Лекция № 6 Модулированные сигналы

Под модуляцией понимают процесс (медленный по сравнению с периодом несущего колебания), при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяют по закону передаваемого сообщения. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами.В зависимости от того, какой из названных параметров несущего колебания подвергается изменению, различают два основных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции, в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.В современных цифровых системах передачи информации широкое распространение получила квадратурная (амплитудно-фазовая, или фазоамплитуд- ная - ФАМ; amplitude phase modulation) модуляция, при которой одновременно изменяются и амплитуда и фаза сигнала. Этот тип модуляции относят как к аналоговым, так и цифровым видам.

В радиосистемах часто применяются и будут применяться различные виды импульсной и цифровой модуляции, при которой радиосигналы представляются в виде так называемых радиоимульсов.

Радиосигналы с аналоговыми видами модуляции В процессе амплитудной модуляции несущего колебания (1)

его амплитуда должна изменяться по закону: (2)

где U H - амплитуда несущей в отсутствие модуляции; ω 0 - угловая частота; φ 0 - начальная фаза; ψ(t) = ω 0 + φ 0 - полная (текущая или мгновенная) фаза несущей; k А - безразмерный коэффициент пропорциональности; e(t) - модулирующий сигнал. U H (t) в радиотехнике принято называть огибающей амплитудно-модулированного сигнала (АМ-сигнала).

Подставив (2) в (1) получим общую формулу АМ- сигнала (3)

Однотональная амплитудная модуляция если модулирующий сигнал - гармоническое колебание (4)

где Е 0 - амплитуда; Ω = 2π/Т 1 = 2πF - угловая частота модуляции; F -

циклическая частота модуляции; Т 1 - период модуляции; θ 0 - начальная фаза.

Подставив формулу (4) в соотношение (3), получим выражение для АМ-сигнала (5)

Обозначив через ∆U = k A E 0 - максимальное отклонение амплитуды АМ- сигнала от амплитуды несущей U H и проведя несложные выкладки, получим (6)

Коэффициент или глубина амплитудной модуляции.

Спектр АМ-сигнала . Применив в выражении (5) тригонометрическую формулу произведения косинусов, после несложных выкладок получим (7)

Из формулы (7) видно, что при однотональной амплитудной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих. Первая из них представляет собой исходное несущее колебание с постоянной амплитудой U H и частотой с ω 0 . Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колебания, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие передаваемый сигнал. Колебания с частотами ω 0 + Ω и ω 0 - Ω называются соответственно верхней (upper sideband - USB) и нижней (lower sideband - LSB) боковыми составляющими.

Реальная ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции (8)

На практике однотональные АМ-сигналы используются либо для учебных, либо для исследовательских целей. Реальный же модулирующий сигнал имеет сложный спектральный состав. Математически такой сигнал, состоящий из N гармоник, можно представить тригонометрическим рядом N (10)

Здесь амплитуды гармоник сложного модулирующего сигнала E i произвольны, а их частоты образуют упорядоченный спектр Ω 1 < Ω 2 < ...< Ω i < ...< Ω N . В отличие от ряда Фурье частоты Ω i не обязательно кратны друг другу. Подставляя (10) в (3), после несложных преобразований, получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего ф0 = О (11)

(12)

Совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции.Эти коэффициенты характеризуют влияние гармонических составляющих модулирующего сигнала на общее изменение амплитуды высокочастотного колебания. Воспользовавшись тригонометрической формулой произведения двух косинусов и проделав несложные преобразования, запишем (11) в виде (13)

Рис. 2. Спектральные диаграммы при модуляции сложным сигналом:

а - модулирующего сигнала; б - АМ-сигнала

Ширина спектра сложного АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала Ω N , т. е. (14)

Частотная модуляция

При частотной модуляции (frequency modulation; FM) мгновенное значение несущей частоты ω(t) связано с модулирующим сигналом e(t) зависимостью (15)

здесь k Ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад/(В-с).

Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования мгновенной частоты, выраженной через формулу (15),

Рис. 3. Частотная однотональная модуляция:

а - несущее колебание; б - модулирующий сигнал; в - ЧМ-сигнал

Максимальное отклонение частоты от значения ω 0 , или девиация частоты (frequency deviation) при частотной модуляции;

Максимальное отклонение от текущей фазы ω 0 t или девиация фазы несущего колебания называется индексом частотной модуляции (index of frequency modulation). Данный парамер определяет интенсивность колебаний начальной фазы радиосигнала.

