घातांकीय सहसंबंध कार्यासह यादृच्छिक प्रक्रिया. एक्सेलमध्ये सहसंबंध आणि प्रतिगमन विश्लेषण: अंमलबजावणीसाठी सूचना. परिणाम स्वरूपणासाठी आवश्यकता

प्रश्नांवर संशोधन करताना अवलंबित्व किंवा स्वातंत्र्यदोन किंवा अधिक विभाग यादृच्छिक प्रक्रियाकेवळ गणितीय अपेक्षा आणि r.p च्या फैलावचे ज्ञान. पुरेसे नाही

विविध यादृच्छिक प्रक्रियांमधील संबंध निश्चित करण्यासाठी, सहसंबंध फंक्शनची संकल्पना वापरली जाते - यादृच्छिक चलांच्या सहप्रवर्तनाच्या संकल्पनेचा एक ॲनालॉग (T.8 पहा)

सहसंबंध (कोव्हेरिअन्स, ऑटोकॉवेरिअन्स, ऑटोकॉरिलेशन)यादृच्छिक प्रक्रियेचे कार्य
म्हणतात नॉन-यादृच्छिक कार्य दोन युक्तिवाद

संबंधित विभागांच्या सहसंबंध क्षणाच्या समान
आणि
:

किंवा (केंद्रित यादृच्छिक कार्याचे नोटेशन लक्षात घेऊन
) आमच्याकडे आहे

येथे मुख्य आहेत सहसंबंध कार्याचे गुणधर्म
यादृच्छिक प्रक्रिया
.

1. वितर्कांच्या समान मूल्यांसाठी सहसंबंध कार्य r.p च्या फैलावाइतके आहे.

खरंच,

सिद्ध केलेली मालमत्ता एखाद्याला m.o ची गणना करण्यास अनुमती देते. आणि सहसंबंध फंक्शन ही यादृच्छिक प्रक्रियेची मुख्य वैशिष्ट्ये असल्याने, भिन्नतेची गणना करण्याची आवश्यकता नाही.

2. आर्ग्युमेंट्सच्या बदलीच्या संदर्भात सहसंबंध फंक्शन बदलत नाही, उदा. त्याच्या वितर्कांच्या संदर्भात एक सममितीय कार्य आहे: .

हा गुणधर्म थेट सहसंबंध फंक्शनच्या व्याख्येवरून घेतला जातो.

3. यादृच्छिक प्रक्रियेमध्ये नॉन-रँडम फंक्शन जोडल्यास, सहसंबंध फंक्शन बदलत नाही, म्हणजे. जर
, ते. दुसऱ्या शब्दांत

कोणत्याही नॉन-रँडम फंक्शनच्या संदर्भात नियतकालिक फंक्शन आहे.

खरंच, तर्काच्या साखळीतून

ते त्याचे अनुसरण करते . येथून आम्हाला आवश्यक मालमत्ता मिळते 3.

4. सहसंबंध फंक्शनचे मॉड्यूलस r.c.o. च्या उत्पादनापेक्षा जास्त नाही, म्हणजे.

मालमत्तेचा पुरावा 4. परिच्छेद 12.2 प्रमाणेच केला जातो. (प्रमेय 12..2), आर.पी.च्या सहसंबंध कार्याची पहिली मालमत्ता लक्षात घेऊन.
.

5. गुणाकार करताना s.p.
यादृच्छिक नसलेल्या घटकाद्वारे
त्याचे सहसंबंध कार्य उत्पादनाद्वारे गुणाकार केले जाईल
, म्हणजे, जर
, ते

५.१. सामान्यीकृत सहसंबंध कार्य

सोबत सहसंबंध कार्य s.p. देखील मानले सामान्यीकृत सहसंबंध कार्य(किंवा स्वयंसंबंधकार्य)
समानता द्वारे परिभाषित

.

परिणाम.मालमत्ता 1 वर आधारित, समानता आहे

.

त्याच्या अर्थाने
r.v. साठी सहसंबंध गुणांक सारखे, परंतु स्थिर मूल्य नाही, परंतु वितर्कांवर अवलंबून असते आणि .

चला यादी करूया सामान्यीकृत सहसंबंध कार्याचे गुणधर्म:

1.

2.

3.
.

उदाहरण ४.चला s.p. सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते, म्हणजे
s.v.,

सह सामान्य कायद्यानुसार वितरीत केले जाते

यादृच्छिक प्रक्रियेचे सहसंबंध आणि सामान्यीकृत कार्ये शोधा

उपाय.व्याख्येनुसार आपल्याकडे आहे

त्या
येथून, सामान्यीकृत सहसंबंध कार्याची व्याख्या आणि मागील उदाहरणे सोडवण्याचे परिणाम लक्षात घेऊन, आम्ही प्राप्त करतो
=1, म्हणजे
.

५.२. यादृच्छिक प्रक्रियेचे क्रॉस सहसंबंध कार्य

अवलंबित्वाची डिग्री निश्चित करण्यासाठी विभागदोन यादृच्छिक प्रक्रिया सहसंबंध लिंक फंक्शन किंवा क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन वापरतात.

दोन यादृच्छिक प्रक्रियांचे क्रॉस सहसंबंध कार्य
आणि
नॉन-रँडम फंक्शन म्हणतात
दोन स्वतंत्र युक्तिवाद आणि , जे मूल्यांच्या प्रत्येक जोडीसाठी आणि दोन विभागांच्या सहसंबंध क्षणाप्रमाणे
आणि

दोन एस.पी.
आणि
म्हणतात असंबंधित,जर त्यांचे परस्पर सहसंबंध कार्य शून्याच्या समान असेल, म्हणजे. जर कोणत्याहीसाठी आणि घडते
कोणत्याही साठी असल्यास आणि ते बाहेर वळते
, नंतर यादृच्छिक प्रक्रिया
आणि
म्हणतात सहसंबंधित(किंवा संबंधित).

क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनच्या गुणधर्मांचा विचार करूया, जे थेट त्याच्या व्याख्येवरून आणि सहसंबंध क्षणाचे गुणधर्म (१२.२ पहा):

1. जेव्हा निर्देशांक आणि युक्तिवाद एकाच वेळी पुनर्रचना केली जातात, तेव्हा क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन बदलत नाही, म्हणजे

2. दोन यादृच्छिक प्रक्रियांच्या म्युच्युअल सहसंबंध कार्याचे मॉड्यूलस त्यांच्या मानक विचलनांच्या उत्पादनापेक्षा जास्त नाही, म्हणजे

3. यादृच्छिक प्रक्रिया असल्यास सहसंबंध कार्य बदलणार नाही
आणि
नॉन-यादृच्छिक कार्ये जोडा
आणि
त्यानुसार, ते आहे
, जेथे अनुक्रमे
आणि

4. नॉन-यादृच्छिक गुणक
सहसंबंध चिन्ह म्हणून काढले जाऊ शकते, म्हणजे, जर
आणि नंतर

5. जर
, ते.

6. यादृच्छिक प्रक्रिया असल्यास
आणि
असंबंधित, नंतर त्यांच्या बेरीजचे सहसंबंध कार्य त्यांच्या सहसंबंध कार्यांच्या बेरजेइतके असते, म्हणजे.

