Оптимальный фильтр Винера. Использование фильтров Винера. Результаты восстановления смазанных изображений автомобильных номеров

Адаптивная обработка

сигналов

2012 / 13- й учебный год

Оптимальный

фильтр Винера

доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра систем сбора и обработки данных

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра систем сбора и обработки данных

Фильтр Винера

Цель лекции – рассмотрение фильтра Винера. Задача заключается в получении передаточной функции фильтра, обеспечивающего наилучшую по критерию минимума среднеквадратичной ошибки фильтрацию полезного сигнала, при воздействии на него аддитивного случайного шума. Адаптивные фильтры, являющиеся основным содержанием данного курса, можно рассматривать как приближенную, более простую для практики реализацию линейного оптимального фильтра Винера.

Задача впервые была решена независимо двумя учеными:

Американским ученым – математиком Н. Винером, опубликовавшим результат в 1949 г. в статье «The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications», J. Wiley, New York, USA, 1949. Но сам результат был получен ранее в 1942 г. в отчете «MIT Radiation Laboratory Report».

Поэтому соответствующие оптимальные фильтры получили название фильтров Винера – Колмогорова. И такое название встречается во многих публикациях. Но чаще используется название «фильтры Винера». Видимо, причинами такой терминологии является то обстоятельство, что статья А. Колмогорова – это теоретическая работа ученого - математика. Для инженеров - практиков она оказалась мало доступной. Кроме того, русский язык менее распространен по сравнению с английским. Поэтому более широкую известность и понимание нашли результаты работы Н. Винера, хотя она была опубликована позже.

Общий вид фильтра Винера показан ниже на рис.

Опорный вход

Задача состоит в фильтрации сигнала y(k), искаженного аддитивным шумом n1(k). На фильтр поступают два сигнала:x k - (шум, помеха) иy k - (сумма полезного сигнала и шума). При этом суммаy k содержит две составляющие – полезный сигналs(k), который не коррелирован сx k и шумовую составляющуюn 1(k ), коррелированную (статистически взаимосвязанную) сx k . Фильтр Винера должен иметь такую системную функцию (частотную характеристику), которая обеспечивает на выходе оценку коррелированной части сигнала (шума)y k . Эта оценка вычитается из y k и выход (ошибка) фильтраe k – это наилучшая оценка полезного сигнала. Т.о., фильтр Винера обеспечивает оптимальную оценку полезного сигнала, смешанного с аддитивным шумом, по критерию минимума среднеквадратической ошибкиmin M{e 2 (k)}. Меньшее значение среднеквадратичной ошибки, чем в фильтре Винера, в любом линейном фильтре получить нельзя.

Концепции оптимального линейного оценивания являются фундаментальными при любом рассмотрении адаптивных фильтров. Процесс адаптивной фильтрации включает два этапа проведения оценивания: 1) оценивание искомого выхода фильтра и 2) оценивание весов фильтра, необходимых для достижения вышеупомянутой цели. Второй из этих двух этапов необходим вследствие того, что в случае адаптивной фильтрации характеристики входного сигнала априорно не известны.

Наиболее широко распространенным типом структуры адаптивного фильтра является структура, в которой используется архитектура с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Эти фильтры должны сходится к решению с помощью оптимального нерекурсивного устройства оценки, причем решение задается уравнением Винера – Хопфа.

Синтез КИХ и БИХ устройств оценки существенно зависит от определения стоимостной функции, в соответствии с которым качество оценивания характеризуется разностью между выходным сигналом устройства оценки и истинным параметром, подлежащим оцениванию:

Здесь e(n) – ошибка оценивания; x(n) – случайная величина, которую необходимо оценить и которая может быть детерминированной, а – оценка , выполненная с помощью нашей системы оценивания, причем

т.е. x(n) – линейная функция последовательности входных сигналов y(n) и набора весов фильтра h(n) . Наблюдаемую последовательность сигналов y(n) в общем виде можно представить как исходную последовательность x(n) , искаженную адаптивным белым шумом v(n) с дисперсией σ v 2:

