العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية. العمليات الحسابية بترميز الأرقام المختلفة في أنظمة الأرقام المختلفة

جمع وطرح

في نظام ذي قاعدة ، تعمل الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، s - 1 على تعيين الصفر وأول أرقام طبيعية c-1. لإجراء عملية الجمع والطرح ، جدول جمع مفرد يتم تجميع أرقام -digit.

الجدول 1 - الجمع الثنائي

على سبيل المثال ، جدول الجمع في نظام الأرقام الست عشري:

الجدول 2 - الإضافة في النظام الست عشري

تتم إضافة أي رقمين مكتوبين في نظام رقم الأساس c بنفس الطريقة كما في النظام العشري ، من خلال الأرقام ، بدءًا من الرقم الأول ، باستخدام جدول الإضافة في هذا النظام. الأرقام المراد إضافتها موقعة واحدة تلو الأخرى بحيث تقف الأرقام من نفس الأرقام عموديًا. تتم كتابة نتيجة الجمع تحت الخط الأفقي المرسوم أسفل أرقام الجمع. تمامًا كما هو الحال عند جمع الأرقام في النظام العشري ، في الحالة التي تعطي فيها إضافة أرقام في أي رقم عددًا مكونًا من رقمين ، تتم كتابة آخر رقم من هذا الرقم في النتيجة ، ويضاف الرقم الأول إلى نتيجة مضيفا الرقم التالي.

علي سبيل المثال،

يمكنك تبرير القاعدة المشار إليها لإضافة الأرقام باستخدام تمثيل الأرقام في النموذج:

لنلقِ نظرة على أحد الأمثلة:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

نختار الحدود بالتتابع وفقًا لدرجة الأساس 7 ، بدءًا من أدنى درجة ، وهي صفر.

يتم الطرح أيضًا من خلال الأرقام ، بدءًا من الأدنى ، وإذا كان رقم المخفض أقل من الرقم المخصوم ، فسيتم "احتلال" واحد من الرقم التالي من الرقم المصغر والرقم المقابل في المطروح هو مطروح من العدد المكون من رقمين الناتج ؛ عند طرح أرقام الرقم التالي ، في هذه الحالة ، تحتاج إلى تقليل رقم الرقم الذي يتم تقليله بمقدار واحد ، ولكن إذا تبين أن هذا الرقم هو صفر (ومن ثم يكون تقليله مستحيلًا) ، فيجب عليك " خذ "واحدًا من الرقم التالي ثم قلل بمقدار واحد. ليست هناك حاجة لإنشاء جدول طرح خاص ، لأن جدول الجمع يعطي نتائج عملية الطرح.

علي سبيل المثال،

الضرب والقسمة

لإجراء عمليات الضرب والقسمة في نظام ذي قاعدة c ، يتم تجميع جدول ضرب للأرقام المكونة من رقم واحد.

الجدول 3 - ضرب الأعداد المكونة من رقم واحد

الجدول 4 - الضرب في نظام الأرقام الست عشري

يتم ضرب رقمين عشوائيين في نظام ذي قاعدة c بنفس الطريقة كما في النظام العشري - بواسطة "عمود" ، أي أن المضاعف يُضرب في رقم كل رقم في المضاعف (على التوالي) مع الإضافة اللاحقة لهذه النتائج الوسيطة.

علي سبيل المثال،

عند ضرب الأرقام متعددة الأرقام في النتائج الوسيطة ، لا يتم تعيين المؤشر الأساسي:

يتم القسمة في الأنظمة ذات القاعدة c بالزاوية ، تمامًا كما هو الحال في نظام الأرقام العشري. في هذه الحالة ، يتم استخدام جدول الضرب وجدول الإضافة للنظام المقابل. يكون الموقف أكثر تعقيدًا إذا لم تكن نتيجة القسمة جزءًا محدودًا من c-ary (أو عددًا صحيحًا). بعد ذلك ، عند إجراء عملية القسمة ، عادة ما يكون مطلوبًا تحديد الجزء غير الدوري من الكسر ومدته. تعد القدرة على إجراء عملية القسمة في نظام الأرقام c-ary مفيدة عند ترجمة الأرقام الكسرية من نظام رقمي إلى آخر.

علي سبيل المثال:

تحويل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

هناك العديد من الطرق المختلفة لترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر.

طريقة التقسيم

دع الرقم N = an-1 يُعطى. . . a1 a0 ص.

للحصول على سجل للرقم N في نظام بالقاعدة h ، يجب عليك تمثيله بالشكل:

N = bmhm + bm-1hm-1 + ... + b1h + b0 (1)

حيث 1

N = bmbm-1 ... b1boh (2)

من (1) نحصل على:

N = (bmhm-1 + ... + b) * h + b0 = N1h + b0 ، أين 0؟ b0؟ h (3)

أي أن الرقم b0 هو باقي قسمة الرقم N على الرقم h. حاصل قسمة غير مكتمل Nl = bmhm-1 +. . . يمكن تمثيل + b1 على النحو التالي:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2) h + b1 = N2h + b1 ، أين 0؟ بي 2؟ ح (4)

وبالتالي ، فإن الرقم bi في التدوين (2) للرقم N هو باقي قسمة حاصل القسمة الجزئي الأول N1 على القاعدة h في نظام الأرقام الجديد. يمكن تمثيل الحاصل الثاني غير المكتمل N2 على النحو التالي:

N2 = (bmhm-3 + ... + b3) h + b2 أين 0؟ بي 2؟ ح (5)

أي أن الرقم b2 هو باقي قسمة حاصل القسمة الجزئي الثاني N2 على القاعدة h للنظام الجديد. نظرًا لانخفاض حاصل القسمة غير المكتمل ، فإن هذه العملية محدودة. ثم نحصل على Nm = bm ، حيث bm

Nm-1 = bmh + bm.1 = Nmh + bm.1

إذن تسلسل الأرقام هو bm ، bm-1. . ، b1 ، b0 في تدوين الرقم N في نظام الأرقام مع القاعدة h هو تسلسل بقايا القسمة المتتالية للرقم N بالقاعدة h ، مأخوذة بترتيب عكسي.

