नावाप्रमाणेच, या प्रकारचे मॉडेल सांख्यिकीयदृष्ट्या नियमित यादृच्छिक वर्तन प्रदर्शित करणाऱ्या प्रणालींचे वर्णन करण्यावर लक्ष केंद्रित करते आणि त्यातील वेळ एक स्वतंत्र मूल्य मानला जाऊ शकतो. टाइम डिस्क्रिटाइझेशनचे सार वेगळे-निर्धारित मॉडेल्स प्रमाणेच आहे. या प्रकारच्या प्रणालींचे मॉडेल दोन औपचारिक वर्णन योजनांच्या आधारे तयार केले जाऊ शकतात. प्रथम, ही मर्यादित-अंतर समीकरणे आहेत, ज्याच्या चलांमध्ये यादृच्छिक प्रक्रिया परिभाषित करणारी कार्ये वापरली जातात. दुसरे म्हणजे, ते संभाव्य ऑटोमेटा वापरतात.

एक स्वतंत्र-स्टोकास्टिक प्रणाली तयार करण्याचे उदाहरण.काही उत्पादन प्रणाली असू द्या, ज्याची रचना अंजीर मध्ये दर्शविली आहे. ३.८. या प्रणालीमध्ये, एकसंध सामग्रीचा प्रवाह स्टोरेज आणि उत्पादनाच्या टप्प्यांतून फिरतो.

समजा, उदाहरणार्थ, कच्च्या मालाच्या प्रवाहात मेटल इनगॉट्स असतात जे येणाऱ्या गोदामात साठवले जातात. मग हे रिक्त स्थान उत्पादनात जातात, जिथे ते काही प्रकारचे उत्पादन तयार करण्यासाठी वापरले जातात. तयार उत्पादने आउटपुट वेअरहाऊसमध्ये संग्रहित केली जातात, तेथून ते त्यांच्यासह पुढील क्रियांसाठी घेतले जातात (उत्पादनाच्या पुढील टप्प्यात किंवा विक्रीसाठी हस्तांतरित केले जातात). सर्वसाधारणपणे, अशी उत्पादन प्रणाली कच्चा माल, साहित्य आणि अर्ध-तयार उत्पादनांच्या सामग्री प्रवाहांना तयार उत्पादनांच्या प्रवाहात रूपांतरित करते.

या उत्पादन प्रणालीतील वेळेची पायरी एक (डी? = 1) सारखी असू द्या. आम्ही या प्रणालीच्या ऑपरेशनमध्ये एक बदल करू. आम्ही असे गृहीत धरतो की उत्पादनाच्या निर्मितीची प्रक्रिया एक वेळ चालते.

तांदूळ. 3.8, उत्पादन प्रणाली आकृती

उत्पादन प्रक्रिया एका विशेष नियामक संस्थेद्वारे नियंत्रित केली जाते, ज्याला लक्ष्य उत्पादन तीव्रतेच्या स्वरूपात उत्पादन उत्पादन योजना दिली जाते (प्रत्येक शिफ्टमध्ये या प्रकरणात, वेळेच्या प्रति युनिट उत्पादनाची संख्या). ही तीव्रता दर्शवूया दि.खरं तर, हा उत्पादनाचा वेग आहे. द्या d t =a+ bt,म्हणजेच ते एक रेखीय कार्य आहे. याचा अर्थ असा की प्रत्येक त्यानंतरच्या शिफ्टसह योजना वाढते bt

आम्ही एकसंध सामग्री प्रवाह हाताळत असल्याने, आमचा असा विश्वास आहे की प्रणालीमध्ये प्रवेश करणाऱ्या कच्च्या मालाची सरासरी प्रति युनिट वेळेची मात्रा, वेळेच्या प्रति युनिट उत्पादनाची मात्रा, सिस्टममधून बाहेर पडलेल्या तयार उत्पादनांचे प्रमाण वेळेच्या प्रत्येक युनिटमध्ये असावे. समान असणे दि.

नियामक संस्थेसाठी इनपुट आणि आउटपुट प्रवाह अनियंत्रित आहेत, त्यांची तीव्रता (किंवा वेग - अनुक्रमे, सिस्टममध्ये येणे आणि ते सोडणे) प्रति युनिट वेळेत इंगॉट्स किंवा उत्पादनांची संख्या समान असणे आवश्यक आहे. दि.तथापि, वाहतुकीदरम्यान रिक्त जागा हरवल्या जाऊ शकतात, किंवा त्यापैकी काही निकृष्ट दर्जाचे असतील, किंवा काही कारणास्तव आवश्यकतेपेक्षा जास्त येतील, इ. म्हणून, आम्ही असे गृहीत धरू की इनपुट प्रवाहाची तीव्रता आहे:

x टिन = d t +मध्ये नाही,

जेथे ξ 1 in -15 ते +15 पर्यंत एकसमान वितरीत केलेले यादृच्छिक चल आहे.

आउटपुट प्रवाहात अंदाजे समान प्रक्रिया होऊ शकतात. म्हणून, आउटपुट प्रवाहाची खालील तीव्रता आहे:

x t y x = d t + मध्येबाहेर नाही,

जेथे ξ tout हे शून्य गणितीय अपेक्षा आणि 15 च्या बरोबरीचे भिन्नता असलेले सामान्यपणे वितरित यादृच्छिक चल आहे.

आम्ही असे गृहीत धरू की उत्पादन प्रक्रियेत कामगार कामावर न दिसणे, मशीन बिघडणे इत्यादी अपघातांशी संबंधित आहेत. या यादृच्छिकतेचे वर्णन सामान्यत: वितरीत केलेल्या यादृच्छिक व्हेरिएबलद्वारे केले जाते ज्यामध्ये शून्य गणितीय अपेक्षा आणि 15 च्या समान भिन्नता असते. आपण ते दर्शवूया ξ t/ उत्पादन प्रक्रिया वेळेचे एकक टिकते, ज्या दरम्यान ती इनपुट वेअरहाऊसमधून काढली जाते. xtकच्चा माल, नंतर या कच्च्या मालावर प्रक्रिया केली जाते आणि वेळेच्या समान युनिटमध्ये आउटपुट वेअरहाऊसमध्ये हस्तांतरित केले जाते. नियामक संस्था तीन संभाव्य मार्गांनी सिस्टमच्या ऑपरेशनबद्दल माहिती प्राप्त करते (त्यांना अंजीर 3.8 मध्ये क्रमांक 1, 2, 3 ने चिन्हांकित केले आहे). आमचा विश्वास आहे की काही कारणास्तव माहिती मिळविण्याच्या या पद्धती सिस्टममध्ये परस्पर अनन्य आहेत.

पद्धत १.नियामक संस्था केवळ इनपुट वेअरहाऊसच्या स्थितीबद्दल माहिती प्राप्त करते (उदाहरणार्थ, वेअरहाऊसमधील यादीतील बदलांबद्दल किंवा त्यांच्या मानक पातळीपासून इन्व्हेंटरीजच्या व्हॉल्यूममधील विचलनांबद्दल) आणि उत्पादन प्रक्रियेच्या गतीचा न्याय करण्यासाठी त्याचा वापर करते ( गोदामातून कच्चा माल काढण्याची गती):

1) (तुम्ही इनपुट करा - u t-1 इनपुट )- वेअरहाऊसमधील इन्व्हेंटरीच्या व्हॉल्यूममध्ये बदल (यू टी इनपुट - त्यावेळी इनपुट वेअरहाऊसमधील कच्च्या मालाचे प्रमाण t);

2) (ù- u t in) - इनपुट वेअरहाऊसमधील कच्च्या मालाचे प्रमाण स्टॉक नॉर्मपासून विचलन.

मार्ग 2. नियामक संस्था थेट उत्पादनातून माहिती प्राप्त करते (x t -वास्तविक उत्पादन तीव्रता) आणि त्याची लक्ष्य तीव्रतेशी तुलना करते (d t -x t).

