Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений. Простейшим видом квантования

является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Рисунок 1 - Квантованный сигнал

Однородное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного:

.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей (на графике - по горизонтали). Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает по уровню сигнала (на графике - по вертикали).

Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Рисунок 3 - Цифровой сигнал

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае однородного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n-разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Квантованием по уровню называют дискретизацию множества значений непрерывного сигнала по уровню, то есть по амплитуде параметра. Идея квантования по уровню заключается в следующем. Весь диапазон возможных изменений сигнала (функции) разбивается на N различимых величин – уровней квантования . В результате квантования сигнала каждое из его значений данного интервала округляется до некоторого уровня. Порогами квантования называются величины, при сравнении с которыми исходного непрерывного сигнала в процессе квантования определяется его принадлежность к уровню квантования. Величина, представляющая собой разность между двумя соседними уровнями, называется шагом квантования . Замена исходных значений функции соответствующими дискретными значениями – уровнями квантования – вносит ошибку квантования, называемую шумом квантования .

Существует три способа квантования:

1-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения сигнала с ближайшим значением уровня. Информационная система содержит устройство квантования, которое выполняет операцию квантования непрерывного сигнала по уровню. В процессе такой операции отдельное значение исходного непрерывного сигнала соотносится с одним из возможных значений уровней; если исходное значение оказывается в пределах двух соседних порогов квантования , то это значение заменяется уровнем квантования, заключенным между данными порогами. В этом случае квантование происходит по методу соотнесения с ближайшим значением уровня . Этот способ квантования аналогичен округлению чисел до ближайшего целого. При таком способе вместо исходного непрерывного сигнала мы получим квантованный сигнал, представленный временной диаграммой на рис.1.5.

f(t) - исходный непрерывный сигнал;

f * (t) - квантованный сигнал;

f i , f i+1 ,... - значения соседних порогов квантования (пунктир);

Df i - шаг квантования, Df i = f i+1 - f i ;

- значения уровней квантования (сплошные линии).

Таким образом, очевидно, что в процессе квантования неизбежно возникает принципиальная или методическая ошибка квантования - шум квантования ; ее величина для момента времени t определяется в виде

Для этого способа ошибка квантования не превышает половины шага квантования

2-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²снизу² значением уровня. В этом случае i -е пороговое значение совпадает со значением (i +1)-го уровня. Данный способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого снизу. Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.6.

Ошибка квантования всегда положительна (Df(t) > 0) и не превышает величинушага квантования ( ¦).

3-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²сверху² значением уровня. Пороги и уровни совпадают по номерам и значениям. Шум квантования всегда отрицательный (Df(t)< 0) и не превышает величину шага квантования ( ¦ i). Этот способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого сверху.

Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.7.

Равномерным квантованием называется такое квантование, при котором шаг квантования есть постоянная величина. В большинстве случаев применяется равномерное квантование.

Шаг квантования выбирается исходя из необходимой точности передачи сигнала. Если же при этом существуют внешние помехи, то необходимо, чтобы амплитуда помех не превышала половины шага квантования, тогда возможно будет восстановить заданный уровень, так как воздействие помехи не выведет значение сообщения за зону, соответствующую данному уровню квантования. Кроме уровней выделяют пороги квантования. При равномерном квантовании расстояние между двумя соседними порогами равняется шагу квантования.

Из трех способов квантования первый дает минимальную среднюю ошибку квантования при одном и том же шаге квантования, поэтому на практике часто используется именно этот способ.

Для более точного отображения исходного сигнала необходимо увеличивать число уровней, т. е. уменьшать шаг квантования (рис. 1.8-1.9).