ضع في اعتبارك مثالاً: قم بتحويل الرقم 123 إلى رقم سداسي عشري:

وبالتالي ، فإن الرقم 12310 = 7 (11) 16 أو يمكن كتابته على النحو 7B16

لنكتب الرقم 340227 في نظام الأعداد الخماسي:

وهكذا نحصل على 340227 = 2333315

الرموز(SS) هي مجموعة من التقنيات والقواعد لكتابة الأرقام باستخدام مجموعة محددة من الأحرف.
الأبجدية SS - مجموعة من الأحرف (أرقام) تستخدم لكتابة رقم.
يتمركز SS (قوة الأبجدية SS) - عدد الأحرف (الأرقام) من أبجدية SS.
جميع أنظمة الأرقام مقسمة إلى الموضعيةو غير موضعي. غير موضعينظام الأرقام هو نظام يتم فيه المعادل الكمي لكل رقم لا تعتمدمن موقعه (المكان ، الموضع) في تدوين الرقم.
لذلك ، في أنظمة الأرقام غير الموضعية ، لا يلعب الموضع الذي يشغله الرقم في تدوين الرقم دورًا. على سبيل المثال ، نظام الأرقام الرومانية غير موضعي. في الرقمين الحادي عشر والتاسع ، "وزن" كلا الرقمين هو نفسه ، بغض النظر عن موقعهما.

أنظمة الأرقام الموضعية

نظام الأرقام الموضعية هو نظام يتم فيه تحديد قيمة الرقم يعتمد علىمن مكانه (موقعه) في تدوين الرقم. أساس نظام الأرقام هو عدد الأحرف أو الرموز المستخدمة لتمثيل رقم في نظام أرقام معين
تحدد قاعدة نظام الأرقام اسمها: القاعدة p هي نظام الرقم p.
على سبيل المثال ، نظام الأرقام المستخدم في الغالب في الرياضيات الحديثة هو نظام الموضع العشري ، وقاعدته هي عشرة. لكتابة أي أرقام ، تستخدم عشرة أرقام معروفة (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9).

لذلك ، قلنا أنه في أنظمة الأعداد الموضعية ، فإن الموضع الذي يشغله الرقم في تدوين الرقم مهم. إذن ، الإدخال 23 يعني أن هذا الرقم يمكن أن يتكون من 3 وحدات وعشرتين. إذا غيرنا مواضع الأرقام ، نحصل على رقم مختلف تمامًا - 32. هذا الرقم يحتوي على 3 عشرات و 2 وحدة. انخفض "وزن" اثنين عشرة أضعاف ، بينما زاد "وزن" الثلاثة عشرة أضعاف. تدوين موسع لرقم
أي رقم N في نظام الأرقام الموضعية مع القاعدة صيمكن تمثيلها على أنها كثيرة الحدود في ص:
N = a k p k + a k-1 p k-1 + a k-2 p k-2 + ... + a 1 p 1 + a 0 p 0 + a -1 p -1 + a -2 p -2 + ... ،
حيث N عبارة عن رقم ، و p هي قاعدة نظام الأرقام (p> 1) ، و i هي أرقام الرقم (المعاملات عند الدرجة p).
تتم كتابة الأرقام في نظام الرقم p على شكل تسلسل من الأرقام:
N = a k a k-1 a k-2 ... a 1 a 0، a -1 a -2 ...
تفصل الفاصلة في التسلسل الجزء الصحيح من الرقم عن الجزء الكسري.
3210 -1-2
N = 4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

نظام الأرقام الثنائية

لكتابة الأرقام ، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. يتم تفسير اختيار النظام الثنائي للاستخدام في الكمبيوتر من خلال حقيقة أن العناصر الإلكترونية التي يتم إنشاء أجهزة الكمبيوتر منها يمكن أن تكون فقط في حالتين يمكن تمييزهما جيدًا. في الأساس ، هذه العناصر هي مفاتيح. كما تعلم ، فإن المفتاح إما في وضع التشغيل أو الإيقاف. لا يوجد ثالث. يشار إلى إحدى الحالات بالرقم 1 ، والأخرى - 0. وبفضل هذه الميزات ، أصبح النظام الثنائي هو المعيار لبناء أجهزة الكمبيوتر.
في نظام الأرقام هذا ، يمكن تمثيل أي رقم على النحو التالي:
N = a k 2 k + a k-1 2 k-1 + a k-2 2 k-2 + ... + a 1 2 1 + a 0 2 0 + a -1 2 -1 + a -2 2 - 2 + ....
علي سبيل المثال: 11001.01 2 = 1 * 2 4 +1 * 2 3 +0 * 2 2 +0 * 2 1 +1 * 2 0 +0 * 2 -1 +1 * 2 -2

الحساب الثنائي

يتم إجراء العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد المعروفة.