С учетом полученных соотношений (1) и (16) частотно-модулированный сигнал запишется в следующем виде:

Спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции. Преобразуем полученное выражение (17)

Спектр ЧМ-сигнала при m«1 (такую угловую модуляцию называют узкополосной). В этом случае имеют место приближенные равенства: (18)

Подставив формулы (18) в выражение (17), после несложных математических преобразований получим (при начальных фазах модулирующего и несущего колебаний θ 0 = 0 и φ 0 = 0): (19)

Видим, что по аналитической записи спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции напоминает спектр АМ- сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (ω 0 + Ω) и (ω 0 - Ω) причем и амплитуды их рассчитываются аналогично (только вместо коэффициента амплитудной модуляции М в формуле для ЧМ-сигнала фигурирует индекс угловой модуляции m). Но есть и принципиальное отличие, превращающее амплитудную модуляцию в частотную, знак минус перед одной из боковых составляющих.

Спектр ЧМ-сигнала при m > 1 . Из математики известно (20) (21)

где J n (m) - функция Бесселя 1 -го рода n-го порядка.

В
теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой формулой (22)

Ряды (20) и (21) подставим в формулу (17), а затем заменим произведение косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргументов. Тогда, с учетом (22), получим следующее выражение для ЧМ-сигнала (23)

Итак, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией при индексе

модуляции m > 1 состоит из множества высокочастотных гармоник: несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами ω 0 + nΩ. и ω 0 -nΩ, расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ω 0 .

При этом, исходя из (22), можно отметить, что начальные фазы боковых колебаний с частотами ω 0 + nΩ. и ω 0 -nΩ совпадают, если m - четное число, и отличаются на 180°, если m - нечетное. Теоретически спектр ЧМ- сигнала (так же и ФМ-сигнала) бесконечен, однако в реальных случаях он ограничен. Практическая ширина спектра сигналов с угловой модуляцией

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике в радиотехнике и связи, имеют индекс модуляции m>> 1, поэтому

Полоса частот ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией равна удвоенной девиации частоты и не зависит от частоты модуляции.

Сравнение помехоустойчивости радиосистем с амплитудной и угловой модуляцией. Следует отметить, что радиосигналы с угловой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитудной модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к заметному искажению передаваемого сообщения.

2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает при неизменной средней мощности колебаний.

Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании частоты w 0 , или начальной фазы j 0 . Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания y(t ) = w 0 t + j 0 определяет мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота w 0 , то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется фаза j 0 – фазовой модуляцией (ФМ).

Частотная модуляция. При частотной модуляции несущая частота w(t ) связана с модулирующим сигналом e (t ) зависимостью:

w(t ) = w 0 + k ч e (t ) (5.1)

здесь k ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад.

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e (t ) = E 0 cosWt , у которого для упрощения начальная фаза q 0 = 0. Пусть также начальная фаза несущего колебания j 0 = 0. При необходимости начальные фазы q 0 и j 0 легко могут быть введены в окончательные соотношения. Полную фазу ЧМ – сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (5.1):

где w дч = - максимальное отклонение частоты от значения w 0 , или девиация частоты при частотной модуляции.

Отношение m ч = w дч /W = k ч E 0 /W, (5.3)

являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции.

С учетом (5.2) и (5.3) ЧМ – сигнал запишется в следующем виде:

На рис. 5.1 представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания u н (t ) и модулирующего сигнала e (t ) с начальными фазами j 0 = q 0 = 90 o , и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ – сигнал u чм (t ) . Нетрудно заметить, что по формуле ЧМ-сигнал напоминает сжатые и растянутые меха русской гармошки.

Фазовая модуляция. В ФМ – сигнале полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему напряжению

y (t ) = w 0 t + k ф e (t ), (5.5)

где k ф - размерный коэффициент пропорциональности, рад/В.

