कॅल्क्युलेटर रशियन भाषेत आणि विनामूल्य DETAIL मध्ये क्रियांच्या वर्णनासह इंटिग्रल्स सोडवतो!

अनिश्चित अखंड सोडवणे

मध्ये ही ऑनलाइन सेवा आहे एक पाऊल:

निश्चित इंटिग्रल्स सोडवणे

मध्ये ही ऑनलाइन सेवा आहे एक पाऊल:

• इंटिग्रँड एक्सप्रेशन एंटर करा (इंटग्रल फंक्शन)
• इंटिग्रलसाठी कमी मर्यादा एंटर करा
• इंटिग्रलसाठी वरची मर्यादा एंटर करा

दुहेरी अविभाज्य सोडवणे

• इंटिग्रँड एक्सप्रेशन एंटर करा (इंटग्रल फंक्शन)

अयोग्य इंटिग्रल्स सोडवणे

• इंटिग्रँड एक्सप्रेशन एंटर करा (इंटग्रल फंक्शन)
• एकत्रीकरणाचा वरचा प्रदेश प्रविष्ट करा (किंवा + अनंत)
• एकत्रीकरणाचा खालचा प्रदेश (किंवा - अनंत) प्रविष्ट करा

येथे जा: ऑनलाइन सेवा "इम्पोप्रायटरी इंटिग्रल" →

तिहेरी अखंड सोडवणे

• इंटिग्रँड एक्सप्रेशन एंटर करा (इंटग्रल फंक्शन)
• प्रथम एकत्रीकरण क्षेत्रासाठी खालच्या आणि वरच्या मर्यादा प्रविष्ट करा
• दुसऱ्या एकत्रीकरण क्षेत्रासाठी खालची आणि वरची मर्यादा एंटर करा
• एकत्रीकरणाच्या तिसऱ्या क्षेत्रासाठी खालची आणि वरची मर्यादा एंटर करा

येथे जा: ऑनलाइन सेवा "ट्रिपल इंटिग्रल" →

ही सेवा तुम्हाला तुमची तपासणी करण्याची परवानगी देते गणनाअचूकतेसाठी

शक्यता

• सर्व संभाव्य गणितीय कार्यांना समर्थन देते: साइन, कोसाइन, घातांक, स्पर्शिका, कोटँजेंट, चौरस आणि घनमूळ, शक्ती, घातांक आणि इतर.
• इनपुटसाठी उदाहरणे आहेत, दोन्ही अनिश्चित पूर्णांकांसाठी आणि अयोग्य आणि निश्चित साठी.
• तुम्ही प्रविष्ट केलेल्या अभिव्यक्तींमधील त्रुटी सुधारते आणि इनपुटसाठी तुमचे स्वतःचे पर्याय ऑफर करते.
• निश्चित आणि अयोग्य अविभाज्यांसाठी संख्यात्मक समाधान (दुहेरी आणि तिहेरी पूर्णांकांसह).
• जटिल संख्यांसाठी समर्थन, तसेच विविध पॅरामीटर्स (तुम्ही इंटिग्रँड एक्सप्रेशनमध्ये केवळ इंटिग्रेशन व्हेरिएबलच नव्हे तर इतर पॅरामीटर व्हेरिएबल्स देखील निर्दिष्ट करू शकता)

अंतर्गत तर्कहीनएक अभिव्यक्ती समजून घ्या ज्यामध्ये स्वतंत्र चल %%x%% किंवा बहुपदी %%P_n(x)%% पदवी %%n \in \mathbb(N)%% चिन्हाखाली समाविष्ट आहे मूलगामी(लॅटिनमधून मूलांक- रूट), म्हणजे फ्रॅक्शनल पॉवरमध्ये वाढवले. व्हेरिएबल बदलून, %%x%% च्या संदर्भात अपरिमेय असलेल्या इंटिग्रँड्सचे काही वर्ग नवीन व्हेरिएबलच्या संदर्भात तर्कसंगत अभिव्यक्तींमध्ये कमी केले जाऊ शकतात.

एका व्हेरिएबलच्या तर्कसंगत कार्याची संकल्पना अनेक वितर्कांपर्यंत विस्तारित केली जाऊ शकते. जर प्रत्येक वितर्कासाठी %%u, v, \dotsc, w%% फंक्शनचे मूल्य मोजताना, फक्त अंकगणित ऑपरेशन्स आणि पूर्णांक पॉवर वाढवल्या गेल्या असतील, तर आपण या वितर्कांच्या तर्कसंगत कार्याबद्दल बोलतो, जे सामान्यतः %%R(u, v, \ dotsc, w)%% सूचित केले आहे. अशा फंक्शनचे आर्ग्युमेंट हे स्वतंत्र व्हेरिएबल %%x%% चे फंक्शन्स असू शकतात, ज्यामध्ये %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% फॉर्मचा समावेश होतो. उदाहरणार्थ, परिमेय फंक्शन $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ सह %%u = x, v = \sqrt(x)%% आणि %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% हे $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) चे परिमेय कार्य आहे. \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ पासून %%x%% आणि रॅडिकल्स %%\sqrt(x)%% आणि %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, तर फंक्शन %%f(x)%% हे एका स्वतंत्र व्हेरिएबल %%x%% चे अपरिमेय (बीजगणितीय) कार्य असेल.

चला %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे अविभाज्य विचार करू. अशा पूर्णांकांना %%t = \sqrt[n](x)%%, नंतर %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% बदलून तर्कसंगत केले जाते.

उदाहरण १

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% शोधा.

