अपरिमेय अभिव्यक्तींमधून पूर्णांकांची गणना. एकत्रीकरण - MT1205: अर्थशास्त्रज्ञांसाठी गणितीय विश्लेषण - व्यवसाय माहितीशास्त्र

अपरिमेय फंक्शन्सचा वर्ग खूप विस्तृत आहे, म्हणून त्यांना एकत्रित करण्याचा सार्वत्रिक मार्ग असू शकत नाही. या लेखात आपण अतार्किक इंटिग्रँड फंक्शन्सचे सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण प्रकार ओळखण्याचा प्रयत्न करू आणि त्यांच्याशी एकीकरण पद्धत संबद्ध करू.

अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा विभेदक चिन्हाची सदस्यता घेण्याची पद्धत वापरणे योग्य आहे. उदाहरणार्थ, फॉर्मचे अनिश्चित अविभाज्य शोधताना, कुठे p- तर्कसंगत अपूर्णांक.

उदाहरण.

अनिश्चित अविभाज्य शोधा .

उपाय.

हे लक्षात घेणे अवघड नाही. म्हणून, आम्ही ते विभेदक चिन्हाखाली ठेवतो आणि अँटीडेरिव्हेटिव्हचे सारणी वापरतो:

उत्तर:

.

13. फ्रॅक्शनल रेखीय प्रतिस्थापन

अ, b, c, d या वास्तविक संख्या आहेत, a, b,..., d, g या नैसर्गिक संख्या आहेत अशा प्रकारच्या पूर्णांकांना प्रतिस्थापनाद्वारे परिमेय फंक्शनच्या पूर्णांकांमध्ये कमी केले जाते, जेथे K चा सर्वात कमी सामान्य गुणक आहे अपूर्णांकांचे भाजक

खरंच, प्रतिस्थापन पासून ते खालीलप्रमाणे आहे

म्हणजे x आणि dx हे t च्या परिमेय कार्याद्वारे व्यक्त केले जातात. शिवाय, अपूर्णांकाची प्रत्येक डिग्री t च्या परिमेय कार्याद्वारे व्यक्त केली जाते.

उदाहरण 33.4. अविभाज्य शोधा

ऊत्तराची: 2/3 आणि 1/2 या अपूर्णांकांच्या भाजकांचा सर्वात कमी सामान्य गुणांक 6 आहे.

म्हणून, आपण x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, म्हणून,

उदाहरण 33.5.इंटिग्रल्स शोधण्यासाठी प्रतिस्थापन निर्दिष्ट करा:

उपाय: I 1 प्रतिस्थापन x=t 2 साठी, I 2 प्रतिस्थापनासाठी

14. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

प्रकाराचे अविभाज्य फंक्शन्सच्या अविभाज्यांमध्ये कमी केले जातात जे तर्कसंगतपणे खालील त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनांचा वापर करून त्रिकोणमितीय फंक्शन्सवर अवलंबून असतात: x = प्रथम अविभाज्य साठी एक सिंट; दुसऱ्या अविभाज्य साठी x=a tgt;

उदाहरण 33.6.अविभाज्य शोधा

उपाय: x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2 घालू. मग

येथे इंटिग्रँड हे x आणि च्या संदर्भात परिमेय कार्य आहे रॅडिकल अंतर्गत पूर्ण चौरस निवडून आणि प्रतिस्थापन करून, सूचित प्रकाराचे अविभाज्य घटक आधीपासून विचारात घेतलेल्या प्रकाराच्या अविभाज्यांपर्यंत कमी केले जातात, म्हणजे, प्रकाराच्या अविभाज्यांपर्यंत. योग्य त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन वापरून या अविभाज्यांची गणना केली जाऊ शकते.

उदाहरण 33.7.अविभाज्य शोधा

उपाय: x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5 पासून, नंतर x+1=t, x=t-1, dx=dt. त्यामुळेच टाकूया

टीप: इंटिग्रल प्रकार प्रतिस्थापन x=1/t वापरून शोधणे योग्य आहे.

15. निश्चित अविभाज्य

सेगमेंटवर फंक्शन परिभाषित करू द्या आणि त्यावर अँटीडेरिव्हेटिव्ह असू द्या. फरक म्हणतात निश्चित अविभाज्य विभागासह कार्ये आणि सूचित करा. तर,

फरक फॉर्ममध्ये लिहिला आहे, नंतर . क्रमांक म्हणतात एकत्रीकरणाच्या मर्यादा .

उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्हपैकी एक. त्यामुळेच

16 . जर c ही स्थिर संख्या असेल आणि फंक्शन ƒ(x) वर अविभाज्य असेल, तर

म्हणजेच, स्थिर घटक c हा निश्चित पूर्णांकाच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो.

▼ फंक्शनसाठी अविभाज्य बेरीज ƒ(x) सह तयार करू. आमच्याकडे आहे:

मग ते खालीलप्रमाणे आहे की फंक्शन c ƒ(x) हे [a; b] आणि सूत्र (38.1) वैध आहे.▲

2. जर फंक्शन्स ƒ 1 (x) आणि ƒ 2 (x) [a;b] वर अविभाज्य असतील, तर [a; b] त्यांची बेरीज u

म्हणजे, बेरजेचा अविभाज्य भाग पूर्णांकांच्या बेरजेइतका असतो.

▼
▲

मालमत्ता 2 कोणत्याही मर्यादित संख्येच्या अटींच्या बेरजेवर लागू होते.

3.

ही मालमत्ता व्याख्येनुसार स्वीकारली जाऊ शकते. या मालमत्तेची पुष्टी न्यूटन-लीबनिझ सूत्राने देखील केली आहे.

4. जर फंक्शन ƒ(x) [a वर अविभाज्य असेल; b] आणि अ< с < b, то

म्हणजेच, संपूर्ण खंडावरील अविभाज्य भाग या खंडाच्या भागांवरील अविभाज्यांच्या बेरजेइतके आहे. या मालमत्तेला निश्चित अविभाज्य (किंवा ॲडिटिव्हिटी गुणधर्म) ची additivity म्हणतात.

सेगमेंट [a;b] भागांमध्ये विभाजित करताना, आम्ही भागाकार बिंदूंच्या संख्येमध्ये बिंदू c समाविष्ट करतो (हे विभाग [a;b] विभागण्याच्या पद्धतीपासून अविभाज्य रकमेच्या मर्यादेच्या स्वतंत्रतेमुळे केले जाऊ शकते. भागांमध्ये). जर c = x m असेल, तर अविभाज्य बेरीज दोन बेरीजमध्ये विभागली जाऊ शकते:

प्रत्येक लिखित बेरीज अनुक्रमे, विभागांसाठी अविभाज्य आहे [a; ब], [अ; s] आणि [s; ब]. n → ∞ (λ → 0) या शेवटच्या समानतेच्या मर्यादेपर्यंत गेल्यावर, आम्हाला समानता मिळते (38.3).