Однако бесконечное уменьшение шага квантования физически невозможно, а формально не имеет смысла, так как мы опять возвращаемся к непрерывному сигналу. Уменьшать шаг до бесконечности невозможно также из-за влияния помех. Сообщения по мере передачи по каналам связи или по мере хранения в памяти искажаются под воздействием помех, поэтому на приемной стороне или при считывании сигнала должен находиться еще один квантователь. Этот квантователь, как и исходный квантователь сигналов, для опознавания сигнала должен соотносить реальный сигнал с возможными значениями уровней. Для некоторых значений это соответствие может быть неправильным и на приемной стороне могут быть ложные восприятия соседних уровней. Таким образом, исходный сигнал, поступающий от источника непрерывных сигналов, в системе квантования по уровню искажается из-за самого квантования и, кроме того, под воздействием помех, как показано на рис.1.10.

Временные диаграммы:

Увеличение шага квантования в системе квантования, при неизменном уровне помех, приводит к подавлению помех, поэтому самый простой способ защиты квантованного сигнала от помех - увеличение шага квантования. Однако при этом мы увеличиваем шум квантования, т.е. вносим погрешность за счет грубого квантования.

Различают следующие две модели помех (два типа помех):

a) аддитивные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем алгебраического суммирования их амплитуд:

fсп(t)= f*(t) ± fп(t) , где f n (t) - амплитуда помехи;

б) мультипликативные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем перемножения их значений:

fсп(t)=k · f*(t) ·fп(t) , где k - масштабный коэффициент.

(При имитации работы системы квантования на лабораторных работах моделируются аддитивные помехи.)

Кроме равномерного квантования, в некоторых случаях используют неравномерное квантование, при котором шаг квантования ∆f i - переменная величина в зависимости от номера уровня: ∆f i = f i+1 - f i . В некоторых диапазонах изменения сигнала, для уточнения его значений, шаг квантования делают меньше.

Такая система применяется тогда, когда возникает необходимость отображать значения сигнала в некоторых диапазонах точнее, чем за их пределами, как это показано на рис.1.11.

n max = (f max - f min) / ∆f , где f max , f min – максимальное и минимальное возможные значения сигнала в данной информационной системе.

Если известен характер изменения помех, то минимальную величину шага квантования можно определить численно. При моделировании часто имитируется случайная помеха с нормальным (гауссовым) распределением, закон которого характеризуется двумя параметрами m и б , где m - математическое ожидание (величина постоянной составляющей помехи); б - среднеквадратическое отклонение - СКО (интенсивность случайной составляющей помехи).

Изображенная на рис. 1.12. гауссова помеха имеет постоянную составляющую со знаком ²+². Обычно в системах передачи данных помеха бывает именно нормально распределенной с нулевым математическим ожиданием. Помеха может быть рассеяна более или менее сильно, но площадь под кривой распределения должна быть одинаковой и соответствовать вероятности достоверного события - единице. Степень рассеивания случайной величины (помехи) определяется значением среднеквадратического отклонения б .

При наложении такой помехи на квантованный сигнал последний становится случайной величиной f сп (t) с математическим ожиданием, равным его уровню

(m = ), и среднеквадратическим отклонением помехи (б = б n ), как показано на рис.1.13.

Рис.1.13. Плотность распределения смеси f сп квантованного сигнала с гауссовой помехой: _ __ __

f i , f i-1 , f i+1 - данный, нижний и верхний соседние уровни квантования;

f i , f i+1 - соседние пороги квантования

Площади под кривой распределения за пределами пороговых значений f i и f i+1 данного уровня составляют вероятность искажения квантованного сигнала (ВИКС). Предположим, что допустимая ВИКС = 0,01 и нам нужно определить шаг квантования. Если известен закон распределения или характер помехи и его параметры, то можно решить обратную задачу - определить значения порогов квантования. Таким образом, шаг квантования подбирается с учетом помех двумя разными способами:

Экспериментально (или методом подбора);

Численно, аналитически, если известен характер помех.

Итак, система квантования должна содержать один квантователь на выходе источника непрерывных сигналов, а другой - на входе приемника сигналов; между ними располагается канал связи, где на передаваемый сигнал воздействуют помехи.