إضافة

ضع في اعتبارك إضافة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية. يعتمد على جدول إضافة الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

من المهم الانتباه إلى حقيقة أنه عند إضافة وحدتين ، يتم تجاوز البت ويحدث النقل إلى أعلى بت. يحدث الفائض عندما تصبح قيمة الرقم الموجود فيه مساوية لقاعدة نظام الأرقام أو أكبر منها. بالنسبة لنظام الأرقام الثنائية ، هذه القيمة تساوي اثنين.
تتم إضافة أرقام ثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الإضافة أعلاه ، مع مراعاة عمليات النقل المحتملة من الأرقام الدنيا إلى الأرقام الأعلى.

الطرح

ضع في اعتبارك طرح الأعداد الثنائية. يعتمد على جدول طرح للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد. عند طرح رقم أصغر (0) رقم أكبر (1) ، يتم إجراء قرض من أعلى ترتيب. في الجدول ، تمت الإشارة إلى القرض بالرقم 1 مع عمود.

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

جمع وطرح الأعداد الثنائية المكونة من رقم واحد
جمع وطرح الأعداد الثنائية متعددة الأرقام (أمثلة)

عمليه الضرب

يعتمد الضرب على جدول الضرب للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

يحدث مضاعفة الأعداد الثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الضرب أعلاه وفقًا للمخطط المعتاد المستخدم في نظام الأرقام العشرية ، مع الضرب المتتالي للمضاعف بالرقم التالي من المضاعف.

قسم

يتم تنفيذ عملية القسمة وفقًا لخوارزمية مشابهة لخوارزمية عملية القسمة في نظام الأرقام العشري.

أنظمة الأرقام

نظام رقم -مجموعة من التقنيات والقواعد لكتابة الأرقام بالعلامات أو الرموز الرقمية.

يمكن تقسيم جميع أنظمة الأرقام إلى فئتين: الموضعيةو غير موضعي. في فئة الأنظمة الموضعية ، يتم استخدام عدد معين من الأحرف التي تختلف عن بعضها البعض لكتابة الأرقام في أنظمة الأرقام المختلفة. يتم استدعاء عدد هذه الأحرف في نظام الأرقام الموضعية قاعدة نظام الأرقام.يوجد أدناه جدول يحتوي على أسماء بعض أنظمة ترقيم المواقع وقائمة بالأحرف (الأرقام) التي تتكون منها الأرقام.

بعض أنظمة الأرقام

يتمركز	الرموز	علامات
	الثنائية	0,1
	ثلاثي	0, 1, 2
	رباعي	0, 1, 2, 3
	خمسة أضعاف	0, 1, 2, 3, 4
	ثماني	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	عدد عشري	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	الاثني عشرية	0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب
	السداسي عشري	0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب ، ج ، د ، ه ، و

في نظام الأرقام الموضعية ، يرتبط الموضع النسبي للرقم في رقم بعامل الوزن ، ويمكن تمثيل الرقم كمجموع نواتج المعاملات من خلال الدرجة المقابلة لقاعدة نظام الأرقام (الوزن عامل):

أ ن أ ن –1 أ ن – 2 ... أ 1 أ 0 ، أ –1 أ –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(تفصل العلامة "،" الجزء الصحيح من الرقم عن الجزء الكسري. وبالتالي ، فإن قيمة كل علامة في الرقم تعتمد على الموضع الذي تشغله العلامة في إدخال الرقم. ولهذا السبب تسمى أنظمة الأرقام الموضعية ).

نظام الأرقام الموضعية - نظام يتم فيه تحديد قيمة الرقم من خلال قيم أرقامه وموقعها النسبي في الرقم.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

يشير الفهرس العشري في الأسفل إلى قاعدة نظام الأرقام.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F ، 4 16 = أ 16 2 + 1 16 1 + ث 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

عند العمل مع أجهزة الكمبيوتر ، يجب عليك استخدام العديد من أنظمة الأرقام الموضعية بالتوازي (غالبًا ثنائي ، وعشري ، وثماني ، وست عشري) ، وبالتالي فإن إجراءات تحويل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر لها أهمية عملية كبيرة. لاحظ أنه في جميع الأمثلة أعلاه ، تكون النتيجة رقمًا عشريًا ، وبالتالي تم بالفعل عرض طريقة لتحويل الأرقام من أي نظام رقم موضعي إلى نظام عشري.

بشكل عام ، لتحويل الجزء الصحيح من رقم من النظام العشري إلى النظام الأساسي B ، يجب أن تقسمه على B. سيعطي الباقي أقل رقم مميز من الرقم. يجب قسمة حاصل القسمة الناتج على B مرة أخرى - سيعطي الباقي الرقم التالي من الرقم ، إلخ. تستمر الانقسامات حتى يصبح حاصل القسمة أقل من القاعدة. تشكل قيم المخلفات الناتجة ، المأخوذة بترتيب عكسي ، الرقم الثنائي المطلوب.

مثال على ترجمة الجزء بأكمله:حوّل 25 10 إلى عدد ثنائي.

25/2 = 12 مع باقي 1 ،

12/2 = 6 مع باقي 0 ،

6/2 = 3 والباقي 0 ،

يتم ترجمة الأعداد الصحيحة والكسرية بشكل منفصل. لترجمة الجزء الكسري ، يجب ضربه في B. وسيكون الجزء الصحيح من المنتج الناتج هو الأول (بعد الفاصلة التي تفصل الجزء الصحيح عن الكسر). يجب ضرب الجزء الكسري من حاصل الضرب مرة أخرى بـ B. وسيكون الجزء الصحيح من الرقم الناتج هو العلامة التالية ، وهكذا.

