位置番号体系における算術演算。 さまざまな数体系におけるさまざまな数値コーディングの算術演算

加減

基数のあるシステムでは、数値 0、1、2、...、c - 1 は、ゼロと最初の c-1 の自然数を表すために使用されます。加算と減算の演算を実行するには、テーブルがコンパイルされます。一桁の数字を追加します。

表 1 - 二進法における加算

たとえば、16 進数体系の加算テーブルは次のとおりです。

表 2 - 16 進法での加算

基数 c の記数法で書かれた任意の 2 つの数の加算は、この体系の加算表を使用して、10 進法と同様に最初の桁から順に実行されます。 足していく数字は同じ桁が縦になるように順番に符号が付けられます。 加算の結果は、加算される数値の下に引かれた水平線の下に書かれます。 10 進法で数値を加算する場合と同様に、任意の桁の数字を加算して 2 桁の数値が得られる場合、その数値の最後の 1 桁が結果として書き込まれ、最初の 1 桁が加算結果に加算されます。次の桁。

例えば、

次の形式の数値表現を使用して、数値を追加するための指定されたルールを正当化できます。

一例を見てみましょう。

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

底の 7 の累乗に従って、最小の 0 累乗から順に項を選択します。

減算も下位から順に桁ごとに実行され、被減数の桁が減数の桁より小さい場合、単位は被減数の次の桁と減数の対応する桁から「取得」されます。結果の 2 桁の数値から減算されます。 次の桁の桁を減算するとき、この場合、減らされる桁を頭の中で 1 つ減らす必要がありますが、この桁が 0 であることが判明した場合 (そして減らすことが不可能な場合)、次の数値から 1 つを「借りる」必要があります。次の桁を入力してから 1 ずつ減ります。 減算結果は加算テーブルから得られるため、減算用の特別なテーブルを作成する必要はありません。

例えば、

掛け算と割り算

c 進法で乗算と除算の演算を実行するには、1 桁の数の乗算表が作成されます。

表 3 - 1 桁の数値の乗算

表 4 - 16 進数体系での乗算

底が c のシステムでの 2 つの任意の数の乗算は、10 進数システムと同じ方法で実行されます。「列」、つまり、被乗数に乗数の各桁の桁が (順次に) 後続の乗数と乗算されます。これらの中間結果を追加します。

例えば、

中間結果で複数桁の数値を乗算する場合、基本インデックスは配置されません。

基数が c のシステムの除算は、10 進数システムと同様に、角度によって実行されます。 この場合、対応するシステムの乗算表と加算表が使用されます。 除算の結果が有限分数 (または整数) ではない場合、状況はさらに複雑になります。 次に、除算演算を実行するときは、通常、分数の非周期部分とその周期を分離する必要があります。 c 進数体系で除算演算を実行できる機能は、分数をある記数体系から別の記数体系に変換するときに役立ちます。

例えば：

数値をある記数法から別の記数法に変換する

数値をある記数体系から別の記数体系に変換するには、さまざまな方法があります。

分割方法

数値 N=an an-1 が与えられるとします。 。 。 a1 a0 r。

h を基数とする系で数値 N のレコードを取得するには、次の形式で表す必要があります。

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

ここで1

N=bmbm-1... b1boh (2)

(1) から次のようになります。

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0、0 はどこにありますか? b0 ?h (3)

つまり、数値b0は数値Nを数値hで割った余りになります。 部分商 Nl = bmhm-1+ 。 。 。 +b1 は次のように表すことができます。

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1、0 はどこにありますか? b2?h (4)

したがって、数値 N のレコード (2) の数字 bi は、最初の不完全な商 N1 を新しい記数体系の基数 h で割った余りになります。 2 番目の不完全商 N2 を次の形式で表します。

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2、0 はどこにありますか? b2?h (5)

つまり、数値 b2 は、2 番目の不完全商 N2 を新しいシステムの基数 h で割った余りです。 不完全商は減少するため、このプロセスは有限です。 そして、Nm = bm が得られます。ここで、bm

