч хүчин чармайлтгүйгээр. олох практик асуудлуудын хувьд интегралфункцууд онлайнЭнэ сервер маш хэрэгтэй. Та өгөгдсөн функцийг оруулах хэрэгтэй, авах тодорхойгүй интегралын онлайн шийдэлмөн хариултыг өөрийн шийдэлтэй харьцуул.
Хувьсагчийн иррационал функц нь нэмэх, хасах, үржүүлэх (бүхэл тоо хүртэл өсгөх), хуваах, үндэс авах зэрэг хязгаарлагдмал тооны үйлдлүүдийг ашиглан хувьсагч ба дурын тогтмолуудаас бүрдэх функц юм. Иррационал функц нь рационал функцээс ялгаатай нь иррационал функц нь үндсийг задлах үйлдлүүдийг агуулдаг.
Иррационал функцүүдийн үндсэн гурван төрөл байдаг бөгөөд тэдгээрийн тодорхойгүй интегралуудыг рационал функцүүдийн интеграл болгон бууруулсан байдаг. Эдгээр нь шугаман бутархай функцийн дурын бүхэл тооны язгууруудыг агуулсан интегралууд юм (үндэс нь өөр өөр чадалтай байж болно, гэхдээ ижил шугаман бутархай функцээс); дифференциал хоёр гишүүний интеграл ба дөрвөлжин гурвалсан язгууртай интеграл.
Чухал тэмдэглэл. Үндэс нь олон утгатай!
Үндэс агуулсан интегралыг тооцоолохдоо интеграцын хувьсагчийн зарим функц байдаг хэлбэрийн илэрхийллүүд ихэвчлэн тулгардаг. Үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь t > үед 0 , |t| = т. t-д< 0 , |t| = - t .Иймд ийм интегралыг тооцоолохдоо t > тохиолдлуудыг тусад нь авч үзэх шаардлагатай 0 ба т< 0 . Үүнийг тэмдэглэгээ бичих эсвэл шаардлагатай тохиолдолд хийж болно. Дээд тэмдэг нь t > тохиолдлыг илэрхийлнэ гэж үзвэл 0 , доод нэг нь - тохиолдолд t< 0 . Цаашид өөрчлөлт хийснээр эдгээр тэмдгүүд нь дүрмээр бол бие биенээ арилгадаг.
Интеграл ба үр дүнг нийлмэл хувьсагчийн нийлмэл функц гэж үзэж болох хоёрдахь арга бас боломжтой. Дараа нь та радикал илэрхийлэл дэх шинж тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулах шаардлагагүй болно. Хэрэв интеграл нь аналитик, өөрөөр хэлбэл комплекс хувьсагчийн дифференциал функц бол энэ аргыг хэрэглэнэ. Энэ тохиолдолд интеграл ба түүний интеграл хоёулаа олон утгатай функцууд болно. Иймд интеграцийн дараа тоон утгыг орлуулахдаа интегралын нэг утгатай салбарыг (Риман гадаргуу) сонгох шаардлагатай бөгөөд үүний тулд интеграцийн үр дүнгийн харгалзах салбарыг сонгох шаардлагатай.
Бутархай шугаман иррациональ байдал
Эдгээр нь ижил бутархай шугаман функцээс үндэстэй интеграл юм.
,
Энд R нь рационал функц, рационал тоо, m 1, n 1, ..., m s, n s нь бүхэл тоо, α, β, γ, δ нь бодит тоо юм.
Ийм интегралуудыг орлуулах замаар рационал функцийн интеграл болгон бууруулна.
, энд n нь r 1, ..., r s тоонуудын нийтлэг хуваагч юм.
Үндэс нь заавал шугаман бутархай функцээс биш, бас шугаман функцээс (γ =) үүсэлтэй байж болно. 0 , δ = 1), эсвэл интеграцийн хувьсагч x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Ийм интегралуудын жишээ энд байна:
,
.
Дифференциал биномуудын интеграл
Дифференциал биномуудын интеграл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
Энд m, n, p нь рационал тоо, a, b нь бодит тоо юм.
Ийм интеграл нь гурван тохиолдолд рационал функцийн интеграл болж буурдаг.
1) Хэрэв p нь бүхэл тоо бол. Орлуулах х = t N, энд N нь m ба n бутархайн нийтлэг хуваагч юм.
2) Хэрэв - бүхэл тоо. Орлуулах a x n + b = t M, энд M нь p тооны хуваагч юм.
3) Хэрэв - бүхэл тоо. Орлуулах a + b x - n = t M, энд M нь p тооны хуваагч юм.
Бусад тохиолдолд ийм интеграл нь элементар функцээр илэрхийлэгддэггүй.
Заримдаа ийм интегралыг багасгах томъёог ашиглан хялбарчилж болно.
;
.
Гурвалсан дөрвөлжин язгуурыг агуулсан интегралууд
Ийм интеграл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
Энд R нь рационал функц юм. Ийм интеграл бүрийн хувьд үүнийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг.
1)
Өөрчлөлтийг ашиглах нь илүү энгийн интегралд хүргэдэг.
2)
Тригонометрийн эсвэл гиперболын орлуулалтыг хэрэглэнэ.
3)
Эйлерийн орлуулалтыг хэрэглээрэй.
Эдгээр аргуудыг илүү нарийвчлан авч үзье.
1) Интеграл функцийг хувиргах
Томъёог хэрэглэж, алгебрийн хувиргалтыг хийснээр бид интеграл функцийг дараах хэлбэрт оруулна.
,
Энд φ(x), ω(x) нь рационал функцууд.
I төрөл
Маягтын интеграл:
,
Энд P n (x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт юм.
Ийм интегралыг тодорхой бус коэффициентийн аргаар олдог:
.
Энэ тэгшитгэлийг ялгаж, зүүн ба баруун талыг тэнцүүлэхдээ бид A i коэффициентүүдийг олно.
II төрөл
Маягтын интеграл:
,
Энд P m (x) нь m зэрэгтэй олон гишүүнт юм.
Орлуулах t = (x - α) -1энэ интеграл нь өмнөх төрөл рүү буурсан байна. Хэрэв m ≥ n бол бутархай нь бүхэл тоотой байх ёстой.
III төрөл
Энд бид орлуулалтыг хийж байна:
.
Үүний дараа интеграл дараах хэлбэрийг авна.
.
Дараа нь хуваарь дахь t-ийн коэффициентүүд тэг болохын тулд α, β тогтмолуудыг сонгох хэрэгтэй.
B = 0, B 1 = 0.
Дараа нь интеграл нь хоёр төрлийн интегралын нийлбэр болж задардаг.
,
,
орлуулалтаар нэгтгэгддэг:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) Тригонометрийн болон гиперболын орлуулалт
Маягтын интегралын хувьд a > 0
,
Бидэнд гурван үндсэн орлуулалт байна:
;
;
;
Интегралын хувьд a > 0
,
бидэнд дараах орлуулалтууд байна:
;
;
;
Эцэст нь интегралуудын хувьд a > 0
,
орлуулалт нь дараах байдалтай байна.
;
;
;
3) Эйлерийн орлуулалт
Мөн интегралуудыг Эйлерийн гурван орлуулалтын аль нэгний рационал функцын интеграл болгон бууруулж болно.
, a > 0-ийн хувьд;
, c > 0-ийн хувьд;
, энд x 1 нь a x 2 + b x + c = 0 тэгшитгэлийн үндэс юм. Хэрэв энэ тэгшитгэл бодит үндэстэй бол.
Эллипс интеграл
Дүгнэж хэлэхэд, маягтын интегралуудыг авч үзье.
,
Энд R нь рационал функц, . Ийм интегралыг эллипс гэж нэрлэдэг. Ерөнхийдөө тэдгээрийг энгийн функцээр илэрхийлдэггүй. Гэсэн хэдий ч A, B, C, D, E коэффициентүүдийн хооронд ийм интегралыг элементар функцээр илэрхийлдэг хамаарал байх тохиолдол байдаг.