لترجمة الجزء الكسري (أو رقم به أعداد صحيحة "0") ، تحتاج إلى ضربه في 2. سيكون الجزء الصحيح للمنتج هو الرقم الأول من الرقم في النظام الثنائي. بعد ذلك ، وبغض النظر عن الجزء الصحيح من النتيجة ، نضرب مرة أخرى في 2 ، وهكذا. لاحظ أن الكسر العشري النهائي في هذه الحالة قد يصبح ثنائيًا (دوريًا) لا نهائيًا.

مثال على ترجمة الجزء الكسري:حوّل 0.73 10 إلى رقم ثنائي.

0.73 ⋅ 2 = 1.46 (جزء كامل من 1) ،

0.46 ⋅ 2 = 0.92 (جزء كامل من 0) ،

0.92 ⋅ 2 = 1.84 (جزء كامل من 1) ،

0.84 ⋅ 2 = 1.68 (جزء كامل من 1) ، إلخ.

وهكذا: 0.73 10 \ u003d 0.1011 2.

على الأرقام المكتوبة في أي نظام رقمي ، يمكنك إجراء عمليات حسابية مختلفة. يتم إجراء العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد المعروفة.

ضع في اعتبارك إضافة رقمين إلى الأساس عشرة:

عند جمع العددين 6 و 7 ، يمكن تمثيل النتيجة بالتعبير 10 + 3 ، حيث 10 هو الأساس الكامل لنظام الأرقام العشري. دعنا نستبدل 10 (أساس) بـ 1 ونستبدل على يسار الرقم 3. اتضح:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

ضع في اعتبارك إضافة عددين إلى الأساس ثمانية:

عند جمع العددين 6 و 7 ، يمكن تمثيل النتيجة بالتعبير 8 + 5 ، حيث 8 هي الأساس الكامل لنظام الأرقام الثماني. استبدل 8 (الأساسي) بـ 1 واستبدل على يسار الرقم 5. اتضح:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

ضع في اعتبارك إضافة عددين كبيرين إلى الأساس الثامن:

تبدأ عملية الجمع من أقل رقم ذي دلالة. لذلك ، يتم تمثيل 4 8 + 6 8 كـ 8 (أساسي) + 2. استبدل 8 (أساسي) بـ 1 وأضف هذه الوحدة إلى الأرقام عالية الترتيب. بعد ذلك ، أضف الأرقام التالية: 5 8 + 3 8 + 1 8 تمثل 8 + 1 ، استبدل 8 (أساس) بـ 1 وأضفها إلى أعلى رقم. علاوة على ذلك ، نمثل 2 8 + 7 8 + 1 8 كـ 8 (أساس) + 2 ، استبدل 8 (أساس) بـ 1 واستبدل على يسار الرقم الناتج (في موضع الرقم الأكثر أهمية). وهكذا اتضح:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16 ،

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

يتم إجراء عمليات حسابية أخرى (الطرح والضرب والقسمة) في أنظمة أعداد مختلفة بالمثل.

ضع في اعتبارك الضرب بواسطة "عمود" ، باستخدام مثال رقمين من النظام الثنائي:

11101 21101 2

نكتب الأرقام تحت بعضها البعض ، وفقًا للأرقام. ثم نقوم بضرب بعض الشيء للعامل الثاني في الأول ونكتبه مع إزاحة إلى اليسار ، تمامًا كما هو الحال عند ضرب الأعداد العشرية. يبقى إضافة الأرقام "المحولة" ، مع الأخذ في الاعتبار قاعدة الأرقام ، في هذه الحالة ثنائي.

حول الناتج إلى الأساس 16.

في الرقم الثاني ، يتم تمثيل 29 كـ 16 (أساسي) و 13 (D). دعنا نستبدل 16 (أساسي) بـ 1 ونضيف إلى البت الأكثر أهمية.

في الرقم الثالث ، 96 + 1 = 97. ثم نمثل 97 في صورة 6 16 (أساس) و 1. أضف 6 إلى الرقم الأكثر أهمية.

في الرقم الرابع ، 20 + 6 = 26. تخيل 26 على أنها 16 (قاعدة) و 10 (أ). ننقل الوحدة إلى أعلى رقم.

مع مهارات معينة في العمل مع أنظمة الأرقام المختلفة ، يمكن تمثيل السجل على الفور كـ

		أ
		ب	ب
	أ		د

وهكذا ، A31 16 29 16 = 1A1D916.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566 ب 16-4 أ 77 16 = BF4 16 ،

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8231 8 \ u003d 70616 8 ،

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16 ،

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2.

من وجهة نظر دراسة مبادئ تمثيل ومعالجة المعلومات في الكمبيوتر ، تعتبر الأنظمة التي تمت مناقشتها (ثنائي وثماني وست عشري) ذات أهمية كبيرة ، على الرغم من أن الكمبيوتر يعالج البيانات فقط يتم تحويلها إلى رمز ثنائي (نظام الأرقام الثنائية). ومع ذلك ، في كثير من الأحيان لتقليل عدد الأحرف المكتوبة على الورق أو التي يتم إدخالها من لوحة مفاتيح الكمبيوتر ، يكون من الأنسب استخدام الأرقام الثماني أو السداسية العشرية ، خاصةً ، كما هو موضح أدناه ، إجراء التحويل المتبادل للأرقام من كل من هذه الأنظمة إلى نظام ثنائي بسيط جدًا - أبسط بكثير من الترجمات بين أي من هذه الأنظمة الثلاثة والعشرية.

