Фильтры для линейно частотно-модулированных (ЛЧМ) сигналов могут быть реализованы при использовании поверхностных акустических волн (ПАВ). Физической основой получения требуемой дисперсионной характери­стики при использовании ПАВ является не дисперсия скорости волны, а про­странственное разделение преобразователей, настроенных на разные частоты. Этот принцип иллюстрируется эпюрами, изображенными на рис. 2.27.

2.1.9. Ранговые обнаружители

Обнаружители, не зависящие от вида распределения, уменьшают зависи­мость вероятности ложной тревоги от статистического характера сигнала на входе обнаружителя. Это достигается сведением к минимуму числа допущений относительно точного характера распределения вероятности сигнала на входе обнаружителя. Качество обнаружителя в реальной ситуации зависит от того, насколько хорошо выполняются исходные допущения, принятые при его синте­зе. Очевидно, чем меньше исходных допущений, тем шире круг возможных си­туаций, которые им отвечают, так что обнаружитель, не зависящий от конкрет­ного вида распределения, наименее чувствителен к отклонениям от принятой модели. Практически это означает, что такой обнаружитель должен быть поле­зен в более широком кругу реальных ситуаций, чем параметрический обнару­житель.

Обнаружители, не зависящие от вида распределения, можно классифици­ровать несколькими способами. Эти обнаружители могут быть с фиксирован­ными или последовательными объемами выборок и бинарными или многоаль­тернативными. Можно выделить следующие модели обнаружителей.

Модель 1 соответствует случаям, когда совместная функция распределе­ния входного сигнала обнаружителя при отсутствии сигнала известна, а совме­стная функция распределения смеси сигнала с шумом - неизвестна.

Модель 2 соответствует случаям, когда обе выше названные функции распределения неизвестны, но имеется выборка данных, о которой известно, что она имеет распределение шума. Эта выборка называется выборкой чистого шума.

Модель 3. Кней относятся обнаружители с k -выборкой, когда неизвестны распределения, указанные в модели 1 и отсутствует выборка чистого шума. Эта модель характерна для радиолокационных обнаружителей, так как большинст­во обзорных РЛС обладают большим числом элементов разрешения по дально­сти, по допплеровской частоте и т.д.

Для того, чтобы класс распределений, в пределах которого процедура об­наружения не зависит от вида распределения, был как можно шире, необходи­мо переходить к процедурам рангового наблюдения. Иначе говоря, компоненты наблюдений или последовательностей наблюдений ранжируются в порядке их величин и обнаружение осуществляется на основе некоторой функции их ран­гов.

В ранговых обнаружителях предусматривается обязательный переход от обычного выборочного вектор-столбца (выборочного вектора) к ранго­вому вектор-столбцу (ранговому вектору)

Переход от выборочного вектора осуществляется путем использования знаковых алгоритмов

Элементы знакового вектора имеют всего два возможных значения: +1, если

Элементами рангового вектора являются ранги элементов выборочного вектора Рангом элемента называется общее число элементов вектора, включая элемент , не превышающих величины Для определения ранга элемент сопоставляется

со всеми элементами вектора Y, в том числе с самим со­бой. Если элементу не превышает элемента , величина

принимает значение 1, в противном случае она обращается в нуль. Ранг /-го элемента вектора в (30) определяется поэтому как сумма выражений (31) для Например, для выборочного вектора ранговым является век­тор т. Поясним такой переход на примере второго элемента:

Число возможных комбинаций элементов т-элементного рангового век­тора определяется числом перестановок т! целых чисел что опреде­ляет большую информативность комбинаций рангового вектора.

Ранговый алгоритм обнаружения сводится к сопоставлению ранговой статистики с некоторым порогом для принятия решения об обнаружении или необнаружении сигнала. Простейшей и наиболее употребительной ранговой статистикой является линейная по отношению к ранговому вектору и к ожи­даемому сигналу статистика Вилкоксона

Если указанная сумма превысит порог, принимается решение об обнару­жении.

Одним из возможных вариантов обнаружителя по критерию ранговой суммы для РЛС с элементами разрешения может быть следующий.

Зона обнаружения РЛС разбивается на отдельные дискреты по дальности и азимуту. Обозначим соответствующие элементы дальности через а азимута через Компоненты для импульса ранжируются так, чтобы получить ранговый вектор - ранг компоненты . После общего числа п импульсов формируется сумм вида

Если превысит установленный порог, вырабатывается решение об об­наружении сигнала.

Упрощенным вариантом обнаружителя по критерию ранговой суммы яв­ляется обнаружитель с квантованием рангов (с ранговым квантованием - РК), который работает следующим образом. Вместо ранжирования данных, полу­чаемых от каждого импульса, ^ наибольших значений из заменя­ются единицами, а остальные значения - нулями. Эти единицы и нули сумми­руются по отдельности для каждого элемента разрешения, и если при этом пре-

Вышается порог, то принимается решение, что в данном элементе сигнал при­сутствует.

Ни одна из описанных процедур не является оптимальной и, следовательно, вероятностные характеристики обнаруже­ния ухудшаются. На рис. 2.28 изображена зависимость вероятности обнаружения от отношения сигнал/шум для различных ал­горитмов обнаружения. На рисунке харак­теристики соответствуют следующим критериям:

НП - оптимальный критерий Неймана-Пирсона;

РС - критерий ранговой суммы;

РК - критерий с ранговым квантованием;

ао - среднее число ложных тревог на каждые п импульсов.

Рассмотренные выше обнаружители относятся к обнаружителям с фикси­рованным объемом выборки. Существуют и обнаружители последовательного типа, алгоритм работы которых базируется на вычислении отношения -правдо­подобия на основе рангов наблюдений. Для вычисления отношения правдопо­добия необходимо принять в качестве исходных данных некоторые совместные функции распределения для случаев, когда присутствует только шум или смесь сигнала и шума.

Ранговые обнаружители обладают следующими свойствами:

1. Большая информативность комбинаций рангового вектора.

2. Любое монотонное неубывающее преобразование элементов выборочного вектора не изменяет рангового вектора.

3. Ранговый обнаружитель обеспечивает постоянное значение условной веро­ятности ложной тревоги.

4. Ранговые обнаружители не реагируют на одновременное изменение уровней сигнала и помехи, что расширяет динамический диапазон обработки.

5. Ранговые алгоритмы инерционны: переход к рангам невозможен без запо­минания всей выборки.

2.1.10. Стабилизация уровня ложных тревог

Вероятность возникновения ложной тревоги является одной из важней­ших характеристик радиотехнической системы (системы обнаружения, обра­ботки и т.д.). Обнаружение сигнала на фоне собственных шумов приемника со­стоит в фиксации факта превышения этим сигналом заданного порогового уровня, называемого порогом обнаружения. Указанный порог задается в соот­ветствии с интенсивностью шумов приемного тракта и допустимой вероятно­стью ложных тревог Вероятность ложных тревог может быть определена следующим образом:

Под ложной тревогой понимается факт превышения порога обнаружения выбросами шума (помехами). Числовой мерой вероятности является среднее (в статистическом смысле) число таких превышений на достаточно большом, но фиксированном временном интервале наблюдения процесса

Небольшое изменение нормированного порога приводит к значи­тельным изменениям вероятности ложной тревоги. Так, увеличение лишь на 1дБ (1,12 раз) приводит к уменьшению вероятности в 10 раз. Любая нестабильность порога или изменение уровня шума на выходе приемника не­желательны.

Для стабилизации уровня ложных тревог необходимо обеспечить посто­янство значения нормированного порога . Это достигается оценкой текущего значения и подстройкой порога Оценку значения можно по­лучить либо усреднением по времени шумового напряжения после амплитуд­ного детектирования, либо подсчетом числа выбросов этого напряжения за фиксированный пороговый уровень в течение определенного отрезка времени. В последнем случае интенсивность потока возникновения ложных тревог опре­деляется следующим образом

Вероятность возникновения ложных тревог за время определяется формулой Пуассона:

а среднее количество ложных отметок за обзор

В обоих случаях требуется достаточно много времени для получения на­дежной оценки

Большинство средств радиолокации работает в условиях, когда внутрен­ний шум приемных устройств не является определяющим. Более существенны­ми оказываются отражения сигналов от местных предметов, грозовых облаков, излучения промышленных объектов и соседних радиотехнических систем, а также преднамеренные помехи. В этих условиях в силу быстро изменяющегося во времени помехового фона и необходимости автоматической обработки сиг­налов особое значение приобретает проблема обеспечения стабильности уровня ложной тревоги в каждом элементе разрешения пространства. Нестабильность

вероятностей ложных тревог приводит к перегрузке вычислительных средств вторичной обработки, неустойчивому сопровождению воздушных объектов и появлению ложных траекторий.

