हार्मोनिक फंक्शन्समध्ये सिग्नलचे विघटन. फूरियर मालिका. फूरियर मालिका विस्ताराची उदाहरणे

चेरचर 01.08.2019

शक्यता

२.१. नियतकालिक सिग्नलचे स्पेक्ट्रा

नियतकालिक सिग्नल (वर्तमान किंवा व्होल्टेज) हा एक प्रकारचा प्रभाव असतो जेव्हा सिग्नल आकार विशिष्ट वेळेच्या अंतरानंतर पुनरावृत्ती होतो. टी, ज्याला कालावधी म्हणतात. नियतकालिक सिग्नलचा सर्वात सोपा प्रकार एक हार्मोनिक सिग्नल किंवा साइन वेव्ह आहे, जो मोठेपणा, कालावधी आणि प्रारंभिक टप्पा द्वारे दर्शविले जाते. इतर सर्व सिग्नल असतील गैर हार्मोनिककिंवा नॉन-साइनसॉइडल. हे दर्शविले जाऊ शकते आणि सरावाने हे सिद्ध होते की जर वीज पुरवठ्याचे इनपुट सिग्नल नियतकालिक असेल, तर प्रत्येक शाखेतील इतर सर्व प्रवाह आणि व्होल्टेज (आउटपुट सिग्नल) देखील नियतकालिक असतील. या प्रकरणात, वेगवेगळ्या शाखांमधील सिग्नल आकार एकमेकांपासून भिन्न असतील.

इलेक्ट्रिकल सर्किटमध्ये नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नल्स (इनपुट प्रभाव आणि त्यांच्या प्रतिक्रिया) चा अभ्यास करण्यासाठी एक सामान्य तंत्र आहे, जे फूरियर मालिकेत सिग्नलच्या विस्तारावर आधारित आहे. या तंत्रात असे समाविष्ट आहे की अशा प्रकारचे मोठेपणा, वारंवारता आणि प्रारंभिक टप्प्यांसह हार्मोनिक (म्हणजेच सायनसॉइडल) सिग्नलची मालिका निवडणे नेहमीच शक्य असते, ज्याच्या ऑर्डिनेट्सची बीजगणितीय बेरीज कोणत्याही वेळी ऑर्डिनेटच्या समान असते. अभ्यासाधीन गैर-साइनसॉइडल सिग्नल. तर, उदाहरणार्थ, व्होल्टेज uअंजीर मध्ये. २.१. ताणांच्या बेरजेने बदलले जाऊ शकते आणि , कारण कोणत्याही क्षणी एक समान समानता असते: . प्रत्येक संज्ञा एक साइनसॉइड आहे, ज्याची वारंवारता कालावधीशी संबंधित आहे टीपूर्णांक गुणोत्तर.

विचाराधीन उदाहरणासाठी, आमच्याकडे पहिल्या हार्मोनिकचा कालावधी नॉन-हार्मोनिक सिग्नलच्या कालावधीशी जुळतो.टी 1 = टी, आणि दुसऱ्या हार्मोनिकचा कालावधी दोन पट लहान आहेटी 2 = टी/2, म्हणजे तात्काळ हार्मोनिक मूल्ये फॉर्ममध्ये लिहिली पाहिजेत:

येथे हार्मोनिक दोलनांचे मोठेपणा एकमेकांच्या समान आहेत ( ), आणि प्रारंभिक टप्पे शून्य आहेत.

तांदूळ. २.१. प्रथम आणि द्वितीय हार्मोनिक्स जोडण्याचे उदाहरण

गैर-हार्मोनिक सिग्नल

विद्युत अभियांत्रिकीमध्ये, हार्मोनिक घटक ज्याचा कालावधी नॉन-हार्मोनिक सिग्नलच्या कालावधीइतका असतो त्याला म्हणतात. प्रथमकिंवा मूलभूतसिग्नलचे हार्मोनिक. इतर सर्व घटकांना उच्च हार्मोनिक घटक म्हणतात. हार्मोनिक ज्याची वारंवारता पहिल्या हार्मोनिकपेक्षा k पट जास्त असते (आणि कालावधी, त्यानुसार, k पट कमी) म्हणतात.

k - व्या हार्मोनिक. कालावधीतील फंक्शनचे सरासरी मूल्य देखील वेगळे केले जाते, ज्याला म्हणतात शून्यहार्मोनिक सामान्य बाबतीत, फूरियर मालिका वेगवेगळ्या फ्रिक्वेन्सीच्या हार्मोनिक घटकांच्या असीम संख्येच्या बेरीज म्हणून लिहिली जाते:

(2.1)

जेथे k हा हार्मोनिक क्रमांक आहे; - केटीएच हार्मोनिकची कोनीय वारंवारता;

ω 1 = ω =2 π / टी- पहिल्या हार्मोनिकची कोनीय वारंवारता; - शून्य हार्मोनिक.

वारंवार होणाऱ्या फॉर्मच्या संकेतांसाठी, फूरियर मालिका विस्तार विशेष साहित्यात आढळू शकतो. तक्ता 2 आठ नियतकालिक वेव्हफॉर्म्ससाठी विघटन दर्शविते. हे लक्षात घ्यावे की टेबल 2 मध्ये दिलेला विस्तार डावीकडील आकृत्यांमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे समन्वय प्रणालीची उत्पत्ती निवडल्यास होईल; वेळेची सुरूवात बदलताना tहार्मोनिक्सचे प्रारंभिक टप्पे बदलतील, परंतु हार्मोनिक्सचे मोठेपणा समान राहतील. अभ्यास केला जात असलेल्या सिग्नलच्या प्रकारावर अवलंबून, V हे एकतर व्होल्टमध्ये मोजले जाणारे मूल्य, जर ते व्होल्टेज सिग्नल असेल किंवा अँपिअरमध्ये मोजलेले मूल्य, जर ते वर्तमान सिग्नल असेल तर समजले पाहिजे.

नियतकालिक फंक्शन्सचा फूरियर मालिका विस्तार

तक्ता 2

वेळापत्रक f(t)	फंक्शन्सची फूरियर मालिकाf(t)	नोंद
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

सिग्नल 7 आणि 8 वाल्व घटकांचा वापर करून सर्किटद्वारे साइनसॉइडमधून व्युत्पन्न केले जातात.