دعنا نمثل أعداد أنظمة الأرقام المختلفة على التوالي لبعضها البعض:

عدد عشري	السداسي عشري	ثماني	الثنائية
	أ
	ب
	ج
	د
	ه
	F

يوضح الجدول أن أرقام النظام ذات الأساس 2 و 8 و 16 لها أنماط دورية. لذا ، فإن ثماني قيم للنظام الثماني ، أي (من 0 إلى 7 أو القاعدة الكاملة) تتوافق مع ثلاثة أرقام ( الثلاثيات) للنظام الثنائي. وبالتالي ، لوصف أرقام رقم واحد من النظام الثماني ، يلزم تحديد ثلاثة أرقام من النظام الثنائي. وينطبق الشيء نفسه على الأرقام السداسية العشرية. لا يتطلب الأمر سوى أربع بتات بالضبط لوصفها ( رباعيات) للنظام الثنائي.

ويترتب على ذلك أنه لتحويل أي رقم ثنائي صحيح إلى رقم ثماني ، من الضروري تقسيمه من اليمين إلى اليسار إلى مجموعات من 3 أرقام (يمكن أن تحتوي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار على أقل من ثلاثة أرقام ثنائية) ، ثم تعيين مكافئها الثماني لكل مجموعة.

على سبيل المثال ، تريد تحويل 11011001 2 إلى رقم ثماني.

نقسم الرقم إلى مجموعات من ثلاثة أرقام 011 2 و 011 2 و 001 2. نعوض بالأرقام المقابلة للنظام الثماني. نحصل على 3 8 و 3 8 و 1 8 أو 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

وبالمثل ، يتم إجراء عمليات النقل العكسي ، على سبيل المثال:

تحويل AB5D 16 إلى نظام الأعداد الثنائية.

نستبدل كل رمز من رموز الرقم AB5D 16 بالتناوب بالرقم المقابل من النظام الثنائي. نحصل على 1010 16 و 1011 16 و 0101 16 و 1101 16 أو 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

بالإضافة إلى أنظمة الأرقام الموضعية التي تمت مناقشتها أعلاه ، هناك أنظمة لا تعتمد فيها قيمة العلامة على المكان الذي تحتله في الرقم. تسمى أنظمة الأرقام هذه غير موضعي. أشهر مثال على النظام غير الموضعي هو رومان. يستخدم هذا النظام 7 أحرف (I ، V ، X ، L ، C ، D ، M) ، والتي تتوافق مع القيم التالية:

قواعد كتابة الأرقام بالأرقام الرومانية: - إذا جاء عدد أكبر قبل رقم أصغر ، يتم إضافتهما (مبدأ الجمع) ، - إذا جاء رقم أصغر قبل رقم أكبر ، فسيتم طرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر (مبدأ الطرح).

يتم تطبيق القاعدة الثانية لتجنب تكرار نفس الرقم أربع مرات. لذلك ، يتم وضع الأرقام الرومانية I ، X ، C على التوالي قبل X ، C ، M للدلالة على 9 ، 90 ، 900 أو قبل V ، L ، D للدلالة على 4 ، 40 ، 400.

أمثلة على كتابة الأرقام بالأرقام الرومانية:

IV = 5-1 = 4 (بدلاً من IIII) ،

التاسع عشر \ u003d 10 + 10-1 \ u003d 19 (بدلاً من السابع عشر) ،

XL = 50-10 = 40 (بدلاً من XXXX) ،

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 إلخ.

وتجدر الإشارة إلى أن إجراء عمليات حسابية بسيطة على أرقام متعددة الأرقام بأرقام رومانية أمر غير مريح للغاية. ربما كان تعقيد العمليات الحسابية في النظام الروماني ، استنادًا إلى استخدام الأحرف اللاتينية ، أحد الأسباب الجيدة لاستبدالها بنظام عشري أكثر ملاءمة في هذا الصدد.

3.1 تسمى قاعدة نظام الأرقام ...

مجموعة من الأساليب والقواعد لكتابة الأرقام بالعلامات أو الرموز الرقمية

عدد الأحرف المستخدمة في نظام رقم موضعي معين

يستخدم القاسم عند تحويل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

عامل مشترك عند ترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

3.2 أي نظام رقمي لا يستخدم على نطاق واسع في تكنولوجيا الكمبيوتر

ثماني

الثنائية

خمسة أضعاف

السداسي عشري

الدرس # 19-20.

سمة

العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية. الضرب والقسمة.

الغرض من الدرس:عرض طرق العمليات الحسابية (الضرب والقسمة) للأرقام في أنظمة الأعداد المختلفة ، والتحقق من استيعاب موضوع "جمع وطرح الأعداد في أنظمة الأعداد المختلفة".

أهداف الدرس:

التعليمية: التطبيق العملي للمادة المدروسة حول موضوع "الضرب والقسمة في أنظمة الأعداد المختلفة" ، وتوحيد واختبار المعرفة حول موضوع "جمع وطرح الأعداد في أنظمة الأعداد المختلفة". تطوير:تنمية مهارات العمل الفردي العملي والقدرة على تطبيق المعرفة لحل المشكلات. التعليمية:تحقيق الاستيعاب الواعي للمواد من قبل الطلاب.

مواد ومعدات الدرس:بطاقات للعمل المستقل ، جداول الضرب.

نوع الدرس:درس مشترك

شكل الدرس: فرد ، أمامي.

خلال الفصول:

1. فحص الواجبات المنزلية.