गुणधर्म 4 हे गुण a, b, c च्या कोणत्याही स्थानासाठी वैध आहे (आम्ही असे गृहीत धरतो की फलन ƒ (x) परिणामी विभागांच्या मोठ्या भागांवर अविभाज्य आहे).

तर, उदाहरणार्थ, जर ए< b < с, то

(गुणधर्म 4 आणि 3 वापरले होते).

5. "मीन मूल्यांवरील प्रमेय." जर फंक्शन ƒ(x) मध्यांतरावर सतत असेल [a; b], नंतर є [a; सह टोंका आहे; b] असे

▼ आमच्याकडे न्यूटन-लेबनिझ फॉर्म्युला आहे

जेथे F"(x) = ƒ(x). F(b)-F(a) या फरकावर Lagrange प्रमेय (फंक्शनच्या मर्यादित वाढीवरील प्रमेय) लागू केल्यास, आम्हाला मिळते

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

ƒ (x) ≥ 0 साठी गुणधर्म 5 ("मध्य मूल्य प्रमेय") चा एक साधा भौमितिक अर्थ आहे: निश्चित पूर्णांकाचे मूल्य समान आहे, काही c є (a; b), आयताच्या क्षेत्रासाठी उंची ƒ (c) आणि पाया b-a सह ( अंजीर पहा. 170). क्रमांक

याला मध्यांतर [a; ब].

6. जर फंक्शन ƒ (x) त्याचे चिन्ह सेगमेंटवर राखत असेल [a; b], जेथे a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ "मध्य मूल्य प्रमेय" द्वारे (संपत्ती 5)

जेथे c є [a; ब]. आणि सर्व x О [a साठी ƒ(x) ≥ 0 असल्याने; b], नंतर

ƒ(с)≥0, b-а>0.

म्हणून ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. मध्यांतरावरील सतत कार्यांमधील असमानता [a; ब], (अ

▼ ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0 पासून, नंतर जेव्हा a< b, согласно свойству 6, имеем

किंवा, मालमत्ता 2 नुसार,

लक्षात घ्या की असमानता वेगळे करणे अशक्य आहे.

8. इंटिग्रलचा अंदाज. m आणि M ही अनुक्रमे y = ƒ (x) या खंडावरील फंक्शनची सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये असतील तर [a; ब], (अ< b), то

▼ कोणत्याही x є [a;b] साठी आमच्याकडे m≤ƒ(x)≤М असल्याने, गुणधर्म 7 नुसार, आमच्याकडे आहे

संपत्ती 5 ला अत्यंत अविभाज्य घटकांवर लागू केल्यास, आम्हाला मिळते

▲

जर ƒ(x)≥0 असेल, तर गुणधर्म 8 हे भौमितिक पद्धतीने स्पष्ट केले आहे: वक्र समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ आयताच्या क्षेत्रांमध्ये बंद केलेले आहे ज्याचा पाया आहे , आणि ज्यांची उंची m आणि M आहे (चित्र 171 पहा).

9. निश्चित इंटिग्रलचे मापांक इंटिग्रँडच्या मापांकाच्या अविभाज्यतेपेक्षा जास्त नसते:

▼स्पष्ट असमानतेवर मालमत्ता 7 लागू करणे -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, आम्हाला मिळते

ते त्याचे पालन करते

▲

10. व्हेरिएबल वरच्या मर्यादेच्या संदर्भात निश्चित इंटिग्रलचे व्युत्पन्न हे इंटिग्रँडच्या बरोबरीचे असते ज्यामध्ये एकीकरण व्हेरिएबल या मर्यादेने बदलले जाते, उदा.

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे ही क्षेत्र सिद्धांतातील सर्वात कठीण समस्या आहे. शालेय भूमिती अभ्यासक्रमात, आम्ही मूलभूत भूमितीय आकारांचे क्षेत्र शोधायला शिकलो, उदाहरणार्थ, वर्तुळ, त्रिकोण, समभुज चौकोन इ. तथापि, बर्याचदा आपल्याला अधिक जटिल आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यास सामोरे जावे लागते. अशा समस्या सोडवताना इंटिग्रल कॅल्क्युलसचा अवलंब करावा लागतो.

या लेखात आम्ही वक्र ट्रापेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्याच्या समस्येचा विचार करू आणि आम्ही त्यास भौमितिक अर्थाने पाहू. हे आम्हाला निश्चित अविभाज्य आणि वक्र ट्रापेझॉइडच्या क्षेत्रामध्ये थेट संबंध शोधण्याची परवानगी देईल.

तर्कहीन समीकरणे सोडवण्याचा कोणताही सार्वत्रिक मार्ग नाही, कारण त्यांचे वर्ग परिमाणानुसार भिन्न आहेत. लेख एकत्रीकरण पद्धतीचा वापर करून प्रतिस्थापनासह वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणे हायलाइट करेल.

थेट एकीकरण पद्धत वापरण्यासाठी, ∫ k x + b p d x प्रकारातील अनिश्चित पूर्णांकांची गणना करणे आवश्यक आहे, जेथे p हा परिमेय अपूर्णांक आहे, k आणि b हे वास्तविक गुणांक आहेत.

उदाहरण १

y = 1 3 x - 1 3 फंक्शनचे अँटिडेरिव्हेटिव्ह शोधा आणि मोजा.

उपाय

एकत्रीकरणाच्या नियमानुसार, ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C हे सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे आणि अँटीडेरिव्हेटिव्हचे सारणी सूचित करते की या कार्यासाठी तयार उपाय आहे. . आम्हाला ते मिळते

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) २ ३ + से

उत्तर:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा विभेदक चिन्हाची जोडणी करण्याची पद्धत वापरणे शक्य आहे. p चे मूल्य परिमेय अपूर्णांक मानले जाते तेव्हा ∫ f " (x) · (f (x)) p d x फॉर्मचे अनिश्चित पूर्णांक शोधण्याच्या तत्त्वाद्वारे याचे निराकरण होते.

उदाहरण २

अनिश्चित पूर्णांक ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x शोधा.

उपाय

लक्षात घ्या की d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. नंतर अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या तक्त्यांचा वापर करून विभेदक चिन्ह समाविष्ट करणे आवश्यक आहे. आम्हाला ते प्राप्त होते.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

उत्तर:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

अनिश्चित पूर्णांक सोडवण्यामध्ये ∫ d x x 2 + p x + q या स्वरूपाचे सूत्र समाविष्ट असते, जेथे p आणि q हे वास्तविक गुणांक असतात. मग तुम्हाला रूटच्या खाली एक पूर्ण चौरस निवडण्याची आवश्यकता आहे. आम्हाला ते मिळते

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

अनिश्चित पूर्णांकांच्या तक्त्यामध्ये असलेले सूत्र लागू करून, आम्हाला मिळते:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

मग अविभाज्य गणना केली जाते:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

उदाहरण ३

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 फॉर्मचे अनिश्चित पूर्णांक शोधा.

