Интеграл гаусса. Курсовая работа: Численное интегрирование функции методом Гаусса. Программная реализация решения задачи

Медицина. Радий и другие естественные радиоизотопы широко применяются для диагностики и лучевой терапии раковых заболеваний. Использование для этой цели искусственных радиоизотопов значительно повысило эффективность лечения. Например, радиоактивный иод, введенный в организм в виде раствора иодида натрия, селективно накапливается в щитовидной железе и поэтому применяется в в клинической практике для определения нарушений функции щитовидной железы и при лечении базедовой болезни. С помощью меченого по натрию физиологического раствора измеряется скорость кровообращения и определяется проходимость кровеносных сосудов конечностей. Радиоактивный фосфор применяется для измерения объема крови и лечения эритремии.

Научные исследования. Радиоактивные метки, в микроколичествах введенные в физические или химические системы, позволяют следить за всеми происходящими в них изменениями. Например, выращивая растения в атмосфере радиоактивного диоксида углерода, химики смогли понять тонкие детали процесса образования в растениях сложных углеводов из диоксида углерода и воды. В результате непрерывной бомбардировки земной атмосферы космическими лучами с высокой энергией находящийся в ней азот-14, захватывая нейтроны и испуская протоны, превращается в радиоактивный углерод-14. Полагая, что интенсивность бомбардировки и, следовательно, равновесное количество углерода-14 в последние тысячелетия оставались неизменными и учитывая период полураспада C-14 по его остаточной активности, можно определять возраст найденных остатков животных и растений (радиоуглеродный метод). Этим методом удалось с большой достоверностью датировать обнаруженные стоянки доисторического человека, существовавшие более 25 000 лет тому назад.

Ка́мера Ви́льсона (она же туманная камера ) - один из первых в истории приборов для регистрации следов (треков) заряженных частиц.

Изобретена шотландским физиком Чарлзом Вильсономмежду1910и1912гг. Принцип действия камеры использует явлениеконденсацииперенасыщенного пара: при появлении в среде перенасыщенного пара каких-либо центров конденсации (в частности, ионов, сопровождающих след быстрой заряженной частицы) на них образуются мелкие капли жидкости. Эти капли достигают значительных размеров и могут быть сфотографированы. Источник исследуемых частиц может располагаться либо внутри камеры, либо вне ее (в этом случае частицы залетают через прозрачное для них окно).

В 1927 г. советские физики П. Л. КапицаиД. В. Скобельцынпредложили помещать камеру в сильноемагнитное поле, искривляющеетреки, для исследования количественных характеристик частиц (например, массы и скорости) .

Камера Вильсона представляет собой ёмкость со стеклянной крышкой и поршнем в нижней части, заполненная насыщенными парами воды, спирта или эфира. Пары тщательно очищены от пыли, чтобы до пролёта частиц у молекул воды не было центров конденсации. Когда поршень опускается, то за счет адиабатического расширенияпары охлаждаются и становятся перенасыщенными. Заряженная частица, проходя сквозь камеру, оставляет на своем пути цепочку ионов. Пар конденсируется наионах, делая видимым след частицы.

Камера Вильсона сыграла огромную роль в изучении строения вещества. На протяжении нескольких десятилетий она оставалась практически единственным инструментом для визуального исследования ядерных излучений и исследования космических лучей:

В 1930 году Л. В. МысовскийсР. А. Эйхельбергеромпроводили опыты срубидиеми в камере Вильсона было зарегистрировано испусканиеβ-частиц. Позже была открыта естественная радиоактивность изотопа 87 Rb.

В 1934 году Л. В. МысовскийсМ. С. Эйгенсономпроводили эксперименты, в которых при помощи камеры Вильсона было доказано присутствиенейтроновв составекосмических лучей.