واجب منزلي:

1. № 2.41 (العمودان 1 و 2) ، ورشة العمل ، ص 55

قرار:

أ) 11102 + 10012 = 101112

ب) 678 + 238 = 1128

ب) AF16 + 9716 = 14616

د) 11102-10012 = 1012

هـ) 678-238 = 448

هـ) AF16-9716 = 1816

2. رقم 2.48 (ص 56)

2. العمل المستقل "جمع وطرح الأعداد في أنظمة الأعداد المختلفة". (20 دقيقة)

عمل مستقل. الصف 10 .
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. طرح: 10111-111 ؛ 11-1110 4. الجمع والطرح في نظام 8 آري: 738 و 258	الخيار 1
عمل مستقل. الصف 10.نظام الأرقام الثنائية: translation 2® 10 ؛ إضافة.
1. تحويل من ثنائي إلى عشري. 2. أضف رقمين ثنائيين. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. طرح: 111-1001 ؛ 1110 + 111 4. الجمع والطرح بالنظام الست عشري: 7316 و 2916	الخيار 2

3. مادة جديدة.

1. الضرب

عند القيام بضرب الأعداد متعددة الأرقام في أنظمة الأرقام الموضعية المختلفة ، يمكنك استخدام الخوارزمية المعتادة لضرب الأرقام في عمود ، ولكن يجب استعارة نتائج الضرب وإضافة الأرقام المكونة من رقم واحد من جداول الضرب والإضافة المقابلة للنظام المدروس.

الضرب في ثنائي

الضرب في النظام الثماني

نظرًا للبساطة الشديدة لجدول الضرب في النظام الثنائي ، يتم تقليل الضرب فقط إلى تحولات المضاعفات والإضافات.

مثال 1لنضرب الرقمين 5 و 6 في أنظمة الأعداد العشرية والثنائية والثنائية والسداسية العشرية.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif "width =" 419 "height =" 86 src = ">
إجابه: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
فحص.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

مثال 2لنضرب الرقمين 115 و 51 في أنظمة الأعداد العشرية والثنائية والثمانية والسداسية العشرية.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif "width =" 446 "height =" 103 src = ">
إجابه: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
فحص.دعنا نحول المنتجات الناتجة إلى شكل عشري:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. التقسيم

يتم إجراء القسمة في أي نظام رقم موضعي وفقًا لنفس قواعد القسمة بزاوية في النظام العشري. في النظام الثنائي ، القسمة سهلة بشكل خاص.، لأن الرقم التالي من حاصل القسمة يمكن أن يكون فقط صفر أو واحد.
مثال 3اقسم الرقم 30 على الرقم 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif "width =" 478 "height =" 87 src = ">
إجابه: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

مثال 4اقسم الرقم 5865 على الرقم 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif "width =" 400 "height =" 159 src = ">

ثماني: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif "width =" 416 "height =" 18 src = ">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif "width =" 72 "height =" 89 src = ">
إجابه: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
فحص.لنحول قسمة القسمة المستلمة إلى شكل عشري:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. الواجب المنزلي:

1. التحضير للاختبار رقم 2 "حول موضوع نظام الأرقام. ترجمة الأرقام. العمليات الحسابية في أنظمة الأرقام "

2. التدريب العملي Ugrinovich ، عدد 2.46 ، 2.47 ، ص 56.

المؤلفات:

1. ورشة عمل حول علوم الحاسب وتقنية المعلومات. الكتاب المدرسي للمؤسسات التعليمية / ،. - م: بينوم. مختبر المعرفة ، 2002. 400 ص: مريض.

2. Ugrinovich وتكنولوجيا المعلومات. كتاب مدرسي للصفوف 10-11. - م: بينوم. معمل المعرفة 2003.

3. شوتسوكوفا: كتاب مدرسي. بدل 10-11 خلية. تعليم عام المؤسسات. - م: التعليم ، 2003.9 - ص. 97-101 ، 104-107.

تستخدم للعمل مع البيانات الترميز، بمعنى آخر. التعبير عن البيانات من نوع واحد من حيث البيانات من نوع آخر.

تكنولوجيا الكمبيوتر لها أيضًا نظامها الخاص - يطلق عليه ترميز ثنائيويستند إلى تمثيل البيانات من خلال تسلسل من حرفين فقط: 0 و 1. يتم استدعاء هذه الأحرف أرقام ثنائيةباللغة الإنجليزية - رقم ثنائيأو باختصار بت (بت).

يمكن التعبير عن مفهومين في بت واحد: 0 أو 1 (نعمأو لا ، أسودأو أبيض ، صحيحأو يكذب أو ملقاهإلخ.). إذا زاد عدد البتات إلى اثنين ، فيمكن بالفعل التعبير عن أربعة مفاهيم مختلفة:

يمكن لثلاث بتات ترميز ثماني قيم مختلفة: 000001010 01110010110111

من خلال زيادة عدد الأرقام في نظام الترميز الثنائي بمقدار واحد ، نضاعف عدد القيم التي يمكن التعبير عنها في هذا النظام ، أي أن الصيغة العامة تبدو كما يلي:

N = 2 م ،أين:

ن-عدد القيم المشفرة المستقلة ؛

ر- عمق البت للترميز الثنائي المعتمد في هذا النظام.

نظرًا لأن وحدة القياس صغيرة جدًا ، فغالبًا ما يتم استخدام وحدة أكبر عمليا - بايت ، يساوي ثمانية بتات.

تستخدم وحدات البيانات المشتقة الأكبر أيضًا:

كيلو بايت (KB) = 1024 بايت = 2 10 بايت ؛

ميغا بايت = 1024 كيلو بايت = 2 20 بايت ؛

جيجا بايت = 1024 ميجا بايت = 230 بايت.

في الآونة الأخيرة ، بسبب الزيادة في حجم البيانات المعالجة ، مثل الوحدات المشتقة مثل:

تيرابايت (تيرابايت) = 1024 جيجا بايت = 240 بايت ؛

بيتابايت (PB) = 1024 تيرابايت = 250 بايت ؛

إكسابايت (إبايت) = 1024 بيتابايت = 260 بايت.

ترميز المعلومات النصيةيتم إنتاجه باستخدام الكود القياسي الأمريكي لتبادل المعلومات ASCII ، والذي يحدد رموز الأحرف من 0 إلى 127. تخصص المعايير الوطنية بايتًا واحدًا من المعلومات للحرف وتتضمن جدول رموز ASCII ، بالإضافة إلى رموز الأبجدية الوطنية بأرقام من 128 إلى 255. يوجد حاليًا خمسة ترميزات سيريلية مختلفة: KOI-8 و MS-DOS و Windows و Macintosh و ISO. في نهاية التسعينيات ، ظهر معيار Unicode دولي جديد ، والذي لا يخصص بايت واحد ، بل اثنين بايت لكل حرف ، وبالتالي يمكن استخدامه لتشفير الأحرف المختلفة.

جدول ترميز القاعدة ASCIIهو مبين في الجدول.

ترميز الرسومات الملونةمصنوعة باستخدام خطوط المسح ، حيث ترتبط كل نقطة برقم اللون الخاص بها. في نظام الترميز RGB ، يتم تمثيل لون كل نقطة بمجموع الألوان الأحمر (الأحمر) والأخضر (الأخضر) والأزرق (الأزرق). في نظام الترميز CMYK ، يتم تمثيل لون كل نقطة بمجموع ألوان السماوي (السماوي) والأرجواني (الأرجواني) والأصفر (الأصفر) وإضافة الألوان السوداء (الأسود ، والكاف).

الترميز التناظري

تاريخياً ، كان الشكل التكنولوجي الأول لاستقبال البيانات ونقلها وتخزينها هو التمثيل التناظري (المستمر) لإشارة صوتية أو ضوئية أو كهربائية أو أي إشارة أخرى. لاستقبال مثل هذه الإشارات في جهاز كمبيوتر ، يتم إجراء التحويل التناظري إلى الرقمي بشكل أولي.

يتكون التحويل التناظري إلى الرقمي من قياس إشارة تناظرية على فترات منتظمة τ وتشفير نتيجة القياس بكلمة ثنائية n من بت. في هذه الحالة ، يتم الحصول على سلسلة من الكلمات الثنائية ذات n-bit ، والتي تمثل إشارة تناظرية بدقة معينة.

يستخدم معيار القرص المضغوط المعتمد حاليًا ما يسمى بـ "صوت 16 بت بمعدل مسح 44 كيلو هرتز". بالنسبة إلى الشكل أعلاه ، المترجم إلى اللغة العادية ، فهذا يعني أن "طول الخطوة" (t) هو 1/44000 ثانية ، و "ارتفاع الخطوة" (δ) هو 1/65،536 من الحد الأقصى لحجم الإشارة (منذ 2 16 \ u003d 65.536). في هذه الحالة ، نطاق تردد الاستنساخ هو 0-22 كيلو هرتز ، والنطاق الديناميكي هو 96 ديسيبل (وهي خاصية جودة لا يمكن الوصول إليها تمامًا لتسجيل الصوت المغناطيسي أو الميكانيكي).

ضغط البيانات.

كمية البيانات المعالجة والمرسلة تتزايد بسرعة. ويرجع ذلك إلى تنفيذ عمليات التطبيق المعقدة بشكل متزايد ، وظهور خدمات المعلومات الجديدة ، واستخدام الصور والصوت.

ضغط البيانات (ضغط البيانات)- عملية تقلل من حجم البيانات. يسمح لك الضغط بتقليل مقدار الذاكرة المطلوبة بشكل كبير لتخزين البيانات ، وتقليل (إلى حجم مقبول) وقت نقلها. ضغط الصور فعال بشكل خاص. يمكن أن يتم ضغط البيانات عن طريق البرامج والأجهزة أو بطريقة مشتركة.

يرتبط ضغط النص بتخطيط أكثر إحكاما بايتترميز الأحرف. يستخدم أيضًا حساب تكرار الفضاء. بالنسبة للصوت والصور ، يعتمد مقدار المعلومات التي تمثلها على خطوة التكميم المختارة وعدد أرقام التحويل من التناظرية إلى الرقمية. من حيث المبدأ ، يتم استخدام نفس طرق الضغط هنا كما في معالجة النص. في حالة حدوث ضغط النص دون فقد المعلومات ، يؤدي ضغط الصوت والصورة دائمًا إلى فقدان بعض المعلومات. يستخدم الضغط على نطاق واسع في أرشفة البيانات.

الرموز- تمثيل رقم من خلال مجموعة محددة من الأحرف. أنظمة الأرقام هي:

1. واحد (نظام العلامات أو العصي) ؛

2. غير موضعي (روماني) ؛

3. الموضعية (عشري ، ثنائي ، ثماني ، سداسي عشري ، إلخ).

الموضعيةيسمى نظام الأرقام حيث تعتمد القيمة الكمية لكل رقم على مكانه (موضعه) في الرقم. المؤسسةيسمى نظام الأرقام الموضعية عددًا صحيحًا مرفوعًا إلى قوة ، وهو ما يعادل عدد الأرقام في هذا النظام.

يتضمن نظام الأرقام الثنائية أبجدية من رقمين: 0 و 1.

يتضمن نظام الأرقام الثماني أبجدية من 8 أرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 و 7.