. (5.26)

Наиболее употребительным при проведении оптимального оценивания является метод наименьших квадратов (МНК). Среднеквадратическая ошибка определяется как

Она минимизируется относительно весовых коэффициентов устройства оценки для получения оптимального оценивания по критерию МНК. Следует отметить, что можно применять не только описанную функцию стоимости. Альтернативными будут такие функции, как абсолютная величина ошибки и нелинейная пороговая функция. Такая функция ошибки используется в том случае, когда имеется приемлемый интервал ошибок (т.е. существует заданная допустимая ошибка). При использовании критерия наименьшего среднеквадратичного малые ошибки вносят меньший вклад, чем большие ошибки (в противоположность критерию абсолютной величины ошибки, который дает одинаковый вес для всех ошибок).

Рис. 5.9. Обобщенный нерекурсивный фильтр или устройство оценки.

В нерекурсивном устройстве оценки оценка x(n) определяется в виде конечного линейного полинома y(n) :

, (5.28)

где h k – отдельные веса в структуре нерекурсивного фильтра КИХ-типа, показанного на рис. 5.9. Выражение (5.28) можно переписать в матрично-векторной системе обозначений:

И ,

а верхний индекс Т обозначает транспонирование матрицы. Тогда функция среднеквадратичной ошибки принимает вид

Это выражение описывает стандартную поверхность квадратичной ошибки с одним единственным минимумом. Дифференцирование (5.30) по дает

. (5.31)

а допуская, что (5.31) равно нулю, имеем

(5.32)

Полагая, что весовой вектор и вектор сигнала Y(n) не коррелированы, получаем

Члены математического ожидания, входящие в (5.33), можно определить следующим образом:

P=E{x(n)Y(n)} – взаимная корреляция между входным сигналом и оцениваемым параметром;

R=E{Y(n)Y T (n)} – автокорреляционая матрица входной сигнальной последовательности.

Тогда (5.33) можно переписать в виде

P T =H T opt R. (5.34)

Уравнение (5.34) является общеизвестным уравнением Винера – Хопфа, которое дает оптимальное (по методу наименьших квадратов) винеровское решение для H.

Здесь рассмотрим частный случай задачи, разобранный в предыдущем параграфе, и назовем его фильтром Винера. Для простоты ограничимся исследованием только непрерывного случая. Все выкладки, представленные в этом параграфе, являются частным случаем общей теории фильтра Калмана-Винера. Метод вычислений, основанный на алгоритме фильтра Калмама, вообще говоря, ближе к практическому осуществлению, чем метод, рассматриваемый здесь. С другой стороны, многие практически важные задачи оценивания можно отнести, по крайней мере с достаточным приближением, к стационарным, и методы, излагаемые в этом параграфе и разработанные раньше общей теории Калмана, уже нашли успешное применение в многочисленных практических задачах.

В 1949 г. была опубликована работа Винера «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных последовательностей». Ее публикация явилась важной вехой не только потому, что результаты были новыми и вызвали к себе повышенный интерес, но и (что более важно) они возводили частную задачу в ранг теории, которая в то время нашла широкое применение, в частности, теории частотных фильтров. К сожалению, из-за того, что основные результаты были сформулированы на «частотном языке», они непосредственно не могли быть обобщены на нестационарные задачи. Хотя нестационарная задача и была сформулирована в общем виде, т. е. записано уравнение Винера-Хопфа, но было получено очень мало практических результатов, за исключением только работ Бутона , Заде и Рагазини , . До тех пор, пока не был разработан алгоритм фильтра Калмана, вычислительные трудности не были преодолены в общем нестационарном случае.

Стационарный фильтр Калмана. В стационарном варианте общей задачи оценивания состояния должны выполняться следующие три условия:

1. Модели сообщения и наблюдения не изменяются во времени, т. е. они описываются уравнениями с постоянными коэффициентами:

, (7.152)

где - матрицы постоянных коэффициентов.

2. Входной шум и шум измерений стационарны, по крайней мере, в широком смысле, т.е.

