積分 dx 1 4x の根 2. オンラインで積分を解く

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変数の無理関数は、有限数の加算、減算、乗算 (整数乗)、除算、根の演算を使用して、変数と任意の定数から形成される関数です。 無理関数は、根を抽出する演算を含むという点で有理関数とは異なります。

無理関数には主に 3 つのタイプがあり、その不定積分は有理関数の積分に還元されます。 これらは、線形分数関数からの任意の整数べき乗の根を含む積分です (ルートは異なるべき乗であっても構いませんが、同じ線形分数関数からのものです)。 微分二項式の積分と平方三項式の平方根による積分。

重要な注意点。 根には色々な意味があるのですね！

根を含む積分を計算する場合、 は積分変数の関数である形式の式がよく出てきます。 そのことを念頭に置く必要があります。 つまり、 t > 0 , |t| = t。 で< 0 , |t| = -t 。したがって、このような積分を計算するときは、t > の場合を個別に考慮する必要があります。 0 そして、< 0 。 これは、サインを書くか、必要な場所に行うことによって行うことができます。 上の記号が t > の場合を指していると仮定します。 0 、下の方は t の場合< 0 。 さらに変化すると、通常、これらの兆候は互いに打ち消し合います。

2 番目のアプローチも可能です。このアプローチでは、被積分関数と積分結果を複素変数の複素関数とみなすことができます。 そうすれば、過激な表現の記号に注意を払う必要がなくなります。 このアプローチは、被積分関数が解析的、つまり複素変数の微分可能な関数である場合に適用できます。 この場合、被積分関数とその積分は両方とも多値関数です。 したがって、積分後に数値を代入する場合には、被積分関数の単一値の枝（リーマン面）を選択し、それに対応する積分結果の枝を選択する必要があります。

分数線形無理理

これらは、同じ分数線形関数からの根を持つ積分です。
,
ここで、R は有理関数、は有理数、m 1、n 1、...、m s、n s は整数、α、β、γ、δ は実数です。
このような積分は、次の代入によって有理関数の積分に還元されます。
ここで、n は数値 r 1, ..., r s の公分母です。

根は必ずしも線形分数関数から得られるわけではなく、線形分数関数から得られることもあります (γ = 0 、δ = 1)、または積分変数 x (α = 1、β = 0、γ = 0、δ = 1).

そのような積分の例を次に示します。
, .

微分二項式からの積分

微分二項式からの積分は次の形式になります。
,
ここで、m、n、p は有理数、a、b は実数です。
このような積分は、3 つの場合に有理関数の積分に帰着します。

1) p が整数の場合。 置換 x = t N、ここで N は分数 m と n の公分母です。
2) If - 整数。 置換 a x n + b = t M、ここで M は数値 p の分母です。
3) If - 整数。 置換 a + b x - n = t M、ここで M は数値 p の分母です。

他の場合には、そのような積分は初等関数を通じて表現されません。

このような積分は、次のような換算式を使用して簡略化できる場合があります。
;
.

平方三項式の平方根を含む積分

このような積分は次の形式になります。
,
ここで、R は有理関数です。 このような積分ごとに、それを解決するためのいくつかの方法があります。
1) 変換を使用すると、より単純な積分が得られます。
2) 三角関数または双曲線の置換を適用します。
3) オイラー置換を適用します。

これらの方法をさらに詳しく見てみましょう。

1) 被積分関数の変形

式を適用して代数変換を実行すると、被積分関数は次の形式に簡略化されます。
,
ここで、φ(x)、ω(x) は有理関数です。

タイプI

形式の積分:
,
ここで、P n (x) は n 次の多項式です。

このような積分は、次の恒等式を使用した不定係数の方法によって求められます。

.
この方程式を微分し、左辺と右辺を等しくすると、係数 A i が求められます。

タイプⅡ

形式の積分:
,
ここで、P m (x) は m 次の多項式です。

代入 t = (x - α) -1この積分は前のタイプに変換されます。 m ≥ n の場合、分数には整数部分が必要です。

Ⅲ型

ここで置換を行います。
.
その後、積分は次の形式になります。
.
次に、分母の t の係数がゼロになるように定数 α、β を選択する必要があります。
B = 0、B 1 = 0。
次に、積分は 2 つのタイプの積分の合計に分解されます。
,
,
これらは置換によって統合されます。
u 2 = A 1 t 2 + C 1、
v 2 = A 1 + C 1 t -2 。

