Эпсилон хороолол гэж юу вэ. МА. Функцийн хязгаар. "epsilon-delta" хэл дээрх тодорхойлолт. Хөрш зэргэлдээх цэгүүд

texvc - хөршФункциональ шинжилгээ болон холбогдох салбар дахь багц нь ийм багц бөгөөд цэг бүр нь өгөгдсөн багцаас өгөгдсөн багцаас илүүгүй хасагдсан байдаг. Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon .

Тодорхойлолт

• Болъё Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с үзнэ үү.): (X,\varrho)хэмжигдэхүүн орон зай, Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): x_0 \in X,болон Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon > 0. Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon- хөрш Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvc багц гэж нэрлэдэг

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулах тусламжийг математик/README-с харна уу.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Дэд олонлог өгье Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): A \subset X.Дараа нь Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon-Энэ багцын ойр орчмыг олонлог гэж нэрлэдэг

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг математик/README-с харна уу.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Тайлбар

• Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon- нэг цэгийн хөрш Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулах тусламжийг математик/README-с харна уу.): x_0төвтэй нээлттэй бөмбөг гэж нэрлэгддэг Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулах тусламжийг математик/README-с харна уу.): x_0ба радиус Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon.
• Энэ нь тодорхойлолтоос шууд гардаг

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \mid \exists y\ in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \varepsilon-хөрш гэдэг бол хороолол, тэр дундаа задгай багц.

Жишээ

"Эпсилон хороолол" нийтлэлд сэтгэгдэл бичих

Эпсилон хорооллыг тодорхойлсон ишлэл

- За, юу сонсох вэ? Бяцхан охин намайг тэвчээргүй түлхэв.
Бид ойртож ирлээ... Тэгээд би гялалзсан долгионы гайхалтай зөөлөн мэдрэгчийг мэдэрсэн... Энэ бол үнэхээр эелдэг зөөлөн, гайхалтай энхрий, тайтгаруулсан зүйл байсан бөгөөд тэр үед миний гайхширсан, бага зэрэг болгоомжилсон "гүн"-д нэвтэрч байсан. сэтгэл... Чимээгүй "хөгжим" хөлийг минь даган гүйж, олон сая сүүдэрт чичирч, босож, ямар ч үгэнд үл нийцэх гайхалтай үзэсгэлэнтэй зүйлээр намайг бүрхэж эхлэв ... Хэдийгээр би нисч байгаагаа мэдэрсэн. бодит биш нислэг байсангүй. Гайхалтай байлаа!.. Эс бүр нь ирж буй шинэ давалгаанд уусч, хайлж, гялалзсан алт намайг шууд угааж, муу, гунигтай бүхнийг арилгаж, сэтгэлд минь зөвхөн цэвэр, анхны гэрэл гэгээ үлдээв ...
Би энэ гялалзсан гайхамшигт яаж орж ирснээ бараг л толгойгоороо мэдэрсэнгүй. Энэ үнэхээр гайхалтай байсан бөгөөд би тэндээс явахыг хэзээ ч хүсээгүй ...
- За, хангалттай! Бидний өмнө ажил байна! Стеллагийн баталгаатай хоолой нь гэрэлтсэн гоо үзэсгэлэнг эвдэж байв. - Чамд энэ таалагдсан уу?
- Өө, яаж! Би амьсгалсан. - Би гарахыг хүсээгүй!
- Яг! Тиймээс дараагийн хувилгаан хүртэл "усанд орох" ... Тэгээд тэд энд дахиж ирэхгүй ...

Бодит шугам дээрх цэгийн хөршийн ерөнхий тодорхойлолтыг авч үзнэ. Эпсилон хороолол, зүүн гар, баруун гар, цоорсон хөршүүдийн төгсгөлийн болон хязгааргүй байдлын тодорхойлолтууд. Хөршийн өмч. Функцийн Коши хязгаарыг тодорхойлохдоо эпсилон хөрш ба дурын хөршийг ашиглахтай тэнцүү байх тухай теорем батлагдсан.