इच्छित युक्तिवादाचे इंटिग्रँड %%2%% आणि %%3%% च्या रॅडिकल्सचे कार्य म्हणून लिहिलेले आहे. %%2%% आणि %%3%% चा किमान सामान्य गुणक %%6%% असल्याने, हा अविभाज्य %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) प्रकाराचा अविभाज्य आहे. x %% आणि %%\sqrt(x) = t%% बदलून तर्कसंगत केले जाऊ शकते. नंतर %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. म्हणून, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ चला %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% आणि $$ \begin(array)( घेऊ. ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(ॲरे) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे इंटिग्रल्स हे फ्रॅक्शनल रेखीय अपरिमेयतेचे एक विशेष प्रकरण आहेत, उदा. फॉर्मचे इंटिग्रल्स %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, जेथे %% ad - bc \neq 0%%, जे व्हेरिएबल %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, नंतर %%x = \dfrac बदलून तर्कसंगत केले जाऊ शकते (dt^n - b)(a - ct^n)%%. नंतर $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

उदाहरण २

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% शोधा.

चला %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% घेऊ, नंतर %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(ॲरे) $$ म्हणून, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(ॲरे) $$

चला %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे अविभाज्य विचार करू. सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, संपूर्ण वर्ग वेगळे केल्यानंतर, चलांमध्ये बदल केल्यास, अशा अविभाज्यांना सारणीमध्ये कमी केले जाते.

उदाहरण ३

अविभाज्य %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% शोधा.

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% लक्षात घेता, आपण %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% घेतो, नंतर $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(ॲरे) $$

अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये, %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे पूर्णांक शोधण्यासाठी वापरले जातात

तर्कहीन समीकरणे सोडवण्याचा कोणताही सार्वत्रिक मार्ग नाही, कारण त्यांचे वर्ग परिमाणानुसार भिन्न आहेत. लेख एकत्रीकरण पद्धतीचा वापर करून प्रतिस्थापनासह वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणे हायलाइट करेल.

थेट एकीकरण पद्धत वापरण्यासाठी, ∫ k x + b p d x प्रकारातील अनिश्चित पूर्णांकांची गणना करणे आवश्यक आहे, जेथे p हा परिमेय अपूर्णांक आहे, k आणि b हे वास्तविक गुणांक आहेत.

उदाहरण १

y = 1 3 x - 1 3 फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधा आणि मोजा.

उपाय

एकत्रीकरणाच्या नियमानुसार, ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C हे सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे आणि अँटीडेरिव्हेटिव्हचे सारणी सूचित करते की या कार्यासाठी तयार उपाय आहे. . आम्हाला ते मिळते

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) २ ३ + से

उत्तर:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा विभेदक चिन्ह समाविष्ट करण्याची पद्धत वापरणे शक्य आहे. p चे मूल्य परिमेय अपूर्णांक मानले जाते तेव्हा ∫ f " (x) · (f (x)) p d x फॉर्मचे अनिश्चित पूर्णांक शोधण्याच्या तत्त्वाद्वारे याचे निराकरण होते.

उदाहरण २

अनिश्चित पूर्णांक ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x शोधा.

उपाय

लक्षात घ्या की d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. नंतर अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या तक्त्यांचा वापर करून विभेदक चिन्ह समाविष्ट करणे आवश्यक आहे. आम्हाला ते प्राप्त होते.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

उत्तर:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

अनिश्चित पूर्णांक सोडवण्यामध्ये ∫ d x x 2 + p x + q या स्वरूपाचे सूत्र समाविष्ट असते, जेथे p आणि q हे वास्तविक गुणांक असतात. मग तुम्हाला रूटच्या खाली एक पूर्ण चौरस निवडण्याची आवश्यकता आहे. आम्हाला ते मिळते

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

अनिश्चित पूर्णांकांच्या तक्त्यामध्ये असलेले सूत्र लागू करून, आम्हाला मिळते:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

मग अविभाज्य गणना केली जाते:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

उदाहरण ३

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 फॉर्मचे अनिश्चित पूर्णांक शोधा.

उपाय

गणना करण्यासाठी, आपल्याला 2 क्रमांक काढण्याची आणि त्यास रॅडिकलच्या समोर ठेवण्याची आवश्यकता आहे:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

मूलगामी अभिव्यक्तीमध्ये पूर्ण वर्ग निवडा. आम्हाला ते मिळते

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

मग आपल्याला 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - फॉर्मचा एक अनिश्चित पूर्णांक प्राप्त होतो. 1 2 + से

उत्तर: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

अतार्किक कार्यांचे एकत्रीकरण त्याच प्रकारे केले जाते. y = 1 - x 2 + p x + q या फॉर्मच्या कार्यांसाठी लागू.

उदाहरण ४

अनिश्चित पूर्णांक ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 शोधा.

उपाय

प्रथम तुम्हाला मूळच्या खालून अभिव्यक्तीच्या भाजकाचा वर्ग काढण्याची आवश्यकता आहे.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

अविभाज्य तक्त्याला ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C असे स्वरूप आहे, नंतर आपल्याला प्राप्त होईल की ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - २ ३ + से

उत्तर:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

y = M x + N x 2 + p x + q या फॉर्मची अँटीडेरिव्हेटिव्ह अपरिमेय फंक्शन्स शोधण्याची प्रक्रिया, जेथे विद्यमान M, N, p, q हे वास्तविक गुणांक आहेत आणि तिसऱ्या प्रकारच्या साध्या अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणासारखे आहेत. . या परिवर्तनाचे अनेक टप्पे आहेत:

टॅब्युलर सूत्रांचा वापर करून, रूट अंतर्गत अभिव्यक्तीचे संपूर्ण वर्ग वेगळे करणे, रूट अंतर्गत भिन्नता एकत्रित करणे.

उदाहरण ५

y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 या फंक्शनचे अँटिडेरिव्हेटिव्ह शोधा.

