Вредоносное ПО (malware) - это назойливые или опасные программы,...
Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
T, 0 С | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 17 |
Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2) положительное направление, указываемое стрелкой;
3) масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .
Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.
Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).
Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.
Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.
Функции задаются:
1) аналитически (в виде формулы), например, ;
2) графически (в виде графика);
3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:
1. Степенная функция : , где? - действительное число.
2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.
3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.
4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,
y = sec x, y = cosec x.
5. Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,
y = arccosec x .
Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y = Рx Р = ; ; .
Пример 1 . Найти, если.
Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :
Тогда получим
Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
Решение . а) Так как, то
т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.
б) Имеем, т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь,т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Пример 3
Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:
Пример 4 . Найти область определения функции.
Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).
Пример 5. Найти область определения функции
Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем
Следовательно, областью определения будет сегмент
Скачать с Depositfiles
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция № 13. Тема 1 : Функции
1.1. Определение функции
При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s , скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t .
В этом случае изменение одной величины (t ) произвольно, а другая (s ) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.
Пусть заданы два множества X и Y .
Определение.
Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент
, при этом пишут
или
.
Элемент называется
аргументом функции
f
, а элемент
значением функции.
Множество
X
, при котором функция опреде-лена, называется
областью определения функции
, а множество
Y
областью изменения функции
. Эти множества соответственно обозначаются
и
.
Примеры функций:
1. Скорость свободного падения тела
. Здесь
X
и
Y
множества действительных неотрицательных чисел.
2. Площадь круга
. Здесь
X
и
Y
множества положитель-ных действительных чисел.
3. Пусть
X
множество студентов группы, т.е.
, а
множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции
f
рассматривается критерий оценки знаний.
В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки) :
отрезок;
интервал;
числовая ось (множество действительных чисел);
или окрестность точки a .
а
х
Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y , то таким правилом определена многозначная функция . Например, .
Примеры. Найти области определения и значений функций :
1. .
2. .
3. .
4. .
1.2. Способы задания функции
1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
.
В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы): для всех, любых; существует, можно указать.
Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется
возрастающей
(убывающей
) на некотором промежутке, если
из этого промежутка выполняется неравенство
или
и пишут
или
соответственно
.
Возрастающие и убывающие функции называются
монотонными
. Функция называется
ограниченной
на некотором промежутке, если
выполняется условие
. В противном случае функция называется
неограниченной.
Функция называется четной (нечетной ), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида .
Функция называется
периодической
с периодом
Т
, если выполня-ется условие
.
Например, функция
является возрастающей
и убывающей
.
Функция
является монотонной . Функция
ограничена для , так как
. Функции:
являются четными, а функции
нечетными. Функция
периодическая с периодом
.
Функция может быть задана и уравнением вида
(1)
Если существует такая функция , что
, то уравнение (1) определяет функцию заданную
неявно
. Например, в приме-ре
2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию
.
Пусть
, а
, тогда функция
называется
сложной функцией
или
суперпозицией
двух функций
F
и
f
.
Например, в примере
3 функция является суперпозицией двух функций
и
.
Если в качестве аргумента рассмотреть переменную
у
, а в качестве функции – переменную
х
, то получим функцию, которая называется для однозначной функции
обратной
и обозначается
. Например, для функции
обратной функцией служит
или
, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.
Замечание 2.
Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ
). Например, поставим в соответствие каждому числу
число
1, а каждому
число
0. В результате получим единичную функцию
Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.
Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.
2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.
d
Функцию можно задавать с помощью таблиц:
3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y . Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.
х 1 |
х 2 |
x 3 |
x n |
||
у 1 |
у 2 |
у 3 |
у n |
Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.
1.3. Элементарные функции
К
основным
или
простейшим
элементарным функциям относятся:
.
целая часть числа, где
x
наибольшее целое число, не превосходящее
x
, например,
.
Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.
Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x .
Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой , а вторая – зависимой переменной.
Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x ).
Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.
Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией .
Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью ее значений .
Существует ряд способов задания функции:
а) наиболее простой - аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x , при которых формула имеет смысл;
б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x ) используется координатная плоскость (xy ).
Совокупность точек y , соответствующих заданным значениям x , определяет график функции на плоскости (xy );
в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.
5.2. Основные свойства функций
Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:
Четность. Функция y = f (x ) называется четной , если для любого значения x , принадлежащего области определения функции X , значение (–x ) тоже принадлежит X и при этом выполняется
f (–x ) = f (x ).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция y = f (x ) называется нечетной , если для любого x X следует (–x ) X и при этом
f (–x ) = –f (x ).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция y = f (x ) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида .
Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей на некотором интервале (a , b ), если для любых x 1 , x 2 (a , b ), таких,
что x 1 < x 2 , следует, что f (x 1) < f (x 2), и убывающей , если f (x 1) > f (x 2).
Возрастающую и убывающую на интервале (a,b ) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b ) - интервалом монотонности этих функций.
В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными , а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).
Ограниченность. Функция y = f (x ) называется ограниченной на интервале (a , b ), если существует такое число С > 0, что для любого x (a , b ) следует |f (x )| < C , и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a , b ), что |f (x )| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a , b ).
Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.
Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической , если существует такое число t , что для любого x X выполняется
f (x + t ) = f (x ).
Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т .
Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.
5.3. Элементарные функции и их графики
К элементарным функциям относятся:
а) простейшие элементарные функции
1. Константа y = c , где с - постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x .
2. Степенная функция , где - любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n ), целых отрицательных ( = –n ) и дробных ( = 1/n ) значениях представлен ниже.
4. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a 1).
5. Тригонометрические функции : y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .
6. Обратные тригонометрические функции .
y = arcsin x y = arccos x
y = arctg x y = arcctg x
б) сложные функции
Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция
тоже является элементарной функцией.
Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log 2 y . Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид
z = log 2 (sin x ).
Также можно ввести понятиеобратной функции .Пусть y = f (x ) задана в области определения X , а Y - множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y 0 и по нему найдем x 0 так, чтобы y 0 было равно f (x 0).Подобных значений x 0 может оказаться и несколько.
Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x . Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y ), которая называется обратной для функции y = f (x ).
Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y , то значение x , удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log a y . То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log a y .
Следовательно, функция x = log a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y . Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x , то в этом случае говорят, что y = f (x ) и y = g (x ) - обратные функции.
Графики функции y = f (x ) и обратной ей функции y = g (x ) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Тема 4 . Функция одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.
План лекции:
Понятие функции.
Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
Обратная функция.
Сложная функция.
Понятие функции.
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества Х
и Y
. Соответствие f
, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией
и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х
на множество Y
.
X
X
Y
Y
X
Y
Y
. .
X
Например, соответствия
f
и
g
, изображённые на рисунке, являются функциями, а
и
u
‒ нет. В случае
‒ не каждому соответствует элемент
. В случае
и
‒ не соблюдается условие однозначности.
Элемент
, который соответствует данному , называют образом
элемента х.
Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом
элемента у
.
Множество Х
называется областью определения
функции f
и обозначается D
(f
). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х
, называется множеством значений
функции f
и обозначается Е
(f
).
Числовые функции. График функции. Способы задания.
Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х
и Y
являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией
. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.
Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .
Частное значение
функции
при х=а
записывают
. Например, если
, то
,
Г
М (х ;у )
у
х
1
О
рафиком функцииназывается множество всех точек плоскости Оху , для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.
Например, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R
=1 с центром О
(0;0).
Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.
Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.
Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.
Основные характеристики функций.
Функция
, определённая на множестве D
, называется чётной
, если
выполняются условия
и
; нечётной
, если
выполняются условия
и
.
График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.
Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.
Пусть функция
определёна на множестве D
и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:
а)
, то функция называется возрастающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);
б)
, то функция называется неубывающей
на множестве ;
в)
, то функция называется убывающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
г)
, то функция называется невозрастающей
на множестве .
‒2 О 1 3 4 х
у
Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .
Ф
у=М
у
х
у= ‒М
Ункцию, определённую на множестве D
называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.
:
.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .
Функция
, определённая на множестве D
, называется периодической
на этом множестве, если существует такое число T
>0
, что при каждом
значение
и
. При этом число Т
называется периодом функции
. Если Т
‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ
, где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т
, удовлетворяющее равенству
.
Обратная функция.
Пусть задана функция
с областью определения D
и множеством значений Е
. Если для каждого
существует единственный прообраз в D
, то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е
и множеством значений D
. Такая функция
называется обратной
к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными.
. Заметим, что для функции
промежуточным аргументом
сложной функции.
Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.