जटिल चलची कार्ये.
कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सचा फरक.

हा लेख धड्यांची मालिका उघडतो ज्यामध्ये मी जटिल व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या सिद्धांताशी संबंधित विशिष्ट समस्यांचा विचार करेन. उदाहरणे यशस्वीरित्या पार पाडण्यासाठी, तुम्हाला जटिल संख्यांचे मूलभूत ज्ञान असणे आवश्यक आहे. सामग्री एकत्रित करण्यासाठी आणि पुनरावृत्ती करण्यासाठी, फक्त पृष्ठास भेट द्या. आपल्याला शोधण्यासाठी कौशल्य देखील आवश्यक असेल दुसरी ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज. हे आहेत, हे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज... आताही ते किती वेळा होतात याबद्दल मला थोडे आश्चर्य वाटले...

आपण ज्या विषयाचे परीक्षण करू लागलो आहोत त्यात कोणत्याही विशिष्ट अडचणी येत नाहीत आणि जटिल व्हेरिएबलच्या कार्यांमध्ये, तत्त्वतः, सर्वकाही स्पष्ट आणि प्रवेशयोग्य आहे. मुख्य गोष्ट म्हणजे मूलभूत नियमांचे पालन करणे, जे मी प्रायोगिकरित्या प्राप्त केले आहे. वाचा!

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शनची संकल्पना

प्रथम, एका व्हेरिएबलच्या शाळेच्या कार्याबद्दलचे आपले ज्ञान रीफ्रेश करूया:

सिंगल व्हेरिएबल फंक्शनहा एक नियम आहे ज्यानुसार स्वतंत्र व्हेरिएबलचे प्रत्येक मूल्य (परिभाषेच्या डोमेनवरून) फंक्शनच्या एक आणि फक्त एकाच मूल्याशी संबंधित आहे. स्वाभाविकच, “x” आणि “y” या वास्तविक संख्या आहेत.

जटिल प्रकरणात, कार्यात्मक अवलंबित्व त्याच प्रकारे निर्दिष्ट केले आहे:

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलचे सिंगल-व्हॅल्युड फंक्शन- हा नियम आहे ज्यानुसार प्रत्येकजण सर्वसमावेशकस्वतंत्र व्हेरिएबलचे मूल्य (परिभाषेच्या डोमेनवरून) एक आणि फक्त एकाशी संबंधित आहे सर्वसमावेशककार्य मूल्य. सिद्धांत बहु-मूल्यवान आणि इतर काही प्रकारची कार्ये देखील मानतो, परंतु साधेपणासाठी मी एका व्याख्येवर लक्ष केंद्रित करेन.

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबल फंक्शनमध्ये काय फरक आहे?

मुख्य फरक: जटिल संख्या. मी उपरोधिक नाही. असे प्रश्न अनेकदा लोकांना स्तब्ध करतात; लेखाच्या शेवटी मी तुम्हाला एक मजेदार कथा सांगेन. धडा येथे डमीसाठी जटिल संख्याआम्ही फॉर्ममध्ये एक जटिल संख्या मानली. आतापासून "z" अक्षर झाले आहे चल, नंतर आपण ते खालीलप्रमाणे दर्शवू: , तर “x” आणि “y” भिन्न घेऊ शकतात वैधअर्थ ढोबळपणे बोलायचे झाल्यास, जटिल व्हेरिएबलचे कार्य व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असते आणि , जे "सामान्य" मूल्ये घेतात. या वस्तुस्थितीवरून खालील मुद्दा तार्किकदृष्ट्या पुढे येतो:

जटिल व्हेरिएबलचे कार्य असे लिहिले जाऊ शकते:
, दोन ची दोन कार्ये कुठे आणि आहेत वैधचल

फंक्शन म्हणतात वास्तविक भागकार्ये
फंक्शन म्हणतात काल्पनिक भागकार्ये

म्हणजेच, जटिल चलचे कार्य दोन वास्तविक कार्यांवर अवलंबून असते आणि . शेवटी सर्वकाही स्पष्ट करण्यासाठी, चला व्यावहारिक उदाहरणे पाहू:

उदाहरण १

उपाय:स्वतंत्र व्हेरिएबल “zet”, जसे तुम्हाला आठवते, फॉर्ममध्ये लिहिलेले आहे, म्हणून:

(1) आम्ही बदलले.

(2) पहिल्या पदासाठी, संक्षिप्त गुणाकार सूत्र वापरले होते. टर्ममध्ये, कंस उघडला गेला आहे.

(3) काळजीपूर्वक स्क्वेअर करा, हे विसरू नका

(4) अटींची पुनर्रचना: प्रथम आपण अटी पुन्हा लिहू , ज्यामध्ये कोणतेही काल्पनिक एकक नाही(पहिला गट), नंतर अटी जेथे आहेत (दुसरा गट). हे लक्षात घेतले पाहिजे की अटी बदलणे आवश्यक नाही आणि ही पायरी वगळली जाऊ शकते (प्रत्यक्षात तोंडी करून).

(5) दुसऱ्या गटासाठी आपण ते कंसातून बाहेर काढतो.

परिणामी, आमचे कार्य फॉर्ममध्ये प्रस्तुत केले गेले

उत्तर:
- फंक्शनचा वास्तविक भाग.
- फंक्शनचा काल्पनिक भाग.

ही फंक्शन्स कोणत्या प्रकारची होती? दोन व्हेरिएबल्सची सर्वात सामान्य फंक्शन्स ज्यामधून तुम्हाला असे लोकप्रिय सापडतील आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज. दया न करता, आम्ही ते शोधू. पण थोड्या वेळाने.

