सर्वात सोप्या अनिश्चित पूर्णांकांची सारणी. अँटीडेरिव्हेटिव्ह

पूर्वीच्या सामग्रीमध्ये, व्युत्पन्न शोधण्याच्या समस्येचा विचार केला गेला आणि त्याचे विविध अनुप्रयोग दर्शविले गेले: आलेखाच्या स्पर्शिकेच्या उताराची गणना करणे, ऑप्टिमायझेशन समस्या सोडवणे, मोनोटोनिसिटी आणि एक्स्ट्रीमाच्या फंक्शन्सचा अभ्यास करणे. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

आकृती 1.

$s(t)$ या फंक्शनने व्यक्त केलेल्या, पूर्वीच्या ज्ञात मार्गाने प्रवास केलेल्या व्युत्पन्नाचा वापर करून तात्काळ वेग $v(t)$ शोधण्याच्या समस्येवरही विचार केला गेला.

आकृती 2.

व्यस्त समस्या देखील खूप सामान्य आहे, जेव्हा तुम्हाला $v(t)$ बिंदूची गती जाणून $t$ मधून मार्गक्रमण केलेला $s(t)$ शोधायचा असतो. जर आपल्याला आठवत असेल, तर तात्काळ गती $v(t)$ हे पथ फंक्शन $s(t)$: $v(t)=s’(t)$ चे व्युत्पन्न म्हणून आढळते. याचा अर्थ असा की व्यस्त समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, म्हणजे, मार्गाची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला एक फंक्शन शोधण्याची आवश्यकता आहे ज्याचे व्युत्पन्न स्पीड फंक्शनच्या बरोबरीचे असेल. परंतु आपल्याला माहित आहे की मार्गाचा व्युत्पन्न वेग आहे, म्हणजे: $s’(t) = v(t)$. वेग हा प्रवेग वेळा वेळेच्या बरोबरीचा आहे: $v=at$. हे निर्धारित करणे सोपे आहे की इच्छित पथ फंक्शनचे स्वरूप असेल: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. परंतु हे पूर्णपणे पूर्ण समाधान नाही. संपूर्ण सोल्यूशनमध्ये फॉर्म असेल: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, जेथे $C$ काही स्थिर आहे. हे असे का होते याबद्दल पुढे चर्चा केली जाईल. आत्तासाठी, सोल्यूशनची अचूकता तपासूया: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की गतीवर आधारित मार्ग शोधणे हा अँटीडेरिव्हेटिव्हचा भौतिक अर्थ आहे.

परिणामी फंक्शन $s(t)$ ला फंक्शन $v(t)$ चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह म्हणतात. खूप मनोरंजक आणि असामान्य नाव, नाही का. यात एक उत्कृष्ट अर्थ आहे जो या संकल्पनेचे सार स्पष्ट करतो आणि त्याच्या आकलनाकडे नेतो. तुमच्या लक्षात येईल की त्यात “प्रथम” आणि “इमेज” असे दोन शब्द आहेत. ते स्वतःच बोलतात. म्हणजेच, हे फंक्शन आहे जे आपल्याकडे असलेल्या डेरिव्हेटिव्हसाठी प्रारंभिक आहे. आणि हे डेरिव्हेटिव्ह वापरून आपण फंक्शन शोधत आहोत जे सुरुवातीला होते, “first”, “first image”, म्हणजेच antiderivative. याला काहीवेळा आदिम कार्य किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह देखील म्हटले जाते.

आपल्याला आधीच माहित आहे की, व्युत्पन्न शोधण्याच्या प्रक्रियेला भिन्नता म्हणतात. आणि अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्याच्या प्रक्रियेला एकीकरण म्हणतात. एकत्रीकरणाचे ऑपरेशन हे भिन्नतेच्या ऑपरेशनचे व्यस्त आहे. संभाषण देखील खरे आहे.

व्याख्या.ठराविक अंतरावर $f(x)$ फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह $F(x)$ हे फंक्शन आहे ज्याचे डेरिव्हेटिव्ह हे फंक्शन $f(x)$ या फंक्शनच्या बरोबरीचे आहे $f(x)$ सर्व $x$ साठी विशिष्ट अंतराल: $F' (x)=f (x)$.

एखाद्याला प्रश्न असू शकतो: $F(x)$ आणि $f(x)$ या व्याख्येत कुठून आले, जर सुरुवातीला आम्ही $s(t)$ आणि $v(t)$ बद्दल बोलत असू. वस्तुस्थिती अशी आहे की $s(t)$ आणि $v(t)$ फंक्शन पदनामाची विशेष प्रकरणे आहेत ज्यांचा या प्रकरणात विशिष्ट अर्थ आहे, म्हणजेच ते अनुक्रमे वेळेचे कार्य आणि गतीचे कार्य आहेत. हे $t$ व्हेरिएबल सारखेच आहे - ते वेळ दर्शवते. आणि $f$ आणि $x$ हे अनुक्रमे फंक्शन आणि व्हेरिएबलच्या सामान्य पदनामाचे पारंपारिक प्रकार आहेत. अँटीडेरिव्हेटिव्ह $F(x)$ च्या नोटेशनवर विशेष लक्ष देणे योग्य आहे. सर्व प्रथम, $F$ हे भांडवल आहे. अँटीडेरिव्हेटिव्ह्स कॅपिटल अक्षरांमध्ये सूचित केले आहेत. दुसरे म्हणजे, अक्षरे समान आहेत: $F$ आणि $f$. म्हणजेच, $g(x)$ फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह $G(x)$, $z(x)$ साठी – $Z(x)$ द्वारे दर्शविले जाईल. नोटेशनची पर्वा न करता, अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन शोधण्याचे नियम नेहमीच सारखे असतात.

चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १.फंक्शन $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ हे फंक्शन $f(x)=\cos5x$ चे अँटिडेरिव्हेटिव्ह आहे हे सिद्ध करा.

हे सिद्ध करण्यासाठी, आम्ही $F'(x)=f(x)$ ही व्याख्या वापरू आणि $F(x)$: $F'(x)=( फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधू. \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. याचा अर्थ $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ हे $f(x)=\cos5x$ चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे. Q.E.D.

उदाहरण २.खालील अँटीडेरिव्हेटिव्हशी कोणती फंक्शन्स जुळतात ते शोधा: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

आवश्यक कार्ये शोधण्यासाठी, त्यांच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करूया:
अ) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

उदाहरण ३.$f(x)=0$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह काय असेल?
व्याख्या वापरू. कोणत्या फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह $0$ इतके असू शकते याचा विचार करूया. व्युत्पन्न सारणी आठवल्यास, आम्हाला आढळते की कोणत्याही स्थिरांकामध्ये असे व्युत्पन्न असेल. आम्हाला आढळले की आम्ही शोधत असलेले अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे: $F(x)=C$.

परिणामी समाधान भौमितीय आणि भौतिकदृष्ट्या स्पष्ट केले जाऊ शकते. भौमितिकदृष्ट्या, याचा अर्थ असा आहे की $y=F(x)$ या आलेखाच्या प्रत्येक बिंदूवर आलेखाची स्पर्शिका क्षैतिज आहे आणि म्हणून, $Ox$ अक्षाशी एकरूप आहे. भौतिकदृष्ट्या हे स्पष्ट केले आहे की शून्याच्या बरोबरीचा वेग असलेला बिंदू जागीच राहतो, म्हणजेच त्याने प्रवास केलेला मार्ग अपरिवर्तित आहे. याच्या आधारे आपण खालील प्रमेय तयार करू शकतो.

प्रमेय. (फंक्शन्सच्या स्थिरतेचे चिन्ह). जर काही अंतरावर $F’(x) = 0$ असेल, तर या मध्यांतरावरील फंक्शन $F(x)$ स्थिर आहे.

उदाहरण ४.ए) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ चे कोणती फंक्शन्स अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहेत ते ठरवा; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, जेथे $a$ ही काही संख्या आहे.
अँटीडेरिव्हेटिव्हची व्याख्या वापरून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आम्हाला दिलेल्या अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करणे आवश्यक आहे. गणना करताना, लक्षात ठेवा की स्थिरांकाचे व्युत्पन्न, म्हणजेच कोणत्याही संख्येचे, शून्य असते.
अ) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) - 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

आम्ही काय पाहतो? अनेक भिन्न कार्ये एकाच कार्याची आदिम आहेत. हे सूचित करते की कोणत्याही फंक्शनमध्ये अमर्यादपणे अनेक अँटीडेरिव्हेटिव्ह असतात आणि त्यांच्याकडे $F(x) + C$ फॉर्म असते, जेथे $C$ एक अनियंत्रित स्थिरांक असतो. म्हणजेच, एकीकरणाचे ऑपरेशन बहुमूल्य आहे, भिन्नतेच्या ऑपरेशनच्या विपरीत. यावर आधारित, अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जच्या मुख्य गुणधर्माचे वर्णन करणारे एक प्रमेय तयार करूया.

प्रमेय. (अँटीडेरिव्हेटिव्हची मुख्य मालमत्ता). काही अंतरावर $F_1$ आणि $F_2$ फंक्शन $f(x)$ चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह असू द्या. नंतर या मध्यांतरातील सर्व मूल्यांसाठी खालील समानता सत्य आहे: $F_2=F_1+C$, जेथे $C$ काही स्थिर आहे.

अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या असीम संख्येच्या उपस्थितीची वस्तुस्थिती भौमितिक पद्धतीने स्पष्ट केली जाऊ शकते. $Oy$ अक्षाच्या बाजूने समांतर भाषांतर वापरून, $f(x)$ साठी कोणत्याही दोन अँटीडेरिव्हेटिव्हचे आलेख एकमेकांकडून मिळवता येतात. हा अँटीडेरिव्हेटिव्हचा भौमितीय अर्थ आहे.

स्थिर $C$ निवडून तुम्ही अँटीडेरिव्हेटिव्हचा आलेख एका विशिष्ट बिंदूतून जात असल्याची खात्री करू शकता या वस्तुस्थितीकडे लक्ष देणे फार महत्वाचे आहे.

आकृती 3.

उदाहरण ५.$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधा, ज्याचा आलेख $(3; 1)$ बिंदूमधून जातो.
चला प्रथम $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$ साठी सर्व अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधू.
पुढे, आपल्याला एक संख्या C सापडेल ज्यासाठी आलेख $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ $(3; 1)$ बिंदूमधून जाईल. हे करण्यासाठी, आम्ही आलेख समीकरणामध्ये बिंदूचे निर्देशांक बदलतो आणि ते $C$ साठी सोडवतो:
$1= frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
आम्हाला $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ हा आलेख मिळाला, जो $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ शी संबंधित आहे.

अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी

अँटीडेरिव्हेटिव्ह्ज शोधण्यासाठी सूत्रांची सारणी डेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी सूत्रे वापरून संकलित केली जाऊ शकते.

तुम्ही खालील प्रकारे टेबलची शुद्धता तपासू शकता: उजव्या स्तंभात असलेल्या अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या प्रत्येक संचासाठी, व्युत्पन्न शोधा, ज्यामुळे डाव्या स्तंभातील संबंधित कार्ये होतील.

अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी काही नियम

जसे ज्ञात आहे, अनेक फंक्शन्समध्ये अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जच्या सारणीमध्ये दर्शविलेल्यापेक्षा अधिक जटिल स्वरूप असते आणि या सारणीतील फंक्शन्सच्या बेरीज आणि उत्पादनांचे कोणतेही अनियंत्रित संयोजन असू शकते. आणि येथे प्रश्न उद्भवतो: अशा फंक्शन्सच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना कशी करावी. उदाहरणार्थ, सारणीवरून आपल्याला माहित आहे की अँटीडेरिव्हेटिव्ह $x^3$, $\sin x$ आणि $10$ ची गणना कशी करायची. उदाहरणार्थ, अँटीडेरिव्हेटिव्ह $x^3-10\sin x$ ची गणना कशी करता येईल? पुढे पाहताना, हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की ते $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ च्या बरोबरीचे असेल.
1. जर $F(x)$ हे $f(x)$, $G(x)$ साठी $g(x)$ असेल, तर $f(x)+g(x)$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल $ F(x)+G(x)$ च्या बरोबरीचे.
2. जर $F(x)$ हे $f(x)$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल आणि $a$ स्थिर असेल, तर $af(x)$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह $aF(x)$ असेल.
3. जर $f(x)$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह $F(x)$ असेल, $a$ आणि $b$ स्थिर असतील, तर $\frac(1)(a) F(ax+b)$ हे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे $f (ax+b)$ साठी.
प्राप्त नियमांचा वापर करून आम्ही अँटीडेरिव्हेटिव्हची सारणी विस्तृत करू शकतो.

उदाहरण ५.यासाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधा:

अ) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( ४) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

या पृष्ठावर तुम्हाला आढळेल:

1. वास्तविक, अँटीडेरिव्हेटिव्हचे सारणी - ते PDF स्वरूपात डाउनलोड केले जाऊ शकते आणि मुद्रित केले जाऊ शकते;

2. हे टेबल कसे वापरावे यावरील व्हिडिओ;

3. विविध पाठ्यपुस्तके आणि चाचण्यांमधून अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना करण्याच्या उदाहरणांचा एक समूह.

व्हिडिओमध्येच, आम्ही बऱ्याच समस्यांचे विश्लेषण करू जिथे तुम्हाला फंक्शन्सच्या अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करणे आवश्यक आहे, जे बरेचदा जटिल असतात, परंतु सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे ते पॉवर फंक्शन्स नसतात. वर प्रस्तावित सारणीमध्ये सारांशित केलेली सर्व फंक्शन्स डेरिव्हेटिव्ह्ज प्रमाणेच हृदयाद्वारे माहित असणे आवश्यक आहे. त्यांच्याशिवाय, अविभाज्य घटकांचा पुढील अभ्यास आणि व्यावहारिक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी त्यांचा अनुप्रयोग अशक्य आहे.

आज आपण आदिम अभ्यास करणे सुरू ठेवतो आणि थोड्या अधिक गुंतागुंतीच्या विषयाकडे वळतो. जर मागच्या वेळी आपण फक्त पॉवर फंक्शन्सचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आणि थोडे अधिक क्लिष्ट बांधकाम पाहिले तर आज आपण त्रिकोणमिती आणि बरेच काही पाहू.

मी शेवटच्या धड्यात म्हटल्याप्रमाणे, अँटीडेरिव्हेटिव्हज, डेरिव्हेटिव्हजच्या विपरीत, कोणत्याही मानक नियमांचा वापर करून कधीही "लगेच" निराकरण केले जात नाही. शिवाय, वाईट बातमी अशी आहे की, डेरिव्हेटिव्हच्या विपरीत, अँटीडेरिव्हेटिव्हचा अजिबात विचार केला जाणार नाही. जर आपण पूर्णपणे यादृच्छिक फंक्शन लिहिले आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रयत्न केला, तर खूप उच्च संभाव्यतेसह आपण यशस्वी होऊ, परंतु या प्रकरणात अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना जवळजवळ कधीही केली जाणार नाही. पण एक चांगली बातमी आहे: प्राथमिक फंक्शन्स नावाच्या फंक्शन्सचा बऱ्यापैकी मोठा वर्ग आहे, ज्याचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह मोजणे खूप सोपे आहे. आणि इतर सर्व जटिल रचना ज्या सर्व प्रकारच्या चाचण्या, स्वतंत्र चाचण्या आणि परीक्षांवर दिल्या जातात, खरं तर, या प्राथमिक फंक्शन्स बेरीज, वजाबाकी आणि इतर सोप्या क्रियांद्वारे बनलेल्या आहेत. अशा फंक्शन्सचे प्रोटोटाइप फार पूर्वीपासून मोजले गेले आहेत आणि विशेष सारण्यांमध्ये संकलित केले गेले आहेत. ही फंक्शन्स आणि टेबल्स आहेत ज्यावर आपण आज काम करू.

परंतु आपण नेहमीप्रमाणेच पुनरावृत्तीसह सुरुवात करू: अँटीडेरिव्हेटिव्ह म्हणजे काय, त्यापैकी बरेच का आहेत आणि त्यांचे सामान्य स्वरूप कसे ठरवायचे ते लक्षात ठेवूया. हे करण्यासाठी, मी दोन सोप्या समस्या उचलल्या.

सोपी उदाहरणे सोडवणे

उदाहरण क्रमांक १

आपण लगेच लक्षात घेऊ या की $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ आणि सर्वसाधारणपणे $\text( )\!\!\pi\ ची उपस्थिती. !\!\ text( )$ आम्हाला लगेच सूचित करते की फंक्शनचे आवश्यक अँटीडेरिव्हेटिव्ह त्रिकोणमितीशी संबंधित आहे. आणि, खरंच, जर आपण तक्त्याकडे पाहिलं तर आपल्याला आढळेल की $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ हे $\text(arctg)x$ पेक्षा जास्त काही नाही. तर चला ते लिहूया:

शोधण्यासाठी, आपल्याला खालील गोष्टी लिहिण्याची आवश्यकता आहे:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (३)+C\]

उदाहरण क्रमांक २

आम्ही येथे त्रिकोणमितीय फंक्शन्सबद्दल देखील बोलत आहोत. जर आपण टेबलकडे पाहिले तर, खरंच, असे होते:

आम्हाला अँटीडेरिव्हेटिव्हजच्या संपूर्ण संचामध्ये सूचित बिंदूमधून जाणारा एक शोधण्याची आवश्यकता आहे:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

चला शेवटी ते लिहू:

हे इतके सोपे आहे. एकमात्र अडचण अशी आहे की साध्या फंक्शन्सच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला अँटीडेरिव्हेटिव्हची सारणी शिकण्याची आवश्यकता आहे. तथापि, आपल्यासाठी व्युत्पन्न सारणीचा अभ्यास केल्यानंतर, मला वाटते की ही समस्या होणार नाही.

घातांकीय कार्य असलेल्या समस्या सोडवणे

सुरुवातीला, खालील सूत्रे लिहू:

\[(e)^(x)\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

हे सर्व व्यवहारात कसे कार्य करते ते पाहूया.

उदाहरण क्रमांक १

जर आपण कंसातील मजकूर पाहिला, तर आपल्या लक्षात येईल की अँटीडेरिव्हेटिव्हजच्या सारणीमध्ये $((e)^(x))$ ला चौकोनात असण्यासाठी अशी कोणतीही अभिव्यक्ती नाही, त्यामुळे हा चौकोन विस्तारित करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे वापरतो:

चला प्रत्येक अटींसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधूया:

\[(e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[(e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac((\left(((e) )^(-2)) \योग्य))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

आता सर्व संज्ञा एका अभिव्यक्तीमध्ये एकत्रित करू आणि सामान्य अँटीडेरिव्हेटिव्ह मिळवा:

उदाहरण क्रमांक २

यावेळी पदवी मोठी आहे, म्हणून संक्षिप्त गुणाकार सूत्र खूपच गुंतागुंतीचे असेल. चला कंस उघडूया:

आता या रचनेतून आमच्या सूत्राचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह घेण्याचा प्रयत्न करूया:

तुम्ही बघू शकता, एक्सपोनेन्शिअल फंक्शनच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हमध्ये काहीही क्लिष्ट किंवा अलौकिक नाही. त्या सर्वांची गणना तक्त्यांद्वारे केली जाते, परंतु सजग विद्यार्थ्यांना कदाचित लक्षात येईल की अँटीडेरिव्हेटिव्ह $((e)^(2x))$ हे $((e)^(x))$ च्या अगदी जवळ आहे. )^(x ))$. तर, कदाचित आणखी काही विशेष नियम आहे जो $((e)^(x))$ जाणून घेऊन, $(e)^(2x))$ शोधण्याची परवानगी देतो? होय, असा नियम अस्तित्वात आहे. आणि, शिवाय, अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जच्या टेबलसह कार्य करण्याचा हा एक अविभाज्य भाग आहे. आम्ही आता तेच अभिव्यक्ती वापरून विश्लेषण करू जे आम्ही नुकतेच उदाहरण म्हणून काम केले आहे.

अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जच्या टेबलसह कार्य करण्याचे नियम

चला आमचे कार्य पुन्हा लिहू:

मागील प्रकरणात, आम्ही निराकरण करण्यासाठी खालील सूत्र वापरले:

\[((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

पण आता थोडं वेगळं करू: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ कशाच्या आधारावर लक्षात ठेवू. मी आधीच म्हटल्याप्रमाणे, कारण व्युत्पन्न $((e)^(x))$ हे $((e)^(x))$ पेक्षा जास्त काही नाही, म्हणून त्याचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह समान $((e)^ सारखे असेल. (x))$. पण समस्या अशी आहे की आमच्याकडे $(e)^(2x))$ आणि $((e)^(-2x))$ आहेत. आता $(e)^(2x))$ चे व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

चला आमचे बांधकाम पुन्हा लिहू:

\[(\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[(e)^(2x))=((\left(\frac((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

याचा अर्थ असा की जेव्हा आम्हाला अँटीडेरिव्हेटिव्ह $((e)^(2x))$ सापडतो तेव्हा आम्हाला पुढील गोष्टी मिळतात:

\[(e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

तुम्ही बघू शकता, आम्हाला पूर्वीप्रमाणेच निकाल मिळाला, परंतु आम्ही $((a)^(x))$ शोधण्यासाठी सूत्र वापरले नाही. आता हे मूर्खपणाचे वाटू शकते: मानक सूत्र असताना गणिते का गुंतागुंतीची करायची? तथापि, किंचित अधिक जटिल अभिव्यक्तींमध्ये आपल्याला आढळेल की हे तंत्र खूप प्रभावी आहे, म्हणजे. अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी डेरिव्हेटिव्ह वापरणे.

सराव म्हणून, अशाच प्रकारे $((e)^(2x))$ चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधूया:

\[(\left((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[(e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

गणना करताना, आमचे बांधकाम खालीलप्रमाणे लिहिले जाईल:

\[(e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[(e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

आम्हाला तंतोतंत समान निकाल मिळाला, परंतु वेगळा मार्ग स्वीकारला. हा मार्ग आहे, जो आता आपल्याला थोडा अधिक क्लिष्ट वाटतो, भविष्यात अधिक जटिल अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना करण्यासाठी आणि टेबल्स वापरण्यासाठी अधिक प्रभावी होईल.

लक्ष द्या! हा एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा आहे: अँटीडेरिव्हेटिव्हज, डेरिव्हेटिव्हज प्रमाणे, अनेक वेगवेगळ्या प्रकारे मोजले जाऊ शकतात. तथापि, जर सर्व गणिते आणि गणना समान असतील तर उत्तर एकच असेल. आम्ही हे नुकतेच $(e)^(-2x))$ च्या उदाहरणात पाहिले आहे - एकीकडे, आम्ही या अँटीडेरिव्हेटिव्हची "उजवीकडे" गणना केली, व्याख्या वापरून आणि दुसरीकडे परिवर्तन वापरून गणना केली, आम्हाला आठवले की $ ((e)^(-2x))$ $((\left((e)^(-2)) \right))^(x))$ म्हणून दर्शविले जाऊ शकते आणि त्यानंतरच आम्ही वापरले फंक्शन $(a)^(x))$ साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह. तथापि, सर्व परिवर्तनानंतर, निकाल अपेक्षेप्रमाणेच लागला.

आणि आता आम्हाला हे सर्व समजले आहे, आता अधिक महत्त्वपूर्ण गोष्टीकडे जाण्याची वेळ आली आहे. आता आम्ही दोन सोप्या बांधकामांचे विश्लेषण करू, परंतु ते सोडवताना वापरले जाणारे तंत्र हे टेबलमधील शेजारच्या अँटीडेरिव्हेटिव्ह दरम्यान "धावण्यापेक्षा" अधिक शक्तिशाली आणि उपयुक्त साधन आहे.

समस्या सोडवणे: फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधणे

उदाहरण क्रमांक १

अंकांमध्ये असलेली रक्कम तीन स्वतंत्र अपूर्णांकांमध्ये मोडू.

हे एक नैसर्गिक आणि समजण्याजोगे संक्रमण आहे - बहुतेक विद्यार्थ्यांना त्यात समस्या येत नाहीत. चला खालीलप्रमाणे आपली अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू:

आता हे सूत्र लक्षात ठेवूया:

आमच्या बाबतीत आम्हाला खालील गोष्टी मिळतील:

या सर्व तीन मजली अपूर्णांकांपासून मुक्त होण्यासाठी, मी खालील गोष्टी करण्याचे सुचवितो:

उदाहरण क्रमांक २

मागील अपूर्णांकाच्या विपरीत, भाजक हा उत्पादन नसून एक बेरीज आहे. या प्रकरणात, आपण यापुढे आपला अपूर्णांक अनेक साध्या अपूर्णांकांच्या बेरजेमध्ये विभागू शकत नाही, परंतु अंशामध्ये भाजकांप्रमाणेच अंदाजे समान अभिव्यक्ती आहे याची खात्री करण्याचा आपण कसा तरी प्रयत्न केला पाहिजे. या प्रकरणात, हे करणे अगदी सोपे आहे:

हे अंकन, ज्याला गणितीय भाषेत "शून्य जोडणे" असे म्हणतात, आम्हाला अपूर्णांक पुन्हा दोन तुकड्यांमध्ये विभाजित करण्यास अनुमती देईल:

आता आपण काय शोधत होतो ते शोधूया:

एवढाच हिशोब. मागील समस्येपेक्षा स्पष्टपणे मोठी जटिलता असूनही, गणनांचे प्रमाण अगदी लहान असल्याचे दिसून आले.

उपाय च्या बारकावे

आणि येथेच टॅब्युलर अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जसह कार्य करण्याची मुख्य अडचण आहे, हे विशेषतः दुसऱ्या कार्यात लक्षात घेण्यासारखे आहे. वस्तुस्थिती अशी आहे की सारणीद्वारे सहजपणे मोजले जाणारे काही घटक निवडण्यासाठी, आपण नेमके काय शोधत आहोत हे आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे आणि या घटकांच्या शोधात अँटीडेरिव्हेटिव्हची संपूर्ण गणना समाविष्ट आहे.

दुसऱ्या शब्दांत, केवळ अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी लक्षात ठेवणे पुरेसे नाही - आपल्याला अद्याप अस्तित्वात नसलेले काहीतरी पाहण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे, परंतु या समस्येचे लेखक आणि संकलक काय म्हणत आहेत. म्हणूनच बरेच गणितज्ञ, शिक्षक आणि प्राध्यापक सतत वाद घालतात: "अँटीडेरिव्हेटिव्ह किंवा एकत्रीकरण म्हणजे काय - ते फक्त एक साधन आहे की ती खरी कला आहे?" खरं तर, माझ्या वैयक्तिक मते, एकात्मता ही कला नाही - त्यात उदात्त असे काहीही नाही, तो फक्त सराव आणि अधिक सराव आहे. आणि सराव करण्यासाठी, आणखी तीन गंभीर उदाहरणे सोडवू.

आम्ही सराव मध्ये एकत्रीकरण प्रशिक्षण

कार्य क्रमांक १

चला खालील सूत्रे लिहू:

\[(x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

चला खालील लिहूया:

समस्या क्रमांक 2

चला ते खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहू:

एकूण अँटीडेरिव्हेटिव्ह समान असेल:

समस्या क्रमांक 3

या कार्याची अडचण अशी आहे की, वरील मागील फंक्शन्सच्या विपरीत, कोणतेही व्हेरिएबल $x$ नाही, म्हणजे. कमीत कमी खाली दिलेल्या सारखे काहीतरी मिळवण्यासाठी काय जोडायचे किंवा वजा करायचे हे आम्हाला स्पष्ट नाही. तथापि, खरं तर, ही अभिव्यक्ती मागील कोणत्याही अभिव्यक्तीपेक्षा अगदी सोपी मानली जाते, कारण हे कार्य खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते:

तुम्ही आता विचारू शकता: ही कार्ये समान का आहेत? चला तपासूया:

चला ते पुन्हा लिहू:

चला आपल्या अभिव्यक्तीचे थोडेसे रूपांतर करूया:

आणि जेव्हा मी माझ्या विद्यार्थ्यांना हे सर्व समजावून सांगतो, तेव्हा जवळजवळ नेहमीच एकच समस्या उद्भवते: पहिल्या फंक्शनमध्ये सर्व काही कमी-अधिक प्रमाणात स्पष्ट होते, दुसऱ्या कार्यात तुम्ही नशिबाने किंवा सरावाने देखील हे शोधून काढू शकता, परंतु तुम्ही कोणत्या प्रकारची पर्यायी जाणीव ठेवता? तिसरे उदाहरण सोडवण्यासाठी आवश्यक आहे का? खरं तर, घाबरू नका. शेवटच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना करताना आम्ही वापरलेल्या तंत्राला "फंक्शनचे सर्वात सोप्यामध्ये विघटन करणे" असे म्हणतात आणि हे एक अतिशय गंभीर तंत्र आहे आणि त्यासाठी एक वेगळा व्हिडिओ धडा समर्पित केला जाईल.

यादरम्यान, मी आम्ही नुकत्याच अभ्यासलेल्या गोष्टींवर परत जाण्याचा प्रस्ताव देतो, म्हणजे, घातांकीय कार्ये आणि त्यांच्या सामग्रीसह समस्या काही प्रमाणात गुंतागुंतीच्या.

अँटीडेरिव्हेटिव्ह एक्सपोनेन्शियल फंक्शन्स सोडवण्यासाठी अधिक जटिल समस्या

कार्य क्रमांक १

चला खालील गोष्टी लक्षात घेऊया:

\[(2)^(x)\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

या अभिव्यक्तीचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी, फक्त मानक सूत्र वापरा - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

आमच्या बाबतीत, अँटीडेरिव्हेटिव्ह असे असेल:

अर्थात, आम्ही नुकत्याच सोडवलेल्या डिझाइनच्या तुलनेत, हे सोपे दिसते.

समस्या क्रमांक 2

पुन्हा, हे पाहणे सोपे आहे की हे कार्य सहजपणे दोन स्वतंत्र संज्ञांमध्ये विभागले जाऊ शकते - दोन स्वतंत्र अपूर्णांक. चला पुन्हा लिहू:

वर वर्णन केलेल्या फॉर्म्युलाचा वापर करून यापैकी प्रत्येक शब्दाचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधणे बाकी आहे:

पॉवर फंक्शन्सच्या तुलनेत एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्सची स्पष्ट अधिक जटिलता असूनही, गणना आणि गणनेची एकूण मात्रा खूपच सोपी असल्याचे दिसून आले.

अर्थात, जाणकार विद्यार्थ्यांसाठी, आपण नुकतीच चर्चा केलेली आहे (विशेषत: आपण आधी जे विश्लेषण केले आहे त्या पार्श्वभूमीवर) प्राथमिक अभिव्यक्ती वाटू शकतात. तथापि, आजच्या व्हिडिओ धड्यासाठी या दोन समस्या निवडताना, मी तुम्हाला आणखी एक जटिल आणि अत्याधुनिक तंत्र सांगण्याचे ध्येय ठेवले नाही - मला फक्त तुम्हाला दाखवायचे आहे की तुम्ही मूळ कार्ये बदलण्यासाठी मानक बीजगणित तंत्र वापरण्यास घाबरू नका. .

"गुप्त" तंत्र वापरणे

शेवटी, मला आणखी एक मनोरंजक तंत्र पहायचे आहे, जे, एकीकडे, आज आपण मुख्यत्वे ज्या गोष्टींवर चर्चा केली आहे त्याच्या व्याप्तीच्या पलीकडे जाते, परंतु, दुसरीकडे, ते, प्रथम, अजिबात क्लिष्ट नाही, म्हणजे. अगदी नवशिक्या विद्यार्थी देखील त्यात प्रभुत्व मिळवू शकतात आणि दुसरे म्हणजे, हे सर्व प्रकारच्या चाचण्या आणि स्वतंत्र कामांमध्ये बरेचदा आढळते, म्हणजे. अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या सारणीच्या ज्ञानाव्यतिरिक्त त्याचे ज्ञान खूप उपयुक्त ठरेल.

कार्य क्रमांक १

अर्थात, आपल्याकडे पॉवर फंक्शनसारखे काहीतरी आहे. या प्रकरणात आपण काय करावे? चला याचा विचार करूया: $x-5$ हे $x$ पेक्षा फारसे वेगळे नाही - त्यांनी फक्त $-5$ जोडले. चला ते असे लिहूया:

\[(x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[(\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

चला $((\left(x-5 \right))^(5))$ चे व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

यावरून खालीलप्रमाणे आहे:

\[(\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ उजवीकडे))^(\प्राइम ))\]

टेबलमध्ये असे कोणतेही मूल्य नाही, म्हणून आम्ही आता पॉवर फंक्शनसाठी मानक अँटीडेरिव्हेटिव्ह फॉर्म्युला वापरून हे सूत्र स्वतः मिळवले आहे. चला असे उत्तर लिहूया:

समस्या क्रमांक 2

पहिले उपाय पाहणारे बरेच विद्यार्थी विचार करू शकतात की सर्वकाही अगदी सोपे आहे: फक्त $x$ पॉवर फंक्शनमध्ये एका रेखीय अभिव्यक्तीसह बदला, आणि सर्वकाही योग्य ठिकाणी पडेल. दुर्दैवाने, सर्व काही इतके सोपे नाही आणि आता आपण हे पाहू.

पहिल्या अभिव्यक्तीशी साधर्म्य करून, आम्ही खालील लिहितो:

\[(x)^(9))\frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x \उजवे)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \उजवे))^(\prime))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

आमच्या व्युत्पन्नाकडे परत आल्यावर, आम्ही लिहू शकतो:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime))=-30\cdot (\left(4-3x \उजवे) )^(9))\]

\[(\left(4-3x \उजवे))^(9))=((\left(\frac((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \योग्य))^(\प्राइम ))\]

हे लगेच खालीलप्रमाणे आहे:

उपाय च्या बारकावे

कृपया लक्षात ठेवा: गेल्या वेळी काहीही मूलत: बदलले नसल्यास, दुसऱ्या प्रकरणात, $-10$ ऐवजी, $-30$ दिसू लागले. $-10$ आणि $-30$ मधील फरक काय आहे? अर्थात, $-3$ च्या घटकाने. प्रश्नः ते कुठून आले? तुम्ही बारकाईने पाहिल्यास, तुम्ही पाहू शकता की ते एका जटिल फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करण्याच्या परिणामी घेतले गेले होते - $x$ वर असलेला गुणांक खाली अँटीडेरिव्हेटिव्हमध्ये दिसतो. हा एक अतिशय महत्त्वाचा नियम आहे, ज्याची मी सुरुवातीला आजच्या व्हिडिओ धड्यात चर्चा करण्याची योजना आखली नव्हती, परंतु त्याशिवाय टॅब्युलर अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचे सादरीकरण अपूर्ण असेल.

तर ते पुन्हा करूया. आमचे मुख्य पॉवर फंक्शन असू द्या:

\[(x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

आता, $x$ ऐवजी, $kx+b$ या अभिव्यक्तीची जागा घेऊ. मग काय होईल? आम्हाला खालील शोधण्याची आवश्यकता आहे:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1) \योग्य)\cdot k)\]

हा दावा आपण कोणत्या आधारावर करतो? अगदी साधे. वर लिहिलेल्या बांधकामाचे व्युत्पन्न शोधूया:

\[(\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

ही तीच अभिव्यक्ती आहे जी मूळत: अस्तित्वात होती. अशाप्रकारे, हे सूत्र देखील योग्य आहे, आणि ते अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या टेबलला पूरक करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते किंवा संपूर्ण टेबल लक्षात ठेवणे चांगले आहे.

"गुप्त: तंत्रातून निष्कर्ष:

• आम्ही नुकतीच तपासलेली दोन्ही फंक्शन्स, खरं तर, अंशांचा विस्तार करून टेबलमध्ये दर्शविलेल्या अँटीडेरिव्हेटिव्हमध्ये कमी केली जाऊ शकतात, परंतु जर आपण कमी-अधिक प्रमाणात चौथ्या डिग्रीचा सामना करू शकलो, तर मी नवव्या पदवीला धाडसही मानणार नाही. उघड करणे.
• जर आपण अंशांचा विस्तार करायचा असेल, तर आपण इतक्या मोजणीसह समाप्त करू की एक साधे कार्य आपल्याला अयोग्यरित्या मोठ्या प्रमाणात वेळ घेईल.
• म्हणूनच अशा समस्या, ज्यात रेखीय अभिव्यक्ती असतात, त्यांना "हेडलाँग" सोडवण्याची गरज नाही. फक्त आत $kx+b$ या अभिव्यक्तीमुळे टेबलमधील एकापेक्षा वेगळे असलेले अँटीडेरिव्हेटिव्ह समोर येताच, वर लिहिलेले सूत्र ताबडतोब लक्षात ठेवा, ते तुमच्या टेबल अँटीडेरिव्हेटिव्हमध्ये बदला, आणि सर्व काही चांगले होईल. जलद आणि सोपे.