Агуулга

Цэгийн хөршийг тодорхойлох

Бодит x цэгийн хөрш 0 Энэ цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалыг:
.
Энд ε 1 ба ε 2 дурын эерэг тоонууд.

Эпсилон - x цэгийн хөрш 0 x цэг хүртэлх зайг цэгийн олонлог гэнэ 0 ε-ээс бага:
.

x цэгийн цоорсон хөрш 0 Энэ цэгийн хөрш гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнээс x цэг өөрөө хасагдсан 0 :
.

Хөрш зэргэлдээх цэгүүд

Хамгийн эхэнд цэгийн хөршийн тодорхойлолтыг өгсөн. гэж тодорхойлсон. Гэхдээ та тохирох аргументуудыг ашиглан хөрш хоёр тооноос хамаардаг гэдгийг тодорхой зааж өгч болно:
(1) .
Өөрөөр хэлбэл, хөрш нь нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм.

ε-г тэнцүүлэх 1 ε хүртэл 2 , бид epsilon - хөрш авдаг:
(2) .
Эпсилон - хөрш - ижил зайтай төгсгөлтэй нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм.
Мэдээжийн хэрэг, эпсилон үсгийг өөр ямар ч үсгээр сольж болох бөгөөд бид δ - хөрш, σ - хөрш гэх мэтийг авч үзэж болно.

Хязгаарын онолд олонлог (1) ба олонлог (2) дээр үндэслэн хөршийн тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Эдгээр хөршүүдийн аль нэгийг нь ашиглах нь ижил үр дүнг өгдөг (харна уу). Гэхдээ (2) тодорхойлолт нь илүү энгийн тул эпсилоныг ихэвчлэн ашигладаг - (2) -аас тодорхойлсон цэгийн ойролцоох.

Төгсгөлийн цэгүүдийн зүүн гар, баруун гар, цоорсон хөрш гэсэн ойлголтууд бас өргөн хэрэглэгддэг. Бид тэдний тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Бодит x цэгийн зүүн талын хөрш 0 x-ийн зүүн талд бодит тэнхлэгт байрлах хагас задгай интервал юм 0 , түүний дотор цэг нь:
;
.

Бодит x цэгийн баруун гар талын хөрш 0 x-ийн баруун талд байрлах хагас задгай интервал юм 0 , түүний дотор цэг нь:
;
.

Цоорсон төгсгөлийн хөршүүд

x цэгийн цоорсон хөршүүд 0 нь ижил хөршүүд бөгөөд үүнээс тухайн цэгийг өөрөө хассан болно. Тэдгээр нь үсгийн дээгүүр тойрог хэлбэрээр тодорхойлогддог. Бид тэдний тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

x цэгийн цоорсон хөрш 0 :
.

Цоорсон эпсилон - x цэгийн хөрш 0 :
;
.

Цоорсон зүүн талын хороолол:
;
.

Цоорсон баруун гар талын хороолол:
;
.

Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүд

Төгсгөлийн цэгүүдийн зэрэгцээ хязгааргүйд орших цэгүүдийн хөршийн тухай ойлголтыг мөн нэвтрүүлсэн. Хязгааргүйд (хязгааргүйд хязгааргүй том дарааллын хязгаар гэж тодорхойлогддог) бодит тоо байдаггүй тул тэдгээр нь бүгд цоорсон байдаг.

.
;
;
.

Хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн ойр орчмыг тодорхойлох боломжтой байсан ба:
.
Гэхдээ бид M-ийн оронд -г ашигладаг бөгөөд ингэснээр жижиг ε-тэй хөршүүд нь төгсгөлийн цэгүүдийн хөршүүдийн нэгэн адил том ε-тэй хөршийн дэд олонлог болно.

хөршийн өмч

Дараа нь бид цэгийн ойр орчмын тодорхой шинж чанарыг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) ашигладаг. Энэ нь ε-ийн бага утгатай цэгүүдийн хөршүүд нь ε-ийн том утгатай хөршүүдийн дэд хэсэг болдогт оршино. Бид илүү хатуу жорыг танилцуулж байна.

Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй алслагдсан цэг байг. Үүнийг орхи.
Дараа нь
;
;
;
;
;
;
;
.

Эсрэг заалтууд нь бас үнэн юм.

Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолтуудын эквивалент

Одоо бид Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо дурын хөрш болон ижил зайтай төгсгөлтэй хөршүүдийг хоёуланг нь ашиглаж болохыг харуулах болно.

Теорем
Дурын хөршүүд болон ижил зайтай төгсгөлтэй хорооллуудыг ашигладаг функцийн хязгаарын Кошигийн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.

Баталгаа

Томьёолъё функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолт.
Хэрэв ямар нэгэн эерэг тоонуудын хувьд a цэгийн харгалзах хөршид хамаарах ба -аас хамаарах тоонууд байгаа бол a тоо нь тухайн цэг дэх функцийн хязгаар (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) юм.
.

Томьёолъё функцийн хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолт.
Хэрэв ямар нэгэн эерэг тоонд -аас хамаарах тоо байгаа бол a тоо нь тухайн цэг дээрх функцийн хязгаар юм.
.

Баталгаа 1 ⇒ 2

Хэрэв а тоо нь 1-р тодорхойлолтоор функцийн хязгаар бол 2-р тодорхойлолтоор мөн адил хязгаар болохыг баталъя.

Эхний тодорхойлолтыг хэвээр үлдээгээрэй. Энэ нь ийм функцууд байдаг гэсэн үг бөгөөд эерэг тоонуудын хувьд дараахь зүйлийг агуулна.
хаана .

Тоонууд нь дур зоргоороо байдаг тул бид тэдгээрийг тэнцүүлж байна:
.
Дараа нь болон функцууд байдаг тул дараах алинд нь ч биелнэ:
хаана .

Анхаар, тэр.
Хамгийн бага эерэг тоо ба . Дараа нь дээр дурдсанчлан,
.
Хэрэв , тэгвэл .

Өөрөөр хэлбэл, бид ийм функцийг олсон бөгөөд ингэснээр дараахь зүйл үнэн болно.
хаана .
Энэ нь а тоо нь функцын хязгаар бөгөөд хоёр дахь тодорхойлолт юм.

Баталгаа 2 ⇒ 1

Хэрэв а тоо 2-р тодорхойлолтоор функцийн хязгаар бол 1-р тодорхойлолтоор мөн л хязгаар болохыг баталъя.

Хоёр дахь тодорхойлолтыг хэвээр үлдээгээрэй. Хоёр эерэг тоо ба . Тэдний хамгийн жижиг нь байцгаая. Дараа нь, хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу ийм функц байдаг бөгөөд ингэснээр ямар ч эерэг тоо ба бүхний хувьд дараах байдалтай байна.
.

Гэхдээ дагуу. Тиймээс, дараахь зүйлээс
.

Дараа нь дурын эерэг тоо болон , бид хоёр тоог олсон тул бүгдэд нь:
.

Энэ нь эхний тодорхойлолтоор а тоо нь мөн хязгаар юм гэсэн үг юм.

Теорем нь батлагдсан.

Лавлагаа:
Л.Д. Кудрявцев. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 2003 он.

Та тэгш бус байдлын тэмдэг, модулиас гадна ямар дүрсийг мэдэх вэ?

Алгебрийн хичээлээс бид дараах тэмдэглэгээг мэддэг.

- бүх нийтийн хэмжигдэхүүн нь "ямар нэгэн", "бүгдээр", "тус бүрийн хувьд" гэсэн утгатай, өөрөөр хэлбэл оруулгыг "ямар ч эерэг эпсилон" гэж унших ёстой;

– оршин тогтнох хэмжигдэхүүн, – натурал тооны олонлогт хамаарах утга байна.

- урт босоо савааг ингэж уншина: "ийм", "ийм", "ийм" эсвэл "тийм", бидний тохиолдолд бид тодорхой тооны тухай ярьж байна - тиймээс "ийм";

-аас их "en" бүхний хувьд;

- модулийн тэмдэг нь зайг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. Энэ оруулга нь утгуудын хоорондох зай нь эпсилоноос бага байгааг харуулж байна.

