Восстановление сигналов. Восстановление непрерывного сигнала. Погрешности дискретизации и восстановления сигнала. Восстановление непрерывного сигнала U(t) с помощью интерполяционного метода

Восстановление сигналов сводится к оценке некоторого числа неизвестных параметров полезного сигнала. Ограничимся рассмотрением случая оценки одного из параметров сигнала, например амплитуды В , при заданной форме сигнала. При этом помехи будем полагать аддитивными типа белого гауссова шума. Представим полезный сигнал в виде

где f (t) - известная функция времени; В - параметр сигнала.

Задача состоит в том, чтобы по принятой выборке Y определить, каково значение параметра В в полезном сигнале X .

В отличие от случаев обнаружения и различия сигналов здесь имеет место бесконечное множество возможных значений параметра В и, соответственно, бесконечное множество гипотез. Методы, рассматриваемые в случае двухальтернативных и многоальтернативных ситуаций, применимы и для задачи восстановления сигнала.

Произведем оценку параметра В методом максимума правдоподобия. Если отсчет принятого сигнала производится в дискретные моменты времени, то функция правдоподобия для параметра В будет равна

(2.38)

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение параметра В для которого функция правдоподобия максимальна. Максимуму функции правдоподобия соответствует минимальное значение показателя степени в выражении (2.38)

Из условия минимума

откуда получаем оценочное значение параметра

(2.39)

Осуществив переход к непрерывному примеру, получим

(2.40)

На рис. 2.3 приведена схема решающего устройства, осуществляющего операцию оценки параметра сигнала. Устройство содержит генератор сигнала f(t) , множительное звено МЗ, осуществляющее умножение y(t) на f(t) , и интегратор, производящий интегрирование произведения y(t)f(t) .

Для оценки точности восстановления сигнала используем критерий среднеквадратического отклонения. С этой целью в (2.40) принимаемый сигнал выразим в виде суммы y(t) = Bf (t) + (t) . Тогда 2.40

Рис 2.3 Устройство оценки неизвестного параметра

Погрешность восстановления

Дисперсия погрешности

Среднее от произведения представляет корреляционную функцию помехи

где G o - спектральная плотность помехи; - дельта-функция;

Следовательно, среднеквадратическое значение погрешности восстановления

Задача восстановления сигнала может быть также решена методом оптимальной фильтрации. В общем виде формулировка следующая. Пусть колебание , принятое на некотором интервале времени, является функцией от сигнала и шума :

(2.42)

Сигнал может зависеть не от одного, а от нескольких параметров , причем либо сам сигнал , либо его параметр являются случайными процессами. Вид функции , т.е. способ комбинирования сигнала и шума, и их некоторые статистические характеристики полагаются априорно известными. Исходя из них, необходимо определить структуру устройства (рис. 1), решающего оптимальным образом, какая реализация самого сигнала или его параметра содержится принятом колебании.

Рис. 2.4 Решающее устройство

Из-за наличия шума и случайного характера сигнала оценка реализаций сигнала или его параметра не будет совпадать с истинной реализацией, т.е. будут иметь место ошибки фильтрации. Для количественной оценки качества фильтрации чаще используются критерии минимума среднеквадратической погрешности, критерий максимального отношения сигнал/шум и критерий максимума апостеорной вероятности. Рассмотрим задачу линейной фильтрации, также будем предполагать, что сигнал и шум взаимодействуют аддитивно, т.е.

Остановимся в начале на критерии минимума среднеквадратической ошибки. Считаем, что сигнал и шум представляют собой стационарные нормальные, случайные процессы с известными корреляционными функциями

Необходимо определить систему, которая из принимаемой смеси

С минимальной среднеквадратической ошибкой выделяет полезный сигнал . Т.е. искомая оптимальная система должна минимизировать величину

(2.43)

Необходимо определить структуру фильтра (рис. 2.4)

При оценка на выходе системы должна предсказывать (прогнозировать) значение входного сигнала на вперед, при задача сводится к выделению (сглаживанию) сигнала из колебания .

Строгое решение данной задачи было получено А. Н. Колмогоровым и Н. Винером.