В 1927 годуВильсонполучил за свое изобретениеНобелевскую премию по физике. Впоследствии камера Вильсона в качестве основного средства исследования радиации уступила местопузырьковымиискровым камерам.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

Курсовая работа

На тему: "Радиоактивность. Применение радиоактивных изотопов в технике"

Введение

1.Виды радиоактивных излучений

2.Другие виды радиоактивности

3.Альфа-распад

4.Бета-распад

5.Гамма-распад

6.Закон радиоактивного распада

7.Радиоактивные ряды

9.Применение радиоактивных изотопов

Введение

Радиоактивность - превращение атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц и электромагнитного излучения. Отсюда и название явления: на латыни radio - излучаю, activus - действенный. Это слово ввела Мария Кюри. При распаде нестабильного ядра - радионуклида из него вылетают с большой скоростью одна или несколько частиц высокой энергии. Поток этих частиц называют радиоактивным излучением или попросту радиацией.

Лучи Рентгена. Открытие радиоактивности было непосредственно связано с открытием Рентгена. Более того, некоторое время думали, что это один и тот же вид излучения. Конец 19 в. вообще был богат на открытие различного рода не известных до того «излучений». В 1880-е английский физик Джозеф Джон Томсон приступил к изучению элементарных носителей отрицательного заряда, в 1891 ирландский физик Джордж Джонстон Стони (1826-1911) назвал эти частицы электронами. Наконец, в декабре Вильгельм Конрад Рентген сообщил об открытии нового вида лучей, которые он назвал Х-лучами. До сих пор в большинстве стран они так и называются, но в Германии и России принято предложение немецкого биолога Рудольфа Альберта фон Кёлликера (1817-1905) называть лучи рентгеновскими. Эти лучи возникают, когда быстро летящие в вакууме электроны (катодные лучи) сталкиваются с препятствием. Было известно, что при попадании катодных лучей на стекло, оно испускает видимый свет - зеленую люминесценцию. Рентген обнаружил, что одновременно от зеленого пятна на стекле исходят какие-то другие невидимые лучи. Это произошло случайно: то в темной комнате светился находящийся неподалеку экран, покрытый тетрацианоплатинатом бария Ba, добавлен 03.05.2014

Сведения о радиоактивных излучениях. Взаимодействие альфа-, бета- и гамма-частиц с веществом. Строение атомного ядра. Понятие радиоактивного распада. Особенности взаимодействия нейтронов с веществом. Коэффициент качества для различных видов излучений.

реферат , добавлен 30.01.2010

Строение вещества, виды ядерных распадов: альфа-распад, бета-распад. Законы радиоактивности, взаимодействие ядерных излучений с веществом, биологическое воздействие ионизирующего излучения. Радиационный фон, количественные характеристики радиоактивности.

реферат , добавлен 02.04.2012

Ядерно-физические свойства и радиоактивность тяжелых элементов. Альфа- и бета-превращения. Сущность гамма-излучения. Радиоактивное превращение. Спектры рассеянного гамма-излучения сред с разным порядковым номером. Физика ядерного магнитного резонанса.

презентация , добавлен 15.10.2013

Ядерные ионизирующие излучения, их источники и биологическое воздействие на органы и ткани живого организма. Характеристика морфологических сдвигов на системном и клеточном уровнях. Классификация последствий облучения людей, радиозащитные средства.

презентация , добавлен 24.11.2014

Работы Эрнеста Резерфорда. Планетарная модель атома. Открытие альфа- и бета-излучения, короткоживущего изотопа радона и образования новых химических элементов при распаде тяжелых химических радиоактивных элементов. Воздействие радиации на опухоли.

презентация , добавлен 18.05.2011

Рентгеновское излучение - электромагнитные волны, спектр которых находится между ультрафиолетовым и гамма-излучением. История открытия; лабораторные источники: рентгеновские трубки, ускорители частиц. Взаимодействие с веществом, биологическое воздействие.

презентация , добавлен 26.02.2012

Понятие и классификация радиоактивных элементов. Основные сведения об атоме. Характеристики видов радиоактивного излучения, его проникающая способность. Периоды полураспада некоторых радионуклидов. Схема процесса индуцированного нейтронами деления ядер.

