मालवेअर हे अनाहूत किंवा धोकादायक प्रोग्राम आहेत जे...
संगणकावर व्हायबर
Pearson चाचणी वापरणे, महत्त्वाच्या पातळीवर a= 0.05 लोकसंख्येच्या सामान्य वितरणाविषयी गृहीतक सुसंगत आहे का ते तपासा एक्सप्रायोगिक नमुना आकार वितरणासह n = 200.
उपाय.
1. चला गणना करूया 
आणि नमुना मानक विचलन 
.
2. हे लक्षात घेऊन सैद्धांतिक फ्रिक्वेन्सीची गणना करूया n = 200, h= 2, = 4.695, सूत्रानुसार 
.
चला एक गणना सारणी तयार करू (फंक्शन व्हॅल्यू j(x) परिशिष्ट 1 मध्ये दिले आहेत).
i |
||||
3. चला अनुभवजन्य आणि सैद्धांतिक फ्रिक्वेन्सीची तुलना करूया. चला एक गणना सारणी बनवू ज्यावरून आपल्याला निकषाचे निरीक्षण मूल्य सापडेल 
:
i |
|||||
| बेरीज |
महत्त्वपूर्ण वितरण बिंदूंच्या सारणीनुसार (परिशिष्ट 6), महत्त्व पातळीनुसार a= 0.05 आणि स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या k = s– 3 = 9 – 3 = 6 आपल्याला उजव्या हाताच्या गंभीर क्षेत्राचा गंभीर बिंदू सापडतो (0.05; 6) = 12.6.
= 22.2 > = 12.6 पासून, आम्ही लोकसंख्येच्या सामान्य वितरणाविषयीची गृहीते नाकारतो. दुसऱ्या शब्दांत, अनुभवजन्य आणि सैद्धांतिक वारंवारता लक्षणीय भिन्न आहेत.
समस्या 2
सांख्यिकीय डेटा सादर केला आहे.
व्यास मापन परिणाम n= पीसल्यानंतर 200 रोल टेबलमध्ये सारांशित केले आहेत. (मिमी):
टेबलरोल व्यासांची वारंवारता भिन्नता मालिका
| i | ||||||||
xi, मिमी |
||||||||
xi, मिमी |
||||||||
आवश्यक:
1) एक स्वतंत्र भिन्नता मालिका संकलित करा, आवश्यक असल्यास ऑर्डर करा;
2) मालिकेची मुख्य संख्यात्मक वैशिष्ट्ये निश्चित करा;
3) वितरण बहुभुज (हिस्टोग्राम) च्या स्वरूपात मालिकेचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व द्या;
4) सैद्धांतिक सामान्य वितरण वक्र तयार करा आणि पीअरसन निकष वापरून अनुभवजन्य आणि सैद्धांतिक वितरणाचा पत्रव्यवहार तपासा. वितरणाच्या प्रकाराबद्दल सांख्यिकीय गृहीतकांची चाचणी करताना, महत्त्व पातळी a = 0.05 स्वीकारा
उपाय:
व्याख्येनुसार दिलेल्या भिन्नता मालिकेची मुख्य संख्यात्मक वैशिष्ट्ये आपण शोधू. रोलचा सरासरी व्यास (मिमी) आहे:
xसरासरी = = 6.753;
दुरुस्त फैलाव (mm2):
डी = 
= 0,0009166;
दुरुस्त केलेले सरासरी चौरस (मानक) विचलन (मिमी):
s = = 0,03028.
तांदूळ.रोल व्यासांची वारंवारता वितरण
भिन्नता मालिकेचे मूळ ("कच्चे") वारंवारता वितरण, उदा. पत्रव्यवहार ni(xi), मूल्यांच्या बऱ्यापैकी मोठ्या प्रसाराने ओळखले जाते niकाही काल्पनिक "सरासरी" वक्र (Fig.) च्या सापेक्ष. या प्रकरणात, मध्यांतर भिन्नता मालिका तयार करणे आणि त्याचे विश्लेषण करणे अधिक श्रेयस्कर आहे, संबंधित मध्यांतरांमध्ये येणाऱ्या व्यासांसाठी फ्रिक्वेन्सी एकत्र करणे.