Они показали, что оптимальное устройство относится к классу линейных фильтров с постоянными параметрами. Проиллюстрируем их результаты. Предположим, что на вход физически реализуемой линейной системы (рис. 2.4) с импульсной характеристикой

(2.44)

Воздействует стационарный случайный процесс . При этом стационарный случайный процесс на ее выходе будет определяться соотношением

(2.45)

Подставляя (2.45) в (2.43) получим следующее выражение для среднеквадратичной ошибки фильтрации:

Которая после несложных преобразований приводится к виду:

Здесь - взаимная корреляционная функция процессов и

а - автокорреляционная функция случайного процесса

Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, пользуются следующим приемом вариационного исчисления. Пусть:

где - параметр, не зависящий от , а - произвольная функция. При этом условие минимума среднеквадратичной ошибки принимает вид

После подстановки (8) в (5) условие (9) принимает вид:

Последе соотношение должно выполняться при произвольной функции , отсюда следует, что импульсная характеристика должна удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма первого рода

(10)

Это уравнение является основным уравнением теории линейной фильтрации и называется уравнением Винера-Хопфа.

Таким образом, задача нахождения оптимального сглаживающего или прогнозирующего физически реализуемого фильтра сводится к решению интегрального уравнения (10). Это решение имеет определение сложности, обусловленные в основном требованием физической реализуемости оптимального фильтра. В частном, но важном с практической точки зрения случае дробно-рациональной спектральной плотности входного процесса из (10) можно получить следующее выражение для передаточной функции :

(12)

При этом минимальная среднеквадратичная ошибка фильтрации равна

(13)

где, (14)

Для частного случая сглаживания аддитивной смеси взаимно независимых стационарного случайного процесса и белого шума с функцией корреляции

Формула (11) упрощается:

Где индекс + означает, что если выражение в квадратных скобках разложить на простые дроби, то в разложении должны быть оставлены только те из них, которые соответствуют полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Все простые дроби функции , соответствующие полюсам в нижней полуплоскости, а так же целая часть должны быть отброшены. Минимальная среднеквадратичная ошибка для рассматриваемого случая может быть вычислена по формуле

Все равно практическим вычислениям по вышеуказанным формулам оказываются громоздкими. Значительное упрощение получается, если не накладывать на оптимальный фильтр требования физической реализуемости (3), т.е. полагать в (4) и в последующих формулах нижний придел равным . При этом вместо уравнения (10) получаем интегральное уравнение:

(15)

решение которого приводит к следующему выражению для передаточной функции физически нереализуемого фильтра:

(16)

Минимальная среднеквадратическая ошибка в этом случае вычисляется по формуле (13). Для частного случая статистически независимых сигнала и шума , имеющих нулевые средние значения, формула (16) приводится к виду:

Хотя последние соотношения соответствуют физически нереализуемым оптимальным фильтрам, они полезны, так как любой физически реализуемый фильтр не может дать меньшей среднеквадратической ошибки, чем фильтры, определенные выражением (16). Это объясняется тем, что наложение на фильтр условия физической реализуемости (3) сужает возможности выбора оптимальной характеристики фильтра и по этой причине привести лишь к ухудшению конечного результата.

В заключении отметим, что выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения будет иметь вид

Из которого следует, что идеальная фильтрация возможна только в случае, когда , т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются.

Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал , в спектре которого не содержится частот выше , полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, отсчитанных через интервал времени и может быть представлен рядом

.

Ряд(2) называют рядом Котельникова. Если представить (2) в следующем виде:

,

,

то (в соответствии с выражением (1) - система базисных функций, а - коэффициенты ряда.
Система базисных функций ортогональна на интервале времени , т.е.

Выражение(5) – это выражение для энергии базисной функции. При выражение (5) соответствует взаимной энергии. Т.к. взаимная энергия равна нулю, то система базисных функций ортогональна.
Каждая из базисных функций сдвинута относительно ближайшей функции и на время

,

соответствующее временному интервалу дискретизации между двумя отсчетными точками, которые иногда называют интервалом Найквиста.
Функция , изображенная на рис. 1. обладает свойством

где - любое целое положительное или отрицательное число.