Nm-1 = bmh+bm​​.1 = Nmh+bm​​.1

したがって、数列は bm、bm-1 となります。 。 基数 h の記数法における数値 N の表記における ,b1,b0 は、数値 N を基数 h で逐次除算した余りを逆順に並べたものです。

例を見てみましょう: 数値 123 を 16 進数システムに変換します。

したがって、数値 12310=7(11)16 は、7B16 と書くことができます。

数字 340227 を 5 進法で書いてみましょう。

したがって、340227=2333315 が得られます。

表記(SS) は、特定の記号セットを使用して数字を書くための一連のテクニックとルールです。
アルファベット SS - 数字を書くために使用される記号 (数字) のセット。
ベース SS (SS アルファベットの累乗) - SS アルファベットの文字数 (桁数)。
すべての数体系は次のように分類されます。 位置的なそして 非位置的. 非位置的数体系は、各桁の量的等価性が次のように計算される体系です。 依存しない番号レコード内の位置 (場所、位置) から。
したがって、非位置記数法では、数字の表記の中で数字が占める位置は重要ではありません。 たとえば、ローマ数字体系には位置はありません。 数字 XI と IX では、位置に関係なく、両方の数字の「重み」は同じです。

位置番号体系

位置番号体系は、数字の値が次のとおりである体系です。 依存します番号レコード内のその場所 (位置) から。 記数体系の基本は、特定の記数体系で数値を表すために使用される桁数または記号の数です。
記数体系の基数によって名前が決まります (基数 p - p 番目の記数体系)。
たとえば、現代数学で主に使用されている記数法は位置 10 進法であり、その基数は 10 です。 任意の数値を記録するには、10 個の既知の数値 (0、1、2、3、4、5、6、7、8、9) を使用します。

したがって、位置番号体系では、数字の表記の中で数字が占める位置が重要であると述べました。 したがって、23 と書くことは、この数字が 3 つの単位と 2 つの十の位で構成されることを意味します。 数字の位置を変更すると、まったく異なる数字 32 が得られます。この数字には、10 が 3 つと 1 が 2 つ含まれています。 ２人の「重さ」は１０倍に減り、３人の「重さ」は１０倍に増えた。 拡張された数値表記
基数のある位置記数系の任意の数 N p多項式として表すことができます p:
N=a k p k + a k-1 p k-1 +a k-2 p k-2 +...+a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ...、
ここで、N は数値、p は記数系の底 (p>1)、i は数値の桁 (p 乗の係数) です。
p 番目の数体系の数値は、一連の数値として記述されます。
N=a k a k-1 a k-2 ...a 1 a 0 , a -1 a -2...
シーケンス内のカンマは、数値の整数部分と小数部分を区切ります。
3210 -1-2
N= 4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

二進法

数字を記録するには、0 と 1 の 2 つの数字だけが使用されます。コンピュータで使用する 2 進数システムの選択は、コンピュータを構成する電子要素が 2 つの明確に区別できる状態しか取り得ないという事実によって説明されます。 基本的に、これらの要素はスイッチです。 ご存知のとおり、スイッチはオンかオフのどちらかです。 3番目はありません。 状態の 1 つは数字 1 で指定され、もう 1 つは 0 で指定されます。これらの機能のおかげで、バイナリ システムはコンピュータ構築の標準になりました。
この記数法では、任意の数値は次のように表すことができます。
N=a k 2 k + a k-1 2 k-1 +a k-2 2 k-2 +...+a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 - 2+....
例えば： 11001.01 2 =1 *2 4 +1 *2 3 +0 *2 2 +0 *2 1 +1 *2 0 +0 *2 -1 +1 *2 -2 (2 進数の拡張表記) ）

二項演算

すべての位置番号体系の算術演算は、同じよく知られた規則に従って実行されます。

追加

2 進数体系での数値の足し算を考えてみましょう。 これは、1 桁の 2 進数を加算するためのテーブルに基づいています。

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

2 つの 1 を加算すると桁がオーバーフローし、最上位桁に転送されることに注意することが重要です。 桁オーバーフローは、その中の数値の値が記数法の基数以上になると発生します。 2 進数システムの場合、この値は 2 に等しくなります。
マルチビット 2 進数の加算は、下位から上位への可能な転送を考慮して、上記の加算テーブルに従って行われます。