साहजिकच, या तंत्राच्या जटिलतेमुळे आणि गांभीर्यामुळे, आम्ही भविष्यातील व्हिडिओ धड्यांमध्ये त्याच्या विचारात अनेक वेळा परत येऊ, परंतु आजसाठी एवढेच आहे. मला आशा आहे की हा धडा अशा विद्यार्थ्यांना खरोखर मदत करेल ज्यांना अँटीडेरिव्हेटिव्ह आणि एकत्रीकरण समजून घ्यायचे आहे.

शालेय बीजगणित अभ्यासक्रमात एकीकरण आणि भिन्नता समाविष्ट आहे. या सामग्रीचा अभ्यास करण्यासाठी आपल्याला आवश्यक आहे डेरिव्हेटिव्ह्ज आणि इंटिग्रल्सचे टेबल. ते कसे वापरायचे हे समजून घेण्यासाठी, तुम्हाला मूलभूत अटी परिभाषित करणे आवश्यक आहे.

व्युत्पन्न f(x) – आलेखावरील कोणत्याही बिंदूवर अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन F(x) मधील बदलाच्या तीव्रतेचे वैशिष्ट्य. हे फंक्शनच्या वाढीचे मर्यादित गुणोत्तर आणि त्याचे वितर्क व्यक्त करते, जे शून्याकडे झुकते. जर फंक्शनचे कोणत्याही बिंदूवर मर्यादित व्युत्पन्न असेल तर ते भिन्न आहे. व्युत्पन्नाची गणना करणे म्हणजे भिन्नता.

अविभाज्य∫ व्युत्पन्नाचा व्यस्त आहे, जो आलेखाच्या विशिष्ट भागाच्या क्षेत्राचा आकार व्यक्त करतो. एकत्रीकरणाची प्रक्रिया म्हणजे अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन शोधणे.

एकाच फंक्शनमध्ये अनेक अँटीडेरिव्हेटिव्ह असू शकतात. उदाहरणार्थ, x^2. त्यासाठी मुख्य अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहेत x^3/3; x^3/3+1. शेवटचा अंक सी अक्षराने दर्शविला जातो आणि सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

जर C एक अनियंत्रित मूल्य दर्शवितो, तर पूर्णांक अनिश्चित आहे, विशिष्ट असल्यास, ते निश्चित आहे.

व्युत्पन्न कार्यांची सारणी आणि अविभाज्य सारण्याजटिल गणितीय कार्ये जलद आणि योग्यरित्या हाताळण्यास मदत करेल. ते सर्वात सामान्यपणे वापरल्या जाणाऱ्या मूल्यांचा समावेश करतात, त्यामुळे विद्यार्थ्यांना बरीच सूत्रे लक्षात ठेवण्याची गरज नाही.

व्युत्पन्न कार्यांची सारणी

आवश्यक साहित्य नेहमी हातात असते याची खात्री करण्यासाठी, तुम्ही व्युत्पन्न सूत्रांची सारणी डाउनलोड करू शकता . यात मूलभूत प्राथमिक फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करण्यासाठी सूत्रे आहेत:

• त्रिकोणमितीय;
• लॉगरिदमिक;
• उपशामक
• घातांकीय

याव्यतिरिक्त, एक विशेष आहे जटिल कार्यांचे व्युत्पन्न सारणी. त्यात फंक्शन्सच्या गुणाकार, त्यांची बेरीज आणि भागफल यांची सूत्रे देखील आहेत.

अनिश्चित आणि निश्चित अविभाज्यांचे सारणी

एकत्रीकरण कार्ये जलद आणि योग्यरित्या पूर्ण करण्यासाठी, तुम्ही हे करू शकता इंटिग्रल्सचे टेबल डाउनलोड करा, ज्यामध्ये सर्व सर्वाधिक वापरलेली सूत्रे आहेत. त्यामध्ये दोन स्तंभ असतात: पहिल्यामध्ये गणितीय सूत्रे असतात, दुसरी - लिखित स्पष्टीकरणे.

टेबलांचा समावेश आहे मूलभूत अविभाज्य घटकखालील कार्ये:

• तर्कशुद्ध
• घातांकीय
• लॉगरिदमिक;
• तर्कहीन
• त्रिकोणमितीय;
• हायपरबोलिक

याव्यतिरिक्त, आपण अनिश्चित पूर्णांकांची सारणी डाउनलोड करू शकता.

इंटिग्रल्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जच्या सारण्यांसह चीट शीट्स

अनेक शिक्षकांना विद्यार्थ्यांना जटिल सूत्रे लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता असते. लक्षात ठेवण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे सतत सराव करणे आणि आवश्यक साहित्य हाताशी आहे हे सुनिश्चित करण्यासाठी, तुम्हाला ते छापणे आवश्यक आहे.

डेरिव्हेटिव्ह टेबलसह चीट शीटआणि इंटिग्रल्स तुम्हाला सर्व आवश्यक सूत्रे पटकन लक्षात ठेवण्यास आणि यशस्वीरित्या परीक्षा उत्तीर्ण करण्यात मदत करतील. ते कॉम्पॅक्ट आणि वापरण्यास सुलभ करण्यासाठी, तुम्हाला A5 स्वरूप - अर्धा नियमित पत्रक निवडण्याची आवश्यकता आहे.