Использование системы временного регулирования усиления (ВАРУ) по­зволяет регулировать лишь средние значения пассивных помех в зависимости от дальности до объектов. Системы инерционных автоматических регулировок усиления (ИАРУ) и шумовых автоматических регулировок усиления (ШАРУ) инерционны и фиксируют уровень помехового фона лишь в среднем. Усилите­ли с нелинейными амплитудными характеристиками исключают значительные выбросы сигналов, в определенной степени способствуют стабилизации уровня ложных тревог, однако полностью не решают эту задачу, поскольку их главное назначение состоит в расширении динамического диапазона при минимальных амплитудно-фазовых искажениях полезного сигнала.

Отмеченное означает, что фиксирование уровня ложных тревог в прием­ном тракте является самостоятельной задачей. Эта задача решается с помощью схем автоматического регулирования порога обнаружения. Смысл работы этой схемы поясняется с помощью устройства, упрощенная структурная схема кото­рого изображена на рис. 2.29.

Сигнал, поступающий на обнаружитель, одновременно по­дается на блок оценки вероятности ложной тревоги. Получаемая оценка сравнивается с порого­вым уровнем и вырабатывается такое напряжение регулирования, при котором оценка остается постоянной величиной. В средст­вах радиолокации кругового обзо­ра с целью повышения быстродействия схемы и качества стабилизации вероят­ности ложной тревоги в зависимости от ориентации диаграммы направленно-

сти и временной задержки относительно излученного импульса с блока памяти могут подаваться оценки , полученные на предыдущем периоде обзора.

При неизвестной интенсивности помехи нельзя установить уровень поро­га, обеспечивающего заданное качество обнаружения сигнала. Один из путей оптимизации обработки - организация ее на основе измерения и учета уровня помехи. Оценка уровня помехи может быть реализована по принципу макси­мума правдоподобия. Оценивание облегчается, если выборка помехи класси­фицированная - на нее не наложен сигнал.

Мерой интенсивности мгновенных значений помехи можно считать мощность, выделяемую ею на единичном сопротивлении в полосе частот и равную

Значение оценки параметра определится как

Адаптация к интенсивности помех может быть реализована в «скользя­щем окне» при линейном детектировании. При этом используются отсчеты по­мехи, предшествующие обнаруживаемому сигналу, и следующие за ним с со­вокупным сглаживанием всех этих отсчетов. Структурная схема такой обработ­ки изображена на рис. 2.30.

Принятые в полосе частот продетектированные колебания проходят линию задержки на время отводами. Сигнальное напряжение, снимаемое со среднего отвода, задержано дополнительно на Его амплиту­ду делят на усредненную амплитуду напряжения помехи. В момент максимума сигнала его амплитуда к амплитуде шума не добавляется: сглаживаются только амплитуды шума до и после максимума сигнала.

Совокупное сглаживание в «окне» повышает точность измерения, а значит и качество адаптации к стационарным помехам. Если же сгла­живание оказывается недостаточным. Возрастают ошибки определения порого­вого уровня. С другой стороны, удлинение «окна» нежелательно по двум при­чинам. Это, во-первых, может нарушить адаптацию при нестационарности по­мехи. Уровень порога, во-вторых, неоправданно повышается при попадании в расширенное окно сигналов, отраженных более чем от одной цели.

При оценивании уровня шума в окрестностях сигнала от некоторого воз­душного объекта интенсивные отражения от других объектов, попадающие в расширенное «окно», действуют как импульсные помехи. Влияние последних ослабляется при ранговой обработке. Переход к рангам иногда используют только для оценивания дисперсии шумовой помехи в условиях многоцелевых ситуаций и выставления после этого уровня порога в аналоговом тракте обра­ботки.

Наиболее часто оценка мощности помех осуществляется путем усредне­ния мощности помех по элементам дальности, что дает известные преимущест­ва по быстродействию системы адаптации. Общая идея такой оценки и стаби­лизации уровня ложной тревоги при обнаружении показана на рис. 2.31.

Изображенная на рис. 2.31 система осуществляет нормировку статистики квадрата входной реализации (мощности), полученного с помощью квадра­тичного детектора, к уровню средней мощности помех , Результирующая ве­личина сигнала всегда нормирована и не зависит от уровня помех.

В последнее время осуществлены многочисленные разработки обнаружи­телей движущихся целей, учитывающие негауссовость помехи, наличие одно­временных отражений от гидрометеоров и поверхности и т.д. Примером может служить адаптивная система со стабилизацией уровня ложных тревог, структу­ра которой изображена на рис. 2.32.

Регистр сдвига РС1 записывает уровень отраженных сигналов и помех в ячейки дальности с последующим усреднением значений сигналов ячеек в рай­оне, прилегающем к ячейке с целью. Порог Т 1 формируется умножением сред­него значения уровня помехи на коэффициенты К 2 и К 3 . Величина К 2 извлека­ется из постоянного запоминающего устройства на основании сигнала счетчика ложной тревоги на регистре РС2, который функционирует следующим образом. Умножением на коэффициент К 1 формируется порог T 2 для амплитудного ком-

паратора АК2. На второй вход компаратора подается сигнал с ячейки РС1, в ко­торой заведомо имеется только сигнал помехи. При превышении помехой по­рога Т 2 формируется единица, при непревышении - нуль, которые записывают­ся в регистр РС2, а затем считываются сумматором. Величина К 3 выбирается из условия обеспечения заданной вероятности ложной тревоги при обнаружении на фоне шума. Порог Т\ вводится в амплитудный компаратор АК1, где осуще­ствляется обнаружение сигнала цели со средней ячейки РС1.

Стабилизация уровня ложных тревог (СУЛТ) реализуется специальными устройствами, один из вариантов которых приводится ниже.

Результатом работы устройства СУЛТ является формирование адаптив­ного порога обнаружения в соответствии с выражением

Величина , определенная экспериментально, задается распайкой спе­циальной группы контактов для формирования кода порога, общего для всех каналов обработки.

Для определения среднего уровня шума в устройстве СУЛТ форми­руется скользящее в пределах рабочей дальности окно анализа протяженностью 16 ДД, разделенное на две части по 8 ДД (рис. 2.33).

Окно анализа (расположенное симметрично относительно дискрет где последовательно перемещается по всей рабочей дальности. Для любого текущего положения окна анализа производится сум­мирование значений шума в пределах этого окна и деление результата на 16.

Полученное таким образом значение используется далее для опреде­ления адаптивного порога (рис. 2.34).

Организация скользящего окна обеспечивается использованием двух ОЗУ емкостью по 8 восьмиразрядных слов каждое.

Временное запаздывание информации, накопленной ОЗУ2 по отношению к информации ОЗУ1, на время, соответствующее 4 ДД, создается регистровой линией задержки. Информация, накопленная каждым запоминающим устрой­ством, непрерывно обновляется путем замены старой на вновь поступающую, что создает эффект движения окна анализа. Данные, хранящиеся в каждом ОЗУ, суммируются с последующим их объединением и отбрасыванием четырех младших разрядов, что эквивалентно делению на 16. Полученное таким образом значение обновляется по мере движения окна анализа через время, соответствующее 8 ДД.

В регистре в течение всего текущего периода зондирования хранится значении полученное на предыдущем зондировании при . Компаратор 1 сравнивает вновь полученное значение с хранящимся в регистре
и при (что может иметь место при работе автоматических регулировок усиления приемника, например, ВАРУ) подключает к перемножению код .

Сформированный в перемножителе порог поступает на компаратор 2,
куда поступает цифровой сигнал с регистровой линии задержки. В случае превышения сигналом формируется выходной сигнал обнаружение СУЛТ,
имеющий дополнительную задержку 10 ДД.

В момент прихода следующего импульса запуска регистр фиксирует значение полученное в последнем положении окна анализа при на рассмотренном периоде зондирования.

Еще одним примером устройства автоматической регулировки уровня
ложных тревог является следующее (рис. 2.35)

Рис. 2.35. Стабилизатор уровня ложных тревог

Согласующее устройство обеспечивает согласование динамических диапазонов входных сигналов и тракта обработки. Порог срабатывания компаратора изначально может быть установлен произвольно.

Выходное напряжение компаратора представляет собой импульсы, длительность которых соответствует длительности сигналов на уровне срабатывания компаратора. Схема формирования выходного сигнала и буферный усилитель обеспечивают формирование импульсных последовательностей с требуемыми параметрами. Выходное напряжение с буферного усилителя поступает в цепь формирования опорного напряжения компаратора . Эта цепь включает ключ, пиковый детектор, интегратор. Ключ обеспечивает прохождение сигналов на пиковый детектор во время действия импульса рабочей дистанции, расположенного в конце дистанции и длительностью τ=100-200 мкс. Пиковый детектор преобразует последовательность импульсов в пульсирующее напряжение, которое сглаживается интегратором. Выходное напряжение интегратора ограничивается сверху для исключения возможности формирования чрезмерно высокого порога.

2.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов

2.2.1. Качественные показатели и критерии оптимальности
измерения параметров радиолокационных сигналов

В результате обнаружения устанавливаются факты наличия или отсутствия объектов в определенных областях воздушного пространства. В результате измерения должны выдаваться возможно более точные оценки дальности, радиальной скорости, угловой координаты в предположении, что наличие объекта достоверно.

В зависимости от условий локации измеряемый параметр считают случайной величиной, неизменной в течение времени приема отраженного сигнала, либо случайной величиной, изменяющейся в течение этого времени (скачкообразно или непрерывно) в соответствии с заданной статистикой движения объекта. Рассмотрим вначале первый случай.

В результате проведенного измерения должна быть дана оценка а* каждого измеряемого параметра а. Показателем качества измерения является статистически усредненная величина ошибки 8 == а*-а измерения параметра. Чем меньше величина ошибки, тем выше качество измерения.

Ошибки измерений делятся на грубые промахи, систематические и случайные ошибки. Если приняты меры для исключения систематических ошибок и грубых промахов, ошибки измерений сводятся к случайным. Случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флюктуациями сигнала, а иногда случайным поведением самой системы измерений.

Качественными показателями измерений одномерной случайной величины являются: среднеквадратичная ошибка, вероятная (срединная) ошибка, математическое ожидание, дисперсия, средний риск ошибки и др. При измерении многомерных величин вводятся корреляционные моменты ошибок, учитывающие взаимосвязь ошибок измерения отдельных случайных величин. Остановимся подробнее на качественных показателях измерения одномерных величин.

Для произвольного закона распределения случайных ошибок Р(ε) средне-
квадратичная ошибка измерения определяется из соотношения

Рис. 2.36. К расчету вероятности Рис. 2.37. Кривая вероятности

В случае наиболее распространенного центрированного нормального за-
кона распределения случайных ошибок (рис. 2.37) среднеквадратичная ошибка
полностью характеризует другие виды ошибок - вероятную и максимальную. В
этом случае вероятность выполнения условия - некоторое произвольно выбранное значение ε, будет

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ЭГА и МТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

По курсу:

“Методы и системы обработки сигналов”

«Определение характеристик оптимального обнаружения»

Выполнил: Озерин М.В. ­_______­______________

студент 4-го курса гр. Э-15 (дата) (подпись)

Руководитель: Черницер В.М. _____________________

(дата) (подпись)

Таганрог 1999

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании гидроакустических систем (ГАС) различного функционального назначения на этапе проектирования решаются задачи оптимизации технических характеристик ГАС и выбора структуры приемного тракта, оптимизирующего отношение сигнал-помеха. Для таких систем основными параметрами является: дальность действия, пространственная разрешающая способность. В данном случае ищут компромиссное решение между этими параметрами, отдавая предпочтение одному или другому в зависимости от стоящей перед разработчиками задачи. Расчет ведется при фиксированной дальности и поэтому выбор оптимальной частоты определяется минимальной излучающей мощности. ЗАДАНИЕ

Рассчитать и построить семейство характеристик обнаружения и определить значение порогового сигнала для исходных данных. Расчет проводится для когерентной последовательности и некогерентной последовательности импульсов при полностью известном сигнале, со случайной начальной фазой и амплитудой.

Таблица 1.1

Данные для расчеты

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2.1. Характеристика обнаружения

Характеристиками обнаружения называются кривые, определяющие зависимость между вероятностью правильного обнаружения Р о, вероятностью ложной тревоги P лт и величиной сигнала выраженного в относительных еденицах:

(2.1)

Параметр q численно равен отношению сигнал-помеха (С/П) по напряжению на выходе согласованного фильтра (СФ). Если задано допустимое значение P лт, то расписывается соответствующее значение P o .

2.1.1 Случай полностью известного сигнала

Условные плотности вероятности корреляционного интеграла при отсутствии сигнала W(K/0) и при наличии сигнала W(K/1) определяются из выражения:

(2.2)

где величины K и E s корреляционный интеграл и энергия сигнала. При сравнении значений К с порогом К о вероятность ложной тревоги определяется отношением порогового уровня к среднеквадратичному значению s к.

(2.3)

Вероятность правильного обнаружения зависит не только от отношения порога К о среднеквадратичному значению s к, но и от отношения

(2.4)

где q – параметр обнаружения.

(2.5)

В выражениях 2.3 и 2.5 в F(U) – интеграл вероятности:

(2.6)

Выражение 2.5 преобразуется к виду

(2.7)

где q o =K o /s k .

Если интеграл вероятности определяется в виде

то выражение (2.3), (2.5), (2.6) приобретают вид

P лт =1-Ф(q o), (2.7)

P лт =1-Ф(q-q o), (2.8)

где q – параметр обнаружения.

Вероятность правильного обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги тем больше, чем больше параметр обнаружения (рис 2.1). Пользуясь кривыми обнаружения, можно найти пороговый сигнал, т.е. сигнал, который при заданной вероятности ложной тревоги, может быть обнаружен с требуемой вероятностью правильного обнаружения Р п.

Рис. 2.1 Кривые обнаружения

Случай полностью известного сигнала на практике встречается редко, но его удобно использовать для сравнения различных типов устройств обнаружения.

2.2. Случай сигнала со случайной начальной фазой

Условные плотности вероятности для корреляционного интеграла при наличии сигнала:

(2.9)

при отсутствии сигнала:

Модель корреляционного интеграла при отсутствии сигнала подчиняется релеевскому закону распределения, а при наличии сигнала, обобщенному релеевскому закону.

Максимально допустимая вероятность ложной тревоги

(2.11)

а пороговое значение отношение сигнал-помеха

(2.12)

Вероятность правильного обнаружения определяется, как

(2.13)

где S – переменная интегрирования.

Когда отношение сигнал-шум равен

формулы (2.9) и (2.13) упрощается, и расчет вероятности P o можно вести по формуле

(2.14)

где Ф(U) – интеграл вероятности.

2.3. Случай со случайной амплитудой и начальной фазой

(2.15) (2.16)

Вероятность ложной тревоги

(2.17)

Вероятность правильного обнаружения

(2.18)

Исключая q o из (2.18), получим

(2.19)

В случае приема последовательности из n одинаковых когерентных импульсов энергетическое отношение сигнал/шум

(2.20)

где E u /N o – энергетическое отношение сигнал/шум, соответствующее одному импульсу последовательности.

По характеристикам обнаружения определяются значения q n и пороговый сигнал, соответствующий полной энергии сигнала в пачке (E S). Поэтому в случае когерентного обнаружения, энергия минимального порогового сигнала одного импульса должна быть – E S /n. А в случае некогерентного обнаружения E S /Ön. Выигрыш при когерентном приеме составляет Ön раз. Параметр обнаружения q может быть представлен как отношение максимального напряжения сигналаA s к среднеквадратичного значения шума

(2.21)

При этом пороговом сигналом определяется коэффициент распознавания (различимости) d, который вычисляется как минимальное отношение сигнал/шум, обеспечивающее обнаружение с требуемой вероятностью:

для случая когерентного обнаружения

для случая некогерентного обнаружения

где W и =A s 2 /2 – импульсная мощность.

При n=1 различие между когерентным и некогерентным приемами отсутствует.

3. РАСЧЕТ ТЕХНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАС

Оптимальная частота работы ГАС

Оптимальную частоту выбираем из расчета, что сигнал будет иметь приемлемый шум и малое поглощение.

где r max – дистанция до цели обнаружения (км).

Но так как можно перебирать частоту в некотором диапазоне, то выбираем частоту f опт =39000, при этом получаем выигрыш в минимальном шуме, но имеем более сильное поглощение сигнала.

Полоса пропускания приемного тракта

Она складывается из доплеровского смещения частот и ширины спектра эхо-сигнала

Обнаружение радиолокационных сигналов 1 страница

2.1.1. Качественные показатели и критерии оптимального обнаружения сигналов

Первая задача радиолокационного приема - задача обнаружения сигнала. В результате процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии цели в, произвольном разрешаемом объеме зоны обнаружения. средства радиолокации (СРЛ). Решение может быть принято при двух взаимно исключающих условиях:

условие А - «объект есть»,

условие А о - «объекта нет», которые в процессе получения решения неизвестны.

За счет помех и флюктуации полезного сигнала каждому условию могут соответствовать два вида решений:

решение А * - «объект есть»,

решение A* - «объекта нет»,

При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «условия» и «решения»:

1) ситуация А *А (правильное обнаружение);

2) ситуация A *A (пропуск цели);

3) ситуация А *А 0 (ложная тревога);

4) ситуация А *А 0 (правильное не обнаружение)

Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмеще­ния событий: Р(А *А ), Р(A *A ), Р(А *А 0), Р(А *А 0). Каждому ошибочному решению ставится в соответствие некоторая плата - стоимость ошибки . Для безошибочных решений эта стоимость равна

0 . Средняя стоимость (математическое ожидание стоимости) ошибочных решений оп­ределится следующим образом:

Лучшей системой обработки считается та, которая удовлетворяет крите­рию минимума этой стоимости - критерию минимума среднего риска. На прак­тике переходят к условным вероятностям, являющимся качественными показа­телями обнаружения при условиях наличия и отсутствия объекта радиолока­ции.

