Системы и элементы систем. Классификация САУ. Воздействие на систему (переменные системы уравнения). Математические модели непрерывных динамических систем. Метод малых отклонений

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, Y, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т.е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т.е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, у) = |х - у |). Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х ≤ у ) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены соответствующие операции, например, линейные: х + у , х*у . Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (1) – (3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Таким образом, приходим, например, к линейным моделям: y = au + b , dy/dt = ay + bu и т.д., являющихся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает различие между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические-динамические», «дискретные-непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в таблице 2 , где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Таблица 2

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Примечание: U - множество входов, Y - множество выходов системы

Модели состояния динамических систем

Модели общего вида

Важнейшую роль при описании динамических систем играет понятие состояния. Состояние - это совокупность величин (вектор) , которые определяют (вместе с входным воздействием) будущее поведение системы.

В общем случае уравнения состояния – это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное состояние представляет, «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде

(4)

(5)

где u 1 , …, u m - входные переменные, y 1 , …, y l - выходные переменные, x 1 , …, x n -переменные состояния. Вводя векторные обозначения, можно записать (5) в более компактном виде:

(6)

где , , .

Для моделей состояния справедлив следующий факт: любая нелинейная динамическая система может быть представлена как соединение линейных динамических и нелинейных статических звеньев.

Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы

(7)

частным случаем которых являются неявные системы

(8)

Линейные модели

Часто вместо (5) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории удовлетворяющей уравнениям

Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:

(10)

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (10) также не зависят от времени: A(t)=A , B(t)=B и т.д. Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями

, у = Сх . (11)

Матрицы А, В, С являются параметрами модели (11).

Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются, по возможности, выбрать ММ линейную по параметрам:

где А - матрица параметров порядка n × N , - нелинейная функция. К этому классу относятся, в частности, билинейные объекты.

Сказанное выше относится и к уравнениям дискретных по времени систем. Уравнения дискретной системы в общем случае имеют вид

, . (12)

Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной системы (20) являются уравнения:

(13)

Наряду с уравнениями состояния широкое применение находят также модели в переменных «вход-выход» и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение «вход-выход» имеет вид

A(p)y(t)=B(p)u(t), (14)

где р = d/dt - символ дифференцирования по времени, , , причем в (14) всегда m < n . Дробно-рациональная функция называется передаточной функцией системы (14), а полином А(λ) - ее характеристическим полиномом . Если уравнение (14) получено из (11), то

(15)

Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (11) являются векторами, при этом - матрица. Пользуясь (15), можно показать, что замена переменных состояния в (11) по формуле , где Т - неособая n×n матрица (det T = 0), не приводит к изменению передаточной функции (15). Это значит, что обратный переход от описания «вход-выход» к уравнениям состояния (11) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов перехода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти способы соответствуют так называемым каноническим представлениям системы. Опишем один из них, приводящий к управляемому каноническому представлению . Вместо (13) вводятся два уравнения.

(1)Системы и элементы систем

САУ - состоит из объекта управления, управления устройства взаимодействующих между собой (САП). Объект управления (ОУ) – устройство требуемое режим работы которого должен поддерживаться системой. Устройство управления – это устройство, осуществляющее воздействие на объект управления с целью поддерживания режима его работы. Система – это совокупность взаимодействующих между собой элементов. Свойство системы отличается от совокупности элементов, которые в нее входят. При анализе, синтезе систем используют математическое описание СУ. Существует 2 способа мат. описания системы уравления:1)классический – в этом случае все элементы системы описываются с помощью отдельных уравнений без учета взаимосвязи между элементами. 2)системный – в этом случае все элементы систем рассматриваются на конечное число подсистем, и рассматриваются с учетом взаимосвязи между элементом. Математическое описать систему можно 3 способами: 1)аналитический – с помощью диф. или линейных; 2)графический – диаграммы, графики; 3)табличный – график в таблице.

(2)Классификация САУ

Линейные системы – системы которые описываются линейным уравнением. Нелинейные системы – описываются нелинейными уравнениями, т.е. дифференциальными. Непрерывные системы – состояние, которое задано на всем непрерывном множестве. Дискретные системы – системы, значения выходной величины, которая существует или определена в конкретный момент времени . Непрерывно-дискретная система, у которой выходная величина на определенном участке представляет собой непрерывную величину, и на промежутке t 1 -t 2 представляет собой дискретную величину. Стационарные системы – системы, которые описываются уравнениями с постоянными параметрами (параметры не изменяются во времени). Нестационарные – описываются уравнениями с переменными параметрами. ССП – системы с сосредоточенными параметрами – системы, которые описываются обыкновенными диф.уравнениями в частных производных. Одномерные – системы, в которых выходная величина одна. Многомерные – имеют несколько выходных величин. Статические – без инерционные системы, т.е. постоянна во времени. Динамические – входная величина изменяется во времени, для таких величин характерен динамический процесс. Детерминированные – системы без внешних воздействий. Стохастические (вероятные или случайные) – для таких систем характерно несколько состояний и все она зависит от внешних воздействий.

(3)Воздействие на систему (переменные системы уравнения).

Задающее воздействие или входное воздействие х(t) – это воздействия которое планируется. Управляющее воздействие (U(t)) – воздействие обусловлено управляющим уравнением и оказывает влияние на субъекты управления. Возмущающие воздействия f(t) – воздействие не планируемое, т.е. случайное (параметры окружающей среды). Выходное у(t) – управляемое переменной, данная величина характеризует параметры объекты управления. Внутреннее x(t) – обусловлено влиянием одних систем на другие.

(4)Математические модели непрерывных динамических систем.

Прежде чем приступать к мат.модели САУ необходимо составить ее функциональную схему. В такой схеме каждому элементу САУ соответствует некоторый прямоугольник с обозначением данного конкретного элемента. Входное воздействие поступает на сумматор с учетом обработки ошибки из входного воздействия получается задающее воздействие g(t). Поступив на устройство управления вырабатывая управляющее воздействие u(t) и поступает на объект управления. В объекте управления с учетом внешнего воздействия j(t) вырабатывает выходная у(t). Ошибка регулирования, которая l(t) поступает на исполнительное устройство, которое предназначено для изменения состояний рассомасования. Данная система является замкнутой. Нижняя часть называется обратной связью, которая может быть и положительной и отрицательной. На следующем этапе составления математической модели функциональная схема преобразуется в структурную схему, которая состоит также из прямоугольников, но вместо обозначения элемента системы в него записывается уравнение состояния или работы данного звена. Структурная схема является математической моделью системы управления. Уравнения, которые описывают изменяющиеся во времени состояния системы или элемента называются уравнениями динамики. Чаще всего системы описываются с помощью диф.уравнений.

(5)Метод малых отклонений.

При исследовании нелинейной системы уравнений решение можно получить лишь в чистом виде, поэтому для получения аналитического решения нелинейных диф.уравнений используют линеализацию. Линеализация – замена нелинейных уравнений приближенными линейными уравнениями (метод малых отклонений). Рассмотрим некоторый элемент . Пусть между входной и выходной величиной осуществляются процессы, которые описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида . Обозначим установившееся состояние объекта через х 0 , у 0 и отклонение от данного состояния х’ и у’. тогда входная величина будет представлена: х=х 0 +х’; y+y 0 +y’. В общем случае входная и выходная величины могут являться функциями времени, тогда выходная величина будет представлена: . В окрестностях точки х 0 , у 0 функцию F(x,y,t) разложим в ряд Тейлора: , где R – совокупность членов ряда, порядок производной которой выше первой. В случае, если отклонение от установившегося, значения малы можно получить (*), где . В том случае, если отклонение от установившегося состояния равны 0, уравнение будет выглядеть (**). Вычитая (**) из (*) получаем линейное диф.уравнение , которое называется уравнением в отклонениях. Это уравнение описывает состояние объекта управления при малых отклонениях.

(6)Метод решений диф.уравнений.

1)аналитический, получают решение в явном виде. На основе данного решения можно исследовать реакцию объекта на любые входные воздействия; 2)численный, решением уравнения является числовое решение при заданных начальных условиях; 3)качественный, используется в основном в теории управления и не имея решения в явном виде получают различные качественные оценки?????(время переходного процесса, полоса пропускания). Этапы решения диф.уравнений: 1)по исходному диф.уравнению составляют характеристическое уравнение системы; 2)находят корни характеристического уравнения; 3)записывают общие решения диф.уравнений и используя начальные условия определяют коэффициенты выходной величины; 4)к общему решению диф.уравнения прибавляют частное решение. Однако нахождение корней характеристического уравнения, порядок которого выше третьей степени аналитически не возможно, поэтому для нахождения корней используют численные методы, что усложняет исследование системы в целом.

ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДПРИЯТИЯ

Глава 9 Исследования, оценка технологий и моделирование В начале любого напряжённого проекта велико искушение принять решения о применении новых технологий, компонентов и платформ лишь на основе общих допущений. Производительность, масштабируемость и даже среду