थोडक्यात, सोडवलेल्या समस्येचे अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते: आम्ही मूळ फंक्शनमध्ये बदलतो, सरलीकरण करतो आणि सर्व संज्ञांना दोन गटांमध्ये विभागतो - काल्पनिक एककाशिवाय (वास्तविक भाग) आणि काल्पनिक एककासह (काल्पनिक भाग) .

उदाहरण २

फंक्शनचा वास्तविक आणि काल्पनिक भाग शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. तुम्ही तुमचे चेकर्स काढलेल्या जटिल विमानात युद्धात उतरण्यापूर्वी, मी तुम्हाला या विषयावरील सर्वात महत्वाचा सल्ला देतो:

काळजी घ्या!आपण सावधगिरी बाळगणे आवश्यक आहे, अर्थातच, सर्वत्र, परंतु जटिल संख्येमध्ये आपण नेहमीपेक्षा अधिक सावध असले पाहिजे! लक्षात ठेवा, कंस काळजीपूर्वक उघडा, काहीही गमावू नका. माझ्या निरीक्षणानुसार, सर्वात सामान्य चूक म्हणजे चिन्हाचे नुकसान. घाई नको!

धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

आता घन. संक्षिप्त गुणाकार सूत्र वापरून, आम्ही प्राप्त करतो:
.

सूत्रे सराव मध्ये वापरण्यास अतिशय सोयीस्कर आहेत, कारण ते समाधान प्रक्रियेस लक्षणीय गती देतात.

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सचा फरक.

माझ्याकडे दोन बातम्या आहेत: चांगल्या आणि वाईट. मी चांगल्यापासून सुरुवात करेन. कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शनसाठी, भेदभावाचे नियम आणि प्राथमिक फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह सारणी वैध आहेत. अशा प्रकारे, व्युत्पन्न वास्तविक व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या बाबतीत अगदी तशाच प्रकारे घेतले जाते.

वाईट बातमी अशी आहे की बऱ्याच जटिल व्हेरिएबल फंक्शन्ससाठी कोणतेही व्युत्पन्न अजिबात नाही आणि तुम्हाला हे शोधून काढावे लागेल ते वेगळे करण्यायोग्य आहे का?एक किंवा दुसरे कार्य. आणि तुमच्या हृदयाला कसे वाटते हे "आकडा काढणे" अतिरिक्त समस्यांशी संबंधित आहे.

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलचे कार्य पाहू. हे फंक्शन वेगळे होण्यासाठी हे आवश्यक आणि पुरेसे आहे:

1) जेणेकरून प्रथम-ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह अस्तित्वात आहेत. या नोटेशन्सबद्दल लगेच विसरा, कारण जटिल व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या सिद्धांतामध्ये पारंपारिकपणे भिन्न नोटेशन वापरले जाते: .

2) तथाकथित अमलात आणणे Cauchy-Riemann परिस्थिती:

केवळ या प्रकरणात व्युत्पन्न अस्तित्वात असेल!

उदाहरण ३

उपायतीन सलग टप्प्यात विभागलेले आहे:

1) फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग शोधू. या कार्याची मागील उदाहरणांमध्ये चर्चा केली गेली होती, म्हणून मी टिप्पणीशिवाय ते लिहीन:

तेंव्हापासून:

अशा प्रकारे:

- फंक्शनचा काल्पनिक भाग.

मला आणखी एका तांत्रिक मुद्द्यावर स्पर्श करू द्या: कोणत्या क्रमानेवास्तविक आणि काल्पनिक भागांमध्ये संज्ञा लिहा? होय, तत्वतः, काही फरक पडत नाही. उदाहरणार्थ, वास्तविक भाग असे लिहिले जाऊ शकते: , आणि काल्पनिक - यासारखे: .

२) कॉची-रिमन अटींची पूर्तता तपासूया. त्यापैकी दोन आहेत.

चला स्थिती तपासून सुरुवात करूया. आम्ही शोधतो आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज:

अशा प्रकारे, परिस्थिती समाधानी आहे.

अर्थात, चांगली बातमी अशी आहे की आंशिक डेरिव्हेटिव्ह जवळजवळ नेहमीच खूप सोपे असतात.

आम्ही दुसऱ्या अटीची पूर्तता तपासतो:

परिणाम समान आहे, परंतु विरुद्ध चिन्हांसह, म्हणजे, अट देखील पूर्ण होते.

Cauchy-Riemann अटी समाधानी आहेत, म्हणून कार्य भिन्न आहे.

३) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधू. व्युत्पन्न देखील खूप सोपे आहे आणि नेहमीच्या नियमांनुसार आढळते:

भिन्नतेदरम्यान काल्पनिक एकक स्थिर मानले जाते.

उत्तर: - वास्तविक भाग, - काल्पनिक भाग.
Cauchy-Riemann च्या परिस्थिती समाधानी आहेत, .

व्युत्पन्न शोधण्याचे आणखी दोन मार्ग आहेत, ते अर्थातच कमी वेळा वापरले जातात, परंतु दुसरा धडा समजून घेण्यासाठी माहिती उपयुक्त ठरेल - कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलचे फंक्शन कसे शोधायचे?

सूत्र वापरून व्युत्पन्न शोधले जाऊ शकते:

या प्रकरणात:

अशा प्रकारे

आपल्याला व्यस्त समस्येचे निराकरण करावे लागेल - परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये आपल्याला वेगळे करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, अटींमध्ये आणि कंसाच्या बाहेर हे आवश्यक आहे:

उलट कृती, जसे की अनेकांच्या लक्षात आले आहे, तपासणे काहीसे कठीण आहे, ड्राफ्टवर अभिव्यक्ती घेणे किंवा तोंडी कंस परत उघडणे केव्हाही चांगले आहे, याची खात्री करून घ्या की परिणाम नक्की आहे;

व्युत्पन्न शोधण्यासाठी मिरर सूत्र:

या प्रकरणात: , म्हणून:

उदाहरण ४

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा . Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा. Cauchy-Riemann अटी पूर्ण झाल्यास, फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.