पद्धत 3.नियामक संस्था पद्धत 1 प्रमाणे माहिती प्राप्त करते, परंतु फॉर्ममधील आउटपुट वेअरहाऊसमधून ( u t बाहेर - u t-1 बाहेर )- किंवा (ù -uदलाल). तो अप्रत्यक्ष डेटाच्या आधारे उत्पादन प्रक्रियेचा न्याय करतो - तयार वस्तूंच्या यादीत वाढ किंवा घट.

दिलेली आउटपुट तीव्रता राखण्यासाठी दि,नियामक संस्था निर्णय घेते yt,(किंवा (y t - y t - 1)),वास्तविक आउटपुट तीव्रता बदलण्याच्या उद्देशाने x t.एक उपाय म्हणून, नियामक संस्था तीव्रतेच्या मूल्यांचे उत्पादन सूचित करते ज्यावर ते कार्य करणे आवश्यक आहे, उदा. x t = y t .नियंत्रण उपाय दुसरा पर्याय आहे (y t -y t-1),त्या नियामक संस्था उत्पादनाची तीव्रता किती वाढवायची किंवा कमी करायची हे सांगते (x t -x t-1).

माहिती मिळवण्याच्या पद्धतीवर आणि नियंत्रण क्रियेचे वर्णन करणाऱ्या व्हेरिएबलच्या प्रकारावर अवलंबून, खालील प्रमाण निर्णय घेण्यावर प्रभाव टाकू शकतात.

1. निर्णयाचा आधार (कोणतेही विचलन नसल्यास वास्तविक उत्पादन तीव्रता समान असली पाहिजे असे मूल्य):

याक्षणी रिलीजची निर्देशात्मक तीव्रता t(d t);

या क्षणी रिलीजच्या निर्देश तीव्रतेच्या बदलाचा दर t(d t -d t-1).

2. विचलन रक्कम:

लक्ष्यापासून वास्तविक आउटपुटचे विचलन (d t -x t);

नियोजित व्हॉल्यूममधून वास्तविक आउटपुट व्हॉल्यूमचे विचलन

Σ d τ - Σ x τ

इनपुट इन्व्हेंटरी लेव्हलमध्ये बदल ( (तुम्ही इनपुट करा - u t-1 इनपुट) किंवा आउटपुट

(तुम्ही बाहेर नाही - u t-1 बाहेर) गोदामे;

इनपुटवर इन्व्हेंटरी लेव्हलचे विचलन (ù- u t इनपुट) किंवा आउटपुट ( ù -उ t out) मानक पातळीपासून गोदामे.

सर्वसाधारणपणे, नियामक मंडळाने घेतलेल्या व्यवस्थापन निर्णयामध्ये खालील घटक असतात:

उपायांची उदाहरणे:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -uदलाल)

विविध स्वरूपांचे निर्णय घेऊन, नियामक संस्था मुख्य उद्दिष्ट साध्य करण्याचा प्रयत्न करते - वास्तविक आउटपुट तीव्रता लक्ष्याच्या जवळ आणण्यासाठी. तथापि, हे ध्येय ज्या प्रमाणात साध्य केले जाते त्यावर तो नेहमी त्याचे निर्णय थेट केंद्रित करू शकत नाही. (d t - x t).अंतिम परिणाम स्थानिक उद्दिष्टांच्या प्राप्तीमध्ये व्यक्त केले जाऊ शकतात - इनपुट किंवा आउटपुट वेअरहाऊसमध्ये इन्व्हेंटरी पातळीचे स्थिरीकरण ( आणि टीमध्ये (बाहेर) - आणि टी-1 इनपुट(आउटपुट)) किंवा वेअरहाऊसमधील इन्व्हेंटरी लेव्हल स्टँडर्डच्या जवळ आणण्यासाठी (आणि-आणिमध्ये (बाहेर)). साध्य केलेल्या उद्दिष्टावर अवलंबून, नियंत्रण निर्णयामध्ये नियमनासाठी वापरल्या जाणाऱ्या न जुळणाऱ्या अपूर्णांकाच्या समोरील चिन्हाचा प्रकार (+ किंवा -) निश्चित केला जातो.

आमच्या बाबतीत नियामक प्राधिकरणाला इनपुट वेअरहाऊसच्या स्थितीबद्दल माहिती प्राप्त करू द्या (इन्व्हेंटरी पातळीमध्ये बदल). हे ज्ञात आहे की कोणत्याही व्यवस्थापन प्रणालीमध्ये उपायांचा विकास आणि अंमलबजावणीमध्ये विलंब होतो. या उदाहरणामध्ये, इनपुट वेअरहाऊसच्या स्थितीबद्दलची माहिती नियामक प्राधिकरणाकडे एका वेळेच्या विलंबाने पोहोचते. या विलंबाला निर्णय घेण्यात विलंब असे म्हणतात आणि याचा अर्थ नियामक संस्थेकडून माहिती प्राप्त होईपर्यंत, इनपुट वेअरहाऊसवरील इन्व्हेंटरी स्तराची वास्तविक स्थिती आधीच वेगळी असेल. एकदा नियामकाने निर्णय घेतला y tनिर्णय एक्झिक्यूटरकडे आणण्यासाठी देखील वेळ लागेल (आमच्या उदाहरणामध्ये हे वेळेचे एकक असेल). याचा अर्थ वास्तविक उत्पादन तीव्रता समान आहे yt,पण नियामक मंडळाने काही काळापूर्वी घेतलेल्या निर्णयापर्यंत. हे उपाय अंमलबजावणीसाठी विलंब आहे.

आमच्या उत्पादन प्रणालीचे वर्णन करण्यासाठी आमच्याकडे खालील समीकरणे आहेत:

xtBX =d t +मध्ये टी

xtबाहेर =dt+ξ t बाहेर;

y t = d t + y(u -u t-2 इनपुट)

x t = y t-1 + ξt

u t मध्ये - u t-1 इनपुट = xtमध्ये - xt

समीकरणांची ही प्रणाली आम्हाला उत्पादन प्रणालीचे मॉडेल तयार करण्यास अनुमती देते ज्यामध्ये इनपुट व्हेरिएबल्स असतील दि,ξ t in, ξ t आउट, ξ t,a

सुट्टीचा दिवस - x t.हे असे आहे कारण बाहेरील निरीक्षक आपल्या उत्पादनास तीव्रतेने कच्चा माल प्राप्त करणारी प्रणाली मानतात. d tआणि तीव्रतेने उत्पादने तयार करणे xt,यादृच्छिकतेच्या अधीन ξ t in, ξ t out, ξ t. समीकरणांच्या परिणामी प्रणालीमध्ये सर्व प्रतिस्थापन पूर्ण केल्यावर, आम्ही एका गतिमान समीकरणावर पोहोचतो जे वर्तनाचे वैशिष्ट्य दर्शवते. xtवर अवलंबून आहे दि,ξ t इन, ξ t आउट, ξ t.