Качественными показателями обнаружения при условии наличия объекта являются соответствующие условные вероятности правильного обнаружения

и пропуска цели

Поскольку соответствующие одному и тому же условию решения и взаимоисключающие, то

Качественными показателями обнаружения при условии отсутствия объ­екта являются условные вероятности ложной тревоги

и правильного обнаружения

Используя приведенные соотношения (2) - (5), выражение (1) для сред­ней стоимости ошибки можно представить в следующем виде

или после замены D-1-D и простых преобразований,

При этом критерий оптимизации обнаружения по минимуму среднего риска сводится к весовому критерию

I = D-l 0 F = max. (7)

Последний показывает, что по совокупности требований повышения ус­ловной вероятности правильного обнаружения D и понижения условной веро­ятности ложной тревоги F следует стремиться к увеличению «взвешенной» разности D- l 0 F. Множитель l 0 , называемый весовым множителем, зависит от

соотношения стоимостей ошибок каждого вида и вероятностей наличия или от­сутствия объектов в исследуемом участке пространства. Дать рекомендации по выбору D и F затруднительно. Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги обычно устанавливают из практи­ческих соображений.

Оптимизация обнаружителей может достигаться одновременным умень­шением условных вероятностей ложной тревоги и пропуска цели. В таких об­наружителях оба вида ошибок нежелательны в одной и той же степени. Поэто­му полагают и средний риск приобретет смысл суммарной вероят­ности ошибки (Р ош)

Фиксированном значении вероятности ложной тревоги F. Это является основой критерия Наймана – Пирсона.

Обычно значения априорных вероятностей Р(А 0) и Р(А1) заранее неиз­вестны. Наибольшую информативность, в этом случае, обеспечивает равенство этих вероятностей Р(А 0) = Р(А1) = 0,5. Тогда вероятность суммарной ошибки

.

Условие минимума вероятности ошибочного решения

носит название критерия максимального правдоподобия.

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана -Пирсона. При этом основными качественными показателями радиолокационно­го обнаружения являются условные вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F.

2.1.2. Оптимизация обнаружения

Обнаружитель сигнала решает задачу выяснения следующего: содержит принимаемое колебание отраженный сигнал или нет. На вход обнаружителя поступает колебание у, которое при отсутствии сигнала представляет собой шум п, а при наличии сигнала - сумму шума и сигнала (п+х). В общем случае входной сигнал можно записать в такой форме

у = п + Ах,

где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А*, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия.

Полагаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожи­даемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной ве­личины п также известен (будем полагать его нормальным). На рис. 2.1 изо­бражены графики плотностей вероятности случайной величины у при условиях отсутствия сигнала А=А 0 =0 и его наличия A=A1 =1:

,

.

Индексы «П » и «СП» указывают на наличие одной помехи или наличии сигнала с поме­хой. Кривая РСП (у) сдвинута по отношению к кривой Р П (у) на постоянную величину х.

Рис. 2.1. Условные плотности веро­ятности Р П (у) и РСП (у) и график решающей функции А*(у)

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решающей функцией А* = А*(у), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: 0 или 1. Из графика решающей функции следует, что для y0D и F имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал при условии «сигнал + помеха» или «помеха» и соответствуют заштри­хованным областям на рисунке. Для произвольной решающей функции выражения для D и F можно запи­сать в виде интегралов в бесконечных пределах

Выражение D- l 0 F, соответствующее весовому критерию, может быть представлено следующим образом

(9)

Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обна­ружения, которая обеспечивает максимум интеграла (9). Чтобы выполнить это условие, достаточно добиться для каждого у наибольшего значения подынте­грального выражения за счет выбора решающей функции А*(у). Эта функция

принимает только два значения: 0 или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в 0, либо умножается на 1. Поэтому полагаем:

1) А*(у)=1, если подынтегральное выражение положительное;

2) А*(у)=0 в противном случае.

Поскольку плотность вероятности Р П (у) не может принимать отрица­тельных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения мо­жет быть записано в виде

(11)

Величина называется отношением правдоподобия. Оно характеризует, какую из гипотез следует считать правдоподобной. Отно­шение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает по­роговую величину l 0 , в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

В случае, если помеха описывается центральным гауссовым распределе­нием со стандартным отклонением n 0и дисперсией , отношение правдоподо­бия будет равно

(12)

Зависимость l(y) для х > 0 изображена на рис. 2.2.

При х>0

Величина у 0 называется порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги F зависит только от величины у 0:

, (13)

где - интеграл вероятности.

Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана-Пирсона.

Рис. 2.2. Зависимость отно- Рис. 2.3. Условие плотности веро-
шения правдоподобия от ре- ятности Р п (у), Р С П (у) и график ре­
зультатов наблюдения шающей функции А* опт (у)

Условная вероятность правильного обнаружения определится следую-

щим образом:

(14)

При заданном уровне помех n0 величина D зависит не только от порога у 0 , но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 2.4). Зависимость D(x) может быть построена качественно из анализа площади под кривой РСП (у) на рис. 2.3 и количественно в соответствии с выражением (14). Чем выше уровень порога у 0

и меньше условная вероятность ложной тревоги F, тем больше кривая D(x)

сдвигается вправо.

При этом для обеспечения той же вероят­ности D требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис. 2.4 на­зываются кривыми обнаружения.

Рис. 2.4. Кривые обнаружения

2.1.3. оптимальное обнаружение полностью известного сигнала

Будем полагать, что ожидаемый сигнал x(t, а) полностью известен, т.е. из­вестны его форма, амплитуда, временное положение и т.д. Обнаружитель дол­жен выработать решение о наличии или отсутствии сигнала. На вход обнару­жителя поступает сигнал y(t), который обнаруживается на фоне белого гауссов- ского шума n(t).

Отношение правдоподобия для этого случая может быть представлено в следующем виде

где - фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала;

N0 - спектральная плотность шума; Э( ) - энергия ожидаемого игнала; Z( ) - корреляционный интеграл

.(16)

Отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляцион­ного интеграла, который может быть рассчитан по принятой реализации y(t) для любого фиксированного параметра . Сравнение отношения правдоподо­бия с порогом l0 эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соот­ветствующим порогом z0.

.

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять корреля­ционный интеграл (16) и сравнивать его с порогом. Структурная схема про­стейшего обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами изобра­жена на рис. 2.5.

Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом z 0 . Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность F ложного превышения порога

Рис. 2.5. Простейший корреляционный обнаружитель

была не больше допустимой. Опорное колебание x(t, ) может вырабатываться специальным гетеродином или получаться непосредственно от передатчика пу­тем задержки сигнала на время .

2.1.4. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Обычно сигнал, принимаемый приемником, неизвестен точно. Как пра­вило, его амплитуда, начальная фаза, время запаздывания и другие параметры заранее неизвестны. Возможны два способа приема сигналов с неизвестными параметрами. Первый способ предполагает предварительное измерение всех его неизвестных параметров и последующий прием как полностью известного сигнала. Этот способ требует выделения специального времени на выполнение указанных выше измерений, усложнения аппаратуры и значительной величины отношения сигнал-шум. Этот способ может быть заменен другим, при котором неизвестные параметры сигнала считаются случайными, а его прием ведется без учета конкретных значений параметров путем статистического усреднения принятого колебания.

Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со слу­чайными нефиксированными параметрами по принятой реализации y(t) сводит­ся:

1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и
частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах и ( -
случайный нефиксированный при обнаружении параметр или совокупность па­-
раметров: начальная фаза, амплитуда);

2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефикси­
рованному параметру .

Для указанной выше ситуации частное отношение правдоподобия опре­делится следующим образом:

,(17)

где Z и Э - частные значения корреляционного интеграла и нергии сигнала.

(18)

.(17)

Ведя речь о фазовой структуре сигналов, следует определиться с коге­рентностью. Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой струк­турой, однако начальная фаза радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной. Такой сигнал может быть представлен в ви­де:

Тогда частное значение корреляционного интеграла (18) приводится к виду:

где ,

Для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, частное значение энергии от не зависит .

Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от 0 до 2 с плотностью вероятности . Определяя математическое ожидание частного отношения прав­доподобия и вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода нулево­го порядка , получим

(20)

где Z - модульное значение корреляционного интеграла, определяемое для принятой реализации y(t) с учетом фиксированного параметра а

Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой изображена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой имеют тот же вид, что и при точно известном сигнале, но лежат несколько пра­вее, что свидетельствует о проигрыше в отношении сигнал-шум.