दोन एसपीच्या क्रॉस सेक्शनच्या अवलंबनाच्या डिग्रीचे मूल्यांकन करण्यासाठी. देखील वापरले सामान्यीकृत क्रॉस-संबंध कार्य
, समानतेद्वारे परिभाषित:

कार्य
फंक्शन सारखेच गुणधर्म आहेत
, पण मालमत्ता 2

खालील दुहेरी असमानतेने बदलले आहे
, म्हणजे सामान्यीकृत क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनचे मॉड्यूलस एकता ओलांडत नाही.

उदाहरण ५.दोन r.p चे परस्पर सहसंबंध कार्य शोधा.
आणि
, कुठे
यादृच्छिक चल, तर

उपाय.कारण,.

अनियंत्रित सहसंबंध गुणधर्मांसह सांख्यिकीय असमान पृष्ठभागावर विखुरणे

व्ही. व्ही. अखियारोव

MSTU im. एन.ई. बाउमन

भाष्य.आर मॉन्टे कार्लो पद्धतीचा वापर करून सांख्यिकीयदृष्ट्या असमान पृष्ठभागावर विखुरण्याच्या समस्येचे निराकरण मानले जाते. आवश्यक सहसंबंध गुणधर्मांसह पृष्ठभागांची जोडणी तयार करण्यासाठी एक अल्गोरिदम सादर केला आहे. गॉसियन आणि घातांकीय सहसंबंध फंक्शन्ससह पृष्ठभागांवरील स्कॅटरिंग इंडिकॅट्रिक्स तसेच मल्टीस्केल पृष्ठभागावर, सादर केले जातात.

मुख्य शब्द:रेडिओ वेव्ह स्कॅटरिंग, मॉन्टे कार्लो पद्धत.

गोषवारा.टी त्याचे समाधान सांख्यिकीयदृष्ट्या खडबडीत पृष्ठभागाद्वारे विखुरणेवापरूनमोंटे- कार्लो पद्धत मानली जाते. निर्मिती निर्दिष्ट सहसंबंध फंक्शनसह सांख्यिकीयदृष्ट्या खडबडीत पृष्ठभागांचे तंत्र सादर केले आहे.विखुरणारे निर्देशकसह पृष्ठभागांसाठी गॉसियन आणि घातांकीय सहसंबंध फंक्शन्स, तसेच मल्टीस्केल पृष्ठभागासाठी, दर्शविले आहेत.

कीवर्ड:रेडिओवेव्ह स्कॅटरिंग, मॉन्टे-कार्लो सिम्युलेशन.

नियमानुसार, सांख्यिकीयदृष्ट्या असमान पृष्ठभागावर विखुरण्याची समस्या सांख्यिकीय रेडिओफिजिक्सच्या पद्धतींद्वारे सोडविली जाते (लहान विकृतीची पद्धत, स्पर्शक विमान पद्धत इ.). असे गृहीत धरले जाते की अनियमितता गुळगुळीत आणि सपाट आहेत, जे विखुरलेल्या पृष्ठभागाच्या गॉसियन सहसंबंध कार्याशी संबंधित आहेत. हे आदर्शकरण सोयीस्कर आहे, परंतुनेहमी न्याय्य नाही, कारणव्ही वास्तविक परिस्थितीअनियमिततेचे स्वरूप अनियंत्रित असू शकते. त्यामुळेचसध्या, विखुरण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी m मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.मॉन्टे कार्लो पद्धत, ज्यामध्ये यादृच्छिक पृष्ठभागांच्या जोडणीवरील विवर्तनाच्या समस्येचे संख्यात्मक समाधान आणि विखुरलेल्या लहरी क्षेत्रांच्या परिणामी अंमलबजावणीची सांख्यिकीय प्रक्रिया समाविष्ट आहे. सांख्यिकीय रेडिओफिजिक्सच्या पद्धतींच्या तुलनेत, हा दृष्टिकोन अधिक सार्वत्रिक आहे, कारण तो विखुरलेल्या पृष्ठभागाच्या सांख्यिकीय वैशिष्ट्यांवर कठोर निर्बंध लादत नाही.

या कामात, साधेपणासाठी, पृष्ठभागाच्या अनियमितता अक्षाच्या समांतर जनरेटिसिससह दंडगोलाकार मानल्या जातात. Y (चित्र 1 पहा). अशा पृष्ठभागाची सांख्यिकीय वैशिष्ट्ये आहेत मानक विचलन (RMS)sसरासरी पातळीच्या सापेक्ष, सहसंबंध मध्यांतरlआणि सहसंबंध कार्य.

अंजीर.1. समस्येची भूमिती.

विखुरलेल्या पृष्ठभागाची प्रत्येक संभाव्य अंमलबजावणी फिल्टर आउटपुटवर प्रक्रिया म्हणून मानली जाऊ शकते आवेग प्रतिसादजे अभिव्यक्तीशी संबंधित आहे:

. (1)

जर फिल्टर इनपुट पुरवले असेल पांढरा आवाजगणितीय अपेक्षेसहआणि RMS s, नंतर यादृच्छिक उंचीचे कार्य कंव्होल्यूशन इंटिग्रलद्वारे निर्धारित केले जाते:

. (2)

अवकाशीय फ्रिक्वेन्सीच्या क्षेत्रात, आवर्तन (2) आवेग प्रतिसाद आणि पांढरा आवाज यांच्या स्पेक्ट्राच्या उत्पादनाशी संबंधित आहे. म्हणून, फूरियर ट्रान्सफॉर्म वापरून फंक्शन तयार करणे सोयीचे आहे.

घटना क्षेत्राच्या क्षैतिज ध्रुवीकरणासह (TE ध्रुवीकरण) यादृच्छिकपणे चालणाऱ्या पृष्ठभागावरील विवर्तनाच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदमचा विचार करूया.पृष्ठभागाच्या वर्तमान घनतेची गणना करण्यासाठी, प्रथम प्रकारचे फ्रेडहोम स्केलर अविभाज्य समीकरण वापरले जाते [ , ]:

, (3)

इच्छित पृष्ठभाग विद्युत प्रवाह घनता कोठे आहे, विखुरलेल्या पृष्ठभागावरील घटना क्षेत्र आहे, दुसऱ्या प्रकारच्या शून्य क्रमाचे हँकेल कार्य आहे,xआणि x¢ - निरीक्षण आणि एकत्रीकरण बिंदू, - वैशिष्ट्यपूर्ण प्रतिबाधामोकळी जागा, – लहर क्रमांक.

दूरच्या क्षेत्रामध्ये, विखुरलेले क्षेत्र अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केले जाते [ , ]:

, (4)

कुठे qs- विखुरणारा कोन(चित्र 1 पहा).

इंटिग्रेशन इंटरव्हलवर गणनेची व्याप्ती मर्यादित करण्यासाठी स्त्रोत फील्ड वेव्ह बीमद्वारे मॉडेल केलेले आहे:

, (5)

कुठे qi – घटना कोन (उभ्या पासून),

, (6)

आणि पॅरामीटर gपरिस्थितीनुसार निवडले जाते:

, . (7)

विखुरलेल्या पृष्ठभागाच्या जोडणीसाठी विवर्तन समस्येचे निराकरण करणे हे निर्धारित करणे शक्य करतेअपव्यय गुणांक:

, (8)

तसेच सुसंगत गुणांक आणि विसंगत विखुरणे:

, (9.a)

. (9.b)

कुठे* - जटिल संयुग्मन,- विखुरलेल्या फील्ड चढउतारांचे फैलाव:

.