नॉन-साइनसॉइडल सिग्नल तयार करणाऱ्या हार्मोनिक घटकांच्या संचाला या नॉन-हार्मोनिक सिग्नलचा स्पेक्ट्रम म्हणतात. हार्मोनिक्सच्या या संचापासून ते वेगळे आणि वेगळे आहेत मोठेपणाआणि टप्पास्पेक्ट्रम ॲम्प्लिट्यूड स्पेक्ट्रम हा सर्व हार्मोनिक्सच्या ॲम्प्लिट्यूड्सचा संच आहे, जो सामान्यत: आकृतीद्वारे उभ्या रेषांच्या संचाच्या स्वरूपात दर्शविला जातो, ज्याची लांबी हार्मोनिकच्या मोठेपणा मूल्यांच्या प्रमाणात (निवडलेल्या स्केलवर) असते. घटक, आणि क्षैतिज अक्षावरील स्थान या घटकाच्या वारंवारता (हार्मोनिक क्रमांक) द्वारे निर्धारित केले जाते. त्याचप्रमाणे, फेज स्पेक्ट्रा हा सर्व हार्मोनिक्सच्या प्रारंभिक टप्प्यांचा संच मानला जातो; ते उभ्या रेषांचा संच म्हणून मोजण्यासाठी देखील दर्शविले आहेत.

हे लक्षात घ्यावे की विद्युत अभियांत्रिकीमधील सुरुवातीचे टप्पे सामान्यतः –180 0 ते +180 0 या श्रेणीत मोजले जातात. वैयक्तिक रेषा असलेल्या स्पेक्ट्राला म्हणतात रेखीय किंवा स्वतंत्र. वर्णक्रमीय रेषा अंतरावर आहेत fएकमेकांकडून, कुठे f- वारंवारता मध्यांतर पहिल्या हार्मोनिकच्या वारंवारतेच्या बरोबरीचे fअशा प्रकारे, नियतकालिक सिग्नलच्या स्वतंत्र स्पेक्ट्रामध्ये अनेक फ्रिक्वेन्सीसह वर्णक्रमीय घटक असतात - f, 2f, 3f, 4f, 5fइ.

उदाहरण 2.1.आयताकृती सिग्नलसाठी मोठेपणा आणि फेज स्पेक्ट्रम शोधा जेव्हा सकारात्मक आणि नकारात्मक सिग्नलचा कालावधी समान असतो आणि त्या कालावधीतील फंक्शनचे सरासरी मूल्य शून्य असते.

u(t) = Vat0<t<टी/2

u(t) = -वात टी/2<t<टी

साध्या, वारंवार वापरल्या जाणाऱ्या फॉर्मच्या सिग्नलसाठी, टेबल वापरून उपाय शोधण्याचा सल्ला दिला जातो.

तांदूळ. २.२. आयताकृती सिग्नलचा रेषा मोठेपणा स्पेक्ट्रम

आयताकृती सिग्नलच्या फूरियर मालिकेच्या विस्तारावरून (टेबल 2 - 1 पहा) असे दिसून येते की हार्मोनिक मालिकेत फक्त विषम हार्मोनिक्स असतात, तर हार्मोनिक्सचे मोठेपणा हार्मोनिक संख्येच्या प्रमाणात कमी होते. हार्मोनिक्सचे मोठेपणा रेखा स्पेक्ट्रम अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. २.२. बांधताना, असे गृहीत धरले जाते की प्रथम हार्मोनिकचे मोठेपणा (येथे व्होल्टेज) एक व्होल्टच्या बरोबरीचे आहे: बी; मग तिसऱ्या हार्मोनिकचे मोठेपणा बी, पाचव्या - बी, इ.च्या बरोबरीचे असेल. सर्व सिग्नल हार्मोनिक्सचे प्रारंभिक टप्पे शून्य समान आहेत, म्हणून, फेज स्पेक्ट्रममध्ये फक्त शून्य ऑर्डिनेट मूल्ये आहेत.

समस्या सुटली आहे.

उदाहरण 2.2.नियमानुसार बदलणाऱ्या व्होल्टेजसाठी मोठेपणा आणि फेज स्पेक्ट्रम शोधा: येथे - टी/4<t<टी/4; u(t) = 0 वाजता टी/4<t<3/4टी. असा सिग्नल सायनसॉइडमधून हार्मोनिक सिग्नलचा नकारात्मक भाग काढून (व्हॉल्व्ह घटकांचा वापर करून सर्किटरीद्वारे) तयार केला जातो.

अ) ब)

तांदूळ. २.३. अर्ध-वेव्ह रेक्टिफिकेशन सिग्नलचे रेखा स्पेक्ट्रम: अ) मोठेपणा; ब) टप्पा

सायनसॉइडल व्होल्टेजच्या अर्ध-वेव्ह सुधार सिग्नलसाठी (टेबल 2 - 8 पहा), फूरियर मालिकेत एक स्थिर घटक (शून्य हार्मोनिक), प्रथम हार्मोनिक आणि नंतर फक्त सम हार्मोनिकचा संच असतो, ज्याचे मोठेपणा त्वरीत कमी होते. हार्मोनिक संख्या वाढवणे. जर, उदाहरणार्थ, आपण V = 100 V हे मूल्य ठेवले, तर प्रत्येक पदाचा सामान्य घटक 2V/π ने गुणाकार केल्यास, आपल्याला आढळते(2.2)

या सिग्नलचे मोठेपणा आणि फेज स्पेक्ट्रा चित्र 2.3a, b मध्ये दर्शविले आहेत.

समस्या सुटली आहे.

फूरियर मालिकेच्या सिद्धांतानुसार, हार्मोनिक्सच्या बेरजेशी नॉन-हार्मोनिक सिग्नलची अचूक समानता केवळ अमर्याद मोठ्या संख्येने हार्मोनिक्ससाठी आढळते. संगणकावरील हार्मोनिक घटकांची गणना आपल्याला कितीही हार्मोनिक्सचे विश्लेषण करण्यास अनुमती देते, जे गणनाच्या उद्देशाने, गैर-हार्मोनिक प्रभावाची अचूकता आणि स्वरूपाद्वारे निर्धारित केले जाते. जर सिग्नल कालावधीt त्याच्या स्वरूपाची पर्वा न करता, कालावधीपेक्षा खूपच कमी टी, नंतर हार्मोनिक्सचे मोठेपणा हळूहळू कमी होतील आणि सिग्नलच्या अधिक संपूर्ण वर्णनासाठी मोठ्या संख्येने मालिकेच्या अटी विचारात घेणे आवश्यक आहे. हे वैशिष्ट्य टेबल 2 - 5 आणि 6 मध्ये सादर केलेल्या सिग्नलसाठी शोधले जाऊ शकते, जर अट पूर्ण झाली असेल τ <<टी. जर नॉन-हार्मोनिक सिग्नल सायनसॉइडच्या जवळ असेल (उदाहरणार्थ, टेबल 2 मधील सिग्नल 2 आणि 3), तर हार्मोनिक्स त्वरीत कमी होतात आणि सिग्नलच्या अचूक वर्णनासाठी स्वतःला तीन ते पाच पर्यंत मर्यादित करणे पुरेसे आहे. मालिकेतील हार्मोनिक्स.

5. नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक प्रभावांच्या मोडमध्ये रेखीय इलेक्ट्रिकल सर्किट्स. इलेक्ट्रिक सर्किट सिद्धांत

5. नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक प्रभावांच्या मोडमध्ये रेखीय इलेक्ट्रिकल सर्किट्स

५.१. नॉन-हार्मोनिक नियतकालिक सिग्नल

विविध उपकरणांमध्ये सिग्नल रूपांतरण प्रक्रियेत संप्रेषण चॅनेलद्वारे माहिती प्रसारित करताना, नियमानुसार, नॉन-हार्मोनिक दोलन वापरले जातात, कारण पूर्णपणे हार्मोनिक दोलन माहितीचे वाहक असू शकत नाहीत. संदेश प्रसारित करण्यासाठी, ते ॲम्प्लिट्यूड - ॲम्प्लिट्यूड मॉड्युलेशन (एएम), फ्रिक्वेंसी - फ्रिक्वेंसी मॉड्युलेशन (एफएम) किंवा फेज - फेज मॉड्युलेशन (पीएम) मध्ये एक हार्मोनिक ऑसिलेशन मॉड्युलेट करतात किंवा ॲम्प्लिट्यूड - पल्स ॲम्प्लिट्यूड मॉड्युलेशन (पीएएम), रुंदीमध्ये मोड्युलेट केलेले पल्स सिग्नल वापरतात. - पल्स-रुंदी मॉड्युलेशन (PWM), वेळ स्थिती - टाइम-पल्स मॉड्युलेशन (TPM). विशेष कायद्यांनुसार व्युत्पन्न इतर, अधिक जटिल सिग्नल आहेत. या सिग्नल्सचे एक विशिष्ट वैशिष्ट्य म्हणजे त्यांचे जटिल गैर-हार्मोनिक वर्ण. विविध पल्स आणि डिजिटल उपकरणांमध्ये निर्माण होणारे प्रवाह आणि व्होल्टेज हे नॉन-साइनसॉइडल स्वरूपाचे असतात (19. डिस्क्रिट सिग्नल आणि सर्किट), विविध नॉनलाइनर उपकरणांमधून जाणारे हार्मोनिक सिग्नल नॉन-साइनसॉइडल स्वरूप प्राप्त करतात (11. हार्मोनिक प्रभावाखाली नॉनलाइनर इलेक्ट्रिकल सर्किट्स), इ. हे सर्व नियतकालिक नॉन-साइनसॉइडल आणि नॉन-पीरियडिक करंट्स आणि व्होल्टेजच्या प्रभावाखाली इलेक्ट्रिकल सर्किट्सचे विश्लेषण आणि संश्लेषण करण्यासाठी विशेष पद्धती विकसित करण्याची आवश्यकता ठरते. या पद्धती नॉन-साइनसॉइडल प्रभावांच्या वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्वांवर आधारित आहेत, मालिका किंवा फूरियर इंटिग्रलमधील विस्तारावर आधारित आहेत.

गणितीय विश्लेषणावरून हे ज्ञात आहे की नियतकालिक नॉनहर्मोनिक फंक्शन f(t), डिरिचलेटच्या परिस्थितीचे समाधान करून, फूरियर मालिकेत विस्तारित केले जाऊ शकते:
(5.1)
कुठे a k,b k -समीकरणांद्वारे निर्धारित विस्तार गुणांक
(5.2)

विशालता कालावधीत फंक्शनचे सरासरी मूल्य दर्शवते f(t)आणि त्याला स्थिर घटक म्हणतात.

सैद्धांतिक अभ्यासात, सूत्राऐवजी (5.1), ते सहसा स्वतंत्र व्हेरिएबल बदलण्यावर आधारित दुसरा वापरतात:
(5.3)
कुठे
(5.4)

समीकरण (5.3) हे फूरियर मालिकेचे त्रिकोणमितीय स्वरूप आहे. सर्किट्सचे विश्लेषण करताना, फूरियर मालिकेचे जटिल स्वरूप वापरणे अधिक सोयीचे असते, जे यूलरचे सूत्र वापरून (5.3) वरून मिळवता येते:
(5.5)

(5.5) समीकरण (5.3) मध्ये बदलून, साध्या परिवर्तनानंतर आपल्याला फूरियर मालिकेचे जटिल स्वरूप प्राप्त होते:
(5.6)
कुठे ए k-जटिल मोठेपणा kव्या हार्मोनिक्स:
(5.7)
कुठे - मोठेपणा; - प्रारंभिक टप्पा kव्या हार्मोनिक्स.

मूल्ये बदलणे a kआणि b k(5.4) ते (5.7), आम्ही प्राप्त करतो:
(5.8)

मोठेपणा सेट 0.5 एक के = 0,5ए –kविस्तार (5.6) मध्ये, संबंधित सकारात्मक आणि नकारात्मक फ्रिक्वेन्सीच्या विरूद्ध प्लॉट केलेले, समन्वय अक्षाच्या संदर्भात सममितीय बनते (गुणकाच्या समानतेमुळे आणि k) रेषा मोठेपणा स्पेक्ट्रम.

आदेशांचा संच k = – –k(5.7) पासून, विस्तार (5.6) मध्ये समाविष्ट केलेले आणि संबंधित सकारात्मक आणि नकारात्मक फ्रिक्वेन्सीच्या विरूद्ध प्लॉट केलेले, समन्वय अक्षाच्या उत्पत्तीशी संबंधित सममितीय बनवते (गुणकांच्या विषमतेमुळे b k)लाइन फेज स्पेक्ट्रम.

विस्तार (5.3) दुसर्या स्वरूपात सादर केला जाऊ शकतो. ते लक्षात घेऊन आणि k = एक केकारण kआणि b k= एक केपाप k, नंतर (5.3) मध्ये बदलल्यानंतर आम्हाला मिळते:
(5.9)

जर आपण स्थिर घटक 0/2 ला शून्य हार्मोनिक म्हणून प्रारंभिक टप्पा 0 = 0 मानले तर विस्तार (5.9) फॉर्म घेईल.
(5.10)

विशेष बाबतीत जेव्हा कार्य f(अ) ऑर्डिनेट अक्षाबद्दल सममितीय (चित्र 5.1, ए), विस्तार (5.3) मध्ये फक्त सम (कोसाइन) हार्मोनिक्स असतील:

(5.11)

आणि सममिती सह f(अ) उत्पत्तीशी संबंधित (चित्र 5.1, b) विचित्र हार्मोनिक्स
(5.12)

फंक्शनचे मूळ स्थलांतर करताना f(a) त्याचा मोठेपणा स्पेक्ट्रम बदलत नाही, परंतु केवळ फेज स्पेक्ट्रम बदलतो. खरंच, फंक्शन शिफ्ट करू f(a) वेळ अक्षासह डावीकडे t 0 आणि दर्शवा.