Дарааллын хязгаарыг тодорхойлох

Үнэн хэрэгтээ бага зэрэг бодоцгооё - дарааллын нарийн тодорхойлолтыг хэрхэн томъёолох вэ? ... Практик хичээлийг харахад хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл бол: “дарааллын хязгаар нь дарааллын гишүүдийн хязгааргүй ойртож буй тоо юм.”

За, дарааллыг бичье:

Дэд дараалал нь -1 тоонд хязгааргүй ойрхон, тэгш тоотой гишүүд нь "нэг"-тэй ойролцоо байгааг харахад хялбар байдаг.

Магадгүй хоёр хязгаарлалт? Гэхдээ яагаад зарим дараалалд арав, хорин байж болохгүй гэж? Ингэснээр та хол явж чадна. Үүнтэй холбогдуулан хэрэв дараалал нь хязгаартай бол тэр нь өвөрмөц гэж үзэх нь логик юм.

Тайлбар: дараалалд хязгаарлалт байхгүй, гэхдээ үүнээс хоёр дэд дарааллыг ялгах боломжтой (дээрхийг харна уу), тус бүр өөрийн гэсэн хязгаартай.

Тиймээс дээрх тодорхойлолт нь үндэслэлгүй болж хувирав. Тийм ээ, энэ нь (би практик жишээнүүдийн хялбаршуулсан тайлбарт тийм ч зөв ашиглаагүй) гэх мэт тохиолдлуудад ажилладаг, гэхдээ одоо бид хатуу тодорхойлолтыг олох хэрэгтэй.

Хоёр дахь оролдлого: "дарааллын хязгаар нь хязгаарлагдмал тооноос бусад дарааллын БҮХ гишүүдийн ойртох тоо юм." Энэ нь үнэнд илүү ойр, гэхдээ бүрэн үнэн зөв биш хэвээр байна. Тиймээс, жишээлбэл, дарааллаар, нэр томъёоны тал нь тэг рүү огт ойртдоггүй - тэд зүгээр л үүнтэй тэнцүү байна =) Дашрамд хэлэхэд, "анивчдаг гэрэл" нь ерөнхийдөө хоёр тогтмол утгыг авдаг.

Томьёоллыг тодруулахад хэцүү биш боловч дараа нь өөр нэг асуулт гарч ирнэ: тодорхойлолтыг математикийн нэр томъёогоор хэрхэн бичих вэ? Шинжлэх ухааны ертөнц энэ асуудалтай удаан хугацааны турш тэмцэж, нөхцөл байдлыг алдарт маэстро шийдэж, мөн чанартаа сонгодог математикийн анализыг бүх хатуугаар нь албан ёсны болгосон. Коши хөршүүдтэй хамтран ажиллахыг санал болгосон нь онолыг ихээхэн ахиулсан юм.

Зарим цэг болон түүний дурын хөршийг авч үзье:

"Эпсилон" -ын үнэ цэнэ үргэлж эерэг байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид үүнийг өөрсдөө сонгох эрхтэй. Тухайн хороололд зарим дарааллын гишүүдийн багц (бүгд байх албагүй) байна гэж бодъё. Жишээ нь, арав дахь хугацаа нь хөршдөө унасан гэдгийг яаж бичих вэ? Энэ нь баруун талд нь байг. Дараа нь ба цэгүүдийн хоорондох зай нь "epsilon" -аас бага байх ёстой: . Гэсэн хэдий ч хэрэв "х аравны нэг" нь "a" цэгийн зүүн талд байрласан бол ялгаа нь сөрөг байх тул модулийн тэмдгийг түүнд нэмэх шаардлагатай: .

Тодорхойлолт: хэрвээ түүний аль нэг хороололд (өмнө нь сонгосон) натурал тоо байвал тухайн тоог дарааллын хязгаар гэж нэрлэнэ - ТИЙМЭЭС өндөр тоотой дарааллын БҮХ гишүүд хөрш дотор байх болно.