где и - матрицы постоянных коэффициентов. Кроме того, предполагается, что и - некоррелированные белые шумы с нулевым средним.

3. Интервал наблюдений начинается при . Очевидно, что это условие никогда не может выполняться на практике. Однако, поскольку момент начала наблюдений расположен достаточно далеко в прошлом, так что все переходные процессы успевают закончиться, то это допущение можно считать справедливым.

Если эти три допущения выполняются, то, очевидно, задача оценивания уже не зависит от выбора начала отсчета времени в том смысле, что допустимо любое конечное перемещение шкалы времени без изменения условий задачи. Поэтому коэффициент усиления фильтра Калмана должен быть постоянным для конечных значений времени , поскольку не существует причины его изменения между двумя конечными моментами времени . Кроме того, случайный процесс и, следовательно, процесс стационарны, так что, а уравнение дисперсии (7.105) записывается в виде

Постоянный коэффициент усиления Калмана в этом случае определяется как

. (7.156)

и, наконец, уравнение фильтрации имеет вид

Заметим, что в стационарном случае уравнение дисперсии превращается в вырожденное матричное уравнение Риккати.

Один из часто используемых способов решения ур-ния (7.155) (обычно с помощью ЦВМ) заключается в решении нестационарного уравнения дисперсии (7.105) с соответствующими постоянными значениями коэффициентов, из которых составлены матрицы и , и произвольной неотрицательно определенной матрицей начальных условий для в текущем времени до тех пор, пока полученное решение не достигнет постоянного установившегося значения. Это окончательное значение принимается за искомое решение ур-ния (7.155). Здесь алгебраическое уравнение преобразуется в дифференциальное, так как алгоритмы решения дифференциальных уравнений на цифровых (или аналоговых) вычислительных машинах, как правило, эффективнее алгоритмов решения нелинейных алгебраических уравнений. Другой подход, который может быть использован для отыскания решения ур-ния (7.155), связан с реализацией на ЦВМ поисковой процедуры, например, градиентного метода .

Пример 7.7. Определим стационарный фильтр, обеспечивающий минимальною дисперсию ошибки, для системы

Вырожденное уравнение Риккати (7.155) для этого примера записывается в виде

Если перемножить все указанные матрицы, то получим следующие три уравнения

Решение последнего уравнения относительно имеет вид . Если выбрать в качестве решения положительный корень этого уравнения, то получим и соответственно . Для того чтобы была положительно определенной, необходимо выбрать положительные значения для и - так, что в результате имеем

.

Таким образом, мы нашли, как и требовалось, действительные положительно определенные корни вырожденного уравнения Риккати.

Чтобы найти постоянный коэффициент усиления фильтра Калмана , достаточно подставить найденную матрицу в ур-ние (7.156). В результате получаем

.

На рис. 7.9, а показана «каноническая» реализация фильтра Винера. Если нас интересуют, как это часто бывает, только оценки состояния или , то могут быть использованы фильтры, реализованные по структурным схемам рис. 7.9б, 7.9в. Эти фильтры могут оказаться проще фильтра, изображенного на рис. 7.9а. Однако фильтр, структурная схема которого представлена на рис. 7.9а, одновременно формирует оценки и , которые в общем случае не связаны соотношением . Теперь рассмотрим классическую форму решения уравнения фильтра Винера, которое лежит в основе реализации фильтров, изображенных на рис. 7.9, б, 7.9, в.

Рис. 7.9. Структурные схемы фильтров, рассмотренных в примере 7.7

Фильтр Винера. Выше результаты решения стационарной задачи оценивания были получены путем введения дополнительных предположений, связанных со стационарностью задачи и позволивших упростить обобщенный алгоритм фильтрации Калмана. В частности, было установлено, что фильтр Калмана становится стационарным. Теперь сформулируем стационарную задачу оценивания в другой форме, достаточно близкой к первоначальной работе Винера. Сформулируем задачу на «частотном языке» с использованием таких понятий, как передаточные функции, спектральные плотности. На первый взгляд может показаться, что существует лишь незначительная связь между задачами Калмана и Винера. Однако ниже будет показано, что эти две задачи эквивалентны, хотя решение, полученное в форме фильтра Калмана, с точки зрения вычислений часто оказывается предпочтительнее. Задачу можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис 7.10. Сигнал искажается аддитивным шумом , причем и взаимно

Рис. 7.10. Представление многомерной задачи фильтрации Винера.

некоррелированные стационарные случайные процессы с нулевым средним и со спектральными плотностями , . Наблюдение пропускается через линейный фильтр с постоянными параметрами и передаточной функцией . Сигнал на выходе фильтра обозначен как . Задача состоит в выборе такого фильтра , на выходе которого формировалась бы наилучшая, в смысле минимума дисперсии, оценка исходного сигнала , который получается при действии идеального оператора на сигнал . Часто под идеальным оператором понимают тождественный (единичный) оператор, поэтому представляет собой неискаженный сигнал . Короче говоря, необходимо выбрать передаточную функцию фильтра , которая обеспечивала бы минимальное среднеквадратическое значение ошибки (СКО)

где .

Согласно теореме Парсеваля среднеквадратическая ошибка может быть выражена через матрицу спектральных плотностей ошибки :

. (7.159)

Это выражение, которое определяет среднеквадратическую ошибку как интеграл спектральной плотности ошибки, заданной в области комплексных частот, позволяет выполнить вывод уравнения фильтра в частотной области, оперируя лишь со спектральными плотностями. Этот частотный подход позволяет значительно упростить выкладки, но, очевидно, его применение ограничено лишь стационарными задачами.

Спектральная плотность ошибки, которая может быть найдена методами, рассмотренными в § 3.5, равна

Подставляя это выражение в ур-ние (7.159), получаем

Задача состоит в том, чтобы выбрать матричную передаточную функцию , минимизирующую среднеквадратическую ошибку. Для решения этой задачи представим как

. (7.162)

где - оптимальная передаточная функция, - произвольная матричная передаточная функция; - скалярная величина. Передаточная функция оптимального фильтра получается как решение уравнения

при произвольной .

Воспользуемся этим методом для решения сформулированной задачи оценивания. Если считать, что , то среднеквадратическая ошибка выражается следующим образом

Здесь мы ввели два аргумента и , чтобы подчеркнуть, что СКО зависит как от , так и . Уравнение (7.163) теперь записывается в виде

(7.165)

Если воспользоваться свойством симметрии матриц спектральной плотности и тождеством , то ур-ние (7.165) можно записать в виде

Уравнение (7.166) будет удовлетворяться при произвольной , если

Это решение соответствует физически нереализуемому фильтру Винера, поскольку , вообще говоря, имеет полюса в правой полуплоскости комплексной переменной . Напоминаем, что наличие полюсов в правой полуплоскости свидетельствует не о неустойчивости системы, а скорее о физической нереализуемости системы, так как в такой системе отклик опережает воздействие.

Для того чтобы представляла собой допустимое решение, , и должны быть физически реализуемыми или, другими словами, должны иметь все полюса в левой полуплоскости комплексной переменной . Используя это ограничение на , можно выбрать , которая удовлетворяла бы ур-нию (7.166) и была физически реализуемой.

Допустим, что матрица спектральной плотности представляет собой спектр, который допускает факторизацию в виде

где - матрица, для которой имеет все нули и полюса в левой полуплоскости комплексной переменной . Выполнение этого условия гарантирует, что и обратная матрица будут аналитическими функциями в правой полуплоскости комплексной переменной . Процедура нахождения представляет собой, вообще говоря, трудную вычислительную задачу, которую можно обычно довести до конца только численным методом при помощи достаточно сложных алгоритмов . Уравнение (7.166) теперь можно записать в виде

Представим в виде двух слагаемых

где объединяет все члены, имеющие полюса в левой полуплоскости, а - все члены, имеющие полюса в правой полуплоскости.

Матрицу , которую можно также рассматривать как преобразование Лапласа части отклика фильтра, существующей при положительном времени, назовем физически реализуемой частью фильтра и обозначим. При этом полный импульсный отклик фильтра определяется как преобразование Лапласа для величины, стоящей в правой части ур-ния (7.170).

Если подставить ур-ние (7.170) в (7.169), то необходимое условие оптимальности запишется в виде

Однако второй интеграл здесь равен нулю, так как все полюса лежат в правой полуплоскости. Если контур интегрирования заканчивается слева и ни один полюс не расположен внутри контура, то значение интеграла равно нулю, так что ур-ние (7.171) принимает вид

. (7.172)

Поэтому оптимальный физически реализуемый фильтр имеет передаточную функцию

, (7.173)

которую можно также выразить через исходные величины

Итак, мы получили окончательное решение многомерной стационарной задачи оценивания в форме матричного фильтра Винера. Матричный фильтр Винера как решение многомерной стационарной задачи оценивания был получен Дарлингтоном , Янгом и Томасом , а также Девисом . Однако этот результат не нашел широкого применения в инженерной практике из-за достаточно трудных проблем вычислительного характера, связанных с необходимостью факторизации спектра, заданного в виде матрицы. Хотя в работах , , приведены вычислительные процедуры для факторизации спектра, которые основаны на решении матричных уравнений Риккати, широкое использование алгоритмов фильтрации Калмана вытеснило многих сторонников использования матричного фильтра Винера.

В том случае, когда сигнал и шум - некоррелированы, оптимальный фильтр имеет передаточную функцию

. (7.177)

В одномерном случае

и, наконец, когда сигнал и аддитивный шум некоррелированы, передаточная функция оптимального линейного фильтра имеет вид

Пример 7.8. Рассмотрим простую одномерную задачу. Спектральная плотность сигнала равна . Шум белый со спектральной плотностью , причем сигнал и шум - некоррелированы. Необходимо оценить сигнал , причем . В рассматриваемом случае

Факторизацию спектра легко выполнить, и в результате имеем:

; .

Отметим, что два полюса, расположенные в начале координат, были разделены так, что один из них был отнесен к правой полуплоскости, а другой - к левой полуплоскости. Используя ур-ние (7.179), получаем:

.

Рассмотрим числитель этого выражения. Разложение на элементарные дроби имеет вид

.

Функция не имеет существенного значения, так как в нее входит в первой степени, а нас интересует только та часть разложения на элементарные дроби, которая имеет полюса только в левой полуплоскости. Так как стоит в числителе , то эта функция должна иметь корни только в правой полуплоскости комплексной переменной . Следовательно, получаем

.

и передаточная функция оптимального фильтра

.

Минимальная величина дисперсии ошибки вычисляется путем подстановки выражения для в ф-лу (7.159) и последующего интегрирования по контуру. Эта часть работы значительно облегчается тем, что интегралы вида

. (7.180)

. (7.181)

табулированы для всех значений . При значения интегралов соответственно равны:

(7.182)

Однако сведение выражений к табличным интегралам часто требует выполнения громоздких алгебраических преобразований. Если сигнал и шум некоррелированны, то

Анализируя отдельно каждый член, входящий в это выражение, можно заметить, что разложение на множители, которое необходимо для сведения интегралов к табличным, легко выполняется просто разложением на множители спектральных плотностей и , которые очень часто уже заданы в факторизованном виде.

Полезным свойством этого метода является то, что он сразу дает возможность разделить среднеквадратическую ошибку на составляющую сигнала и составляющую шума. Если соответственно обозначить эти составляющие как и , то получим

. (7.186)

Пример 7.9. Воспользуемся представленным выше методом для определения минимальной величины среднеквадратической ошибки оптимального фильтра, синтезированного в примере 7.8.. Так как сигнал и шум некоррелированны, то воспользуемся упрощенными уравнениями (7.184) - (7.186). Среднеквадратическая ошибка определяется выражением

Это выражение записано в таком виде, который позволяет непосредственно использовать для вычислений табличный интеграл (7.182) с параметрами и . В результате получаем

.

Согласно выражению (7.186) шумовая составляющая среднеквадратической ошибки

.