गॉसियनसह पृष्ठभागांच्या जोडणीसाठी विखुरण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्याच्या परिणामांचा विचार करूया.

(10)

आणि घातांक

(11)

सहसंबंध कार्ये.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की गॉसियन वक्र (10) चा वापर केवळ आरशाच्या कोनांच्या जवळ विखुरलेल्या क्षेत्राची गणना करताना प्रयोगासह समाधानकारक करार देतो. घातांकीय सहसंबंध कार्य वापरणे काही प्रकरणांमध्ये प्रायोगिक आणि सैद्धांतिक परिणाम दरम्यान चांगले करार प्राप्त करण्यास अनुमती देते.

विखुरलेल्या पृष्ठभागाच्या अनियमिततेची उंची लहान (तरंगलांबी स्केलवर) असल्याचे गृहीत धरले जाते, म्हणजे. रेले निकष समाधानी आहे:

, (12)

कुठे x– वैयक्तिक असमानतेची उंची.

आकृती 2 घटनांच्या कोनासाठी गॉसियन सहसंबंध फंक्शन असलेल्या पृष्ठभागावर विखुरणारे इंडिकॅट्रिक्स दाखवते (येथे आणि खाली सर्व आकृत्यांमध्ये विकिरणाची दिशा बाणाने दर्शविली आहे). प्रत्येक पृष्ठभागाचा आकार यादृच्छिक उंचीच्या मूल्यांमधून तयार केला गेला, अनियमिततेचे मानक विचलन, परस्परसंबंध मध्यांतर, विखुरलेल्या फील्डच्या अंमलबजावणीवर सरासरी काढली गेली ( यापुढे आपण मापनाचे एकक मानूडी, sआणि lइलेक्ट्रोमॅग्नेटिक तरंगलांबी आहे).

अंजीर.2. गॉसियनसह पृष्ठभागावर विखुरलेले संकेतक

प्रस्तुत आकृतीवरून हे स्पष्ट होते की स्पेक्युलर दिशेने विखुरणे हे सुसंगत घटकामुळे होते आणि विसंगत विखुरण्याच्या इंडिकॅट्रिक्सचा आकार गॉसियनच्या जवळ आहे.

सह पृष्ठभागांच्या जोडणीसाठी गणना परिणाम घातांकीय कार्यसहसंबंध चित्र 3 मध्ये सादर केले आहेत. प्रारंभिक डेटा मागील केस प्रमाणेच आहे: , , , , . अंजीर 2 आणि अंजीर 3 मध्ये सादर केलेल्या परिणामांची तुलना सूचित करते की दोन्ही प्रकरणांमध्ये सुसंगत घटकाचे मोठेपणा अंदाजे स्थिर राहते आणि घातांकीय सहसंबंधासह आरशाच्या दिशेने विखुरलेले वाढ हे असंगत विखुरण्याच्या योगदानामुळे होते.

अंजीर.3. घातांकासह पृष्ठभागावर विखुरलेले सूचक

आणि साठी सहसंबंध कार्य.

घन रेखा – , ठिपकेदार रेषा – , ठिपके – .

, (13)

कुठे a- अनियंत्रित विषम संख्या, .

आकृती 4 मध्यांतरासाठी आणि मध्ये सूत्र (13) वापरून गणनाचे परिणाम दर्शविते. हे पाहिले जाऊ शकते की विस्तारित क्षेत्र संपूर्ण कार्यासारखेच आहे, म्हणजे. पृष्ठभागाचा आकार आपण जवळून पाहतो किंवा दुरून पाहतो तरीही बदलत नाही. याची नोंद घ्यावी हे कार्यसतत आहे आणि कोणत्याही टप्प्यावर भिन्न नाही.

अंजीर.4. Weierstrass कार्य.

मल्टीस्केल पृष्ठभागांच्या अनुभूतीचा एक समूह तयार करण्यासाठी, अभिव्यक्तीच्या सहसंबंध कार्याची गणना करणे आवश्यक आहे (13). गणनासाठी आम्ही निवडले खालील मूल्ये: , , आणि , या प्रकरणात आपण स्वतःला फॉर्म्युला (१३) मधील मालिकेच्या चार संज्ञांपुरते मर्यादित करू शकतो.

आकृती 5 मानक विचलनाच्या मूल्यासह मल्टीस्केल स्कॅटरिंग पृष्ठभागाची संभाव्य अंमलबजावणी दर्शविते, आकृती 6 सामान्यीकृत सहसंबंध कार्य दर्शविते (घन वक्र - मूळ कार्य, मंडळे – प्राप्तींच्या समूहासाठी गणना). हे पाहिले जाऊ शकते की मूळ फंक्शन आणि सिम्युलेशन परिणाम व्यावहारिकपणे एकसारखे आहेत.

अंजीर.5. स्कॅटरिंग पृष्ठभागाची संभाव्य अंमलबजावणी.

अंजीर.6. सामान्यीकृत सहसंबंध कार्य.

घन रेखा हा प्रारंभिक डेटा आहे, मंडळे सिम्युलेशनचे परिणाम आहेत.

पुढे, घटनांच्या कोनात (Fig. 7.a) आणि (Fig. 7.b). तरंगलांबी स्केलवर अनियमितता लहान असल्याने, स्पेक्युलर दिशेने तीव्र सुसंगत विखुरणे दिसून येते.

अंजीर.7. आणि येथे विखुरलेले संकेतक

आणि घटनांचे वेगवेगळे कोन: a – ; ब -.

घन रेखा – , ठिपकेदार रेषा – , ठिपके – .

अंजीर.8. मल्टीस्केल पृष्ठभागावर ब्रॅग स्कॅटरिंग.

विसंगत स्कॅटरिंगच्या इंडिकॅट्रिक्समध्ये आरशाच्या दिशेने बदललेल्या दोन शिखरांच्या रूपात एक वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्य आहे (चित्र 7 मध्ये त्यांना 1 आणि 2 अंकांनी चिन्हांकित केले आहे). हे ज्ञात आहे की एम मल्टीस्केल पृष्ठभागावर विखुरण्याची यंत्रणा ब्रॅग आहे आणि मूळ वेअरस्ट्रास फंक्शन (13) वेगवेगळ्या मूल्यांवर नियतकालिक फंक्शन्स एकत्रित करून प्राप्त केले गेले आहे.n, असे गृहीत धरले पाहिजे की तीव्र विसंगत विखुरणे शी संबंधित आहे. आकृती 8 खालील नोटेशन वापरून समस्येची भूमिती दर्शवते: g 1, g 2, के 1 आणि के 2 - आरशाची दिशा आणि संबंधित वेव्ह वेक्टरमधील विचलन,के- स्पेक्युलर स्कॅटरिंगच्या दिशेने वेव्ह वेक्टर:

. (14)

वेक्टर संबंधानुसार निर्धारित केला जातो: , त्याचे मॉड्यूल निश्चित करण्याचे सूत्र दिले आहे: , नंतर जेव्हा आपल्याला मिळेल. पुढे, (14) वापरून, आपण विखुरणारे कोन ठरवू शकतो g 1 आणि g 2 . हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग खालील प्रकरणांसाठी आहे: , जे अंजीर मध्ये सादर केलेल्या परिणामांशी अंदाजे जुळते. 7.a.

