ഈ ലേഖനത്തിൽ, സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള റൂഫസ് പ്രോഗ്രാമിന്റെ കഴിവുകൾ ഞങ്ങൾ അവലോകനം ചെയ്യും ...
ടെക്സ്വിസി - അയൽപ്പക്കംപ്രവർത്തനപരമായ വിശകലനത്തിലും അനുബന്ധ വിഷയങ്ങളിലും സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് അത്തരമൊരു സെറ്റാണ്, ഓരോ പോയിന്റും തന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യപ്പെടും. എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽ ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon
.
നിർവചനങ്ങൾ
- അനുവദിക്കുക എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽ
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): (X,\varrho)ഒരു മെട്രിക് സ്പേസ് ആണ്, എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): x_0 \in X,ഒപ്പം എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon > 0. എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon-അയൽപ്പക്കം എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസിഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.
- ഒരു ഉപവിഭാഗം നൽകട്ടെ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽ
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): A \subset X.പിന്നെ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilonഈ സെറ്റിന്റെ അയൽപക്കത്തെ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് ഗണിതം/README കാണുക.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).
പരാമർശത്തെ
- എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽ
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon-ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് ഗണിതം/README കാണുക.): x_0അങ്ങനെ കേന്ദ്രീകരിച്ച് തുറന്ന പന്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് ഗണിതം/README കാണുക.): x_0ആരവും എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon. - അത് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിനായി math/README കാണുക.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \നിലവിൽ y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.
- എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പാഴ്‌സ് ചെയ്യാനാവുന്നില്ല (എക്‌സിക്യൂട്ടബിൾ ഫയൽ
ടെക്സ്വിസികാണ്മാനില്ല; സജ്ജീകരണ സഹായത്തിന് math/README കാണുക.): \varepsilon-അയൽപക്കം ഒരു അയൽപക്കമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു തുറന്ന സെറ്റ്.
ഉദാഹരണങ്ങൾ
"എപ്സിലോൺ അയൽപക്കം" എന്ന ലേഖനത്തിൽ ഒരു അവലോകനം എഴുതുക
എപ്സിലോൺ അയൽപക്കത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഒരു ഉദ്ധരണി
- ശരി, എന്താണ് - കേൾക്കുക? കൊച്ചു പെൺകുട്ടി അക്ഷമയോടെ എന്നെ തള്ളി.ഞങ്ങൾ അടുത്തെത്തി... ഒപ്പം തിളങ്ങുന്ന തിരമാലയുടെ അതിശയകരമായ മൃദു സ്പർശം എനിക്ക് അനുഭവപ്പെട്ടു... അത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം സൗമ്യവും അതിശയകരമാം വിധം വാത്സല്യവും സാന്ത്വനവും ആയിരുന്നു, അതേ സമയം, ആശ്ചര്യവും അൽപ്പം ജാഗ്രതയുമുള്ള എന്റെ "ആഴത്തിലേക്ക്" തുളച്ചുകയറുന്നു. ആത്മാവ്... നിശബ്ദമായ "സംഗീതം" ദശലക്ഷക്കണക്കിന് വ്യത്യസ്ത ഷേഡുകളിൽ പ്രകമ്പനം കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ട് എന്റെ കാലിലൂടെ ഓടി, എഴുന്നേറ്റു, അതിശയകരമായ മനോഹരമായ ഒന്ന് കൊണ്ട് എന്നെ പൊതിയാൻ തുടങ്ങി, ഏത് വാക്കുകളെയും ധിക്കരിക്കുന്ന ഒന്ന് ... ഞാൻ പറക്കുകയാണെന്ന് എനിക്ക് തോന്നി, എന്നിരുന്നാലും ഒരു വിമാനവും ഉണ്ടായിരുന്നില്ല, അത് യഥാർത്ഥമല്ല. അത് അതിമനോഹരമായിരുന്നു!.. വരാനിരിക്കുന്ന പുതിയ തരംഗത്തിൽ ഓരോ കോശവും അലിഞ്ഞുചേരുകയും ഉരുകുകയും ചെയ്തു, തിളങ്ങുന്ന സ്വർണ്ണം എന്നിലൂടെ ഒഴുകി, മോശവും സങ്കടവും എല്ലാം അകറ്റി, ശുദ്ധവും ആദിമവുമായ വെളിച്ചം മാത്രം എന്റെ ആത്മാവിൽ അവശേഷിപ്പിച്ചു ...
ഈ മിന്നുന്ന അത്ഭുതത്തിലേക്ക് ഞാൻ എങ്ങനെ പ്രവേശിച്ചുവെന്നും ഏതാണ്ട് എന്റെ തലയിൽ മുങ്ങിത്താഴുന്നതായും എനിക്ക് തോന്നിയില്ല. ഇത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം മികച്ചതായിരുന്നു, ഞാൻ ഒരിക്കലും അവിടെ നിന്ന് പോകാൻ ആഗ്രഹിച്ചില്ല ...