Доорх нь рефлекс олон гишүүнттэй холбоотой жишээ юм. Ийм интегралуудын тооцоог орлуулалтыг ашиглан гүйцэтгэнэ.
.
Жишээ
Интегралыг тооцоолох:
.
Шийдэл
Сэлгээ хийцгээе.
.
Энд x > дээр байна 0
(у> 0
) дээд "+" тэмдгийг авна. x үед< 0
(у< 0
) - доод '- '.
.
Хариулах
Лавлагаа:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, "Лан", 2003 он.
Өгөгдсөн X интервалд дифференциалагдах F(x) функцийг дуудна функцийн эсрэг дериватив f(x) буюу f(x)-ийн интеграл, хэрэв x ∈X бүрт дараах тэгшитгэл биелнэ:
F "(x) = f(x). (8.1)
Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативыг олохыг түүний гэнэ интеграци. Тодорхой бус интеграл функцӨгөгдсөн X интервал дээрх f(x) нь f(x) функцийн бүх эсрэг дериватив функцүүдийн олонлог юм; тэмдэглэгээ -
Хэрэв F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив бол ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
Энд C нь дурын тогтмол юм.
Интегралын хүснэгт
Тодорхойлолтоос шууд бид тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарууд болон хүснэгтэн интегралуудын жагсаалтыг олж авдаг.
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Хүснэгтийн интегралуудын жагсаалт
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (м ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = арктан х + С
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Хувьсах солих
Олон функцийг нэгтгэхийн тулд хувьсагчийг солих аргыг ашиглана уу орлуулалт,интегралыг хүснэгт хэлбэрт оруулах боломжийг танд олгоно.
Хэрэв f(z) функц нь [α,β] дээр тасралтгүй байвал z =g(x) функц нь тасралтгүй дериватив ба α ≤ g(x) ≤ β байна.
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Мөн баруун талд интеграцчилсны дараа z=g(x) орлуулалтыг хийх ёстой.
Үүнийг батлахын тулд анхны интегралыг дараах хэлбэрээр бичихэд хангалттай.
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Жишээлбэл:
Хэсэгээр нь нэгтгэх арга
u = f(x) ба v = g(x) функцуудыг тасралтгүй . Дараа нь ажлын дагуу
d(uv))= udv + vdu эсвэл udv = d(uv) - vdu.
d(uv) илэрхийллийн хувьд эсрэг дериватив нь uv байх нь ойлгомжтой тул томъёо нь дараах байдалтай байна.
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Энэ томъёо нь дүрмийг илэрхийлдэг хэсгүүдээр нэгтгэх. Энэ нь udv=uv"dx илэрхийллийг vdu=vu"dx илэрхийллийг нэгтгэхэд хүргэдэг.
Жишээлбэл, та ∫xcosx dx-г олохыг хүсч байна. u = x, dv = cosxdx гэж тавья, тэгэхээр du=dx, v=sinx. Дараа нь
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Хэсэгчилсэн интеграцийн дүрэм нь хувьсагчдыг орлуулахаас илүү хязгаарлагдмал хүрээтэй байдаг. Гэхдээ интегралын бүхэл бүтэн анги байдаг, жишээлбэл,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax болон бусад хэсгүүдийг интеграцчлах замаар нарийн тооцдог.
Тодорхой интеграл
Тодорхой интеграл гэдэг ойлголтыг дараах байдлаар оруулав. f(x) функцийг интервал дээр тодорхойл. [a,b] сегментийг хувааж үзье n a= x 0 цэгээр хэсгүүд< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i хэлбэрийн нийлбэрийг нэрлэнэ интеграл нийлбэр, ба түүний хязгаарыг λ = maxΔx i → 0, хэрэв байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол гэж нэрлэдэг. тодорхой интеграл-ийн f(x) функцууд аөмнө ббөгөөд дараахыг тодорхойлсон:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Энэ тохиолдолд f(x) функцийг дуудна интервал дээр интегралдах боломжтой, a ба b тоонуудыг дуудна интегралын доод ба дээд хязгаар.