Рис. 1. График базисной функции

Рис. 2 поясняет аппроксимацию непрерывного сигнала рядом Котельникова. На графике построены три члена ряда (2), соответствующие отсчетам функции в моменты времени , , . При суммировании этих членов ряда в точках отсчетов ( , , ) получаем точные значения сигнала . Следовательно, в отсчетные моменты времени непрерывный сигнал аппроксимируется точно независимо от числа взятых отсчетов, т.е. от числа членов ряда Котельникова. Между отсчетами () сигнал аппроксимируется точно только в том случае, когда суммируются все члены ряда (2) и соблюдается условие сформулированное в теореме Котельникова.

Рис. 2. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова

Согласно формуле (2) ряд Котельникова может использоваться для восстановления непрерывного сигнала без погрешностей. Однако в реальной ситуации погрешности возникают. Рассмотрим их источники.
На практике ряд Котельникова ограничен. Сигнал, ограниченный во времени приближенно описывается рядом (8), состоящим из конечного числа членов:

.

При суммировании членов ряда (8) сигнал воспроизводится точно только в точках отсчетов . В промежутках между отсчетами возникает погрешность аппроксимации, которая возникает у краев интервала , где отброшенные члены ряда имеют наибольшее значение.
Вторым источником погрешности является то, что реальные сигналы ограничены во времени и обладают, следовательно, неограниченным по частоте спектром. Однако вне некоторой полосы частот составляющие реальных сигналов обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова. Это приближение является источником погрешности.

Рис. 3. Приближенное представление сигнала, ограниченного по времени и частоте

Третьим источником погрешности является неидеальность дискретизации, заключающаяся в том, что значения соответствует не моменту времени (функция дискретизации – последовательность дельта-функций), а небольшому интервалу с длительностью (функция дискретизации – последовательность прямоугольных импульсов).

Восстановление дискретизированного сигнала с помощью степенных полиномов, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации. Виды аппроксимации, погрешность аппроксимации

При аппроксимации сигнал на каждом участке между его известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону:
· горизонтальной прямой при ступенчатой аппроксимации;
·отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной аппроксимации;
· участком параболы при параболической аппроксимации.

Разность между аппроксимированным, т.е. восстановленными и действительными промежуточными значениями функции называют погрешностью аппроксимации.

Таким образом погрешность аппроксимации определяется выражением

Погрешность от аппроксимации зависит от:
· скорости изменения ;
· способа аппроксимации;
· интервала дискретизации.
Погрешность аппроксимации увеличивается с увеличением скорости изменения сигнала, уменьшается с усложнением вида аппроксимации, увеличивается с увеличением интервала дискретизации. Примеры аппроксимации приведены на рис. 4.

Рис. 4. Примеры аппроксимации: а) исходный сигнал; б) дискретизированный сигнал; в) сигнал, восстановленный с помощью ступенчатой аппроксимации; д) сигнал, восстановленный с помощью кусочно-линейной аппроксимации; г), е) – графики погрешностей аппроксимации.

Ступенчатая аппроксимация

При ступенчатой аппроксимации используется степенной полином нулевого порядка, т.е. аппроксимация производится отрезком горизонтальной прямой, начинающимся с момента измерения, предшествующему интервалу восстановления.

Максимальное значение погрешности от аппроксимации в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения.

.

Выражение (11) может быть использовано для расчета необходимой частоты дискретизации при заданной модели сигнала.

Пример 1
Если принять для расчета модель Берштейна, которая справедлива для стационарных случайных функций с равномерным спектром в полосе частот сигнала от до , то , где - максимальное значение амплитуды сигнала.
Тогда , а приведенная погрешность аппроксимации равна

.

Тогда при заданной погрешности аппроксимации частота дискретизации равна

Т.е., при .
Таким образом при использовании модели Бернштейна при погрешности аппроксимации 1% частота дискретизации должна быть в 628 раз больше частоты сигнала.
Пример 2
Считают, что использование модели Бернштейна приводит к завышенным требованиям к частоте дискретизации. Если принять более реальную модель, когда амплитуды гармонических составляющих с номером