- ശരി, അത് ഇതിനകം മതി! ഞങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു ജോലിയുണ്ട്! സ്റ്റെല്ലയുടെ ദൃഢമായ ശബ്ദം പ്രസന്നമായ സൌന്ദര്യത്തെ തകർത്തു. - ഇത് നിങ്ങൾക്കിഷ്ടമായോ?
- ഓ, എങ്ങനെ! ഞാൻ ശ്വസിച്ചു. - എനിക്ക് പുറത്തു പോകാൻ ആഗ്രഹമില്ലായിരുന്നു!
- കൃത്യമായി! അതിനാൽ അടുത്ത അവതാരം വരെ കുറച്ച് "കുളി" ... എന്നിട്ട് അവർ ഇനി ഇങ്ങോട്ട് വരില്ല ...
യഥാർത്ഥ ലൈനിലെ ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിന്റെ പൊതുവായ നിർവചനം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. എപ്സിലോൺ അയൽപക്കങ്ങൾ, ഇടംകൈയ്യൻ, വലംകൈയ്യൻ, തുളച്ചുകയറുന്ന അയൽപക്കങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ അവസാന പോയിന്റുകളുടെയും അനന്തതയിലും. അയൽപക്ക സ്വത്ത്. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കൗച്ചി പരിധിയുടെ നിർവചനത്തിൽ ഒരു എപ്സിലോൺ അയൽപക്കവും അനിയന്ത്രിതമായ അയൽപക്കവും ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
ഉള്ളടക്കംഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിന്റെ നിർണ്ണയം
ഒരു യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം x 0
ഈ പോയിന്റ് അടങ്ങുന്ന ഏതൊരു തുറന്ന ഇടവേളയും വിളിക്കുന്നു:
.
ഇവിടെ ε 1
കൂടാതെ ε 2
അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്.
എപ്സിലോൺ - പോയിന്റ് x ന്റെ സമീപസ്ഥലം 0
പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് പോയിന്റ് x വരെയുള്ള ദൂരം 0
ε-നേക്കാൾ കുറവ്:
.
പോയിന്റ് x ന്റെ പഞ്ചറായ അയൽപക്കം 0
ഈ പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ നിന്ന് x തന്നെ ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു 0
:
.
അയൽപക്കത്തിന്റെ അവസാന പോയിന്റുകൾ
തുടക്കത്തിൽ തന്നെ, ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിന്റെ നിർവചനം നൽകി. എന്ന് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഉചിതമായ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അയൽപക്കം രണ്ട് സംഖ്യകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും:
(1)
.
അതായത്, ഒരു തുറന്ന ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് അയൽപക്കം.
സമീകരിക്കുന്നു ε 1
ε ലേക്ക് 2
, ഞങ്ങൾക്ക് എപ്സിലോൺ ലഭിക്കും - അയൽപക്കം:
(2)
.
എപ്സിലോൺ - ഒരു അയൽപക്കം - സമദൂര അറ്റങ്ങളുള്ള ഒരു തുറന്ന ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകളാണ്.
തീർച്ചയായും, എപ്സിലോൺ എന്ന അക്ഷരം മറ്റേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, കൂടാതെ നമുക്ക് δ - അയൽപക്കം, σ - അയൽപക്കം മുതലായവ പരിഗണിക്കാം.
പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, സെറ്റ് (1), സെറ്റ് (2) എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരാൾക്ക് അയൽപക്കത്തിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കാം. ഈ അയൽപക്കങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കുന്നത് തത്തുല്യമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു (കാണുക). എന്നാൽ നിർവചനം (2) ലളിതമാണ്, അതിനാൽ, ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്ന എപ്സിലോൺ ആണ് - (2) ൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം.
എൻഡ് പോയിന്റുകളുടെ ഇടത് കൈ, വലത് കൈ, തുളച്ചുകയറുന്ന അയൽപക്കങ്ങൾ എന്ന ആശയങ്ങളും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾ അവരുടെ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
ഒരു യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള അയൽപക്കം x 0
x ന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പകുതി-തുറന്ന ഇടവേളയാണ് 0
, ഡോട്ട് ഉൾപ്പെടെ:
;
.
ഒരു യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള അയൽപക്കം x 0
x ന്റെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പകുതി-തുറന്ന ഇടവേളയാണ് 0
, ഡോട്ട് ഉൾപ്പെടെ:
;
.
പഞ്ചർ ചെയ്ത എൻഡ്‌പോയിന്റ് അയൽപക്കങ്ങൾ
പോയിന്റ് x ന്റെ പഞ്ചർ അയൽപക്കങ്ങൾ 0 അതേ അയൽപക്കങ്ങളാണ്, അതിൽ നിന്ന് പോയിന്റ് തന്നെ ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു. അക്ഷരത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ തിരിച്ചറിയുന്നു. ഞങ്ങൾ അവരുടെ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
പോയിന്റ് x-ന്റെ അയൽപക്കം 0
:
.