Если реализуется прием одиночного сигнала со случайной начальной фа­зой, простейшая схема оптимального обнаружителя имеет вид, изображенный на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Оптимальный приемник для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой

Согласованный фильтр такой, у которого коэффициент передачи K есть величина, комплексно сопряженная спектру S сигнала. Импульсная переходная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянно­го множителя является зеркальным отражением входного сигнала на оси вре­мени. Такой фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум.

Если принимается последовательность импульсных сигналов со случай­ной начальной фазой, то выбор схемы обнаружителя существенно зависит от взаимосвязи фаз отдельных сигналов. При когерентной пачке импульсных сиг­налов (имеет место функциональная зависимость фазы колебаний от времени) оптимальный приемник может быть реализован в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Оптимальный приемник для обнаружения пачки когерентных импульсов одинаковой амплитуды и длительности

Согласованный фильтр в данной схеме является оптимальным для от­дельного импульса пачки. Линия задержки имеет (N-1) отводов (N - число им­пульсов в пачке). Если период следования импульсов Т, то общая задержка в линии равна (N-l)-T. В момент окончания пачки импульсов на выходе сумма­тора имеет место наибольшее значение отношения сигнал-шум, характеризуе­мое суммарной энергией пачки импульсов.

Для некогерентной пачки импульсов (начальные фазы отдельных им­пульсов статистически независимы) оптимальный приемник принимает вид, изображенный на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Оптимальный приемник для обнаружения пачки одинаковых некогерентных импульсов

Приемник включает: фильтр, согласованный с одиночным импульсным сигналом; детектор амплитудный; рециркулятор, используемый для накопления видеоимпульсов; пороговое устройство. Рециркулятор имеет коэффициент пе­редачи меньше единицы, вследствие чего накопление импульсов происходит неоптимальным образом и поэтому схема на рис. 2.9 является квазиоптималь­ной.

В момент окончания пачки импульсов отношение сигнал-шум на выходе рециркулятора имеет максимальное значение. Суммирование импульсных сиг­налов происходит после нелинейного элемента - детектора амплитудного, ко­торый ухудшает отношение сигнал-шум на выходе по сравнению с этим отно­шением до детектора. Вследствие этого, результирующее отношение сигнал-шум некогерентной пачки импульсов оказывается меньшим, чем у когерентной.

2.1.5. Оптимальное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Часто случайной бывает не только начальная фаза, но и амплитуда, что приводит к дальнейшему ухудшению характеристик обнаружения по сравне­нию с полностью известным сигналом. Для этого случая сигнал может быть за­писан следующим образом:

Для такого сигнала частное отношение правдоподобия при фиксированном В будет равно

где Z(b) = BZ, Э(B) = В 2 Э; Э и Z - энергия и модульное значение корреляци­онного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу, соответствую-

щему В =1.

При этом величина Э выбирается равной средней энергии

.

Задаваясь релеевским распределением амплитуд

окончательно получим:

(23)

Для сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла Z( ), как и в случае, когда неизвестна только начальная фа­за. Совпадение алгоритмов обнаружения позволяет использовать в обоих слу­чаях одинаковые схемы обработки.

Особенность характеристик обнаружения в рассматриваемом случае со­стоит в том, что с ростом отношения сигнал-шум вероятность обнаружения возрастает сначала быстро, а после достижения значений D = 0,5 - 0,6 это уве­личение замедляется, а затем становится очень медленным. Это объясняется тем, что при действии таких сигналов изменяются лишь параметры распреде­ления Релея величины Z в оптимальном обнаружителе.

На рисунке 2.10 изображены кривые обнаружения для различных сигна­лов.

Рис. 2.10. Кривые обнаружения для сигналов: с полностью извест­ными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир), со случайными амплитудой и начальной фазой (сплош­ные линии)

Приведенные выше схемы являются оптимальными лишь тогда, когда положение ожидаемого сигнала на оси времени известно. Ответ о наличии сиг­нала с неизвестным временем запаздывания может быть дан, если установить факт его наличия или отсутствия для различных значений времени запаздыва­ния. Приходим, таким образом, к необходимости многоканальных корреляци­онных схем, что является недостатком при реализации алгоритмов обнаруже­ния в радиолокации.

Для одноканальной обработки радиолокационной информации могут быть применены фильтровые и корреляционно-фильтровые системы.

2.1.6. Принципы фильтровой и корреляционно-фильтровой обработки сигналов

Считая вначале параметры сигнала известными полностью, потребуем,
чтобы элемент схемы оптимального приема вычислял корреляционный инте­
грал для произвольного времени запаздывания ожидаемого сигнала .(24)

Тогда корреляционный интеграл будет

,(25)

откуда видно, что схема вычисления корреляционного интеграла должна осу­ществлять операцию интегральной свертки. Для реализации математической операции (25) можно использовать фильтр, который будем называть оптималь­ным или согласованным фильтром.

Одной из основных характеристик произвольного линейного фильтра яв­ляется его импульсная характеристика, которая описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичного импульса, поданного в момент времени t=0. Импульсная характеристика оптимального фильтра описывается следую­щим выражением:

,

Для наглядности изложения введем основные понятия и характеристики оптимального обнаружения, иллюстрируя их на простейшем примере. Предположим, что на интервале наблюдения (обработки) может присутствовать или отсутствовать полезный сигнал, характеризуемый постоянным значенизм (рис. 4.1, а). В качестве обнаруживаемого сигнала можно было бы принять отрезок синусоиды с постоянной амплитудой, однако это не изменит существа рассматриваемой ниже процедуры обнаружения.

Достоверному обнаружению сигнала мешает наличие шума (рис. 4.1, б), в смеси с которым наблюдается сигнал (когда он присутствует). Следовательно, по реализациям, содержащим смесь сигнала с шумом (рис. 4.1, в) или только шум, необходимо установить факт присутствия сигнала.

Таким образом, процедура обнаружения сводится к обработке реализаций случайной функции

В каждой из этих реализаций возможно наличие или отсутствие обнаруживаемого сигнала.

Будем обозначать случайные функции и случайные величины большими (заглавными) буквами а набор их возможных значений, а следовательно, и аргументы (независимые переменные) соответствующих законов распределения - малыми буквами, например

Достаточно полной статистической характеристикой случайной функции является ее многомерная плотность

распределения. Она вводится следующим образом. Рассматриваются значения случайной функции в дискретные моменты времени что означает замену случайной функции случайной последовательностью. На всей совокупности возможных реализаций значения случайной функции в моменты времени представляют собой последовательность случайных величин Такую последовательность иногда называют многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Совместная плотность распределения этих случайных величин где на практике принимается за статистическую характеристику случайной функции Такая многомерная плотность распределения зависит от наличия или отсутствия сигнала. В этом смысле она является условной, что отмечено введением в аргумент плотности распределения символа

Степень детализации случайного процесса, которая имеет место при описании его -мерной плотностью распределения, будет тем выше, чем больше значение

Совокупность значений утв случайных величин полученная из каждой конкретной реализации (рис. 4.1, г), называется выборкой. В ряде случаев саму совокупность случайных величин называют обобщенной выборкой.

Использование многомерных распределений для обнаружения позволяет получить обозримые результаты и технически реализуемые обнаружители лишь при определенных ограничениях, которым должна удовлетворять обрабатываемая случайная последовательность. В большинстве случаев эти ограничения не обременительны для практических приложений. Одним из таких ограничений может явиться требование нормальности случайных величин Другое, часто используемое ограничение, состоит в том, что рассматриваемые случайные величины принимаются независимыми. Независимость может быть обеспечена надлежащим выбором моментов отсчета

В дальнейшем будем полагать, что такая независимость имеет место. Тогда при наличии сигнала

а при отсутствии сигнала

Следовательно, многомерные плотности распределения достаточно просто выражаются через одномерные.

В статистической радиотехнике, которая использует аппарат математической статистики, выводы о наличии сигнала и его параметрах делаются на основе принятых реализаций и соответствующих им выборок. Хотя эти реализации и содержат всю информацию об интересующих нас явлениях, получить такую информацию непосредственно из реализации или выборкичасто не представляется возможным. Они должны подвергнуться обработке (анализу). Важным элементом этого анализа является получение некоторых усредненных характеристик выборки. Весьма продуктивной и в ряде случаев оптимальной будет обработка выборки на

основе использования функции правдоподобия и отношения правдоподобия.

В математической статистике функция правдоподобия формируется из многомерной плотности распределения (4.4.2) случайных величин путем замены в ней независимых переменных значениями выборки утв, полученными в результате приема каждой конкретной реализации.