презентация , добавлен 10.02.2014

Гамма-излучение - коротковолновое электромагнитное излучение. На шкале электромагнитных волн оно граничит с жестким рентгеновским излучением, занимая область более высоких частот. Гамма-излучение обладает чрезвычайно малой длинной волны.

реферат , добавлен 07.11.2003

Характеристика корпускулярного, фотонного, протонного, рентгеновского видов излучения. Особенности взаимодействия альфа-, бета-, гамма-частиц с ионизирующим веществом. Сущность комптоновского рассеивания и эффекта образования электронно-позитронной пары.

Слайд 2

Радиоактивность - превращение атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц и электромагнитного излучения. Отсюда и название явления: на латыни radio - излучаю, activus - действенный. Это слово ввела Мария Кюри. При распаде нестабильного ядра - радионуклида из него вылетают с большой скоростью одна или несколько частиц высокой энергии. Поток этих частиц называют радиоактивным излучением или попросту радиацией.

Слайд 3

Виды радиоактивных излучений

Когда в руках исследователей появились мощные источники радиации, в миллионы раз более сильные, чем уран (это были препараты радия,полония, актиния), можно было более подробно ознакомиться со свойствами радиоактивного излучения. В первых исследованиях на эту тему самое активное участие приняли Эрнест Резерфорд супруги Мария и Пьер Кюри, А.Беккерель, многие другие. Прежде всего, была изучена проникающая способность лучей, а также действие на излучение магнитного поля. Оказалось, что излучение неоднородно, а представляет собой смесь «лучей». Пьер Кюри обнаружил, что при действии магнитного поля на излучение радия одни лучи отклоняются, а другие нет. Было известно, что магнитное поле отклоняет только заряженные летящие частицы, причем положительные и отрицательные в разные стороны. По направлению отклонения убедились в том, что отклоняемые?-лучи заряжены отрицательно. Дальнейшие опыты показали, что между катодными и?-лучами нет принципиальной разницы, откуда следовало, что они представляют собой поток электронов. Отклоняющиеся лучи обладали более сильной способностью проникать через различные материалы, тогда как неотклоняющиеся легко поглощались даже тонкой алюминиевой фольгой - так вело себя, например, излучение нового элемента полония - его излучение не проникало даже сквозь картонные стенки коробки, в которой хранился препарат. При использовании более сильных магнитов оказалось, что?-лучи тоже отклоняются, только значительно слабее, чем?-лучи, причем в другую сторону. Отсюда следовало, что они заряжены положительно и имеют значительно бoльшую массу (как потом выяснили, масса?-частиц в 7740 раз больше массы электрона). Впервые это явление обнаружили в 1899 А.Беккерель и Ф.Гизель. В дальнейшем выяснилось, что?-частицы представляют собой ядра атомов гелия (нуклид 4Не) с зарядом +2 и массой 4 у.е.. Когда же в 1900 французский физик Поль Вийар (1860-1934) исследовал более подробно отклонение?- и?-лучей, он обнаружил в излучении радия и третий вид лучей, не отклоняющихся в самых сильных магнитных полях, это открытие вскоре подтвердил и Беккерель. Этот вид излучения, по аналогии с альфа- и бета-лучами, был назван гамма-лучами, обозначение разных излучений первыми буквами греческого алфавита предложил Резерфорд. Гамма-лучи оказались сходными с лучами Рентгена, т.е. они представляют собой электромагнитное излучение, но с более короткими длинами волн и соответственно с большей энергией. Все эти виды радиации описала М.Кюри в своей монографии «Радий и радиоактивность». Вместо магнитного поля для «расщепления» радиации можно использовать электрическое поле, только заряженные частицы в нем будут отклоняться не перпендикулярно силовым линиям, а вдоль них - по направлению к отклоняющим пластинам. Долгое время было неясно, откуда берутся все эти лучи. В течение нескольких десятилетий трудами многих физиков была выяснена природа радиоактивного излучения и его свойства, были открыты новые типы радиоактивности.? Альфа-лучи испускают, главным образом, ядра самых тяжелых и потому менее стабильных атомов (в периодической таблице они расположены после свинца). Эти высокоэнергетичные частицы. Обычно наблюдается несколько групп? -частиц, каждая из которых имеет строго определенную энергию. Так, почти все? -частицы, вылетающие из ядер 226Ra, обладают энергией в 4,78 МэВ (мегаэлектрон-вольт) и небольшая доля? -частиц энергией в 4,60 МэВ. Другой изотоп радия - 221Ra испускает четыре группы? -частиц с энергиями 6,76, 6,67, 6,61 и 6,59 МэВ. Это свидетельствует о наличии в ядрах нескольких энергетических уровней, их разность соответствует энергии излучаемых ядром? -квантов. Известны и «чистые» альфа-излучатели.