उपाय

स्थितीवरून आपल्याकडे d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x आणि x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, नंतर (x + 2) d x = 1 आहे. 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

चला अविभाज्य गणना करूया: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

उत्तर:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

∫ x m (a + b x n) p d x फंक्शनच्या अनिश्चित पूर्णांकांचा शोध प्रतिस्थापन पद्धती वापरून केला जातो.

निराकरण करण्यासाठी नवीन व्हेरिएबल्स सादर करणे आवश्यक आहे:

1. जेव्हा p पूर्णांक असतो, तेव्हा x = z N मानला जातो आणि N हा m, n चा सामान्य भाजक असतो.
2. जेव्हा m + 1 n हा पूर्णांक असतो, तेव्हा a + b x n = z N, आणि N हा p चा भाजक असतो.
3. जेव्हा m + 1 n + p हा पूर्णांक असतो, तेव्हा व्हेरिएबल a x - n + b = z N आवश्यक असते आणि N हा p या संख्येचा भाजक असतो.

उदाहरण 6

निश्चित अविभाज्य ∫ 1 x 2 x - 9 d x शोधा.

उपाय

आपल्याला मिळते ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . ते खालीलप्रमाणे m = - 1, n = 1, p = - 1 2, नंतर m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 पूर्णांक आहे. तुम्ही फॉर्मचे नवीन व्हेरिएबल सादर करू शकता - 9 + 2 x = z 2. x ला z च्या संदर्भात व्यक्त करणे आवश्यक आहे. आउटपुट म्हणून आपल्याला ते मिळते

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

दिलेल्या इंटिग्रलमध्ये प्रतिस्थापन करणे आवश्यक आहे. आमच्याकडे ते आहे

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

उत्तर:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

अतार्किक समीकरणांचे निराकरण सुलभ करण्यासाठी, मूलभूत एकीकरण पद्धती वापरल्या जातात.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

चला आपली आनंदी शालेय वर्षे लक्षात ठेवूया. गणिताच्या धड्यांमधील पायनियर, मुळांचा अभ्यास सुरू करताना, सर्वप्रथम वर्गमूळाशी परिचित झाले. आम्ही त्याच मार्गाने जाऊ.

उदाहरण १

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

इंटिग्रँडचे विश्लेषण करताना, आपण दुःखद निष्कर्षापर्यंत पोहोचलात की ते टेबल इंटिग्रल्ससारखे अजिबात नाही. आता, जर ही सर्व सामग्री अंशात असेल तर ते सोपे होईल. किंवा खाली रूट नसेल. किंवा बहुपदी. काहीही नाही अपूर्णांक एकत्रीकरण पद्धतीतेही मदत करत नाहीत. काय करावे?

अपरिमेय अविभाज्य सोडवण्याचे मुख्य तंत्र म्हणजे व्हेरिएबल बदलणे, जे आपल्याला इंटिग्रँडमधील सर्व मुळांपासून मुक्त करेल.

लक्षात घ्या की ही बदली थोडी विचित्र आहे; त्याची तांत्रिक अंमलबजावणी "शास्त्रीय" बदलण्याच्या पद्धतीपेक्षा वेगळी आहे, ज्याची धड्यात चर्चा केली होती अनिश्चित अविभाज्य मध्ये प्रतिस्थापन पद्धत.

या उदाहरणात, आपल्याला पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे x = t 2, म्हणजेच रूट अंतर्गत "X" ऐवजी आपल्याकडे असेल t 2. बदली कशासाठी? कारण, आणि बदलण्याच्या परिणामी, रूट अदृश्य होईल.

वर्गमूळ ऐवजी जर आपल्या समाकलनामध्ये असते, तर आपण प्रतिस्थापन केले असते. ती असती तर त्यांनी ती पार पाडली असती वगैरे.

ठीक आहे, आम्ही मध्ये बदलू. बहुपदीचे काय होते? कोणत्याही अडचणी नाहीत: जर, तर .

या फरकाचे काय रूपांतर होणार हे पाहणे बाकी आहे. हे असे केले जाते:

आम्ही आमची बदली घेतो आणि आम्ही दोन्ही भागांवर भिन्नता लटकवतो:

(आम्ही शक्य तितक्या तपशीलवार वर्णन करू).

सोल्यूशनचे स्वरूप असे काहीतरी दिसले पाहिजे:

.

चला बदलू: .

.

(1) आम्ही बदलीनंतर बदली करतो (कसे, काय आणि कोठे आधीच विचार केला गेला आहे).

(२) आपण स्थिरांक अखंडाच्या बाहेर घेतो. ने अंश आणि भाजक कमी केले आहेत t.

(3) परिणामी अविभाज्य सारणी आहे; आम्ही चौरस निवडून एकत्रीकरणासाठी तयार करतो.

(4) सूत्र वापरून टेबलवर एकत्र करा

.

(5) आम्ही रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करतो. हे कसे केले जाते? आम्ही का नाचलो ते आम्हाला आठवते: जर, तर.

उदाहरण २

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

कसे तरी असे दिसून आले की उदाहरणे 1, 2 मध्ये एकाकी भिन्नता असलेला "बेअर" अंश आहे. चला परिस्थिती दुरुस्त करूया.

उदाहरण ३

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

इंटिग्रँडचे प्राथमिक विश्लेषण पुन्हा दर्शविते की कोणताही सोपा मार्ग नाही. आणि म्हणून आपल्याला रूटपासून मुक्त होणे आवश्यक आहे.

चला बदलूया: .

साठी आम्ही रूट अंतर्गत संपूर्ण अभिव्यक्ती दर्शवतो. मागील उदाहरणांमधून बदलणे येथे योग्य नाही (अधिक तंतोतंत, ते केले जाऊ शकते, परंतु ते रूटपासून मुक्त होणार नाही).

आम्ही दोन्ही भागांवर भिन्नता लटकवतो:

आम्ही अंकांची क्रमवारी लावली आहे. डिनोमिनेटरमध्ये काय करावे?

आम्ही आमची बदली घेतो आणि त्यातून व्यक्त करतो: .

जर, तर.

(1) आम्ही केलेल्या प्रतिस्थापनानुसार बदली करतो.

(२) अंशाला कंघी करा. येथे मी अविभाज्य चिन्हातून स्थिरांक न घेण्याचे निवडले आहे (तुम्ही हे अशा प्रकारे करू शकता, ही चूक होणार नाही)

(३) आपण अंशाचा बेरीज मध्ये विस्तार करतो. पुन्हा एकदा, आम्ही जोरदार शिफारस करतो की तुम्ही धड्याचा पहिला परिच्छेद वाचा काही अपूर्णांक एकत्र करणे. या तंत्राचा सराव करणे फार महत्वाचे आहे

(4) अंशाला पदानुसार भाजक पदाने भागा.

(५) आम्ही अनिश्चित पूर्णांकाचे रेखीय गुणधर्म वापरतो. दुसऱ्या इंटिग्रलमध्ये आम्ही टेबलनुसार त्यानंतरच्या इंटिग्रेशनसाठी एक स्क्वेअर निवडतो.

(6) आम्ही टेबलनुसार एकत्रित करतो. पहिला अविभाज्य अगदी सोपा आहे, दुसऱ्यामध्ये आपण उच्च लॉगरिथमचे सारणी सूत्र वापरतो .

(७) आम्ही रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करतो. जर आम्ही बदली केली तर, परत: .

उदाहरण ४

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी एक उदाहरण आहे जे तुम्ही आधीच्या उदाहरणांवरून काळजीपूर्वक काम केले नाही तर तुम्ही चूक कराल! धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

तत्त्वानुसार, अनेकांसह अविभाज्य एकसारखेमुळे, उदाहरणार्थ

इ. इंटिग्रँडची मुळे असल्यास काय करावे भिन्न?

उदाहरण ५

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

येथे बेअर अंकांचा हिशेब येतो. जेव्हा असा अविभाज्य सामना केला जातो, तेव्हा ते सहसा भयानक होते. पण भीती व्यर्थ आहे एक योग्य बदली केल्यानंतर, integrand सोपे होते. कार्य खालीलप्रमाणे आहे: सर्व मुळांपासून त्वरित मुक्त होण्यासाठी यशस्वी पुनर्स्थित करणे.

वेगवेगळ्या मुळे दिल्यास, विशिष्ट उपाय योजनेचे पालन करणे सोयीचे असते.

प्रथम, आम्ही मसुद्यावर इंटिग्रँड फंक्शन लिहितो आणि सर्व मुळे फॉर्ममध्ये सादर करतो:

आम्हाला स्वारस्य असेल भाजकअंश:

कॉम्प्लेक्स इंटिग्रल्स

हा लेख अनिश्चित अविभाज्यांचा विषय संपवतो आणि त्यात अविभाज्य घटकांचा समावेश होतो जे मला खूप गुंतागुंतीचे वाटतात. साइटवर अधिक कठीण उदाहरणांचे विश्लेषण करण्याची इच्छा व्यक्त करणाऱ्या अभ्यागतांच्या वारंवार केलेल्या विनंतीनुसार हा धडा तयार करण्यात आला.

असे गृहीत धरले जाते की या मजकूराचा वाचक चांगला तयार आहे आणि त्याला मूलभूत एकत्रीकरण तंत्र कसे लागू करावे हे माहित आहे. डमी आणि लोक ज्यांना इंटिग्रल्समध्ये फारसा विश्वास नाही त्यांनी पहिल्या धड्याचा संदर्भ घ्यावा - अनिश्चित अविभाज्य. उपायांची उदाहरणे, जिथे तुम्ही अगदी सुरवातीपासून विषयावर प्रभुत्व मिळवू शकता. अधिक अनुभवी विद्यार्थी माझ्या लेखांमध्ये अद्याप आढळलेल्या तंत्र आणि एकीकरणाच्या पद्धतींशी परिचित होऊ शकतात.

कोणत्या अविभाज्य घटकांचा विचार केला जाईल?

प्रथम आपण मुळांसह अविभाज्यांचा विचार करू, ज्याच्या सोल्यूशनसाठी आपण क्रमशः वापरतो व्हेरिएबल बदलणेआणि भागांद्वारे एकत्रीकरण. म्हणजेच, एका उदाहरणात दोन तंत्र एकाच वेळी एकत्र केले जातात. आणि आणखी.

मग आम्ही मनोरंजक आणि मूळ परिचित होऊ अविभाज्य स्वतःला कमी करण्याची पद्धत. अशा प्रकारे काही इंटिग्रल्स सोडवले जातात.

कार्यक्रमाचा तिसरा अंक जटिल अपूर्णांकांचा अविभाज्य भाग असेल, जो मागील लेखांमध्ये कॅश डेस्कच्या मागे गेला होता.

चौथे, त्रिकोणमितीय फंक्शन्समधील अतिरिक्त इंटिग्रल्सचे विश्लेषण केले जाईल. विशेषतः, अशा पद्धती आहेत ज्या वेळ घेणारे सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन टाळतात.

(२) इंटिग्रँड फंक्शनमध्ये, आपण अंशाला पदानुसार भाजक पदाने भागतो.

(3) आम्ही अनिश्चित पूर्णांकाचा रेखीय गुणधर्म वापरतो. शेवटच्या अविभाज्य मध्ये लगेच फंक्शन विभेदक चिन्हाखाली ठेवा.

(4) आम्ही उर्वरित अविभाज्य भाग घेतो. लक्षात घ्या की लॉगरिथममध्ये तुम्ही मॉड्यूलसऐवजी कंस वापरू शकता, पासून.