Если период дискретизации

достаточно мал, так что выполняется условие то соседние составляющие спектра дискретизированного колебания не перекрываются, как показано на рис. 2.5, а. В этом случае легко указать способ восстановления непрерывного колебания из дискретного, который состоит в том, что дискретный сигнал следует пропустить через идеальный фильтр нижних частот с полосой пропускания (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Спектр дискретного колебания в виде последовательности модулированных импульсов частотная характеристика фильтра нижних частот и спектр восстановленного сигнала

При этом из спектра дискретизированного сигнала будет выделена средняя часть (рис. 2.5, в), которая с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром исходного непрерывного колебания

Однако если исходное непрерывное колебание таково, что его спектр с ростом частоты не обращается строго в нуль, то при любом выборе интервала дискретизации соседние составляющие спектра дискретизированного колебания будут частично перекрываться (рис. 2.6, а). Если сигнал с таким спектром пропускать через идеальный фильтр нижних частот, то на выходе фильтра получится колебание, отличающееся от исходного непрерывного сигнала Это отличие состоит не только в том, что «отрезана» часть спектра выше частоты но также и в том,

что на спектр этого колебания накладываются «хвосты» от соседних спектральных составляющих (рис. 2.6, б).

Наиболее простой и очевидный способ уменьшения ошибки дискретизации - это повышение частоты дискретизации. Однако для получения достаточно малой ошибки частоту дискретизации приходится брать очень высокой, особенно если спектр сигнала убывает медленно, что в ряде случаев бывает нежелательно.

Рис. 2.6. Ошибки дискретизации сигнала со спектром, убывающим асимптотически: а - спектр дискретизированного сигнала; б - спектр сигнала после прохождения через идеальный фильтр нижних частот; в - спектр сигнала ошибки

Для уменьшения погрешности дискретизации можно перед дискретизацией пропустить сигнал через фильтр нижних частот с частотной характеристикой, близкой к прямоугольной. При этом спектр сигнала становится быстро убывающим, почти ограниченным, и дальнейшая дискретизация происходит практически без ошибок. Результирующая ошибка в этом случае определяется искажениями спектра при прохождении сигнала через фильтр нижних частот. Вследствие того, что на спектр сигнала в области частот не накладываются «хвосты» от соседних составляющих, эта ошибка получается приблизительно в 2 раза меньше, чем при непосредственной дискретизации сигнала.

Пропускание сигнала через фильтр нижних частот перед дискретизацией является очень полезной мерой для снижения погрешности, если дискретизация сигнала производится при наличии широкополосного шума на входе. При прохождении через фильтр нижних частот дисперсия шума уменьшается и соответственно уменьшается ошибка дискретизации.

Рис. 2.7. Ошибки восстановления сигнала при неидеальной характеристике фильтра нижних частот: а - спектр дискретизированного сигнала; б - характеристика ФНЧ; в - спектр сигнала на выходе ФНЧ

Еще одним источником ошибки является неидеальная фильтрация в процессе восстановления непрерывного сигнала из дискретного. Идеальная прямоугольная форма частотной характеристики фильтра нижних частот практически не может быть реализована; для сглаживания сигнала обычно применяют фильтры, имеющие монотонно спадающую характеристику (рис. 2.7, б). Если на вход такого фильтра подать дискретизированный сигнал со спектром, изображенным на рис. 2.7, а, то на выходе фильтра помимо основного сигнала, которому соответствует центральная часть спектра, появятся дополнительные составляющие, вызванные неполным подавлением боковых частей спектра (рис 2.7, в). Вследствие этого восстановленный сигнал будет отличаться по форме от исходного непрерывного сигнала. Главный метод борьбы с этими

погрешностями состоит в увеличении частоты дискретизации. Однако увеличение частоты дискретизации приводит к усложнению и удорожанию устройства обработки сигналов. Поэтому в каждом конкретном случае приходится искать компромиссное решение, исходя из характера сигнала, требуемой точности его восстановления, характеристик применяемого сглаживающего фильтра и других факторов. Все это приводит к тому, что в реальных устройствах частота дискретизации выбирается равной не как следует из теоремы Котельникова, а в 2-5 раз выше.

Рис. 2.8. Сигнал с конечной длительностью и его спектр

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Если функция x(t), удовлетворяющая условиям Дирихле и обладающая спектром с граничной частотой, дискретизирована циклически, с периодом, то она может быть восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности. (сек) (Гц).