И в этом случае воспользуемся табличным интегралом с параметрами: . В результате получаем

Наконец, находим суммарную среднеквадратическую ошибку:

Более полное исследование фильтра Винера, в том числе и ряд обобщений основной теории, интересующийся читатель может найти в литературе (см. например, , , ). Дискретный вариант фильтра Винера подробно изучен в .

Соотношение между стационарными фильтрами Калмана и Винера. В предыдущих пунктах этого параграфа были исследованы два различных метода решения стационарной задачи оценивания. Уравнение стационарного фильтра Калмана, или вырожденной формы обобщенного фильтра Калмана, было получено во временной области и выражено через переменные состояния. Уравнение фильтра Винера, напротив, было получено в частотной области и выражено через частотную характеристику. В обоих случаях вывод уравнения базировался на непосредственном использовании методов вариационного исчисления. При неглубоком анализе может показаться, что эти два подхода имеют мало общего. Однако это не так, и существует тесная связь между этими двумя подходами.

Основное отличие между задачами, сформулированными для фильтров Калмана и Винера, состоит в способе задания модели сообщения. При рассмотрении фильтра Калмана модель сообщения задается векторным дифференциальным уравнением первого порядка (7.151), а связанная с ней модель наблюдений - ур-нием (7.152). При рассмотрении фильтра Винера модель сообщения задается через спектральную плотность сигнала . Очевидно, что эти два подхода эквивалентны, так как можно найти спектральную плотность процесса, который связан с моделью сообщения, используемой при рассмотрении фильтра Калмана, как

Точно также, если задана спектральная плотность сообщения, то можно всегда определить связанные с ней векторные дифференциальные уравнения первого порядка, формирующие процесс с заданной спектральной плотностью. В частности, для скалярного наблюдения можно разложить на два сомножителя: , где имеет все полюса и нули в левой полуплоскости, a имеет все полюса и нули в правой полуплоскости. Если записать в виде

(7.188)

то можно построить модель сообщения с переменной фазой в виде [см. (7.151) и (7.152)]

; ; (7.189)

.

Чтобы установить эквивалентность стационарных фильтров Калмана и Винера, выберем модели сообщения и наблюдений в постановке задачи Калмана и найдем их эквивалентное спектральное представление, которое необходимо при использовании подхода Винера. Затем решим эти две задачи оценивания и сравним полученные результаты.

Предположим, что модели сообщения и наблюдений при решении задачи методом Калмана заданы уравнениями:

. (7.191)

где и - белые шумы с нулевым средним значением и ковариациями ; .

Предположим, что система, описываемая ур-нием (7.190), асимптотически устойчива и управляема. Эквивалентная спектральная плотность сигнала в постановке задачи Винера определяется как

где - резольвентная матрица;

, (7.193)

а спектральная плотность шума равна

Матрица предполагается положительно определенной, так что она допускает представление рассматривать матрицу то ур-ние (7.200) принимает вид. Используя специальное матричное тождество , получим. фильтра можно записать в виде

Вообще говоря, алгоритм Калмана в вычислительном отношении обладает преимуществом перед алгоритмом Винера главным образом благодаря тому, что он лучше приспособлен для вычислений на ЦВМ, особенно при решении многомерных стационарных задач или уравнений высокого порядка, в которых наблюдение является вектором, а также нестационарных задач. С другой стороны, имеется ряд задач, в которых факторизация спектра можжет быть выполнена в общем виде, и это позволяет глубже вникнуть в сущность полученного решения. Методом Винера могут быть также исследованы случаи небелого шума наблюдений, идеальные операции предсказания и задержки, а также учтены ограничения, связанные с насыщением и ограниченной полосой пропускания системы , . Заметим, однако, что после того, как найден оптимальный фильтр , для получения требуемой частотной характеристики необходимо еще определить его физически реализуемую часть, а это далеко не всегда простая задача.