Эсвэл богино: хэрэв

Өөрөөр хэлбэл, "эпсилон"-ын үнэ цэнийг хэчнээн бага авсан ч эрт орой хэзээ нэгэн цагт дэс дарааллын "хязгааргүй сүүл" энэ хөршид БҮРЭН байх болно.

Жишээлбэл, дарааллын "хязгааргүй сүүл" нь тухайн цэгийн дурын жижиг хөрш рүү БҮРЭН орох болно.Тиймээс энэ утга нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Хязгаар нь тэг байх дарааллыг дууддаг гэдгийг би танд сануулж байна хязгааргүй жижиг.

Дарааллын хувьд "хязгааргүй сүүл орно" гэж хэлэх боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй - сондгой тоотой гишүүд тэгтэй тэнцүү бөгөөд "хаашаа ч явахгүй" =) "төгсгөх" үйл үг ийм учраас ” гэж тодорхойлолтод ашигласан. Мөн мэдээжийн хэрэг, ийм дарааллын гишүүд бас "хаашаа ч явахгүй". Дашрамд хэлэхэд, тоо нь түүний хязгаар байх эсэхийг шалгаарай.

Одоо дараалалд хязгаарлалт байхгүй гэдгийг харуулъя. Жишээлбэл, тухайн цэгийн ойр орчмыг авч үзье. Ийм тоо байхгүй нь тодорхой бөгөөд үүний дараа БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно - сондгой гишүүд үргэлж "хасах" руу "үсрэх" болно. Үүнтэй төстэй шалтгаанаар цэг дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Дарааллын хязгаар нь тэг болохыг батал. Тоо заана , дараа нь бүх гишүүд цэгийн дур зоргоороо жижиг - хөрш дотор байх баталгаатай байна .

Анхаарна уу: олон дарааллын хувьд хүссэн натурал тоо нь утгаас хамаарна - тиймээс тэмдэглэгээ.

Шийдэл: тухайн цэгийн дурын хөршийг авч үзээд тоо байгаа эсэхийг шалгаарай, ингэснээр илүү өндөр тоотой БҮХ нэр томъёо энэ хөрш дотор байх болно.

Шаардлагатай тоо байгаа эсэхийг харуулахын тулд бид -ээр илэрхийлнэ.

Аливаа "en" утгын хувьд модулийн тэмдгийг арилгаж болно:

Бид "сургуулийн" үйлдлүүдийг тэгш бус байдалтай ашигладаг бөгөөд үүнийг би "Шугаман тэгш бус байдал" ба "Функцийн тодорхойлолтын домэйн" хичээл дээр давтсан. Энэ тохиолдолд "epsilon" ба "en" нь эерэг байх нь чухал нөхцөл юм.

Зүүн талд бид натурал тоонуудын тухай ярьж байгаа бөгөөд баруун тал нь ерөнхийдөө бутархай тул үүнийг дугуйруулах шаардлагатай.

Анхаарна уу: Заримдаа давхар даатгалд зориулж нэг нэгж нэмдэг боловч үнэндээ энэ нь хэт их ачаалал юм. Харьцангуй, хэрэв бид үр дүнг доош нь дугуйлж сулруулж байвал хамгийн ойрын тохирох тоо ("гурван") анхны тэгш бус байдлыг хангасан хэвээр байх болно.

Одоо бид тэгш бус байдлыг харж, анхандаа дур зоргоороо хөрш гэж үздэг байсныг санаж байна, өөрөөр хэлбэл. "epsilon" нь ямар ч эерэг тоотой тэнцүү байж болно.

Дүгнэлт : цэгийн дурын жижиг хөршийн хувьд бүх том тоонуудад тэгш бус байдал биелэх утга олдсон. Тиймээс тоо нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Q.E.D.

Дашрамд хэлэхэд, олж авсан үр дүнгээс харахад байгалийн хэв маяг тодорхой харагдаж байна: хөрш нь жижиг байх тусам дарааллын БҮХ гишүүдийн тоо энэ хөршид байх болно. Гэхдээ хэчнээн жижиг "эпсилон" байсан ч дотроо үргэлж "хязгааргүй сүүл" байх болно, гадна талд нь - бүр том, гэхдээ хязгаарлагдмал тооны гишүүд байх болно.

Онолын доод хэмжээ

Тоон дараалалд хамаарах хязгаарын тухай ойлголтыг "" сэдэвт аль хэдийн оруулсан болно.
Тэнд байгаа материалыг эхлээд уншихыг зөвлөж байна.

Энэ сэдвийн сэдэв рүү шилжихэд бид функцийн тухай ойлголтыг эргэн санав. Функц нь зураглалын өөр нэг жишээ юм. Бид хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзэх болно
нэг бодит аргументийн бодит функц (энэ нь бусад тохиолдлын нарийн төвөгтэй байдал юм - дараа нь хэлэлцэх болно). Энэ сэдвийн хүрээнд функц гэж ойлгогддог
функцийг тодорхойлсон олонлогийн элемент бүрд нэг буюу хэд хэдэн элемент хуваарилагдсан хууль
функцийн утгуудын олонлог гэж нэрлэгддэг олонлог. Хэрэв функцийн хамрах хүрээний элемент бүр нэг элементтэй холбоотой бол
утгуудын багц, дараа нь функцийг нэг утгатай гэж нэрлэдэг, эс тэгвээс функцийг олон утгатай гэж нэрлэдэг. Энд энгийн байхын тулд бид зөвхөн ярих болно
хоёрдмол утгагүй функцууд.

Би функц ба дарааллын хоорондох үндсэн ялгааг нэн даруй онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна: эдгээр хоёр тохиолдолд зураглалаар холбогдсон олонлогууд нь үндсэндээ өөр байна.
Ерөнхий топологийн нэр томъёог ашиглах шаардлагагүй байхын тулд бид тодорхой бус үндэслэлээр ялгааг тайлбарладаг. Хязгаарыг хэлэлцэх үед
дарааллын хувьд бид зөвхөн нэг хувилбарын тухай ярьсан: дарааллын элементийн тооны хязгааргүй өсөлт. Тоо нэмэгдэх тусам элементүүд өөрсдөө
дараалал нь илүү өөрөөр ажилладаг байв. Тэд тодорхой тооны жижиг хороололд "хуримтлагдах" боломжтой; тэд хязгааргүй өсөх боломжтой гэх мэт.
Товчоор хэлбэл, дарааллын хуваарилалт нь салангид "домэйн" дээр функцийг хуваарилах явдал юм. Хэрэв бид функцийн талаар ярих юм бол түүний тодорхойлолтыг өгсөн болно
сэдвийн эхэнд, дараа нь хязгаарын тухай ойлголтыг илүү анхааралтай барих хэрэгтэй. Функцийн хязгаарын талаар ярих нь утга учиртай түүний аргумент нь тодорхой утга руу чиглэх үед .
Асуултын ийм томъёолол нь дараалалтай холбоотой утгагүй байв. Зарим нэг тодруулга хийх шаардлагатай байна. Тэд бүгд холбоотой байдаг
аргумент нь тухайн үнэ цэнэд яг хэрхэн чиглэж байна.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая - одоохондоо:


Эдгээр функцууд нь бидэнд янз бүрийн тохиолдлуудыг авч үзэх боломжийг олгоно. Үзүүлэнг илүү ойлгомжтой болгох үүднээс бид эдгээр функцүүдийн графикуудыг энд толилуулж байна.

Функц нь тодорхойлолтын домэйны аль ч цэгт хязгаартай байдаг - энэ нь ойлгомжтой юм. Тодорхойлолтын хүрээний аль ч цэгийг бид авч үзсэн,
Аргумент сонгосон утга руу чиглэх үед функц ямар утга руу чиглэж байгааг та шууд хэлэх боломжтой бөгөөд хэрэв аргумент нь хязгаарлагдмал биш бол хязгаар нь хязгаарлагдмал байх болно.
хязгааргүйд очдоггүй. Функцийн график нь завсарлагатай байна. Энэ нь завсарлагааны цэг дэх функцийн шинж чанарт нөлөөлдөг боловч хязгаарын үүднээс авч үзвэл
энэ цэгийг онцолсонгүй. Функц нь аль хэдийн илүү сонирхолтой болсон: тухайн үед функцэд ямар хязгаарлалт өгөх нь тодорхойгүй байна.
Хэрэв бид баруун талд байгаа цэг рүү ойртвол функц нэг утга руу чиглэнэ, зүүн талд байвал функц өөр утга руу чиглэнэ. Өмнө нь
жишээ нь тийм биш байсан. Функц нь тэг рүү чиглэж байх үед, тэр ч байтугай зүүн, баруун талд ч гэсэн адилхан ажиллаж, хязгааргүй рүү тэмүүлдэг -
Аргумент тэг рүү чиглэдэг шиг хязгааргүйд хүрэх хандлагатай функцээс ялгаатай нь хязгааргүйн тэмдэг нь хэрхэн
талдаа бид тэг болно. Эцэст нь, функц нь тэг дээр бүрэн ойлгомжгүй ажилладаг.

Бид epsilon-delta хэлийг ашиглан хязгаарын тухай ойлголтыг албан ёсны болгож байна. Дарааллын хязгаарлалтын тодорхойлолтоос гол ялгаа нь хэрэгцээ байх болно
функцийн аргументын хүслийг ямар нэгэн утгад зааж өгөх. Энэ нь олонлогийн хязгаарын цэгийн тухай ойлголтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь энэ нөхцөлд туслах болно.
Цэгийг олонлогийн хязгаарын цэг гэж нэрлэдэг хязгааргүй тооны цэг агуулсан,
-д хамаарах ба өөр. Хэсэг хугацааны дараа яагаад ийм тодорхойлолт шаардлагатай байгаа нь тодорхой болно.

Тиймээс, энэ тоог тодорхойлогдсон олонлогийн хязгаарын цэг болох цэг дээрх функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг.
функц бол

Энэ тодорхойлолтыг нэг нэгээр нь авч үзье. Энд бид аргументийн утга, функцийн хүсэл эрмэлзэлтэй холбоотой хэсгүүдийг онцлон тэмдэглэв
үнэ цэнэд. Бичсэн мэдэгдлийн ерөнхий утгыг ойлгох ёстой бөгөөд үүнийг ойролцоогоор дараах байдлаар тайлбарлаж болно.
Функц нь тухайн цэгийн хангалттай жижиг орчноос тоо авбал бид үүнийг хийх хандлагатай байдаг
тооны хангалттай жижиг хөршөөс функцийн утгыг авна. Мөн утгыг авах цэгийн ойр орчмын хэмжээ бага байх болно
Аргумент байх тусам функцийн харгалзах утгууд унах цэгийн ойр орчмын хэмжээ бага байх болно.

Хязгаарын албан ёсны тодорхойлолт руу дахин буцаж очоод сая хэлсэн зүйлийн үүднээс уншъя. Эерэг тоо нь хөршийг хязгаарладаг
Бид аргументийн утгыг авах цэг. Түүнээс гадна аргументын утгууд нь функцийн хамрах хүрээнээс хамаарах бөгөөд функцтэй давхцдаггүй.
цэг: бид санамсаргүй зүйл биш тэмүүллийг бичиж байна! Тиймээс хэрэв бид аргументийн утгыг тухайн цэгийн хөршөөс авсан бол,
тэгвэл функцийн утга нь цэгийн хөрш рүү орно .
Эцэст нь бид тодорхойлолтыг нэгтгэж байна. Бид хэчнээн жижиг -цэгний хөршийг сонгосон ч гэсэн ийм -цэгийн хөрш үргэлж байх болно.
Үүнээс аргументийн утгыг сонгохдоо бид тухайн цэгийн ойр орчимд очно. Мэдээжийн хэрэг, хэмжээ нь энэ тохиолдолд нэг цэгийн хөрш юм
тухайн цэгийн аль ойр орчмын өгөгдсөнөөс хамаарна. Хэрэв функцийн утгын хөрш хангалттай том бол утгын харгалзах тархалт болно
маргаан их байх болно. Функцийн утгын ойролцоо буурах тусам аргументийн утгын харгалзах тархалт буурах болно (2-р зургийг үз).