引き算

2進数の引き算を見てみましょう。 これは、1 桁の 2 進数を減算するためのテーブルに基づいています。 小さい数字（0）から大きい数字（1）を引くと、上位の桁から融資が行われます。 表中、ローンは線付きの1で示されています。

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

1桁の2進数の足し算と引き算
複数桁の 2 進数の足し算と引き算 (例)

乗算

乗算は、1 桁の 2 進数の乗算表に基づいています。

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

複数桁の 2 進数の乗算は、10 進数体系で使用される通常のスキームに従って、指定された乗算表に従って行われ、被乗数と乗数の次の桁の順次乗算が行われます。

分割

除算演算は、１０進法で除算演算を行うアルゴリズムと同様のアルゴリズムを用いて行われる。

番号体系

番号体系 –デジタル記号や記号に数字を書くための一連のテクニックとルール。

すべての数体系は 2 つのクラスに分類できます。 位置的なそして 非位置的。 位置システムのクラスでは、異なる記数法で数字を書くために、互いに異なる多数の記号が使用されます。 位置番号体系におけるそのような記号の数は、と呼ばれます。 番号体系の基礎。以下は、いくつかの位置番号体系の名前と、それらの位置番号体系で数字が形成される記号 (数字) のリストを含む表です。

いくつかの番号体系

ベース	表記	標識
	バイナリ	0,1
	三位一体	0, 1, 2
	第四紀	0, 1, 2, 3
	五重	0, 1, 2, 3, 4
	8進数	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	10進数	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	十二進法	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B
	16進数	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

位置記数法では、数値内の桁の相対位置に重み係数が割り当てられ、その数値は、対応する数体系の底のべき乗による係数の積の和 (重み係数) として表すことができます。 ):

A n − n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(「,」記号は、数値の整数部分と小数部分を区切ります。したがって、数値内の各記号の意味は、その記号が数値レコード内で占める位置によって決まります。そのため、このような数値体系は位置指定と呼ばれます。 ）。

位置記数法は、数値のサイズが、それに含まれる数字の値と数値内での相対位置によって決まるシステムです。

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

下部の 10 進インデックスは、数値体系の基数を示します。

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

コンピューターを使用する場合、複数の位置記数法 (ほとんどの場合、2 進数、10 進数、8 進数、および 16 進数) を並行して使用する必要があるため、数値をある記数法から別の記数法に変換する手順は実用上非常に重要です。 上記のすべての例で、結果は 10 進数であるため、任意の位置記数系から 10 進数に数値を変換する方法はすでに実証されていることに注意してください。

一般に、数値の整数部分を 10 進法から B 進法に変換するには、それを B で割る必要があります。剰余は数値の最下位桁になります。 得られた商を再度 B で割る必要があります。剰余は数値の次の桁になります。 商が底値より小さくなるまで除算は続きます。 結果の剰余の値を逆の順序で取得すると、目的の 2 進数が形成されます。

部分全体を翻訳する例: 25 10 を 2 進数に変換します。

25 / 2 = 12 余り 1、

12 / 2 = 6 余り 0、

6 /2 = 3 余り 0、

整数部分と小数部分は別々に翻訳されます。 小数部分を変換するには、B を掛ける必要があります。結果の積の整数部分は、(整数部分と小数部分を区切る小数点以降の) 最初の桁になります。 積の小数部分には再度 B を掛ける必要があります。結果の数値の整数部分が次の符号になります。

小数部分 (または「0」の整数を含む数値) を変換するには、2 を掛ける必要があります。積の整数部分は、2 進法における数値の最初の桁になります。 次に、結果の整数部分を破棄して、再度 2 を掛けます。 有限の小数分数が無限の (周期的な) 二進数の分数になる可能性があることに注意してください。