Представление сигнала посредством выборок. Теорема В.А.Котельникова

Как мы уже говорили, при оцифровывании сигнала делаются выборки, при этом, для получения значения сигнала применяют дискретизацию и квантование. В ряде случаев, моменты взятия выборок устанавливаются на оси времени случайно, при этом информация о форме сигнала теряется. По случайным выборкам мы можем определить только плотность распределения вероятностей. Таким образом, случайные выборки дают нам статистическую информацию о величине входного сигнала. Это означает, что таким способом мы можем измерить среднеквадратическое и пиковое значения входного сигнала, определить диапазон принимаемых им значений, но форму сигнала и его спектр мы определить не сможем.

Во многих случаях взятие выборок сигнала осуществляется в равноотстоящие моменты времени. Тогда важно решить вопрос о том, как много выборок надо брать в единицу времени, чтобы иметь возможность достаточно полно описать непрерывный по времени сигнал. Ответ на этот вопрос даёт теорема В.А.Котельникова. В иностранной технической литературе Вы можете столкнуться с другим названием этой теоремы, которая трактуется как теорема Шеннона о выборках.

В этой теореме утверждается, что для восстановления без ошибок исходного сигнала по его выборочным значениям, взятым через равные промежутки времени, частота взятия выборок должна более, чем вдвое превосходить частоту самой высокочастотной составляющей, присутствующей в непрерывном входном сигнале. Строго говоря, текст теоремы В.А.Котельникова звучит следующим образом:

Условие Дирихле означает, что функция ограничена, кусочно непрерывна и имеет ограниченное число экстремумов.

Особенностью сигнала, дискретизированного в соответствие с теоремой Котельникова является то, что он может быть восстановлен с помощью фильтра нижних частот. Следовательно, если дискретизированный с шагом сигнал х(t)дискр. подать на вход идеального фильтра с верхней границей пропускания , то на выходе получается восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал х(t) (Рис)

Рис.. Схема дискретизации и восстановления сигнала

Рассмотрим передачу нескольких сигналов по одной линии связи, для этого их необходимо дискретизировать. Эта операция реализуется с помощью коммутатора, затем информация передаётся по линии связи и далее, зная частоту работы коммутатора, мы можем восстановить её на другом конце линии связи (рис.). Частота опроса коммутатора должна быть n, где n - число измерительных преобразователей.

Теорема Котельникова позволяет производить преобразования аналогового сигнала в цифровой, необходимый для его дальнейшей обработки с помощью средств вычислительной техники. Выбор шага дискретизации по Котельникову гарантирует сохранность в дискретном представлении сигнала, всей информации о его спектральном составе. Для преобразования аналогового сигнала в цифровой используют АЦП. Частота дискретизации АЦП в соответствии с теоремой Котельникова , где - верхняя граничная частота сигнала.

Рис. Передача информации по одной линии связи

При обратном цифро-аналоговом преобразовании роль фильтра нижних частот выполняет микросхема ЦАП. Число разрядов АЦП и ЦАП преобразования определяют точность передачи амплитуды сигнала, т.к. определяют уровни дискретизации амплитуды сигнала. Таким образом, в компьютер поступает информация о сигнале в виде точек.

Рис. Дискретизация сигнала после АЦП

Обычно микросхемы АЦП выпускаются в одном корпусе с коммутаторами на n каналов. При этом в паспорте регламентируется частота опроса, которая может использоваться как для опроса n каналов, так и для опроса 1 канала. Ввод в компьютер информации производится через последовательный порт, например в стандарте RS-232.

В связи с этим проектант в каждом конкретном случае принимает решение об использовании нужной микросхемы с необходимым числом каналов, необходимой частотой опроса и числом разрядов АЦП преобразования.

Следует отметить, что дополнять измерительную схему фильтром нижних частот не всегда удобно, кроме того, наличие такого фильтра приводит к фазовым искажениям сигнала. От этих недостатков свободно восстановление сигнала методом простейшей интерполяции.

При этом методе полученные точки просто соединяются между собой отрезками прямых линий. Очевидно, что в этом случае плавные участки, близкие к прямым линиям, восстанавливаются с малыми погрешностями, а максимальная погрешность восстановления получается на участках с максимальной кривизной (рис.).