याव्यतिरिक्त, जेव्हा अंजीर 7.b मध्ये क्रमांक 3 ने चिन्हांकित केलेले आणखी एक शिखर आहे. त्याचे मोठेपणा शिखर 1 आणि 2 पेक्षा लहान असल्याने, असे गृहित धरले जाऊ शकते की ते केसशी संबंधित आहे, म्हणजे. उच्च ऑर्डर विखुरणे.

हे लक्षात घ्यावे की अंजीर 7.a मध्ये सादर केलेल्या प्रमाणेच विखुरणारे इंडिकॅट्रिक्स ऑप्टिकल श्रेणीमध्ये प्रायोगिकपणे पाहिले गेले. विखुरलेल्या पृष्ठभागाचे प्रायोगिक नमुने कृत्रिमरित्या तयार केले गेले: एका काचेच्या प्लेटला फोटोरेसिस्टसह लेपित केले गेले, लेसरने प्रकाशित केले गेले आणि नंतर परिणामी स्पेकल संरचनेवर पातळ धातूचा कोटिंग लागू केला गेला. घटनांच्या कोनात केलेल्या प्रयोगांदरम्यान, तीन शिखरांसह स्कॅटरिंग इंडिकॅट्रिक्स प्राप्त झाले: बॅकस्कॅटरिंगच्या दिशेच्या संदर्भात एक मध्यवर्ती आणि दोन सममितीय. सममितीय शिखरांमध्ये लहान मोठेपणा होता आणि त्यांचे दिशेपासूनचे विचलन आत होते.

या पेपरमध्ये सादर केलेले परिणाम सूचित करतात की मॉन्टे कार्लो पद्धत यासाठी एक प्रभावी साधन आहे संख्यात्मक उपायरेडिओ वेव्ह स्कॅटरिंगच्या समस्या आणि ते वापरताना, व्यावहारिकपणे कोणतेही निर्बंध लादलेले नाहीत सांख्यिकीय वैशिष्ट्येपृष्ठभाग

साहित्य

1. बास F.G., Fuks I.M. सांख्यिकीयदृष्ट्या असमान पृष्ठभागावर लहरी विखुरणे. एम.: विज्ञान. 1972.

2. लेविन बी.आर. सांख्यिकीय रेडिओ अभियांत्रिकीचे सैद्धांतिक पाया. एक बुक करा. एम.: सोव्ह. रेडिओ. 1969.

3. वॅगनर आर.आय., सॉन्ग जे., च्यू डब्ल्यू.सी. मॉन्टे कार्लो सिम्युलेशन ऑफ इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक स्कॅटरिंग फ्रॉम टॉ-डायमेंशनल यादृच्छिक खडबडीत पृष्ठभाग //IEEE ट्रान्स. 1997. व्ही. AP-45. नाही. २. पृष्ठ २३५–२४५.

4. एक्सलाइन आर.एम., फंग एड्रियन के. परफेक्टली कंडक्टिंग यादृच्छिक पृष्ठभागापासून स्कॅटरिंगची संख्यात्मक गणना // IEEE ट्रान्स. 1978.व्ही. AP-26. नाही. ३. पृष्ठ ४८२–४८८.

5. फंग ए.के., चेन एम.एफ. साध्या आणि संमिश्र यादृच्छिक पृष्ठभागांवरून स्कॅटरिंगचे संख्यात्मक अनुकरण // J. Opt. समाज मी. A. 1985. V. 2. क्र. १२. पी.२२७४–२२८४.

6. टोपोरकोव्ह जे.व्ही., अवदल्लाह आर.एस., ब्राउन जी.एस. लो-ग्रेझिंग-एंगल स्कॅटरिंगसाठी गॉसियन-समान घटना फील्डच्या वापराशी संबंधित समस्या // J. Opt. समाज मी. A. 1999. V. 16. क्र. 1. पृ. 176-187.

7. ड्वाइट एल. जे., सन एक्स. फ्रॅक्टली कोरुगेटेड पृष्ठभागावरून विखुरणे // J. पर्याय समाज मी. A. 1990. V. 7. क्र. 6. पृष्ठ 1131-1139.

8. O'Donnell K.A., Mendez E.R. वैशिष्ट्यीकृत यादृच्छिक पृष्ठभागांपासून विखुरण्याचा प्रायोगिक अभ्यास // J. Opt. समाज मी. A. 1987. V. 4. क्र. 7. पृ. 1194-1205.

व्याख्यानाची रूपरेषा:

1. निर्धारक आणि यादृच्छिक कार्ये.

2. यादृच्छिक प्रक्रियांची मूलभूत संभाव्य वैशिष्ट्ये.

८.१. निर्धारक आणि यादृच्छिक कार्ये

आत्तापर्यंत, एसीएसच्या वर्तनाचा अभ्यास विशिष्ट नियंत्रणाखाली आणि वेळेत निर्दिष्ट केलेल्या त्रासदायक प्रभावांच्या (स्टेप फंक्शन, आवेग फंक्शन, हार्मोनिक प्रभाव इ.) अंतर्गत केला गेला आहे. या परिस्थितीत, प्रणालीच्या स्थितीचा अंदाज कोणत्याही वेळी अगोदर अचूकपणे लावता येतो. प्रणाली पूर्णपणे निर्धारित आहे आणि या अर्थाने त्याला निर्धारवादी म्हणतात.

तथापि, बर्याच प्रकरणांमध्ये प्रभावाचे स्वरूप असे आहे की त्याचा विचार केला जाऊ शकत नाही विशिष्ट कार्यवेळ परिणाम कालांतराने विविध यादृच्छिक मूल्यांवर होऊ शकतो. अशा प्रकरणांमध्ये, एखाद्या विशिष्ट बिंदूवर विशिष्ट स्वरूपाच्या प्रभावाच्या घटनेच्या संभाव्यतेचा आम्ही अंदाज लावू शकतो. असे घडते कारण वास्तविक नियंत्रण किंवा त्रासदायक प्रभावाचे स्वरूप असे आहे की वेळेच्या प्रत्येक क्षणी त्याचे परिमाण आणि कालांतराने बदलण्याची प्रक्रिया अनेक भिन्न प्रमाणांवर अवलंबून असते. यादृच्छिकपणेएकमेकांशी एकत्र केले जाऊ शकते.

यादृच्छिक प्रभावांच्या उपस्थितीत सिस्टमचे काटेकोरपणे इष्टतम वर्तन व्यवहार्य नाही. तथापि, आम्ही एक किंवा दुसर्या इष्टतम च्या बहुधा अंदाजे बद्दल बोलू शकतो. सहसा यात काही प्रकारची तडजोड करणे समाविष्ट असते.