小数部分を変換する例: 0.73 10 を 2 進数に変換します。

0.73 ⋅ 2 = 1.46 (整数部 1)、

0.46 ⋅ 2 = 0.92 (整数部分 0)、

0.92 ⋅ 2 = 1.84 (整数部 1)、

0.84 ⋅ 2 = 1.68 (整数部 1) など

したがって、0.73 10 = 0.1011 2 となります。

あらゆる記数法で書かれた数値に対してさまざまな算術演算を実行できます。 すべての位置番号体系の算術演算は、よく知られているのと同じ規則に従って実行されます。

10 を底とする 2 つの数値を加算することを考えてください。

数値 6 と 7 を加算すると、結果は式 10 + 3 として表すことができます。ここで、10 は 10 進数の完全な基数です。 10 (基数) を 1 に置き換え、数値 3 の左側に代入します。次のようになります。

6 10 + 7 10 = 13 10 .

2 つの基数 8 の数値を追加することを検討してください。

数値 6 と 7 を加算すると、結果は式 8 + 5 として表すことができます。ここで、8 は 8 進数体系の完全な基数です。 8 (基数) を 1 に置き換え、数値 5 の左側に代入します。次のようになります。

6 8 + 7 8 = 15 8 .

2 つの大きな数値を基数 8 に加算することを検討してください。

加算は最下位桁から開始されます。 したがって、4 8 + 6 8 を 8 (基数) + 2 と表します。8 (基数) を 1 に置き換え、この単位を上位の桁に追加します。 次に、次の数字を追加します: 5 8 + 3 8 + 1 8、これを 8 + 1 として表し、8 (基数) を 1 に置き換えて、それを最上位桁に追加します。 次に、2 8 + 7 8 + 1 8 を 8 (基数) + 2 として表し、8 (基数) を 1 に置き換えて、結果の数値の左側 (最上位桁の位置) に代入します。 したがって、次のことがわかります。

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16、

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

他の算術演算 (減算、乗算、除算) は、異なる数体系でも同様に実行されます。

二進法の 2 つの数値の例を使用して、「列」での乗算を考えてみましょう。

11101 2 101 2

ランクに従って番号を上下に書きます。 次に、2 番目の因数と 1 番目の因数のビット単位の乗算を実行し、10 進数を乗算する場合と同様に、左にシフトして書き込みます。 数値の基数 (この場合は 2 進数) を考慮して、「シフトされた」数値を追加する必要があります。

結果を基数 16 に変換しましょう。

2 桁目では、29 を 16 (ベース) と 13 (D) として表します。 16 (基数) を 1 に置き換えて、それを最上位桁に追加してみましょう。

3 桁目は、96 + 1 = 97 です。次に、97 を 6 16 (基数) と 1 として想像してください。最上位の桁に 6 を加えます。

4 桁目は、20 + 6 = 26 です。26 を 16 (底) と 10 (A) として想像してみましょう。 単位を最上位の桁に移動します。

さまざまな数値体系を扱う一定のスキルがあれば、このエントリは次のようにすぐに想像できるでしょう。

		あ
		B	B
	あ		D

したがって、A31 16 29 16 = 1A1D9 16 となります。

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16、

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8、

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16、

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 。

コンピュータにおける情報の表現と処理の原理を研究するという観点からは、ここで議論するシステム (2 進数、8 進数、および 16 進数) は非常に興味深いものですが、コンピュータはデータを 2 進コード (2 進数システム) に変換するだけで処理します。 しかし、多くの場合、紙に書いたり、コンピュータのキーボードから入力したりする文字数を減らすために、8 進数または 16 進数を使用する方が便利です。特に、以下に示すように、それぞれの数値を相互に変換する手順が複雑になるためです。これらのシステムを 2 進数に変換するのは非常に簡単です。これら 3 つのシステムのいずれかと 10 進数の間の変換よりもはるかに簡単です。

互いに対応する異なる記数体系の数を表してみましょう。

10進数	16進数	8進数	バイナリ
	あ
	B
	C
	D
	E
	F

この表は、基数 2、8、および 16 の体系の数に周期的なパターンがあることを示しています。 したがって、8 進法の 8 つの値、つまり (0 から 7 または完全な基数) は 3 桁に対応します ( トライアド） バイナリーシステム。 したがって、8 進数の 1 桁の数を記述するには、2 進数のちょうど 3 桁が必要になります。 16 進数についても同様です。 説明のみに正確に 4 桁の数字が必要です ( 四分子） バイナリーシステム。

つまり、整数の 2 進数を 8 進数に変換するには、それを右から左に 3 桁のグループに分割し (一番左のグループには 3 桁未満の 2 進数を含めることができます)、各グループに対応する 8 進数を割り当てる必要があります。

たとえば、11011001 2 を 8 進数に変換する必要があります。

番号を 011 2、011 2、001 2 の 3 桁のグループに分割します。 8 進法の対応する数字を代入します。 3 8、3 8、1 8 または 331 8 が得られます。

11011001 2 = 331 8 .

逆転送も同様に実行されます。次に例を示します。

AB5D 16 を 2 進数に変換します。

数字 AB5D 16 の各記号を 1 つずつ、2 進法からの対応する数字に置き換えます。 1010 16、1011 16、0101 16、および 1101 16 または 1010101101011101 2 が得られます。

AB5D 16 = 1010101101011101 2 。

上で説明した位置番号体系に加えて、記号の意味が数字の中でそれが占める位置に依存しないものもあります。 このような番号体系は次のように呼ばれます。 非位置的。 非位置システムの最も有名な例は次のとおりです。 ローマ人。 このシステムでは 7 文字 (I、V、X、L、C、D、M) が使用され、次の値に対応します。

ローマ数字で数字を書くときのルール: – 大きな数字が小さな数字の前にある場合、それらは加算されます (加算の原理)。 – 小さな数字が大きな数字の前にある場合、小さな数字が大きな数字から減算されます (加算の原理)。引き算の原理）。

2 番目のルールは、同じ数字が 4 回繰り返されることを避けるために使用されます。 したがって、ローマ数字 I、X、C がそれぞれ X、C、M の前に置かれて 9、90、900 を示すか、V、L、D の前に置かれて 4、40、400 を示します。

ローマ数字で数字を書く例:

IV = 5 - 1 = 4 (IIII の代わりに)、

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (XVIIII の代わりに)、

XL = 50 - 10 =40 (XXXX の代わりに)、

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 など

ローマ数字を使用して複数桁の数値に対して単純な算術演算を実行するのは非常に不便であることに注意してください。 おそらく、ラテン文字の使用に基づいたローマ法での計算の複雑さが、ローマ法をより便利な 10 進法に置き換えるやむを得ない理由の 1 つであったと思われます。

3.1 数体系の基数は...と呼ばれます。

デジタル記号や記号に数字を書くための一連のテクニックとルール

特定の位置番号体系で使用される桁数

数値をある記数法から別の記数法に変換するときに使用される約数

数値をある記数法から別の記数法に変換するときの共通係数

3.2 コンピュータ技術で広く使用されていない記数法はどれですか

8進数

バイナリ

五重

16進数

レッスン番号19-20。

主題

位置番号体系における算術演算。 掛け算と割り算。

レッスンの目的:さまざまな記数法での数値の算術演算 (乗算と除算) の方法を示し、「さまざまな記数法での数の加算と減算」というトピックの習熟度を確認します。

レッスンの目標:

教育的: 「さまざまな記数法における乗算と除算」というテーマに関する学習内容の実践的な応用、「さまざまな記数法における数の加算と減算」というテーマに関する知識の定着とテスト。 現像：個人の実践的な作業スキル、問題を解決するために知識を適用する能力の開発。 教育的:生徒が教材を意識的に習得すること。

レッスンに必要な材料と道具：独立した作業用のカード、九九。

レッスンタイプ:複合レッスン

授業形式：個別、正面。

授業中:

1. 宿題の確認。

宿題：

1. № 2.41 (1 列と 2 列)、ワークショップ、p. 55

解決：

A) 11102+10012 =101112

B) 678+238=1128

B)AF16+9716 = 14616

D)11102-10012 =1012

D) 678-238 =448

E) AF16-9716 =1816

2. No.2.48 (56 ページ)

2. 自主制作「さまざまな記数法での数字の足し算と引き算」。 （20分）

独立した作品。 グレード10 。
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. 減算: 10111-111; 11 - 1110 4. 8進法での加算と減算：738と258	オプション1
独立した作品。 グレード10。 2 進数システム: 変換 2® 10; 追加。
1. 2 進数系から 10 進数系に変換します。 2. 2 つの 2 進数を加算します。 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. 減算: 111-1001; 1110+111 4. 16 進数での加算と減算: 7316 と 2916	オプション 2