(५) आम्ही थेट प्रतिस्थापनातून “te” व्यक्त करून उलट बदल करतो:

Masochistic विद्यार्थी उत्तर वेगळे करू शकतात आणि मूळ इंटिग्रँड मिळवू शकतात, जसे मी आत्ताच केले. नाही, नाही, मी योग्य अर्थाने तपासणी केली =)

तुम्ही बघू शकता, सोल्यूशन दरम्यान आम्हाला दोनपेक्षा जास्त उपाय पद्धती वापराव्या लागल्या, त्यामुळे अशा अविभाज्य घटकांना सामोरे जाण्यासाठी तुम्हाला आत्मविश्वासपूर्ण एकत्रीकरण कौशल्ये आणि थोडा अनुभव आवश्यक आहे.

सराव मध्ये, वर्गमूळ अधिक सामान्य आहे ते स्वतः सोडवण्यासाठी येथे तीन उदाहरणे आहेत:

उदाहरण २

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उदाहरण ३

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उदाहरण ४

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

ही उदाहरणे एकाच प्रकारची आहेत, त्यामुळे लेखाच्या शेवटी पूर्ण समाधान फक्त उदाहरण 2 साठी असेल; निर्णयाच्या सुरुवातीला कोणते बदली वापरायचे, मला वाटते, हे स्पष्ट आहे. मी त्याच प्रकारची उदाहरणे का निवडली? अनेकदा त्यांच्या भूमिकेत सापडतात. अधिक वेळा, कदाचित, फक्त सारखे काहीतरी .

परंतु नेहमीच नाही, जेव्हा आर्कटँजेंट, साइन, कोसाइन, घातांक आणि इतर फंक्शन्स अंतर्गत रेखीय फंक्शनचे मूळ असते, तेव्हा तुम्हाला एकाच वेळी अनेक पद्धती वापराव्या लागतील. बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, "सहज उतरणे" शक्य आहे, म्हणजे, बदलीनंतर लगेचच, एक साधा अविभाज्य प्राप्त केला जातो, जो सहजपणे घेतला जाऊ शकतो. वर प्रस्तावित केलेल्या कार्यांपैकी सर्वात सोपी उदाहरण 4 आहे, ज्यामध्ये, बदलीनंतर, तुलनेने साधे अविभाज्य प्राप्त केले जाते.

स्वतःला अभिन्न कमी करून

एक मजेदार आणि सुंदर पद्धत. चला शैलीच्या क्लासिक्सवर एक नजर टाकूया:

उदाहरण ५

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

मुळाच्या खाली एक द्विपदी आहे आणि हे उदाहरण एकत्रित करण्याचा प्रयत्न केल्याने चहाच्या भांड्याला तासन्तास डोकेदुखी होऊ शकते. अशा अविभाज्य भागांमध्ये घेतले जाते आणि स्वतःच कमी केले जाते. तत्वतः, हे कठीण नाही. आपण कसे माहित असल्यास.

लॅटिन अक्षराने विचाराधीन अविभाज्यता दर्शवू आणि उपाय सुरू करू:

चला भागांनुसार समाकलित करू:

(1) टर्म-दर-टर्म विभाजनासाठी इंटिग्रँड फंक्शन तयार करा.

(2) आम्ही इंटिग्रँड फंक्शन टर्मला टर्मनुसार विभाजित करतो. हे प्रत्येकासाठी स्पष्ट होणार नाही, परंतु मी त्याचे अधिक तपशीलवार वर्णन करेन:

(3) आम्ही अनिश्चित पूर्णांकाचा रेखीय गुणधर्म वापरतो.

(4) शेवटचा अविभाज्य (“लांब” लॉगरिदम) घ्या.

आता सोल्यूशनच्या अगदी सुरुवातीस पाहूया:

आणि शेवटी:

काय झालं? आमच्या हाताळणीचा परिणाम म्हणून, अविभाज्य स्वतःच कमी झाले!

चला सुरुवात आणि शेवटची समानता करूया:

चिन्हाच्या बदलासह डावीकडे जा:

आणि आम्ही दोघांना उजव्या बाजूला हलवतो. परिणामी:

स्थिर, काटेकोरपणे सांगायचे तर, आधी जोडले पाहिजे होते, परंतु मी ते शेवटी जोडले. मी येथे कठोरता काय आहे ते वाचण्याची जोरदार शिफारस करतो:

टीप: अधिक काटेकोरपणे, सोल्यूशनचा अंतिम टप्पा यासारखा दिसतो:

अशा प्रकारे:

द्वारे स्थिरांक पुन्हा नियुक्त केला जाऊ शकतो. त्याची पुनर्रचना का केली जाऊ शकते? कारण तो अजूनही स्वीकारतो कोणतेहीमूल्ये, आणि या अर्थाने स्थिरांक आणि मध्ये फरक नाही.
परिणामी:

सतत रीनोटेशनसह एक समान युक्ती मोठ्या प्रमाणात वापरली जाते भिन्न समीकरणे. आणि तिथे मी कडक राहीन. आणि येथे मी अशा स्वातंत्र्यास परवानगी देतो की तुम्हाला अनावश्यक गोष्टींमध्ये गोंधळात टाकू नये आणि एकत्रीकरण पद्धतीवरच लक्ष केंद्रित करावे.

उदाहरण 6

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

स्वतंत्र सोल्यूशनसाठी आणखी एक वैशिष्ट्यपूर्ण अविभाज्य. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर. आधीच्या उदाहरणातील उत्तरात फरक असेल!

जर वर्गमूळाखाली एक वर्ग त्रिपद असेल, तर कोणत्याही परिस्थितीत समाधान दोन विश्लेषण केलेल्या उदाहरणांवर येते.

उदाहरणार्थ, अविभाज्य विचार करा . तुम्हाला सर्व प्रथम करणे आवश्यक आहे पूर्ण चौरस निवडा:
.
पुढे, एक रेखीय बदली केली जाते, जी "कोणत्याही परिणामांशिवाय" करते:
, परिणामी अविभाज्य बनते. काहीतरी परिचित, बरोबर?

किंवा हे उदाहरण, द्विपदी द्विपदासह:
पूर्ण चौरस निवडा:
आणि, रेखीय बदलीनंतर, आम्ही अविभाज्य प्राप्त करतो, जे आधीच चर्चा केलेल्या अल्गोरिदम वापरून देखील सोडवले जाते.

स्वतःचे अविभाज्य कसे कमी करायचे याचे आणखी दोन वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरणे पाहू या:
- साइनने गुणाकार केलेल्या घातांकाचा अविभाज्य भाग;
- कोसाइनने गुणाकार केलेल्या घातांकाचा अविभाज्य भाग.

भागांनुसार सूचीबद्ध अविभाज्यांमध्ये तुम्हाला दोनदा समाकलित करावे लागेल:

उदाहरण 7

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

इंटिग्रँड हा साइनने गुणाकार केलेला घातांक असतो.

आम्ही भागांद्वारे दोनदा समाकलित करतो आणि अविभाज्य स्वतःमध्ये कमी करतो:

भागांद्वारे दुहेरी एकत्रीकरणाच्या परिणामी, अविभाज्य स्वतःमध्ये कमी केले गेले. आम्ही सोल्यूशनची सुरुवात आणि शेवट समान करतो:

आम्ही त्यास चिन्हाच्या बदलासह डाव्या बाजूला हलवतो आणि आमचे अविभाज्य अभिव्यक्त करतो:

तयार. त्याच वेळी, उजव्या बाजूला कंघी करणे उचित आहे, म्हणजे. कंसातून घातांक काढा आणि साइन आणि कोसाइन कंसात “सुंदर” क्रमाने ठेवा.

आता उदाहरणाच्या सुरुवातीला किंवा अधिक तंतोतंत, भागांद्वारे एकत्रीकरणाकडे परत जाऊ या:

आम्ही घातांक म्हणून नियुक्त केले. प्रश्न उद्भवतो: हा घातांक नेहमी द्वारे दर्शविला जावा का? आवश्यक नाही. खरं तर, अविभाज्य मानले जाते मूलभूतपणे काही फरक पडत नाही, आम्हाला काय म्हणायचे आहे, आम्ही दुसरीकडे जाऊ शकलो असतो:

हे का शक्य आहे? कारण घातांक स्वतःमध्ये बदलतात (दोन्ही भिन्नता आणि एकीकरण दरम्यान), साइन आणि कोसाइन एकमेकांमध्ये बदलतात (पुन्हा, भिन्नता आणि एकत्रीकरण दरम्यान).

म्हणजेच, आपण त्रिकोणमितीय कार्य देखील दर्शवू शकतो. परंतु, विचारात घेतलेल्या उदाहरणामध्ये, हे कमी तर्कसंगत आहे, कारण अपूर्णांक दिसून येतील. तुमची इच्छा असल्यास, तुम्ही दुसरी पद्धत वापरून हे उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करू शकता उत्तरे जुळली पाहिजेत;

उदाहरण 8

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. तुम्ही ठरविण्यापूर्वी, घातांक किंवा त्रिकोणमितीय कार्य म्हणून नियुक्त करणे या प्रकरणात अधिक फायदेशीर काय आहे याचा विचार करा? धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

आणि, अर्थातच, हे विसरू नका की या धड्यातील बहुतेक उत्तरे भिन्नतेनुसार तपासणे अगदी सोपे आहे!

विचारात घेतलेली उदाहरणे सर्वात जटिल नव्हती. व्यवहारात, अविभाज्य अधिक सामान्य असतात जेथे स्थिरांक घातांक आणि त्रिकोणमितीय कार्याच्या युक्तिवादात दोन्ही असतो, उदाहरणार्थ: . अशा अविभाज्यतेमध्ये बरेच लोक गोंधळून जातील आणि मी स्वतःही गोंधळून जातो. वस्तुस्थिती अशी आहे की सोल्युशनमध्ये अपूर्णांक दिसण्याची उच्च संभाव्यता आहे आणि निष्काळजीपणामुळे काहीतरी गमावणे खूप सोपे आहे. याव्यतिरिक्त, चिन्हांमध्ये त्रुटीची उच्च संभाव्यता आहे हे लक्षात घ्या की घातांकात वजा चिन्ह आहे आणि यामुळे अतिरिक्त अडचण येते.

अंतिम टप्प्यावर, परिणाम सहसा असे काहीतरी असतो:

समाधानाच्या शेवटी, आपण अत्यंत सावधगिरी बाळगली पाहिजे आणि अपूर्णांक योग्यरित्या समजून घ्या:

जटिल अपूर्णांक एकत्रित करणे

आपण हळूहळू धड्याच्या विषुववृत्ताजवळ येत आहोत आणि अपूर्णांकांच्या अविभाज्य घटकांचा विचार करू लागतो. पुन्हा, ते सर्वच सुपर कॉम्प्लेक्स नाहीत, हे फक्त एक किंवा दुसर्या कारणास्तव इतर लेखांमध्ये उदाहरणे थोडे "विषय बंद" होती.

मुळे च्या थीम चालू

उदाहरण ९

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

मूळच्या खाली असलेल्या भाजकामध्ये मूळच्या बाहेरील “X” च्या रूपात द्विघात त्रिपदी अधिक एक “अपेंडेज” आहे. मानक प्रतिस्थापन वापरून या प्रकारच्या अविभाज्यतेचे निराकरण केले जाऊ शकते.

आम्ही ठरवतो:

येथे बदली सोपे आहे:

बदलीनंतरचे जीवन पाहूया:

(1) प्रतिस्थापनानंतर, आम्ही मूळच्या अंतर्गत संज्ञा कमी करून सामान्य भाजक बनवतो.
(२) आपण ते मुळाखालून काढतो.
(3) अंश आणि भाजक द्वारे कमी केले जातात. त्याच वेळी, रूट अंतर्गत, मी सोयीस्कर क्रमाने अटींची पुनर्रचना केली. काही अनुभवासह, तोंडी टिप्पणी केलेल्या क्रिया करून पायऱ्या (1), (2) वगळल्या जाऊ शकतात.
(4) परिणामी अविभाज्य, जसे तुम्हाला धड्यातून आठवते काही अपूर्णांक एकत्र करणे, ठरवले जात आहे पूर्ण चौरस काढण्याची पद्धत. पूर्ण चौरस निवडा.
(5) एकत्रीकरणाद्वारे आम्हाला एक सामान्य "लांब" लॉगरिदम मिळतो.
(6) आम्ही रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करतो. जर सुरुवातीला, नंतर परत: .
(७) अंतिम कृतीचे उद्दिष्ट निकाल सरळ करणे आहे: रूट अंतर्गत आम्ही पुन्हा अटी एका सामान्य भाजकावर आणतो आणि त्यांना मूळच्या खाली काढतो.

उदाहरण 10

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. येथे एकाकी “X” मध्ये स्थिरांक जोडला गेला आहे आणि बदली जवळजवळ समान आहे:

तुम्हाला याशिवाय फक्त एकच गोष्ट करायची आहे ती म्हणजे बदलीतून "x" व्यक्त करणे:

धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

कधीकधी अशा अविभाज्य भागामध्ये मुळाखाली द्विपदी असू शकते, यामुळे समाधानाची पद्धत बदलत नाही, ते आणखी सोपे होईल. फरक जाणवा:

उदाहरण 11

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उदाहरण 12

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

धड्याच्या शेवटी संक्षिप्त उपाय आणि उत्तरे. हे लक्षात घ्यावे की उदाहरण 11 नक्की आहे द्विपदी अविभाज्य, ज्याच्या उपाय पद्धतीची वर्गात चर्चा झाली अपरिमेय फंक्शन्सचे इंटिग्रल्स.

2 रा अंशाच्या घाताच्या अविघटनशील बहुपदीचा अविभाज्य

(भाजकातील बहुपद)

अधिक दुर्मिळ प्रकारचा अविभाज्य, परंतु तरीही व्यावहारिक उदाहरणांमध्ये आढळतो.

उदाहरण 13

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

परंतु भाग्यवान क्रमांक 13 सह उदाहरणाकडे परत येऊ (प्रामाणिकपणे, मी बरोबर अंदाज लावला नाही). हे अविभाज्य देखील त्यापैकी एक आहे जे आपल्याला कसे सोडवायचे हे माहित नसल्यास खूप निराश होऊ शकते.

समाधान कृत्रिम परिवर्तनाने सुरू होते:

मला असे वाटते की प्रत्येकाला आधीपासून समजले आहे की अंशाला पदानुसार भाजक शब्दाने कसे विभाजित करावे.

परिणामी अविभाज्य भागांमध्ये घेतले जाते:

फॉर्मच्या अविभाज्य भागासाठी (– नैसर्गिक संख्या) आपण मिळवतो वारंवारकपात सूत्र:
, कुठे - कमी अंशाचा अविभाज्य.

सोडवलेल्या इंटिग्रलसाठी या सूत्राची वैधता तपासूया.
या प्रकरणात: , , आम्ही सूत्र वापरतो:

जसे आपण पाहू शकता, उत्तरे समान आहेत.

उदाहरण 14

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. नमुना द्रावण वरील सूत्र सलग दोनदा वापरतो.

पदवी अंतर्गत असल्यास अविभाज्यचौरस त्रिपदी, नंतर परिपूर्ण वर्ग वेगळे करून द्रावण द्विपदीमध्ये कमी केले जाते, उदाहरणार्थ:

अंशामध्ये अतिरिक्त बहुपदी असल्यास काय? या प्रकरणात, अनिश्चित गुणांकांची पद्धत वापरली जाते आणि इंटिग्रँड अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये विस्तारित केले जाते. पण माझ्या व्यवहारात असे एक उदाहरण आहे कधीही भेटले नाही, म्हणून मी लेखातील ही केस चुकवली फ्रॅक्शनल-परिमेय फंक्शन्सचे इंटिग्रल्स, मी आता ते वगळेन. जर तुम्हाला अजूनही असे अविभाज्य आढळले तर पाठ्यपुस्तक पहा - तेथे सर्वकाही सोपे आहे. मला असे वाटत नाही की सामग्री (अगदी साधे देखील) समाविष्ट करणे उचित आहे, ज्याचा सामना करण्याची शक्यता शून्य आहे.

जटिल त्रिकोणमितीय कार्ये एकत्रित करणे

बहुतेक उदाहरणांसाठी "क्लिष्ट" हे विशेषण पुन्हा मोठ्या प्रमाणात सशर्त आहे. चला उच्च शक्तींमध्ये स्पर्शिका आणि कोटँजंटसह प्रारंभ करूया. वापरलेल्या सोडवण्याच्या पद्धतींच्या दृष्टिकोनातून, स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंट जवळजवळ सारख्याच आहेत, म्हणून मी स्पर्शिका बद्दल अधिक बोलेन, याचा अर्थ असा की अविभाज्य सोडवण्याची प्रात्यक्षिक पद्धत कोटँजंटसाठी देखील वैध आहे.