В задачах обнаружения функции правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала будут равны соответственно

Обычно в литературе не делают различий в обозначениях аргументов функций распределения (4.4.2), (4.4.3) и числовых данных каждой конкретной выборки (4.4.4), (4.4.5), что нередко приводит к недоразумениям. Поэтому в дальнейшем выборочные данные, представляющие набор случайных чисел и функций от них, которые также являются случайными числами на совокупности выборок, будут снабжаться индексом (выборка).

Величина функции правдоподобия для каждой конкретной выборки характеризует, какое из двух событий или является более правдоподобным. При построении процедур обнаружения сигналов на основе рассмотренных выше статистических характеристик выборочных данных бывает удобнее сравнивать между собой не величины а их отношение

называемое отношением правдоподобия, с порогом Отношение правдоподобия также является случайной величиной на совокупности выборок.

По соображениям, которые станут ясными из дальнейшего, предпочитают сравнивать с порогом не само значение а его натуральный логарифм, т. е.

где Поскольку логарифмическая функция неубывающая, а - неотрицательная величина, оказываются эквивалентными процедуры сравнения с порогом с порогом С.

Процесс обнаружения сводится к следующему. Для каждой реализации вычисляется логарифм отношения правдоподобия и сравнивается с порогом С. Если оказывается, что то принимается решение о наличии сигнала в данной реализации, а при сигнал считается отсутствующим.

При сравнительно малых отношениях сигнал/шум, а также вследствие случайности принимаемых реализаций логарифм отношения правдоподобия является случайной величиной и возможно выполнение неравенства при отсутствии сигнала. В этом случае обнаружитель примет ошибочное решение о наличии сигнала. Ошибки такого рода называются ложными тревогами. И наоборот, если при наличии сигнала, то выдается ошибочное решение, называемое пропуском сигнала.

При низком пороге пропуски сигнала будут практически отсутствовать, но сильно поднимется процент ложных тревог. Завышение порога увеличит число пропусков сигнала при уменьшении ложных тревог. Интуитивно чувствуется, что существует оптимальное значение порога. Такое значение действительно имеется, причем оно зависит от ряда условий, и в частности от критерия, положенного в основу построения оптимального обнаружителя. Выбор того или иного критерия оптимальности системы, в том числе и для систем обнаружения сигналов, является в значительной степени субъективным актом, т. е. критерий не выводится из теории, а назначается волевым приемом, исходя из особенностей функционирования конкретной оптимизируемой системы. Разумность и ценность принятого критерия качества работы системы проверяется на практике.

Так, установлено, что для оптимизации обнаружителей радиолокационных станций целесообразно использовать критерий Неймана - Пирсона, а для систем связи более подходит критерий идеального наблюдателя. При использовании критерия Неймана - Пирсона задается уровень ложных тревог и требуется, чтобы вероятность обнаружения при этом была бы максимальной. Критерий идеального наблюдателя требует, чтобы суммарная ошибка, вызванная

как ложными тревогами, так и пропуском сигнала, была минимальной.

После того, как критерий принят, определяется оптимальное значение порога С на основании требований данного критерия и устанавливается структура оптимального обнаружителя.

Логарифм отношения правдоподобия определяемый формулой (4.4.7), представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины Вид плотности распределения этой случайной величины зависит от того, присутствует в данной реализации сигнал или его нет.

Обозначим через плотность распределения V при наличии сигнала в реализации, а через при его отсутствии. В соответствии с принятыми ранее определениями, вероятность ложной тревоги выражается формулой:

а вероятность пропуска сигнала -

Полученным результатам можно дать наглядное геометрическое представление (рис. 4.2). Здесь изображены плотности распределения случайной величины V (логарифма отношения правдоподобия) соответственно при отсутствии и наличии сигнала. Вероятность ложной тревоги представляет собой площадь под кривой справа от порогового значения С (луч а вероятность пропуска сигнала площадь под кривой слева от него (луч

Очевидно, что вероятность правильного обнаружения будет равна

Эта вероятность определяется как площадь под кривой справа от порога С.

Как следует из приведенного рисунка, с увеличением порогового уровня уменьшается вероятность ложной тревоги, но одновременно уменьшается и вероятность правильного обнаружения. При снижении порога картина будет обратной.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться и непосредственно совместными плотностями распределений последовательности случайных величин порождающих анализируемые выборки утв. Такая возможность обусловлена правилами обнаружения, сформулированными ранее. Пространство всех возможных выборок (пространство существования случайного вектора разбивается на две непересекающиеся области Попадание данной конкретной выборки в область эквивалентно тому, что случайная величина V примет значение попадающее на луч оси (рис. 4.2). Если выборка попадает в область то будет находиться на луче Отсюда следует, что

т. е. при таком подходе к определению требуется вычисление -кратных интегралов, поэтому на практике чаще пользуются выражениями (4.4.8) и (4.4.9).

Проведенный анализ показывает, что путем вычисления отношения правдонодобия удалось преобразовать -мерное (а в пределе бесконечномерное) пространство выборок (пространство наблюдений) в одномерное. Подобные преобразования широко применяются в математической статистике и составляют суть анализа опытных данных для получения из них определенных выводов.

Если преобразование осуществляется так, что не происходит потери информации, содержащейся в исходной

выборке, то оно называется достаточным, а полученная в результате его случайная величина - достаточной статистикой. Отношение правдоподобия является достаточной статистикой.

Оптимальность критерия Неймана - Пирсона состоит в том, что при его использовании оперируют с достаточными статистиками (отношением правдоподобия), и выявляется лишь при сравнении с другими процедурами обработки, не приводящими к достаточным статистикам. Такое сравнение показывает, что при заданном уровне ложных тревог процедура Неймана - Пирсона дает наибольшую вероятность правильного обнаружения. Пороговое значение при использовании критерия Неймана-Пирсона находится в результате решения уравнения

в котором заданы вид плотности распределения и величина допустимой вероятности ложной тревоги

Для определения порогового уровня Сии при использовании критерия идеального наблюдателя необходимо вычислить вероятность полной ошибки

где априорные (т. е. задаваемые до начала анализа реализации) вероятности отсутствия и наличия сигнала соответственно.

Для нахождения порога который обеспечивает минимум необходимо производную по С от правой части выражения (4.4.14) приравнять нулю. В результате получается уравнение

Решая это уравнение относительно порога, находят значение соответствующее критерию идеального наблюдателя.

С принципиальной точки зрения критерий идеального наблюдателя кажется более содержательным в сравнении с критерием Неймана - Пирсона, так как в нем учитывается

прошлый опыт, отраженный в величинах априорных вероятностей Однако на практике бывает очень трудно найти ситуации, в которых можно заранее и достаточно обоснованно указать величины поэтому часто их берут равными Тогда уравнение для определения будет иметь вид:

Этот частный случай критерия идеального наблюдателя иногда называют критерием максимального правдоподобия.

Условие (4.4.16) означает, что порог должен соответствовать точке пересечения кривых на рис. 4.2, поэтому ложные тревоги и пропуски сигнала будут наблюдаться с равными вероятностями. При использовании критерия Неймана - Пирсона порог обычно устанавливается так, чтобы вероятность ложных тревог была существенно меньше вероятности пропуска сигнала. В этом основное различие рассмотренных критериев.

Общим для этих критериев является то, что процедуры обнаружения при использовании каждого из них строятся на основе вычисления отношения правдоподобия. Это обстоятельство обусловлено тем, что они входят в качестве подклассов в более общий так называемый байесовский критерий или, как его еще именуют, критерий минимума среднего риска.

Байесовское обнаружение, разработанное в теории статистических решений, состоит в том, что помимо выборки и априорных вероятностей задаются еще определенные потери или ущерб, которые вызываются ложными тревогами и пропуском сигнала. По этим данным вычисляется средний риск, связанный с принятием решения о наличии или отсутствии сигнала. Пороговое значение С выбирается так, чтобы средний риск был минимален. Если потери, обусловленные ложными тревогами и пропуском сигнала, принять одинаковыми, то байесовский критерий переходит в критерий идеального наблюдателя.

Поскольку задать обоснованные величины потерь для реальных ситуаций очень трудно, практическая ценность байесовского критерия невелика. Однако он позволяет в теоретическом плане более четко обосновать оптимальность всех процедур обнаружения, построенных на основе вычисления отношения правдоподобия.

Для построения структурных схем обнаружителей, использующих приведенные выше критерии, и получения данных о качестве работы этих обнаружителей необходимо задаться конкретным видом плотностей распределения последовательности случайных величин из которых формируется выборка .

При переходе к непрерывному процессу обработки многомерные условные плотности распределения преобразуются (там, где это возможно) в функционалы соответственно, а логарифм отношения правдоподобия записывается в виде

Если сигнал обнаруживается в белом шуме, имеющем спектральную плотность то вычисления по формуле (4.4.17) дают

Здесь энергия сигнала, выделяемая за время В задачах обнаружения известного сигнала считается заданной. Величина полученная от каждой реализации, сравнивается с порогом

для критерия Неймана - Пирсона и

для критерия идеального наблюдателя. Здесь отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности шума; а аргумент интеграла вероятности, вычисленный для заданного значения вероятности ложной тревоги.