वर चर्चा केलेल्या मॉडेलमध्ये वेअरहाऊस व्हॉल्यूम आणि उत्पादन क्षमतेवर निर्बंध नव्हते. जर आपण असे गृहीत धरले की इनपुट वेअरहाऊसची क्षमता V इन आहे, तर आउटपुट वेअरहाऊसची क्षमता V BX आहे आणि उत्पादन क्षमता आहे. मी,मग अशा नॉनलाइनर उत्पादन प्रणालीसाठी समीकरणांची नवीन प्रणाली खालीलप्रमाणे असेल:

xtBX=min((d t+ ξ t in), (V in - u t in)) - आपण जागेच्या परवानगीपेक्षा अधिक इनपुट वेअरहाऊसमध्ये ठेवू शकत नाही;

xबाहेर =min((d t+ ξ t आउट), (V आउट - u t out)) - तुम्ही आउटपुट वेअरहाऊसमधून तेथे उपलब्ध असलेल्यापेक्षा जास्त उत्पादने घेऊ शकत नाही;

y t = d t + y(uमध्ये t -यू t-1 इनपुट)

xtBX = मि(( uकथील, ( y t-1+ ξ t मध्ये), मी,(V आउट - u t out)) - ऑर्डर केलेल्यापेक्षा जास्त उत्पादने तयार करणे अशक्य आहे, मर्यादित घटक उपलब्ध रिक्त स्थानांची संख्या आणि आउटपुट वेअरहाऊसमध्ये मोकळ्या जागेची उपलब्धता आहे;

uमध्ये t -यू t-1 इनपुट = xtBX-xt

©2015-2019 साइट
सर्व अधिकार त्यांच्या लेखकांचे आहेत. ही साइट लेखकत्वाचा दावा करत नाही, परंतु विनामूल्य वापर प्रदान करते.
पृष्ठ निर्मिती तारीख: 2016-02-13

स्टॉकॅस्टिक मॉडेल अशा परिस्थितीचे वर्णन करते जेथे अनिश्चितता असते. दुसऱ्या शब्दांत, प्रक्रिया काही प्रमाणात यादृच्छिकतेद्वारे दर्शविली जाते. “स्टोकास्टिक” हे विशेषण स्वतःच “अंदाज करणे” या ग्रीक शब्दावरून आले आहे. अनिश्चितता हे दैनंदिन जीवनाचे मुख्य वैशिष्ट्य असल्याने, असे मॉडेल कोणत्याही गोष्टीचे वर्णन करू शकते.

तथापि, प्रत्येक वेळी आम्ही ते वापरतो तेव्हा आम्हाला वेगळा परिणाम मिळेल. म्हणून, निर्धारक मॉडेल अधिक वेळा वापरले जातात. जरी ते वास्तविक स्थितीच्या शक्य तितके जवळ नसले तरी ते नेहमी समान परिणाम देतात आणि परिस्थिती समजून घेणे सोपे करतात, गणितीय समीकरणांचा संच सादर करून ते सोपे करतात.

मुख्य वैशिष्ट्ये

स्टोकास्टिक मॉडेलमध्ये नेहमी एक किंवा अधिक यादृच्छिक चलांचा समावेश असतो. ती तिच्या सर्व अभिव्यक्तींमध्ये वास्तविक जीवन प्रतिबिंबित करण्याचा प्रयत्न करते. स्टोकास्टिकच्या विपरीत, सर्वकाही सुलभ करणे आणि ज्ञात मूल्यांमध्ये कमी करणे हे त्याचे ध्येय नाही. म्हणून, अनिश्चितता हे त्याचे मुख्य वैशिष्ट्य आहे. स्टोकास्टिक मॉडेल्स कोणत्याही गोष्टीचे वर्णन करण्यासाठी योग्य आहेत, परंतु त्या सर्वांमध्ये खालील सामान्य वैशिष्ट्ये आहेत:

• कोणतेही स्टोकास्टिक मॉडेल अभ्यास करण्यासाठी तयार केलेल्या समस्येचे सर्व पैलू प्रतिबिंबित करते.
• प्रत्येक घटनेचा निकाल अनिश्चित असतो. म्हणून, मॉडेलमध्ये संभाव्यता समाविष्ट आहे. एकूण निकालांची शुद्धता त्यांच्या गणनेच्या अचूकतेवर अवलंबून असते.
• या संभाव्यतेचा वापर स्वतः प्रक्रियांचा अंदाज लावण्यासाठी किंवा वर्णन करण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

निर्धारक आणि स्टॉकेस्टिक मॉडेल

काहींसाठी, जीवन इतरांसाठी प्रक्रियांची मालिका असल्याचे दिसून येते, ज्यामध्ये कारण परिणाम निर्धारित करते. खरं तर, हे अनिश्चिततेद्वारे दर्शविले जाते, परंतु नेहमीच नाही आणि प्रत्येक गोष्टीत नाही. म्हणून, स्टॉकॅस्टिक आणि निर्धारक मॉडेलमधील स्पष्ट फरक शोधणे कधीकधी कठीण असते. संभाव्यता हे बऱ्यापैकी व्यक्तिनिष्ठ सूचक आहेत.

उदाहरणार्थ, नाणे फेकण्याची परिस्थिती विचारात घ्या. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, असे दिसते की "पुच्छ" लँडिंगची संभाव्यता 50% आहे. म्हणून, एक निर्धारक मॉडेल वापरणे आवश्यक आहे. तथापि, प्रत्यक्षात असे दिसून आले की खेळाडूंच्या हाताच्या निपुणतेवर आणि नाणे संतुलित करण्याच्या परिपूर्णतेवर बरेच काही अवलंबून असते. याचा अर्थ असा आहे की आपल्याला स्टोकास्टिक मॉडेल वापरण्याची आवश्यकता आहे. नेहमीच असे पॅरामीटर्स असतात जे आपल्याला माहित नसतात. वास्तविक जीवनात, कारण नेहमीच परिणाम ठरवते, परंतु काही प्रमाणात अनिश्चितता देखील असते. निर्धारवादी आणि स्टोकास्टिक मॉडेल्स वापरण्यातील निवड आपण काय त्याग करण्यास तयार आहोत यावर अवलंबून असते - विश्लेषणाची सुलभता किंवा वास्तववाद.

अनागोंदी सिद्धांत मध्ये

अलीकडे, कोणत्या मॉडेलला स्टोकास्टिक म्हणतात ही संकल्पना अधिकच धूसर झाली आहे. हे तथाकथित अनागोंदी सिद्धांताच्या विकासामुळे आहे. हे निर्धारवादी मॉडेल्सचे वर्णन करते जे प्रारंभिक पॅरामीटर्समध्ये थोड्या बदलांसह भिन्न परिणाम देऊ शकतात. हे अनिश्चिततेच्या गणनेच्या परिचयासारखे आहे. बऱ्याच शास्त्रज्ञांनी हे देखील कबूल केले की हे आधीच एक स्टोकास्टिक मॉडेल आहे.

लोथर ब्रुअरने काव्यात्मक प्रतिमेसह सर्व काही सुंदरपणे स्पष्ट केले. त्याने लिहिले: “पहाडी प्रवाह, धडधडणारे हृदय, चेचकांची महामारी, वाढत्या धुराचा स्तंभ - हे सर्व एका गतिशील घटनेचे उदाहरण आहे जे कधीकधी योगायोगाने वैशिष्ट्यीकृत दिसते. प्रत्यक्षात, अशा प्रक्रिया नेहमीच एका विशिष्ट क्रमाच्या अधीन असतात, जे शास्त्रज्ञ आणि अभियंते फक्त समजू लागले आहेत. ही तथाकथित निर्धारवादी अराजकता आहे." नवीन सिद्धांत अतिशय प्रशंसनीय वाटतो, म्हणूनच अनेक आधुनिक शास्त्रज्ञ त्याचे समर्थक आहेत. तथापि, ते अजूनही खराब विकसित आहे आणि सांख्यिकीय गणनांमध्ये लागू करणे खूप कठीण आहे. म्हणून, स्टोकास्टिक किंवा निर्धारवादी मॉडेल बहुतेकदा वापरले जातात.

बांधकाम

स्टोकास्टिकची सुरुवात प्राथमिक परिणामांच्या जागेच्या निवडीपासून होते. यालाच सांख्यिकी प्रक्रिया किंवा कार्यक्रमाच्या अभ्यासाच्या संभाव्य परिणामांची यादी म्हणतात. त्यानंतर संशोधक प्रत्येक प्राथमिक परिणामाची संभाव्यता ठरवतो. हे सहसा विशिष्ट पद्धतीच्या आधारे केले जाते.

तथापि, संभाव्यता अद्याप एक ऐवजी व्यक्तिपरक पॅरामीटर आहे. नंतर संशोधक ठरवतो की समस्या सोडवण्यासाठी कोणत्या घटना सर्वात मनोरंजक वाटतात. त्यानंतर, तो फक्त त्यांची संभाव्यता निश्चित करतो.

उदाहरण

चला सर्वात सोपा स्टोकास्टिक मॉडेल तयार करण्याच्या प्रक्रियेचा विचार करूया. समजा आम्ही फासे फिरवत आहोत. जर "सहा" किंवा "एक" आला तर आमची जिंकलेली रक्कम दहा डॉलर असेल. या प्रकरणात स्टॉकॅस्टिक मॉडेल तयार करण्याची प्रक्रिया यासारखी दिसेल:

• प्राथमिक परिणामांची जागा परिभाषित करूया. डायला सहा बाजू आहेत, म्हणून रोल “एक”, “दोन”, “तीन”, “चार”, “पाच” आणि “सहा” असू शकतात.
• प्रत्येक निकालाची संभाव्यता 1/6 असेल, आपण कितीही वेळा फासे फिरवले तरीही.
• आता आम्हाला स्वारस्य असलेले परिणाम निश्चित करणे आवश्यक आहे. हे “सहा” किंवा “एक” या संख्येसह काठाचे पडणे आहे.
• शेवटी, आम्हाला स्वारस्य असलेल्या इव्हेंटची संभाव्यता आम्ही निर्धारित करू शकतो. 1/3 आहे. आम्ही आमच्या आवडीच्या दोन्ही प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज करतो: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

संकल्पना आणि परिणाम

स्टोकास्टिक मॉडेलिंगचा वापर अनेकदा जुगारात केला जातो. परंतु आर्थिक अंदाजामध्ये देखील हे अपरिहार्य आहे, कारण ते आपल्याला परिस्थिती अधिक सखोलपणे समजून घेण्याची परवानगी देते. गुंतवणुकीचे निर्णय घेताना अर्थशास्त्रातील स्टोकास्टिक मॉडेल्सचा वापर केला जातो. ते तुम्हाला ठराविक मालमत्ता किंवा मालमत्तेच्या गटांमधील गुंतवणुकीच्या नफ्याबद्दल गृहीत धरण्याची परवानगी देतात.

मॉडेलिंगमुळे आर्थिक नियोजन अधिक प्रभावी होते. त्याच्या मदतीने, गुंतवणूकदार आणि व्यापारी त्यांच्या मालमत्तेचे वाटप इष्टतम करतात. स्टोकास्टिक मॉडेलिंगचा वापर केल्याने दीर्घकाळात नेहमीच फायदे होतात. काही उद्योगांमध्ये, ते लागू करण्यास नकार किंवा असमर्थता एंटरप्राइझची दिवाळखोरी देखील होऊ शकते. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की वास्तविक जीवनात, नवीन महत्वाचे पॅरामीटर्स दररोज दिसतात आणि जर ते अस्तित्वात नसतील तर त्यांचे घातक परिणाम होऊ शकतात.

480 घासणे. | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC", BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> प्रबंध - 480 RUR, वितरण 10 मिनिटे, चोवीस तास, आठवड्याचे सात दिवस आणि सुट्ट्या

डेमिडोवा अनास्तासिया व्याचेस्लाव्होव्हना. एक-चरण प्रक्रियांचे स्टोकेस्टिक मॉडेल तयार करण्याची पद्धत: प्रबंध... भौतिक आणि गणितीय विज्ञान उमेदवार: 05.13.18 / अनास्तासिया व्याचेस्लावोव्हना डेमिडोवा; [संरक्षणाचे ठिकाण: पीपल्स फ्रेंडशिप युनिव्हर्सिटी ऑफ रशिया] - मॉस्को, 2014.- 126 p

परिचय

धडा 1. प्रबंध 14 च्या विषयावरील कामांचे पुनरावलोकन

१.१. लोकसंख्या डायनॅमिक्स मॉडेल्सचे पुनरावलोकन 14

१.२. स्टोकास्टिक लोकसंख्या मॉडेल 23

१.३. स्टोकास्टिक भिन्न समीकरणे 26

१.४. स्टोकास्टिक कॅल्क्युलस 32 बद्दल माहिती

धडा 2. एक-चरण प्रक्रिया मॉडेलिंगची पद्धत 39

२.१. एक-चरण प्रक्रिया. कोल्मोगोरोव्ह-चॅपमन समीकरण. मूलभूत गतिज समीकरण 39

२.२. बहुआयामी एक-चरण प्रक्रियांचे मॉडेलिंग करण्याची पद्धत. ४७

२.३. संख्यात्मक मॉडेलिंग 56

प्रकरण 3. एक-चरण प्रक्रिया मॉडेलिंग पद्धतीचा वापर 60

३.१. लोकसंख्या गतिशीलतेचे स्टोकास्टिक मॉडेल 60

३.२. विविध आंतर- आणि इंट्रास्पेसिफिक परस्परसंवादांसह लोकसंख्या प्रणालीचे स्टोकास्टिक मॉडेल 75

३.३. नेटवर्क वर्म्सच्या प्रसाराचे स्टोकास्टिक मॉडेल. ९२

३.४. पीअर-टू-पीअर प्रोटोकॉलचे स्टोकास्टिक मॉडेल 97

निष्कर्ष 113

साहित्य 116

स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणे

प्रबंधाच्या उद्दिष्टांपैकी एक म्हणजे सिस्टमसाठी स्टॉकॅस्टिक विभेदक समीकरण लिहिण्याची समस्या आहे जेणेकरून स्टॉकॅस्टिक संज्ञा अभ्यासाधीन प्रणालीच्या संरचनेशी संबंधित असेल. या समस्येवर एक संभाव्य उपाय म्हणजे समान समीकरणातून स्टोकास्टिक आणि निर्धारक भाग मिळवणे. या हेतूंसाठी, मूलभूत गतिज समीकरण वापरणे सोयीचे आहे, जे फोकर-प्लँक समीकरणाद्वारे अंदाजे केले जाऊ शकते, ज्यासाठी, समतुल्य स्टोकास्टिक विभेदक समीकरण लॅन्गेव्हिन समीकरणाच्या स्वरूपात लिहिले जाऊ शकते.

कलम 1.4. स्टोकास्टिक विभेदक समीकरण आणि फोकर-प्लँक समीकरण, तसेच स्टोकास्टिक कॅल्क्युलसच्या मूलभूत संकल्पना यांच्यातील संबंध सूचित करण्यासाठी आवश्यक असलेली मूलभूत माहिती समाविष्ट आहे.

दुसरा धडा यादृच्छिक प्रक्रियांच्या सिद्धांतावरून मूलभूत माहिती प्रदान करतो आणि या सिद्धांताच्या आधारे, एक-चरण प्रक्रियांचे मॉडेलिंग करण्यासाठी एक पद्धत तयार करतो.

विभाग 2.1 यादृच्छिक एक-चरण प्रक्रियांच्या सिद्धांतातून मूलभूत माहिती प्रदान करते.

एक-चरण प्रक्रिया पूर्णांकांच्या श्रेणीतील मूल्ये घेत असलेल्या मार्कोव्ह प्रक्रिया सतत-वेळ म्हणून समजल्या जातात, ज्याचे संक्रमण मॅट्रिक्स केवळ समीप विभागांमधील संक्रमणास अनुमती देते.

आम्ही एका बहुआयामी एक-चरण प्रक्रियेचा विचार करतो X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) विभागासोबत भिन्न, म्हणजे. Є, प्रक्रिया X() निर्दिष्ट केलेल्या वेळेच्या अंतराची लांबी कुठे आहे. संच G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 हा स्वतंत्र मूल्यांचा एक संच आहे जो यादृच्छिक प्रक्रिया घेऊ शकतो.