(В составе лабораторного программного пакета функцию источника непрерывного сигнала и функцию квантователя имитируют специальные подпрограммы. Подпрограмма источника формирует сразу весь массив значений, а подпрограмма-квантователь обрабатывает сигнал поэлементно. События в канале связи имитируются не полностью - квантованный сигнал деформируется только помехами. Помехи аддитивные, случайные и нормально распределенные).

Эффективность работы системы квантования определяется степенью искажения формы исходного сигнала. Если передается не непрерывный сигнал, а сразу квантованный или дискретный, то эффективность работы системы может определяться также частотой правильной передачи отсчетных сообщений.

Целью квантования по уровню является замена бесконечного множества непрерывных сообщений (значений параметра) конечным множеством дискретных значений. При этом становится возможным кодирование конечного множества дискретных сообщений, которое осуществляется кодовыми словами на основе алфавита меньшего объема. Значительным преимуществом системы квантования по уровню является возможность применения ее на протяженных линиях связи с промежуточными приемными пунктами. В этом случае применение такой системы позволяет избежать накопления помехи в процессе передачи сигнала по участкам, так как на каждом промежуточном пункте производится приведение сигнала к первоначальному квантованному уровню. В результате этого единственная помеха, которая остается в сигнале к моменту его прихода на конечный пункт - это шум квантования, который принципиально не устраним. Квантование сообщений позволяет обеспечить их длительное хранение без искажений в аналоговых запоминающих устройствах путем периодического считывания, квантования и записи данного сообщения на прежнее место с помощью одного и того же блока квантования.

Контрольные вопросы к пп. 1.1. и 1.2

1. Цель и суть любой дискретизации.

2. Представление сигналов функциями; понятие квантованного по уровню сигнала.

3. Цель и суть квантования сообщений по уровню; функции АЦП.

4. Определения неравномерного и равномерного квантования, уровней, порогов, шага и шума квантования.

5. Три способа квантования и соответствующая им величина шума квантования.

6. Структуры систем передачи сообщений:

· системы, передающей непрерывный сигнал квантованными сообщениями;

· системы, передающей квантованные сообщения;

· системы, передающей дискретные сообщения в форме квантованных по уровню сигналов.

7. От чего зависит и как оценивается эффективность работы этих систем?

8. Типы (модели) помех.

9. Влияние помех на квантованный по уровню сигнал.

10. Какие факторы определяют величину шага квантования для каждой системы; каково влияние этих факторов?

11. Чем ограничено минимальное значение ошибки восстановления сигнала?

Рис. Квантование сигнала по уровню:

а – с постоянным шагом квантования; б – погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

По оси ординат откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантование ∆ к.у. оказывается наибольшей. Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, б, в…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке в возникает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точки в, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам, и проводится пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией. Точки пересечения обозначаются буквами (а , b , c , d и т.д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆к.у., равная разности между значением функции λ(t ) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q /2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

(2.1)

Здесь + q /2 - максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 2, а - q /2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 3. Погрешность квантования представлены на рис. б), на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (рис. г.б), и проведен отрезок функции k-a . На участке а-b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции (t ), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т.д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию (t ), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию Из рис. г), а) следует, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию это позволяет рассматривать квантование как результат положения на функцию помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. а), число уровней квантования N на единицу больше числа интервала N – 1.

Если сообщение ограничено диапазоном от до , то

.

При имеем

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешности (в %), которая по определению равна . При описанном выше методе квантование (рис. б) погрешность не может превышать q /2, т.е. при подсчете нужно учитывать (2-1). Таким образом, считая, что (это достигается соответствующим расположением осей координат) получим

(2-4)

и шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

(2-5)

Пример 2-1. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции, от нуля до 100 В, с точностью . Согласно (2-5) q = 2В. Из (2-3) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от – q /2 до + q /2 (рис. б). При достаточно большом числе уровней квантование N распределение погрешности квантования в пределах от – q /2 до + q /2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции . Средне – квадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования Так, на рис. г) показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U . Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q , уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

О восстановлении функции, квантованной по уровню . Квантование по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжения, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции была осуществлена, когда мы горизонтальными отрезками соединяли вертикальные отрезки, образуя функцию (рис. а).

Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции её отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени , или дискретизацией. На рис. а) показано, что горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же интервал квантования .

Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией в точках 1, 2, 3, ..., 9 и определяют значения функции, начиная с Это значит, что в интервале Т непрерывная функция будет передаваться не бесконечным рядом значений, а в данном случае всего лишь десятью значениями. Нахождение точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, как и в квантовании по уровню, собственно процесс квантование по времени и заканчивается.

В том случае, если желают восстановить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, например, ступенчатую. При этом проводят из точек 0, 1, 2, ..., 9 горизонтальные линии до пересечения их с вертикальными линиями, т.е. линии 0-1", 1- 2" и т.д. Далее точки 1"-1, 2"-2, 3"-3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию "(t ).

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т , т.е. чем меньше шаг квантования t , тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция Однако излишне малая величина t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Рис. Квантование сообщения по времени:

а – метод квантования и восстановление функции ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которого заключается в следующим: любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F макс, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значением, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд ограничений для практичного применения этой теоремы. Так, все сообщения, передаваемые в телемеханике, ограничения во времени. Это обычно видео или радио импульсы длительностью τ, у которых согласно (1-14) и (1-22) спектр бесконечен. Поэтому представляет значительные трудности выбор величины F макс в (2-7) для функции, ограниченных во времени. Так, например, если предавать синусоидальное напряжение с частотой в 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно (2-7) для восстановления его формы его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, например, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из – за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

практически теореме Котельникова можно принять со следующей поправкой:

(2-8)

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной η л = 0,75/и при ступенчатой η ст = (3-5)η л (δ – относительная погрешность в %)

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. для примера на рис. б) начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, величины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны токовым же на рис. а). на рис. б) показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆ 3 на одном участке нарастания функции λ(t ) достигается за период ∆t , на другом за ∆t 2 , а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участке 1` - 2`). Это зависит от скорости нарастания функции λ=dλ/dt . Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции . Так, из рис. а) следует, что если бы на участке кривой 5-6 имелся всплеск функции (пунктир), то выбранный шаг квантования t оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен (следовало бы взять шаг ).

Величина абсолютной погрешности показана на рис. б). Здесь, как и в квантовании по уровню, при расчетах следует учитывать или , или , т.е. в среднем /2. Это значит, что = 100/2. Подставляя отсюда значение в (2-9), а значение из (2-11), получаем

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример 2-2. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F = 50 Гц. Погрешности при восстановлении δ = 1% . Согласно (2-7) ∆t = 1/2*50*10 -3 =10мм, т.е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период τ= 1/(50*10 -3)=20мм]. η л.и. =0,75/ 0,75/ = 7,5, то для ступенчатой интерполяции η ст =25 и ∆t ст = 1/25*2*50*10 -3 =0,4 мсек.. Так же результат получается и из (2-11). Таким образом, при заданной точности восстановления, каждый полупериод синусоиды следует предавать одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной.

Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или используя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая интерполяция, и наиболее редко используется фильтрация по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. а) выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значения до появления следующего значения

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. б). Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1", 2", ..., 9". Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9. В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности:

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно, лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной, нужно знать наперед хотя бы одну точку, что опять требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент t 4 (рис. а), т. 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (т. 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t , неизвестно: то ли значение возрастает (т. 5), то ли уменьшится (т. 5 2).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра НЧ, который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из–за того, что амплитудно–частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Зачастую квантование по времени используется для осуществления амплитудно – импульсной модуляции.