Слайд 4

Действие радиоактивного излучения на человека

Радиоактивное излучение всех видов (альфа, бета, гамма, нейтроны), а также электромагнитная радиация (рентгеновское излучение) оказывают очень сильное биологическое воздействие на живые организмы, которое заключается в процессах возбуждения и ионизации атомов и молекул, входящих в состав живых клеток. Под действием ионизирующей радиации разрушаются сложные молекулы и клеточные структуры, что приводит к лучевому поражению организма. Поэтому при работе с любым источником радиации необходимо принимать все меры по радиационной защите людей, которые могут попасть в зону действия излучения. Однако человек может подвергаться действию ионизирующей радиации и в бытовых условиях. Серьезную опасность для здоровья человека может представлять инертный, бесцветный, радиоактивный газ радон Как видно из схемы, изображенной на рис.5, радон является продуктом?-распада радия и имеет период полураспада T = 3,82 сут. Радий в небольших количествах содержится в почве, в камнях, в различных строительных конструкциях. Несмотря на сравнительно небольшое время жизни, концентрация радона непрерывно восполняется за счет новых распадов ядер радия, поэтому радон может накапливаться в закрытых помещениях. Попадая в легкие, радон испускает?-частицы и превращается в полоний который не является химически инертным веществом. Далее следует цепь радиоактивных превращений серии урана (рис. 5). По данным Американской комиссии радиационной безопасности и контроля, человек в среднем получает 55% ионизирующей радиации за счет радона и только 11% за счет медицинских обслуживаний. Вклад космических лучей составляет примерно 8%. Общая доза облучения, которую получает человек за жизнь, во много раз меньшепредельно допустимой дозы (ПДД), которая устанавливается для людей некоторых профессий, подвергающихся дополнительному облучению ионизирующей радиацией.

Слайд 5

Применение радиоактивных изотопов

Одним из наиболее выдающихся исследований, проведенных с помощью «меченых атомов», явилось исследование обмена веществ в организмах. Было доказано, что за сравнительно небольшое время организм подвергается почти полному обновлению. Слагающие его атомы заменяются новыми. Лишь железо, как показали опыты по изотопному исследованию крови, является исключением из этого правила. Железо входит в состав гемоглобина красных кровяных шариков. При введении в пищу радиоактивных атомов железа было установлено, что свободный кислород, выделяемый при фотосинтезе, первоначально входил в состав воды, а не углекислого газа. Радиоактивные изотопы применяются в медицине как для постановки диагноза, так и для терапевтических целей. Радиоактивный натрий, вводимый в небольших количествах в кровь, используется для исследования кровообращения, йод интенсивно отлагается в щитовидной железе, особенно при базедовой болезни. Наблюдая с помощью счетчика за отложением радиоактивного йода, можно быстро поставить диагноз. Большие дозы радиоактивного йода вызывают частичное разрушение аномально развивающихся тканей, и поэтому радиоактивный йод используют для лечения базедовой болезни. Интенсивное гамма-излучение кобальта используется при лечении раковых заболеваний (кобальтовая пушка). Не менее обширны применения радиоактивных изотопов в промышленности. Одним из примеров этого может служить следующий способ контроля износа поршневых колец в двигателях внутреннего сгорания. Облучая поршневое кольцо нейтронами, вызывают в нем ядерные реакции и делают его радиоактивным. При работе двигателя частички материала кольца попадают в смазочное масло. Исследуя уровень радиоактивности масла после определенного времени работы двигателя, определяют износ кольца. Радиоактивные изотопы позволяют судить о диффузии металлов, процессах в доменных печах и т. д. Мощное гамма-излучение радиоактивных препаратов используют для исследования внутренней структуры металлических отливок с целью обнаружения в них дефектов. Все более широкое применение получают радиоактивные изотопы в сельском хозяйстве. Облучение семян растений (хлопчатника, капусты, редиса и др.) небольшими дозами гамма-лучей от радиоактивных препаратов приводит к заметному увеличению урожайности. Большие дозы "радиации вызывают мутации у растений и микроорганизмов, что в отдельных случаях приводит к появлению мутантов с новыми ценными свойствами (радиоселекция). Так выведены ценные сорта пшеницы, фасоли и других культур, а также получены высоко продуктивные микроорганизмы, применяемые в производстве антибиотиков. Гамма-излучение радиоактивных изотопов используется также для борьбы с вредными насекомыми и для консервации пищевых продуктов. Широкое применение получили «меченые атомы» в агротехнике. Например, чтобы выяснить, какое из фосфорных удобрений лучше усваивается растением, помечают различные удобрения радиоактивным фосфором 15 32P. Исследуя затем растения на радиоактивность, можно определить количество усвоенного ими фосфора из разных сортов удобрения. Интересным применением радиоактивности является метод датирования археологических и геологических находок по концентрации радиоактивных изотопов. Наиболее часто используется радиоуглеродный метод датирования. Нестабильный изотоп углерода возникает в атмосфере вследствие ядерных реакций, вызываемых космическими лучами. Небольшой процент этого изотопа содержится в воздухе наряду с обычным стабильным изотопом.Растения и другие организмы потребляют углерод из воздуха, и в них накапливаются оба изотопа в той же пропорции, как и в воздухе. После гибели растений они перестают потреблять углерод и нестабильный изотоп в результате?-распада постепенно превращается в азот с периодом полураспада 5730 лет. Путем точного измерения относительной концентрации радиоактивного углерода в останках древних организмов можно определить время их гибели.

Слайд 6

Применения радиоактивности.

1. Биологические действия. Радиоактивные излучения гибельно действуют на живые клетки. Механизм этого действия связан с ионизацией атомов и разложением молекул внутри клеток при прохождении быстрых заряженных частиц. Особенно чувствительны к воздействию излучений клетки, находящиеся в состоянии быстрого роста и размножения. Это обстоятельство используется для лечения раковых опухолей.Для целей терапии употребляют радиоактивные препараты, испускающие g-излучение, так как последние без заметного ослабления проникают внутрь организма. При не слишком больших дозах облучения раковые клетки гибнут, тогда как организму больного не причиняется существенного ущерба. Следует отметить, что радиотерапия рака, так же как и рентгенотерапия, отнюдь не является универсальным средством, всегда приводящим к излечению.Чрезмерно большие дозы радиоактивных излучений вызывают тяжелые заболевания животных и человека (так называемая лучевая болезнь) в могут привести к смерти. В очень малых дозах радиоактивные излучения, главным образом a-излучение, оказывают, напротив, стимулирующее действие на организм. С этим связан целебный эффект радиоактивных минеральных вод, содержащих небольшие количества радия или радона.2. Светящиеся составы, Люминесцирующие вещества светятся под действием радиоактивных излучений (ср. § 213). Прибавляя к люминесцирующему веществу (например, сернистому цинку) очень небольшое количество соли радия, приготовляют постоянно светящиеся краски. Эти краски, будучи нанесены на циферблаты и стрелки часов, прицельные приспособления и т. п., делают их видимыми в темноте.3. Определение возраста Земли. Атомная масса обыкновенного свинца, добываемого из руд, не содержащих радиоактивных элементов, составляет 207,2. Как видно из рис. 389, атомная масса свинца, образующегося в результате распада урана, равна 206. Атомная масса свинца, содержащегося в некоторых урановых минералах, оказывается очень близкой к 206. Отсюда следует, что эти минералы в момент образования (кристаллизации из расплава или раствора) не содержали свинца; весь наличный в таких минералах свинец накопился в результате распада урана. Используя закон радиоактивного распада, можно по отношению количеств свинца и урана в минерале определить его возраст (см. упражнение 32 в конце главы).Определенный таким методом возраст минералов различного происхождения, содержащих уран, измеряется сотнями миллионов лет. Возраст древнейших минералов превышает 1,5 миллиарда лет.Возрастом Земли принято считать время, прошедшее с момента образования твердой земной коры. По многим измерениям, основанным на радиоактивности урана, а также тория и калия, возраст Земли превышает 4 миллиарда лет.

Слайд 7

Посмотреть все слайды

Введение

1. Постановка задачи

2.1 Метод прямоугольников

2.2 Метод трапеций

2.3 Метод парабол (метод Симпсона)

2.4 Увеличение точности

2.5 Метод Гаусса

2.6 Метод Гаусса-Кронрода

Заключение

Список использованных источникови литературы

Введение

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики - вычислительной математики.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

1. Постановка задачи

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.

Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Также в задачах такого рода активно используются интерполяционные методы нахождения значений функции.

Интерполяция - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций.

Для решения нашей задачи необходимо предусмотреть ввод необходимых данных и реализацию контрольно примера.

Также необходимо реализовать подпрограммы в виде функций. Главная функция будет выполнять основные действия (подсчет значения интеграла и вывод в файл результата), вызывая другие подпрограммы.

Главная функция будет вызывать функцию подсчета интеграла с заданной точностью вычислений, которая в свою очередь на каждом шаге будет вызывать функцию подсчета значения функции.

Вычислим интеграл методом Гаусса.

.

Ответ: 3.584.

Вычислим интеграл методом Гаусса.

.

Ответ: - 0.588.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования и выясним, почему самый лучший и быстрый метод интегрирования - десятиточечный метод Гаусса.

2.1 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка . Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответствующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников имеет вид

где , или , соответственно.

2.2 Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

,

.

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

, где

Погрешность формулы трапеций:

, где

2.3 Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

где .

2.4 Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

2.5 Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности . Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

2.6 Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в разы при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где - узлы метода Гаусса по точкам, а параметров , , подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

где - приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по точкам.

3. Функциональные модели решения задачи

Функциональные модели решения задачи представлены на рисунках 1 и 2.

Используемые обозначения:

g10c1, g10c2, g10c3, g10c4, g10c5 - константы десятиточечного метода Гаусса;

g10x1, g10x2, g10x3, g10x4, g10x5 - константы десятиточечного метода Гаусса;

m, n- вспомогательные переменные;

s1, s2, s3, s4, s5, s- вспомогательные переменные;

a, b - пределы интегрирования;

f - интегрируемая функция;

gc- посчитанный интеграл на интервале (a, b);

ga, gb- переменные для подсчета интеграла на половине интервала;

eps - точность интегрирования;

k - вспомогательная переменная.

Рисунок 1 - Функциональная модель решения задачи десятиточечного метода Гаусса, реализованная методом Gaus_Calc

Рисунок 2 - Функциональная модель решения задачи для функции Gaus

4. Программная реализация решения задачи

;; интегрируемая функция

( defun F (x)

;; 1 пример

;; (/ (* 2 (expt x 3)) (expt x 4))

;; 2 пример

;; (* 3.142 (sin (* 3.142 x)))

;; 3 пример

( * (/ (log (+ x 1)) x) (exp (* - 1 x)))

;; десятиточечный метод Гаусса

( defun Gauss_Calc (a b f)

(setq g10c1 (/ 0.9739065285 6.2012983932))

(setq g10c2 (/ 0.8650633667 6.2012983932))