मध्यांतर गटांची संख्या केस्टर्जेस फॉर्म्युला वापरून ते परिभाषित करूया:
के= 1 + लॉग2 n= 1 + 3.322lg n,
कुठे n= 200 - नमुना आकार. आमच्या बाबतीत
के= 1 + 3.322×lg200 = 1 + 3.322×2.301 = 8.644 » 8.
मध्यांतराची रुंदी (6.83 – 6.68)/8 = 0.01875 » 0.02 मिमी आहे.
अंतराल भिन्नता मालिका सारणीमध्ये सादर केली आहे.
टेबल वारंवारता अंतराल भिन्नता रोल व्यासांची मालिका.
| k | ||||||||
xk, मिमी |
||||||||
वारंवारता वितरणाच्या हिस्टोग्रामच्या रूपात मध्यांतर मालिका दृश्यमानपणे सादर केली जाऊ शकते. 
तांदूळ. रोल व्यासांची वारंवारता वितरण. घन रेखा एक गुळगुळीत सामान्य वक्र आहे.
हिस्टोग्रामचे स्वरूप आम्हाला असे गृहित धरण्यास अनुमती देते की रोल व्यासांचे वितरण सामान्य कायद्याचे पालन करते, त्यानुसार सैद्धांतिक फ्रिक्वेन्सी शोधल्या जाऊ शकतात
एनके, सिद्धांत = n× एन(a; s; xk)×D xk,
जेथे, या बदल्यात, सामान्य वितरणाचा गुळगुळीत गॉसियन वक्र अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केला जातो:
एन(a; s; xk) = 
.
या अभिव्यक्तींमध्ये xk- वारंवारता अंतराल भिन्नता मालिकेतील मध्यांतरांची केंद्रे.
उदाहरणार्थ, x१ = (६.६८ + ६.७०)/२ = ६.६९. केंद्र मूल्यांकन म्हणून aआणि गॉसियन वक्रचे पॅरामीटर s घेतले जाऊ शकतात:
a = xबुध
अंजीर पासून. हे पाहिले जाऊ शकते की गॉसियन सामान्य वितरण वक्र सामान्यतः अनुभवजन्य अंतराल वितरणाशी संबंधित आहे. तथापि, एखाद्याने हे सुनिश्चित केले पाहिजे की हा पत्रव्यवहार सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे. प्रायोगिक वितरणाचा प्रायोगिक वितरणाचा पत्रव्यवहार तपासण्यासाठी, आम्ही पीअरसन चांगुलपणा-ऑफ-फिट निकष c2 वापरतो. हे करण्यासाठी, बेरीज म्हणून निकषाच्या प्रायोगिक मूल्याची गणना करा
= 
,
कुठे एनकेआणि एनके,सिद्धांत - अनुक्रमे अनुभवजन्य आणि सैद्धांतिक (सामान्य) फ्रिक्वेन्सी. गणना परिणाम सारणी स्वरूपात सादर करणे सोयीचे आहे:
टेबलपीअरसन चाचणी गणना
[xk, xk+ 1), मिमी |
xk, मिमी |
एनके, सिद्धांत |
||
महत्त्वाची पातळी a = 0.05 आणि स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या यासाठी पिअरसन सारणी वापरून निकषाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य शोधू. d.f. = के – 1 – आर, कुठे के= 8 - अंतराल भिन्नता मालिकेतील मध्यांतरांची संख्या; आर= 2 - नमुना डेटावर आधारित अंदाजित सैद्धांतिक वितरणाच्या पॅरामीटर्सची संख्या (या प्रकरणात, पॅरामीटर्स aआणि s). अशा प्रकारे, d.f. = 5. पीअरसन निकषाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य crit(a; d.f.) = 11.1. c2emp पासून< c2крит, заключаем, что согласие между эмпирическим и теоретическим нормальным распределением является статистическим значимым. Иными словами, теоретическое нормальное распределение удовлетворительно описывает эмпирические данные.