Квантование

1.4. Дискретизация и квантование

Как уже отмечалось ранее, для описания различных информационных объектов используются различные функции времени. К ним относятся:

1. Непрерывная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.7).

Функция может принимать любые значения из бесконечного множества значений, расположенных в конечном интервале (x min , x max) , но только в фиксированные, наперед заданные моменты времени t k , k=0,1,2,...,n .

3. Дискретная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.9).

Значения, которые могут принимать аргумент t и функция x(t) , образуют конечные дискретные ряды, заполняющие соответствующие интервалы (t 0 ,t n) и (x min , x max) .

Во многих случаях переход от непрерывного сообщения (сигнала) к дискретному осуществляется специально, поскольку это обеспечивает значительные преимущества при передаче, обработке и хранении информации. В связи с тем, что каждому из дискретных значений конечного множества можно сопоставить число, возникает возможность перейти к цифровому представлению информации, что позволит использовать ЭВМ при ее обработке.

Для выполнения этого перехода над непрерывной функцией непрерывного аргумента осуществляются преобразования, называемые квантованием по времени или дискретизацией и квантованием по уровню. В дальнейшем во избежание путаницы под дискретизацией будем понимать квантование по времени, а квантование по уровню будем называть просто квантованием .

1.4.1. Дискретизация

Дискретизация сводится к замене непрерывной по аргументу функции, функцией дискретного аргумента. В результате непрерывная функция отображается конечным числом ее мгновенных значений, взятых через определенные (равные или неравные) промежутки времени Dt .

Таким образом, дискретизация представляет собой по сути разложение непрерывной функции на совокупность составляющих ее элементарных функций. Для решения этой задачи используется упомянутое ранее обобщенное преобразование Фурье .

Примером ортогонального базиса, кроме рассмотренных ранее гармонических функций, являются функции отсчета Котельникова. Наличие разнообразных базисов в различных областях (частотной и временной) говорит о возможности различных спектральных представлений процессов.

Однако при любом из них возникает вопрос о возможности сколь угодно точного восстановления мгновенных значений процесса, исходя из отсчетных или выборочных значений, взятых через определенные интервалы. Дискретизация должна производиться так, чтобы по отсчетным значениям или коэффициентам разложения можно было получить воспроизводящую функцию, которая с заданной точностью отображает исходную функцию.

Восстановление непрерывной функции по конечному числу ее значений на конечном интервале времени T=(t 0 ,t n) приводит к погрешности, зависящей от числа взятых значений этой функции на этом интервале, т.е. от частоты дискретизации и от выбранного способа восстановления (интерполяции).

Таким образом, при дискретизации приходится решать вопрос о том, как часто следует производить отсчеты функции, т.е. каков должен быть шаг дискретизации Dt или частота дискретизации f=1/Dt .

При малом Dt количество отсчетов на интервале Т будет больше, точность воспроизведения - выше, но увеличится и количество информации, которое нужно хранить, передавать, обрабатывать. При большом Dt соответственно наоборот.

Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает восстановление исходной функции с заданной точностью при минимальном количестве отсчетов. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходной функции. В случае неоптимальной дискретизации, кроме существенных, производятся и избыточные отсчеты. Эти отсчеты не нужны для восстановления исходной функции с заданной точностью. Наличие избыточной информации нежелательно при ее передаче, обработке и хранении, так как требует больших ресурсов. Устранение этой избыточности может производиться в процессе дискретизации, в связи с чем дискретизацию можно рассматривать не только как операцию по преобразованию непрерывного сообщения в дискретное, но и как один из методов устранения избыточности.

Методы дискретизации и восстановления непрерывных функций классифицируются по следующим основным признакам:

а) регулярность отсчетов,

б) критерии оценки точности дискретизации и восстановления,

в) вида базисной функции.

