イプシロン近傍とは何ですか。 MA. 機能制限。イプシロンデルタ言語での定義。エンドポイントの近隣

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テクスVC -近所関数分析および関連分野における集合は、そのような集合であり、その各点は指定された集合から以下の値だけ削除されます。 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon .

定義

させて 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): (X,\varrho)計量空間があり、 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; math/README を参照してください - セットアップのヘルプ。): x_0 \in X,そして 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon > 0。 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon-周囲 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC セットと呼ばれる

式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

サブセットを与えてみましょう 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては、math/README を参照してください。): A \subset X.それから 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon-このセットの近くがセットです

式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x)。

ノート

式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon- ポイントの近傍 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; math/README を参照してください - セットアップのヘルプ): x_0したがって、中心がにあるオープンボールはと呼ばれます 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; math/README を参照してください - セットアップのヘルプ): x_0と半径 式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon。
定義から直接次のことがわかります。

式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

式を解析できません (実行可能ファイル) テクスVC見つかりません; セットアップのヘルプについては math/README を参照してください。): \varepsilon-neighborhood は近所、特にオープンセットです。

例

記事「イプシロン界隈」についてレビューを書く

イプシロン地区の特徴を示す抜粋

- さて、聞いてみましょうか？ – 少女はせっかちに私を押しました。
私たちは近づいてきました...そして私は輝く波の素晴らしく柔らかい感触を感じました...それは信じられないほど優しく、驚くほど愛情深く、心を落ち着かせるものであり、同時に、驚きと少し警戒心のまさに「深さ」に浸透するものでした魂...静かな「音楽」が私の足に沿って流れ、何百万もの異なる色合いで振動し、上向きに上昇し、何か素晴らしく美しい、言葉では言い表せない何かで私を包み始めました...私は飛んでいるように感じました、しかしそこにありました飛行機ではありませんでした、それは現実には起こりませんでした。素晴らしかったです！...迫り来る新しい波の中ですべての細胞が溶けて溶け、輝く黄金が私を洗い流し、すべての悪いことや悲しいことを取り除き、私の魂に純粋で原始的な光だけを残しました...
私は自分がどのようにしてこの輝かしい奇跡に入り込み、ほとんど真っ逆さまに飛び込んだのかさえ感じませんでした。信じられないほど素晴らしかったので、そこを離れたくありませんでした...
- まあ、もう十分です！任務が私たちを待っています！ – 輝く美しさにステラの主張のある声が飛び出す。 - 気に入りましたか？
- ああ、そうだね！ – 息を吐きました。 – 外出したくなかったのです！
- その通り！そのため、次の転生まで「入浴」する人もいます...そして、彼らは二度とここに戻ることはありません...

数直線上の点の近傍の一般的な定義を検討します。イプシロン近傍、有限点および無限点の左側、右側、および穴あき近傍の定義。近所の物件。 Cauchy に従って関数の極限を決定する際のイプシロン近傍と任意の近傍の使用の等価性に関する定理が証明されています。

コンテンツ

点の近傍を決定する

実数点 x の近傍 0 この点を含む開いた区間は次のように呼ばれます。
.
ここでε 1 とε 2 - 任意の正の数。

イプシロン - 点 x の近傍 0 点 x までの距離を表す点の集合です。 0 ε未満:
.

点 x の穴が開いた近傍 0 点 x 自体が除外される、この点の近傍です。 0 :
.

エンドポイントの近隣

一番最初に、点の近傍の定義が与えられました。として指定されます。ただし、適切な引数を使用して、近傍が 2 つの数値に依存していることを明示的に示すことができます。
(1) .
つまり、近傍とは、開いた区間に属する点のセットです。

εの等価性 1 εへ 2 、イプシロン - 近傍を取得します。
(2) .
イプシロン近傍は、等距離の端を持つ開いた区間に属する一連の点です。
もちろん、文字イプシロンを他の文字に置き換えて、δ - 近傍、σ - 近傍などを考慮することもできます。

極限理論では、集合 (1) と集合 (2) の両方に基づいて近傍の定義を使用できます。これらの近傍のいずれかを使用すると、同等の結果が得られます (参照)。しかし、定義 (2) の方が簡単なので、イプシロン ((2) から求められる点の近傍) がよく使用されます。

エンドポイントの左側、右側、およびパンクチャされた近傍の概念も広く使用されています。それらの定義は次のとおりです。

実点xの左近傍 0 x 点の左側の実軸上に位置する半開区間です。 0 、ポイント自体も含めて:
;
.

実数点 x の右側近傍 0 点 x の右側にある半開区間です。 0 、ポイント自体も含めて:
;
.

エンドポイントのパンクした近傍

点 x の穴が開いた近傍 0 - これらは、ポイント自体が除外される同じ近傍です。それらは文字の上に丸で示されています。それらの定義は次のとおりです。

点 x の穴が開いた近傍 0 :
.

穴の開いたイプシロン - 点 x の近傍 0 :
;
.

ピアス左側付近:
;
.

右側付近のパンク:
;
.

無限遠点の近傍

端点に加えて、無限遠点の近傍の概念も導入されます。無限大には実数が存在しないため、これらはすべてパンクチャされます (無限大の点は無限大のシーケンスの限界として定義されます)。

.
;
;
.

次のように無限遠点の近傍を決定することができました。
.
ただし、M の代わりにを使用します。これにより、エンドポイント近傍の場合と同様に、より小さい ε を持つ近傍が、より大きい ε を持つ近傍のサブセットになります。

近隣の不動産

次に、点 (有限または無限) の近傍の明らかな特性を使用します。それは、ε の値が小さい点の近傍は、ε の値が大きい近傍の部分集合であるという事実にあります。ここではより厳密な定式化を示します。

最後の点、または無限に遠い点があるとします。放っておいて。
それから
;
;
;
;
;
;
;
.

逆もまた真です。

コーシーによる関数の極限の定義の等価性

ここで、コーシーに従って関数の極限を決定する際に、任意の近傍と等距離の端を持つ近傍の両方を使用できることを示します。

定理
任意の近傍と等距離の端を持つ近傍を使用する関数の極限のコーシー定義は同等です。

証拠

定式化しましょう 関数の極限の最初の定義.
数値 a は、任意の正の数値に依存する数値があり、すべての数値が点 a の対応する近傍に属する場合、ある点 (有限または無限) における関数の極限です。
.

定式化しましょう 関数の極限の 2 番目の定義.
任意の正の数に対して、すべての正の数に依存する数が存在する場合、数値 a は、ある点における関数の極限です。
.

証明1 ⇒ 2

数値 a が最初の定義による関数の極限である場合、それは 2 番目の定義による極限でもあることを証明しましょう。

最初の定義が満たされるようにします。これは、関数とがあることを意味するため、任意の正の数については次のことが当てはまります。
どこで。

数値は任意であるため、それらを同等にします。
.
次に、そのような関数とがあるため、次のことが当てはまります。
どこで。

注目してください。
正の数との最小値をとします。そして、上で述べたことによると、
.
もしそうなら。

つまり、そのような関数が見つかったので、次のことが当てはまります。
どこで。
これは、数値 a が 2 番目の定義による関数の極限であることを意味します。

証明2 ⇒ 1

数値 a が 2 番目の定義による関数の極限である場合、それは 1 番目の定義による極限でもあることを証明しましょう。

2 番目の定義が満たされるようにします。 2 つの正の数とを考えてみましょう。そして、それは最小限のものにしましょう。次に、2 番目の定義によれば、そのような関数が存在するため、任意の正の数とすべてのについて、次のようになります。
.

しかし、によると、。したがって、以下のことから、
.

次に、正の数とについては 2 つの数が見つかり、すべての場合は次のようになります。
.

これは、数値 a が最初の定義による限界であることを意味します。

定理は証明されました。

参考文献:
L.D. クドリャフツェフ。数学的解析のコース。第 1 巻。モスクワ、2003 年。

不等号と係数以外にどんな記号を知っていますか?

代数コースから、次の表記法がわかります。

– 全称量指定子は、「任意の」、「すべての」、「すべての」を意味します。つまり、エントリは「任意の正のイプシロン」として読み取られる必要があります。

– 存在量指定子、 – 自然数の集合に属する値が存在します。

– 長い垂直棒は次のように読みます。「そのような」、「そのような」、「そのような」、または「そのような」。この場合、明らかに数字について話しているため、「そのような」。

– より大きいすべての「en」の場合;

– 係数記号は距離を意味します。つまり、このエントリは、値間の距離がイプシロン未満であることを示しています。

シーケンス制限の決定

実際、少し考えてみましょう - シーケンスの厳密な定義を定式化するにはどうすればよいでしょうか? ...実践的なレッスンを踏まえて最初に思い浮かぶのは、「数列の限界とは、数列のメンバーが無限に近づく数である」ということです。

さて、シーケンスを書き留めてみましょう。

部分列が数値 -1 に限りなく近づき、偶数の項が「1」に近づくことを理解するのは難しくありません。

それとも制限が 2 つあるのでしょうか? しかし、では、どのシーケンスにもそれらを 10 個や 20 個含めることができないのはなぜでしょうか? この道なら遠くまで行けるよ。この点に関して、シーケンスに制限がある場合、それが唯一のものであると想定するのが論理的です。

注: シーケンスには制限がありませんが、シーケンスから 2 つのサブシーケンスを区別することができ (上記を参照)、それぞれに独自の制限があります。

したがって、上記の定義は支持できないことがわかります。はい、これは次のような場合には機能します (実際の例の簡略化した説明ではあまり正確に使用しませんでした) が、今度は厳密な定義を見つける必要があります。

試み 2: 「シーケンスの限界は、有限数を除く、シーケンスのすべてのメンバーが近づく数です。」これは真実に近いですが、まだ完全に正確ではありません。したがって、たとえば、数列の項の半分はまったくゼロに近づきません - それらは単にゼロに等しいだけです =) ところで、「点滅する光」は通常 2 つの固定値を取ります。

この定式化を明確にするのは難しくありませんが、別の疑問が生じます。定義を数学記号でどのように記述するかということです。科学界は、本質的に古典的な数学的分析を厳密に形式化した有名な巨匠によって状況が解決されるまで、長い間この問題と格闘していました。コーシーは周辺地域での作戦を提案し、理論を大きく前進させた。

特定の点とその任意の近傍を考えてみましょう。

「イプシロン」の値は常に正であり、さらに、私たちはそれを自分で選択する権利を持っています。特定の近傍に、あるシーケンスの多くのメンバー (必ずしもすべてではない) が存在すると仮定します。例えば10期が近くにあるということをどうやって書くか。それを右側に置きます。この場合、点と点の間の距離は「イプシロン」未満である必要があります。ただし、「x 10 分の 1」が点「a」の左側にある場合、差は負になるため、それに係数符号を追加する必要があります。

定義: 数値は、その近傍 (事前に選択された) のいずれかに自然数があり、より大きな数値を持つシーケンスのすべてのメンバーが近傍内にある場合、その数値はシーケンスの極限と呼ばれます。

簡単に言えば、もし

言い換えれば、「イプシロン」値がどれほど小さいとしても、遅かれ早かれ、シーケンスの「無限の尾部」は完全にこの近傍にあることになります。

したがって、たとえば、シーケンスの「無限の尾部」は点の任意の小さな近傍に完全に入ります。したがって、この値は定義によるシーケンスの限界です。極限がゼロであるシーケンスは呼び出されることを思い出してください。 無限小。

シーケンスについては、「無限の尾が来る」と言うのはもはや不可能であることに注意してください - 奇数の項は実際にはゼロに等しく、「どこにも行きません」 =) これが、動詞「でしょう」が現れる理由です」という定義が使われています。そしてもちろん、このようなシーケンスのメンバーも「どこにも行きません」。ちなみに、その数が限界かどうか確認してください。

ここで、シーケンスに制限がないことを示します。たとえば、点の近傍を考えてみましょう。すべての項が特定の近傍に収まるような数値が存在しないことは絶対に明らかです。奇数の項は常に「マイナス 1」に「ジャンプ」します。同様の理由で今のところ制限はありません。

数列の極限がゼロであることを証明してください。シーケンスのすべてのメンバーが点の任意の小さな近傍内にあることが保証されるまでの数値を指定します。

注: 多くのシーケンスでは、必要な自然数は値に依存するため、表記が異なります。

解決策: 点の任意の近傍を考慮し、より大きな数値を持つすべての項がこの近傍内に収まるような数値があるかどうかを確認します。

必要な数の存在を示すために、それをで表現します。

「en」のどの値でもモジュラス記号は削除できるため、次のようになります。

私たちは、線形不等式と関数の領域のレッスンで繰り返した、不等式を伴う「学校」アクションを使用します。この場合、重要な状況は、「epsilon」と「en」が正であるということです。

ここで話しているのは左側の自然数であり、右側は一般に小数であるため、四捨五入する必要があります。

注: 安全を確保するために右側にユニットが追加されることがありますが、実際にはこれはやりすぎです。相対的に言えば、切り捨てによって結果を弱めたとしても、最も近い適切な数値 (「3」) は依然として元の不等式を満たします。

ここで不等式を見てみましょう。最初に任意の近傍を考えたことを思い出してください。「イプシロン」は任意の正の数に等しくなります。

結論 : 点の任意の小さな近傍について、より大きなすべての数値について不等式が満たされるような値が見つかりました。したがって、定義上、数値はシーケンスの制限となります。 Q.E.D.

ちなみに、得られた結果からは自然なパターンがはっきりとわかります。近傍が小さいほど数値が大きくなり、その後、シーケンスのすべてのメンバーがこの近傍に入ります。しかし、「イプシロン」がどれほど小さくても、項の内側と外側には常に「無限の尾部」が存在します。項の数が大きくても有限であってもです。

理論上の最小値
数列に関する極限の概念は、トピック「」ですでに紹介されています。
まずはそこに含まれる内容を読むことをお勧めします。
このトピックの主題に移りますが、関数の概念を思い出してみましょう。この関数はマッピングの別の例です。最も単純なケースを考えてみましょう
1 つの実引数の実関数 (他の場合の困難については後で説明します)。このトピック内の関数は次のように理解されます。
関数が定義されているセットの各要素に 1 つまたは複数の要素が割り当てられる法則
セットは関数値のセットと呼ばれます。関数の定義領域の各要素に 1 つの要素が割り当てられている場合
値のセットの場合、関数は単一値と呼ばれ、それ以外の場合、関数は複数値と呼ばれます。簡単にするために、以下についてのみ説明します。
明確な関数。
関数とシーケンスの基本的な違いをすぐに強調したいと思います。これら 2 つの場合、マッピングによって接続されたセットは大きく異なります。
一般的なトポロジーの用語を使用する必要を避けるために、不正確な推論を使用して違いを説明します。限界について議論するとき
シーケンスに関しては、シーケンス要素数の無制限の増加という 1 つのオプションのみについて説明しました。この数の増加に伴い、要素自体が
シーケンスははるかに多様に動作しました。それらは、特定の数の小さな近隣に「蓄積」する可能性があります。彼らは無限に成長する可能性があるなど。
大まかに言えば、シーケンスを指定することは、離散的な「定義領域」上で関数を指定することです。関数について話す場合、その定義は与えられています
トピックの冒頭では、制限の概念をより慎重に構築する必要があります。関数の限界について話すのは理にかなっています 引数が特定の値に向かう傾向があるとき .
この質問の定式化は、シーケンスに関しては意味がありませんでした。いくつかの説明をする必要があります。それらはすべて、
議論が問題の意味をどのように正確に追求しているか。
いくつかの例を見てみましょう - ここでは簡単に説明します。

これらの機能により、さまざまなケースを考慮できるようになります。ここでは、説明をより明確にするために、これらの関数のグラフを示します。
関数には、その定義領域のどの時点でも制限があります。これは直感的に明らかです。定義領域のどの点を取り上げても、
引数が選択された値になる場合、関数がどのような値になるかをすぐに知ることができ、引数だけであれば制限は有限になります。
無限大になる傾向はありません。関数のグラフにねじれがあります。これはブレークポイントでの関数のプロパティに影響しますが、制限の観点からは
この点は強調されていません。この関数はすでにさらに興味深いものになっています。この時点では、関数にどのような制限値を割り当てるかが明確ではありません。
右から点に近づくと関数は 1 つの値に向かう傾向があり、左からある点に近づくと関数は別の値に向かう傾向があります。以前は
このような例はありませんでした。関数が左からでも右からでもゼロになる傾向がある場合、関数は同じように動作し、無限大になる傾向があります。
引数がゼロになる傾向があるため無限大になる傾向がある関数とは対照的に、無限大の符号は何によって異なります。
側はゼロに近づいています。最後に、関数はゼロではまったく理解できない動作をします。
「イプシロンデルタ」言語を使用して、極限の概念を形式化してみましょう。シーケンス制限の定義との主な違いは、
関数の引数が特定の値になる傾向を説明します。これにはセットの限界点の概念が必要ですが、これはこの文脈では補助的なものです。
近傍にある点は集合の限界点と呼ばれます無数のポイントが含まれています
に属し、とは異なります。少し後に、なぜそのような定義が必要なのかが明らかになるでしょう。
したがって、この数値は、その点での関数の限界と呼ばれます。これは、関数が定義されているセットの限界点です。
if 関数