यादृच्छिक फंक्शन नियमित फंक्शनपेक्षा वेगळे असते ज्यामध्ये आपण असे म्हणू शकत नाही की दिलेल्या वेळी त्याचे विशिष्ट मूल्य असेल. आम्ही या क्षणी फक्त संभाव्यतेबद्दल बोलू शकतो t=tकार्य मूल्य x(t)मूल्यांच्या दरम्यान आहे xआणि x+x. यादृच्छिक फंक्शनची संकल्पना ही एक सामान्यीकृत संकल्पना आहे आणि आम्ही, थोडक्यात, या क्षणी फंक्शनच्या अर्थाबद्दल बोलू शकत नाही. तथापि, विशेषतः निरीक्षण केलेल्या यादृच्छिक प्रक्रिया वक्रमध्ये, ही मूल्ये अस्तित्वात आहेत. यादृच्छिक प्रक्रियेच्या विशेषतः निरीक्षण केलेल्या वक्रला यादृच्छिक कार्याची प्राप्ती असे म्हणतात. अंमलबजावणी असू शकते काही मूल्ये, आणि काही डेरिव्हेटिव्ह्ज (Fig. 8.1). "यादृच्छिक कार्य" च्या संकल्पनेद्वारे अनेक भिन्न अंमलबजावणीचे सामान्यीकरण केले जाते.

तांदूळ. ८.१. यादृच्छिक वेळेच्या कार्याची वैयक्तिक अंमलबजावणी

यादृच्छिक कार्याच्या प्राप्तींच्या कुटुंबाचा आलेख विच्छेदित केल्यास उभ्या रेषा, नंतर आपल्याला एक रँडम व्हेरिएबल मिळेल x(t i)साठी या क्षणीवेळ t i.

८.२. मूलभूत संभाव्य वैशिष्ट्ये

यादृच्छिक प्रक्रिया

८.२.१. वितरण कार्य आणि संभाव्यता घनता

यादृच्छिक कार्याचे वैशिष्ट्य करण्यासाठी, संभाव्यता वितरण आणि संभाव्यता घनता कार्ये वापरली जातात.

अंतर्गत संभाव्यता वितरण कार्य, अनेकदा म्हणतात अविभाज्य कायदावितरण, यादृच्छिक चल काही निश्चित मूल्यापेक्षा कमी मूल्य घेईल याची संभाव्यता समजून घ्या.

संभाव्यता वितरण कार्याच्या व्युत्पन्नास संभाव्यता घनता किंवा विभेदक वितरण कायदा म्हणतात.

एक-आयामी कार्यसंभाव्यता वितरण यादृच्छिक कार्याच्या केवळ एका विशिष्ट विभागावर लागू होते:

हे यादृच्छिक कार्याचे वर्तमान मूल्य संभाव्यता दर्शवते x(t)वेळेच्या एका टप्प्यावर t=t 1निर्दिष्ट मूल्यापेक्षा कमी एक्स 1 .

त्यानुसार, एक-आयामी संभाव्यता घनता p 1 (x 1,t 1)संचयी संभाव्यता वितरणाचे व्युत्पन्न आहे F 1 (x 1,t 1) आणि फॉर्म आहे:

. (8.2)

प्रमाण यादृच्छिक कार्याची संभाव्यता व्यक्त करते x(t)वेळेच्या एका टप्प्यावर t=t 1पासून श्रेणीत आहे xकरण्यासाठी

आता आपण मूल्यांच्या सर्व संभाव्य जोड्या विचारात घेऊ या X,वेळेत दोन भिन्न बिंदूंवर प्राप्त झाले: t 1आणि t2.द्विमितीय संभाव्यता वितरणाचे स्वरूप आहे:

द्विमितीय संभाव्यता वितरण दोन अनियंत्रित क्रॉस विभागांना संदर्भित करते x(t 1), x(t 2)यादृच्छिक कार्य आणि संभाव्यता व्यक्त करते की वेळेच्या क्षणी t 1यादृच्छिक कार्य x(t)कमी x 1,आणि या क्षणी t 2- कमी x 2.संबंधित द्विमितीय संभाव्यता घनतेचे स्वरूप आहे

. (8.4)

काही प्रकारच्या यादृच्छिक प्रक्रिया पूर्णपणे एक-आयामी किंवा द्विमितीय संभाव्यतेच्या घनतेने दर्शविले जातात. उदाहरणार्थ, तथाकथित पूर्णपणे यादृच्छिक प्रक्रिया किंवा “ पांढरा आवाज» हे पूर्णपणे एक-आयामी संभाव्यतेच्या घनतेद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे.

मूल्ये x(t)या प्रक्रियेत, वेळेत वेगवेगळ्या ठिकाणी घेतले जाते t 1, t 2,... एकमेकांपासून पूर्णपणे स्वतंत्र आहेत. शोधण्यात समावेश असलेल्या घटनांच्या योगायोगाची संभाव्यता x(t)दरम्यान x १आणि या क्षणी t=t 1आणि दरम्यान x 2आणि या क्षणी t=t 2या प्रत्येक इव्हेंटच्या संभाव्यतेच्या उत्पादनाच्या समान आहे. त्यामुळेच

म्हणजेच, सर्व संभाव्यता घनता एक-आयामी घनतेद्वारे निर्धारित केल्या जातात.

द्विमितीय संभाव्यतेच्या घनतेद्वारे पूर्णपणे वैशिष्ट्यीकृत प्रक्रियेचे उदाहरण आहे मार्कोव्ह यादृच्छिक प्रक्रिया. ही एक प्रक्रिया आहे ज्यासाठी शोधण्याची संभाव्यता x(t)दिलेल्या अंतराने (x n , x n + dx n)या क्षणी t=tn, फक्त मागील क्षणी राज्य अवलंबून tn-1आणि इतर वेळी राज्यापासून पूर्णपणे स्वतंत्र आहे, म्हणजे सखोल प्रागैतिहासिक काळापासून.

स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियामध्ये स्थिर प्रक्रियेचे एनालॉग आहे निर्धारक प्रणाली. स्थिर प्रक्रियेचे सांख्यिकीय स्वरूप कालांतराने स्थिर असते.

कठोर अर्थाने, स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया ही अशी प्रक्रिया आहे ज्यामध्ये सर्व ऑर्डरचे वितरण कार्य वेळेच्या संदर्भ बिंदूच्या स्थितीवर अवलंबून नसते, म्हणजे.

या संबंधांवरून असे दिसून येते की एक-आयामी वितरण कार्य आणि स्थिर प्रक्रियेची संभाव्यता घनता वेळेवर अजिबात अवलंबून नसते, म्हणजे.

(8.7)

स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियेसाठी वितरण कार्ये आणि द्वितीय-क्रम संभाव्यता घनता x १आणि x 2मानल्या गेलेल्या वेळेच्या बिंदूंमधील फरक अपरिवर्तित राहतील स्थिर:

(8.8)

अनेक लागू समस्या सोडवताना रेखीय स्वयंचलित नियंत्रण प्रणालीच्या अचूकतेचे मूल्यांकन करण्यासाठी, प्रक्रियेचे पहिले दोन क्षण जाणून घेणे पुरेसे आहे: गणितीय अपेक्षा आणि परस्परसंबंध कार्य. ही वैशिष्ट्ये नॉन-यादृच्छिक कार्ये किंवा प्रमाण आहेत आणि संभाव्य सरासरीच्या परिणामाचे प्रतिनिधित्व करतात विविध कार्येयादृच्छिक प्रक्रिया.

गुणधर्म स्टोकास्टिक प्रक्रिया, पहिल्या दोन क्षणांद्वारे निर्धारित, सहसंबंध सिद्धांत वापरून अभ्यास केला जातो. वगळता सहसंबंध विश्लेषण, वेळेत यादृच्छिक सिग्नलच्या थेट विचारावर आधारित, यादृच्छिक सिग्नल, वर्णक्रमीय विश्लेषणाच्या वारंवारता घटकांच्या विचारावर आधारित एक पद्धत देखील आहे. अभियांत्रिकी सराव मध्ये सहसंबंध आणि वर्णक्रमीय विश्लेषण मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात.

८.२.२. अपेक्षा, भिन्नता

आणि यादृच्छिक प्रक्रियेचे सहसंबंध कार्य

एक-आयामी संभाव्यता वितरण जाणून घेतल्यास, आपण गणितीय अपेक्षा निश्चित करू शकतो m(t)यादृच्छिक कार्य x(t)किंवा एक-आयामी प्रथम-ऑर्डर क्षण:

(8.9)

कुठे P 1 (x, t) -संभाव्यता घनता, x(t) -यादृच्छिक कार्य.

गणिती अपेक्षाकिंवा यादृच्छिक कार्याचे सरासरी (सेटपेक्षा जास्त) मूल्य x(t)म्हणतात अनंत संख्येच्या प्राप्तीचा अंकगणितीय अर्थ, म्हणजे हे असे नॉन-रँडम फंक्शन आहे mx(t), ज्याभोवती दिलेल्या यादृच्छिक प्रक्रियेची सर्व अंमलबजावणी गटबद्ध केली जाते आणि जी पूर्णपणे एक-आयामी वितरण कायद्याद्वारे निर्धारित केली जाते.

फरक म्हणतात केंद्रीत यादृच्छिक कार्य.

केंद्रीत यादृच्छिक कार्याची गणितीय अपेक्षा शून्याच्या समान आहे:

.

पुढील गोष्टींमध्ये आपण फक्त केंद्रीत यादृच्छिक कार्ये आणि वर्तुळाचा विचार करू एक्सपडतो

व्यवहारात, गणितीय अपेक्षा प्राप्तीवरून ठरवता येतात. हे करण्यासाठी, युक्तिवादाचे मूल्य निश्चित केले आहे tनंतर येथे t=t 1अंमलबजावणीचे मूल्य x 1 (t 1), x 2 (t 1),..., x N (t 1)एक सामान्य यादृच्छिक चल आहे. अपेक्षा यादृच्छिक चलआम्हाला ते अंकगणितीय अर्थ म्हणून आढळते:

(8.10)

कुठे i = 1, 2,..., n -निश्चित वेळ मूल्य; = १, २,…, एन- अंमलबजावणी क्रमांक.

विविध साठी चालते गणना आधारित t=t मी,आपण आलेख तयार करू शकता m x (t i).

सरासरी मूल्य यादृच्छिक प्रक्रियेचे पूर्णपणे वर्णन करत नाही. समान सरासरी मूल्यांसह, प्रक्रियांमध्ये भिन्न विचलन असू शकतात. म्हणून, यादृच्छिक प्रक्रियेचे वैशिष्ट्य करण्यासाठी, फैलाव संकल्पना सादर केली जाते.

तफावतयादृच्छिक कार्य x(t)नॉन-यादृच्छिक आणि गैर-नकारात्मक युक्तिवाद फंक्शन कॉल करा t,प्रतिनिधित्व करत आहे यादृच्छिक फंक्शन आणि त्याच्यामधील स्क्वेअर फरकाचे सरासरी मूल्य सरासरी मूल्य, किंवा यादृच्छिक फंक्शनच्या त्याच्या सरासरी मूल्यापासून चौरस विचलनाचे सरासरी मूल्य.

हे सरासरी मूल्याच्या सापेक्ष विचलनांची तीव्रता दर्शवते आणि, गणितीय अपेक्षेप्रमाणे, एका-आयामी वितरण कायद्याद्वारे निर्धारित केले जाते. भिन्नतेचे परिमाण यादृच्छिक चलच्या परिमाणाच्या वर्गाइतके आहे. रेग्युलर फंक्शनचे व्हेरियंस शून्य आहे.

प्रमाण विचलन विचरणाच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचे आहे:

. (8.12)

सादर केलेल्या संकल्पना अंजीर मध्ये स्पष्ट केल्या आहेत. ८.२. यादृच्छिक प्रक्रियेची गणितीय अपेक्षा x(t)काही सरासरी वक्र दर्शवते ज्याभोवती या प्रक्रियेची सर्व संभाव्य वैयक्तिक अंमलबजावणी स्थित आहे आणि भिन्नता Dx(t)किंवा मानक विचलन या सरासरी वक्रभोवती वैयक्तिक संभाव्य प्राप्तींचे विखुरलेले वैशिष्ट्य दर्शवते. IN सामान्य केसमानक विचलन कालांतराने बदलते. निर्दिष्ट वैशिष्ट्ये m(t)आणि डी(टी)वेळेतील प्रत्येक बिंदूसाठी संचापेक्षा सरासरी आहेत.

तांदूळ. ८.२. सरासरी आणि वैयक्तिक प्राप्ती बदलणे

यादृच्छिक प्रक्रिया:

अ -यादृच्छिक कार्याच्या मूल्यांमधील मजबूत कनेक्शनसह;

ब -येथे कमकुवत कनेक्शन

चाचणी निकालांवर प्रक्रिया करताना, यादृच्छिक फंक्शनच्या भिन्नतेची गणना सूत्र वापरून अंमलबजावणीच्या आधारे केली जाते.

. (8.13)

यादृच्छिक कार्यासाठी, एक-आयामी संभाव्यता वितरण आणि त्याच्या आधारावर प्राप्त केलेली वैशिष्ट्ये (गणितीय अपेक्षा आणि फैलाव) वेळेनुसार यादृच्छिक प्रक्रियेचे मूल्यांकन करण्यासाठी अद्याप पुरेसे नाहीत.

यादृच्छिक प्रक्रियेच्या मूल्यांमध्ये वेळोवेळी भिन्न बिंदूंवर संबंध स्थापित करणे आवश्यक आहे. अंजीर मध्ये. आकृती 8.2 दोन यादृच्छिक फंक्शन्सची अंमलबजावणी दर्शवते ज्यात समान गणितीय अपेक्षा आणि भिन्नता आहेत, परंतु एकमेकांपासून भिन्न वर्ण आहेत. जर काही यादृच्छिक कार्य (चित्र 8.2, a पहा). tउच्च मूल्य घेतले m(t),मग आपण असे म्हणू शकतो की यादृच्छिक कार्याच्या अंमलबजावणीचे सर्वात जवळचे मूल्य जास्त असेल m(t).दुसऱ्या प्रकरणात (चित्र 8.2, ब)हे असे असू शकत नाही. याचा अर्थ असा की विचाराधीन यादृच्छिक कार्यांमधील फरक वेगवेगळ्या युक्तिवादांसाठी यादृच्छिक कार्याच्या मूल्यांमधील संबंधांच्या स्वरूपामध्ये प्रकट होतो. t 1आणि t 2.

जाणून घेणे द्विमितीय कार्यवितरण p 2 (x 1,t 1 ;x 2,t 2),केवळ गणितीय अपेक्षाच ठरवणे शक्य नाही mx(t)आणि भिन्नता डी(टी),परंतु दुसऱ्या क्रमाचा एक क्षण, वेगवेगळ्या वेळी यादृच्छिक कार्याच्या मूल्यांमधील संबंध दर्शवितो.

t 1 आणि t 2 या दोन वेळा घेतलेल्या केंद्रीत यादृच्छिक कार्याच्या मूल्यांच्या गुणाकाराच्या गणितीय अपेक्षेला सहसंबंध म्हणतात.किंवा स्वयंसंबंध कार्य:

या अभिव्यक्तीमध्ये P 2 (x 1,t 1 ;x 2,t 2)वेळेच्या क्षणी संभाव्यता निर्धारित करते t 1यादृच्छिक प्रक्रियेचे मूल्य आत आहे , आणि एका क्षणी t 2- आत .

जर सहसंबंध कार्याचे वितर्क एकमेकांशी समान असतील (t 1 = t 2 = t),ते

(8.15)

म्हणजे, समान विभागासाठी सहसंबंध कार्य यादृच्छिक कार्याच्या वर्गाच्या गणितीय अपेक्षेइतके आहे. केंद्रीत कार्यासाठी x(t)येथे t 1 = t 2 = tआमच्याकडे असेल

म्हणजे, सहसंबंध फंक्शन यादृच्छिक फंक्शनच्या भिन्नतेइतके आहे.

एकाच प्रणालीवर कार्य करणाऱ्या विविध यादृच्छिक कार्यांचे सांख्यिकीय संबंध वैशिष्ट्यीकृत करण्यासाठी, आम्ही संकल्पना वापरतो संयुक्त वितरणसंभाव्यता आणि क्रॉस-संबंध कार्य. फंक्शन्ससाठी f(t)आणि संयुक्त संभाव्यता वितरण कार्याचा फॉर्म आहे

आणि याचा अर्थ त्या वेळेच्या क्षणी संभाव्यता t=t 1अर्थ f(t 1)कमी f,आणि एका क्षणी t=t 2मूल्य कमी. संयुक्त संभाव्यता घनता

. (8.17)

त्यानुसार, दोन यादृच्छिक केंद्रीत कार्यांचे क्रॉस-संबंध कार्य fआणि वेगवेगळ्या वेळी घेतलेल्या या फंक्शन्सच्या गुणाकाराची गणितीय अपेक्षा म्हणतात:

यादृच्छिक वैशिष्ट्येम्हणतात सहसंबंधितजर त्यांचे परस्पर सहसंबंध कार्य समान रीतीने शून्य नसेल, आणि असंबंधितजेव्हा ते शून्याच्या बरोबरीचे असते.

८.३. स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया.

एर्गोडिक गृहीतक

व्याख्यानाची रूपरेषा:

1. स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया.

2. एर्गोडिक यादृच्छिक प्रक्रिया.

८.३.१. स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया

विविध यादृच्छिक प्रक्रिया त्यांच्या सांख्यिकीय वैशिष्ट्यांच्या वेळेवर अवलंबून असलेल्या प्रमाणानुसार विभागल्या जातात स्थिरआणि स्थिर नसलेला.

यादृच्छिक प्रक्रियेसाठी सर्वात सोपा विश्लेषण केले जाते ज्यांची सांख्यिकीय वैशिष्ट्ये सध्याच्या वेळेवर अवलंबून नाहीत. अशा प्रक्रियांना स्थिर म्हणतात.

वास्तविक शारीरिक प्रक्रियाअधिक किंवा कमी प्रमाणात स्थिर प्रक्रियांकडे जा. त्यापैकी बरेच, उदाहरणार्थ थर्मल आवाज, उत्कृष्ट अचूकतेसह स्थिर मानले जाऊ शकतात. स्थिर कंपनांमध्ये स्थिर क्षैतिज उड्डाण, आवाजाच्या सापेक्ष विमानाच्या कंपनांचा समावेश होतो रेडिओ-इलेक्ट्रॉनिक उपकरणे, जहाजाचे रॉकिंग इ.

स्थिर प्रक्रियांच्या अभ्यासातून प्राप्त झालेले परिणाम अनेक नॉन-स्टेशनरी प्रक्रियांवर लागू केले जातात. सराव मध्ये, मर्यादित कालावधीसह अंमलबजावणीच्या केवळ विभागांचे विश्लेषण केले जाते आणि जर या कालावधीत अभ्यासाअंतर्गत प्रक्रिया स्थिर असलेल्यांपेक्षा थोड्या वेगळ्या असतील तर त्यांना स्थिर प्रक्रियांचा सिद्धांत लागू केला जाऊ शकतो.

संकुचित आणि स्थिरतेमध्ये फरक केला जातो व्यापक अर्थाने.

संकुचित अर्थाने स्थिरप्रक्रियेला कॉल करा x(t),जर ते n-कोणत्याही साठी मितीय संभाव्यता घनता nफक्त मध्यांतरांच्या आकारावर अवलंबून असते t 2 - t 1,...,t n - t 1आणि वितर्क बदलाच्या क्षेत्रात या मध्यांतरांच्या स्थितीवर अवलंबून नाही t

व्यापक अर्थाने स्थिरप्रक्रियेला कॉल करा x(t),ज्यांची गणितीय अपेक्षा स्थिर आहे:

आणि सहसंबंध कार्य R x (t 1,t 2) फक्त फरकावर अवलंबून आहे; या प्रकरणात, सहसंबंध कार्य दर्शविले जाते

प्रतिगमन आणि सहसंबंध विश्लेषण - सांख्यिकीय पद्धतीसंशोधन एक किंवा अधिक स्वतंत्र व्हेरिएबल्सवर पॅरामीटरचे अवलंबित्व दर्शविण्याचे हे सर्वात सामान्य मार्ग आहेत.

विशिष्ट वर खाली व्यावहारिक उदाहरणेअर्थशास्त्रज्ञांमधील ही दोन अतिशय लोकप्रिय विश्लेषणे पाहू. आम्ही त्यांना एकत्र करताना परिणाम मिळविण्याचे उदाहरण देखील देऊ.

एक्सेल मध्ये प्रतिगमन विश्लेषण

अवलंबून व्हेरिएबलवर काही मूल्यांचा (स्वतंत्र, स्वतंत्र) प्रभाव दर्शवितो. उदाहरणार्थ, आर्थिकदृष्ट्या सक्रिय लोकसंख्येची संख्या उद्यमांची संख्या, वेतन आणि इतर पॅरामीटर्सवर कशी अवलंबून असते. किंवा: परकीय गुंतवणूक, ऊर्जेच्या किमती इत्यादींचा जीडीपीच्या पातळीवर कसा परिणाम होतो.