समस्या 3
चॉकलेटचे बॉक्स आपोआप पॅक होतात. यादृच्छिक नॉन-रिपीटेटिव्ह सॅम्पलिंग योजनेनुसार, बॅचमध्ये समाविष्ट असलेल्या 2000 पैकी 130 पॅकेजेस घेण्यात आल्या आणि त्यांच्या वजनावरील खालील डेटा प्राप्त झाला:
यादृच्छिक व्हेरिएबल X - पॅकेजचे वजन - सामान्य कायद्यानुसार वितरीत केले जाते या गृहितकाची चाचणी घेण्यासाठी पीअरसन निकष a=0.05 च्या महत्त्वाच्या पातळीवर वापरणे आवश्यक आहे. एका आलेखावर अनुभवजन्य वितरणाचा हिस्टोग्राम आणि संबंधित सामान्य वक्र तयार करा.
उपाय
1012,5
= 615,3846
टीप:
तत्त्वतः, दुरुस्त केलेला नमुना भिन्नता सामान्य वितरण कायद्यातील भिन्नता म्हणून घेतली पाहिजे. पण कारण निरीक्षणांची संख्या - 130 पुरेसे मोठे आहे, नंतर "सामान्य" एक करेल.
अशा प्रकारे, सैद्धांतिक सामान्य वितरण आहे:
[xi; xi+1]
अनुभवजन्य वारंवारता
niसंभाव्यता
pi
सैद्धांतिक वारंवारता
npi
(ni-npi)2
सामान्य वितरणाच्या अनुपालनाचे मूल्यांकन
चाचण्यांची संख्या 100 पेक्षा जास्त असल्यास प्रायोगिक आणि सैद्धांतिक वितरणांमधील करार तपासण्यासाठी ही पद्धत वापरली जाते.
पद्धतीचे सार म्हणजे पीअरसन निकष निश्चित करणे ( c 2) त्यानंतर प्राप्त मूल्याची सैद्धांतिक मूल्याशी तुलना केली जाते.
पियर्सन निकष निश्चित करण्याची प्रक्रिया:
सरासरी मूल्य आणि मानक विचलन निर्धारित केले जातात. पिअरसन निकषाची गणना करण्यासाठी, एक तक्ता तयार केला आहे (तक्ता 11).
2. वृत्ती परिभाषित करा
3. विशेष सारणी (टेबल 12) वापरून, वितरण वारंवारता निर्धारित केली जाते Y 0.
तक्ता 11
तक्ता 12
| t | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 | 0,3989 0,2420 0,0544 0,0044 |
4. सैद्धांतिक वारंवारता मूल्याची गणना करा
(40)
कुठे n- चाचण्यांची एकूण संख्या;
k- वर्ग मध्यांतर;
एस- मानक विचलन.
5. वास्तविक आणि सैद्धांतिक वारंवारता वितरणातील फरक निश्चित करा
y i – U t(41)
वर मोजा
6. Pearson निकष शोधा
(43)
7. स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या निश्चित करा
C = m-3(44)
कुठे सी- स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या;
मी- वर्ग किंवा ओळींची संख्या.
8. आत्मविश्वास संभाव्यता सेट करणे q, Pearson निकषाचे सैद्धांतिक मूल्य निर्धारित करा.
9. तुलना करा c f 2सह c t 2.जर c 2 f< c 2 т , नंतर स्वीकारलेल्या आत्मविश्वास संभाव्यतेसाठी प्रायोगिक आणि सैद्धांतिक वितरणाच्या कराराबद्दल गृहितक स्वीकारले जाते, अन्यथा ते नाकारले जाते.
एक्सेलमध्ये, फंक्शन वापरून तपासणी केली जाते HI2TEST(अंजीर 22). HI2TESTχ 2 वितरणासाठी मूल्य परत करते चाचणीचा उपयोग एखाद्या प्रयोगाद्वारे गृहीतकाला समर्थन आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी केला जातो.
तांदूळ. 22. कार्य HI2TEST
HI2TEST(वास्तविक_मध्यांतर;अपेक्षित_मध्यांतर)
Actual_interval हा डेटाचा मध्यांतर आहे ज्यामध्ये अपेक्षित मूल्यांशी तुलना करायची निरीक्षणे असतात.
Expected_interval हा डेटा अंतराल आहे ज्यामध्ये पंक्ती आणि स्तंभाच्या एकूण उत्पादनांचे एकूण एकूण गुणोत्तर असते.
वास्तविक_मध्यांतर आणि अपेक्षित_अंतराला डेटा बिंदूंची संख्या भिन्न असल्यास, फंक्शन HI2TEST#N/A त्रुटी मूल्य मिळवते.
χ 2 चाचणी प्रथम सूत्र वापरून χ 2 आकडेवारीची गणना करते:
(45)
कुठे एक ij- मध्ये वास्तविक वारंवारता i-वी ओळ jवा स्तंभ
ई ij- i-th पंक्ती, j-th स्तंभात अपेक्षित वारंवारता
आर- ओळींची संख्या
c- स्तंभांची संख्या
χ 2 निकषाचे मूल्य हे स्वातंत्र्याचे सूचक आहे. सूत्रावरून पाहिल्याप्रमाणे, χ 2 हा निकष नेहमी सकारात्मक किंवा 0 च्या बरोबरीचा असतो, आणि नंतरचा निकष फक्त तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा A ij = E ijकोणत्याही मूल्यांसाठी i, j.
HI2TESTसंभाव्यता परत करते की, स्वातंत्र्य दिल्यास, χ 2 सांख्यिकीचे किमान मूल्य वरील सूत्रातून मिळालेले मूल्य मिळवता येते. या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, HI2TEST वितरण वापरते χ २स्वातंत्र्याच्या अंशांच्या संबंधित संख्येसह ( df). जर आर> 1, आणि c > 1, नंतर df= (आर- 1)(c- १). जर आर= 1, अ c> 1, नंतर df=c- 1 किंवा जर आर> १, अ c= 1, नंतर df= आर- 1. समानता, कुठे r = c= 1 ला अनुमती नाही, त्यामुळे त्रुटी संदेश #N/A दिसेल.
कार्य HI2TESTकाल्पनिक वितरण पूर्णपणे निर्दिष्ट केलेल्या प्रकरणांमध्ये वापरले जाऊ शकते, म्हणजे, केवळ काल्पनिक वितरण कायद्याचा प्रकार निर्दिष्ट केला जात नाही तर या कायद्याचे सर्व पॅरामीटर्स देखील. केवळ या प्रकरणात फंक्शन योग्यरित्या स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या परत करते.
चिडिस्ट(x;degrees_freedom) (आकृती 23) ची-स्क्वेअर वितरणाची एकतर्फी संभाव्यता मिळवते. χ 2 वितरण χ 2 चाचणीशी संबंधित आहे. अंदाजे आणि निरीक्षण केलेल्या मूल्यांची तुलना करण्यासाठी χ 2 चाचणी वापरली जाते. उदाहरणार्थ, अनुवांशिक प्रयोगात असे गृहित धरले जाते की पुढील पिढीतील वनस्पतींना विशिष्ट रंग असेल. अपेक्षित परिणामांसह निरीक्षण केलेल्या परिणामांची तुलना करून, मूळ गृहीतक बरोबर होते की नाही हे तुम्ही ठरवू शकता.
x हे मूल्य आहे ज्यासाठी तुम्हाला वितरणाची गणना करायची आहे.
डिग्री_स्वातंत्र्य - स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या.
तांदूळ. 23. कार्य चिडिस्ट
कोणतेही वितर्क संख्या नसल्यास, फंक्शन चिडिस्ट#VALUE! त्रुटी मूल्य मिळवते.
x ऋण असल्यास, फंक्शन चिडिस्ट
जर डिग्री_ऑफ_स्वातंत्र्य< 1 или степени_свободы >10^10, कार्य चिडिस्ट#NUM त्रुटी मूल्य परत करते.
चिडिस्टम्हणून गणना केली चिडिस्ट= P(X> x), जेथे x - χ 2 यादृच्छिक चल.
HI2OBR(संभाव्यता;डिग्री_स्वातंत्र्य) (आकृती 24) ची-स्क्वेअर वितरणाच्या एकतर्फी संभाव्यतेचा व्यस्तता मिळवते. संभाव्यता असल्यास = चिडिस्ट(x;...), नंतर HI2OBR(संभाव्यता;...) = x. हे फंक्शन तुम्हाला मूळ गृहीतक बरोबर आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी अपेक्षित परिणामांसह निरीक्षण केलेल्या परिणामांची तुलना करण्यास अनुमती देते.