Тодорхой интегралын хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгө гэж нэрлэдэг дундаж утгын теорем.
f(x) дээр үргэлжилсэн байг. Тэгвэл энэ сегмент дээр тодорхойгүй интеграл байна
∫f(x)dx = F(x) + C
ба явагддаг Ньютон-Лейбницийн томъёо, тодорхой интегралыг тодорхойгүй интегралтай холбох:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрийн тайлбар: тодорхой интеграл нь y=f(x) муруй, x = a ба x = b шулуун шугамууд ба тэнхлэгийн сегментээр дээрээс хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай юм. Үхэр.
Буруу интеграл
Хязгааргүй хязгаартай интеграл ба тасалдалгүй (хязгааргүй) функцүүдийн интегралуудыг гэнэ. чинийх биш. Эхний төрлийн буруу интегралууд -Эдгээр нь хязгааргүй интервалын интеграл бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогддог.
(8.7)
Хэрэв энэ хязгаар байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал бол түүнийг дуудна f(x)-ийн нийлсэн буруу интеграл[a,+ ∞) интервал дээр байх ба f(x) функц дуудагдана хязгааргүй интервалаар интегралдах боломжтой[a,+ ∞). Үгүй бол интеграл нь байх болно байхгүй, эсвэл ялгардаг.
(-∞,b] ба (-∞, + ∞) интервал дээрх зохисгүй интегралууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.
Хязгааргүй функцийн интеграл гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё. Хэрэв f(x) бүх утгын хувьд тасралтгүй байвал x f(x) төгсгөлгүй тасалдалтай c цэгээс бусад сегмент хоёр дахь төрлийн буруу интеграл f(x) а-аас б хүртэлхэмжээ гэж нэрлэдэг:
хэрэв эдгээр хязгаарууд байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал бол. Зориулалт:
Интеграл тооцооллын жишээ
Жишээ 3.30.∫dx/(x+2)-ийг тооцоол.
Шийдэл. t = x+2 гэж тэмдэглэе, тэгвэл dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Жишээ 3.31. ∫ tgxdx-г ол.
Шийдэл.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx, тэгвэл ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Жишээ3.32 . ∫dx/sinx-г олШийдэл.
Жишээ3.33. олох.
Шийдэл. = .
Жишээ3.34 . ∫arctgxdx-г ол.
Шийдэл. Хэсэгээр нь нэгтгэе. u=arctgx, dv=dx гэж тэмдэглэе. Дараа нь du = dx/(x 2 +1), v=x, эндээс ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; учир нь
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Жишээ3.35 . ∫lnxdx-г тооцоол.
Шийдэл.Интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Дараа нь ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Жишээ3.36 . ∫e x sinxdx-ийг тооцоол.
Шийдэл. u = e x, dv = sinxdx, тэгвэл du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx гэж тэмдэглэе. Мөн бид ∫e x cosxdx интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэдэг: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Бидэнд байгаа:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Бид ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx хамаарлыг олж авсан бөгөөд үүнээс 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Жишээ 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x-ийг тооцоол.
Шийдэл. dx/x = dlnx тул J= ∫cos(lnx)d(lnx) болно. lnx-г t-ээр сольсноор бид J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C интеграл хүснэгтэд хүрнэ.
Жишээ 3.38 . J =-г тооцоол.
Шийдэл.= d(lnx) гэж үзвэл lnx = t-г орлуулна. Дараа нь J = 
.
Жишээ 3.39
. J = интегралыг тооцоол 
.
Шийдэл.Бидэнд байгаа: 
. Тиймээс =
=
=. дараах байдлаар оруулсан: sqrt(tan(x/2)).
Хэрэв та үр дүнгийн цонхонд баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдлийг авах болно.