विश्लेषणाचा परिणाम आपल्याला प्राधान्यक्रम हायलाइट करण्यास अनुमती देतो. आणि मुख्य घटकांवर आधारित, विकासाचा अंदाज आणि नियोजन करा प्राधान्य क्षेत्र, व्यवस्थापन निर्णय घ्या.

प्रतिगमन घडते:

• रेखीय (y = a + bx);
• पॅराबॉलिक (y = a + bx + cx 2);
• घातांक (y = a * exp(bx));
• शक्ती (y = a*x^b);
• हायपरबोलिक (y = b/x + a);
• लॉगरिदमिक (y = b * 1n(x) + a);
• घातांक (y = a * b^x).

चला एक्सेलमध्ये रीग्रेशन मॉडेल तयार करण्याचे आणि परिणामांचा अर्थ लावण्याचे उदाहरण पाहू. चला घेऊ रेखीय प्रकारप्रतिगमन

कार्य. 6 उपक्रमांवर, सरासरी मासिक मजुरीआणि सोडलेल्या कर्मचाऱ्यांची संख्या. सरासरी पगारावर सोडलेल्या कर्मचार्यांच्या संख्येचे अवलंबित्व निश्चित करणे आवश्यक आहे.

मॉडेल रेखीय प्रतिगमनखालील फॉर्म आहे:

Y = a 0 + a 1 x 1 +…+a k x k.

जेथे a प्रतिगमन गुणांक आहेत, x हे चलांवर प्रभाव टाकत आहेत, k ही घटकांची संख्या आहे.

आमच्या उदाहरणात, Y हे कर्मचारी सोडण्याचे सूचक आहे. प्रभावित करणारा घटक म्हणजे पगार (x).

एक्सेलमध्ये अंगभूत कार्ये आहेत जी तुम्हाला रेखीय प्रतिगमन मॉडेलच्या पॅरामीटर्सची गणना करण्यात मदत करू शकतात. परंतु "विश्लेषण पॅकेज" ॲड-ऑन हे जलद करेल.

आम्ही एक शक्तिशाली विश्लेषणात्मक साधन सक्रिय करतो:

एकदा सक्रिय झाल्यानंतर, ॲड-ऑन डेटा टॅबमध्ये उपलब्ध होईल.

आता प्रतिगमन विश्लेषण स्वतः करूया.

सर्व प्रथम, आम्ही आर-वर्ग आणि गुणांकांकडे लक्ष देतो.

R-वर्ग हा निर्धाराचा गुणांक आहे. आमच्या उदाहरणात - 0.755, किंवा 75.5%. याचा अर्थ असा की मॉडेलचे गणना केलेले पॅरामीटर्स अभ्यास केलेल्या पॅरामीटर्समधील 75.5% संबंध स्पष्ट करतात. निर्धाराचा गुणांक जितका जास्त असेल तितका उत्तम दर्जाचे मॉडेल. चांगले - ०.८ च्या वर. खराब - ०.५ पेक्षा कमी (असे विश्लेषण क्वचितच वाजवी मानले जाऊ शकते). आमच्या उदाहरणात - "वाईट नाही".

गुणांक 64.1428 हे दर्शविते की विचाराधीन मॉडेलमधील सर्व चल 0 च्या समान असल्यास Y काय असेल. म्हणजेच, विश्लेषण केलेल्या पॅरामीटरचे मूल्य मॉडेलमध्ये वर्णन न केलेल्या इतर घटकांद्वारे देखील प्रभावित होते.

गुणांक -0.16285 व्हेरिएबल X चे Y वर वजन दर्शविते. म्हणजेच, या मॉडेलमधील सरासरी मासिक पगार -0.16285 च्या वजनासह सोडणाऱ्यांच्या संख्येवर प्रभाव टाकतो (हा प्रभावाचा एक लहान अंश आहे). "-" चिन्ह सूचित करते नकारात्मक प्रभाव: पगार जितका जास्त तितके कमी लोक सोडतात. जे न्याय्य आहे.



एक्सेल मध्ये सहसंबंध विश्लेषण

सहसंबंध विश्लेषण एक किंवा दोन नमुन्यांमधील निर्देशकांमधील संबंध आहे की नाही हे निर्धारित करण्यात मदत करते. उदाहरणार्थ, मशीनचा कार्यकाळ आणि दुरुस्तीची किंमत, उपकरणांची किंमत आणि ऑपरेशनचा कालावधी, मुलांची उंची आणि वजन इ.

जर कनेक्शन असेल, तर एका पॅरामीटरमध्ये वाढ झाल्यामुळे दुसऱ्याची वाढ (सकारात्मक सहसंबंध) किंवा घट (नकारात्मक) होते. परस्परसंबंध विश्लेषण विश्लेषकाला एका निर्देशकाचे मूल्य दुसऱ्याच्या संभाव्य मूल्याचा अंदाज लावण्यासाठी वापरले जाऊ शकते की नाही हे निर्धारित करण्यात मदत करते.

सहसंबंध गुणांक r द्वारे दर्शविला जातो. +1 ते -1 पर्यंत बदलते. साठी सहसंबंधांचे वर्गीकरण विविध क्षेत्रेभिन्न असेल. जेव्हा गुणांक 0 असेल रेखीय अवलंबित्वनमुन्यांमध्ये अस्तित्वात नाही.

कसे वापरायचे ते पाहू एक्सेल साधनेसहसंबंध गुणांक शोधा.

जोडलेले गुणांक शोधण्यासाठी, CORREL फंक्शन वापरले जाते.

उद्दिष्ट: ऑपरेटिंग वेळेमध्ये संबंध आहे की नाही हे ठरवा लेथआणि त्याच्या देखभालीचा खर्च.

कर्सर कोणत्याही सेलमध्ये ठेवा आणि fx बटण दाबा.

1. "सांख्यिकीय" श्रेणीमध्ये, CREL फंक्शन निवडा.
2. वितर्क "ॲरे 1" - मूल्यांची पहिली श्रेणी - मशीन ऑपरेटिंग वेळ: A2:A14.
3. वितर्क "ॲरे 2" - मूल्यांची दुसरी श्रेणी - दुरुस्तीची किंमत: B2:B14. ओके क्लिक करा.

कनेक्शनचा प्रकार निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला गुणांकाची परिपूर्ण संख्या पाहण्याची आवश्यकता आहे (प्रत्येक कार्यक्षेत्राचे स्वतःचे स्केल असते).

अनेक पॅरामीटर्सच्या परस्परसंबंध विश्लेषणासाठी (2 पेक्षा जास्त), “डेटा विश्लेषण” (“विश्लेषण पॅकेज” ॲड-ऑन) वापरणे अधिक सोयीचे आहे. तुम्हाला सूचीमधून सहसंबंध निवडणे आणि ॲरे नियुक्त करणे आवश्यक आहे. सर्व.

परिणामी गुणांक सहसंबंध मॅट्रिक्समध्ये प्रदर्शित केले जातील. याप्रमाणे:

सहसंबंध आणि प्रतिगमन विश्लेषण

सराव मध्ये, या दोन तंत्रे अनेकदा एकत्र वापरली जातात.

उदाहरण:

आता प्रतिगमन विश्लेषण डेटा दृश्यमान झाला आहे.