नंतर विस्तार (5.9) फॉर्म घेईल
(5.13)

उदाहरण.आयताकृती कंपने फोरियर मालिकेत विस्तृत करा (चित्र 5.1, b). ते लक्षात घेऊन f(a) विस्तारातील समन्वयांच्या उत्पत्तीच्या संदर्भात सममितीय आहे (5.3) फक्त साइनसॉइडल हार्मोनिक्स (5.12) राहतील, जेथे b k(5.4) नुसार निर्धारित केले जाईल:

बदली b k(5.12) मध्ये, आम्ही फूरियर मालिका विस्तार प्राप्त करतो:
(5.14)

पुढे आपण हलतो f(a) p/2 डावीकडे (चित्र 5.1 पहा, ए). मग, (5.13) नुसार, आपल्याला मिळते

(5.15)

म्हणजेच, आम्ही कोसाइन घटकांमध्ये विस्तार प्राप्त केला कारण तो ऑर्डिनेट अक्षाच्या संदर्भात सममितीय सिग्नलसाठी असावा.

बर्याच प्रकरणांमध्ये, जेव्हा नियतकालिक कार्य f(a) ग्राफिकल पद्धतीने दिलेला आहे आणि त्याचा फोरियर मालिकेत विस्तार ग्राफिकल-विश्लेषणात्मक पद्धतीचा वापर करून केला जाऊ शकतो; त्याचे सार सिग्नल कालावधी आहे टी(Fig. 5.2) मध्ये विभागलेले आहेत मीच्या बरोबरीचे अंतराल आणि ब्रेक पॉइंट्स f(a) विभाजन क्षेत्राच्या मध्यभागी येऊ नये; सिग्नल मूल्य निश्चित करा f(अ n) प्रत्येक विभाजन विभागाच्या मध्यभागी.

विस्तार गुणांक शोधा आणि kआणि b k(5.2) मध्ये इंटिग्रलला एका मर्यादित बेरीजने बदलून
(5.16)

समीकरण (5.16) गणना करताना प्रोग्राम करणे सोपे आहे आणि kआणि b k, संगणकाद्वारे वापरले जाऊ शकते.

५.२. आरएमएस, नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नलचे सरासरी मूल्य आणि शक्ती

निश्चिततेसाठी, आपण असे गृहीत धरूया f(t) चा अर्थ प्रवाह आहे i(t). नंतर नियतकालिक नॉनहार्मोनिक प्रवाहाचे प्रभावी मूल्य (3.5) नुसार निर्धारित केले जाते, कुठे i(t) समीकरणाद्वारे निर्धारित केले जाते (5.10):
(5.17)

हे वर्तमान मूल्य (3.5) मध्ये बदलून, एकत्रीकरणानंतर आम्हाला मिळते
(5.18)

म्हणजे नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक करंटचे प्रभावी मूल्य आयत्याच्या हार्मोनिक्सच्या प्रभावी मूल्यांद्वारे पूर्णपणे निर्धारित केले जाते मी केआणि त्यांच्या सुरुवातीच्या टप्प्यांवर अवलंबून नाही k.

त्याचप्रमाणे, आम्हाला आवर्तिक नॉन-साइनसॉइडल व्होल्टेजचे प्रभावी मूल्य आढळते:
(5.19)

सरासरी वर्तमान मूल्य सामान्य अभिव्यक्ती (3.9) नुसार निर्धारित केले जाते. शिवाय, ते सहसा सरासरी मूल्य घेतात i(t) निरपेक्ष मूल्यात
(5.20)

समान व्याख्या यू cf(2) .

सर्किट सिद्धांताच्या दृष्टिकोनातून, नॉन-हार्मोनिक सिग्नलची सरासरी सक्रिय शक्ती आणि वैयक्तिक हार्मोनिक्समधील त्याचे वितरण खूप स्वारस्य आहे.

नियतकालिक नॉन-साइनसॉइडल सिग्नलची सरासरी सक्रिय शक्ती
(5.21)
कुठे
(5.22)

k- वर्तमान आणि व्होल्टेज दरम्यान फेज शिफ्ट kव्या हार्मोनिक्स.

मूल्ये बदलणे i(t) आणि u(t) (5.22) पासून समीकरण (5.21) मध्ये, एकत्रीकरणानंतर आम्हाला मिळते:
(5.23)
म्हणजेच, कालांतराने नॉन-हार्मोनिक सिग्नलची सरासरी सक्रिय शक्ती वैयक्तिक हार्मोनिक्सच्या शक्तींच्या बेरजेइतकी असते. फॉर्म्युला (5.23) हे व्यापकपणे ज्ञात असलेल्या स्वरूपांपैकी एक आहे पारसेवाल यांची समता.

त्याचप्रमाणे, आपल्याला प्रतिक्रियात्मक शक्ती आढळते
(5.24)
आणि पूर्ण शक्ती
(5.25)

यावर जोर दिला पाहिजे की, हार्मोनिक सिग्नलच्या विरूद्ध, गैर-हार्मोनिक सिग्नलसाठी
(5.26)

विशालता पीदावा = म्हणतात विकृती शक्तीआणि वर्तमान फॉर्ममधील फरकाची डिग्री दर्शवते i(t) आणि व्होल्टेज u(t).

विकृतीच्या सामर्थ्याव्यतिरिक्त, नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नल इतर अनेक वैशिष्ट्यांद्वारे दर्शविले जातात: गुणांक:शक्ती, k m = P/S; फॉर्म K f = U/U cf(2); amplitudes K a = U m /U; विकृती k आणि = U 1 /U; हार्मोनिक्स k g = इ.

साइनसॉइडल सिग्नलसाठी k f = /21.11; k a = 1.41; k u = 1; k g = 0.

५.३. नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नलचे स्पेक्ट्रा

अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या आयताकृती डाळींचा क्रम विचारात घ्या. ५.३, ए. या स्वरूपाचे सिग्नल रेडिओ अभियांत्रिकी आणि दूरसंचार मध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात: टेलिग्राफी, डिजिटल ट्रान्समिशन सिस्टम, वेळ विभागणीसह मल्टी-चॅनेल कम्युनिकेशन सिस्टम, विविध पल्स आणि डिजिटल उपकरणे इ. (धडा 19 पहा). नाडी क्रम खालील मुख्य पॅरामीटर्स द्वारे दर्शविले जाते: नाडी मोठेपणा एआणि आणि व्होल्टेज आणि करंट दोन्हीचा अर्थ असू शकतो.">, त्याचा कालावधी tआणि आणि पुढील कालावधी टी. कालावधीचे प्रमाण टीकालावधी पर्यंत tआणि म्हणतात डाळींचे कर्तव्य चक्रआणि द्वारे दर्शविले जाते q = T/t आणि. सामान्यतः, पल्स ड्यूटी सायकल मूल्ये अनेक युनिट्सपासून (मापन तंत्रज्ञान, स्वतंत्र ट्रान्समिशन आणि माहिती प्रक्रिया उपकरणांमध्ये) शेकडो किंवा हजारो (रडारमध्ये) पर्यंत असतात.

आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाचे स्पेक्ट्रम शोधण्यासाठी, आम्ही फूरियर मालिका जटिल स्वरूपात वापरतो (5.6). जटिल मोठेपणा kमूळ व्हेरिएबलवर परतल्यानंतर (5.8) नुसार व्या हार्मोनिक समान आहे t.

(5.27)

मूल्य बदलणे ए kसमीकरण (5.6) मध्ये, आम्ही फूरियर मालिका विस्तार प्राप्त करतो:
(5.28)

अंजीर मध्ये. 5.4 साठी कॉम्प्लेक्स ॲम्प्लिट्यूड्सचे स्पेक्ट्रम दाखवते q= 2 आणि q= 4. आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाचा स्पेक्ट्रम हा एक लिफाफा असलेला एक स्वतंत्र स्पेक्ट्रम आहे (चित्र 5.4 मधील डॅश रेषा), ज्याचे वर्णन फंक्शनद्वारे केले आहे.
(5.29)
सॅम्पलिंग फंक्शन म्हणतात (धडा 19 पहा). वारंवारता अक्षासह संदर्भ बिंदू आणि लिफाफ्याच्या पहिल्या शून्यामधील वर्णक्रमीय रेषांची संख्या समान आहे q- 1. सिग्नलचा DC घटक (सरासरी मूल्य) , आणि प्रभावी मूल्य ए= , म्हणजे कर्तव्य चक्र जितके जास्त असेल तितके DC घटकाची पातळी कमी आणि सिग्नलचे प्रभावी मूल्य. वाढत्या कर्तव्य चक्रासह qवेगळ्या घटकांची संख्या वाढते - स्पेक्ट्रम अधिक घनता बनते (चित्र 5.4 पहा, b), आणि हार्मोनिक मोठेपणा अधिक हळूहळू कमी होते. यावर जोर दिला पाहिजे की, (5.27) नुसार, आयताकृती डाळींच्या मानल्या गेलेल्या क्रमाचा स्पेक्ट्रम वास्तविक आहे.

कॉम्प्लेक्स ॲम्प्लिट्यूड्स (5.27) च्या स्पेक्ट्रमवरून आपण मोठेपणा वेगळे करू शकतो एक के = |ए k| आणि फेज स्पेक्ट्रम k= arg ए k, अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. केससाठी 5.5 q= 4. आकृत्यांवरून हे स्पष्ट होते की मोठेपणा स्पेक्ट्रम एक सम आहे आणि फेज स्पेक्ट्रम हे वारंवारतेचे विषम कार्य आहे. शिवाय, वैयक्तिक हार्मोनिक्सचे टप्पे एकतर नोड्समध्ये शून्य मूल्य घेतात, जेथे साइन धनात्मक असते किंवा ±, जेथे साइन ऋण असते (चित्र 5.5, b)

फॉर्म्युला (5.28) च्या आधारे, आम्ही सम हार्मोनिक्समध्ये फूरियर मालिकेच्या विस्ताराचे त्रिकोणमितीय स्वरूप प्राप्त करतो ((5.15) शी तुलना करा):
(5.30)

जेव्हा नाडीचा क्रम वेळ अक्षावर हलविला जातो (चित्र 5.2, b) (5.13) नुसार, त्याचे मोठेपणा स्पेक्ट्रम समान राहील, परंतु त्याचे फेज स्पेक्ट्रम बदलेल:
(5.31)

जेव्हा नियतकालिक अनुक्रमात भिन्न ध्रुवीय आकार असतो (चित्र 5.1 पहा), स्पेक्ट्रममध्ये कोणतेही स्थिर घटक नसतील (5.30) आणि (5.31) (5.14) आणि (5.15 टक्के) सह तुलना करा.

अशाच प्रकारे, तुम्ही वेगळ्या आकाराच्या नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नलच्या वर्णक्रमीय रचनेचा अभ्यास करू शकता. तक्ता 5.1 काही सर्वात सामान्य सिग्नलचा फूरियर मालिका विस्तार दर्शविते.

तक्ता 5.1

	सिग्नलचे प्रकार	फूरियर मालिका विस्तार
1
2
3
4
5
6

५.४. नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक प्रभावाखाली सर्किट्सची गणना

नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक सिग्नलच्या प्रभावाखाली रेखीय इलेक्ट्रिकल सर्किट्सची गणना सुपरपोझिशनच्या तत्त्वावर आधारित आहे. त्याचे सार, गैर-हार्मोनिक प्रभावांना लागू केल्याप्रमाणे, फूरियर मालिकेच्या स्वरूपांपैकी एकामध्ये नॉन-हार्मोनिक नियतकालिक सिग्नलचा विस्तार करणे (पहा 5.1. नॉन-हार्मोनिक नियतकालिक सिग्नल. फूरियर मालिका विस्तार) आणि सर्किटचा प्रतिसाद निश्चित करणे. प्रत्येक हार्मोनिकमधून स्वतंत्रपणे. परिणामी प्रतिक्रिया परिणामी आंशिक प्रतिक्रियांच्या सुपरपोझिशन (इम्पोझिशन) द्वारे आढळते. अशा प्रकारे, नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक प्रभावाखाली सर्किट्सच्या गणनेमध्ये सिग्नलच्या वर्णक्रमीय रचनेचे विश्लेषण करणे (ते फूरियर मालिकेत विस्तृत करणे), प्रत्येक हार्मोनिक घटकापासून सर्किटची गणना करणे आणि संश्लेषणाचे कार्य समाविष्ट आहे, परिणामी परिणामी आउटपुट सिग्नल वेळेचे कार्य (वारंवारता) किंवा त्याचे प्रभावी (मोठेपणा मूल्य) म्हणून निर्धारित केले जाते.

विश्लेषणाच्या समस्येचे निराकरण करताना, ते सहसा फुरियर मालिकेचे त्रिकोणमितीय (5.3) किंवा जटिल (5.6) फॉर्म वापरतात ज्यात विस्ताराच्या अटींची मर्यादित संख्या असते, ज्यामुळे खऱ्या सिग्नलच्या अंदाजात काही त्रुटी निर्माण होतात. विस्तार गुणांक a kआणि b kमध्ये (5.3) किंवा एक केआणि k in (5.6) समीकरणे (5.4), (5.7) आणि (5.8) वापरून निर्धारित केले जातात. या प्रकरणात, इनपुट सिग्नल f(a) विश्लेषणात्मकपणे दिले पाहिजे. जर सिग्नल ग्राफिक पद्धतीने निर्दिष्ट केला असेल, उदाहरणार्थ ऑसिलोग्रामच्या स्वरूपात, तर विस्तार गुणांक शोधण्यासाठी a kआणि b kतुम्ही ग्राफिक-विश्लेषणात्मक पद्धत वापरू शकता (पहा (5.16)).

वैयक्तिक हार्मोनिक्समधून सर्किट गणना सहसा प्रतीकात्मक पद्धतीने केली जाते. तथापि, हे लक्षात घेतले पाहिजे kव्या हार्मोनिक प्रेरक प्रतिक्रिया XL(k) = kL, आणि कॅपेसिटन्स X C(k) = 1/(kС), म्हणजे चालू kमध्ये व्या हार्मोनिक प्रेरक अभिक्रिया kपट जास्त, आणि कॅपेसिटिव्ह मध्ये kपहिल्या हार्मोनिकपेक्षा पटीने कमी. हे, विशेषतः, हे स्पष्ट करते की उच्च हार्मोनिक्स कॅपॅसिटन्समध्ये अधिक स्पष्ट असतात आणि इंडक्टन्समध्ये कमी उच्चारतात, त्यांना लागू केलेल्या व्होल्टेजपेक्षा. सक्रिय प्रतिकार आरकमी आणि मध्यम फ्रिक्वेन्सीवर वारंवारता स्वतंत्र मानली जाऊ शकते.

वैयक्तिक हार्मोनिक्समधून आवश्यक प्रवाह आणि व्होल्टेज निश्चित केल्यानंतर, सर्किटचा नॉन-हार्मोनिक नियतकालिक प्रभावाचा परिणाम सुपरपोझिशन पद्धतीद्वारे आढळतो. या प्रकरणात, एकतर परिणामी सिग्नलचे तात्काळ मूल्य वैयक्तिक हार्मोनिक्सच्या आयाम आणि टप्प्यांच्या गणनेवर किंवा समीकरणांनुसार त्याचे मोठेपणा किंवा प्रभावी मूल्ये (5.18), (5.19) च्या गणनेवर आधारित निर्धारित केले जाते. परिणामी प्रतिक्रिया निश्चित करताना, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की, जटिल समतल नियतकालिक नॉन-हार्मोनिक दोलनांच्या प्रतिनिधित्वाच्या अनुषंगाने, विविध हार्मोनिक्सचे वेक्टर वेगवेगळ्या कोनीय फ्रिक्वेन्सीसह फिरतात.

उदाहरण.अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या सर्किटला. 5.6, व्होल्टेज लागू u(t) पुनरावृत्ती कालावधीसह आयताकृती डाळींच्या स्वरूपात टी= 2tआणि आणि मोठेपणा एआणि = 1V (चित्र 5.3 पहा, b). कॅपॅसिटन्समध्ये तात्काळ आणि प्रभावी व्होल्टेज मूल्ये निश्चित करा.

या व्होल्टेजचा फोरियर मालिकेत विस्तार सूत्र (5.31) द्वारे निर्धारित केला जातो. आपण स्वतःला विस्ताराच्या पहिल्या तीन अटींपुरते मर्यादित करू या (५.३१): kth हार्मोनिक ही विद्युतीय सर्किटची अवस्था आहे ज्यामध्ये भिन्न प्रतिक्रियाशील घटक असतात ज्यामध्ये इनपुट प्रवाह आणि लागू व्होल्टेज दरम्यान फेज शिफ्ट होते. k-x हार्मोनिक्स शून्य आहे. रेझोनान्सची घटना नियतकालिक नॉन-साइनसॉइडल सिग्नलमधून वैयक्तिक हार्मोनिक्स वेगळे करण्यासाठी वापरली जाऊ शकते. यावर जोर दिला पाहिजे की सर्किट एकाच वेळी एका वारंवारतेवर वर्तमान अनुनाद आणि दुसऱ्या वारंवारतेवर व्होल्टेज अनुनाद प्राप्त करू शकते.

उदाहरण.अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या सर्किटसाठी. ५.७, दिलेल्या १ साठी, एल 1 मूल्य शोधा सी 1 आणि सी 2, ज्यावर व्होल्टेज रेझोनान्स एकाच वेळी पहिल्या हार्मोनिकमध्ये आणि वर्तमान अनुनाद 5व्या हार्मोनिकमध्ये होतो.

व्होल्टेज रेझोनान्सच्या स्थितीवरून, आम्हाला आढळले की पहिल्या हार्मोनिकवर सर्किटची इनपुट प्रतिक्रिया शून्य असणे आवश्यक आहे:
(5.32)

आणि पाचव्या - अनंतावर (पाचव्या हार्मोनिकवर इनपुट प्रतिक्रिया शून्य असावी):
(5.33)

स्थिती (5.32) आणि (5.33) वरून आम्हाला कॅपेसिटन्सचे इच्छित मूल्य आढळते:

1.3 सामान्य निष्कर्ष काढा.

भाग २

कामाचा उद्देश: फूरियर ट्रान्सफॉर्मच्या अभ्यासादरम्यान मिळालेले सैद्धांतिक ज्ञान अधिक सखोल करणे(फोरियर ट्रान्सफॉर्म)

आवश्यक सैद्धांतिक माहिती.

कालावधी बदलणे टी आणि नाडीचा कालावधी अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे. 7, आपण सिग्नल स्पेक्ट्रम बदलू शकता. जसजसा कालावधी वाढत जातो, तसतसे लिफाफ्याचा आकार न बदलता हार्मोनिक्स एकमेकांच्या जवळ जातात.

अंजीर 7 - स्पेक्ट्रम बदल

चला एका आयताकृती नाडीचे अनुकरण करू, कालखंडासह डाळींचा नियतकालिक क्रम टी आणि 10T .

t = 0:.0314:25;

y = चौरस(2*pi*t/10, pi*pi);

z = रेक्टपल्स(2*pi*t1/10);

सबप्लॉट(४,२,१);

प्लॉट(t,x)

सबप्लॉट(४,२,३);

प्लॉट(t1,z) प्राप्त झालेल्या सिग्नलचे वर्णक्रमीय विश्लेषण करूया. नॉन-नियतकालिक प्रक्रिया - या आहेत, माहिती सिग्नल, एकच डाळी(गोंधळलेले दोलनआवाज ) - आहेघन किंवासतत टीस्पेक्ट्रम अंतर्ज्ञानाने, नियतकालिक अनुक्रमाचा भाग म्हणून एकल नाडी दर्शवून हा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो, ज्याचा कालावधी अनिश्चित काळासाठी वाढतो. खरंच, डाळींमधील मध्यांतर जसजसे वाढते तसतसे डाळींच्या नियतकालिक अनुक्रमांच्या वर्णक्रमीय आकृत्यांमधील हार्मोनिक्स एकमेकांच्या जवळ येतात: डाळी जितक्या कमी वेळा फॉलो करतात तितके जवळच्या हार्मोनिक्समधील अंतर कमी होते (ते 1/ सारखे असते. ). एका नाडीचा स्पेक्ट्रम (कालावधी वाढवण्याचे मर्यादित प्रकरण) सतत होत जाते आणि ते पंक्तींमध्ये नाही तर ओळखले जाते..