3. 新しい素材。

1. 掛け算

異なる位置記数系で複数桁の数値を乗算する場合、列内の数値を乗算するための通常のアルゴリズムを使用できますが、1 桁の数値の乗算と加算の結果は、その系に対応する乗算および加算の表から借用する必要があります。質問。

二進法における乗算

8進法での掛け算

2 進数システムの乗算表は非常に単純であるため、乗算は被乗数のシフトと加算のみに限定されます。

例1. 10 進数、2 進数、8 進数、16 進数で 5 と 6 の数値を掛けてみましょう。

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
答え： 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
検査。
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

例2。 10 進数、2 進数、8 進数、16 進数体系で 115 と 51 という数字を掛けてみましょう。

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
答え： 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
検査。結果の積を 10 進数形式に変換しましょう。
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. 部門

任意の位置記数法での除算は、10 進法での角度による除算と同じ規則に従って実行されます。 二進法では割り算が特に簡単です、商の次の桁は次のとおりであるため、 ゼロか 1 だけです。
例 3.数値 30 を数値 6 で割ります。

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
答え： 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

例4. 5865 という数字を 115 という数字で割ります。

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

8進数: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
答え： 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
検査。結果の商を 10 進数形式に変換しましょう。
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. 宿題:

1. テスト No. 2「数値体系のトピックについて」の準備をします。 数字の翻訳。 数体系における算術演算」

2. ワークショップ・ウグリノヴィッチ、No. 2.46、2.47、56 ページ。

文学：

1. コンピュータサイエンスと情報技術に関するワークショップ。 教育機関向け教科書 / 、 。 – M.: ビノム。 知識の研究室、2002 年。400 ページ: 病気。

2.ウグリノビッチと情報技術。 10 年生から 11 年生向けの教科書。 – M.: ビノム。 ナレッジラボラトリー、2003年。

3. シャウツコワ：教科書。 10〜11グレードの手当。 一般教育 機関。 – M.: 教育、2003.9 - p. 97-101、104-107。

データを操作するために使用されます コーディング、つまり あるタイプのデータを別のタイプのデータで表現すること。

コンピューター技術にも独自のシステムがあります。それは、 バイナリコーディングこれは、データを 0 と 1 の 2 文字だけのシーケンスとして表現することに基づいています。これらの文字は次のように呼ばれます。 2進数、英語で - 2進数または、略して、 ビット（ビット）。

1 ビットで 0 または 1 の 2 つの概念を表現できます。 （はいまたは いいえ、黒ですまたは 白、真実または 嘘等々。）。 ビット数を 2 に増やすと、次の 4 つの異なる概念を表現できます。

3 ビットで 8 つの異なる値をエンコードできます: 000 001 010 011 100 101 110 111

バイナリ コード化システムのビット数を 1 増やすことにより、このシステムで表現できる値の数が 2 倍になります。つまり、一般的な式は次のようになります。

N=2m、どこ：

N-独立したコード化された値の数。

T- このシステムで採用されているバイナリコーディングのビット深度。

ビットは非常に小さな測定単位であるため、実際にはより大きな単位、つまり 8 ビットに等しいバイトが使用されることが多くなります。

より大きな派生データ単位も使用されます。

キロバイト (KB) = 1024 バイト = 2 10 バイト。

メガバイト (MB) = 1024 KB = 2 20 バイト。

ギガバイト (GB) = 1024 MB = 2 30 バイト。

最近では、処理されるデータ量の増加により、次のような派生単位が使用されています。

テラバイト (TB) = 1024 GB = 2 40 バイト。

ペタバイト (PB) = 1024 TB = 2 50 バイト。

エクサバイト (E バイト) = 1024 PB = 2 60 バイト。

テキスト情報のエンコードは、0 ～ 127 の文字コードを設定する米国情報交換 ASCII コードを使用して生成されます。国家標準には、1 文字あたり 1 バイトの情報が割り当てられ、ASCII コードの表と、128 ～ 255 の数値を持つ国家アルファベット コードが含まれています。現在、キリル文字エンコードには KOI-8、MS-DOS、Windows、Macintosh、ISO の 5 つがあります。 90 年代の終わりに、新しい国際標準である Unicode が登場しました。Unicode は各文字に 1 バイトではなく 2 バイトを割り当てるため、さまざまな文字のエンコードに使用できます。