उपाय

गणना करण्यासाठी, आपल्याला 2 क्रमांक काढण्याची आणि त्यास रॅडिकलच्या समोर ठेवण्याची आवश्यकता आहे:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

मूलगामी अभिव्यक्तीमध्ये पूर्ण वर्ग निवडा. आम्हाला ते मिळते

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

मग आपल्याला 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - फॉर्मचा एक अनिश्चित पूर्णांक प्राप्त होतो. १ २ + से

उत्तर: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

अतार्किक कार्यांचे एकत्रीकरण त्याच प्रकारे केले जाते. y = 1 - x 2 + p x + q या फॉर्मच्या फंक्शन्ससाठी लागू.

उदाहरण ४

अनिश्चित पूर्णांक ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 शोधा.

उपाय

प्रथम तुम्हाला मूळच्या खालून अभिव्यक्तीच्या भाजकाचा वर्ग काढण्याची आवश्यकता आहे.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

टेबल इंटिग्रलमध्ये ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C असे रूप आहे, नंतर आपल्याला प्राप्त होईल की ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - २ ३ + से

उत्तर:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

y = M x + N x 2 + p x + q या फॉर्मची अँटीडेरिव्हेटिव्ह अपरिमेय फंक्शन्स शोधण्याची प्रक्रिया, जिथे विद्यमान M, N, p, q हे वास्तविक गुणांक आहेत आणि तिसऱ्या प्रकारच्या साध्या अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणासारखे आहेत. . या परिवर्तनाचे अनेक टप्पे आहेत:

टॅब्युलर सूत्रांचा वापर करून, रूट अंतर्गत अभिव्यक्तीचे संपूर्ण वर्ग वेगळे करणे, रूट अंतर्गत भिन्नता एकत्रित करणे.

उदाहरण ५

y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 या फंक्शनचे अँटिडेरिव्हेटिव्ह शोधा.

उपाय

स्थितीवरून आपल्याकडे d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x आणि x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, नंतर (x + 2) d x = 1 आहे. 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

चला पूर्णांक काढूया: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

उत्तर:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

∫ x m (a + b x n) p d x फंक्शनच्या अनिश्चित पूर्णांकांचा शोध प्रतिस्थापन पद्धती वापरून केला जातो.

निराकरण करण्यासाठी नवीन व्हेरिएबल्स सादर करणे आवश्यक आहे:

1. जेव्हा p पूर्णांक असतो, तेव्हा x = z N मानला जातो आणि N हा m, n चा सामान्य भाजक असतो.
2. जेव्हा m + 1 n पूर्णांक असतो, तेव्हा a + b x n = z N, आणि N हा p चा भाजक असतो.
3. जेव्हा m + 1 n + p हा पूर्णांक असतो, तेव्हा व्हेरिएबल a x - n + b = z N आवश्यक असते आणि N हा p या संख्येचा भाजक असतो.

निश्चित अविभाज्य ∫ 1 x 2 x - 9 d x शोधा.

उपाय

आपल्याला मिळते ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . ते खालीलप्रमाणे m = - 1, n = 1, p = - 1 2, नंतर m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 पूर्णांक आहे. तुम्ही फॉर्मचे नवीन व्हेरिएबल सादर करू शकता - 9 + 2 x = z 2. x ला z च्या संदर्भात व्यक्त करणे आवश्यक आहे. आउटपुट म्हणून आपल्याला ते मिळते

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

दिलेल्या इंटिग्रलमध्ये प्रतिस्थापन करणे आवश्यक आहे. आमच्याकडे ते आहे

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

उत्तर:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

अतार्किक समीकरणांचे निराकरण सुलभ करण्यासाठी, मूलभूत एकीकरण पद्धती वापरल्या जातात.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

व्हेरिएबलचे अपरिमेय फंक्शन म्हणजे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार (पूर्णांक घात वाढवणे), भागाकार आणि मुळे घेणे या क्रियांच्या मर्यादित संख्येचा वापर करून व्हेरिएबल आणि अनियंत्रित स्थिरांकांपासून तयार केलेले कार्य. अपरिमेय फंक्शन तर्कसंगत पेक्षा वेगळे असते कारण अपरिमेय फंक्शनमध्ये मुळे काढण्यासाठी ऑपरेशन्स असतात.

अपरिमेय फंक्शन्सचे तीन मुख्य प्रकार आहेत, त्यातील अनिश्चित अविभाज्य घटक परिमेय फंक्शन्सच्या अविभाज्यांमध्ये कमी केले जातात. हे रेखीय अपूर्णांक फंक्शनमधील अनियंत्रित पूर्णांक शक्तींचे मूळ असलेले अविभाज्य आहेत (मूळ वेगवेगळ्या शक्तींचे असू शकतात, परंतु समान रेखीय अपूर्णांक कार्यापासून); विभेदक द्विपदाचे अविभाज्य आणि चौरस त्रिपदाच्या वर्गमूळासह अविभाज्य.

महत्वाची नोंद. मुळांचे अनेक अर्थ आहेत!

मुळे असलेल्या अविभाज्यांची गणना करताना, फॉर्मचे अभिव्यक्ती सहसा समोर येतात, जेथे एकत्रीकरण व्हेरिएबलचे काही कार्य असते. हे लक्षात घेतले पाहिजे.म्हणजे, येथे t >< 0 , |t| = t. येथे टी 0 0 , |t| = - टी .< 0 म्हणून, अशा अविभाज्यांची गणना करताना, t > प्रकरणांचा स्वतंत्रपणे विचार करणे आवश्यक आहे 0 आणि टी< 0 .

हे चिन्हे लिहून किंवा आवश्यक तेथे केले जाऊ शकते. शीर्ष चिन्ह केस t > संदर्भित करते असे गृहीत धरून

, आणि खालचा - केस टी

.
,
पुढील परिवर्तनासह, ही चिन्हे, एक नियम म्हणून, एकमेकांना रद्द करतात.
दुसरा दृष्टीकोन देखील शक्य आहे, ज्यामध्ये इंटिग्रँड आणि एकीकरणाचा परिणाम जटिल व्हेरिएबल्सची जटिल कार्ये मानली जाऊ शकतात. मग तुम्हाला मूलगामी अभिव्यक्तींमधील चिन्हांकडे लक्ष देण्याची गरज नाही. जर इंटिग्रँड विश्लेषणात्मक असेल, म्हणजेच जटिल व्हेरिएबलचे भिन्न कार्य असेल तर हा दृष्टिकोन लागू होतो. या प्रकरणात, इंटिग्रँड आणि त्याचे अविभाज्य दोन्ही बहुमूल्य कार्ये आहेत. म्हणून, एकीकरणानंतर, संख्यात्मक मूल्ये बदलताना, इंटिग्रँडची एकल-मूल्य असलेली शाखा (रीमन पृष्ठभाग) निवडणे आवश्यक आहे आणि त्यासाठी एकीकरण परिणामाची संबंधित शाखा निवडा.
फ्रॅक्शनल रेखीय असमंजसपणा

हे समान फ्रॅक्शनल रेखीय फंक्शनमधील मुळांसह अविभाज्य आहेत: जेथे R हे परिमेय कार्य आहे, परिमेय संख्या आहेत, m 1, n 1, ..., m s, n s पूर्णांक आहेत, α, β, γ, δ या वास्तविक संख्या आहेत.), किंवा इंटिग्रेशन व्हेरिएबल x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

अशा अविभाज्यांची उदाहरणे येथे आहेत:
, .

विभेदक द्विपदी पासून पूर्णांक

विभेदक द्विपदींमधील अविभाज्यांचे स्वरूप आहे:
,
जेथे m, n, p या परिमेय संख्या आहेत, a, b या वास्तविक संख्या आहेत.
असे अविभाज्य तीन प्रकरणांमध्ये परिमेय फंक्शन्सच्या अविभाज्यांपर्यंत कमी करतात.

1) जर p पूर्णांक असेल. प्रतिस्थापन x = t N, जेथे N हा m आणि n या अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक आहे.
2) जर - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a x n + b = t M, जेथे M हा p या संख्येचा भाजक आहे.
3) जर - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a + b x - n = t M, जेथे M हा p या संख्येचा भाजक आहे.

इतर प्रकरणांमध्ये, असे अविभाज्य प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जात नाहीत.

काहीवेळा अशा अविभाज्यांना घट सूत्रे वापरून सरलीकृत केले जाऊ शकते:
;
.

चौरस त्रिपदाचे वर्गमूळ असलेले पूर्णांक

अशा अविभाज्यांचे स्वरूप आहे:
,
जेथे R हे तर्कसंगत कार्य आहे. अशा प्रत्येक अविभाज्यतेसाठी ते सोडविण्याच्या अनेक पद्धती आहेत.
1) ट्रान्सफॉर्मेशन्स वापरल्याने सोप्या इंटिग्रल्स होतात.
2) त्रिकोणमितीय किंवा हायपरबोलिक पर्याय लागू करा.
3) यूलर पर्याय लागू करा.

चला या पद्धतींचा अधिक तपशीलवार विचार करूया.

1) इंटिग्रँड फंक्शनचे परिवर्तन

सूत्र लागू करून आणि बीजगणितीय परिवर्तने करून, आम्ही फॉर्ममध्ये इंटिग्रँड फंक्शन कमी करतो:
,
जेथे φ(x), ω(x) परिमेय कार्ये आहेत.

I टाइप करा

फॉर्मचा अविभाज्य भाग:
,
जेथे P n (x) ही पदवी n चा बहुपदी आहे.

असे अविभाज्य ओळख वापरून अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे आढळतात:

.
या समीकरणात फरक करून आणि डाव्या आणि उजव्या बाजूचे समीकरण केल्यास, आपल्याला A i गुणांक सापडतो.

प्रकार II

फॉर्मचा अविभाज्य भाग:
,
जेथे P m (x) हा अंश m चा बहुपदी आहे.

प्रतिस्थापन टी = (x - α) -1हे अविभाज्य मागील प्रकारात कमी केले आहे. m ≥ n असल्यास, अपूर्णांकात पूर्णांक भाग असावा.

III प्रकार

येथे आम्ही प्रतिस्थापन करतो:
.
ज्यानंतर इंटिग्रल फॉर्म घेईल:
.
पुढे, स्थिरांक α, β अशा प्रकारे निवडणे आवश्यक आहे की भाजकात t साठी गुणांक शून्य होईल:
B = 0, B 1 = 0.
मग अविभाज्य दोन प्रकारच्या अविभाज्यांच्या बेरीजमध्ये विघटित होते:
,
,
जे प्रतिस्थापनांद्वारे एकत्रित केले जातात:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) त्रिकोणमितीय आणि हायपरबोलिक प्रतिस्थापन

फॉर्मच्या अविभाज्य घटकांसाठी, ए > 0 ,
आमच्याकडे तीन मुख्य पर्याय आहेत:
;
;
;

इंटिग्रल्ससाठी, ए > 0 ,
आमच्याकडे खालील पर्याय आहेत:
;
;
;

आणि शेवटी, इंटिग्रल्ससाठी, ए > 0 ,
प्रतिस्थापन खालीलप्रमाणे आहेत:
;
;
;

3) यूलर पर्याय

तसेच, इंटिग्रल्स तीन यूलर प्रतिस्थापनांपैकी एकाच्या तर्कसंगत कार्यांच्या अविभाज्यांमध्ये कमी केले जाऊ शकतात:
, a > 0 साठी;
, c > 0 साठी;
, जेथे x 1 हे समीकरण a x 2 + b x + c = 0 आहे.

लंबवर्तुळाकार इंटिग्रल्स

शेवटी, फॉर्मचे अविभाज्य घटक विचारात घ्या:
,
जेथे R हे परिमेय कार्य आहे, .

अशा अविभाज्यांना लंबवर्तुळाकार म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, ते प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जात नाहीत. तथापि, अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा गुणांक A, B, C, D, E यांच्यातील संबंध असतात, ज्यामध्ये असे अविभाज्य प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जातात.
.

खाली रिफ्लेक्सिव्ह बहुपदांशी संबंधित एक उदाहरण आहे. अशा इंटिग्रल्सची गणना प्रतिस्थापन वापरून केली जाते:

उदाहरण
.

इंटिग्रलची गणना करा:

उपाय

.
चला एक प्रतिस्थापन करूया. 0 येथे x येथे > 0 (u>< 0 ) वरचे चिन्ह ′+ ′ घ्या. एक्स येथे< 0 (यू

.

) - कमी ′- ′.

उत्तर द्या
वापरलेले साहित्य:

हा विभाग तर्कसंगत कार्ये एकत्रित करण्याच्या पद्धतीवर चर्चा करेल. ७.१. परिमेय कार्यांबद्दल थोडक्यात माहिती सर्वात सोपी परिमेय फंक्शन हे टिथ डिग्रीचे बहुपदी आहे, म्हणजे. फॉर्मचे एक फंक्शन जिथे वास्तविक स्थिरांक असतात आणि a0 Ф 0. बहुपदी Qn(x) ज्याचा गुणांक a0 = 1 असतो त्याला कमी म्हणतात. जर Q„(b) = 0 असेल तर वास्तविक संख्या b ला बहुपदी Qn(z) चे मूळ म्हणतात. हे ज्ञात आहे की वास्तविक गुणांकांसह प्रत्येक बहुपदी Qn(x) अनन्यपणे फॉर्मच्या वास्तविक घटकांमध्ये विघटित होते जेथे p, q वास्तविक गुणांक आहेत, आणि द्विघाती घटकांना वास्तविक मुळे नाहीत आणि म्हणून, वास्तविक रेखीय घटकांमध्ये विघटन करता येत नाही. समान घटक एकत्र करून (असल्यास) आणि साधेपणासाठी, बहुपदी Qn(x) कमी झाले आहे असे गृहीत धरून, आपण नैसर्गिक संख्या असलेल्या फॉर्ममध्ये त्याचे गुणांक लिहू शकतो. बहुपदी Qn(x) ची पदवी n च्या समान असल्याने, सर्व घातांकांची बेरीज a, /3,..., A, सर्व घातांकांच्या दुहेरी बेरीज ω,..., q, समान असते ते n: बहुपदीच्या मूळ a ला साधे किंवा एकल म्हणतात, जर a = 1, आणि जर a > 1 असेल तर एकाधिक; a या संख्येला मूळ a चे गुणाकार म्हणतात. बहुपदीच्या इतर मुळांनाही हेच लागू होते. परिमेय फंक्शन f(x) किंवा परिमेय अपूर्णांक हे दोन बहुपदींचे गुणोत्तर आहे आणि असे गृहीत धरले जाते की बहुपदी Pm(x) आणि Qn(x) मध्ये सामान्य घटक नाहीत. जर अंशातील बहुपदीची पदवी भाजकातील बहुपदीच्या अंशापेक्षा कमी असेल तर परिमेय अपूर्णांकाला योग्य म्हटले जाते, उदा. जर m n असेल, तर परिमेय अपूर्णांकाला अयोग्य अपूर्णांक म्हणतात, आणि या प्रकरणात, बहुपदांना विभाजित करण्याच्या नियमानुसार अंशाने भागाकार केल्यास, ते काही बहुपदी आहेत त्या स्वरूपात दर्शवले जाऊ शकते आणि ^^ हे योग्य आहे. तर्कसंगत अपूर्णांक. उदाहरण 1. परिमेय अपूर्णांक हा अयोग्य अपूर्णांक आहे. "कोपरा" ने विभाजित केल्याने, आपल्याकडे आहे. येथे. आणि तो एक योग्य अंश आहे. हे स्थिरांक शोधण्यासाठी, समानतेची उजवीकडील बाजू (I) एका सामान्य भाजकावर आणली जाते आणि नंतर डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अंकांमधील x च्या समान शक्तींवरील गुणांक समीकरण केले जातात. हे रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली देते ज्यामधून आवश्यक स्थिरांक सापडतात. . अज्ञात स्थिरांक शोधण्याच्या या पद्धतीला अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत म्हणतात. काहीवेळा अज्ञात स्थिरांक शोधण्याची दुसरी पद्धत वापरणे अधिक सोयीचे असते, ज्यामध्ये अंशांचे समीकरण केल्यानंतर, x च्या संदर्भात एक ओळख प्राप्त होते, ज्यामध्ये x ला काही मूल्ये दिली जातात, उदाहरणार्थ, मूल्ये. मुळांचा, परिणामी स्थिरांक शोधण्यासाठी समीकरणे. हे विशेषतः सोयीचे आहे जर Q„(x) ची फक्त वास्तविक साधी मुळे असतील. उदाहरण 2. परिमेय अपूर्णांकाचे सोप्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन करा. आम्ही भाजकाचे गुणाकारांमध्ये विघटन करतो: भाजकाची मुळे वास्तविक आणि भिन्न असल्याने, सूत्र (1) च्या आधारे, अपूर्णांकाचे सर्वात सोप्यामध्ये विघटन करण्याचे स्वरूप असेल: त्या समानतेचा योग्य सन्मान कमी करणे. सामाईक भाजक आणि त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अंशांचे समीकरण केल्याने आपल्याला ओळख मिळते किंवा आपल्याला अज्ञात गुणांक A. 2?, C दोन प्रकारे सापडतात. पहिला मार्ग x, t.v च्या समान शक्तींसाठी गुणांकांचे समीकरण करणे. (मुक्त पद) आणि ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूसह, आम्ही अज्ञात गुणांक A, B, C शोधण्यासाठी समीकरणांची एक रेखीय प्रणाली प्राप्त करतो: या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे C दुसरी पद्धत. भाजकाची मुळे i 0 वर फाटलेली असल्याने, आपल्याला 2 = 2A मिळेल, जेथून A * 1; g i 1, आम्हाला -1 * -B मिळेल, ज्यातून 5 * 1; x i 2, आपल्याला 2 = 2C मिळेल. जेथून C» 1, आणि आवश्यक विस्ताराला फॉर्म 3 आहे. Rehlozhnt सर्वात सोपा अपूर्णांक परिमेय अपूर्णांक 4 आम्ही विरुद्ध दिशेने असलेल्या बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन करतो: . भाजकाची दोन भिन्न वास्तविक मुळे आहेत: x\ = 0 गुणाकाराचा गुणाकार 3. म्हणून, या अपूर्णांकाचे विघटन सर्वात सोपे नाही: उजवीकडील बाजू एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे, आम्ही शोधतो किंवा पहिली पद्धत. शेवटच्या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या समान शक्तींसाठी गुणांक समीकरण करणे. आम्ही समीकरणांची एक रेखीय प्रणाली प्राप्त करतो या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे आणि आवश्यक विस्तार ही दुसरी पद्धत असेल. परिणामी ओळख मध्ये, x = 0 टाकल्यावर, आपल्याला 1 a A2, किंवा A2 = 1 मिळेल; फील्ड* गे x = -1, आम्हाला -3 i B), किंवा Bj i -3 मिळेल. गुणांक A\ आणि B) ची आढळलेली मूल्ये बदलताना) आणि ओळख फॉर्म घेईल किंवा x = 0, आणि नंतर x = -I टाकेल. आम्हाला आढळले की = 0, B2 = 0 आणि. याचा अर्थ B\ = 0. अशाप्रकारे, आम्ही पुन्हा उदाहरण 4 प्राप्त करतो. परिमेय अपूर्णांक 4 ला साध्या अपूर्णांकांमध्ये विस्तृत करा, कारण x च्या कोणत्याही वास्तविक मूल्यांसाठी x2 + 1 हे कार्य नाहीसे होत नाही. म्हणून, साध्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन होण्याचे स्वरूप असावे येथून आपल्याला मिळते किंवा. शेवटच्या समानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या सिनॅक्स पॉवर्सच्या गुणांकांचे समीकरण केल्याने, आपल्याला जिथे सापडेल ते आपल्याकडे असेल आणि म्हणूनच, हे लक्षात घेतले पाहिजे की काही प्रकरणांमध्ये साध्या अपूर्णांकांमध्ये विस्तार कृती करून जलद आणि सुलभपणे मिळवता येतो. इतर कोणत्याही प्रकारे, अनिश्चित गुणांकांची पद्धत न वापरता उदाहरणार्थ, उदाहरण 3 मध्ये अपूर्णांकाचे विघटन मिळविण्यासाठी, तुम्ही 3x2 अंशामध्ये जोडू आणि वजा करू शकता आणि खाली दर्शविल्याप्रमाणे भागाकार करू शकता. ७.२. साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण, वर नमूद केल्याप्रमाणे, कोणताही अयोग्य परिमेय अपूर्णांक काही बहुपदी आणि योग्य परिमेय अपूर्णांक (§7) ची बेरीज म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो आणि हे प्रतिनिधित्व अद्वितीय आहे. बहुपदी समाकलित करणे कठीण नाही, म्हणून योग्य परिमेय अपूर्णांक एकत्रित करण्याच्या प्रश्नाचा विचार करा. कोणताही योग्य परिमेय अपूर्णांक साध्या अपूर्णांकांची बेरीज म्हणून दर्शवता येत असल्याने, त्याचे एकत्रीकरण साध्या अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणात कमी केले जाते. आता त्यांच्या एकात्मतेच्या प्रश्नावर विचार करूया. III. तिसऱ्या प्रकारातील सर्वात सोप्या अपूर्णांकाचा अविभाज्य भाग शोधण्यासाठी, आम्ही द्विपदीचा पूर्ण वर्ग त्रिपदी वर्गापासून विलग करतो: दुसरी संज्ञा a2 च्या बरोबरीची असल्याने, आम्ही कुठे आणि नंतर प्रतिस्थापन करतो. नंतर, इंटिग्रलचे रेषीय गुणधर्म लक्षात घेऊन, आम्हाला आढळते: उदाहरण 5. अविभाज्य शोधा 4 इंटिग्रँड फंक्शन हा तिस-या प्रकाराचा सर्वात सोपा अपूर्णांक आहे, कारण चौरस त्रिपदी x1 + Ax + 6 चे कोणतेही वास्तविक मूळ नाही (त्याचे भेदभाव ऋण आहे: , आणि अंशामध्ये पहिल्या अंशाचा बहुपद आहे म्हणून, आम्ही पुढीलप्रमाणे पुढे जाऊ: 1) भाजकातील परिपूर्ण वर्ग निवडा 2) एक प्रतिस्थापन (येथे 3) * एक पूर्णांक शोधण्यासाठी. चौथ्या प्रकारातील सर्वात सोपा अपूर्णांक, आम्ही वरीलप्रमाणे, ठेवतो. मग आपल्याला A ने दर्शविलेले उजव्या बाजूचे इंटिग्रल मिळते आणि त्याचे खालीलप्रमाणे रूपांतर होते: उजव्या बाजूचे इंटिग्रल भागांद्वारे एकत्रित केले जाते, हे गृहीत धरून किंवा परिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण परिमेय कार्यांबद्दल थोडक्यात माहिती साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सामान्य केस अपरिमेयचे एकत्रीकरण फंक्शन्स यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन दुसरे यूलर प्रतिस्थापन तिसरे प्रतिस्थापन यूलर आम्ही तथाकथित आवर्ती सूत्र प्राप्त केले आहे, जे आम्हाला कोणत्याही k = 2, 3, साठी अविभाज्य Jk शोधण्याची परवानगी देते. ... खरंच, अविभाज्य J\ हे सारणीबद्ध आहे: पुनरावृत्ती सूत्रात ठेवल्यास, आपल्याला Knowing सापडतो आणि A = 3 ठेवल्यास, आपण सहज Jj आणि असेच शोधू शकतो. अंतिम परिणामात, सर्वत्र t आणि a ऐवजी x आणि गुणांक p आणि q च्या ऐवजी त्यांची अभिव्यक्ती बदलून, आम्ही मूळ अविभाज्य अभिव्यक्तीसाठी x आणि दिलेल्या संख्या M, LG, p, q मिळवतो. उदाहरण 8. नवीन इंटिग्रल “इंटिग्रँड फंक्शन हा चौथ्या प्रकाराचा सर्वात सोपा अपूर्णांक आहे, कारण चौरस त्रिपदाचा भेदभाव ऋणात्मक आहे, म्हणजे. याचा अर्थ असा की भाजकाला वास्तविक मुळे नाहीत आणि अंश हा 1ल्या अंशाचा बहुपदी आहे. १) आम्ही भाजकामध्ये पूर्ण वर्ग निवडतो 2) आम्ही एक प्रतिस्थापन करतो: अविभाज्य फॉर्म घेईल: पुनरावृत्ती सूत्र * = 2, a3 = 1 मध्ये टाकणे. आपल्याकडे असेल, आणि म्हणून, आवश्यक पूर्णांक समान आहे व्हेरिएबल x वर परत आल्यावर आपल्याला शेवटी ७.३ मिळते. परिच्छेदांच्या परिणामांमधून सामान्य प्रकरण. या विभागातील 1 आणि 2 ताबडतोब एका महत्त्वाच्या प्रमेयाचे अनुसरण करतात. प्रमेय! 4. कोणत्याही परिमेय फंक्शनचा अनिश्चित अविभाज्य घटक नेहमी अस्तित्वात असतो (अंतरालांवर ज्यामध्ये अपूर्णांक Q „(x) φ 0 चा भाजक असतो) आणि प्राथमिक फंक्शन्सच्या मर्यादित संख्येद्वारे व्यक्त केला जातो, म्हणजे, ही बीजगणितीय बेरीज आहे, अटी ज्याचा फक्त गुणाकार केला जाऊ शकतो , परिमेय अपूर्णांक, नैसर्गिक लॉगरिदम आणि आर्कटॅजंट. तर, अपूर्णांक-परिमेय फंक्शनचा अनिश्चित पूर्णांक शोधण्यासाठी, खालील प्रकारे पुढे जावे: 1) जर परिमेय अपूर्णांक अयोग्य असेल, तर अंशाला भाजकाने भागून, संपूर्ण भाग वेगळा केला जातो, म्हणजे, हे कार्य बहुपदी आणि योग्य परिमेय अपूर्णांकाची बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाते; 2) नंतर परिणामी योग्य अपूर्णांकाचा भाजक रेखीय आणि द्विघाती घटकांच्या गुणाकारात विघटित होतो; 3) हा योग्य अपूर्णांक साध्या अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये विघटित होतो; 4) इंटिग्रलची रेखीयता आणि चरण 2 ची सूत्रे वापरून, प्रत्येक पदाचे अविभाज्य स्वतंत्रपणे आढळतात. उदाहरण 7. अविभाज्य M शोधा. भाजक हा तिस-या क्रमाचा बहुपदी असल्यामुळे, इंटिग्रँड फंक्शन हा अयोग्य अपूर्णांक आहे. आम्ही त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करतो: म्हणून, आमच्याकडे असेल. योग्य अपूर्णांकाच्या भाजकाला phi भिन्न वास्तविक मुळे असतात: आणि म्हणून त्याचे विघटन साध्या अपूर्णांकांमध्ये होते म्हणून आपल्याला आढळते. x ची मूल्ये भाजकाच्या मुळाशी समान आहेत असा युक्तिवाद देताना, आम्हाला या ओळखीवरून असे आढळून येते की: परिणामी, आवश्यक अविभाज्य हे उदाहरण 8 च्या बरोबरीचे असेल. अविभाज्य 4 शोधा हा एक योग्य अपूर्णांक आहे, ज्याचा भाजक आहे दोन भिन्न वास्तविक मुळे: x - O गुणाकार 1 चा गुणाकार आणि x = 1 गुणाकार 3, म्हणून, समाकलनाचा साध्या अपूर्णांकांमध्ये विस्तार करणे या समानतेची उजवी बाजू एका समान भाजकाकडे आणणे आणि समानतेच्या दोन्ही बाजू कमी करणे. या भाजकाद्वारे, आम्ही प्राप्त करतो किंवा. आम्ही या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला x च्या समान शक्तींसाठी गुणांकांची समानता करतो: येथून आम्हाला आढळते. गुणांकांची सापडलेली मूल्ये विस्तारामध्ये बदलून, आपल्याला आढळेल: उदाहरण 9. अविभाज्य शोधा 4 अपूर्णांकाच्या भाजकाला वास्तविक मुळे नाहीत. त्यामुळे, साध्या अपूर्णांकांमध्ये इंटिग्रँडच्या विस्ताराचे स्वरूप आहे म्हणून किंवा या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या समान शक्तींसाठी गुणांक समीकरण करणे, आपल्याला जिथून सापडेल तेथून आपल्याला रिमार्क मिळेल. दिलेल्या उदाहरणात, इंटिग्रँड फंक्शन हे साध्या अपूर्णांकांची बेरीज म्हणून सोप्या पद्धतीने दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजे, अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये आपण भाजकामध्ये बिन निवडतो आणि नंतर आपण टर्म-दर-टर्म विभागणी करतो: § 8. अपरिमेय फंक्शन्सचे इंटिग्रेशन फॉर्मचे एक फंक्शन जिथे Pm आणि £?„ हे अनुक्रमे uub2,... व्हेरिएबल्समध्ये प्रकाराच्या अंशांचे बहुपद आहेत... याला ubu2j चे परिमेय कार्य म्हणतात... उदाहरणार्थ, दुसऱ्याचे बहुपदी u\ आणि u2 या दोन व्हेरिएबल्समधील पदवीचे स्वरूप आहे जेथे - काही वास्तविक स्थिरांक, आणि उदाहरण 1, फंक्शन हे z आणि y व्हेरिएबल्सचे परिमेय कार्य आहे, कारण ते तृतीय अंशाच्या बहुपदीचे गुणोत्तर आणि बहुपदी दोन्ही दर्शवते पाचव्या पदवीचे आणि एक यू फंक्शन नाही. जर व्हेरिएबल्स, या बदल्यात, व्हेरिएबल x ची फंक्शन्स असतात: तेव्हा फंक्शन ] ला उदाहरणाच्या फंक्शन्सचे परिमेय फंक्शन म्हणतात. फंक्शन हे r आणि rvdikvlv Pryaivr 3 चे परिमेय फंक्शन आहे. फॉर्मचे फंक्शन हे x आणि रॅडिकल y/r1 + 1 चे परिमेय फंक्शन नाही, तर ते फंक्शन्सचे परिमेय फंक्शन आहे, जसे की उदाहरणे दाखवतात, अपरिमेय फंक्शन्स नेहमी प्राथमिक फंक्शन्सद्वारे व्यक्त होत नाहीत. उदाहरणार्थ, ऍप्लिकेशन्समध्ये अनेकदा आढळणारे अविभाज्य घटक प्राथमिक कार्यांच्या संदर्भात व्यक्त केले जात नाहीत; या अविभाज्यांना अनुक्रमे पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकारचे लंबवर्तुळ अविभाज्य म्हणतात. जेव्हा तर्कहीन कार्यांचे एकत्रीकरण काही प्रतिस्थापनांच्या मदतीने कमी केले जाऊ शकते तेव्हा आपण त्या प्रकरणांचा विचार करू या. 1. अविभाज्य शोधणे आवश्यक आहे जेथे R(x, y) हे त्याच्या x आणि y वितर्कांचे परिमेय कार्य आहे; m £2 - नैसर्गिक संख्या; a, 6, c, d हे वास्तविक स्थिरांक आहेत जे ad - bc ^ O (जाहिरात - be = 0 साठी, गुणांक a आणि b हे गुणांक c आणि d च्या प्रमाणात आहेत, आणि म्हणून संबंध x वर अवलंबून नाही ; याचा अर्थ असा की या प्रकरणात integrand फंक्शन हे व्हेरिएबल x चे परिमेय फंक्शन असेल, ज्याच्या एकत्रीकरणाची आधी चर्चा केली होती). पुढे आपण शोधतो किंवा, सरलीकरणानंतर, म्हणून जेथे A1 (t) हे * चे परिमेय फंक्शन आहे, कारण परिमेय फंक्शनचे परिमेय फनाडिया, तसेच परिमेय फंक्शन्सचे उत्पादन, परिमेय कार्ये आहेत. तर्कसंगत कार्ये कशी एकत्रित करायची हे आम्हाला माहित आहे. मग आवश्यक अविभाज्य At बरोबर असू द्या. IvYti इंटिग्रल 4 इंटिग्रँड* फंक्शन चे परिमेय फंक्शन आहे. म्हणून, आम्ही सेट करतो t = नंतर परिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण परिमेय फंक्शन्सची थोडक्यात माहिती साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सामान्य केस अपरिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन यूलरचे दुसरे प्रतिस्थापन यूलरचे तिसरे प्रतिस्थापन अशा प्रकारे, आम्हाला प्राइमर 5 प्राप्त होते. सामान्य डी इंटिग्रलचे इंटिग्रल शोधा. x चे घातांक 12 च्या बरोबरीचे आहेत, त्यामुळे फंक्शनचे इंटिग्रँड 1 _ 1_ या फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकते जे दर्शविते की ते एक तर्कसंगत कार्य आहे: हे लक्षात घेऊन, आपण ठेवू. परिणामी, 2. फॉर्मचे intephs विचारात घ्या जेथे सबइंटेफल फंक्शन असे आहे की त्यामध्ये रॅडिकल \/ax2 + bx + c ला y ने बदलून, आम्हाला R(x) y) - दोन्ही वितर्कांच्या संदर्भात परिमेय प्राप्त होतो आणि y. हे इंटिग्रल यूलरच्या प्रतिस्थापनांचा वापर करून दुसऱ्या व्हेरिएबलच्या परिमेय फंक्शनच्या इंटिग्रलमध्ये कमी केले जाते. ८.१. यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन गुणांक a > 0. सेट करू या किंवा म्हणून x हे u चे परिमेय कार्य म्हणून शोधू, ज्याचा अर्थ असा आहे की, सूचित प्रतिस्थापन * च्या दृष्टीने तर्कशुद्धपणे व्यक्त करते. म्हणून, आमच्याकडे एक टिप्पणी असेल. पहिले यूलर प्रतिस्थापन उदाहरण 6 मध्ये देखील घेतले जाऊ शकते. चला अविभाज्य शोधूया म्हणून, आपल्याकडे dx यूलरचे प्रतिस्थापन असेल, Y 8.2 दर्शवा. यूलरचे दुसरे प्रतिस्थापन त्रिपदी ax2 + bx + c ची भिन्न वास्तविक मुळे R] आणि x2 असू द्या (गुणकाला कोणतेही चिन्ह असू शकते). या प्रकरणात, आपण तेव्हापासून x,dxn y/ax2 + be + c हे t च्या संदर्भात तर्कशुद्धपणे व्यक्त केले जात असल्याने प्राप्त झाले असे गृहीत धरू, त्यानंतर मूळ अविभाज्य परिमेय फंक्शनच्या अविभाज्यतेपर्यंत कमी केले जाईल, म्हणजे जिथे समस्या आहे. यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन वापरून, ते t चे परिमेय कार्य आहे ते दाखवा. उदाहरण 7. इंटिग्रल dx M फंक्शन शोधा] - x1 ची वास्तविक मुळे भिन्न आहेत. म्हणून, आम्ही दुसरे यूलर प्रतिस्थापन लागू करतो. आम्हाला 8.3 मिळते. थर्ड यूलर सबस्टॅटम गुणांक c > 0 घेऊ. आपण टाकून व्हेरिएबलमध्ये बदल करतो. लक्षात घ्या की परिमेय फंक्शनच्या अविभाज्य ते अविभाज्य कमी करण्यासाठी, प्रथम आणि द्वितीय यूलर प्रतिस्थापन पुरेसे आहेत. खरं तर, जर भेदभाव b2 -4ac > 0 असेल, तर चतुर्भुज त्रिपदी ax + bx + c ची मुळे वास्तविक आहेत आणि या प्रकरणात दुसरा यूलर प्रतिस्थापन लागू आहे. जर, त्रिपदी ax2 + bx + c चे चिन्ह गुणांक a च्या चिन्हाशी जुळत असेल आणि त्रिपद धनात्मक असणे आवश्यक आहे, तर a > 0. या प्रकरणात, यूलरचा पहिला पर्याय लागू आहे. वर दर्शविलेल्या प्रकाराचे अविभाज्य घटक शोधण्यासाठी, युलरचे पर्याय वापरणे नेहमीच उचित नाही, कारण त्यांच्यासाठी इतर एकीकरणाच्या पद्धती शोधणे शक्य आहे ज्यामुळे लक्ष्य जलद होते. यापैकी काही अविभाज्य घटकांचा विचार करूया. 1. फॉर्मचे अविभाज्य शोधण्यासाठी, व्या त्रिपदाच्या वर्गापासून परिपूर्ण वर्ग वेगळे करा: जेथे यानंतर, एक प्रतिस्थापन करा आणि जेथे a आणि P गुणांक भिन्न आहेत किंवा ते दोन्ही सकारात्मक आहेत ते मिळवा. साठी, आणि > 0 साठी देखील, अविभाज्य लॉगरिदममध्ये कमी केले जाईल आणि तसे असल्यास, आर्कसिनमध्ये. येथे मग अविभाज्य 4 सोकाक शोधा. गृहीत धरून, आपल्याला Prmmar 9 मिळेल. शोधा. x - गृहीत धरून, आपल्याकडे 2 असेल. फॉर्मचा अविभाज्य भाग खालीलप्रमाणे चरण 1 वरून y मध्ये कमी केला जातो. व्युत्पन्न ()" = 2 हे लक्षात घेऊन, आम्ही ते अंशामध्ये हायलाइट करतो: 4 आम्ही अंशातील मूलगामी अभिव्यक्तीचे व्युत्पन्न ओळखतो. (x, नंतर, उदाहरण 9, 3 चे परिणाम लक्षात घेऊन आपल्याकडे असेल. P„(x) ही बहुपदी n -th पदवी आहे, त्या फॉर्मचे अविभाज्य घटक अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे शोधले जाऊ शकतात, ज्यामध्ये खालील गोष्टींचा समावेश आहे, असे समजू की समानता उदाहरण 10. Mighty integral जेथे Qn-i (s) अनिश्चित गुणांकांसह (n - 1) पदवी आहे: अज्ञात गुणांक शोधण्यासाठी आपण (1) च्या दोन्ही बाजूंना वेगळे करतो: नंतर आपण समानता (2) च्या समान भाजकापर्यंत कमी करतो. डाव्या बाजूचा भाजक, म्हणजे y/ax2 + bx + c, (2) च्या दोन्ही बाजू कमी करणे ज्याद्वारे आपण दोन्ही बाजूंना ओळख प्राप्त करतो ज्यामध्ये डिग्री n च्या समान अंशांसाठी गुणांक असतात (3) च्या डाव्या आणि उजव्या बाजू, आम्हाला n + 1 समीकरणे मिळतात, ज्यातून आम्हाला आवश्यक गुणांक j4*(fc = 0,1,2,..., n) मिळतात पैकी (1) आणि अविभाज्य + c शोधून आपल्याला या पूर्णांकाचे उत्तर मिळते. उदाहरण 11. अविभाज्य शोधा, समानतेचे दोन्ही दावे वेगळे करू या, आपल्याला उजवी बाजू समान भाजकाकडे आणणे आणि त्याद्वारे दोन्ही बाजू कमी करणे, आपल्याला ओळख मिळेल किंवा. x च्या समान शक्तींवर गुणांक समीकरण करून, आपण समीकरणांच्या एका प्रणालीवर पोहोचतो ज्यातून आपल्याला सापडतो = नंतर आपल्याला समानतेच्या उजव्या बाजूला अविभाज्य सापडतो (4): परिणामी, आवश्यक पूर्णांक समान असेल