Регулярность отсчетов в многом предопределяет степень устранения избыточности и сложность устройств дискретизации и восстановления. В соответствии с этим признаком можно выделить равномерную и неравномерную дискретизации. Дискретизация называется равномерной, если Dt =const на всем интервале Т . Величина Dt выбирается на основе априорных сведений о характере дискретизируемой функции. Равномерная дискретизация применяется достаточно широко из-за простоты алгоритмов и аппаратуры для ее реализации. Однако при ее использовании возможна значительная избыточность отсчетов.

Дискретизация называется неравномерной, если Dt =var . Выделяются два вида неравномерной дискретизации: адаптивная и программная.

При адаптивных методах дискретизации Dt изменяется в зависимости от текущего изменения значений дискретизируемой функции. При программной дискретизации Dt изменяется в соответствии с заранее составленной на основе априорных сведений о поведении дискретизируемой функции программой.

В качестве критериев оценки точности дискретизации и восстановления чаще других используются следующие критерии:

а) наибольшего отклонения,

б) среднеквадратический,

в) вероятностный,

г) интегральный.

Все эти критерии предлагают метод оценки отклонения воспроизводимой функции от исходной (т.е. ошибки дискретизации) на каждом из интервалов дискретизации. Если максимальная величина ошибки дискретизации задана, то эти критерии позволяют выбрать величину интервала дискретизации Dt , который обеспечить требуемую точность воспроизведения.

Существуют два способа воспроизведения исходного сигнала: воспроизведение с экстраполяцией и воспроизведение с интерполяцией. Методы дискретизации с экстраполяцией воспроизводящей функции не требуют задержки сигнала в пределах интервала дискретизации, т.е. могут использоваться в системах, работающих в реальном масштабе времени. Дискретизация с интерполяцией требует задержки сигнала на интервал интерполяции.

Выбор системы базисных функций определяется, с одной стороны, требуемой точностью восстановления, с другой - требованиями ограничения сложности устройств и программ дискретизации и восстановления. Требованию простоты нахождения коэффициентов разложения прежде всего отвечают степенные алгебраические полиномы. Использование в качестве базисных ортогональных систем функций в ряде случаев оказывается целесообразным, так как для такой системы относительно просто вычисляются коэффициенты разложения, и вычисление их включает операцию интегрирования сигнала, что положительно сказывается на помехоустойчивости алгоритма дискретизации. Задача оптимального выбора конкретного узкого класса базисных функций может решаться лишь при наличии значительной априорной информации о характере дискретизируемой функции. Так, например, если известно, что сигналы являются периодическими, то поиск базисных функций следует направит в класс гармонических функций.

Тот факт, что функция времени, отображающая непрерывной сообщение или сигнал, является произвольной и случайной, означает, что она может иметь временные изменения любой скорости - от самых медленных до бесконечно быстрых скачкообразных изменений. Это, в свою очередь, означает, что такая функция имеет бесконечный спектр . Реальные сообщения обладают спектром, основная часть энергии которых сосредоточена в ограниченной полосе частот. Это обусловлено тем, что устройства, формирующие и преобразующие сообщения и сигналы, обладают конечной ограниченной полосой пропускания. Функции, описывающие такие реальные процессы, называют функциями с ограниченным или финитным спектром .

Для таких функций сформулирована и доказана теорема Котельникова , суть которой состоит в том, что функцию s(t) с финитным спектром можно точно восстановить по ее отсчетам s(kDt) , взятым через интервалы времени Dt=1/2f в , где f в - верхняя частота спектра функции. Это осуществляется с помощью разложения функции в ряд Котельникова .

Функции , образующие базис Котельникова, называют функциями отсчета. Они отличаются друг от друга только сдвигом по оси времени (рис. 1.11) на интервалы, кратные Dt .

Свойства функции отсчетов:

1) в моменты времени t=kDt , где k - любое целое число, j k достигает своего максимального значения равного единице;

2) в моменты времени t=nDt , где n - любое целое число, причем n¹k , j k =0;

3) функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени.

Теорема Котельникова обобщается и на случайные процессы. В этом случае она формулируется следующим образом: «Для случайного процесса X(t) с финитным спектром ряд Котельникова , где X(kDt) - сечения процесса X(t) , взятые через интервалы Dt , сходится в среднеквадратическом смысле к процессу X(t) ».

Фундаментальное значение теоремы Котельникова состоит в том, что она, во-первых, позволяет заменить исследование непрерывных процессов более простой задачей исследования дискретных процессов. Во-вторых, она позволяет наряду с частотным представлением процессов (разложение в гармонический ряд Фурье, спектральные функции) применять и временное представление - разложение во временной ряд.

Полезно сопоставить вид функции отсчетов и получаемое по теореме Котельникова значение Dt с результатами рассмотрения параметров квазибелого шума. Из этого сопоставления можно сделать вывод о том, что шаг дискретизации Dt не должен быть больше интервала корреляции t к дискретизируемого процесса.

Однако применение этой теоремы встречает некоторые трудности. Строго говоря, функция с ограниченным спектром не ограничена (не финитна) во времени и, наоборот, финитная функция времени имеет неограниченный спектр.

На практике часто приходится иметь дело с сообщениями и сигналами конечной длительности, энергия или мощность которых почти полностью сосредоточена в интервале времени от Т 1 до Т 2 и в полосе частот DF = f в - f н . Слово «почти» оправдывает применение к этим объектам теоремы Котельникова и позволяет представлять их не бесконечным рядом, а конечной суммой. Естественно, такое представление уже не является точным и выполняется с некоторой погрешностью.

Будем полагать, что вся энергия сигнала содержится в полосе частот до f в , а все отсчеты за пределами интервала (Т 1 , Т 2 ) равны нулю. Тогда .

Ограничение членов ряда конечным числом приводит к появлению ошибки, абсолютное значение которой равно , а относительное , где знаменатель представляет собой полную мощность сигнала x(t) , а числитель - часть его мощности, отброшенную при введении ограничения по времени и ограничения по спектру.

Очень полезной и более простой формулой для определения допустимой величины шага дискретизации Dt при заданной погрешности Dt для стационарного случайного процесса X(t) является формула , где - значение коэффициента корреляции процесса X(t) при аргументе Dt . Из этой формулы при заданной погрешности d д можно получить выражение для допустимой величины шага дискретизации , где - функция, обратная коэффициенту корреляции процесса X(t).

Не смотря на наличие указанной погрешности, достоинство такого преобразования состоит в переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному пространству сигналов, т.е. сигналов, финитных и по спектру и по времени. Размерность этого пространства определяется числом элементов суммы членов ряда, которое равно или .

Эту величину B=2DFT называют базой сигнала . Физически она указывает на количество отсчетов, необходимых для описания сигнала

Обобщая сказанное о дискретизации можно заключить:

1. Представление процесса в виде разложения по ортонормированному базису называется обобщенным преобразованием Фурье. Энергия сигнала равна сумме энергий всех элементов обобщенного ряда Фурье. Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум ошибки аппроксимации.

2. Ряд Котельникова представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье. Базисными функциями в этом случае являются функции отсчета, сдвинутые во времени относительно друг друга на интервалы, кратные 1/2f в . Коэффициентами ряда Котельникова служат отсчеты разлагаемого процесса, взятые через равные промежутки времени Dt=1/2f в . Если в спектре процесса отсутствуют составляющие с частотами выше f в , то ряд Котельникова дает точное в среднеквадратическом смысле представление процесса.

1.4.2. Квантование

После дискретизации реализации непрерывного процесса (сообщения) он может быть представлен совокупностью отсчетов, каждый из которых, вообще говоря, может иметь бесконечное множество значений. Реальные получатели сообщений имеют конечную разрешающую способность, т.е. весьма малый, но не нулевой интервал, внутри которого все разные значения отсчетов воспринимаются как одинаковые. Сказанное свидетельствует о целесообразности квантования. Квантование функции есть, по сути, отображение непрерывного множества ее возможных значений на конечное подмножество ее значений, каждое из которых представляется в виде одного из заранее определенных дискретных уровней, называемых уровнями квантования .

Под шагом квантования понимается разность Dx = x m -x m -1 значений соседних уровней квантования. Число уровней квантования n на единицу больше числа интервалов квантования n-1 . Если квантуемая функция x ограничена диапазоном от x min до x max , то n-1= (x max - x min)/ Dx .

При квантовании обычно истинное значение функции x отождествляется или заменяется значением x i , соответствующим ближайшему уровню квантования.

Естественно, замена истинных значений на значения уровней квантования приводит к ошибке e=x i -x , называемой ошибкой или шумом квантования .

Обычно полагается, что при равномерном квантовании, когда Dx=const, шум квантования – случайная величина с равномерным законом распределения в пределах шага квантования . Максимальная ошибка квантования не превосходит половины шага квантования Dx / 2 . Среднеквадратическая ошибка квантования равна корню квадратному из дисперсии равномерного распределения , т.е. в Ö3 раз меньше максимальной ошибки.

Таким образом, ошибка квантования уменьшается с уменьшением шага квантования Dx . Однако при уменьшении шага растет число уровней квантования, а, следовательно, растет и разрядность чисел, требуемая для их представления. Кроме того, при уменьшении шага квантования его величина может оказаться сопоставимой с уровнем помех. Так что к выбору величины шага квантования необходимо подходить с тех же позиций, что и к выбору шага дискретизации, т.е. выбирать оптимальный шаг квантования с точки зрения обеспечения минимума уровней квантования и заданной величины ошибки квантования.

Рассмотренное квантование производилось с постоянным шагом Dx=const, вследствие чего квантованная функция состояла из одинаковых по величине ступенек. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с различным приращением уровней, т.е. с переменным шагом квантования Dx=var . Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

Таким образом, после выполнения операций дискретизации и квантования непрерывное сообщение представляется конечной последовательностью отсчетов, величина которых может принимать только вполне определенные значения, соответствующие уровням квантования. Если сопоставить каждому уровню квантования число, то непрерывное сообщение в результате выполнения операций дискретизации и квантования будет представлять собой последовательность чисел из конечного интервала, т.е. будет представлено в цифровой форме.

Как говорилось в гл. 1, квантование - это дискретизация сигналов по уровню. Необходимость такой дискретизации вызвана тем, что для осуществления обработки сигнала цифровым фильтром каждое его значение должно быть описано числом, количество разрядов которого конечно. Иными словами, квантование равноценно округлению значений сигнала с точностью до еднницы последнего разряда.

Рис. 2.10. Характеристика квантования

Рис. 2.11. Квантование с логарифмической характеристикой

Квантование сигналов можно описать графически с помощью характеристики квантования (рис. 2.10), где по оси абсцисс отложены значения непрерывного сигнала, а по оси ординат - значения квантованного сигнала. Величину шага квантования А выбирают, исходя из необходимой точности передачи сигнала. Квантование с постоянным шагом называют равномерным. Равномерное квантование сигналов является наиболее простым и распространенным.

Однако равномерное квантование в отдельных случаях оказывается неудобным. Например, если передаваемый сигнал может принимать очень большие и очень маленькие значения, то при постоянной величине интервала квантования относительная точность передачи малых значений сигнала оказывается значительно хуже, чем больших значений. В этих случаях иногда применяют нелинейное,

например логарифмическое квантование (рис. 2.11), когда шаг квантования пропорционален логарифму входного напряжения. При квантовании малых значений сигнала шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала - достаточно высокой. При больших значениях входного сигнала интервал квантования увеличивается. Таким образом, использование логарифмического квантования позволяет получить высокую точность передачи сигнала при не слишком большом числе квантованных уровней сигнала.