പഞ്ചർഡ് എപ്സിലോൺ - പോയിന്റ് x ന്റെ അയൽപക്കം 0
:
;
.
ഇടത് വശത്ത് പഞ്ചറായ അയൽപക്കം:
;
.
പഞ്ചറായ വലത് അയൽപക്കം:
;
.
അനന്തതയിലെ പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ
അവസാന പോയിന്റുകൾക്കൊപ്പം, അനന്തതയിലെ പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയവും അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. അനന്തതയിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയില്ലാത്തതിനാൽ അവയെല്ലാം പഞ്ചറായിരിക്കുന്നു (അനന്തത്തിൽ അനന്തമായ വലിയ ശ്രേണിയുടെ പരിധി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു).
.
;
;
.
അനന്തമായ വിദൂര പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിച്ചു:
.
എന്നാൽ M എന്നതിനുപകരം, ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് , അതിനാൽ ചെറിയ ε ഉള്ള ഒരു അയൽപക്കം വലിയ ε ഉള്ള ഒരു അയൽപക്കത്തിന്റെ ഉപഗണമാണ്, അവസാന പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ പോലെ.
അയൽപക്ക സ്വത്ത്
അടുത്തതായി, ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിന്റെ വ്യക്തമായ സ്വത്ത് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തതയിൽ). ε യുടെ ചെറിയ മൂല്യങ്ങളുള്ള പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ ε യുടെ വലിയ മൂല്യങ്ങളുള്ള അയൽപക്കങ്ങളുടെ ഉപവിഭാഗങ്ങളാണ് എന്ന വസ്തുതയിലാണ് ഇത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്. ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ കർശനമായ ഫോർമുലേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ ഒരു ബിന്ദു ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. അതിനെ പോകാൻ അനുവദിക്കുക .
പിന്നെ
;
;
;
;
;
;
;
.
സംഭാഷണ വാദങ്ങളും ശരിയാണ്.
Cauchy അനുസരിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയുടെ നിർവചനങ്ങളുടെ തുല്യത
കൗച്ചി അനുസരിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയുടെ നിർവചനത്തിൽ, ഒരാൾക്ക് ഏകപക്ഷീയമായ അയൽപക്കവും സമദൂര അറ്റങ്ങളുള്ള ഒരു അയൽപക്കവും ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.
സിദ്ധാന്തം
ഏകപക്ഷീയമായ അയൽപക്കങ്ങളും സമദൂര അറ്റങ്ങളുള്ള അയൽപക്കങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയുടെ Cauchy നിർവചനങ്ങൾ തുല്യമാണ്.
തെളിവ്
നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയുടെ ആദ്യ നിർവചനം.
ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് അനുസരിച്ചുള്ള സംഖ്യകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ബിന്ദുവിലെ (പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തതയിൽ) ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയാണ് ഒരു നമ്പർ a എന്നത്, എല്ലാത്തിനും , പോയിന്റിന്റെ അനുബന്ധ അയൽപക്കത്തിൽ പെടുന്നു:
.
നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയുടെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം.
സംഖ്യ a എന്നത് പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയാണ്, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു സംഖ്യ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാത്തിനും:
.
തെളിവ് 1 ⇒ 2
ഒന്നാം നിർവചനം പ്രകാരം a എന്ന സംഖ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയാണെങ്കിൽ, അത് 2-ആം നിർവചനത്തിന്റെ പരിധിയും ആണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
ആദ്യത്തെ നിർവചനം നിലനിൽക്കട്ടെ. ഇതിനർത്ഥം അത്തരം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്നാണ്, അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നിലനിർത്തുന്നു:
എവിടെ വെച്ച് .
അക്കങ്ങൾ ഏകപക്ഷീയമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ തുല്യമാക്കുന്നു:
.
തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ കൈവശം വയ്ക്കുന്നു:
എവിടെ വെച്ച് .
ശ്രദ്ധിക്കുക, അത്.
ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും . തുടർന്ന്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ,
.
എങ്കിൽ .
അതായത്, ഞങ്ങൾ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തി, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ്:
എവിടെ വെച്ച് .
ഇതിനർത്ഥം a എന്നത് ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയും രണ്ടാമത്തെ നിർവചനവും ആണ്.
തെളിവ് 2 ⇒ 1
2-ആം നിർവചനം പ്രകാരം a സംഖ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയാണെങ്കിൽ, അത് 1-ആം നിർവചനത്തിന്റെ പരിധിയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം നിലനിൽക്കട്ടെ. രണ്ട് പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ എടുക്കുക. അവയിൽ ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കട്ടെ. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും എല്ലാവർക്കും , അത് പിന്തുടരുന്നു
.
എന്നാൽ പ്രകാരം. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ നിന്ന്,
.
അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും, ഞങ്ങൾ രണ്ട് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തി, അതിനാൽ എല്ലാത്തിനും:
.
ഇതിനർത്ഥം, ആദ്യ നിർവചനം അനുസരിച്ച് a എന്ന സംഖ്യയും പരിധിയാണ്.
സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
റഫറൻസുകൾ:
എൽ.ഡി. കുദ്ര്യവത്സെവ്. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ കോഴ്സ്. വാല്യം 1. മോസ്കോ, 2003.
അസമത്വ ചിഹ്നങ്ങളും മോഡുലസും കൂടാതെ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെല്ലാം ഐക്കണുകൾ അറിയാം?
ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഗതിയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ അറിയാം:
- സാർവത്രിക ക്വാണ്ടിഫയർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് - "ഏതെങ്കിലും", "എല്ലാവർക്കും", "ഓരോരുത്തർക്കും", അതായത്, "ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് എപ്സിലോണിന്" എൻട്രി വായിക്കണം;
- അസ്തിത്വ ക്വാണ്ടിഫയർ, - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പെടുന്ന ഒരു മൂല്യമുണ്ട്.
- ഒരു നീണ്ട ലംബ വടി ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: “അത്തരം”, “അത്തരം”, “അത്തരം” അല്ലെങ്കിൽ “അത്തരം”, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വ്യക്തമായും, ഞങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് - അതിനാൽ “അത്തരം”;
- എന്നതിനേക്കാൾ വലുതായ എല്ലാ "en"ക്കും;
- മോഡുലസിന്റെ അടയാളം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ദൂരം, അതായത്. മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എപ്സിലോണിനേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് ഈ എൻട്രി നമ്മോട് പറയുന്നു.
ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നു
തീർച്ചയായും, നമുക്ക് അൽപ്പം ചിന്തിക്കാം - ഒരു ശ്രേണിയുടെ കർശനമായ നിർവചനം എങ്ങനെ രൂപപ്പെടുത്താം? ... ഒരു പ്രായോഗിക പാഠത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ ആദ്യം മനസ്സിൽ വരുന്നത് ഇതാണ്: "ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി, സീക്വൻസ് അംഗങ്ങൾ അനന്തമായി അടുക്കുന്ന സംഖ്യയാണ്."
ശരി, നമുക്ക് ക്രമം എഴുതാം:
അനന്തരഫലം -1 എന്ന സംഖ്യയോട് വളരെ അടുത്താണെന്നും ഇരട്ട-സംഖ്യയുള്ള പദങ്ങൾ "ഒന്ന്" എന്നതിന് അടുത്താണെന്നും കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.
ഒരുപക്ഷേ രണ്ട് പരിധികൾ? എന്നാൽ പിന്നെ എന്തുകൊണ്ട് ചില സീക്വൻസുകളിൽ പത്തോ ഇരുപതോ ആയിക്കൂടാ? അതുവഴി ഒരുപാട് ദൂരം പോകാം. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഒരു ശ്രേണിക്ക് ഒരു പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അദ്വിതീയമാണെന്ന് കരുതുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്.
ശ്രദ്ധിക്കുക: ക്രമത്തിന് പരിധിയില്ല, എന്നാൽ അതിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഉപവിഭാഗങ്ങളെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും (മുകളിൽ കാണുക), ഓരോന്നിനും അതിന്റേതായ പരിധിയുണ്ട്.
അതിനാൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർവചനം അംഗീകരിക്കാനാവാത്തതായി മാറുന്നു. അതെ, ഇത് (പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ലളിതമായ വിശദീകരണങ്ങളിൽ ഞാൻ ശരിയായി ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ല) പോലുള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു കർശനമായ നിർവചനം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
രണ്ട് ശ്രമങ്ങൾ: "ഒരു സീക്വൻസിന്റെ പരിധി, ഒരു പരിമിതമായ എണ്ണം ഒഴികെ, സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും സമീപിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ്." ഇത് സത്യത്തോട് അടുത്താണ്, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും പൂർണ്ണമായും കൃത്യമല്ല. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്രമത്തിൽ, പദങ്ങളുടെ പകുതിയും പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നില്ല - അവ അതിന് തുല്യമാണ് =) വഴിയിൽ, "ഫ്ലാഷിംഗ് ലൈറ്റ്" സാധാരണയായി രണ്ട് നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.
ഫോർമുലേഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, എന്നാൽ മറ്റൊരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിർവചനം എങ്ങനെ എഴുതാം? സാരാംശത്തിൽ, ക്ലാസിക്കൽ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം അതിന്റെ എല്ലാ കാഠിന്യത്തിലും ഔപചാരികമാക്കിയ പ്രശസ്ത മാസ്ട്രോ സ്ഥിതിഗതികൾ പരിഹരിക്കുന്നതുവരെ ശാസ്ത്രലോകം ഈ പ്രശ്നവുമായി വളരെക്കാലം പോരാടി. അയൽപക്കങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കൗച്ചി നിർദ്ദേശിച്ചു, ഇത് സിദ്ധാന്തത്തെ ഗണ്യമായി മുന്നോട്ട് നയിച്ചു.