На основании (4.4.18) получается структурная схема оптимального обнаружителя, показанная на рис. 4.3.

Основные операции, выполняемые в обнаружителе подобного типа, сводятся к следующим. Принимаемая смесь сигнала с шумом или один шум умножаются в устройстве

с коэффициентом передачи на копию сигнала которая должна храниться в приемнике. Коэффициент передачи умножителя введен лишь для согласования размерностей и величина его не имеет принципиального значения. Поэтому часто его полагают равным единице. С выхода умножителя напряжение подается на интегратор, где оно интегрируется в течение времени и далее через звено с коэффициентом передачи поступает на пороговое устройство Множитель введен для нормировки, а коэффициент так же, как и коэффициент согласует размерность тракта обработки сигнала.

В момент окончания интегрирования на выходе звена образуется сигнал

который сравнивается в пороговом устройстве с напряжением для вынесения решения о наличии или отсутствии сигнала в принятой реализации. После этого интегратор устанавливается на нуль и цикл обнаружения начинается вновь. Коэффициент

Величины пороговых напряжений ипин и для критериев идеального наблюдателя и Неймана - Пирсона получаются из (4.4.18) - (4.4.20) и равны

Напряжение на выходе интегратора, отсчитываемое в момент времени представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины распределенной по нормальному закону. Его математическое ожидание Май и дисперсия при отсутствии сигнала равны соответственно

при наличии сигнала

Вычисление вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения осуществляется по формулам:

При расчетах по формулам (4.4.26) и (4.4.27) пороговый уровень определяется соотношениями (4.4.22) и (4.4.23) в зависимости от принятого критерия обнаружения.

Для облегчения расчетов по формулам (4.4.22), (4.4.23) (4.4.26) и (4.4.27) разработаны таблицы и графики .

Схема на рис. 4.3 отображает оптимальный обнаружитель корреляционного типа или, как его еще называют, корреляционный приемник. Можно показать, что эта схема эквивалентна по качественным показателям обнаружения схеме с согласованным фильтром (рис. 4.4). Согласованный фильтр задается весовой функцией или комплексной частотной характеристикой причем с точностью до постоянного множителя является зеркальным отображением сигнала относительно прямой Ключ замыкается в момент окончания сигнала.

Выбор схемы обнаружителя в форме корреляционного приемника или согласованного фильтра диктуется лишь удобствами конструирования.

Практически разработанные системы обнаружения часто еще далеки по своим свойствам от рассмотренных выше оптимальных обнаружителей. Это объясняется рядом причин, которые условно можно разбить на две группы.

Первую группу составляют те, которые вызваны изменением условий, принимаемых при синтезе оптимального обнаружителя, относительно обнаруживаемых сигналов и помех, в силу следующих обстоятельств: помеховое воздействие не может быть сведено к белому шуму; в месте приема не известна фаза принимаемого колебания; производится прием флуктуирующего сигнала; не известно положение принимаемого сигнала на оси времени и т. д.

Вторая группа вызвана отказом от применения тех элементов оптимальной схемы, которые сложны в технических реализациях.

Ухудшения предельных показателей, вызванных перечисленными причинами, принято характеризовать потерями чувствительности обнаружителя.

Небелый гауссов шум будем характеризовать нулевым средним значением и корреляционной функцией Такой шум называют также коррелированным или «окрашенным». Для получения алгоритма работы оптимального обнаружителя сигнала, принимаемого в смеси с коррелированным шумом, необходимо выполнить те же операции, что и в случае белого шума, т. е. вычислить логарифм отношения правдоподобия и сравнить его с порогом, величина которого зависит от принятого критерия. Отличие от обнаружения сигнала в белом шуме состоит лишь в больших трудностях, возникающих при вычислении отношения правдоподобия. Эти трудности связаны с тем, что при «окрашенном» шуме обобщенная выборка представляет собой систему коррелированных случайных величин совместная плотность распределения которых уже не может быть представлена в виде произведения плотностей распределения каждой из этих величин.

Наиболее известными являются два подхода к вычислению отношения правдоподобия, которым соответствуют две формы структурной схемы оптимального обнаружителя. Первый метод состоит в том, что отношение правдоподобия вычисляется непосредственно на основе многомерных

плотностей распределения коррелированных случайных величин при наличии и отсутствии сигнала .

При втором подходе случайную функцию раскладывают на интервале в ортогональный ряд, который обычно называют рядом Корунена - Лоэва. Удобство такого разложения состоит в том, что коэффициенты этого ряда образуют систему некоррелированных случайных величин, а если анализируемые процессы нормальны, то эти коэффициенты еще и статистически независимы. Поэтому в отношении их применима рассмотренная ранее методика построения оптимальных обнаружителей сигнала в белом шуме. Получение независимых отсчетов для коррелированного нормального процесса называют иногда отбеливанием «окрашенного» шума .

Рассмотрим основные результаты, которые дают два упомянутых подхода к синтезу оптимальных обнаружителей. Наибольшая сложность, возникающая при вычислении многомерной плотности распределения статистически зависимых случайных величин, состоит в нахождении матрицы обратной по отношению к корреляционной матрице При непрерывной обработке принимаемых реализаций обращение матриц сводится к решению интегрального уравнения

где непрерывный аналог обратной корреляционной матрицы. По аналогии с обратной матрицей функцию называют иногда обратнокорреляционной функцией.

Основные трудности в решении уравнения (4.4.28) вызывают конечные пределы интегрирования. Если уравнение (4.4.28) решено и определена то логарифм отношения правдоподобия запишется в виде

Если шум белый, т. е. то из (4.4.28) находим Подставляя это значение обратнокорреляционной функции в (4.4.29), получаем выведенное ранее отношение (4.4.18).

Для удобства построения структурной схемы обнаружителя введем функцию определив ее как

Если принять, что функция выполняет роль некоторого обобщенного опорного сигнала, то можно усмотреть аналогию в выражениях (4.4.18) и (4.4.31) и построить-структурную схему обнаружителя в виде, представленном на рис. 4.5. Здесь напряжение умножается на принимаемую реализацию а результат умножения интегрируется в течение интервала времени

Напряжение сформированное на выходе интегратора в момент времени

сравнивается в пороговом устройстве с пороговым уровнем который определяется формулами (4.4.22), (4.4.23), если в них положить

Показателями достоверности работы обнаружителя по-прежнему являются вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, которые вычисляются по формулам (4.4.26) и (4.4.27). Соотношение (4.4.33) показывает, что достоверность обнаружения теперь зависит от формы сигнала. Напомним, что при обнаружении сигнала в белом шуме величина определялась лишь энергией сигнала и спектральной плотностью шумов, а форма сигнала на нее не влияла.

Функция может быть вычислена непосредственно по корреляционной функции шумов без перехода к обратнокорреляционной функции Для этого выражение (4.4.28) следует умножить справа и слева на «с проинтегрировать полученное соотношение от до и заменить переменную интегрирования

Возможно также построение оптимального обнаружителя сигнала в коррелированном шуме по схеме с согласованным фильтром. Весовая функция такого фильтра вычисляется по виду обобщенного сигнала определяемого выражением (4.4.34). Поэтому в любом случае для построения оптимального обнаружителя необходимо решать интегральное уравнение (4.4.34).

В работе показано, что если интегрирование производится в бесконечных пределах или же когда спектральная плотность помехи описывается дробно-рациональной функцией частоты то решение уравнения (4.4.34) получается в замкнутой форме.

Структура согласованного фильтра при коррелированном шуме такова, что этот фильтр ослабляет в большей степени те спектральные составляющие принимаемой реализации, частоты которых соответствуют частотам наибольшей интенсивности в спектре шума.

Процесс оптимального обнаружения сигнала в коррелированном шуме, основанный на переходе к статистически независимым выборочным значениям, в случае непрерывной обработки реализации сводится к введению в схему обнаружителей так называемого отбеливающего фильтра. Структурная схема подобного обнаружителя представлена на рис. 4.6. Реализация на выходе отбеливающего фильтра

Представляет собой смесь преобразованного сигнала и белого шума.

Для сохранения необходимых соотношений между преобразованной реализацией и опорным сигналом на обоих входах умножителя в тракт последнего также вводится аналогичный фильтр. Остальная часть схемы полностью соответствует схеме оптимального обнаружителя сигнала в белом шуме.

Для нахождения параметров отбеливающего фильтра положим, что на его вход подано лишь шумовое воздействие с нулевым средним значением и корреляционной функцией Весовая функция фильтра должна быть такова, чтобы шум на его выходе имел корреляционную функцию, равную т. е.