يتضمن نظام الأرقام العشري أبجدية من 10 أرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 و 9.

يتضمن نظام الأرقام الست عشري أبجدية من 16 رقمًا: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، A ، B ، C ، D ، E ، F.

			أ ب ج د هـ و

في تكنولوجيا الكمبيوتر ، يتم استخدام الترميز في النظام الثنائي ، أي تسلسل 0 و 1.

لتحويل عدد صحيح من نظام رقمي إلى آخر ، يجب عليك تنفيذ الخوارزمية التالية:

1. التعبير عن أساس نظام الأرقام الجديد من حيث أرقام نظام الأرقام الأصلي.

2. قسّم باستمرار الرقم المحدد على أساس نظام الأرقام الجديد حتى تحصل على حاصل قسمة أقل من المقسوم عليه.

3. تحويل الأرصدة الناتجة إلى نظام أرقام جديد.

4. قم بتكوين رقم من الباقي في نظام الأرقام الجديد ، بدءًا من الباقي الأخير.

بشكل عام ، في الموضع SS مع القاعدة P ، يمكن تمثيل أي رقم X على أنه متعدد الحدود في القاعدة P:

X \ u003d a n P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m مساءً،

حيث يمكن أن تكون المعاملات a i أيًا من أرقام P المستخدمة في SS مع القاعدة P.

يتم إجراء تحويل الأرقام من 10 SS إلى أي رقم آخر للأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بطرق مختلفة:

أ) يتم تقسيم الجزء الصحيح من الرقم والحواجز الوسيطة على قاعدة SS الجديدة ، معبرًا عنها في 10 SS ، حتى يصبح حاصل القسمة أقل من قاعدة SS الجديدة. يتم تنفيذ الإجراءات في 10 CC. النتيجة خاصة ، مكتوبة بترتيب عكسي.

ب) يتم ضرب الجزء الكسري من الرقم والأجزاء الكسرية الناتجة من المنتجات الوسيطة في قاعدة SS الجديدة حتى يتم الوصول إلى الدقة المحددة ، أو يتم الحصول على "0" في الجزء الكسري للمنتج الوسيط. والنتيجة هي الأجزاء الكاملة للأعمال الوسيطة ، مكتوبة بالترتيب الذي تم استلامها به.

باستخدام الصيغة (1) ، يمكنك تحويل الأرقام من أي نظام رقمي إلى نظام الأرقام العشري.

مثال 1قم بتحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثنائية (SS) إلى النظام العشري SS. قرار:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2-3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125

مثال 2قم بتحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثماني (SS) إلى النظام العشري SS. قرار:

مثال 3. حول الرقم AB572.CDF من رقم سداسي عشري إلى رقم عشري SS. قرار:

هنا أ- تم استبداله بـ 10 ، ب- في 11، ج- في 12 ، F- في 15.

ترجمة 8 (16) رقمًا إلى نموذجين - يكفي استبدال كل رقم من هذا الرقم بالرقم الثنائي المقابل المكون من 3 أرقام (4 أرقام). تجاهل الأصفار غير الضرورية ذات الأرقام العالية والمنخفضة.

مثال 1: قم بتحويل الرقم 305.4 8 إلى ثنائي SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

مثال 2: تحويل الرقم 9AF ، 7 16 إلى ثنائي CC.

(_9 __ _أ __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

لترجمة الرقم الثاني إلى 8 (16) SS ، تابع على النحو التالي: الانتقال من الفاصلة إلى اليسار واليمين ، قسّم الرقم الثنائي إلى مجموعات مكونة من 3 (4) أرقام ، مع استكمال أقصى مجموعات اليمين واليسار بالأصفار إذا لزم الأمر . ثم يتم استبدال كل مجموعة بالرقم الثماني المقابل (16).

مثال 1: تحويل الرقم 110100011110100111،1001101 2 إلى ثماني ss.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

مثال 2: تحويل الرقم 110100011110100111،1001101 2 إلى سداسية عشرية.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

عمليات حسابيةفي جميع أنظمة الترقيم الموضعي يتم تنفيذها وفقًا لنفس القواعد المعروفة لك جيدًا.

إضافة.ضع في اعتبارك إضافة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية. يعتمد على جدول إضافة الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

من المهم الانتباه إلى حقيقة أنه عند إضافة وحدتين ، يتم تجاوز البت ويحدث النقل إلى أعلى بت. يحدث التجاوز عندما تصبح قيمة الرقم الموجود فيه مساوية للقاعدة أو أكبر منها.

تتم إضافة أرقام ثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الإضافة أعلاه ، مع مراعاة عمليات النقل المحتملة من الأرقام الدنيا إلى الأرقام الأعلى. كمثال ، دعنا نجمع الأعداد الثنائية 110 2 و 11 2 في عمود:

الطرح.ضع في اعتبارك طرح الأعداد الثنائية. يعتمد على جدول طرح للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد. عند طرح رقم أصغر (0) رقم أكبر (1) ، يتم إجراء قرض من أعلى ترتيب. في الجدول ، يُشار إلى القرض بالرقم 1 بخط:

عمليه الضرب.يعتمد الضرب على جدول الضرب للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

قسم.يتم تنفيذ عملية القسمة وفقًا لخوارزمية مشابهة لخوارزمية عملية القسمة في نظام الأرقام العشري. كمثال ، دعنا نقسم الرقم الثنائي 110 2 على 11 2:

لإجراء عمليات حسابية على الأرقام المعبر عنها في أنظمة الأرقام المختلفة ، يجب عليك أولاً ترجمتها إلى نفس النظام.