दिलेल्या एका-चरण प्रक्रियेसाठी, राज्य Xj पासून राज्य Xj__i आणि Xj_i पर्यंत प्रति युनिट वेळ s+ आणि s च्या संक्रमणाची संभाव्यता, अनुक्रमे सादर केली जाते. असे मानले जाते की राज्य x पासून प्रति युनिट वेळेत दोन किंवा अधिक चरणांपर्यंत संक्रमणाची संभाव्यता खूपच लहान आहे. म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की प्रणालीच्या अवस्थेचा वेक्टर Xj लांबीच्या पायऱ्यांमध्ये बदलतो Г( आणि नंतर, x ते Xj+i आणि Xj_i च्या संक्रमणाऐवजी, आपण X ते X + Гі आणि X - च्या संक्रमणांचा विचार करू शकतो. Гі, अनुक्रमे.

प्रणाली घटकांच्या परस्परसंवादाच्या परिणामी ज्या वेळेत उत्क्रांती होते अशा प्रणालींचे मॉडेलिंग करताना, मुख्य गतिज समीकरण वापरून त्याचे वर्णन करणे सोयीचे असते (दुसरे नाव नियंत्रण समीकरण आहे आणि इंग्रजी साहित्यात याला मास्टर समीकरण म्हणतात).

पुढे, मूलभूत गतिज समीकरणातून लॅन्गेव्हिन समीकरणाच्या रूपात स्टोकास्टिक विभेदक समीकरण वापरून, एक-चरण प्रक्रियांद्वारे वर्णन केलेल्या अभ्यासाधीन प्रणालीचे वर्णन कसे मिळवायचे हा प्रश्न उद्भवतो. औपचारिकरित्या, केवळ स्टॉकॅस्टिक फंक्शन्स असलेली समीकरणे स्टॉकॅस्टिक समीकरण म्हणून वर्गीकृत केली जावीत. अशा प्रकारे, केवळ लॅन्गेविनची समीकरणे ही व्याख्या पूर्ण करतात. तथापि, ते थेट इतर समीकरणांशी संबंधित आहेत, म्हणजे फोकर-प्लँक समीकरण आणि मूलभूत गतिज समीकरण. त्यामुळे या सर्व समीकरणांचा एकत्रित विचार करणे तर्कसंगत वाटते. म्हणून, या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, फोकर-प्लँक समीकरणाद्वारे मुख्य गतिज समीकरणाचा अंदाज लावणे प्रस्तावित आहे, ज्यासाठी आपण लँगेविन समीकरणाच्या रूपात समतुल्य स्टोकास्टिक विभेदक समीकरण लिहू शकतो.

विभाग 2.2 बहुआयामी एक-चरण प्रक्रियांद्वारे वर्णन केलेल्या प्रणालींचे वर्णन आणि स्टोकेस्टिक मॉडेलिंगसाठी एक पद्धत तयार करते.

या व्यतिरिक्त, असे दर्शविले आहे की फोकर-प्लँक समीकरणाचे गुणांक अभ्यासाधीन प्रणालीसाठी परस्परसंवाद योजना, स्टेट चेंज व्हेक्टर r आणि संक्रमण संभाव्यता s+ आणि s- साठी अभिव्यक्ती रेकॉर्ड केल्यानंतर लगेच मिळू शकतात, म्हणजे. या पद्धतीच्या व्यावहारिक वापरामध्ये मूलभूत गतिज समीकरण लिहिण्याची गरज नाही.

कलम 2.3 मध्ये. स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणांच्या संख्यात्मक समाधानासाठी रुंज-कुट्टा पद्धतीचा विचार केला जातो, जो प्राप्त परिणाम स्पष्ट करण्यासाठी तिसऱ्या प्रकरणात वापरला आहे.

तिसरा अध्याय दुसऱ्या अध्यायात वर्णन केलेल्या स्टोकास्टिक मॉडेल्स तयार करण्याच्या पद्धतीच्या अनुप्रयोगाचे उदाहरण देतो, ज्यामध्ये "शिकारी-शिकार", सहजीवन, स्पर्धा आणि त्यांचे बदल यांसारख्या परस्परसंवादी लोकसंख्येच्या वाढीच्या गतिशीलतेचे वर्णन करणाऱ्या प्रणालींचे उदाहरण दिले आहे. . त्यांना स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणांच्या स्वरूपात लिहिणे आणि सिस्टमच्या वर्तनावर स्टोकास्टिक्सचा परिचय करून देण्याच्या प्रभावाचा अभ्यास करणे हे त्यांचे ध्येय आहे.

कलम 3.1 मध्ये. दुसऱ्या अध्यायात वर्णन केलेल्या पद्धतीचा वापर “भक्षक-शिकार” मॉडेलच्या उदाहरणाद्वारे स्पष्ट केला आहे. "शिकारी-शिकार" प्रकारच्या दोन प्रकारच्या लोकसंख्येच्या परस्परसंवादासह प्रणालींचा व्यापकपणे अभ्यास केला गेला आहे, ज्यामुळे आधीच सुप्रसिद्ध लोकांसह प्राप्त झालेल्या परिणामांची तुलना करणे शक्य होते.

परिणामी समीकरणांच्या विश्लेषणातून असे दिसून आले की प्रणालीच्या निर्धारक वर्तनाचा अभ्यास करण्यासाठी, परिणामी स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणाचा ड्रिफ्ट वेक्टर ए वापरणे शक्य आहे, म्हणजे. स्टोकास्टिक आणि निर्धारक वर्तनाचे विश्लेषण करण्यासाठी विकसित पद्धतीचा वापर केला जाऊ शकतो. याव्यतिरिक्त, असा निष्कर्ष काढण्यात आला की स्टोकास्टिक मॉडेल सिस्टमच्या वर्तनाचे अधिक वास्तववादी वर्णन प्रदान करतात. विशेषतः, "शिकारी-शिकार" प्रणालीसाठी, निर्धारक प्रकरणात, समीकरणांचे निराकरण नियतकालिक स्वरूपाचे असते आणि फेज व्हॉल्यूम जतन केले जाते, तर मॉडेलमध्ये स्टोकास्टिक्सचा परिचय फेज व्हॉल्यूममध्ये मोनोटोनिक वाढ देते, जे एक किंवा दोन्ही लोकसंख्येचा अपरिहार्य मृत्यू सूचित करतो. प्राप्त परिणामांची कल्पना करण्यासाठी, संख्यात्मक अनुकरण केले गेले.

कलम 3.2 मध्ये. विकसित पद्धतीचा उपयोग लोकसंख्येच्या गतिशीलतेच्या विविध स्टोकास्टिक मॉडेल्स प्राप्त करण्यासाठी आणि विश्लेषण करण्यासाठी केला जातो, जसे की "भक्षक-शिकार" मॉडेल शिकार, सहजीवन, स्पर्धा आणि तीन लोकसंख्येतील परस्परसंवाद मॉडेलमधील परस्पर स्पर्धा लक्षात घेऊन.

स्टॉकॅस्टिक कॅल्क्युलसची माहिती

यादृच्छिक प्रक्रियेच्या सिद्धांताच्या विकासामुळे नैसर्गिक घटनांच्या अभ्यासात निर्धारवादी संकल्पना आणि लोकसंख्येच्या गतिशीलतेच्या मॉडेलपासून संभाव्यतेकडे संक्रमण झाले आणि परिणामी, गणितीय जीवशास्त्रातील स्टोकास्टिक मॉडेलिंगला समर्पित मोठ्या संख्येने कार्ये दिसू लागली. , रसायनशास्त्र, अर्थशास्त्र इ.

निर्धारवादी लोकसंख्या मॉडेल्सचा विचार करताना, प्रणालीच्या उत्क्रांतीवर विविध घटकांचा यादृच्छिक प्रभावासारखे महत्त्वाचे मुद्दे उघड राहतात. लोकसंख्येच्या गतिशीलतेचे वर्णन करताना, एखाद्या व्यक्तीने पुनरुत्पादन आणि व्यक्तींचे अस्तित्व यादृच्छिक स्वरूपाचा विचार केला पाहिजे, तसेच कालांतराने वातावरणात होणारे यादृच्छिक चढउतार आणि सिस्टम पॅरामीटर्समध्ये यादृच्छिक चढ-उतार होतात. म्हणून, हे बिंदू प्रतिबिंबित करणारी संभाव्य यंत्रणा लोकसंख्येच्या गतिशीलतेच्या कोणत्याही मॉडेलमध्ये सादर केली पाहिजे.

स्टोकेस्टिक मॉडेलिंग लोकसंख्येच्या वैशिष्ट्यांमधील बदलांचे अधिक संपूर्ण वर्णन करण्यास अनुमती देते, सर्व निर्धारवादी घटक आणि यादृच्छिक प्रभाव दोन्ही विचारात घेऊन जे निर्धारक मॉडेल्सच्या निष्कर्षांमध्ये लक्षणीय बदल करू शकतात. दुसरीकडे, त्यांच्या मदतीने लोकसंख्येच्या वर्तनाचे गुणात्मक नवीन पैलू ओळखणे शक्य आहे.

यादृच्छिक प्रक्रिया वापरून लोकसंख्येतील बदलांचे स्टोकास्टिक मॉडेल वर्णन केले जाऊ शकतात. काही गृहितकांच्या अंतर्गत, आपण असे गृहीत धरू शकतो की लोकसंख्येचे वर्तमान स्थिती लक्षात घेऊन त्याचे वर्तन हे राज्य कसे प्राप्त झाले यावर अवलंबून नाही (म्हणजे, निश्चित वर्तमानासह, भविष्य भूतकाळावर अवलंबून नाही). ते. लोकसंख्येच्या गतिशीलतेच्या प्रक्रियेचे मॉडेल करण्यासाठी, मार्कोव्ह जन्म-मृत्यू प्रक्रिया आणि संबंधित नियंत्रण समीकरणे वापरणे सोयीचे आहे, जे कामाच्या दुसऱ्या भागात तपशीलवार वर्णन केले आहे.

एन. एन. कालिंकिन त्यांच्या कामांमध्ये परस्परसंवाद योजनांचा वापर करून परस्परसंवादी घटकांसह प्रणालींमध्ये होणाऱ्या प्रक्रियांचे वर्णन करतात आणि या योजनांच्या आधारे, मार्कोव्ह प्रक्रियेची शाखा बनविण्याचे उपकरण वापरून या प्रणालींचे मॉडेल तयार करतात. या दृष्टिकोनाचा उपयोग रासायनिक, लोकसंख्या, दूरसंचार आणि इतर प्रणालींमधील मॉडेलिंग प्रक्रियेच्या उदाहरणाद्वारे स्पष्ट केला जातो.

हे कार्य संभाव्य लोकसंख्येच्या मॉडेल्सचे परीक्षण करते, ज्याच्या बांधकामासाठी जन्म-मृत्यू प्रक्रियेची उपकरणे वापरली जातात आणि विभेदक-अंतर समीकरणांच्या परिणामी प्रणाली यादृच्छिक प्रक्रियेसाठी गतिशील समीकरणे दर्शवतात. या समीकरणांवर उपाय शोधण्याच्या पद्धतींचीही चर्चा या पेपरमध्ये करण्यात आली आहे.

लोकसंख्येतील बदलांच्या गतिशीलतेवर प्रभाव टाकणारे विविध घटक विचारात घेणारे स्टोकास्टिक मॉडेल्सच्या निर्मितीसाठी समर्पित केलेले अनेक लेख तुम्हाला सापडतील. उदाहरणार्थ, लेखांनी जैविक समुदायाच्या लोकसंख्येच्या गतिशीलतेचे मॉडेल तयार केले आणि त्याचे विश्लेषण केले ज्यामध्ये व्यक्ती हानिकारक पदार्थ असलेल्या अन्न संसाधनांचा वापर करतात. आणि लोकसंख्येच्या उत्क्रांतीच्या मॉडेलमध्ये, लेख त्यांच्या निवासस्थानांमध्ये लोकसंख्येच्या प्रतिनिधींच्या सेटलमेंटचा घटक विचारात घेतो. मॉडेल स्वयं-सुसंगत व्लासोव्ह समीकरणांची एक प्रणाली आहे.

भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र इत्यादी नैसर्गिक विज्ञानांमध्ये चढउतारांच्या सिद्धांताला समर्पित असलेली कामे आणि स्टोकेस्टिक पद्धतींचा वापर लक्षात घेण्यासारखे आहे. विशेषतः, परस्परसंवादाच्या संख्येतील बदलांचे गणितीय मॉडेल "भक्षक-शिकार" प्रकार बहुआयामी मार्कोव्ह जन्म-मृत्यू प्रक्रियेच्या आधारावर तयार केला जातो.

जन्म-मृत्यू प्रक्रियेची अंमलबजावणी म्हणून कोणीही "शिकारी-शिकार" मॉडेलचा विचार करू शकतो. या व्याख्येमध्ये, विज्ञानाच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये मोडसाठी त्यांचा वापर करणे शक्य आहे. ७० च्या दशकात, एम. डोई यांनी निर्मिती-उध्वस्त ऑपरेटर (दुय्यम परिमाणीकरणाच्या सादृश्याने) आधारित अशा मॉडेल्सचा अभ्यास करण्यासाठी एक तंत्र प्रस्तावित केले. कामे येथे नोंदवता येतील. याव्यतिरिक्त, ही पद्धत आता एम. एम. ग्नाटिचच्या गटामध्ये सक्रियपणे विकसित केली जात आहे.

लोकसंख्या गतिशीलतेचे मॉडेलिंग आणि अभ्यास करण्याचा आणखी एक दृष्टीकोन इष्टतम नियंत्रणाच्या सिद्धांताशी संबंधित आहे. कामे येथे नोंदवता येतील.

हे लक्षात घेतले जाऊ शकते की लोकसंख्या प्रक्रियेच्या स्टोकास्टिक मॉडेल्सच्या निर्मितीसाठी समर्पित बहुतेक कामे विभेदक-अंतर समीकरणे आणि त्यानंतरच्या संख्यात्मक अंमलबजावणीसाठी यादृच्छिक प्रक्रियांचे उपकरण वापरतात. याव्यतिरिक्त, लॅन्गेविन फॉर्ममधील स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणे मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात, ज्यामध्ये सिस्टमच्या वर्तनाबद्दल सामान्य विचारांवरून एक स्टोकास्टिक संज्ञा जोडली जाते आणि यादृच्छिक पर्यावरणीय प्रभावांचे वर्णन करण्याचा हेतू आहे. मॉडेलचा पुढील अभ्यास म्हणजे त्यांचे गुणात्मक विश्लेषण किंवा संख्यात्मक पद्धती वापरून उपाय शोधणे.

स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स व्याख्या 1. स्टॉकॅस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन हे एक विभेदक समीकरण आहे ज्यामध्ये एक किंवा अधिक संज्ञा स्टोकास्टिक प्रक्रियेचे प्रतिनिधित्व करतात. स्टोकास्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) चे सर्वात जास्त वापरलेले आणि सुप्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे व्हाईट नॉइजचे वर्णन करणारे शब्द असलेले समीकरण आहे आणि ते Wiener प्रक्रिया Wt, t 0 म्हणून मानले जाऊ शकते.

विविध यादृच्छिक व्यत्ययांच्या अधीन असलेल्या डायनॅमिक सिस्टीमच्या अभ्यास आणि मॉडेलिंगमध्ये स्टोकास्टिक विभेदक समीकरणे हे एक महत्त्वाचे आणि मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाणारे गणितीय उपकरण आहे.

नैसर्गिक घटनेच्या स्टोकास्टिक मॉडेलिंगची सुरुवात ही ब्राउनियन गतीच्या घटनेचे वर्णन मानली जाते, जी आर. ब्राउन यांनी 1827 मध्ये शोधली, जेव्हा त्यांनी द्रवपदार्थातील वनस्पतींच्या परागकणांच्या हालचालीवर संशोधन केले. या घटनेचे पहिले कठोर स्पष्टीकरण ए. आइन्स्टाईन आणि एम. स्मोलुचोव्स्की यांनी स्वतंत्रपणे दिले होते. ब्राउनियन मोशनवर ए. आइन्स्टाईन आणि एम. स्मोलुचोव्स्की यांच्या कामांचा समावेश असलेल्या लेखांचा संग्रह लक्षात घेण्यासारखे आहे. या अभ्यासांनी ब्राउनियन गतीच्या सिद्धांताच्या विकासामध्ये आणि त्याच्या प्रायोगिक पडताळणीमध्ये महत्त्वपूर्ण योगदान दिले. A. आईन्स्टाईनने ब्राउनियन गतीच्या परिमाणवाचक वर्णनासाठी आण्विक गतिज सिद्धांत तयार केला. परिणामी सूत्रांची पुष्टी 1908-1909 मध्ये जे. पेरिनच्या प्रयोगांनी केली.

बहुआयामी एक-चरण प्रक्रियांचे मॉडेलिंग करण्याची पद्धत.

परस्परसंवादी घटकांसह प्रणालींच्या उत्क्रांतीचे वर्णन करण्यासाठी दोन पध्दती आहेत - निर्धारक किंवा स्टोकास्टिक मॉडेल्सचे बांधकाम. निर्धारवादी मॉडेल्सच्या विपरीत, स्टोकेस्टिक मॉडेल्समुळे अभ्यासाधीन प्रणालींमध्ये होणाऱ्या प्रक्रियांचे संभाव्य स्वरूप तसेच मॉडेल पॅरामीटर्समध्ये यादृच्छिक चढउतारांना कारणीभूत असलेल्या बाह्य वातावरणाचा प्रभाव विचारात घेणे शक्य होते.

अभ्यासाचा विषय म्हणजे सिस्टीम, ज्या प्रक्रियेमध्ये एक-चरण प्रक्रिया वापरून वर्णन केले जाऊ शकते आणि ज्यामध्ये त्यांच्या स्थितीचे दुसर्यामध्ये संक्रमण प्रणाली घटकांच्या परस्परसंवादाशी संबंधित आहे. एक उदाहरण म्हणजे "शिकारी-शिकार", सहजीवन, स्पर्धा आणि त्यांच्या बदलांसारख्या परस्परसंवादी लोकसंख्येच्या वाढीच्या गतिशीलतेचे वर्णन करणारे मॉडेल. अशा प्रणाल्यांसाठी SDE लिहून ठेवणे आणि निर्धारक वर्तनाचे वर्णन करणाऱ्या समीकरणाच्या समाधानाच्या वर्तनावर स्टॉकॅस्टिक भाग सादर करण्याच्या परिणामाचा अभ्यास करणे हे उद्दिष्ट आहे.

रासायनिक गतीशास्त्र

परस्परसंवादी घटकांसह प्रणालींचे वर्णन करताना उद्भवणाऱ्या समीकरणांच्या प्रणाली अनेक प्रकारे रासायनिक अभिक्रियांच्या गतीशास्त्राचे वर्णन करणाऱ्या विभेदक समीकरणांच्या प्रणालींच्या जवळ असतात. उदाहरणार्थ, लोटका-व्होल्टेरा प्रणाली मूळतः लोटकाने काही काल्पनिक रासायनिक अभिक्रियाचे वर्णन करणारी प्रणाली म्हणून विकसित केली होती आणि नंतरच ती व्होल्टेराने शिकारी-शिकार मॉडेलचे वर्णन करणारी प्रणाली म्हणून विकसित केली होती.

रासायनिक गतिशास्त्र तथाकथित स्टोइचियोमेट्रिक समीकरणांचा वापर करून रासायनिक अभिक्रियांचे वर्णन करते - रासायनिक अभिक्रियांचे अभिकर्मक आणि उत्पादनांचे परिमाणवाचक संबंध प्रतिबिंबित करणारी समीकरणे आणि खालील सामान्य स्वरूप असतात: जेथे नैसर्गिक संख्या m आणि n यांना स्टोचियोमेट्रिक गुणांक म्हणतात. ही रासायनिक अभिक्रियाची प्रतिकात्मक नोंद आहे ज्यामध्ये अभिकर्मक Xi चे thi रेणू, अभिकर्मक Xh चे ni2 रेणू, ..., अभिकर्मक Xp चे 3 रेणू, प्रतिक्रिया स्वरूपात n पदार्थाच्या रेणूंमध्ये प्रवेश केल्यावर, n I2, ..., nq पदार्थाचे रेणू अनुक्रमे Yq या पदार्थाचे रेणू.

रासायनिक गतिशास्त्रामध्ये, असे मानले जाते की रासायनिक अभिक्रिया केवळ अभिकर्मकांच्या थेट परस्परसंवादानेच होऊ शकते आणि रासायनिक अभिक्रियाचा दर एका युनिटच्या खंडात प्रति युनिट वेळेत तयार झालेल्या कणांची संख्या म्हणून परिभाषित केला जातो.

रासायनिक गतिशास्त्राचे मुख्य सूत्र म्हणजे वस्तुमान कृतीचा नियम, ज्यामध्ये असे म्हटले आहे की रासायनिक अभिक्रियाचा दर त्यांच्या स्टोइचिओमेट्रिक गुणांकांच्या शक्तींमध्ये अभिक्रियाकर्त्यांच्या एकाग्रतेच्या उत्पादनाशी थेट प्रमाणात असतो. म्हणून, जर आपण XI आणि y I द्वारे संबंधित पदार्थांची सांद्रता दर्शवितो, तर आपल्याकडे रासायनिक अभिक्रियेच्या परिणामी पदार्थाच्या एकाग्रतेमध्ये बदल होण्याच्या दराचे समीकरण आहे:

पुढे, सिस्टीमचे वर्णन करण्यासाठी रासायनिक गतीशास्त्राच्या मूलभूत कल्पनांचा वापर करण्याचा प्रस्ताव आहे, ज्यामध्ये दिलेल्या प्रणालीतील घटकांच्या परस्परसंवादाच्या परिणामी उद्भवणारी उत्क्रांती, खालील मूलभूत बदलांचा परिचय करून देते: 1. प्रतिक्रिया नाही दर मानले जातात, परंतु संक्रमण संभाव्यता; 2. हे प्रस्तावित आहे की एका राज्यातून दुसऱ्या स्थितीत संक्रमणाची संभाव्यता, जी परस्परसंवादाचा परिणाम आहे, दिलेल्या प्रकारच्या संभाव्य परस्परसंवादांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे; 3. या पद्धतीतील प्रणालीचे वर्णन करण्यासाठी, मूलभूत गतिज समीकरण वापरले जाते; 4. निर्धारक समीकरणांची जागा स्टोकास्टिक समीकरणांनी घेतली आहे. अशा प्रणालींचे वर्णन करण्याचा समान दृष्टीकोन कार्यांमध्ये आढळू शकतो. सिम्युलेटेड सिस्टममध्ये होणाऱ्या प्रक्रियांचे वर्णन करण्यासाठी, वर नमूद केल्याप्रमाणे, मार्कोव्ह एक-चरण प्रक्रिया वापरण्याचा प्रस्ताव आहे.

विविध घटकांच्या प्रकारांचा समावेश असलेल्या प्रणालीचा विचार करा जे एकमेकांशी विविध प्रकारे संवाद साधू शकतात. -type च्या घटकाने, कुठे = 1, आणि -type च्या घटकांच्या संख्येने दर्शवू.

द्या (), .