संभाव्यता ही c2 (ची-स्क्वेअर) वितरणाशी संबंधित संभाव्यता आहे.
डिग्री_स्वातंत्र्य - स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या.
कोणतेही आर्ग्युमेंट संख्या नसल्यास, CH2INV #VALUE!
तांदूळ. 24. कार्य HI2OBR
संभाव्यता असल्यास< 0 или вероятность >1, कार्य HI2OBRत्रुटी मूल्य #NUM मिळवते!
डिग्री_स्वातंत्र्य युक्तिवादाचे मूल्य पूर्णांक नसल्यास, ते कापले जाते.
जर डिग्री_ऑफ_स्वातंत्र्य< 1 или степени_свободы ≥ 10^10, HI2OBRत्रुटी मूल्य #NUM मिळवते!
संभाव्यता मूल्य दिले असल्यास, फंक्शन HI2OBR x मूल्य शोधते ज्यासाठी फंक्शन आहे चिडिस्ट(x; degrees_of_freedom) = संभाव्यता. तथापि, कार्याची अचूकता HI2OBRअचूकतेवर अवलंबून आहे चिडिस्ट. कार्यात HI2OBRपुनरावृत्ती पद्धत शोधण्यासाठी वापरली जाते. जर 100 पुनरावृत्तीनंतर शोध संपला नाही, तर फंक्शन #N/A त्रुटी संदेश देईल.
मध्यांतराची रुंदी असेल:
Xmax हे एकूण समूहीकरण वैशिष्ट्याचे कमाल मूल्य आहे.
Xmin हे ग्रुपिंग वैशिष्ट्याचे किमान मूल्य आहे.
चला गटाच्या सीमा परिभाषित करूया.
| गट क्रमांक | कमी मर्यादा | वरची मर्यादा |
| 1 | 43 | 45.83 |
| 2 | 45.83 | 48.66 |
| 3 | 48.66 | 51.49 |
| 4 | 51.49 | 54.32 |
| 5 | 54.32 | 57.15 |
| 6 | 57.15 | 60 |
समान गुणधर्म मूल्य दोन समीप (मागील आणि त्यानंतरच्या) गटांच्या वरच्या आणि खालच्या सीमा म्हणून कार्य करते.
मालिकेच्या प्रत्येक मूल्यासाठी, आम्ही ते एका विशिष्ट अंतरामध्ये किती वेळा येते ते मोजतो. हे करण्यासाठी, आम्ही मालिका चढत्या क्रमाने लावतो.
| 43 | 43 - 45.83 | 1 |
| 48.5 | 45.83 - 48.66 | 1 |
| 49 | 48.66 - 51.49 | 1 |
| 49 | 48.66 - 51.49 | 2 |
| 49.5 | 48.66 - 51.49 | 3 |
| 50 | 48.66 - 51.49 | 4 |
| 50 | 48.66 - 51.49 | 5 |
| 50.5 | 48.66 - 51.49 | 6 |
| 51.5 | 51.49 - 54.32 | 1 |
| 51.5 | 51.49 - 54.32 | 2 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 3 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 4 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 5 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 6 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 7 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 8 |
| 52 | 51.49 - 54.32 | 9 |
| 52.5 | 51.49 - 54.32 | 10 |
| 52.5 | 51.49 - 54.32 | 11 |
| 53 | 51.49 - 54.32 | 12 |
| 53 | 51.49 - 54.32 | 13 |
| 53 | 51.49 - 54.32 | 14 |
| 53.5 | 51.49 - 54.32 | 15 |
| 54 | 51.49 - 54.32 | 16 |
| 54 | 51.49 - 54.32 | 17 |
| 54 | 51.49 - 54.32 | 18 |
| 54.5 | 54.32 - 57.15 | 1 |
| 54.5 | 54.32 - 57.15 | 2 |
| 55.5 | 54.32 - 57.15 | 3 |
| 57 | 54.32 - 57.15 | 4 |
| 57.5 | 57.15 - 59.98 | 1 |
| 57.5 | 57.15 - 59.98 | 2 |
| 58 | 57.15 - 59.98 | 3 |
| 58 | 57.15 - 59.98 | 4 |
| 58.5 | 57.15 - 59.98 | 5 |
| 60 | 57.15 - 59.98 | 6 |
आम्ही गटबद्ध परिणाम टेबलच्या स्वरूपात सादर करू:
| गट | संकलन क्र. | वारंवारता f i |
| 43 - 45.83 | 1 | 1 |
| 45.83 - 48.66 | 2 | 1 |
| 48.66 - 51.49 | 3,4,5,6,7,8 | 6 |
| 51.49 - 54.32 | 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26 | 18 |
| 54.32 - 57.15 | 27,28,29,30 | 4 |
| 57.15 - 59.98 | 31,32,33,34,35,36 | 6 |
निर्देशकांची गणना करण्यासाठी सारणी.
| गट | x i | प्रमाण, f i | x i * f i | संचित वारंवारता, एस | |x - x सरासरी |*f | (x - x सरासरी) 2 *f | वारंवारता, f i /n |
| 43 - 45.83 | 44.42 | 1 | 44.42 | 1 | 8.88 | 78.91 | 0.0278 |
| 45.83 - 48.66 | 47.25 | 1 | 47.25 | 2 | 6.05 | 36.64 | 0.0278 |
| 48.66 - 51.49 | 50.08 | 6 | 300.45 | 8 | 19.34 | 62.33 | 0.17 |
| 51.49 - 54.32 | 52.91 | 18 | 952.29 | 26 | 7.07 | 2.78 | 0.5 |
| 54.32 - 57.15 | 55.74 | 4 | 222.94 | 30 | 9.75 | 23.75 | 0.11 |
| 57.15 - 59.98 | 58.57 | 6 | 351.39 | 36 | 31.6 | 166.44 | 0.17 |
| 36 | 1918.73 | 82.7 | 370.86 | 1 |
वितरण मालिकेचे मूल्यांकन करण्यासाठी, आम्हाला खालील निर्देशक आढळतात:
वितरण केंद्र निर्देशक.
भारित सरासरी
फॅशन
दिलेल्या लोकसंख्येच्या एककांमध्ये मोड हे वैशिष्ट्याचे सर्वात सामान्य मूल्य आहे.
जेथे x 0 ही मोडल मध्यांतराची सुरुवात आहे; h - मध्यांतर मूल्य; f 2 - मोडल अंतरालशी संबंधित वारंवारता; f 1 - प्रीमोडल वारंवारता; f 3 - पोस्टमॉडल वारंवारता.
आम्ही मध्यांतराची सुरूवात म्हणून 51.49 निवडतो, कारण हे मध्यांतर सर्वात मोठ्या संख्येसाठी आहे.
मालिकेचे सर्वात सामान्य मूल्य 52.8 आहे
मध्यक
मध्यक नमुना दोन भागांमध्ये विभाजित करतो: अर्धा मध्यकापेक्षा कमी आहे, अर्धा जास्त आहे.
मध्यांतर वितरण शृंखलामध्ये, तुम्ही ताबडतोब फक्त मध्यांतर निर्दिष्ट करू शकता ज्यामध्ये मोड किंवा मध्यक स्थित असेल. मध्यक रँक केलेल्या मालिकेच्या मध्यभागी असलेल्या पर्यायाशी संबंधित आहे. मध्यांतर 51.49 - 54.32 आहे, कारण या मध्यांतरामध्ये, संचित वारंवारता S मध्य संख्येपेक्षा जास्त आहे (मध्यम हा पहिला मध्यांतर आहे ज्याची संचित वारंवारता S फ्रिक्वेन्सीच्या एकूण बेरजेच्या अर्ध्यापेक्षा जास्त आहे).
अशा प्रकारे, लोकसंख्येतील 50% युनिट्स 53.06 पेक्षा कमी तीव्रतेत असतील.
भिन्नता निर्देशक.
निरपेक्ष भिन्नता.
भिन्नतेची श्रेणी ही प्राथमिक मालिका वैशिष्ट्याच्या कमाल आणि किमान मूल्यांमधील फरक आहे.
R = X कमाल - X मि
R = 60 - 43 = 17
सरासरी रेखीय विचलन- अभ्यासाधीन लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्समधील फरक विचारात घेण्यासाठी गणना केली जाते.