(setq g10c3 (/ 0.6794095683 6.2012983932))

(setq g10c4 (/ 0.4333953941 6.2012983932))

(setq g10c5 (/ 0.1488743390 6.2012983932))

(setq g10x1 (/ 0.0666713443 6.2012983932))

(setq g10x2 (/ 0.1494513492 6.2012983932))

(setq g10x3 (/ 0.2190863625 6.2012983932))

(setq g10x4 (/ 0.2692667193 6.2012983932))

(setq g10x5 (/ 0.2955242247 6.2012983932))

(setq m (/ (+ b a) 2))

(setq n (/ ( - b a) 2))

(setq s1 (* g10c1 (+ (funcall f (+ m (* n g10x1))) (funcall f ( - m (* n g10x1))))))

(setq s2 (* g10c2 (+ (funcall f (+ m (* n g10x2))) (funcall f ( - m (* n g10x2))))))

(setq s3 (* g10c3 (+ (funcall f (+ m (* n g10x3))) (funcall f ( - m (* n g10x3))))))

(setq s4 (* g10c4 (+ (funcall f (+ m (* n g10x4))) (funcall f ( - m (* n g10x4))))))

(setq s5 (* g10c5 (+ (funcall f (+ m (* n g10x5))) (funcall f ( - m (* n g10x5))))))

(setq s (+ s1 s2 s3 s4 s5))

(* s ( - b a))

;; рекурсивная ф-ция подсчета с заданной точностью

;; gc - ранее посчитаный интеграл на интервале (a,b)

( defun Gauss (a b eps gc f)

;; разбиваем интервал на две половины

( setq k (/ (+ a b) 2))

;; в каждой половине считаем интеграл

( setq ga (Gauss_Calc a (/ (+ a b) 2) f))

(setq gb (Gauss_Calc (/ (+ a b) 2) b f))

(if (> (abs ( - (+ ga gb) gc)) eps)

(setq ga (Gauss a (/ (+ a b) 2) (/ eps 2) (Gauss_Calc a (/ (+ a b) 2) f) f))

(+ ga (Gauss (/ (+ a b) 2) b (/ eps 2) (Gauss_Calc (/ (+ a b) 2) b f) f))

(+ ga gb)

;; открываем файл для чтения

( setq input-stream (open " d: \\predel. txt": direction: input))

(setq a (read input-stream))

(setq b (read input-stream))

(setq eps (read input-stream))

(close input-stream)

;; находим интеграл

( setq integral (Gauss a b eps (Gauss_Calc a b (function F)) (function F)))

;; открываем файл для записи

( setq output-stream (open " d: \\test. txt": direction: output))

(format output-stream "Integral = ~a" integral)

(close output-stream)

5. Пример выполнения программы

Рисунок 3 - Пределы интеграла и точность вычисления для интегрируемой функции

Рисунок 4 - Результат вычисления интеграла функции с заданными пределами и точностью вычисления

Рисунок 5 - Пределы интеграла и точность вычисления для интегрируемой функции

Рисунок 6 - Результат вычисления интеграла функции с заданными пределами и точностью вычисления

Рисунок 7 - Пределы интеграла и точность вычисления для интегрируемой функции

Рисунок 8 - Результат вычисления интеграла функции с заданными пределами и точностью вычисления

Заключение

Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования.

1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708 с.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш. Кремер, 3-е издание - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C.412.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. - М.: Питер, 2001. С.504.

4. Численное интегрирование [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://ru. wikipedia.org/wiki/Численное_интегрирование

5. Семакин И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г. Семакин, А.П. Шестаков. - М.: Мир, 2006. C.346.

6. Симанков В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С. Симанков, Т.Т. Зангиев, И.В. Зайцев. - Краснодар: КубГТУ, 2002. - 160 с.

7. Степанов П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А. Степанов, А.В. Бржезовский. - М.: ГУАП, 2003. С.79.

8. Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э. Хювенен, Й. Сеппянен. - М.: Мир, 1990. - 460 с.