この定義を一つずつ見ていきましょう。ここで、意味を求める議論の欲求と機能の欲求に関連する部分を強調しましょう。
値に。書かれた声明の一般的な意味を理解する必要があります。おおよそ次のように解釈できます。
点の十分に小さい近傍から数値を取得する場合、関数はになる傾向があります。
数値の十分に小さい近傍から関数の値を取得します。そして、値が取得される点の近傍が小さいほど、
引数が小さいほど、対応する関数値が入る点の近傍が小さくなります。
限界の正式な定義にもう一度戻り、今述べたことに照らして読んでみましょう。正の数は近隣を制限します
引数の値を取得するポイント。さらに、引数の値は、当然のことながら、関数の定義領域からのものであり、関数自体とは一致しません
ドット: 私たちは願望を書いているのですが、偶然ではありません! したがって、指定された点の近傍から引数の値を取得すると、
その場合、関数の値は点の近傍に収まります。 .
最後に定義をまとめてみましょう。点の近傍をどれほど小さく選択しても、そのような点の近傍は常に存在します。
そこから引数の値を選択すると、その点の近くにいることがわかります。もちろんこの場合のサイズはポイント付近です
ポイントのどの近傍が指定されたかによって異なります。関数値の近傍が十分に大きい場合、対応する値の広がり
議論は素晴らしいものになるだろう。関数値の近傍が減少すると、対応する引数の値の広がりも減少します (図 2 を参照)。
いくつかの詳細を明らかにする必要があります。まず、ポイントが制限であるという要件により、ポイントが制限であるかどうかを心配する必要がなくなります。
-neighborhood からのは、通常、関数の定義のドメインに属します。第二に、限界条件の決定への参加手段
引数は左側と右側の両方の値に傾向があるということです。
関数の引数が無限大になる傾向がある場合には、別途極限点の概念を定義する必要があります。限界と呼ばれる
正の数について区間に無限集合が含まれる場合の集合の点
セットからのポイント。
例に戻りましょう。この関数は私たちにとって特に興味深いものではありません。他の機能も詳しく見てみましょう。
例。
例1. 関数のグラフにねじれがある.
関数この時点での特異点にもかかわらず、この時点では限界があります。ゼロの場合の特徴は、滑らかさが失われることです。
例2。 一方的な制限.
ある点における関数には制限がありません。すでに述べたように、制限が存在するためには、手入れをするときに次のことが必要です。
左側と右側では、関数は同じ値になる傾向がありました。これは明らかにここでは当てはまりません。ただし、片側制限の概念を導入することはできます。
引数がより大きな値の側から特定の値に向かう傾向がある場合、右手の制限について話します。小さい値側の場合 -
左手の限界について。
関数の場合
- 右手系の極限ただし、正弦波の無限振動が極限 (および両側の極限) の存在を妨げない場合の例を挙げることができます。
例としては次のような関数があります。グラフを以下に示します。明白な理由から、近くで完成まで建てる
原点は無理です。での制限はゼロです。

ノート。
1. シーケンスの制限を使用する、いわゆる関数の制限を決定するアプローチがあります。ハイネの定義。そこで、必要な値に収束する一連の点が構築されます。
引数 - 対応する関数値のシーケンスは、この引数の値での関数の制限に収束します。ハイネの定義と言語上の定義の等価性
「イプシロンデルタ」が証明されました。
2. 2 つ以上の引数の関数の場合は、ある点での制限が存在するためには、引数の傾向がどのような場合でも制限の値が同じである必要があるという事実によって複雑になります。
必要な値にします。引数が 1 つだけの場合は、左または右から必要な値を取得することができます。変数が増えると、選択肢の数が大幅に増えます。関数の場合
複雑な変数については別の議論が必要です。