2) 三角関数と双曲線の置換

の形式の積分の場合、 > 0 ,
主要な置換は 3 つあります。
;
;
;

積分の場合、 > 0 ,
次のような置換があります。
;
;
;

そして最後に、積分については、 > 0 ,
置換は次のとおりです。
;
;
;

3) オイラー置換

また、積分は、次の 3 つのオイラー置換のいずれかの有理関数の積分に還元できます。
、a > 0の場合。
、 c > 0 の場合。
ここで、x 1 は方程式 a x 2 + b x + c = 0 の根です。 この方程式に実根がある場合。

楕円積分

結論として、次の形式の積分を考えてみましょう。
,
ここで、 R は有理関数 です。 このような積分は楕円と呼ばれます。 一般に、これらは初等関数では表現されません。 ただし、係数 A、B、C、D、E の間に関係がある場合があり、そのような積分は初等関数で表現されます。

以下は再帰多項式に関連する例です。 このような積分の計算は、置換を使用して実行されます。
.

例

積分を計算します。
.

解決

置き換えてみましょう。

.
ここ x > 0 (u> 0 ) 上の記号「+」を取ります。 x で< 0 (u< 0 ） - より低い '- '。

.

答え

参考文献:
N.M. ガンター、R.O. クズミン、高等数学の問題集、「Lan」、2003 年。

与えられた区間 X で微分可能な関数 F(x) が呼び出されます。 関数の逆導関数すべての x ∈X に対して次の等式が成り立つ場合、f(x)、または f(x) の積分。

F " (x) = f(x)。(8.1)

指定された関数のすべての逆導関数を見つけることをその関数と呼びます。 統合。 不定積分関数指定された区間 X における f(x) は、関数 f(x) のすべての逆微分関数のセットです。 指定 -

F(x) が関数 f(x) の逆導関数である場合、 ∫ f(x)dx = F(x) + C、(8.2)

ここで、C は任意の定数です。

積分の表

定義から直接、不定積分の主な性質と表積分のリストを取得します。

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

表形式積分のリスト

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m≠-1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0、a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = 逆正弦 x + C

10. = - ctg x + C

変数の置換

多くの関数を統合するには、変数置換メソッドを使用するか、 置換、これにより、積分を表形式に減らすことができます。

関数 f(z) が [α,β] 上で連続である場合、関数 z =g(x) は連続導関数を持ち、α ≤ g(x) ≤ β です。

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz、(8.3)

さらに、右辺の積分後、z=g(x) という置換を行う必要があります。

それを証明するには、元の積分を次の形式で書くだけで十分です。

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x)。

例えば：

部品による一体化方法

u = f(x) および v = g(x) を連続 を持つ関数としましょう。 さて、作品によれば、

d(uv))= udv + vdu または udv = d(uv) - vdu。

式 d(uv) の場合、反導関数は明らかに uv となるため、次の式が成り立ちます。

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

この式は法則を表します 部品ごとの統合。 これにより、式 udv=uv"dx の統合が式 vdu=vu"dx の統合につながります。

たとえば、∫xcosx dx を見つけたいとします。 u = x、dv = cosxdx とします。したがって、du=dx、v=sinx となります。 それから

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

部分による積分の規則は、変数の置換よりも適用範囲が限定されています。 しかし、積分にはクラス全体が存在します。たとえば、

∫x k ln m xdx、∫x k sinbxdx、∫ x k cosbxdx、∫x k e ax などは、部分積分により正確に計算されます。

定積分

定積分の概念は次のように導入されます。 関数 f(x) を区間上で定義するとします。 セグメント [a,b] を次のように分割しましょう。 n点による部分 a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1。 f(ξ i)Δ x i の形式の和は次のように呼ばれます。 整数和、および λ = maxΔx i → 0 におけるその極限が存在し、有限である場合は、と呼ばれます。 定積分関数 f(x) の ある前に bそして指定されています:

Ｆ（ξ ｉ ）Δｘ ｉ （８．５）。

この場合の関数 f(x) は次のように呼ばれます。 区間で積分可能、数字aとbは呼ばれます 積分の下限と上限.

定積分には次の特性が当てはまります。

4)、(k = const、k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈)。

最後のプロパティは次のように呼ばれます 平均値定理.

f(x) が 上で連続であるとします。 次に、このセグメントには不定積分があります

∫f(x)dx = F(x) + C

そして起こる ニュートン・ライプニッツの公式、定積分と不定積分を接続します。

F(b) - F(a)。 (8.6)

幾何学的解釈: 定積分は、上から曲線 y=f(x)、直線 x = a および x = b、および軸のセグメントによって境界付けられる曲線台形の領域です。 牛.

不適切な積分

無限の極限を持つ積分と不連続 (無制限) 関数の積分は、と呼ばれます。 あなた自身のものではありません。 第一種不適切積分 -これらは無限区間にわたる積分であり、次のように定義されます。

(8.7)

この制限が存在し、有限である場合は、次のように呼ばれます。 f(x) の収束不適切積分区間 [a,+ ∞) で関数 f(x) が呼び出されます 無限区間にわたって積分可能[a,+ ∞)。 それ以外の場合、積分は次のように言われます。 存在しないか、発散している.

区間 (-∞,b] および (-∞, + ∞) の不適切な積分も同様に定義されます。

無制限関数の積分の概念を定義しましょう。 f(x) がすべての値に対して連続である場合 バツ f(x) が無限不連続になる点 c を除くセグメント 、すると、 第 2 種の不適切な積分 f(x) aからbまでの範囲金額は次のように呼ばれます。

これらの制限が存在し、有限である場合。 指定：

積分計算の例

例3.30。∫dx/(x+2) を計算します。

解決。 t = x+2 とすると、dx = dt、∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| となります。 + C = ln|x+2| +C.

例3.31。 ∫ tgxdx を見つけます。

解決。∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx。 t=cosx とすると、∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| となります。 + C = -ln|cosx|+C。

解決。

例3.33. 探す 。

解決。 = .

例3.34 。 ∫arctgxdx を見つけます。

解決。 パーツごとに統合してみましょう。 u=arctgx、dv=dxと表します。 次に、du = dx/(x 2 +1)、v=x となります。ここで、∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; なぜなら
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C。

例3.35 。 ∫lnxdxを計算します。

解決。部分による積分の公式を適用すると、次の結果が得られます。
u=lnx、dv=dx、du=1/x dx、v=x。 すると、∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

例3.36 。 ∫e x sinxdx を計算します。

解決。 u = e x、dv = sinxdx、次に du = e x dx、v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx と表します。 また、積分 ∫e x cosxdx を部分的に積分します: u = e x 、 dv = cosxdx、du=e x dx、v=sinx。 我々は持っています：
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx。 関係 ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx が得られ、そこから 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C が得られます。

例 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x を計算します。

解決。 dx/x = dlnx なので、J= ∫cos(lnx)d(lnx) となります。 lnx を t に置き換えると、表積分 J = ∫costdt = sint + C = sin(lnx) + C に到達します。

例 3.38 。 J = を計算します。

解決。= d(lnx) と考えて、lnx = t と代入します。 すると、J = .

例 3.39 。 積分 J = を計算します。 .

解決。我々は持っています： 。 したがって =
=
=。 次のように入力します: sqrt(tan(x/2))。

結果ウィンドウの右上隅にある [ステップの表示] をクリックすると、詳細な解決策が表示されます。