基本的なエンコードテーブル アスキーを表に示します。

カラーグラフィックコーディングこれはラスターを使用して行われ、各ポイントはその色番号に関連付けられます。 RGB コーディング システムでは、各点の色は赤 (Red)、緑 (Green)、青 (Blue) の合計で表されます。 CMYK コード体系では、各点の色はシアン (Cyan)、マゼンタ (Magenta)、イエロー (Yellow) の合計と黒 (Black、K) の加算によって表されます。

アナログ信号コーディング

歴史的に、データの受信、送信、保存の最初の技術形式は、オーディオ、光、電気、またはその他の信号のアナログ (連続) 表現でした。 このような信号を受信するために、コンピューターはまずアナログからデジタルへの変換を実行します。

アナログからデジタルへの変換には、一定の時間間隔 τ でアナログ信号を測定し、測定結果を n ビットのバイナリ ワードにエンコードすることが含まれます。 この場合、所定の精度でアナログ信号を表す n ビットのバイナリ ワードのシーケンスが取得されます。

現在の CD 規格では、いわゆる「スキャン レート 44 kHz の 16 ビット オーディオ」が使用されています。 上の図を通常の言語に翻訳すると、「ステップ長」(t) は 1/44000 秒に等しく、「ステップ高さ」(δ) は最大信号量の 1/65,536 であることを意味します (2 以来16 = 65,536) 。 この場合、再生周波数範囲は 0 ～ 22 kHz、ダイナミック レンジは 96 デシベルです (これは、磁気または機械的録音ではまったく達成できない品質特性です)。

データ圧縮。

処理および送信されるデータの量は急速に増加しています。 これは、ますます複雑化するアプリケーションプロセスの実装、新しい情報サービスの出現、画像や音声の使用によるものです。

データ圧縮- データ量を削減するプロセス。 圧縮により、データの保存に必要なメモリの量を大幅に削減し、データの転送にかかる時間を (許容可能なサイズまで) 削減できます。 画像圧縮は特に効果的です。 データ圧縮は、ソフトウェア、ハードウェア、またはそれらの方法の組み合わせを使用して実行できます。

テキストの圧縮は、よりコンパクトなレイアウトに関連付けられます バイト、文字のエンコード。 これもスペース繰り返しカウンターを使用します。 音と画像に関しては、それらを表す情報量は、選択された量子化ステップとアナログ - デジタル変換のビット数によって異なります。 原則として、ここではテキスト処理と同じ圧縮方法が使用されます。 テキスト圧縮が情報の損失なく行われる場合、音声および画像の圧縮では、ほとんどの場合、何らかの情報の損失が発生します。 圧縮はデータのアーカイブで広く使用されています。

表記– 特定の記号セットによる数値の表現。 番号体系は次のとおりです。

1.シングル（タグまたはスティックシステム）;

2. 非定位置 (ローマ字);

3. 位置 (10 進数、2 進数、8 進数、16 進数など)。

位置的は、各桁の定量的値が数値内のその位置 (位置) に依存する記数体系です。 基礎位置記数体系は、累乗できる整数であり、体系内の桁数に等しくなります。

2 進数体系には、0 と 1 の 2 桁のアルファベットが含まれます。

8 進数体系には、0、1、2、3、4、5、6、7 の 8 桁のアルファベットが含まれます。

10 進数体系には、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 の 10 桁のアルファベットが含まれます。

16 進数体系には、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F の 16 桁のアルファベットが含まれます。