मालिकेचे प्रत्येक मूल्य 2.3 पेक्षा जास्त वेगळे नसते
फैलाव- त्याच्या सरासरी मूल्याभोवती पसरण्याचे मोजमाप दर्शविते (पांगापांगाचे माप, म्हणजे सरासरीपासून विचलन).
निष्पक्ष भिन्नता अंदाजक- भिन्नतेचा सातत्यपूर्ण अंदाज.
मानक विचलन.
मालिकेचे प्रत्येक मूल्य 53.3 च्या सरासरी मूल्यापेक्षा 3.21 पेक्षा जास्त नाही
मानक विचलनाचा अंदाज.
सापेक्ष भिन्नता उपाय.
भिन्नतेच्या सापेक्ष निर्देशकांमध्ये हे समाविष्ट आहे: दोलनाचे गुणांक, भिन्नतेचे रेखीय गुणांक, सापेक्ष रेखीय विचलन.
भिन्नतेचे गुणांक- लोकसंख्येच्या मूल्यांच्या सापेक्ष विखुरण्याचे एक माप: या मूल्याच्या सरासरी मूल्याचे त्याचे सरासरी फैलाव किती प्रमाणात आहे हे दर्शविते.
v ≤ 30% असल्याने, लोकसंख्या एकसंध आहे आणि फरक कमकुवत आहे. प्राप्त परिणामांवर विश्वास ठेवला जाऊ शकतो.
भिन्नतेचा रेखीय गुणांककिंवा सापेक्ष रेखीय विचलन- सरासरी मूल्यापासून परिपूर्ण विचलनाच्या चिन्हाच्या सरासरी मूल्याचा वाटा दर्शवितो.
वितरणाच्या प्रकाराबद्दल परिकल्पना तपासणे.
1. X वर वितरित केलेले गृहीतक तपासूया सामान्य कायदा Pearson चांगुलपणा-ऑफ-फिट चाचणी वापरणे.
जेथे p i ही काल्पनिक कायद्यानुसार वितरीत केलेल्या यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या i-व्या अंतरामध्ये पडण्याची संभाव्यता आहे
p i संभाव्यता मोजण्यासाठी, आम्ही Laplace फंक्शनचे सूत्र आणि सारणी लागू करतो
कुठे
s = 3.21, xav = 53.3
सैद्धांतिक (अपेक्षित) वारंवारता n i = np i आहे, जेथे n = 36
| गटबद्ध अंतराल | निरीक्षण वारंवारता n i | x 1 = (x i - x avg)/s | x 2 = (x i+1 - x av)/s | F(x 1) | F(x 2) | i-th मध्यांतरात जाण्याची संभाव्यता, p i = Ф(x 2) - Ф(x 1) | अपेक्षित वारंवारता, 36p i | पीअरसन सांख्यिकी अटी, K i |
| 43 - 45.83 | 1 | -3.16 | -2.29 | -0.5 | -0.49 | 0.01 | 0.36 | 1.14 |
| 45.83 - 48.66 | 1 | -2.29 | -1.42 | -0.49 | -0.42 | 0.0657 | 2.37 | 0.79 |
| 48.66 - 51.49 | 6 | -1.42 | -0.56 | -0.42 | -0.21 | 0.21 | 7.61 | 0.34 |
| 51.49 - 54.32 | 18 | -0.56 | 0.31 | -0.21 | 0.13 | 0.34 | 12.16 | 2.8 |
| 54.32 - 57.15 | 4 | 0.31 | 1.18 | 0.13 | 0.38 | 0.26 | 9.27 | 3 |
| 57.15 - 59.98 | 6 | 1.18 | 2.06 | 0.38 | 0.48 | 0.0973 | 3.5 | 1.78 |
| 36 | 9.84 |
चला गंभीर प्रदेशाची सीमा निश्चित करूया. Pearson सांख्यिकी अनुभवजन्य आणि सैद्धांतिक वितरणामधील फरक मोजत असल्याने, त्याचे निरीक्षण केलेले मूल्य K obs जितके मोठे असेल तितके मुख्य गृहितकाविरुद्धचा युक्तिवाद अधिक मजबूत होईल.
म्हणून, या आकडेवारीसाठी गंभीर क्षेत्र नेहमी उजव्या हाताने असतो :)