फोरियर इंटिग्रल्सफोरियर ट्रान्सफॉर्म (फोरियर ट्रान्सफॉर्म) हे स्पेक्ट्रल विश्लेषण साधन आहेनियतकालिक

सिग्नल खाली वर्णन केलेली कार्ये विशेष फास्ट फूरियर ट्रान्सफॉर्म (FFT) पद्धत लागू करतात - (फास्ट फोरियर ट्रान्सफॉर्म FFT ), जे तुम्हाला वरील परिवर्तनांदरम्यान अंकगणितीय क्रियांची संख्या झपाट्याने कमी करण्यास अनुमती देते. प्रक्रिया केलेल्या घटकांची (नमुने) संख्या 2n असल्यास पद्धत विशेषतः प्रभावी आहे, जेथे n एक सकारात्मक पूर्णांक आहे. INमॅटलॅब

खालील कार्ये वापरली जातात: fft(X

) - शक्य असल्यास वेगवान फूरियर ट्रान्सफॉर्म अल्गोरिदम वापरून, व्हेक्टर X साठी एक स्वतंत्र फूरियर ट्रान्सफॉर्म परत करतो. X मॅट्रिक्स असल्यास, fft फंक्शन मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक स्तंभासाठी फूरियर ट्रान्सफॉर्म मिळवते; fft(X.n)

- एन-पॉइंट फूरियर ट्रान्सफॉर्म परत करते. जर व्हेक्टर X ची लांबी n पेक्षा कमी असेल, तर गहाळ घटक शून्याने भरले जातात. जर X ची लांबी n पेक्षा जास्त असेल तर अतिरिक्त घटक काढून टाकले जातात. जेव्हा X मॅट्रिक्स असतो, तेव्हा स्तंभांची लांबी त्याच प्रकारे समायोजित केली जाते;फूट(X,[ Ldirn) आणि fft(X, n, मंद) - पॅरामीटर मूल्यावर अवलंबून ॲरेच्या परिमाणांपैकी एकावर फूरियर ट्रान्सफॉर्म लागू करा.

मंद

खालील फंक्शन्सद्वारे अंमलात आणलेले एक-आयामी व्यस्त फूरियर ट्रान्सफॉर्म शक्य आहे: ifft(F) - वेक्टरच्या वेगळ्या व्युत्क्रम फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम मिळवते एफ - वेक्टरच्या वेगळ्या व्युत्क्रम फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम मिळवते . जर - मॅट्रिक्स, नंतर ifft

या मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक स्तंभासाठी व्यस्त फूरियर ट्रान्सफॉर्म परत करते; ifft(F.n) - वेक्टरच्या वेगळ्या व्युत्क्रम फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम मिळवते ;

- वेक्टरच्या n-पॉइंट डिस्क्रिट इन्व्हर्स फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम मिळवते ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - वेक्टरच्या वेगळ्या व्युत्क्रम फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम मिळवते - ॲरेच्या व्युत्क्रम वेगळे फूरियर ट्रान्सफॉर्मचा परिणाम परत करा - पॅरामीटर मूल्यावर अवलंबून ॲरेच्या परिमाणांपैकी एकावर फूरियर ट्रान्सफॉर्म लागू करा .

स्केलरच्या मूल्यावर अवलंबून पंक्ती किंवा स्तंभांद्वारे कोणासाठीही एक्स ifft(fft(x))समान कोणासाठीही गोलाकार त्रुटी पर्यंत. जर कोणासाठीही - वास्तविक संख्यांची श्रेणी, ifft(fft(x))लहान काल्पनिक भाग असू शकतात.

सिम्युलेटेड सिग्नल्सचा स्पेक्ट्रा मिळवू.

चला कार्यक्रमाला कॉल करूया SPTool (सिग्नल प्रोसेसिंग टूल). चला सिम्युलेटेड सिग्नल आयात करू आणि सिग्नल स्पेक्ट्रमची गणना करू. हे करण्यासाठी, सिग्नलच्या सूचीमधील सिग्नल निवडा आणि बटण दाबा तयार करा, स्पेक्ट्राच्या सूचीखाली स्थित आहे. खिडकीत स्पेक्ट्रम दर्शकशेतात पॅरामीटर्सआपल्याला वर्णक्रमीय विश्लेषण पद्धत निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे. आम्ही डीएफटी पद्धत निर्दिष्ट करतो (फास्ट फूरियर ट्रान्सफॉर्म एफएफटी वापरला जातो). पद्धत निर्दिष्ट केल्यावर, बटणावर क्लिक करा अर्ज करा. पॉवर स्पेक्ट्रल घनता आलेख प्रदर्शित केला जाईल. रेखीय किंवा लॉगरिदमिक स्केलवर स्पेक्ट्रा प्रदर्शित करणे शक्य आहे (मेनू पर्याय).

स्पेक्ट्रम सतत आहे (घन) गोंधळलेला(आवाज) चढउतार. या प्रकरणात, वर्णक्रमीय वैशिष्ट्य, वारंवारता एक कार्य म्हणून, देखील आहे गोंधळलेला(यादृच्छिक) प्रक्रिया, ज्याचे सांख्यिकीय मापदंड विशिष्ट यादृच्छिक वेळ प्रक्रियेच्या वैशिष्ट्यांद्वारे निर्धारित केले जातात. 50 Hz आणि 120 Hz च्या फ्रिक्वेन्सीसह नियमित घटक असलेले सिग्नल आणि शून्य सरासरीसह एक यादृच्छिक ऍडिटीव्ह घटक असलेले सिग्नल व्युत्पन्न करूया.

कार्य २

फूरियर मालिका विस्ताराची उदाहरणे.

अ) आयताकृती नाडी क्रम .

आकृती 2. आयताकृती डाळींचा क्रम.

हे सिग्नल सम कार्य आहे आणि ते वापरण्यास सोयीस्कर आहे साइन-कोसाइन फॉर्म फूरियर मालिका:

. (17)

डाळींचा कालावधी आणि त्यांच्या पुनरावृत्तीचा कालावधी परिणामी सूत्रामध्ये गुणोत्तराच्या स्वरूपात समाविष्ट केला जातो, ज्याला सामान्यतः म्हणतात. नाडी क्रमाचे कर्तव्य चक्र :.

. (18)

मालिकेच्या स्थिर पदाचे मूल्य, खात्यात घेऊन शी संबंधित आहे:

फूरियर मालिकेच्या स्वरूपात आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाचे प्रतिनिधित्व फॉर्म आहे:

. (19)

फंक्शनच्या आलेखामध्ये लोब पॅटर्न आहे.
ref.rf वर पोस्ट केले
क्षैतिज अक्ष हार्मोनिक संख्या आणि फ्रिक्वेन्सीमध्ये पदवीधर आहे.

अंजीर 3. आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाचे प्रतिनिधित्व

फूरियर मालिकेच्या रूपात.

पाकळ्या रुंदी, हार्मोनिक्सच्या संख्येमध्ये मोजले जाते, ते कर्तव्य चक्राच्या समान असते (वर, आमच्याकडे, बाबतीत). हे आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाच्या स्पेक्ट्रमची एक महत्त्वाची मालमत्ता सूचित करते - त्यात कर्तव्य चक्राच्या गुणाकार असलेल्या संख्येसह कोणतेही हार्मोनिक्स नाहीत . समीप हार्मोनिक्समधील वारंवारता अंतर नाडी पुनरावृत्ती वारंवारतेइतके आहे. लोबची रुंदी, वारंवारता एककांमध्ये मोजली जाते, ᴛ.ᴇ आहे. सिग्नलच्या कालावधीच्या व्यस्त प्रमाणात आहे. आम्ही निष्कर्ष काढू शकतो: नाडी जितकी लहान तितका स्पेक्ट्रम विस्तीर्ण .

b) रॅम्प सिग्नल .

अंजीर 4. रॅम्प वेव्ह.

एका कालावधीतील सॉटूथ सिग्नलचे वर्णन रेखीय कार्याद्वारे केले जाते

, . (20)

हा सिग्नल एक विषम फंक्शन आहे, आणि म्हणूनच साइन-कोसाइन स्वरूपात त्याच्या फूरियर मालिकेत फक्त साइन घटक आहेत:

सॉटूथ सिग्नलच्या फूरियर मालिकेचे स्वरूप आहे:

हे लक्षात घेणे महत्वाचे आहे की आयताकृती आणि सॉटूथ सिग्नलच्या स्पेक्ट्रासाठी हे वैशिष्ट्यपूर्ण आहे की वाढत्या संख्येसह हार्मोनिक्सचे मोठेपणा प्रमाणात कमी करा .

V) त्रिकोणी नाडी क्रम .

फूरियर मालिकेचे स्वरूप आहे:

आकृती 5. त्रिकोणी डाळींचा क्रम.

जसे आपण पाहू शकतो, आयताकृती आणि सॉटूथ डाळींच्या अनुक्रमाच्या उलट, त्रिकोणी नियतकालिक सिग्नलसाठी हार्मोनिक्सचे मोठेपणा हार्मोनिक संख्यांच्या दुसऱ्या शक्तीच्या प्रमाणात कमी होते. हे स्पेक्ट्रम क्षय दर अवलंबून असते या वस्तुस्थितीमुळे आहे सिग्नलच्या सहजतेची डिग्री.

व्याख्यान क्र. 3. फोरियर ट्रान्सफॉर्म.

फूरियर ट्रान्सफॉर्मचे गुणधर्म.

फूरियर मालिका विस्ताराची उदाहरणे. - संकल्पना आणि प्रकार. वर्गीकरण आणि वैशिष्ट्ये "फूरियर मालिका विस्ताराची उदाहरणे." 2017, 2018.

कामाचा उद्देश: फूरियर मालिका वापरून नियतकालिक फंक्शन्सच्या वर्णक्रमीय वर्णनासह परिचित करणे.

आवश्यक सैद्धांतिक माहिती. फूरियर मालिका विस्तार

विचाराधीन पहिला सिग्नल आयताकृती डाळींचा एक विपुलता असलेला क्रम असेल ए , कालावधी आणि पुनरावृत्ती कालावधी टी . आपण नाडीच्या मध्यभागी स्थित वेळ संदर्भ बिंदू घेऊ (चित्र 1).

आकृती 1. - आयताकृती डाळींचा नियतकालिक क्रम

हा सिग्नल एक सम कार्य आहे, म्हणून त्याचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी फूरियर मालिकेतील साइन-कोसाइन फॉर्म वापरणे अधिक सोयीचे आहे; , समान

चला परिचय करून द्या कर्तव्य चक्र
फूरियर मालिकेच्या गुणांकांच्या परिणामी सूत्रामध्ये, आणि नंतर आपण सूत्र कमी करू
.

मालिकेतील हार्मोनिक संज्ञांचे मोठेपणा कायद्यानुसार हार्मोनिक संख्येवर अवलंबून असतात
(चित्र 2 पहा).
एक पाकळ्या वर्ण आहे. तर, लॉबची रुंदी, हार्मोनिक्सच्या संख्येने मोजली जाते, ती अनुक्रमाच्या कर्तव्य चक्राच्या समान असते (वर
आमच्याकडे आहे
, जर
). हे आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाच्या स्पेक्ट्रमचे एक महत्त्वाचे गुणधर्म सूचित करते - त्यात कर्तव्य चक्राच्या पटीत असलेल्या संख्येसह हार्मोनिक्स (शून्य मोठेपणा नसतात) नसतात.

तांदूळ. 2 - आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमासाठी फूरियर मालिका गुणांक.

समीप हार्मोनिक्समधील वारंवारता अंतर नाडी पुनरावृत्ती वारंवारतेइतके आहे -
. स्पेक्ट्रम लोबची रुंदी, वारंवारता युनिट्समध्ये मोजली जाते, समान असते
, म्हणजेच, ते डाळींच्या कालावधीच्या व्यस्त प्रमाणात आहे, म्हणजे. सिग्नल जितका लहान तितका त्याचा स्पेक्ट्रम विस्तीर्ण.

मागील सिग्नलचा एक महत्त्वाचा विशेष केस आहे कुचकामी(चित्र 3) - च्या समान कर्तव्य चक्रासह आयताकृती डाळींचा क्रम
, जेव्हा कडधान्यांचा कालावधी आणि त्यांच्यातील मध्यांतर समान होतात.

तांदूळ. 3 - मिंडर

कुठे मी- अनियंत्रित पूर्णांक.

अशाप्रकारे, मिंडर स्पेक्ट्रममध्ये फक्त विषम हार्मोनिक्स असतात. हे लक्षात घेऊन फूरियर मालिकेच्या रूपात मेंडरचे प्रतिनिधित्व खालीलप्रमाणे केले जाऊ शकते:

मेंडर बनवणाऱ्या हार्मोनिक घटकांमध्ये हार्मोनिक संख्या आणि पर्यायी चिन्हांच्या व्यस्त प्रमाणात मोठेपणा असतात. खंडिततेला लागून असलेल्या भागात, फूरियर मालिकेची बेरीज लक्षात येण्याजोगी स्पंदन देते. या घटनेला, पहिल्या प्रकारच्या (उडी) खंडित असलेल्या कोणत्याही सिग्नलसाठी फूरियर मालिकेत अंतर्भूत आहे, असे म्हणतात. गिब्स प्रभाव.हे दर्शविले जाऊ शकते की पहिल्या (सर्वात मोठ्या) लाटाचे मोठेपणा उडीच्या विशालतेच्या अंदाजे 9% आहे.