			A B C D E F

コンピュータ技術では、コーディングは 2 進数体系で使用されます。 0と1の並び。

整数をある記数法から別の記数法に変換するには、次のアルゴリズムを実行する必要があります。

1. 新しい記数体系の基数を、元の記数体系の数字を使用して表現します。

2. 除数より小さい商が得られるまで、指定された数値を新しい記数体系の底で割り続けます。

3. 結果の残高を新しい番号体系に変換します。

4. 新しい記数体系の最後の余りから始めて、余りから数値を作成します。

一般に、基数 P の位置 SS では、任意の数値 X を基数 P からの多項式として表すことができます。

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m 、

ここで、係数 a i は、SS で使用される基数 P の P 桁のいずれかになります。

数値の整数部と小数部について 10 SS から他の数値への変換は、さまざまな方法を使用して実行されます。

a) 数値の全体と中間の商を、新しい SS の底で除算し、除算の商が新しい SS の底を下回るまで 10 SS で表します。 アクションは10SSで実行されます。 結果は逆の順序で書かれた商になります。

b) 指定された精度が達成されるか、中間積の小数部に「0」が得られるまで、数値の小数部分とその結果として得られる中間積の小数部分に新しい SS の底が乗算されます。 その結果、中間作品の一部全体が、受け取った順に記録されます。

式 (1) を使用すると、数値を任意の記数法から 10 進数法に変換できます。

例1.数値 1011101.001 を 2 進数系 (SS) から 10 進数 SS に変換します。 解決：

1 ・2 6 +0 ・2 5 + 1 ・2 4+ 1 ・2 3+ 1 ・2 2+ 0 ・2 1 + 1 ・20+ 0 ・2 -1 + 0 ・2 -2 + 1 ・2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

例2。数値 1011101.001 を 8 進数体系 (SS) から 10 進数 SS に変換します。 解決：

例 3。 数値 AB572.CDF を 16 進数系から 10 進数の SS に変換します。 解決：

ここ あ- 10 に置き換えられます。 B- 11時、 C- 12時、 F- 15時までに。

8 (16) の数値を 2 の形式に変換するには、この数値の各桁を対応する 3 ビット (4 ビット) の 2 進数に置き換えるだけで十分です。 上位桁と下位桁の不要なゼロを破棄します。

例 1: 数値 305.4 8 をバイナリ SS に変換します。

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

例 2: 数値 9AF,7 16 をバイナリ СС に変換します。

(_9 __ _あ __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

2 番目の数値を 8 (16) SS に変換するには、次の手順を実行します。小数点から左右に移動し、2 進数を 3 桁のグループに分割し、必要に応じて左端と右端のグループに 0 を追加します。 次に、各グループが対応する 8 進数 (16) の数字に置き換えられます。

例 1: 数値 110100011110100111,1001101 2 を 8 進数の SS に変換します。

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

例 2: 数値 110100011110100111.1001101 2 を 16 進数の SS に変換します。

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

算術演算すべての位置記数法において、数字はよく知られているのと同じ規則に従って計算されます。

追加。 2 進数体系での数値の足し算を考えてみましょう。 これは、1 桁の 2 進数を加算するためのテーブルに基づいています。

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

2 つの 1 を加算すると桁がオーバーフローし、最上位桁に転送されることに注意することが重要です。 桁オーバーフローは、その数値の値が基数以上になると発生します。

マルチビット 2 進数の加算は、下位桁から上位桁への可能な転送を考慮して、上記の加算テーブルに従って行われます。 例として、2 進数 110 2 と 11 2 を列に追加してみましょう。

引き算。 2進数の引き算を見てみましょう。 これは、1 桁の 2 進数を減算するためのテーブルに基づいています。 小さい数字（0）から大きい数字（1）を引くと、上位の桁から融資が行われます。 表では、ローンは次の行で 1 と指定されています。

乗算。乗算は、1 桁の 2 進数の乗算表に基づいています。

分割。除算演算は、１０進法で除算演算を行うアルゴリズムと同様のアルゴリズムを用いて行われる。 例として、2 進数 110 2 を 11 2 で割ってみましょう。

異なる記数法で表現された数値の算術演算を行うには、まずそれらを同じ記数法に変換する必要があります。