Зарим нарийн ширийн зүйлийг тодруулахад л үлдлээ. Нэгдүгээрт, цэг нь хязгаар байх ёстой гэсэн шаардлага нь тухайн цэгийг анхаарч үзэх шаардлагагүй болгодог
from -neighborhood нь ерөнхийдөө функцийн домэйнд хамаарна. Хоёрдугаарт, нөхцөл байдлын хязгаарыг тогтооход оролцох гэсэн үг
аргумент нь утгад зүүн эсвэл баруун талаас ойртож болно.

Функцийн аргумент нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай тохиолдолд хязгаарын цэгийн тухай ойлголтыг тусад нь тодорхойлох хэрэгтэй. хязгаар гэж нэрлэдэг
хэрэв ямар нэгэн эерэг тооны хувьд интервал нь тоолж баршгүй олонлогийг агуулж байвал тогтоосон цэг
багцаас оноо.

Жишээнүүдэд буцаж орцгооё. Энэ функц нь бидний сонирхлыг татдаггүй. Бусад шинж чанаруудыг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ.

Жишээ 1 Функцийн график нь хазайлттай байна.
Чиг үүрэг Хэдий нэг цэгийн өвөрмөц байдлыг үл харгалзан энэ нь хязгаартай. Тэг дэх онцгой байдал нь гөлгөр байдлын алдагдал юм.

Жишээ 2 Нэг талын хязгаарлалт.
Нэг цэг дэх функц хязгааргүй. Өмнө дурьдсанчлан, хязгаарлалт байхын тулд хэзээ байх шаардлагатай
зүүн ба баруун талд функц нь ижил утгыг эрэлхийлсэн. Энд тийм биш байгаа нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч нэг талт хязгаарын тухай ойлголтыг оруулж болно.
Хэрэв аргумент нь илүү том утгуудын талаас өгөгдсөн утга руу чиглэж байвал баруун гар талын хязгаарыг хэлдэг; хэрэв жижиг утгын талаас -
зүүн гар талын хязгаарын тухай.
Үйл ажиллагааны хувьд
- баруун гар хязгаар Гэсэн хэдий ч бид синусын хязгааргүй хэлбэлзэл нь хязгаарын оршин тогтноход саад болохгүй (түүнээс гадна хоёр талт) жишээг өгч болно.
Жишээ нь функц байж болно . Графикийг доор харуулав; Ойлгомжтойгоор хөршдөө эцсээ хүртэл барих
гарал үүсэл нь боломжгүй юм. Хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байна.

Тайлбар.
1. Дарааллын хязгаарыг ашигладаг функцийн хязгаарыг тодорхойлох арга байдаг - гэж нэрлэгддэг. Гейний тодорхойлолт. Тэнд шаардлагатай утгад нийлдэг цэгүүдийн дарааллыг байгуулдаг
аргумент - дараа нь функцийн утгуудын харгалзах дараалал нь энэ аргументын утгын функцийн хязгаарт нийлдэг. Гейнегийн тодорхойлолт ба хэлний тодорхойлолтын дүйцэх байдал
"epsilon-delta" нь батлагдсан.
2. Хоёр ба түүнээс дээш тооны аргументын функцүүдийн тохиолдол нь нэг цэгт хязгаар оршин тогтнохын тулд аргументийн хандлагатай аль ч тохиолдолд хязгаарын утга ижил байх шаардлагатай байдаг тул төвөгтэй байдаг.
шаардлагатай утга хүртэл. Хэрэв зөвхөн нэг аргумент байгаа бол та шаардлагатай утгыг зүүн эсвэл баруун талаас нь эрэлхийлж болно. Илүү олон хувьсагчтай тохиолдолд сонголтуудын тоо эрс нэмэгддэг. Функцуудын тохиолдол
төвөгтэй хувьсагч бөгөөд тусдаа хэлэлцүүлэг шаарддаг.