Груздев А. А. группа 4676

Обычно изображения, сформированные различными информационными системами, искажаются действием помех. Это затрудняет как их визуальный анализ человеком-оператором, так и автоматическую обработку в ЭВМ. При решении некоторых задач обработки изображений в роли помех могут выступать и те или иные компоненты самого изображения. Например, при анализе космического снимка земной поверхности может стоять задача определения границ между ее отдельными участками - лесом и полем, водой и сушей и т.п. С точки зрения этой задачи отдельные детали изображения внутри разделяемых областей являются помехой.

Ослабление действия помех достигается фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Изображение часто представляет собой двумерную функцию пространственных координат, которая изменяется по этим координатам медленнее (иногда значительно медленнее), чем помеха, также являющаяся двумерной функцией. Это позволяет при оценке полезного сигнала в каждой точке кадра принять во внимание некоторое множество соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости. Однако, как правило, частота этих перепадов относительно невелика, так что на значительных промежутках между ними сигнал либо постоянен, либо изменяется медленно. И в этом случае свойства сигнала проявляются при наблюдении его не только в локальной точке, но и при анализе ее окрестности. Понятие окрестности является достаточно условным. Она может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом последнем случае, конечно, степень влияния далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной.

Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее окрестности. В этом проявляется существенное отличие фильтрации от рассмотренных выше поэлементных процедур: фильтрация не может быть поэлементной процедурой обработки изображений.

Задача заключается в том, чтобы найти такую рациональную вычислительную процедуру, которая позволяла бы достигать наилучших результатов. Общепринято при решении этой задачи опираться на использование вероятностных моделей изображения и помехи, а также на применение статистических критериев оптимальности. Причины этого понятны это случайный характер как информационного сигнала, так и помехи и это стремление получить минимальное в среднем отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов связано с большим разнообразием сюжетов, которые приходится описывать различными математическими моделями. Кроме того, применяются различные критерии оптимальности, что также ведет к разнообразию методов фильтрации. Наконец, даже при совпадении моделей и критериев очень часто из-за математических трудностей не удается найти оптимальную процедуру. Сложность нахождения точных решений порождает различные варианты приближенных методов и процедур.

Общая структура адаптивного фильтра показана на рисунке. Входной дискретный сигнал x(k) обрабатывается дискретным фильтром, в результате чего получается выходной сиг нал y(k). Этот выходной сигнал сравнивается с образцовым сигналом d(k), разность между ними образует сигнал ошибки e(k). Задача адаптивного фильтра - минимизировать ошибку воспроизведения образцового сигнала. С этой целью блок адаптации после обработки каждого отсчета анализирует сигнал ошибки и дополнительные данные, поступающие из фильтра, используя результаты этого анализа для подстройки параметров коэффициентов фильтра.

При синтезе фильтра Винера учитывается информация о спектральной плотности мощности изображения и шума. Поэтому он менее подвержен влиянию помех и нулей передаточной функции искажающей системы. Частотная характеристика фильтра Винера:

где - спектральные плотности мощности периодически продолженных шума, наблюдаемого и исходного изображений, - взаимная спектральная плотность мощности исходного и наблюдаемого изображений, * - символ комплексного сопряжения.

Преобразуем передаточную функцию фильтра Винера:

1. При отсутствии шума фильтр Винера переходит в инверсный фильтр. Следовательно, в области низких частот, где, как правило, отношение сигнал/шум велико передаточные функции этих фильтров практически совпадают.

2. При уменьшении спектральной плотности мощности исходного изображения передаточная функция фильтра Винера стремится к 0. Для изображения это характерно на высоких частотах.

3. На частотах, соответствующих нулям передаточной функции формирующей системы, передаточная функция фильтра Винера также равна 0.

Основным недостатком фильтра Винера остается наличие краевых эффектов, проявляющихся в виде осциллирующей помехи (ряби или полос).

Ниже приведены одномерные сечения типичных передаточных функций винеровских фильтров (сплошная линия). Здесь же для сравнения приведены сечения передаточных функций инверсных фильтров и, которые обозначены штриховой линией.