वरील धड्यात आपण पाहिले सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनत्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे विशिष्ट प्रकारचे अविभाज्य निराकरण करण्यासाठी. युनिव्हर्सल त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनाचा तोटा असा आहे की त्याचा वापर केल्याने अनेकदा कठीण आकडेमोडींसह अवजड इंटिग्रल्स होतात. आणि काही प्रकरणांमध्ये, सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन टाळले जाऊ शकते!

चला दुसरे प्रमाणिक उदाहरण विचारात घेऊया, साइन ने भागलेल्या एकाचा अविभाज्य भाग:

उदाहरण 17

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

येथे तुम्ही सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन वापरू शकता आणि उत्तर मिळवू शकता, परंतु एक अधिक तर्कशुद्ध मार्ग आहे. मी प्रत्येक चरणासाठी टिप्पण्यांसह संपूर्ण समाधान प्रदान करेन:

(1) आपण दुहेरी कोनाच्या साइनसाठी त्रिकोणमितीय सूत्र वापरतो.
(२) आम्ही एक कृत्रिम रूपांतर करतो: भाजकात भागा आणि गुणाकार करा.
(३) भाजकातील सुप्रसिद्ध सूत्र वापरून, आपण अपूर्णांकाचे स्पर्शिकेत रूपांतर करतो.
(४) आम्ही फंक्शन डिफरेंशियल चिन्हाखाली आणतो.
(5) इंटिग्रल घ्या.

तुमच्यासाठी काही सोपी उदाहरणे तुम्ही स्वतः सोडवू शकता:

उदाहरण 18

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

टीप: पहिली पायरी म्हणजे कपात फॉर्म्युला वापरणे आणि मागील उदाहरणाप्रमाणेच कृती काळजीपूर्वक करा.

उदाहरण 19

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

बरं, हे अगदी साधं उदाहरण आहे.

धड्याच्या शेवटी पूर्ण निराकरणे आणि उत्तरे.

मला वाटते की आता कोणालाच इंटिग्रल्समध्ये समस्या येणार नाहीत:
इ.

पद्धतीची कल्पना काय आहे? केवळ स्पर्शिका आणि स्पर्शिका व्युत्पन्न इंटिग्रँडमध्ये व्यवस्थापित करण्यासाठी परिवर्तन आणि त्रिकोणमितीय सूत्रे वापरण्याची कल्पना आहे. म्हणजेच, आम्ही बदलण्याबद्दल बोलत आहोत: . उदाहरणे 17-19 मध्ये आम्ही हे प्रतिस्थापन वापरले, परंतु अविभाज्य इतके सोपे होते की आम्हाला समतुल्य क्रियेसह - विभेदक चिन्हाखाली फंक्शनचे समावेश करून मिळाले.

तत्सम तर्क, जसे मी आधीच नमूद केले आहे, कोटँजेंटसाठी केले जाऊ शकते.

वरील प्रतिस्थापन लागू करण्यासाठी एक औपचारिक पूर्व शर्त देखील आहे:

कोसाइन आणि साइनच्या शक्तींची बेरीज ही ऋण पूर्णांक EVEN संख्या आहे, उदाहरणार्थ:

इंटिग्रल साठी – ऋण पूर्णांक EVEN संख्या.

! नोंद : जर इंटिग्रँडमध्ये फक्त एक साइन किंवा फक्त एक कोसाइन असेल, तर इंटिग्रल देखील नकारात्मक विषम अंशासाठी घेतले जाते (सर्वात सोपी प्रकरणे उदाहरणे क्र. 17, 18 मध्ये आहेत).

या नियमावर आधारित आणखी काही अर्थपूर्ण कार्ये पाहू या:

उदाहरण 20

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

साइन आणि कोसाइनच्या शक्तींची बेरीज: 2 – 6 = –4 ही ऋण पूर्णांक EVEN संख्या आहे, ज्याचा अर्थ असा की अविभाज्य स्पर्शिका आणि त्याचे व्युत्पन्न कमी केले जाऊ शकते:

(१) भाजकाचे रूपांतर करू.
(२) सुप्रसिद्ध सूत्र वापरून, आपण प्राप्त करतो.
(३) भाजकाचे रूपांतर करू.
(4) आम्ही सूत्र वापरतो .
(५) आम्ही फंक्शन डिफरेंशियल चिन्हाखाली आणतो.
(6) आम्ही बदली करतो. अधिक अनुभवी विद्यार्थी कदाचित बदली करू शकत नाहीत, परंतु स्पर्शिका एका अक्षराने बदलणे अद्याप चांगले आहे - गोंधळात पडण्याचा धोका कमी आहे.

उदाहरण 21

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे.

तिथे थांबा, चॅम्पियनशिप फेरी सुरू होणार आहेत =)

सहसा इंटिग्रँडमध्ये "हॉजपॉज" असतो:

उदाहरण 22

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

या अविभाज्यतेमध्ये सुरुवातीला स्पर्शिका असते, ज्यामुळे लगेचच आधीच परिचित विचार येतो:

मी कृत्रिम परिवर्तन अगदी सुरुवातीस आणि बाकीच्या चरणांवर टिप्पणी न करता सोडेन, कारण सर्व काही वर आधीच चर्चा केली गेली आहे.

आपल्या स्वतःच्या समाधानासाठी काही सर्जनशील उदाहरणे:

उदाहरण 23

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उदाहरण 24

अनिश्चित अविभाज्य शोधा

होय, त्यांच्यामध्ये, नक्कीच, आपण साइन आणि कोसाइनची शक्ती कमी करू शकता आणि सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन वापरू शकता, परंतु जर ते स्पर्शिकेद्वारे केले गेले तर समाधान अधिक कार्यक्षम आणि लहान असेल. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तरे