Таким образом, для нахождения структуры отбеливающего фильтра необходимо решить интегральное уравнение (4.4.35). Это решение зависит исключительно от вида корреляционной функции входного шума. Если длительность обрабатываемой реализации больше времени памяти фильтра, то допустимо расширение пределов интегрирования до бесконечности. В этом случае при стационарном шумовом воздействии уравнение (4.4.35) легко решается с помощью преобразования Фурье

Отсюда находим выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра через одностороннюю спектральную плотность коррелированного шума на его входе и спектральную плотность белого шума на его выходе.

Рассмотренная ранее задача, в которой при приеме были точно известны амплитуда и начальная фаза обнаруживаемого сигнала, на практике не встречается и принятое условие является удобной математической абстрацией, служащей для получения предельных значений достоверности обнаружения. Реальные условия приема радиосигналов намного сложнее. Первое приближение к таким условиям соответствует случаю, когда в точке приема точно известны частота полезного сигнала и его положение на оси времени с точностью до периода высокочастотных колебаний, а неизвестными являются начальная фаза и амплитуда.

Применительно к радиолокационным задачам подобная ситуация характеризует обнаружение отраженного от цели сигнала при неизменном и заранее известном расстоянии между целью и точкой приема. Предполагается также, что частота передатчика РЛС абсолютно стабнльна или влияние нестабильности исключается путем запоминания частоты излучаемого сигнала до момента прихода отраженного импульса.

Если какой-либо параметр сигнала точно неизвестен, а заданы лишь его статистические характеристики, то теория оптимальных методов приема рекомендует для этого случая два различных подхода. Согласно первому неизвестный параметр должен быть измерен, т. е. получена его оптимальная оценка, и в схему обнаружителя вводится сигнал, который вместо неизвестного параметра содержит оценку этого параметра. Такая рекомендация приводит к получению достаточно сложных схем с одновременным обнаружением и измерением (23, 164, 98]. Однако если влияние неизвестных параметров на достоверность обнаружения невелико, такое усложнение нецелесообразно. В этом случае предпочтителен другой подход, в соответствии с которым необходимо усреднить отношение правдоподобия по неизвестным параметрам и тем самым исключить их из структуры оптимального обнаружителя. Этот подход основан на не совсем точной концепции, состоящей в том, что неизвестные

Следующим этапом приближения к реальным условиям работы обнаружителя является принятие допущения о неизвестной несущей частоте сигнала и неизвестном положении его на оси времени. Частота сигнала бывает неизвестна в силу нестабильности частоты передатчика, а также из-за наличия допплеровского смещения частоты, вызванного взаимным перемещением пунктов передачи и приема. Отсутствие данных о расстоянии между радиолокационной станцией и целью, а также между двумя корреспондентами в системе связи приводит к тому, что становится неизвестным положение сигнала на оси времени.

В теоретическом плане задача сводится к так называемому сложному или многоальтернативному обнаружению. Оптимальный обнаружитель в этом случае строится в виде многоканальной схемы. Возможный диапазон задержек сигнала разбивается на интервалы, каждый из которых соответствует одному элементу разрешения цели по дальности. Для каждого такого интервала строится оптимальный обнаружитель. Отметим, что в таком многоканальном обнаружителе осуществляется процедура обнаружения и измерения, так как появление сигнала в том или ином канале позволяет установить по номеру канала временную задержку сигнала, а следовательно, и дальность до цели. Аналогично строится и многоканальная схема с частотным разделением каналов, если неизвестна частота сигнала.

Теория оптимального обнаружения сигналов, основанная на анализе отношений правдоподобия, предполагает известными распределения вероятностей принимаемых реализаций. Вид закона распределения вероятностей определяет структуру обнаружителя, а знание параметров этого закона позволяет рассчитать величину порога, необходимую для получения требуемой достоверности обнаружения.

В математической статистике методы, в которых для получения статистических выводов необходимо знание законов распределения анализируемых процессов, называют параметрическими. Несмотря на широкое применение параметрических методов в статистической радиотехнике, их использование может натолкнуться на трудности принципиального

характера, что наблюдается, например, при недостатке статистических данных в описании процессов на входе радиотехнического устройства или при изменении таких данных во времени непредсказуемым образом. Простейшей, но весьма характерной ситуацией подобного рода является возрастание интенсивности шумов на выходе приемника, вызванное либо увеличением коэффициента его усиления, либо действием широкополосных шумовых помех. Если параметры обнаружителя оставить неизменными, то это приведет к повышению вероятности ложной тревоги.

Для стабилизации уровня ложной тревоги в рассмотренные выше обнаружители параметрического типа вводят дополнительный канал приема, в котором осуществляется оценка интенсивности шумов. В радиолокационных устройствах такой канал может быть выполнен дополнительным стробированием приемника на дистанции (временном интервале), где заведомо отсутствует сигнал цели. Измеренное значение интенсивности шумов используется либо для изменения порога, либо для нормировки шумов. Некоторые алгоритмы стабилизации ложных тревог путем изменения порога приведены в 182, 179]. Теоретическое обоснование нормирования шумов в оптимальном обнаружителе с неизвестной их интенсивностью дает правило, называемое -тестом Стьюдента 112]. Приближенно это правило реализуется в системах автоматической регулировки усиления приемника по шумам (ШАРУ).

Основной недостаток рассмотренных схем стабилизации ложных тревог состоит в том, что получаемая в таких схемах оценка интенсивности шумов отличается от ее истинного значения на величину ошибки измерения, к которой очень чувствительны обнаружители параметрического типа. Например, в показано, что ошибка измерения среднего уровня шумов, составляющая 10%, вызывает изменение вероятности ложной тревоги приблизительно на порядок. Отмеченная особенность, а также чувствительность подобных обнаружителей к изменению вида закона распределения помех послужили причиной разработки обнаружителей непараметрического типа, для построения которых требуются очень ограниченные сведения о распределениях анализируемых реализаций.

Непараметрическая теория решений позволяет получать алгоритмы (на основе которых делаются статистические выводы), инвариантные к форме закона распределения.

Однако в практическом приложении этой теории применительно к обнаружению сигналов вопрос так широко не ставится. Обычно под непараметрическим обнаружением понимают алгоритм, который обеспечивает независимость от формы закона распределения какой-либо характеристики качества обнаружения. Такой характеристикой чаще всего бывает уровень ложных тревог. Следовательно, в непараметрических обнаружителях обеспечивается стабилизация ложных тревог при изменении условий приема. Это свойство приобретается ценой потери оптимальности. Однако показатели качества подобных обнаружителей могут быть сделаны достаточно близкими к оптимальным .

Простейшим обнаружителем непараметрического типа является знаковый обнаружитель . Этот обнаружитель строится на основе следующих предположений относительно статистических свойств принятых реализаций. Если сигнал отсутствует и реализация утв состоит лишь из шумовых компонент, то принимается, что случайные величины

Одной из разновидностей знакового обнаружителя является так называемый фазовый автокоррелятор , функциональная схема которого представлена на рис. 4.7. Широкополосный и узкополосный фильтры (ШФ и УФ)

настроены на частоту сигнала. Полоса пропускания узкополосного фильтра согласована с длительностью сигнала т. е. Для соотношения полос фильтров ШФ и УФ выполняется следующее условие:

Напряжение с выходов фильтров подаются на ограничители и далее на каскад совпадений (КС), формирующий импульсы нормированной амцлитуды, длительность которых пропорциональна времени совпадения положительных полярностей напряжений, поступающих с ограничителей. Далее следует интегратор и пороговое устройство (ПУ). Обнаружение сигнала производится по превышению напряжения на выходе интегратора порогового уровня иа. В статье рассмотрен усовершенствованный вариант знакового обнаружителя.

Страница 34 из 38

1. Вероятность обнаружения

Вероятность обнаружения объектов простой геометрической формы на однородном фоне в присутствии случайных шумов рассматривалась в гл. 4. Выводы, сделанные на основе этого рассмотрения, таковы, что визуальная система работает, как бы вычисляя отношение сигнала к шуму и сравнивая его с пороговым значением отношения сигнала к шуму как критерием важности полученного сигнала. Имеется значительное количество данных, подтверждающих эту теорию в различных условиях наблюдения. В условиях ограничения видимости квантовыми шумами или контрастом теория подтверждается данными Блэкуэлла , а при наличии аддитивных шумов - данными Кольтмана и Андерсона , Шаде , а также Розелла и Вильсона , проведенные с реальными объектами в натурных условиях, показали, что процент обнаруживаемых объектов действительно возрастает с увеличением контраста. Бернштейн , например, установил, что изображения на экране электронно-лучевой трубки автомашин и людей должны иметь контраст CJL (LT - LB)/L в, равный 90%, чтобы обеспечить максимально возможную вероятность различения.
Кроме того, Бернштейн установил, что разрешение влияет на вероятность обнаружения только в той мере, в какой оно изменяет отношение сигнала к шуму или контраст объекта. Однако Колюччио и др. }