एक लहान उपाय आणि धड्याच्या शेवटी अंतिम डिझाइनचा अंदाजे नमुना.

Cauchy-Riemann च्या परिस्थिती नेहमी समाधानी असतात का? सैद्धांतिकदृष्ट्या, ते पूर्ण होण्यापेक्षा जास्त वेळा पूर्ण होत नाहीत. परंतु व्यावहारिक उदाहरणांमध्ये, मला एक केस आठवत नाही जिथे त्यांची पूर्तता झाली नाही =) अशा प्रकारे, जर तुमचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह "एकत्रित झाले नाहीत" तर, खूप उच्च संभाव्यतेसह आपण असे म्हणू शकता की आपण कुठेतरी चूक केली आहे.

चला आमची फंक्शन्स क्लिष्ट करूया:

उदाहरण ५

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा . Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा. गणना करा

उपाय:सोल्यूशन अल्गोरिदम पूर्णपणे संरक्षित आहे, परंतु शेवटी एक नवीन बिंदू जोडला जाईल: एका बिंदूवर व्युत्पन्न शोधणे. क्यूबसाठी, आवश्यक सूत्र आधीच प्राप्त केले गेले आहे:

चला या फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग परिभाषित करूया:

पुन्हा लक्ष आणि लक्ष!

तेंव्हापासून:


अशा प्रकारे:
- फंक्शनचा वास्तविक भाग;
- फंक्शनचा काल्पनिक भाग.

दुसरी अट तपासत आहे:

परिणाम समान आहे, परंतु विरुद्ध चिन्हांसह, म्हणजे, अट देखील पूर्ण होते.

Cauchy-Riemann अटी समाधानी आहेत, म्हणून कार्य भिन्न आहे:

आवश्यक बिंदूवर व्युत्पन्न मूल्याची गणना करूया:

उत्तर:, , Cauchy-Riemann अटी समाधानी आहेत,

क्यूब्ससह कार्ये सामान्य आहेत, म्हणून मजबूत करण्यासाठी येथे एक उदाहरण आहे:

उदाहरण 6

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा . Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा. गणना करा.

धड्याच्या शेवटी समाधान आणि पूर्ण करण्याचे उदाहरण.

जटिल विश्लेषणाच्या सिद्धांतामध्ये, जटिल युक्तिवादाची इतर कार्ये देखील परिभाषित केली जातात: घातांक, साइन, कोसाइन इ. या फंक्शन्समध्ये असामान्य आणि अगदी विचित्र गुणधर्म आहेत - आणि हे खरोखर मनोरंजक आहे! मला तुम्हाला खरोखर सांगायचे आहे, परंतु येथे, जसे घडते, ते संदर्भ पुस्तक किंवा पाठ्यपुस्तक नसून एक उपाय पुस्तक आहे, म्हणून मी काही सामान्य कार्यांसह समान समस्या विचारात घेईन.

तथाकथित बद्दल प्रथम यूलरची सूत्रे:

कोणासाठीही वैधसंख्या, खालील सूत्रे वैध आहेत:

तुम्ही ते तुमच्या नोटबुकमध्ये संदर्भ साहित्य म्हणून कॉपी देखील करू शकता.

काटेकोरपणे सांगायचे तर, एकच सूत्र आहे, परंतु सामान्यतः सोयीसाठी ते घातांकामध्ये वजा सह एक विशेष केस देखील लिहितात. पॅरामीटरमध्ये एक अक्षर असणे आवश्यक नाही; ते एक जटिल अभिव्यक्ती किंवा कार्य असू शकते, ते केवळ ते स्वीकारणे महत्वाचे आहे फक्त वैधअर्थ वास्तविक, आपण हे आत्ताच पाहू:

उदाहरण 7

व्युत्पन्न शोधा.

उपाय:पक्षाची सामान्य ओळ अचल राहते - कार्याचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग वेगळे करणे आवश्यक आहे. मी तपशीलवार उपाय देईन आणि खाली प्रत्येक चरणावर टिप्पणी देईन:

तेंव्हापासून:

(1) त्याऐवजी “z” बदला.

(2) प्रतिस्थापनानंतर, तुम्हाला वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निवडण्याची आवश्यकता आहे प्रथम सूचक मध्येप्रदर्शक हे करण्यासाठी, कंस उघडा.

(३) आम्ही काल्पनिक एकक कंसाच्या बाहेर ठेवून निर्देशकाचा काल्पनिक भाग गटबद्ध करतो.

(४) आम्ही शालेय कृती पदवीसह वापरतो.

(५) गुणकासाठी आपण युलरचे सूत्र वापरतो, आणि .

(6) कंस उघडा, परिणामी:

- फंक्शनचा वास्तविक भाग;
- फंक्शनचा काल्पनिक भाग.

पुढील क्रिया मानक आहेत; चला Cauchy-Riemann च्या अटी पूर्ण करूया:

उदाहरण ९

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा . Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा. मग ते असो, आम्हाला व्युत्पन्न सापडणार नाही.

उपाय:सोल्यूशन अल्गोरिदम मागील दोन उदाहरणांसारखेच आहे, परंतु तेथे खूप महत्वाचे मुद्दे आहेत, म्हणून मी पुन्हा चरण-दर-चरण प्रारंभिक टप्प्यावर टिप्पणी देईन:

तेंव्हापासून:

1) त्याऐवजी "z" बदला.

(२) प्रथम, आपण वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निवडतो सायनसच्या आत. या हेतूंसाठी, आम्ही कंस उघडतो.

(३) आम्ही सूत्र वापरतो, आणि .

(4) वापरा हायपरबोलिक कोसाइनची समानता: आणि हायपरबोलिक साइनची विषमता: . हायपरबोलिक्स, जरी या जगाच्या बाहेर असले तरी, अनेक प्रकारे समान त्रिकोणमितीय कार्यांची आठवण करून देतात.

अखेरीस:
- फंक्शनचा वास्तविक भाग;
- फंक्शनचा काल्पनिक भाग.

लक्ष द्या!वजा चिन्ह काल्पनिक भागाला सूचित करते आणि कोणत्याही परिस्थितीत आपण ते गमावू नये! स्पष्ट उदाहरणासाठी, वरील परिणाम खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिला जाऊ शकतो:

चला Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासूया:

Cauchy-Riemann अटी समाधानी आहेत.

उत्तर:, , Cauchy-Riemann अटी समाधानी आहेत.

स्त्रिया आणि सज्जनांनो, आपण ते स्वतःच शोधूया:

उदाहरण 10

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा. Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा.

मी जाणूनबुजून अधिक कठीण उदाहरणे निवडली, कारण प्रत्येकजण कवचयुक्त शेंगदाण्यासारख्या गोष्टीचा सामना करण्यास सक्षम असल्याचे दिसते. त्याच वेळी, आपण आपले लक्ष प्रशिक्षित कराल! धड्याच्या शेवटी नट क्रॅकर.

बरं, शेवटी, जेव्हा एक जटिल युक्तिवाद भाजकात असतो तेव्हा मी आणखी एक मनोरंजक उदाहरण पाहीन. हे व्यवहारात दोन वेळा घडले आहे, चला काहीतरी सोपे पाहू. अरे, मी म्हातारा होत आहे...

उदाहरण 11

फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करा. Cauchy-Riemann अटींची पूर्तता तपासा.

उपाय:पुन्हा फंक्शनचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग वेगळे करणे आवश्यक आहे.
जर तर

प्रश्न पडतो, जेव्हा “Z” भाजकात असेल तेव्हा काय करावे?

सर्व काही सोपे आहे - मानक मदत करेल संयुग्मित अभिव्यक्तीद्वारे अंश आणि भाजक गुणाकार करण्याची पद्धत, हे धड्याच्या उदाहरणांमध्ये आधीच वापरले गेले आहे डमीसाठी जटिल संख्या. चला शाळेचे सूत्र लक्षात ठेवूया. आपल्याकडे आधीपासून भाजक आहे, ज्याचा अर्थ संयुग्मित अभिव्यक्ती असेल. अशा प्रकारे, आपल्याला अंश आणि भाजक याने गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

शिक्षणासाठी फेडरल एजन्सी

___________________________________

सेंट पीटर्सबर्ग राज्य

इलेक्ट्रोटेक्निकल युनिव्हर्सिटी "LETI"

_______________________________________

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सचा सिद्धांत

मार्गदर्शक तत्त्वे

व्यावहारिक वर्गांना

उच्च गणितात

सेंट पीटर्सबर्ग

प्रकाशन गृह SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: समस्या सोडवण्यासाठी पद्धतशीर सूचना: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky: Publishing House of St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI", 2010. 32 p.

मंजूर

विद्यापीठाची संपादकीय आणि प्रकाशन परिषद

मार्गदर्शक तत्त्वे म्हणून

© SPbSETU "LETI", 2010

जटिल व्हेरिएबलची कार्ये,, सामान्य बाबतीत, वास्तविक विमानाच्या मॅपिंगपेक्षा भिन्न असतात
केवळ रेकॉर्डिंगच्या स्वरूपात. एक महत्त्वाची आणि अत्यंत उपयुक्त वस्तू म्हणजे जटिल व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सचा वर्ग,

एका व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सप्रमाणे समान व्युत्पन्न असणे. हे ज्ञात आहे की अनेक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शन्समध्ये आंशिक डेरिव्हेटिव्ह आणि दिशात्मक डेरिव्हेटिव्ह असू शकतात, परंतु, एक नियम म्हणून, वेगवेगळ्या दिशानिर्देशांमधील व्युत्पन्न एकरूप होत नाहीत आणि एका बिंदूवर डेरिव्हेटिव्हबद्दल बोलणे शक्य नाही. तथापि, जटिल व्हेरिएबलच्या फंक्शन्ससाठी ते ज्या परिस्थितीत फरक करण्यास परवानगी देतात त्यांचे वर्णन करणे शक्य आहे. जटिल व्हेरिएबलच्या भिन्न कार्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास ही पद्धतशीर सूचनांची सामग्री आहे. अशा फंक्शन्सचे गुणधर्म विविध समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी कसे वापरले जाऊ शकतात हे दर्शविण्याच्या उद्देशाने सूचना आहेत. जटिल संख्यांच्या गणनेतील मूलभूत कौशल्याशिवाय आणि जटिल संख्येच्या वास्तविक आणि काल्पनिक भागांना जोडणाऱ्या असमानतेच्या संदर्भात परिभाषित केलेल्या सर्वात सोप्या भौमितिक वस्तूंशी परिचित नसल्याशिवाय सादर केलेल्या सामग्रीचे यशस्वी प्रभुत्व अशक्य आहे. यासाठी आवश्यक असलेल्या सर्व माहितीचा सारांश मार्गदर्शक तत्त्वांमध्ये आढळू शकतो.

गणितीय विश्लेषणाचे मानक उपकरण: मर्यादा, व्युत्पन्न, अविभाज्य, मालिका मार्गदर्शक तत्त्वांच्या मजकुरात मोठ्या प्रमाणात वापरली जाते. जेथे या संकल्पनांची स्वतःची वैशिष्ट्ये आहेत, एका व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या तुलनेत, योग्य स्पष्टीकरण दिले जातात, परंतु बहुतेक प्रकरणांमध्ये वास्तविक आणि काल्पनिक भाग वेगळे करणे आणि वास्तविक विश्लेषणाचे मानक उपकरण लागू करणे पुरेसे आहे.

1. जटिल चलची प्राथमिक कार्ये

कोणत्या प्राथमिक फंक्शन्समध्ये हा गुणधर्म आहे हे शोधून जटिल व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या भिन्नतेच्या परिस्थितीची चर्चा सुरू करणे स्वाभाविक आहे. उघड नात्यातून

हे खालीलप्रमाणे आहे की कोणतीही बहुपदी भिन्नता आहे. आणि, पॉवर सिरीजला तिच्या अभिसरणाच्या वर्तुळात पदानुसार विभेद करता येत असल्याने,

मग कोणतेही फंक्शन टेलर सीरिजमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते अशा बिंदूंवर भिन्न आहे. ही एक पुरेशी अट आहे, परंतु, लवकरच स्पष्ट होईल, हे देखील आवश्यक आहे. फंक्शन आलेखाच्या वर्तनाचे परीक्षण करून त्यांच्या व्युत्पन्न संदर्भात एका चलच्या फंक्शन्सच्या अभ्यासास समर्थन देणे सोयीचे आहे. कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्ससाठी हे शक्य नाही. आलेख बिंदू परिमाण 4, .

तथापि, जटिल समतलातील अगदी सोप्या संचांच्या प्रतिमांचा विचार करून फंक्शनचे काही ग्राफिकल प्रतिनिधित्व मिळू शकते.
, दिलेल्या फंक्शनच्या प्रभावाखाली उद्भवणारे. उदाहरणार्थ, या दृष्टिकोनातून अनेक सोप्या कार्यांचा विचार करूया.

रेखीय कार्य

हे साधे फंक्शन खूप महत्वाचे आहे, कारण कोणतेही भिन्न कार्य स्थानिक पातळीवर रेखीय कार्यासारखे असते. फंक्शनच्या क्रियेचा जास्तीत जास्त तपशीलवार विचार करूया

येथे
-- जटिल संख्येचे मॉड्यूलस आणि -- त्याचा युक्तिवाद. अशा प्रकारे, रेखीय कार्य स्ट्रेचिंग, रोटेशन आणि भाषांतर करते. म्हणून, एक रेखीय मॅपिंग कोणत्याही संचाला समान संचात घेऊन जाते. विशेषतः, रेखीय मॅपिंगच्या प्रभावाखाली, सरळ रेषा सरळ रेषांमध्ये बदलतात आणि मंडळे वर्तुळात बदलतात.

कार्य

हे कार्य रेखीय नंतरचे सर्वात जटिल आहे. हे कोणत्याही रेषेचे सरळ रेषेत रूपांतर करेल अशी अपेक्षा करणे कठीण आहे, आणि वर्तुळाचे वर्तुळात रूपांतर होईल अशी साधी उदाहरणे दाखवतात की असे होत नाही, तथापि, हे कार्य सर्व रेषा आणि वर्तुळांच्या संचामध्ये रूपांतरित करते; स्वतः. हे सत्यापित करण्यासाठी, मॅपिंगच्या वास्तविक (समन्वय) वर्णनाकडे जाणे सोयीचे आहे

पुराव्यासाठी व्यस्त मॅपिंगचे वर्णन आवश्यक आहे

जर समीकरण विचारात घ्या
, नंतर आपल्याला रेषेचे सामान्य समीकरण मिळते. तर
, ते

म्हणून, केव्हा
अनियंत्रित वर्तुळाचे समीकरण मिळते.

लक्षात ठेवा की जर
आणि
, नंतर वर्तुळ मूळमधून जाते. तर
आणि
, नंतर तुम्हाला मूळमधून जाणारी सरळ रेषा मिळेल.

उलथापालथाच्या कृती अंतर्गत, विचाराधीन समीकरण फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहिले जाईल

, (
)

किंवा . हे पाहिले जाऊ शकते की हे देखील एक समीकरण आहे जे एकतर वर्तुळ किंवा सरळ रेषांचे वर्णन करते. समीकरणातील गुणांकांची वस्तुस्थिती आणि
अदलाबदल केलेली ठिकाणे म्हणजे उलथापालथ करताना, 0 मधून जाणाऱ्या सरळ रेषा वर्तुळात बदलतील आणि 0 मधून जाणारी मंडळे सरळ रेषेत बदलतील.

पॉवर फंक्शन्स

या फंक्शन्स आणि आधी चर्चा केलेल्या फंक्शन्समधला मुख्य फरक हा आहे की ते एकमेकांशी एक नाहीत (
). आपण असे म्हणू शकतो की कार्य
एका जटिल विमानाचे त्याच विमानाच्या दोन प्रतींमध्ये रूपांतर करते. या विषयाच्या अचूक उपचारासाठी रीमन पृष्ठभागांच्या अवजड उपकरणांचा वापर करणे आवश्यक आहे आणि येथे विचारात घेतलेल्या समस्यांच्या व्याप्तीच्या पलीकडे जाते. हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की जटिल विमान विभागांमध्ये विभागले जाऊ शकते, ज्यापैकी प्रत्येक जटिल विमानावर एक ते एक मॅप केलेले आहे. हे फंक्शनसाठी ब्रेकडाउन आहे
असे दिसते उदाहरणार्थ, वरच्या अर्ध्या विमानाला फंक्शनद्वारे एक-टू-वन मॅप केलेले आहे
. अशा प्रतिमांसाठी भौमितिक विकृती उलथापालथाच्या बाबतीत वर्णन करणे अधिक कठीण आहे. एक व्यायाम म्हणून, वरच्या अर्ध्या विमानाच्या आयताकृती निर्देशांकांचे ग्रिड प्रदर्शित करताना कशात बदलते ते आपण शोधू शकता

हे पाहिले जाऊ शकते की आयताकृती निर्देशांकांची ग्रीड पॅराबोलसच्या कुटुंबात बदलते जी विमानात वक्र निर्देशांकांची प्रणाली बनवते.
. वर वर्णन केलेल्या विमानाचे विभाजन असे कार्य आहे
प्रत्येक प्रदर्शित करते संपूर्ण विमानावरील क्षेत्रे. फॉरवर्ड आणि रिव्हर्स मॅपिंगचे वर्णन असे दिसते

तर फंक्शन
त्यात आहे विविध व्यस्त कार्ये,

विमानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये निर्दिष्ट

अशा प्रकरणांमध्ये मॅपिंग बहु-शीट असल्याचे म्हटले जाते.

झुकोव्स्की फंक्शन

फंक्शनचे स्वतःचे नाव आहे, कारण ते झुकोव्स्कीने तयार केलेल्या विमानाच्या विंगच्या सिद्धांताचा आधार बनले आहे (या डिझाइनचे वर्णन पुस्तकात आढळू शकते). फंक्शनमध्ये अनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत, त्यापैकी एकावर लक्ष केंद्रित करूया - हे फंक्शन कोणत्या सेटवर एक-एक करून कार्य करते ते शोधा. समानतेचा विचार करा

, कुठे
.

परिणामी, झुकोव्स्की फंक्शन कोणत्याही डोमेनमध्ये वन-टू-वन आहे ज्यामध्ये कोणत्याहीसाठी आणि त्यांचे उत्पादन एक समान नाही. हे, उदाहरणार्थ, ओपन युनिट सर्कल आहेत
आणि बंद युनिट वर्तुळाचे पूरक
.

तर, वर्तुळावरील झुकोव्स्की फंक्शनची क्रिया विचारात घ्या

वास्तविक आणि काल्पनिक भाग वेगळे करून, आपल्याला लंबवर्तुळाचे पॅरामेट्रिक समीकरण मिळते

,
.

तर
, नंतर हे लंबवृत्त संपूर्ण विमान भरतात. हे तशाच प्रकारे सत्यापित केले जाऊ शकते की विभागांच्या प्रतिमा हायपरबोलास आहेत

.

घातांकीय कार्य

फंक्शनला पॉवर सीरीजमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते जे संपूर्ण कॉम्प्लेक्स प्लेनमध्ये पूर्णपणे अभिसरण आहे, म्हणून ते सर्वत्र भिन्न आहे; फंक्शन वन-टू-वन असलेल्या सेटचे वर्णन करू. स्पष्ट समानता
हे दर्शविते की विमान पट्ट्यांच्या कुटुंबात विभागले जाऊ शकते, ज्यापैकी प्रत्येक संपूर्ण कॉम्प्लेक्स प्लेनवर फंक्शनद्वारे एक-टू-वन मॅप केला जातो. व्युत्क्रम फंक्शन, किंवा अधिक तंतोतंत, व्यस्त फंक्शन कसे कार्य करते हे समजून घेण्यासाठी हे विभाजन आवश्यक आहे. प्रत्येक पट्ट्यावर नैसर्गिकरित्या परिभाषित व्यस्त मॅपिंग आहे

या प्रकरणात व्यस्त कार्य देखील बहुसंयोजक आहे, आणि व्यस्त कार्यांची संख्या अनंत आहे.

मॅपिंगचे भौमितिक वर्णन अगदी सोपे आहे: सरळ रेषा
किरणांमध्ये बदलणे
, विभाग

मंडळांमध्ये बदला
.

कुठे
वास्तविक संख्या आहेत, आणि - एक विशेष वर्ण म्हणतात काल्पनिक युनिट . काल्पनिक युनिटसाठी, व्याख्येनुसार असे गृहीत धरले जाते
.

(4.1) – बीजगणितीय फॉर्म जटिल संख्या, आणि
म्हणतात वास्तविक भाग जटिल संख्या, आणि
-काल्पनिक भाग .

क्रमांक
म्हणतात जटिल संयुग्म क्रमांकावर
.

दोन जटिल संख्या द्या
,
.

1. रक्कम
जटिल संख्या आणि एक जटिल संख्या म्हणतात

2. फरकाने
जटिल संख्या आणि एक जटिल संख्या म्हणतात

3. काम
जटिल संख्या आणि एक जटिल संख्या म्हणतात

4. खाजगी संमिश्र संख्येचे विभाजन करण्यापासून एका जटिल संख्येकडे
एक जटिल संख्या म्हणतात

.

टिप्पणी 4.1. म्हणजेच, बीजगणितातील शाब्दिक अभिव्यक्तींवर अंकगणित ऑपरेशन्सच्या नेहमीच्या नियमांनुसार जटिल संख्यांवरील ऑपरेशन्स सादर केल्या जातात.

उदाहरण ४.१.कॉम्प्लेक्स नंबर दिले आहेत. शोधणे

.

उपाय. 1) .

4) भाजकाच्या जटिल संयुग्माने अंश आणि भाजकाचा गुणाकार केल्यास आपल्याला मिळते

त्रिकोणमितीय फॉर्म जटिल संख्या:

कुठे
- जटिल संख्येचे मॉड्यूलस,
जटिल संख्येचा युक्तिवाद आहे. कोपरा विशिष्टपणे परिभाषित केलेले नाही, एका पदापर्यंत
:

,
.

- युक्तिवादाचे मुख्य मूल्य, स्थितीनुसार निर्धारित केले जाते

, (किंवा
).

प्रात्यक्षिक स्वरूप जटिल संख्या:

.

मूळ
संख्येची वी शक्ती त्यात आहे भिन्न मूल्ये, जी सूत्रानुसार आढळतात

कुठे
.

मूल्यांशी संबंधित गुण
, हे बरोबरचे शिरोबिंदू आहेत
त्रिज्येच्या वर्तुळात कोरलेला चौरस
मूळ केंद्रासह.

उदाहरण 4.2.सर्व मूळ मूल्ये शोधा
.

उपाय.चला एका जटिल संख्येची कल्पना करूया
त्रिकोणमितीय स्वरूपात:

,

, कुठे
.

मग
. म्हणून, सूत्रानुसार (4.2)
चार अर्थ आहेत:

,
.

विश्वास ठेवणारा
, आम्ही शोधतो

,
,

, .

येथे आम्ही युक्तिवादाची मूल्ये त्याच्या मुख्य मूल्यामध्ये रूपांतरित केली.

जटिल विमानात सेट

कॉम्प्लेक्स नंबर
विमानात चित्रित
बिंदू
समन्वयांसह
. मॉड्यूल
आणि वाद
बिंदूच्या ध्रुवीय निर्देशांकांशी सुसंगत
.

ती असमानता लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे
एका बिंदूवर केंद्र असलेले वर्तुळ परिभाषित करते त्रिज्या . विषमता
सरळ रेषेच्या उजवीकडे स्थित अर्ध-विमान परिभाषित करते
, आणि असमानता
- सरळ रेषेच्या वर स्थित अर्ध-विमान
. याव्यतिरिक्त, असमानता प्रणाली
किरणांमधील कोन सेट करते
आणि
मूळ पासून उत्सर्जित.

उदाहरण 4.3.असमानतेने परिभाषित केलेले क्षेत्र काढा:
.

उपाय.पहिली असमानता बिंदूवर केंद्र असलेल्या रिंगशी संबंधित आहे
आणि दोन त्रिज्या 1 आणि 2, वर्तुळे क्षेत्रामध्ये समाविष्ट नाहीत (चित्र 4.1).

दुसरी असमानता किरणांमधील कोनाशी संबंधित आहे
(4थ्या समन्वय कोनाचा दुभाजक) आणि
(सकारात्मक अक्ष दिशा
). किरण स्वतः प्रदेशात प्रवेश करत नाहीत (चित्र 4.2).

इच्छित क्षेत्र हे दोन प्राप्त क्षेत्रांचे छेदनबिंदू आहे (चित्र 4.3)

४.२. जटिल चलची कार्ये

एकल-मूल्य असलेले कार्य करू द्या
प्रदेशात परिभाषित आणि सतत
, ए - तुकड्यानुसार गुळगुळीत बंद किंवा नॉन-बंद ओरिएंटेड वक्र आत पडलेले
. चला, नेहमीप्रमाणे,
,, कुठे
,
- व्हेरिएबल्सची वास्तविक कार्ये आणि .

फंक्शनच्या इंटिग्रलची गणना करणे
जटिल चल नेहमीच्या वक्र अविभाज्य घटकांची गणना करण्यासाठी कमी करते, म्हणजे

फंक्शन असल्यास
फक्त कनेक्ट केलेल्या डोमेनमध्ये विश्लेषणात्मक
, बिंदू असलेले आणि , नंतर न्यूटन-लेबनिझ सूत्र धारण करतो:

कुठे
- फंक्शनसाठी काही अँटीडेरिव्हेटिव्ह
, ते आहे
परिसरात
.

कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या इंटिग्रल्समध्ये, व्हेरिएबलमध्ये बदल होऊ शकतो आणि भागांनुसार एकत्रीकरण हे वास्तविक व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या इंटिग्रल्सची गणना करताना कसे केले जाते त्याप्रमाणेच असते.

हे देखील लक्षात घ्या की जर एकत्रीकरणाचा मार्ग एखाद्या बिंदूमधून बाहेर पडणाऱ्या रेषेचा भाग असेल , किंवा एका बिंदूवर केंद्रीत असलेल्या वर्तुळाचा भाग , नंतर फॉर्मचे व्हेरिएबल बदलणे उपयुक्त आहे
. पहिल्या प्रकरणात
, ए - वास्तविक एकत्रीकरण व्हेरिएबल; दुसऱ्या प्रकरणात
, ए - वास्तविक एकत्रीकरण व्हेरिएबल.

उदाहरण 4.4.गणना करा
पॅराबोला द्वारे
बिंदू पासून
मुद्द्याला धरून
(आकृती 4.4).

उदाहरण 4.5.इंटिग्रलची गणना करा
, कुठे - वर्तुळाची चाप
,
(चित्र 4.5) .

कार्य
, एकल-मूल्यवान आणि रिंगमध्ये विश्लेषणात्मक
, मध्ये या रिंग मध्ये विघटित होते लॉरेंट मालिका

सूत्रात (4.5) मालिका
म्हणतात मुख्य भाग लॉरेंटची मालिका आणि मालिका
म्हणतात योग्य भाग लॉरेंट मालिका.

व्याख्या 4.1. डॉट म्हणतातविलग एकवचनी बिंदू कार्ये
, जर या बिंदूचा शेजार असेल ज्यामध्ये कार्य आहे
बिंदू सोडून सर्वत्र विश्लेषणात्मक .

कार्य
एका बिंदूच्या परिसरात लॉरेंट मालिकेत विस्तारित केले जाऊ शकते. या प्रकरणात, तीन भिन्न प्रकरणे शक्य आहेत जेव्हा लॉरेंट मालिका:

1) फरकाच्या नकारात्मक शक्तींसह संज्ञा नसतात
, ते आहे

(लॉरेंटच्या मालिकेत मुख्य भाग नाही). या प्रकरणात म्हणतात काढता येण्याजोगा एकवचनी बिंदू कार्ये
;

2) फरकाच्या नकारात्मक शक्तींसह मर्यादित संख्येत संज्ञा आहेत
, ते आहे

,

आणि
. या प्रकरणात, मुद्दा म्हणतात सुव्यवस्थेचा ध्रुव कार्ये
;

3) नकारात्मक शक्तींसह अनंत संख्या असलेल्या संज्ञा आहेत:

.

या प्रकरणात, मुद्दा म्हणतात मूलत: एक विशेष मुद्दा कार्ये
.

पृथक एकवचनी बिंदूचे वर्ण निश्चित करताना, लॉरेंट मालिका विस्तार पाहणे आवश्यक नाही. तुम्ही पृथक एकवचनी बिंदूंचे विविध गुणधर्म वापरू शकता.

1) फंक्शनचा काढता येण्याजोगा एकवचन बिंदू आहे
, फंक्शनची मर्यादित मर्यादा असल्यास
बिंदूवर :

.

2) फंक्शनचा एक ध्रुव आहे
, तर

.

3) फंक्शनचा मूलत: एकवचन बिंदू आहे
, येथे असल्यास
फंक्शनला मर्यादा नाही, मर्यादित किंवा अनंत नाही.

व्याख्या 4.2. डॉट म्हणतातशून्य
पहिली मागणी (किंवा बहुविधता ) कार्ये
, खालील अटी पूर्ण झाल्यास:

…,

.

टिप्पणी 4.2. डॉट जर आणि फक्त शून्य असेल तर
पहिली मागणी कार्ये
, जेव्हा या बिंदूच्या काही परिसरात समानता असते

,

कार्य कुठे आहे
एका बिंदूवर विश्लेषणात्मक आणि

4) बिंदू सुव्यवस्थेचा ध्रुव आहे (
) फंक्शन्स
, जर हा बिंदू शून्य क्रम असेल कार्यासाठी
.

5) द्या - फंक्शनचा विलग एकवचनी बिंदू
, कुठे
- एका बिंदूवर विश्लेषणात्मक कार्ये . आणि मुद्दा द्या शून्य क्रम आहे कार्ये
आणि शून्य क्रम कार्ये
.

येथे
बिंदू सुव्यवस्थेचा ध्रुव आहे
कार्ये
.

येथे
बिंदू फंक्शनचा काढता येण्याजोगा एकवचन बिंदू आहे
.

उदाहरण 4.6.वेगळे बिंदू शोधा आणि फंक्शनसाठी त्यांचा प्रकार निश्चित करा
.

उपाय.कार्ये
आणि
- संपूर्ण जटिल विमानात विश्लेषणात्मक. याचा अर्थ फंक्शनचे एकवचन बिंदू
भाजकाचे शून्य आहेत, म्हणजे, जेथे बिंदू
. असे अनेक मुद्दे अनंत आहेत. सर्व प्रथम, हा मुद्दा आहे
, तसेच समीकरणाचे समाधान करणारे गुण
. येथून
आणि
.

मुद्दा विचारात घ्या
. या टप्प्यावर आम्हाला मिळते:

,
,

,
.

शून्याचा क्रम आहे
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

तर, कालावधी
दुसऱ्या क्रमाचा ध्रुव आहे (
).

. मग

,
.

शून्य अंशाचा क्रम आहे
.

,
,
.

भाजकाचा शून्याचा क्रम आहे
. म्हणून, गुण
येथे
पहिल्या क्रमाचे ध्रुव आहेत ( साधे खांब ).

प्रमेय 4.1. (अवशेषांवर कॉचीचे प्रमेय ). फंक्शन असल्यास
सीमेवर विश्लेषणात्मक आहे प्रदेश
आणि प्रदेशाच्या आत सर्वत्र, मर्यादित संख्येच्या एकवचनी बिंदू वगळता
, ते

.

इंटिग्रल्सची गणना करताना, फंक्शनचे सर्व एकवचन बिंदू काळजीपूर्वक शोधणे योग्य आहे
, नंतर समोच्च आणि एकवचन बिंदू काढा आणि त्यानंतर फक्त तेच बिंदू निवडा जे समाकलन समोच्च मध्ये येतात. चित्राशिवाय योग्य निवड करणे अनेकदा कठीण असते.

वजावटीची गणना करण्याची पद्धत
एकवचन बिंदूच्या प्रकारावर अवलंबून आहे. म्हणून, अवशेषांची गणना करण्यापूर्वी, आपल्याला एकवचन बिंदूचा प्रकार निश्चित करणे आवश्यक आहे.

1) एका बिंदूवर फंक्शनचे अवशेष लॉरेंट विस्तारातील प्रथम अंश वजा गुणांकाच्या समान
एका बिंदूच्या परिसरात :

.

हे विधान सर्व प्रकारच्या विलग बिंदूंसाठी खरे आहे, आणि म्हणून या प्रकरणात एकवचन बिंदूचा प्रकार निश्चित करणे आवश्यक नाही.

2) काढता येण्याजोग्या एकवचनी बिंदूवरील अवशेष शून्याच्या बरोबरीचे असतात.

3) जर एक साधा ध्रुव आहे (पहिल्या ऑर्डरचा ध्रुव), आणि कार्य
फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकते
, कुठे
,
(या प्रकरणात लक्षात ठेवा
), नंतर बिंदूवर अवशेष समान

.

विशेषतः, जर
, ते
.

4) जर - साधा पोल, मग

5) जर - खांब
व्या ऑर्डर फंक्शन
, ते

उदाहरण 4.7.इंटिग्रलची गणना करा
.

त्यानंतर, सूत्र (4.7) वापरून, आम्हाला या टप्प्यावर अवशेष सापडतात:

प्रमेय ४.१ द्वारे आपण शोधतो