फाइलमध्ये एक भाग आहे असे गृहीत धरू या. अशा प्रकारे, फाइल डाउनलोड करू इच्छिणारा नवीन नोड आणि फाइलचे वितरण करणारा नोड यांच्यातील परस्परसंवादाच्या एका टप्प्यावर, नवीन नोड संपूर्ण फाइल डाउनलोड करतो आणि वितरण नोड बनतो.

चला नवीन नोडचे पदनाम आहे, वितरण नोड आहे आणि परस्परसंवाद गुणांक आहे. नवीन नोड्स तीव्रतेसह सिस्टममध्ये येऊ शकतात आणि वितरण नोड्स तीव्रतेसह सोडू शकतात. मग परस्पर आकृती आणि वेक्टर r असे दिसेल:

संबंधित सूत्र (1.15) वापरून लॅन्गेव्हिन फॉर्ममधील स्टॉकॅस्टिक विभेदक समीकरण मिळवता येते. कारण ड्रिफ्ट वेक्टर ए सिस्टमच्या निर्धारवादी वर्तनाचे पूर्णपणे वर्णन करते, आम्ही सामान्य विभेदक समीकरणांची एक प्रणाली प्राप्त करू शकतो जी नवीन क्लायंट आणि बियांच्या संख्येच्या गतिशीलतेचे वर्णन करते:

अशा प्रकारे, पॅरामीटर्सच्या निवडीवर अवलंबून, एकवचन बिंदूमध्ये भिन्न वर्ण असू शकतो. अशा प्रकारे, /ZA 4/I2 साठी, एकवचन बिंदू हा एक स्थिर फोकस आहे, आणि विरुद्ध गुणोत्तरासाठी, तो एक स्थिर नोड आहे. दोन्ही प्रकरणांमध्ये, एकवचन बिंदू स्थिर आहे, कारण गुणांक मूल्यांची निवड आणि सिस्टम व्हेरिएबल्समधील बदल दोनपैकी एका मार्गावर येऊ शकतात. जर एकवचनी बिंदू फोकस असेल, तर प्रणालीमध्ये नवीन आणि वितरण नोड्सच्या संख्येत ओलसर दोलन होतात (चित्र 3.12 पहा). आणि नोडल केसमध्ये, स्थिर मूल्यांपर्यंत संख्यांचा अंदाज नॉन-ऑसिलेशन मोडमध्ये होतो (चित्र 3.13 पहा). प्रत्येक दोन प्रकरणांसाठी सिस्टमचे फेज पोर्ट्रेट, अनुक्रमे, आलेख (3.14) आणि (3.15) मध्ये चित्रित केले आहेत.

स्टोकास्टिक मॉडेलचे बांधकाम

स्टोकास्टिक मॉडेलच्या बांधकामामध्ये विकास, गुणवत्तेचे मूल्यांकन आणि अभ्यास केल्या जात असलेल्या प्रक्रियेचे वर्णन करणारी समीकरणे वापरून प्रणालीच्या वर्तनाचा अभ्यास समाविष्ट असतो.

हे करण्यासाठी, वास्तविक प्रणालीसह एक विशेष प्रयोग आयोजित करून, प्रारंभिक माहिती प्राप्त केली जाते. या प्रकरणात, गणितीय आकडेवारीच्या अशा विभागांवर आधारित, फैलाव, सहसंबंध, प्रतिगमन विश्लेषण इत्यादींच्या आधारावर, प्रयोगाचे नियोजन करण्यासाठी, परिणामांवर प्रक्रिया करण्यासाठी, तसेच परिणामी मॉडेलचे मूल्यांकन करण्यासाठी पद्धती वापरल्या जातात.

तांत्रिक प्रक्रियेचे वर्णन करणारे सांख्यिकीय मॉडेल तयार करण्याच्या पद्धती (चित्र 6.1) "ब्लॅक बॉक्स" च्या संकल्पनेवर आधारित आहेत. त्यासाठी इनपुट घटकांचे अनेक मोजमाप शक्य आहे: x 1, x 2, …, x kआणि आउटपुट पॅरामीटर्स: y 1,y 2,…,y p, ज्याच्या परिणामांवर आधारित अवलंबित्व स्थापित केले आहे:

सांख्यिकीय मॉडेलिंगमध्ये, समस्येच्या निर्मितीनंतर (1), प्रक्रियेच्या प्रगतीवर प्रभाव टाकणाऱ्या मोठ्या संख्येने इनपुट व्हेरिएबल्समधून कमीतकमी महत्त्वाचे घटक काढून टाकले जातात (2). पुढील संशोधनासाठी निवडलेले इनपुट व्हेरिएबल्स घटकांची यादी तयार करतात x 1, x 2, …, x k(6.1) मध्ये, जे नियंत्रित करून तुम्ही आउटपुट पॅरामीटर्स समायोजित करू शकता y n. प्रायोगिक आणि डेटा प्रक्रिया खर्च कमी करण्यासाठी मॉडेल आउटपुटची संख्या देखील कमी केली पाहिजे.

सांख्यिकीय मॉडेल विकसित करताना, त्याची रचना (3) सामान्यत: स्वैरपणे निर्दिष्ट केली जाते, वापरण्यास-सुलभ फंक्शन्सच्या स्वरूपात जे अंदाजे प्रायोगिक डेटा करतात आणि नंतर मॉडेलच्या पर्याप्ततेच्या मूल्यांकनाच्या आधारे परिष्कृत केले जातात.

मॉडेलचे बहुपदी स्वरूप सर्वात जास्त वापरले जाते. तर, चतुर्भुज कार्यासाठी:

(6.2)

कुठे b 0, b i, b ij, b ii- प्रतिगमन गुणांक.

सहसा, आम्ही प्रथम स्वतःला सर्वात सोप्या रेखीय मॉडेलवर प्रतिबंधित करतो, ज्यासाठी (6.2) b ii =0, b ij =0. जर ते अपुरे असेल तर, घटकांचा परस्परसंवाद विचारात घेणाऱ्या अटी सादर करून मॉडेल गुंतागुंतीचे आहे x i, x jआणि (किंवा) द्विघाती संज्ञा.

केल्या जात असलेल्या प्रयोगांमधून जास्तीत जास्त माहिती काढण्यासाठी आणि त्यांची संख्या कमी करण्यासाठी, प्रयोगांचे नियोजन केले जाते (4), म्हणजे. दिलेल्या अचूकतेसह समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेसे प्रयोग आयोजित करण्यासाठी संख्या आणि अटींची निवड.

सांख्यिकीय मॉडेल तयार करण्यासाठी, दोन प्रकारचे प्रयोग वापरले जातात: निष्क्रिय आणि सक्रिय. निष्क्रीय प्रयोगअनियंत्रित प्रक्रियेच्या प्रगतीचे दीर्घकालीन निरीक्षणाच्या स्वरूपात केले जाते, ज्यामुळे सांख्यिकीय विश्लेषणासाठी विस्तृत डेटा गोळा करणे शक्य होते. IN सक्रिय प्रयोगप्रयोगांच्या परिस्थितीचे नियमन करणे शक्य आहे. ते पार पाडताना, एका विशिष्ट योजनेनुसार सर्व घटकांची मूल्ये एकाच वेळी बदलणे सर्वात प्रभावी आहे, ज्यामुळे घटकांचा परस्परसंवाद ओळखणे आणि प्रयोगांची संख्या कमी करणे शक्य होते.

प्रयोगांच्या परिणामांवर आधारित (5), प्रतिगमन गुणांक (6.2) ची गणना केली जाते आणि त्यांचे सांख्यिकीय महत्त्व मूल्यांकन केले जाते, जे मॉडेलचे बांधकाम पूर्ण करते (6). मॉडेलच्या पर्याप्ततेचे एक माप (7) फैलाव आहे, म्हणजे. प्रायोगिक मूल्यांमधून गणना केलेल्या मूल्यांचे मानक विचलन. प्रयोगांची अचूकता लक्षात घेऊन परिणामी फैलावची तुलना परवानगी असलेल्याशी केली जाते.