Известно, что любую кривую x(t) на некотором участке можно разложить по степеням t, т. е. описать многочленом. В простейшем случае, используя лишь первые члены разложения, участок кривой между отсчетами можно представить в виде параболы, тогда погрешность линейной интерполяции будет представлять собой разность между этой параболой и ее хордой, соединяющей смежные отсчеты. Как известно, парабола имеет наибольшее отклонение от хорды в середине интервала интерполяции t 0 с абсолютным значением (D m на рис.)

где - значение второй производной процесса х(t) т. е. оценка его кривизны. Отсюда максимальное значение погрешности восстановления наблюдается на участках кривой с наибольшей кривизной (в области максимумов и минимумов процесса предст. на рис.).

Если нас интересует не абсолютная погрешность D m , а ее приведенное значение , где x k - предел измерений, то можно определить максимальный допустимый период дискретизации t ц при котором погрешность восстановления не будет превышать g m :

Так как любую сложную кривую можно разложить на ряд гармонических составляющих, то определим необходимый период дискретизации для синусоидального процесса. При x(t)=x k sinwt оценка текущей кривизны , а ее максимальное значение . Отсюда необходимый период дискретизации для синусоидального процесса

(3)

Соотношение (3) воспринимается более наглядно, если его помощью вычислить число точек п, приходящихся на каждый период Т синусоидального процесса:

(4)

Это соотношение дает:

g m	0,1
n

Таким образом, для восстановления синусоидального процесса с максимальной погрешностью 1 % при равномерной дискретизации необходимо иметь 22 отсчета на период процесса, но для представления с погрешностью 0,1% нужно не менее 70 отсчетов на каждый период, а для g m =20% достаточно пяти отсчетов на период.

Исходя из соотношения (4), можно подсчитать минимальный период или максимальную частоту процесса, который может быть зарегистрирован с заданной максимальной погрешностью g m . Данные о максимальных погрешностях при использовании некоторых приёмов и средств приведены в табл. и свидетельствуют о том, что без использования специальных средств могут быть зарегистрированы лишь очень медленные процессы (с периодом 0,2-2 с).

Выражая g m из выражения (3) или (4) получаем

(5)

т. е. динамическая погрешность восстановления g m возрастает е квадратом частоты восстанавливаемого процесса.

На практике чаще всего приходится измерять существенно несинусоидальные процессы, содержащие гармонические составляющие или высокочастотные составляющие шумов, помех или наводок. В этих случаях динамическая погрешность восстановления процесса по дискретным отсчетам резко возрастает, о чем исследователь должен всегда помнить.

Рассмотрим это свойство погрешности восстановления на конкретном примере. Так, в табл. указано, что при использовании АЦП с периодом дискретизации t ц =30 мкс исследуемый процесс с частотой f 1 =500 Гц восстанавливается с g m 1 »0,1%. Действительно, рассчитывая g m 1 по формуле (5), получаем

что часто можно считать достаточно высокой точностью восстановления. Однако если в кривой этого процесса содержится дополнительно еще 10-я гармоника с частотой f 10 =5000 Гц и амплитудой в 0,1 основной волны, она будет восстанавливаться с относительной погрешностью g m 10 , в 100 раз большей, чем g m 1 , т. е. равной 10%. Правда, так как амплитуда этой гармоники в 10 раз меньше амплитуды основной волны, то приведенное значение этой погрешности составит лишь g m 10 =1% Тем не менее результирующая погрешность восстановления всего процесса будет в 10 раз (!) больше, чем погрешность восстановления g m 1 =0,1% процесса, не содержащего этой высокочастотной составляющей.

Погрешность восстановления для основной волны и ее гармоник является систематической (она всегда отрицательна, см. рис. и приводит к уменьшению восстанавливаемой амплитуды кривой), однако если высокочастотная составляющая вызвана шумом или другими помехами и не синхронна с основной волной, то и погрешность восстановления оказывается случайной и наблюдается в виде случайного разброса отсчетов.

При ручной регистрации наблюдений подобный разброс данных будет сразу замечен экспериментатором и он примет соответствующее решение о ходе эксперимента. Рассмотренное явление особенно опасно при автоматическом вводе данных в компьютер и подчеркивает крайнюю важность метрологического анализа динамических погрешностей в этом случае.

Однако в связи с постоянным увеличением быстродействия компьютеров этот способ дискретизации и восстановления становится очень привлекательным.

5.5 Фильтрация сигналов

Операция выделения из спектра сигнала определенной полосы частот называется фильтрацией. Фильтры подразделяются на фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б) и полосовые фильтры (в).

Рис. Виды фильтров.

Фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б), полосовые фильтры (в)

Простейшие аналоговые фильтры состоят из R-C цепочек, для увеличения крутизны фильтры делают многозвенными.

Цифровая фильтрация заключается в том, что сигнал x(t) пропускают через математический фильтр, в котором реализуется требуемая характеристика.

5.6 Модуляция и детектирование

Воздействие измерительного сигнала x(t) на какой-либо стационарный сигнал называют модуляцией.

В качестве стационарного сигнала, называемого носителем, выбирают синусоидальное колебание

и последовательность импульсов

Выделение из модулированного сигнала составляющей, пропорциональной измеряемому сигналу, называется детектированием.

Синусоидальное колебание (6) определяется амплитудой , частотой , и фазой . Все эти величины можно модулировать. В результате получаем амплитудную модуляцию АМ, частотную модуляцию ЧМ и фазовую модуляцию ФМ.

Рис. Виды модуляций

Модуляцию можно характеризовать как умножение модулируемой величины y(t) на множитель 1+mx(t) , где х(t) - модулирующая функция такая, что , а m - глубина модуляции, причем 0

При амплитудной модуляции

Если , выражение преобразуется

Отсюда следует, что модулированное колебание состоит из трех колебаний с частотами , и .

Частота называется несущей, а частота и боковыми частотами. Если модулирующий сигнал является периодической функцией.

то модулированный сигнал у(t), будет

Видно, что модулированное колебание состоит из несущей частоты и двух групп, называемых боковыми полосами.

Для детектирования производят обратные манипуляции, разлагая функцию в ряд.

При частотной модуляции частота модулированного сигнала изменяется по закону

или, если , то

Подставляя (7) в (6) и учитывая, что мгновенная фаза есть интеграл от частоты в выражении (6), получим

В этом выражении - коэффициент частотной модуляции, зависящий от амплитуды модулирующего сигнала.

Представим это выражение в виде

При больших значениях коэффициента m г это выражение является очень сложным и его можно выразить в виде рядов по функциям Бесселя. В целях упрощения предположим, что mг<<1, тогда

В связи с этим выражение (8) принимает вид

Таким образом, при mг<<1 спектр частотно-модулированного сигнала не отличается от спектра АМС. Если условие mг<<1 не выполняется, т.е. имеет место глубокая частотная модуляция, то спектр модулированного сигнала будет содержать не две боковые частоты, а множество частот. Поэтому спектр ЧМ сигнала в общем случае больше спектра АМ сигнала.

Детектирование производится аналогично АМ сигналу.

При фазовой модуляции модулирующий сигнал воздействует на несущие колебания

Если модулирующий сигнал , то

где - коэффициент фазовой модуляции, зависящий от амплитуды модулирующего сигнала.

В сигнале (10) информативным параметром является фаза , преобразуем сигнал (10)

Сравнивая последнее выражение и выражение (9), можно сделать вывод, что сигналы ФМ и ЧМ совпадают. Различие же состоит в том, что коэффициент ЧМ зависит от частоты модулирующего сигнала, тогда как коэффициент ФМ не зависит от частоты.

Это обстоятельство требует введения соответствующей коррекции сигнала после детектирования.

Детектирование производится аналогично АМ и ЧМ сигналам, при этом для получения фазы необходимо произвести интегрирование

Если в качестве модулируемого сигнала используется периодическая последовательность импульсов, то получим импульсную модуляцию (Рис.).

При этом имеем амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), фазоимпульсную модуляцию (ФИМ) и широтно-импульсную модуляцию (ШИМ).

Если АМ, ЧМ, ФМ применяются в основном для аналоговых сигналов, хотя АМ применяется и для цифровых, то импульсные модуляции применяются в основном для цифровых сигналов.

Рис. Импульсные виды модуляций