Рис. 5.1 Частотная однотональная модуляция:

а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ – сигнал

При однотональной модуляции фаза несущего колебания:

y (t ) = w 0 t + k ф E 0 cosWt , (5.6)

Из (5.6) следует, что, как и в случае частотной модуляции, полная фаза несущего колебания изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции

m ф = k ф E 0 . (5.7)

Подставляя формулы (5.5) и (5.6) в (4.1), запишем ФМ - сигнал

Дифференцирование формулы (5.6) дает частоту ФМ – сигнала

w(t ) = w 0 - m ф W sinWt = w 0 - w дф sinWt , (5.9)

где w дф = m ф W = k ф E 0 W - максимальное отклонение частоты от значения несущей w 0 , т. е. девиация частоты при фазовой модуляции.

Выражения (5.4), (5.8) показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно или фазо-модулированным. Различия между этими видами однотональной модуляции проявляется только при изменении амплитуды Е 0 или частоты W моду-лирующего сигнала e (t ).

В случае частотной модуляции девиации частоты w дч пропорциональна амплитуде Е 0 и не зависит от частоты W модулирующего сигнала e (t ) = E 0 cosWt . Индекс же модуляции m ч прямо пропорционален амплитуде Е 0 и обратно пропорционален частоте W модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиации частоты w дф изменяется пропорционально амплитуде Е 0 и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции m ф пропорционален амплитуде Е 0 и нее зависит от частоты W модулирующего сигнала.

Спектр ЧМ – сигнала при однотональной модуляции. Используя тригонометрические преобразования, запишем соотношение (5.4) следующим образом:

= U н cos(m sinWt )cosw 0 t - U н sin(m sinWt )sinw 0 t . (5.10)

Проанализируем выражение (5.10) отдельно для малых (m << 1) и больших (m >1) индексов модуляции.

Спектр ЧМ – сигнала при m << 1. В этом случае имеют место приближенные равенства

cos(m sinWt ) » 1; sin(m sinWt ) » m sinWt . (5.11)

Подставив (5.11) в (5.10), получим

u ЧМ (t ) = U н cosw 0 t - U н m sinW sinw 0 t =

+ U н cosw 0 t + (mU н /2)cos(w 0 + W)t - (mU н /2) cos(w 0 - W)t . (5.12)

Рис.5.2. Диаграммы ЧМ – сигнала при m << 1:

а – спектральная; б - векторная

Сравнение соотношений (5.12) и (4.6) показывает, что спектр ЧМ – сигнала аналогичен спектру АМП – сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (w 0 + W) и (w 0 - W). Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М . Единственное и принципиальное отличие - знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ – сигнала, который характеризирует поворот ее фазы на 180 0 , что аналитически приводит к превращению АМП – сигнала в ЧМ – сигнал.

На рис.5.2,а представлена спектральная диаграмма для ЧМ – сигнала при индексе модуляции m << 1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2W, как и при амплитудной модуляции.

На векторной диаграмме рис.5.2, б показано, как изменение фазы нижней боковой составляющей на 180 0 (вектор АД) влияет на вектор результирующего колебания ОВ. Направление вектора АД нижней боковой составляющей при АМ – сигнале обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180 0 не влияет на вектор модуляции АВ, который всегда перпендикулярен вектору несущей ОА. Вектор результирующего колебания ОВ изменяется как по фазе, так и по амплитуде, т.е. с течением времени «качается» вокруг центрального положения. Однако при m<< 1 изменения амплитуды настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию рассматривать как чисто фазовую.

Теоретический спектр ЧМ – сигнала (аналогично и ФМ – сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Дело в том, что начиная с номера порядка n > m+1 , значения функций Бесселя становится весьма малыми. Поэтому считается, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией

Dw ум = 2(m +1)W.

Рис. 5.3. Спектр ЧМ – сигнала.

ЧМ – и ФМ – сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m >>1, поэтому

Dw ум = 2m W = 2w д.

Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с однотональной частоты модуляцией, равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от частоты модуляции. Спектр сигналов с угловой модуляцией при негармоническом модулирующем сигнале определить достаточно трудно. Но он всегда сложнее, чем спектр АМ – сигнала при том же модулирующем сигнале. Ширина его спектра также значительно больше, чем при амплитудной модуляции.

Примерная структура спектра ЧМ– сигнала при индексе модуляции m =3 показана на рис. 5.3.

Следует отметить, что радиосигналы с частотой и фазовой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1.Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебании не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитуды модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.

2.Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности.

Литература: 1, 2; 6[ 46-61].

Контрольные вопросы:

1.Как осуществляется частотная модуляция?

2.Покажите индекс частотной модуляции.

3.Что такое девиация частоты?

4. Покажите индекс фазавой модуляции.

5. Нарисуйте вид колебания однотональной частотной модуляции.

6. Как изменяется индекс модуляции с ростом частоты?

7. Покажите спектр частотной модуляции.

Другим распространенным типом модуляции, применяемым в радиосвя­зи, является частотная модуляция (ЧМ), при которой частота несущей изменяется в соответствии с модулирующим сигналом (рис. 15.1).

Рис. 15.1. Частотная модуляция.

Обратите внимание, что амплитуда несущей остается постоянной, а частота изменяется.

Девиация частоты

Девиация частоты есть степень изменения частоты несущей при измене­нии уровня сигнала на 1 В. Девиация частоты измеряется в килогер­цах на вольт (кГц/В). Предположим, например, что несущая с частотой 1000 кГц должна быть промодулирована сигналом в виде меандра с ам­плитудой 5 В (рис. 15.2). Предположим также, что девиация частоты равна 10 кГц/В. Тогда во временном интервале от А до В частота не­сущей увеличится на 5 · 10 = 50 кГц (произведение амплитуды сигнала на девиацию частоты) и станет равной 1000 кГц + 50 кГц = 1050 кГц. Во временном интервале от В до С частота несущей изменится на ту же величину, а именно на 5 · 10 = 50 кГц, но на этот раз в отрицательную сторону с уменьшением частоты несущей до 1000 – 50 = 950 кГц.

Рис. 15.2.

Максимальная девиация

Изменение частоты несущей при изменении уровня сигнала должно быть ограничено некоторой максимальной величиной, превышение которой не­допустимо. Эта величина называется максимальной девиацией. Напри­мер, при ЧМ-передачах радиостанции Би-би-си используется девиация частоты 15 кГц/В и максимальная девиация 75 кГц. Максимальная ве­личина модулирующего сигнала определяется максимальной допустимой девиацией.

Максимальная девиация ±75

Максимальный сигнал = -------------- = -- = ±5 В

Девиация частоты 15

или, другими словами, 5 В в положительную или отрицательную область.

Боковые частоты и ширина полосы

Если несущая промодулирована по частоте гармоническим сигналом, образуется неограниченное число боковых частот. Амплитуды боковых Компонент постепенно уменьшаются по мере отдаления частоты этих ком­понент от частоты несущей.

Таким образом, для размещения всех боковых частот ширина полосы частот ЧМ-системы должна быть бесконечной. На практике малые по амплитуде боковые компоненты ЧМ-сигнала могут быть отброшены без внесения каких-либо заметных искажений. Например, ЧМ-передачи ра­диостанции Би-би-си ведутся с использованием полосы частот шириной 250 кГц.

Сравнение AM - и ЧМ-систем модуляции

Амплитудная Частотная

модуляция модуляция

1. Амплитуда несущей Изменяется вместе Остается

С сигналом постоянной

2. Боковые частоты Две для каждой Бесконечное

Частоты в спектре число

Сигнала

3. Ширина занимаемой 9 кГц 250 кГц полосы частот

4. Диапазон частот ДВ, СВ. KB УКВ

Преимущества частотной модуляции

Радиовещание с использованием ЧМ имеет следующие преимущества по сравнению с АМ-передачей программ.

1. В системе с ЧМ обеспечивается лучшее качество звучания. Это свя­зано с большой шириной полосы частот ЧМ-сигнала, охватывающей гораздо большее число гармоник.

2. При ЧМ-передаче достигается очень низкий уровень шума. Шум - это нежелательные сигналы, которые появляются на выходе обычно в форме изменения амплитуды несущей. В ЧМ-системе эти сигналы легко устраняются путем двустороннего ограничения амплитуды не­сущей. Информация, которую несет изменяющаяся частота, при этом полностью сохраняется.

В этом видео рассказывается о частотной модуляции:

Амплитудно-модулированные сигналы и их спектры

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда несущего сигнала подвергается воздействию сигнала сообщения. Мгновенное значение АМ колебания с гармонической несущей может быть записано в виде

где U m (t) – «переменная амплитуда» или огибающая амплитуд;

– круговая частота несущего сигнала;

– начальная фаза несущего сигнала.

«Переменная амплитуда» U m (t) пропорциональна управляющему сигналу (сигналу сообщения) U с (t):

, (2.17)

где U m 0 – амплитуда несущего сигнала до амплитудной модуляции, то есть поступающего на модулятор;

– коэффициент пропорциональности.

При модуляции несущего сигнала сигналом сообщения необходимо обеспечить, чтобы U m (t) была величиной положительной. Это требование выполняется выбором коэффициента .

Для исключения влияния переходных процессов в радиоэлектронной цепи модулятора и других цепях преобразования модулированного сигнала на спектр сигнала сообщения необходимо выполнение следующего условия: наивысшая по частоте спектральная составляющая в ограниченном спектре сигнала сообщения должна иметь частоту , – что обеспечивается выбором частоты несущего сигнала.

На рис. 2.10 и 2.11 показаны два примера построения графиков АМ колебаний. На рисунках изображены следующие графики:

а – сигнал сообщения u c (t);

б – несущий сигнал u 0 (t);

в – огибающая амплитуд U m (t);

г – АМ сигнал u(t).

Для понимания образования спектра АМ сигнала рассмотрим простой случай: однотональное амплитудно-модулированное колебание. В этом случае модулирующий сигнал является гармоническим (однотональным):

с амплитудой U mc , частотой и начальной фазой .

Огибающая амплитуд однотонального АМ колебания имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды. Мгновенное значение однотонального АМ колебания

Отношение называется коэффициентом глубины модуляции или просто коэффициентом модуляции . Так как U m (t)> 0, то 0< m< 1. Часто m измеряют в процентах, тогда 0< m< 100%. С учетом введения коэффициента модуляции однотональное модулированное колебание запишем в виде:

Графики, поясняющие процесс однотональной амплитудной модуляции, приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Однотональная амплитудная модуляция

Для нахождения спектра однотонального амплитудно-модулированного сигнала необходимо сделать следующие преобразования:

(2.20)

При выводе выражения (2.20) использована тригонометрическая формула

Таким образом, при однотональной амплитудной модуляции несущего сигнала спектр содержит три составляющие: одна на несущей частоте имеет амплитуду U m 0 и две на боковых частотах с амплитудами mU m 0 /2, зависящими от коэффициента модуляции; при m< 1 их амплитуды составляют не более половины амплитуды несущей гармоники. Начальные фазы колебаний боковых спектральных составляющих отличаются от начальной фазы на величину . На рис. 2.13 показаны графики АЧС и ФЧС однотонального амплитудно-модулированного колебания.

Рис. 2.13. Спектр однотонального амплитудно-модулированного колебания

Из анализа спектра следует, что АЧС является четным относительно частоты , а ФЧС нечетным относительно точки с координатами ( , ).

При условии все составляющие спектра являются высокочастотными, следовательно, такой сигнал может эффективно передаваться с помощью ЭМВ.

Рассмотрим энергетические параметры однотонального АМ сигнала. Средняя за период несущего сигнала мощность, выделяемая на единичном сопротивлении,

В отсутствии модуляции эта мощность равна

а при модуляции изменяется в пределах от

.

Если m=100%, то , а P min = 0. Средняя мощность сигнала за период модуляции будет складываться из мощностей спектральных составляющих

В случае m=100% Р ср = 1,5Р 0 .

Перейдем к рассмотрению общего случая к так называемому многотональному АМ сигналу. Модулирующий сигнал, то есть сигнал сообщения, имеет спектр вида (1.22)

.

Огибающая амплитуд имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды n-ой гармоники модулирующего сигнала.

Выражение для многотонального АМ сигнала примет следующий вид:

(2.23)

где – коэффициент модуляции n-ой гармоники модулирующего сигнала. Применяя аналогичные, как это было сделано для однотональной амплитудной модуляции, тригонометрические преобразования, получим

(2.24)

Выражение (2.24) представляет спектр амплитудно-модулированного сигнала. Относительно колебания с частотой имеют место два ряда составляющих с верхними и нижними боковыми частотами. Эти составляющие образуют так называемые верхнюю и нижнюю боковые полосы спектра.

Передать весь спектр АМ сигнала по каналу информации невозможно по следующим причинам. Во-первых, нельзя создать идеальную линейную цепь в области частот , см. п.1.4. Во-вторых, при увеличении полосы пропускания линейной цепи может уменьшиться отношение мощности сигнала к мощности шумов (см. п.1.5). В-третьих, полоса пропускания, по возможности, должна быть минимальной, чтобы в заданном частотном диапазоне работало как можно больше радиолиний (радиоканалов), не влияющих друг на друга, то есть не создающих друг другу помех. Следовательно, спектр сигнал ограничивается частотой , наиболее удаленной от частоты несущего сигнала. На рис. 2.14 приведенный амплитудный спектр АМ сигнала. Ширина спектра определяется максимальной частотой в спектре модулирующего сигнала и составляет 2 . Примерные значения ширины спектра для некоторых АМ сигналов представлены в табл. 1.1.

Вопрос 14, 16

При частотной модуляции (ЧМ) изменяется частота гармони­ческого сигнала соответственно значащей позиции сигнала данных. Единичные элементы, соответствующие символам данных 1 и 0, представляются в виде (рис.3.7):

где

Разность называют девиацией частоты, отношение -индексом модуляции, а и - характеристи­ческими частотами. Спектр ЧМ сигнала занимает значительно боль­шую полосу частот, чем при ДМ (естественно при одинаковой скорости передачи).

За счет ограничения спектра возникает переходный процесс как по амплитуде, так и по частоте. Длительность установления частоты от до зависит от отношения где - необходимая полоса частот, устанавливаемая для пере­дачи двоичного ЧМ сигнала. Компромисс между допустимыми иска­жениями и необходимой полосой частот достигается при значени­ях .

Таким образом, необходимая полоса частот для передачи двоичного ЧМ сигнала с допустимыми искажениями определяется выражением

Удельная скорость передачи при m>1 близка к значение 0,5 бит/с*Гц

Установлено, что при m <1 основная энергия сигнала сосредоточена вблизи несущей частоты , поэтому можно достичь удельной скорости передачи 1бит/с*Гц. Например, при

Тогда

Для формирования ЧМ сигнала используются управляемый генератор (УГ), частота которого может изменяться без скачков фазы и со скачками фазы. Реализация ЧМ без разрыва фазы осуществляется непосредственным воздействием первичного сигнала А(t) на частоту генератора несущего колебания. ЧМ с разрывом фазы получается использованием независимых генераторов, наст­роенных на требуемые частоты, и спектр амплитуд модулирован­ного сигнала занимает более широкую полосу частот, чем при формировании без разрыва фазы.

Демодуляция ЧМ сигналов может осуществляться когерентным и некогерентным методом. Последний широко используется при передаче данных с низкой удельной скоростью. Общим принципом демодуляции является частотное детектирование (ЧД) с помощью дискриминаторов, которые преобразуют изменение частоты в из­менение амплитуды.

Так как изменяемым параметром сигнала является частота, то для уменьшения влияния помех применяют ограничители ампли­туд Огр, что существенно повышает помехозащищенность ЧМ по сравнению с АМ. На рис.3.8 представлена структурная схема модема с ЧМ.

Сигнал данных управляет частотой генератора УГ несущего колебания. Подавление побочных продуктов модуляции на передаче и помех на приеме производят соответственно фильтры передачи Ф пер и приема Ф пр. Ограничитель Огр снижает амплитудные иска­жения. Дискриминатор Д преобразует изменения частоты сигнала в изменение амплитуды. Фильтр нижних частот ФНЧ подавляет составляющие преобразованного сигнала частотами и др. Решение о принимаемом сигнале принимается решающим уст­ройством РУ.

Модемы с ЧМ благодаря несложной технической реализации и сравнительно высокой помехозащищенности рекомендованы МККТТ для передачи данных по стандартным каналам ТЧ со скоростью до 1200 бит/с.

Частотной модуляции присущ недостаток - высокая чувстви­тельность к изменению частоты сигнала при передаче по каналу ТЧ

Тая как в дискриминаторе происходит преобразование ЧМ сигнала в AM сигнал, то при неизменном пороге регистрации сдвиг по частоте переходит в сдвиг по длительности, т.е. появляются так называемые искажения типа преобладания «когда длительность посылок одной полярности превосходит длительность посылок дру­гой полярности. На рис.3.9 показана пунктиром передача двухполюсной последовательности сигналов данных ("точек") по кана­лу без изменения частоты сигнала, и сплошной линией - по кана­лу с изменением частоты сигнала на . На рисунке -длительность единичного элемента сигнала данных характеристические частоты.

Для устранения подобного рода искажений в процессе настройки дискретного канала с ЧМ всегда производится регулировка на нейтральность.

Фазовая модуляция

При фазовой модуляции переносчиком информации является изменение фазы гармонического колебания. Единичные элементы представляются в виде:

где - индекс фазовой модуляции;

Начальная фаза.

Соответствие ФМ сигнала символам и сигналам данных пока­зано на рис.3.10.

Как видно на рис.3.10, изменение фазы происходит при каж­дом изменении полярности сигнала данных.

Отметим, что при ФМ принципиальным является жесткое соответствие начальных фаз приемника и передатчика. Однако при похождении ФМ сигнала по каналу ТЧ за счёт изменения фазы передаваемого сигнала (переключения генераторного оборудова­ния каналообразующей аппаратуры) возникает так называемая "обратная работа", когда вместо передаваемого символа 1 при­нимается символ 0. Поэтому на практике ФМ не используется, а применяют ее видоизменение. Советский ученый К.Т.Петрович предложил относительную фазовую модуляцию (ОФМ).

При ОФМ представляющим параметром сигнала, несущим информацию, является изменение фазы при передаче каждого единичного интервала только одной полярности, например, как показано на рис.3.11, положительной. Так, при длительной передаче только положительных посылок частота изменения фазы будет соответство­вать скорости передачи единичных элементов.

Для осуществления ОФМ необходимо единое соответствие между значениями полярности посылок и значениями разности фаз для передатчика и приемника.

Если символу данных 1 соответствует положительная посылка, а символу 0 - отрицательная, то алгоритм модуляции при ОФМ формулируется так: при передаче i-й посылки, соответствующей 1, фаза несущего колебания скачком изменяется на 180° по отношению к фазе предыдущей (i-1)-й посылки, а при передаче по­сылки, соответствующей 0, она остается такой же, что у (i-1)-й посылки.

На рис.3.12 приведены схемы передатчика и приемника, поясняющие принцип формирования и обработки ОФМ - сигналов.

В качестве кодера используется триггер с управляющим на его входе транзистором. При каждой положительной посылке (Rтранз. - высокое) срабатывает триггер и переключает диоды фазового модулятора (т.е. изменяется фаза несущего колебания).

Прием ОФМ - сигнала возможен двумя методами:

• сравнением фаз;
• сравнением полярностей,

Чаще применяется первый метод, так как при этом искаже­ние одного единичного элемента приводит к одной ошибке, а при методе сравнения полярностей, если искажена середина единично­го элемента, то возможны и две ошибки.

При методе сравнения фаз в фазовом детекторе (ФД) сравни­ваются на несущей частоте фазы i-го и (i-1)-го единичных элементов. Указанное сравнение осуществляется с помощью элемента памяти линии задержки (ЛЗ), создающего задержку, равную длительности элемента. Такой метод не требует знания начальной фазы сигнала.

Спектр ОФМ сигнала занимает полосу частот такую же, как и при АМ-ДБП (рис.3.6), но отличается значениями амплитудонесущей частоты и боковых частот. Поэтому максимальная удельная скорость передачи равна 1 бит/с Гц.

При ОФМ также можно воспользоваться ограничением одной из боковых полос частот и тем самым получить ОФМ с одной боковой полосой частот ОФМ-ОБП с максимальной удельной скоростью передачи 2 бит/с*Гц.

Модемы с OФM по сравнению с AM и ЧМ реализуются технически более сложно, но зато обладают более высокой помехозащищенностью при одинаковой скорости передачи.

Однако самым важным достоинством ОФМ, обусловившим ее широкое применение, является возможность использования многих значений (крат) фаз и получения многократных ОФМ, например, двукратной - ДОФМ, трехкратной - ТОФМ, и тем самым увеличение скорости передачи в число крат раз.

Вопрос № 14

Баскаков стр. 100 – 101

Вопрос № 16

Вопрос № 17

Устройства, генерирующие автоколебания, называются автоколебательными системами или автогенераторами.

амплитуды, частоты или фазы колебания, может служить причиной возникновения помех в канале радиосвязи. Требование монохроматичности включает в себя также и требование стабильности частоты автоколебания.

Вопрос №18

Баскаков стр. 374-376.

Гоноровский 1986г:

Вопрос № 19

Баскаков стр. 122 – 124

Вопрос №20

Случайные процессы, основные определения.

Случайными сигналами (процессами) называются сигналы, математическим описанием которых являются случайные функции времени. Случайный процесс представляет собой изменения во времени какой-либо физической величины, которые заранее предсказать невозможно.

Случайной называется функция , значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Случайная функция времени , описывающая случайный процесс, в результате опыта может принять ту или иную конкретную форму , неизвестную заранее (рис.1). Эти возможные формы случайной функции называются реализациями случайного процесса.В фиксированный момент времени значения случайного процесса являются случайной величиной с определенным распределением вероятностей. Случайные процессы могут быть непрерывными и дискретными. Реализации первых являются непрерывными функциями времени

Вероятностные характеристики.

Если рассматривать не каждую реализацию в отдельности, а совокупность их большого числа, то окажется, что некоторые средние результаты обладают статистической устойчивостью, т.е. могут быть оценены количественно. Устойчивость средних результатов носит вероятностный характер.

Пусть имеется случайный процесс , который задан совокупностью N реализации (рис. 2). Произведем сечение случайного процесса в некоторый фиксированный момент времени t . Выделим из общего числа N те реализаций, значения которых в момент времени меньше некоторого уровня . При достаточно большом N относительная доля реализации, находящихся в момент времени ниже уровня , будет обладать статистической устойчивостью, т.е. будет оставаться приблизительно постоянной, колеблясь при изменении N и вокруг некоторого среднего значения. Это среднее значение определяет вероятность пребывания значений случайного процесса ниже уровня . Функция ,определяющая вероятность нахождения значений случайного процесса момент времени ниже уровня , называется одномерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса. Ее производная, если она существует, называется одномерной плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения случайного процесса.

Введенные функции , и дают представление о процессе лишь для изолированных друг от друга моментов времени . Для более полной характеристики процесса необходимо учитывать статистическую связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Эту связь для двух моментов времени учитывает двумерная интегральная функция распределения вероятностей определяющая вероятность того, что значения случайного процесса в момент времени , будут находиться ниже уровня , а в момент времени - ниже уровня . Частная производная второго порядка

называется двумерной плотностью вероятностей случайного процесса. Эти функции зависят уже от четырех аргументов.

Аналогично определяются многомерные интегральная и дифференциальная функции распределения случайного процесса

которые зависят от 2n -аргументов.

Если значения случайного процесса при любых значениях t зависимы, то многомерная функция распределения равна произведению одномерных

1. Числовые характеристики случайных сигналов.

Простейшей характеристикой случайного процесса является его среднее значение или математическое ожидание

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, значения которой для каждого момента времени t равны, т.е. математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его среднего значения:

Следовательно, дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около среднего значения. Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. В качестве характеристики, учитывающей статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (иначе - автокорреляционная) функция случайного процесса

определяемая как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различных момента времени. Корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. На рис. 3.5 и 3.6 показаны соответственно два случайных процесса с сильной и слабой статистической зависимостью их значений в моменты времени и .

Из определения корреляционной функции следует

т.е. она является симметричной относительно начала отсчета времени.

Для совокупности двух случайных и статистическая зависимость между их значениями в различные моменты времени определяется функцией взаимной корреляции

В некоторых случаях вместо корреляционной функции вводится нормированная корреляционная функция или кратко коэффициент корреляции

Свойства плотности вероятности и функции распределения.

Баскаков стр. 144

Вопрос 21

Энергетический спектр случайного процесса, теорема Хинчина-Винера.

Баскаков стр. 164-166

Эффективная ширина спектра, её связь с интервалом корреляции.

Баскаков стр. 169-170

Широкополосные и узкополосные случайные процессы.

Узкополосный случайный процесс – это такой процесс непрерывный спектр, которого сосредоточен около некоторой фиксированной частоты ω 0 .

Δω<< ω 0 Если данное условие не выполняется, то спектр называется широкополосным.

Функции корреляции таких спектров будут существенно отличаться друг от друга.

Белый шум, его функция корреляции.

Баскаков стр. 170.

Вопрос № 22

Прохождение случайных сигналов через линейные инерционные цепи

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: , и .

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными

функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

(3.4.1)

Ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением

(3.4.3)

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

(3.4.4)

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

(3.4.5)

Плотность распределения вероятности и числовые характеристики сигнала на выходе безынерционной нелинейной цепи.

Баскаков стр. 300 – 302

Прохождение случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.

Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса в данный момент времени определяются значениями входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.

Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.