ചില പോയിന്റുകളും അതിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ അയൽപക്കവും പരിഗണിക്കുക:
"എപ്സിലോണിന്റെ" മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ, അത് സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ നമുക്ക് സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന അയൽപക്കത്തിൽ ചില ക്രമത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം (എല്ലാവരും നിർബന്ധമല്ല) ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഉദാഹരണത്തിന്, പത്താം ടേം അയൽപക്കത്തിൽ വീണു എന്ന വസ്തുത എങ്ങനെ എഴുതാം? അത് അതിന്റെ വലതു വശത്തായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം "epsilon" എന്നതിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം: . എന്നിരുന്നാലും, “എ” പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്താണ് “x പത്താമത്തെ” സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ, വ്യത്യാസം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും, അതിനാൽ മൊഡ്യൂൾ ചിഹ്നം അതിൽ ചേർക്കണം: .
നിർവ്വചനം: ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും അയൽപക്കത്തിന് (മുമ്പ് തിരഞ്ഞെടുത്തത്) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ സീക്വൻസിൻറെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു - ഉയർന്ന സംഖ്യകളുള്ള സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും അയൽപക്കത്തിനുള്ളിലായിരിക്കും:
അല്ലെങ്കിൽ ചെറുത്: എങ്കിൽ
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, "എപ്സിലോണിന്റെ" മൂല്യം എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും, എത്രയും വേഗം അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് ഈ ശ്രേണിയുടെ "അനന്തമായ വാൽ" പൂർണ്ണമായും ഈ അയൽപക്കത്തിലായിരിക്കും.
അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ക്രമത്തിന്റെ "അനന്തമായ വാൽ" പൂർണ്ണമായി പോയിന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഏകപക്ഷീയമായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിലേക്ക് പോകും. അതിനാൽ, ഈ മൂല്യം നിർവചനം അനുസരിച്ച് ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ്. പരിധി പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നത് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു അനന്തമായ ചെറുത്.
ഒരു ക്രമത്തിന് "അനന്തമായ വാൽ പ്രവേശിക്കും" എന്ന് ഇനി പറയാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് - ഒറ്റ സംഖ്യകളുള്ള അംഗങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് കൂടാതെ "എവിടെയും പോകരുത്" =) അതിനാലാണ് ക്രിയ "അവസാനിക്കുന്നത്" ” എന്നത് നിർവചനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, അത്തരമൊരു ശ്രേണിയിലെ അംഗങ്ങൾ "എവിടെയും പോകരുത്." വഴിയിൽ, നമ്പർ അതിന്റെ പരിധി ആയിരിക്കുമോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.
ക്രമത്തിന് പരിധിയില്ലെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കാണിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റിന്റെ ഒരു അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയും ഇല്ല എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനുശേഷം എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഈ അയൽപക്കത്തിൽ ഉണ്ടായിരിക്കും - വിചിത്രമായ അംഗങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും "മൈനസ് ഒന്നിലേക്ക്" "ചാടി" ചെയ്യും. സമാനമായ കാരണത്താൽ, പോയിന്റിൽ പരിധിയില്ല.
ക്രമത്തിന്റെ പരിധി പൂജ്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. നമ്പർ സൂചിപ്പിക്കുക, അതിനുശേഷം ക്രമത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും പോയിന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും സ്വേച്ഛാപരമായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിനുള്ളിൽ ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു.
ശ്രദ്ധിക്കുക: പല സീക്വൻസുകൾക്കും, ആവശ്യമുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - അതിനാൽ നൊട്ടേഷൻ.
പരിഹാരം: പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക, ഒരു സംഖ്യയുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക - ഉയർന്ന സംഖ്യകളുള്ള എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഈ സമീപസ്ഥലത്തായിരിക്കും:
ആവശ്യമായ സംഖ്യയുടെ അസ്തിത്വം കാണിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
ഏത് മൂല്യത്തിനും "en" ആയതിനാൽ, മോഡുലസ് ചിഹ്നം നീക്കം ചെയ്യാവുന്നതാണ്:
ലീനിയർ അസമത്വങ്ങൾ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ എന്നീ പാഠങ്ങളിൽ ഞാൻ ആവർത്തിച്ച അസമത്വങ്ങളുള്ള "സ്‌കൂൾ" പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു പ്രധാന സാഹചര്യം "epsilon" ഉം "en" ഉം പോസിറ്റീവ് ആണ്:
ഇടതുവശത്ത് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ്, വലതുഭാഗം പൊതുവെ ഫ്രാക്ഷണൽ ആയതിനാൽ, അത് വൃത്താകൃതിയിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്:
ശ്രദ്ധിക്കുക: ചിലപ്പോൾ റീഇൻഷുറൻസിനായി ഒരു യൂണിറ്റ് വലതുവശത്ത് ചേർക്കും, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ ഇത് ഒരു ഓവർകില്ലാണ്. താരതമ്യേന പറഞ്ഞാൽ, റൗണ്ട് ഡൌൺ ചെയ്ത് ഫലത്തെ ദുർബലപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള അനുയോജ്യമായ സംഖ്യ ("മൂന്ന്") യഥാർത്ഥ അസമത്വം ഇപ്പോഴും തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അസമത്വത്തിലേക്ക് നോക്കുകയും തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു അയൽപക്കത്തെ കണക്കാക്കിയിരുന്നതായി ഓർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്. "epsilon" എന്നത് ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമായിരിക്കും.
ഉപസംഹാരം : പോയിന്റിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഏതൊരു ചെറിയ അയൽപക്കത്തിനും, എല്ലാ വലിയ സംഖ്യകൾക്കും അസമത്വം നിലനിർത്തുന്ന ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്തി. അങ്ങനെ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ് സംഖ്യ. ക്യു.ഇ.ഡി.
വഴിയിൽ, ലഭിച്ച ഫലത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു സ്വാഭാവിക പാറ്റേൺ വ്യക്തമായി കാണാം: ചെറിയ -അയൽപക്കം, ഈ അയൽപക്കത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ആയതിന് ശേഷമുള്ള സംഖ്യ വലുതായിരിക്കും. എന്നാൽ "എപ്സിലോൺ" എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും, അകത്തും പുറത്തും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു "അനന്തമായ വാൽ" ഉണ്ടായിരിക്കും - ഒരു വലിയ, എന്നാൽ പരിമിതമായ അംഗങ്ങൾ പോലും.
സൈദ്ധാന്തിക മിനിമംസംഖ്യാ ശ്രേണികൾക്ക് ബാധകമായ ഒരു പരിധി എന്ന ആശയം "" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഇതിനകം അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ആദ്യം അവിടെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ വായിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.ഈ വിഷയത്തിന്റെ വിഷയത്തിലേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. മാപ്പിംഗിന്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണ് ഫംഗ്ഷൻ. ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ് പരിഗണിക്കും
ഒരു യഥാർത്ഥ വാദത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം (ഇത് മറ്റ് കേസുകളുടെ സങ്കീർണ്ണതയാണ് - പിന്നീട് ചർച്ചചെയ്യും). ഈ വിഷയത്തിനുള്ളിലെ പ്രവർത്തനം ഇങ്ങനെയാണ് മനസ്സിലാക്കുന്നത്
ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സെറ്റിന്റെ ഓരോ ഘടകത്തിനും ഒന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിയമം അനുസരിച്ച്
സെറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വ്യാപ്തിയിലെ ഓരോ ഘടകവും ഒരു ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ
മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷനെ സിംഗിൾ-വാല്യൂഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം ഫംഗ്‌ഷനെ മൾട്ടി-വാല്യൂഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവിടെ, ലാളിത്യത്തിനായി, നമ്മൾ സംസാരിക്കും
അവ്യക്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഒരു ഫംഗ്ഷനും സീക്വൻസും തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാനപരമായ വ്യത്യാസം ഊന്നിപ്പറയാൻ ഞാൻ ഉടൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: ഈ രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിലും മാപ്പിംഗ് വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സെറ്റുകൾ അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്.
പൊതുവായ ടോപ്പോളജിയുടെ ടെർമിനോളജി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത ഒഴിവാക്കാൻ, കൃത്യതയില്ലാത്ത യുക്തിയുടെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം വിശദീകരിക്കുന്നു. പരിധി ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ
സീക്വൻസുകൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഓപ്ഷനെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ സംസാരിച്ചിട്ടുള്ളൂ: സീക്വൻസിന്റെ മൂലകത്തിന്റെ എണ്ണത്തിന്റെ പരിധിയില്ലാത്ത വളർച്ച. എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂലകങ്ങൾ തന്നെ
സീക്വൻസുകൾ വളരെ വ്യത്യസ്തമായി പെരുമാറി. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ഒരു ചെറിയ അയൽപക്കത്തിൽ അവർക്ക് "കുമിഞ്ഞുകൂടാൻ" കഴിയും; അവ അനിശ്ചിതമായി വളരും, തുടങ്ങിയവ.
ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സീക്വൻസിൻറെ അസൈൻമെന്റ് എന്നത് ഒരു പ്രത്യേക "ഡൊമെയ്നിൽ" ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അസൈൻമെന്റ് ആണ്. നമ്മൾ ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നു
വിഷയത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, പരിധി എന്ന ആശയം കൂടുതൽ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നിർമ്മിക്കണം. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരിധിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ് അതിന്റെ വാദം ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ .
ചോദ്യത്തിന്റെ അത്തരമൊരു രൂപീകരണം സീക്വൻസുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. ചില വ്യക്തതകൾ വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്. അവയെല്ലാം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
വാദപ്രതിവാദം എത്ര കൃത്യമായി പ്രസ്തുത മൂല്യത്തിലേക്കാണ് നീങ്ങുന്നത്.നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം - ഇപ്പോൾ കടന്നുപോകുന്നത്:
ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വിവിധ കേസുകൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. അവതരണത്തിന്റെ കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു പരിധിയുണ്ട് - ഇത് അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാണ്. ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്ന നിർവചനത്തിന്റെ ഏത് പോയിന്റും,
ആർഗ്യുമെന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യത്തിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ ഏത് മൂല്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി പറയാൻ കഴിയും, ആർഗ്യുമെന്റ് ഇല്ലെങ്കിൽ പരിധി പരിമിതമായിരിക്കും
അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നില്ല. ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു ഇടവേളയുണ്ട്. ഇത് ബ്രേക്ക് പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗുണങ്ങളെ ബാധിക്കുന്നു, എന്നാൽ പരിധിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്
ഈ പോയിന്റ് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടില്ല. ഫംഗ്ഷൻ ഇതിനകം കൂടുതൽ രസകരമാണ്: ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പരിധിയുടെ മൂല്യം എന്താണെന്ന് വ്യക്തമല്ല.
നമ്മൾ വലതുവശത്തുള്ള പോയിന്റിനെ സമീപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഒരു മൂല്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു, ഇടതുവശത്താണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മറ്റൊരു മൂല്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. മുമ്പത്തേതിൽ
ഉദാഹരണങ്ങൾ ആയിരുന്നില്ല. ഫംഗ്ഷൻ, പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ, ഇടതുവശത്ത്, വലതുവശത്ത് പോലും, അതേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അനന്തതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു -
ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ആർഗ്യുമെന്റ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനാൽ അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, എന്നാൽ അനന്തതയുടെ അടയാളം എങ്ങനെ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു
വശത്ത് ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. അവസാനമായി, ഫംഗ്ഷൻ പൂർണ്ണമായും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തവിധം പൂജ്യത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.എപ്സിലോൺ-ഡെൽറ്റ ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിധി എന്ന ആശയം ഔപചാരികമാക്കുന്നു. സീക്വൻസ് പരിധിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം ആവശ്യം ആയിരിക്കും
ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ആഗ്രഹം കുറച്ച് മൂല്യത്തിലേക്ക് നിർദ്ദേശിക്കുക. ഇതിന് ഒരു സെറ്റിന്റെ പരിധി പോയിന്റ് എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്, അത് ഈ സന്ദർഭത്തിൽ സഹായകമാണ്.
ഏതെങ്കിലും അയൽപക്കത്തിലാണെങ്കിൽ ഒരു പോയിന്റിനെ ഒരു സെറ്റിന്റെ പരിധി പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നുഅനന്തമായ പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു,
യിൽ നിന്നുള്ളതും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. എന്തുകൊണ്ടാണ് അത്തരമൊരു നിർവചനം ആവശ്യമെന്ന് കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് വ്യക്തമാകും.അതിനാൽ, സംഖ്യയെ പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സെറ്റിന്റെ പരിധി പോയിന്റാണ്, അതിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു
ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ
നമുക്ക് ഈ നിർവചനം ഓരോന്നായി വിശകലനം ചെയ്യാം. ഇവിടെ നമ്മൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ആഗ്രഹവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഗങ്ങൾ മൂല്യത്തിലേക്കും ഫംഗ്ഷന്റെ ആഗ്രഹത്തിലേക്കും വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു
മൂല്യത്തിലേക്ക്. രേഖാമൂലമുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം ഒരാൾ മനസ്സിലാക്കണം, അത് ഏകദേശം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കാം.
ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, പോയിന്റിന്റെ മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് ചെയ്യും
സംഖ്യയുടെ മതിയായ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം നേടുക. മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ സമീപസ്ഥലം ചെറുതായിരിക്കും
വാദം, ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ വീഴുന്ന പോയിന്റിന്റെ സമീപസ്ഥലം ചെറുതായിരിക്കും.നമുക്ക് വീണ്ടും പരിധിയുടെ ഔപചാരിക നിർവചനത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, ഇപ്പോൾ പറഞ്ഞതിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ അത് വായിക്കാം. ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ അയൽപക്കത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു
അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ വാദത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കും. മാത്രമല്ല, വാദത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, തീർച്ചയായും, ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയിൽ നിന്നുള്ളതാണ്, മാത്രമല്ല ഫംഗ്ഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.
ഡോട്ട്: ഞങ്ങൾ അഭിലാഷം എഴുതുകയാണ്, യാദൃശ്ചികമല്ല! അതിനാൽ, പോയിന്റിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ,
അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിലേക്ക് വീഴും.
അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ നിർവചനം ഒരുമിച്ച് കൊണ്ടുവരുന്നു. നമ്മൾ എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും - പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം തിരഞ്ഞെടുത്താലും, പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം എപ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കും.
അതിൽ നിന്ന് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തെത്തും . തീർച്ചയായും, ഈ കേസിൽ ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കമാണ് വലിപ്പം
പോയിന്റിന്റെ ഏത് അയൽപക്കമാണ് നൽകിയത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ അയൽപക്കം ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ വ്യാപനം
വാദം വലുതായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യത്തിന്റെ സമീപത്ത് കുറയുന്നതോടെ, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ അനുബന്ധ വ്യാപനവും കുറയും (ചിത്രം 2 കാണുക).ചില വിശദാംശങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, പോയിന്റ് ഒരു പരിധി ആയിരിക്കണമെന്ന നിബന്ധന, ആ പോയിന്റ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു
-അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് പൊതുവെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റേതാണ്. രണ്ടാമതായി, വ്യവസ്ഥയുടെ പരിധി നിശ്ചയിക്കുന്നതിൽ പങ്കാളിത്തംഅർത്ഥമാക്കുന്നത്
ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിന് ഇടത്തോ വലത്തോട്ടോ ഒരു മൂല്യത്തെ സമീപിക്കാൻ കഴിയും.ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റ് അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഒരു പരിധി പോയിന്റ് എന്ന ആശയം പ്രത്യേകം നിർവചിക്കേണ്ടതാണ്. പരിധി വിളിച്ചു
ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഇടവേളയിൽ കണക്കാക്കാനാവാത്ത ഒരു സെറ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സെറ്റ് പോയിന്റ്
സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള പോയിന്റുകൾ.നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം. പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക താൽപ്പര്യമുള്ളതല്ല. നമുക്ക് മറ്റ് സവിശേഷതകളെ അടുത്ത് നോക്കാം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ.
ഉദാഹരണം 1 ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു കിങ്ക് ഉണ്ട്.
ഫംഗ്ഷൻഒരു ബിന്ദുവിൽ ഏകത്വം ഉണ്ടെങ്കിലും, ഈ ഘട്ടത്തിൽ അതിന് ഒരു പരിധിയുണ്ട്. പൂജ്യത്തിലെ ഏകത്വം സുഗമമായ നഷ്ടമാണ്.
ഉദാഹരണം 2 ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ.
ഒരു പോയിന്റിലെ പ്രവർത്തനത്തിന് പരിധിയില്ല. ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു പരിധിയുടെ നിലനിൽപ്പിന്, എപ്പോൾ അത് ആവശ്യമാണ്
ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും, ഫംഗ്ഷൻ ഒരേ മൂല്യം ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇവിടെ അങ്ങനെയല്ലെന്ന് വ്യക്തം. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പരിധി എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.
ആർഗ്യുമെന്റ് വലിയ മൂല്യങ്ങളുടെ വശത്ത് നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരാൾ വലതുവശത്തുള്ള പരിധിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു; ചെറിയ മൂല്യങ്ങളുടെ വശത്ത് നിന്നാണെങ്കിൽ -
ഇടത് കൈ പരിധിയെക്കുറിച്ച്.
പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ- വലതുവശത്തുള്ള പരിധി എന്നിരുന്നാലും, സൈനിന്റെ അനന്തമായ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ പരിധിയുടെ നിലനിൽപ്പിനെ തടസ്സപ്പെടുത്താത്തപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം (കൂടാതെ, രണ്ട് വശങ്ങളും).
ഒരു ഉദാഹരണം ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ചാർട്ട് ചുവടെയുണ്ട്; അയൽപക്കത്ത് അത് അവസാനം വരെ നിർമ്മിക്കുക
ഉത്ഭവം സാധ്യമല്ല. ലെ പരിധി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.പരാമർശത്തെ .
1. ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനമുണ്ട് - വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. Heine എന്നതിന്റെ നിർവചനം. അവിടെ, ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു
വാദം - തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ ശ്രേണി ഈ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യത്തിനായുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധിയിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു. ഹെയ്‌നിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെയും ഭാഷാ നിർവചനത്തിന്റെയും തുല്യത
"epsilon-delta" തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.
2. രണ്ടോ അതിലധികമോ ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കാര്യം സങ്കീർണ്ണമാണ്
ആവശ്യമായ മൂല്യത്തിലേക്ക്. ഒരു ആർഗ്യുമെന്റ് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇടത്തോ വലത്തോ നിന്ന് ആവശ്യമായ മൂല്യത്തിനായി പരിശ്രമിക്കാം. കൂടുതൽ വേരിയബിളുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കേസ്
സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളും ഒരു പ്രത്യേക ചർച്ചയും ആവശ്യമാണ്.