Рассмотрим результаты моделирования винеровского алгоритма восстановления. На рис. 2.а и 4.а приведены результаты искажения изображений «Сатурн» и «Часы» сверткой с гауссовской ФРТ () с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума (). На рис. 3.а и 5.б приведены изображения, полученные в результате смаза () изображений «Сатурн» и «Часы» () также с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума ().

Размеры всех наблюдаемых и восстановленных изображений равны 170х170 элементов. Результаты восстановления винеровским фильтром изображения «Сатурн» (рис. 2.б и рис. 3.б) свидетельствуют о том, что фильтр Винера значительно лучше подавляет шумы. Осциллирующая помеха на результатах восстановления изображения «Часы» (рис. 4.б и рис. 5.в) вызвана краевыми эффектами. Ее уровень существенно меньше, чем при инверсной фильтрации. Однако винеровский фильтр лишь частично компенсирует краевые эффекты, которые делают качество восстановления неудовлетворительным.

В тех случаях, когда на входе системы автоматического управления (см. рис. 9.16) действуют полезный сигнал и помеха которые являются коррелированными между собой стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями, оптимальная импульсная переходная функция системы удовлетворяющая условию физической реализуемости при и обеспечивающая минимум средней квадратической ошибки, должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

где корреляционная функция суммарного входного сигнала - взаимная корреляционная функция воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала

Уравнение (9.124) было получено Н. Винером в 1949 г. и называется интегральным уравнением Винера - Хопфа.

На основе решения уравнения (9.124) Н. Винером была предложена общая формула для нахождения реализуемой оптимальной частотной передаточной функции (оптимального фильтра Винера)

где - взаимная спектральная плотность воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала причем

Следует обратить внимание, на то, что в (9.125) нижний предел внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим сигналом и помехой отсутствует, то при применении (9.125) следует учесть, что

На основе общей формулы (9.125) как частные случаи могут быть получены выражения для оптимальных частотных передаточных функций систем (оптимальных фильтров), осуществляющих при наличии помех воспроизведение полезного сигнала, статистическое упреждение (предсказание), дифференцирование и другие линейные преобразования управляющего сигнала в соответствии с (9.107).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий оператор тогда

В этом случае (9.125) может быть представлено в более простом виде:

Чтобы найти числитель выражения (9.128), разложим на простые дроби:

где - полюсы расположенные в верхней полуплоскости; - полюсы расположенные в нижней полуплоскости; - нули .

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней полуплоскости, получим

где коэффициенты определяют по формуле

Формулы (9.129) и (9.131) относятся к тому случаю, когда отношение не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика определения остается прежней, но формулы разложения на простые дроби будут другими.

Частным, но весьма важным и распространенным на практике является случай, когда помеха является белым шумом со спектральной плотностью а спектральная плотность управляющего сигнала описывается дробно-рациональной функцией

где порядок превышает порядой

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная частотная передаточная функция может быть определена следующим образом:

Пример 9.7. Условия задали такие же, как в примере 9.6. Определить оптимальную частотную передаточную функцию системы.

Так как спектральная плотность помехи

а спектральная плотность полезного сигнала

то оптимальная частотная передаточная функция может быть определена по

Подставляя в выражение для значение

найденное в примере 9.6, получаем

Так как (см. пример 9.6)

то второе мнимое слагаемое равно нулю и поэтому оптимальная частотная передаточная функция системы

Найденное выражение для как и следовало ожидать, полностью совпадает с результатом, полученным в примере 9.6.

Основополагающие результаты Н. Винера были получены для случая, когда ко входу линейной системы приложены стационарные случайные воздействия с равными нулю средними значениями (центрированные случайные процессы).

В результате дальнейшего развития и обобщения методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях были разработаны, например, методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы; методы синтеза при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ограниченной длительностью переходного процесса (с «конечной памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные параметры; методы синтеза систем при нестационарных случайных

воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в том числе с применением цифровых вычислительных машин, и т. д.

В последнее время при расчете систем, находящихся под воздействием случайных (в том числе и нестационарных) процессов, широкое применение нашла теория оптимальных фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси,