Назначение коммутатора локальной сети. Основы коммутации. Виртуальные ЛВС упрощают перенос, добавление или удаление узлов

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28 = 1+2+4+7+14.
Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим свойством были названы совершенными.

Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить из формулы: 2 p –1 (2 p – 1) при условии, что р и 2 p есть числа простые. Таким путём было найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одного нечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и их сочетаниям особый мистический смысл.

Первое самое меньшее совершенное число – это 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершенное число – это 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число – 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128 , пятое – 33 550 336 , шестое – 8 589 869 056 , седьмое – 137 438 691 328 .

Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа, математика и теоретика музыки.
Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад. Это число 33550336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век).

В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата
его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел

Перестаньте отыскивать интересные числа!
Оставьте для интереса хотя бы
одно неинтересное число!
Из письма читателя Мартину Гарднеру

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Наименьшее из совершенных чисел 6 равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Ранние комментаторы Ветхого завета, пишет в своей книге «Математические новеллы» Мартин Гарднер, усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не за 6 дней был сотворен мир, восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток? Первым крупным достижением теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2 n-1 (2n-1) - четное и совершенное, если число 2 n-1 - простое. Лишь две тысячи лет спустя Эйлер доказал, что формула Евклида содержит все четные совершенные числа. Поскольку не известно ни одного нечетного совершенного числа (у читателей есть шанс найти его и прославить свое имя), то обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду четное совершенное число.

Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, … Эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку - два зерна, на третью - четыре, на четвертую - восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 2 63 зерен, а всего на шахматной доске окажется «кучка» из 2 64 -1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Если на каждой клетке шахматной доски мы напишем, сколько зерен пшеницы причиталось бы за нее изобретателю шахмат, а затем снимем с каждой клетки по одному зерну, то число оставшихся зерен будет точно соответствовать выражению, стоящему в скобках в формуле Евклида. Если это число простое, то, умножив его на число зерен на предыдущей клетке (то есть на 2n-1), мы получим совершенное число! Простые числа вида 2 n -1 называются числами Мерсенна в честь французского математика XVII века. На шахматной доске со снятыми по одному зерну с каждой клетки есть девять чисел Мерсенна, соответствующих девяти простым числам, меньших 64, а именно: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 и 61. Умножив их на число зерен на предыдущих клетках, мы получим девять первых совершенных чисел. (Числа n=29, 37, 41, 43, 47, 53, и 59 не дают числа Мерсенна, т.е. соответствующие им числа 2n-1 составные.) Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+… Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представление совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике. Главные из них - наличие нечетного совершенного числа и существование наибольшего совершенного числа - до сих пор не решены. От совершенных чисел повествование непременно перетекает к дружественным числам. Это такие два числа, каждое из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующая пара дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в 1636 году, а последующие числа находили Декарт, Эйлер и Лежандр. Шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.
Определенный интерес для любителей представляет программа поиска совершенных чисел. Ее схема проста: в цикле для каждого числа проверять сумму его делителей и сравнивать ее с самим числом, - если они равны, то это число совершенное.

VAR I,N,Summa: LONGINT ;
Delitel: INTEGER;
begin FOR I:=3 TO 34000000 DO BEGIN Summa:=1;
FOR Delitel:=2 TO SQRT(I)
DO BEGIN N:=(I DIV Delitel);
IF N*Delitel=I THEN Summa:=Summa + Delitel + (I DIV Delitel);
END;
IF INT(SQRT(I))=SQRT(I) THEN Summa:=Summa-INT(SQRT(I));
IF I=Summa THEN WRITELN(I,’ - ‘,Summa) ;
END ;
END.

Обратите внимание, что количество проверяемых делителей каждого числа растет до квадратного корня из числа. Подумайте о том, почему это так. И о том, что истинная красота - это нечто, в хозяйстве совершенно бесполезное, но бесконечно дорогое для настоящих ценителей.

Каратецкая Мария

В данной реферативной работе с элементами самостоятельного исследования "открывается" понятие совершенного числа,

исследуются свойства совершенных чисел,история их появления,приводятся интересные факты,связанные с понятием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя школа №19с углубленным изучением

Отдельных предметов»

Научное общество учащихся «Умники и умницы»

Реферативная работа с элементами

самостоятельного исследования

«Совершенные числа»

Выполнила:

Ученица 7класса «А»

Каратецкая Мария

Руководитель:

учитель математики

Колина Наталья Константиновна

Адрес ОУ:

606523, Нижегородская область, Городецкий

Район, г.Заволжье, ул.Молодежная, 1

МБОУ СШ №19 с УИОП

E-mail: [email protected]

2015 г.

1.Введение……………………………………………………………………………3

2.Что такое совершенное число?……...........................…………............................4

3.История появления совершенных чисел………………………………………....4

4.Свойства совершенных чисел…………………………….……………………....8

5.Интересные факты…………………………………..……………….....................8

6.Примеры задач…………………………………………………………………….9

7.Заключение…………………………………………………………………..........11

8.Список используемой литературы………………………….…………...............12

"Всё прекрасно благодаря числу» Пифагор.

1.Введение

Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". О числах первым начал рассуждать Пифагор. По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7–разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц".

Есть множества чисел, их подмножества, группы, и одна из необычных групп - это совершенные числа. В этой группе известно всего лишь 48 чисел, но не смотря на это, они образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел.

Проблема: Я люблю решать нестандартные задачки. Однажды мне попалась задача, в которой говорилось о совершенных числах, я испытала трудности при решении, поэтому заинтересовалась этой темой и решила подробнее изучить эти числа.

Цель исследования: познакомиться с понятием совершенного числа, исследовать свойства совершенных чисел, привлечь внимание учащихся к данной теме.

Задачи:

Изучить и проанализировать литературу по теме исследования.

Изучить историю появления совершенных чисел.

-«Открыть» свойства совершенных чисел и области их применения

Расширить свой умственный кругозор.

Методы исследования: изучение литературы, сравнение, наблюдение,

теоретический анализ, обобщение.

2.Что такое совершенное число?

Совершенное число - натуральное число , равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, включая 1,но отличных от самого числа,).

Первое совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.

Второе совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.

Третье совершенное число 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.

Четвертое совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

3. История появления совершенных чисел

Древнегреческий математик и философ Пифагор , он же создатель религиозно-философской школы пифагорейцев (570-490 гг. до н. э), ввел понятия избыточные и недостаточные числа.

Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 – избыточное число, так как сумма его делителей равна 16. Если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным».

Например, 10 – недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные числа, считали они, есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. В противоположность этому сверхизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, не упорядочены и не определены.

«Совершенное число есть равное своим долям». Эти слова принадлежат Евклиду , древнегреческому математику, автору первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике «Начала»(3 век до н.э.). До Евклида были известны только два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Благодаря своей формуле 2 p-1 *(2 p -1)- совершенное число, если (2 p -1)- простое число, Так Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Способ нахождения совершенных чисел описан в IX книге «Начал».

Никомах Геразский , греческий философ и математик (1-я пол. 2 в. н. э.), в своем сочинении «Введение в арифметику» писал: «…Прекрасные и благородные вещи обычно редки и легко пересчитываемы, тогда как безобразные и плохие - многочисленны; вот и избыточные и недостаточные числа отыскиваются в большом количестве и беспорядочно, так что способ их нахождения не упорядочен, в то время как совершенные числа легко перечислимы и расположены в надлежащем порядке. Ведь среди однозначных чисел находится одно такое число 6, второе число 28 –единственное среди десятков, третье число 496 – единственное среди сотен, а четвёртое число 8128 –среди тысяч, если ограничиться десятью тысячами. И присущее им свойство состоит в том, что они попеременно оканчиваются то на шестёрку, то на восьмёрку, и все являются чётными.Изящный и надёжный способ их получения, не пропускающий ни одного совершенного числа и дающий одни только совершенные числа, состоит в следующем. Расположи все чётно-чётные числа, начиная с единицы, в один ряд, продолжая его так далеко, насколько пожелаешь: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Затем складывай их последовательно, прибавляя каждый раз по одному,

и после каждого прибавления смотри на результат; и когда он будет

первичным и несоставным, умножь его на последнее прибавленное

число, в результате чего ты всегда будешь получать совершенное число.

Если же он будет вторичным и составным,умножать не надо, но надо

прибавить следующее число и посмотреть на результат; если он снова

окажется вторичным и составным, снова пропусти его и не умножай, но

прибавь следующее; но если он будет первичным и несоставным, то

умножив его на последнее прибавленное число, ты снова получишь

совершенное число, и так до бесконечности. И таким способом ты

получишь все совершенные числа по порядку, не пропустив ни одного

из них. К примеру, к 1 я прибавляю 2 и смотрю, какое число получилось

в сумме, и нахожу, что это число 3, первичное и несоставное в согласии

с тем, что говорилось выше, поскольку оно не имеет разноимённых

с ним долей, но только названную по нему долю; теперь я умножаю

его на последнее прибавленное число, которое есть 2, и получаю 6; и я

объявляю его первым настоящим совершенным числом, имеющим

такие доли, что они, будучи составленными вместе, укладываются в

самом числе: ведь единица является его названной по нему, о есть

шестой, долей, и 3 является половиной в соответствии с числом 2,и

обратно, двойка является третью. Число 28 получается этим же способом, когда следующее число 4 прибавляется к уже сложенным

выше. Ведь три числа 1, 2, 4 в сумме дают число 7, которое оказывается

первичным и несоставным, поскольку оно имеет только названную по

нему седьмую долю; а потому я умножаю его на последнее количество,

прибавленное к сумме, и мой результат составляет 28, равное своим

долям, и имеющее доли, названные по уже упомянутым числам:

половинную для четырнадцати, четвёртую для семёрки, седьмую для

4, четырнадцатую в противоположность половине, двадцать восьмую

в соответствии с собственным названием, а такая доля для всех чисел равна единице. И когда уже открыты в единицах 6 и в десятках 28, ты

8, и получишь 15; рассматривая его, я выясняю, что оно не является

первичным и несоставным, потому что в дополнение к названной по нему

доле оно имеет разноимённые с ним доли, пятую и третью; поэтому я не

умножаю его на 8, но прибавляю следующее число 16 и получаю число

31. Оно является первичным и несоставным, а потому его нужно, в

соответствии с общим правилом, умножить на последнее добавленное число 16, в результате чего получится 496 в сотнях; а затем получится 8128 в тысячах; и так далее, насколько будет желание продолжать…»

Следует сказать, что под вторичным числом Никомах понимает число, кратное данному, то есть то, которое можно получить, домножением на натуральные числа; долями он называет множители, входящие в разложение числа.

Если Никомах Геразский нашел лишь 4 первых совершенных числа,то Региомонтан(подлинное имя - Йоганн Мюллер), немецкий математик, живший в 15 веке,нашел пятое совершенное число - 33550336.

В XVI веке немецкий ученый Иоганн Эфраим Шейбель нашел ещё два совершенных числа- 8589869056 (8 миллиардов, 589 миллионов, 869 тысяч, 56), 137438691328 (137 миллиардов, 438 миллионов, 691 тысяча, 328).

Катальди Пьетро Антонио (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел. 8 589 869 056 (шестое число), 137 438 691 328 (седьмое число) для р=17 и 19)

Французский математик XVII века Марен Мерсенн предсказал, что многие числа, описываемые формулой , где p - простое число, также являются простыми. Ему удалось доказать, что для p=17, p=19, p=31 числа 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 являются совершенными.

Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук, Леонард Эйлер (начало 18в.) доказал, что все чётные совершенные числа соответствуют алгоритму построения чётных совершенных чисел, который описан в IX книге Начал Евклида. Также он доказал, что каждое чётное совершенное число имеет вид Mp, где число Мерсенна Mp является простым.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин . Первушин считал без всяких вычислительных приборов.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127).

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимаются проекты распределённых вычислений GIMPS и OddPerfect.org.

4. Свойства совершенных чисел

1.Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел.

2.Все чётные совершенные числа являются треугольными числами ; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.

3.Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2,то есть

4.Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

5.Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p -1 нулей (следствие из их общего представления).

6. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

5. Интересные факты

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. В XII веке церковь утверждала, что для спасения души необходимо найти пятое совершенное число.Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий, дескать, несовершенен, ибо произошел от несовершенного числа 8. Ведь именно 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Можно добавить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. Да и вообще легко обнаружить множество подобных совпадений. Например, руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг…

Египетская мера длины "локоть" содержала 28 пальцев.

На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость.

В 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Позже узнали, что это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов.

Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов. Несмотря на то, что совершенным числам приписывается мистический смысл,числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Лев Николаевич Толстой шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н.Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

6. Примеры задач

1.Найдите все совершенные числа до 1000.

Ответ: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248=496). Всего чисел-3.

2.Найдите совершенное число которое больше 496, но меньше 33550336.

Ответ: 8128.

3.Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Решение: метод от противного. Предположим, что совершенное число, делящееся на 3,не кратно 9. Тогда оно равно 3n, где n не кратно 3. При этом все натуральные делители числа 3n (включая его самого) можно

разбить на пары d и 3d, где d не делится на 3. Следовательно, сумма всех

делителей числа 3n (она равна 6n) делится на 4. Отсюда n кратно 2. Далее

заметим, что числа 3n /2 , n, n/2 и 1 будут различными делителями числа 3n,

их сумма равна 3n + 1 > 3n, откуда следует, что число 3n не может быть

совершенным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно,и утверждение доказано.

4. Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

7.Заключение

Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром. Всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Пифагорейцы искали в этих отношениях и закономерности реального мира, и пути к мистическим тайнам и откровениям. Числам, учили они, свойственно всё – совершенство и несовершенство, конечность и бесконечность.

Рассмотрев одну из групп натуральных чисел - совершенные числа, я сделала вывод, что разнообразие натуральных чисел является бесконечным. Что касается утверждения о том, что среди совершенных чисел встречаются как чётные, так и нечетные числа,то оно не может считаться верным, так как все обнаруженные до сих пор совершенные числа являются чётными. Никто не знает, существует ли хоть одно нечётное совершенное число как и то, что множество совершенных чисел бесконечно.

В дальнейшем я хочу исследовать дружественные числа.

Дружественные числа - два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Примером такой пары чисел является пара 220 и 284 .Частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

8.Список использованной литературы

1. Волина В. В. Занимательная математика для детей./Ред. В. В. Фёдоров; Худ. Т. Фёдорова. – С.-Пб.: Лев и К°, 1996. – 320 с.
2. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 1. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
3. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 2. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
4. Электронная детская энциклопедия Кирилл и Мефодий (версия 2007 год).
5. Электронный сайт WikipediA/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm