व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट उदाहरणांची निश्चित अविभाज्य पद्धत. बेसिक व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट फॉर्म्युला. सूत्र डावीकडून उजवीकडे लागू केले जाते

पूर्वी, दिलेले कार्य दिले, विविध सूत्रे आणि नियमांद्वारे मार्गदर्शन केले, आम्हाला त्याचे व्युत्पन्न आढळले. डेरिव्हेटिव्हचे असंख्य उपयोग आहेत: तो हालचालीचा वेग आहे (किंवा, सामान्यतः, कोणत्याही प्रक्रियेचा वेग); फंक्शनच्या आलेखापर्यंत स्पर्शिकेचा कोनीय गुणांक; डेरिव्हेटिव्ह वापरुन, तुम्ही मोनोटोनिसिटी आणि एक्स्ट्रीमासाठी फंक्शन तपासू शकता; हे ऑप्टिमायझेशन समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत करते.

परंतु गतीच्या ज्ञात नियमानुसार गती शोधण्याच्या समस्येसह, एक व्यस्त समस्या देखील आहे - ज्ञात गतीनुसार गतीचा नियम पुनर्संचयित करण्याची समस्या. चला यापैकी एक समस्या विचारात घेऊ या.

उदाहरण १.भौतिक बिंदू एका सरळ रेषेत फिरतो, t वेळी त्याच्या हालचालीचा वेग v=gt सूत्राद्वारे दिला जातो. गतीचा नियम शोधा.
उपाय. s = s(t) हा गतीचा इच्छित नियम असू द्या. हे ज्ञात आहे की s"(t) = v(t). याचा अर्थ समस्या सोडवण्यासाठी तुम्हाला s = s(t) फंक्शन निवडणे आवश्यक आहे, ज्याचे व्युत्पन्न gt च्या बरोबरीचे आहे. अंदाज लावणे कठीण नाही. की \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

आपण लगेच लक्षात घेऊया की उदाहरण योग्यरित्या सोडवले आहे, परंतु अपूर्ण आहे. आम्हाला \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिळाले. खरं तर, समस्येचे अनेक निराकरणे आहेत: फॉर्मचे कोणतेही कार्य \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), जेथे C एक अनियंत्रित स्थिरांक आहे, तो नियम म्हणून काम करू शकतो. गती, कारण \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

समस्या अधिक विशिष्ट करण्यासाठी, आम्हाला प्रारंभिक परिस्थिती दुरुस्त करणे आवश्यक आहे: एखाद्या वेळी एखाद्या गतिमान बिंदूचा समन्वय दर्शवा, उदाहरणार्थ t = 0 वर. जर, म्हणा, s(0) = s 0, तर समानता s(t) = (gt 2)/2 + C आपल्याला मिळते: s(0) = 0 + C, म्हणजे C = s 0. आता गतीचा नियम विशिष्टपणे परिभाषित केला आहे: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

गणितात, परस्पर व्यस्त क्रियांना वेगवेगळी नावे दिली जातात, ती येतात विशेष पदनाम, उदाहरणार्थ: स्क्वेअरिंग (x 2) आणि काढणे वर्गमूळ(\(\sqrt(x) \)), sine (sin x) आणि arcsine (arcsin x), इ. दिलेल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात. भिन्नता, ए उलट ऑपरेशन, म्हणजे दिलेल्या डेरिव्हेटिव्हमधून फंक्शन शोधण्याची प्रक्रिया, - एकत्रीकरण.

"व्युत्पन्न" हा शब्द स्वतःच "दैनंदिन जीवनात" न्याय्य असू शकतो: फंक्शन y = f(x) "उत्पादन" नवीन वैशिष्ट्य y" = f"(x). फंक्शन y = f(x) हे "पालक" असल्यासारखे कार्य करते, परंतु गणितज्ञ, नैसर्गिकरित्या, त्याला "पालक" किंवा "उत्पादक" म्हणत नाहीत; ते म्हणतात की ते कार्य y" = च्या संबंधात आहे f"(x) , प्राथमिक प्रतिमा, किंवा आदिम.

व्याख्या.फंक्शन y = F(x) हे फंक्शन y = f(x) अंतराल X वरील फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह म्हटले जाते जर समानता F"(x) = f(x) \(x \in X\) साठी धारण करते.

सराव मध्ये, मध्यांतर X सहसा निर्दिष्ट केले जात नाही, परंतु निहित आहे (फंक्शनच्या व्याख्याचे नैसर्गिक डोमेन म्हणून).

उदाहरणे देऊ.
1) फंक्शन y = x 2 हे फंक्शन y = 2x साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे, कारण कोणत्याही x साठी समानता (x 2)" = 2x सत्य आहे
2) फंक्शन y = x 3 हे फंक्शन y = 3x 2 साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे, कारण कोणत्याही x साठी समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य आहे
3) फंक्शन y = sin(x) हे फंक्शन y = cos(x) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे, कारण कोणत्याही x साठी समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य आहे

अँटीडेरिव्हेटिव्ह आणि डेरिव्हेटिव्ह शोधताना, केवळ सूत्रेच वापरली जात नाहीत तर काही नियम देखील वापरले जातात. डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करण्यासाठी ते थेट संबंधित नियमांशी संबंधित आहेत.

आपल्याला माहित आहे की बेरीजचे व्युत्पन्न त्याच्या व्युत्पन्नांच्या बेरजेइतके असते. हा नियम अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी संबंधित नियम तयार करतो.

नियम १.बेरीजचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या बेरजेइतके असते.

ते आम्हाला माहीत आहे स्थिर घटकव्युत्पन्न चिन्हातून बाहेर काढले जाऊ शकते. हा नियम अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी संबंधित नियम तयार करतो.

नियम 2.जर F(x) हे f(x) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल, तर kF(x) हे kf(x) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल.

प्रमेय १.जर y = F(x) हे फंक्शन y = f(x) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल, तर फंक्शन y = f(kx + m) फंक्शनसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह \(y=\frac(1)(k)F आहे. (kx+m) \)

प्रमेय 2.जर y = F(x) हे इंटरव्हल X वरील फंक्शन y = f(x) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह असेल, तर फंक्शन y = f(x) मध्ये अमर्यादपणे अनेक अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहेत आणि त्या सर्वांचे स्वरूप y = F(x) आहे. + क.

एकत्रीकरण पद्धती

व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट पद्धत (बदली पद्धत)

प्रतिस्थापनाद्वारे एकत्रीकरणाच्या पद्धतीमध्ये नवीन सादर करणे समाविष्ट आहे इंटिग्रेशन व्हेरिएबल(म्हणजे, प्रतिस्थापन). या प्रकरणात, दिलेला इंटिग्रल नवीन इंटिग्रलमध्ये कमी केला जातो, जो टॅब्युलर किंवा कमी करता येतो. पर्याय निवडण्यासाठी कोणत्याही सामान्य पद्धती नाहीत. प्रतिस्थापन योग्यरित्या निर्धारित करण्याची क्षमता सरावाद्वारे प्राप्त केली जाते.
अविभाज्य \(\textstyle \int F(x)dx \) ची गणना करणे आवश्यक असू द्या. चला प्रतिस्थापन \(x= \varphi(t) \) करू या जेथे \(\varphi(t) \) हे एक सतत व्युत्पन्न असलेले फंक्शन आहे.
नंतर \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) आणि अनिश्चित अविभाज्य एकीकरण सूत्राच्या invariance गुणधर्माच्या आधारे, आम्ही प्रतिस्थापनाद्वारे एकत्रीकरण सूत्र प्राप्त करतो:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

फॉर्मच्या अभिव्यक्तींचे एकत्रीकरण \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

जर m विषम, m > 0 असेल, तर sin x = t बदलणे अधिक सोयीचे आहे.
जर n विषम, n > 0 असेल, तर प्रतिस्थापन cos x = t करणे अधिक सोयीचे आहे.
n आणि m सम असल्यास, tg x = t बदलणे अधिक सोयीचे आहे.

भागांद्वारे एकत्रीकरण

भागांद्वारे एकत्रीकरण - एकत्रीकरणासाठी खालील सूत्र लागू करणे:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
किंवा:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

काही फंक्शन्सच्या अनिश्चित इंटिग्रल्सची (अँटीडेरिव्हेटिव्ह्ज) सारणी

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

थेट एकीकरण

मूलभूत एकीकरण सूत्रे

1. C - स्थिर	1*.
2. , n ≠ –1
3. + से
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

साध्या अविभाज्यांचे सारणी आणि अनिश्चित पूर्णांकांचे मूलभूत गुणधर्म यांचा थेट वापर करून पूर्णांकांची गणना म्हणतात. थेट एकत्रीकरण.

उदाहरण १.

उदाहरण २.

उदाहरण ३.

ही सर्वात सामान्य एकत्रीकरण पद्धत आहे जटिल कार्य, ज्यामध्ये दुसऱ्या इंटिग्रेशन व्हेरिएबलमध्ये जाऊन इंटिग्रलचे रूपांतर होते.

वापरून टॅब्युलरमध्ये इंटिग्रल कमी करणे कठीण असल्यास प्राथमिक परिवर्तने, नंतर या प्रकरणात प्रतिस्थापन पद्धत वापरली जाते. या पद्धतीचा सार असा आहे की नवीन व्हेरिएबल सादर करून हे इंटिग्रल नवीन इंटिग्रलमध्ये कमी करणे शक्य आहे, जे थेट घेणे तुलनेने सोपे आहे.

प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे एकत्रित करण्यासाठी, उपाय योजना वापरा:

2) दोन्ही बदली भागांमधील फरक शोधा;

3) संपूर्ण इंटिग्रँड नवीन व्हेरिएबलद्वारे व्यक्त करा (ज्यानंतर एक टेबल इंटिग्रल प्राप्त केले पाहिजे);

4) परिणामी टेबल इंटिग्रल शोधा;

5) रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करा.

अविभाज्य घटक शोधा:

उदाहरण १ . प्रतिस्थापन:cosx=t,-sinxdx=dt,

उपाय:

उदाहरण २.∫e -x3 x 2 dx प्रतिस्थापन:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, उपाय:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

उदाहरण ३.प्रतिस्थापन: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

उपाय: .

विभाग १.५. निश्चित अविभाज्य, त्याच्या गणनेच्या पद्धती.

आयटम 1 निश्चित इंटिग्रलची संकल्पना

कार्य.फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह असलेल्या फंक्शनची वाढ शोधा f(x), युक्तिवाद पास करताना xमूल्य पासून aमूल्य करण्यासाठी b.

उपाय. चला असे गृहीत धरू की एकत्रीकरणास आढळले आहे: ∫ (x)dx = F(x)+C.

मग F(x)+C 1, कुठे क १- कोणताही दिलेला क्रमांक, या कार्यासाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन्सपैकी एक असेल f(x). जेव्हा युक्तिवाद मूल्यावरून हलतो तेव्हा त्याची वाढ शोधू aमूल्य करण्यासाठी b. आम्हाला मिळते:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

जसे आपण पाहतो, वाढीसाठी अभिव्यक्तीमध्ये अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन F(x)+C 1अनुपस्थित स्थिर क १. आणि अंतर्गत पासून क १कोणतीही दिलेली संख्या निहित होती, प्राप्त झालेल्या परिणामामुळे पुढील निष्कर्ष निघतो: युक्तिवाद संक्रमणावर x मूल्य पासून x=aमूल्य करण्यासाठी x=bसर्व कार्ये F(x)+C, दिलेल्या कार्यासाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह्ज f(x), समान वाढ समान आहे F(b)-F(a).

या वाढीला सामान्यतः निश्चित अविभाज्य असे म्हणतातआणि चिन्हाद्वारे दर्शविले जाते: आणि वाचतो: चा अविभाज्य एकरण्यासाठी bफंक्शनमधून f(x) over dх किंवा थोडक्यात, च्या इंटिग्रल एकरण्यासाठी b f(x)dx वरून.

क्रमांक एम्हणतात कमी मर्यादाएकत्रीकरण, संख्या b - शीर्ष; खंड a ≤ x ≤ b – एकत्रीकरणाचा विभाग.असे गृहीत धरले जाते की इंटिग्रँड फंक्शन f(x)सर्व मूल्यांसाठी सतत x, अटी पूर्ण करणे: a x b

व्याख्या. अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन्सची वाढ F(x)+Cयुक्तिवाद संक्रमणावर xमूल्य पासून x=aमूल्य करण्यासाठी x=b, फरकाच्या समान F(b)-F(a), ला एक निश्चित अविभाज्य असे म्हणतात आणि चिन्हाद्वारे दर्शविले जाते: जेणेकरून जर ∫ (x)dx = F(x)+C, नंतर = F(b)-F(a)-दिले समानतेला न्यूटन-लेबनिझ सूत्र म्हणतात.

आयटम 2 निश्चित इंटिग्रलचे मूलभूत गुणधर्म

सर्व गुणधर्म विचाराधीन फंक्शन्स संबंधित मध्यांतरांमध्ये अविभाज्य आहेत या प्रस्तावात तयार केले आहेत.

आयटम 3 निश्चित इंटिग्रलची थेट गणना

एक निश्चित अविभाज्य गणना करण्यासाठी, जेव्हा आपण संबंधित शोधू शकता अनिश्चित अविभाज्य, न्यूटन-लेबनिझ सूत्र म्हणून काम करते

त्या एक निश्चित अविभाज्य हे समाकलनाच्या वरच्या आणि खालच्या मर्यादेवरील कोणत्याही अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शनच्या मूल्यांमधील फरकाच्या समान आहे.

हे सूत्र निश्चित अविभाज्य गणना करण्याची प्रक्रिया दर्शविते:

1) या कार्याचा अनिश्चित अविभाज्य भाग शोधा;

2) परिणामी अँटीडेरिव्हेटिव्हमध्ये, अर्ग्युमेंट ऐवजी प्रथम अप्पर आणि नंतर इंटिग्रलची खालची मर्यादा बदला;

3) वरच्या मर्यादा बदलण्याच्या परिणामातून खालची मर्यादा बदलण्याचा परिणाम वजा करा.

उदाहरण १: इंटिग्रलची गणना करा:

उदाहरण २:इंटिग्रलची गणना करा:

p.4 प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे निश्चित समाकलनाची गणना

प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे निश्चित पूर्णांकाची गणना खालीलप्रमाणे आहे:

1) इंटिग्रँडचा भाग नवीन व्हेरिएबलसह बदला;

2) निश्चित अभिन्न मर्यादा शोधा;

3) दोन्ही बदली भागांमधील फरक शोधा;

4) संपूर्ण इंटिग्रँड नवीन व्हेरिएबलद्वारे व्यक्त करा (ज्यानंतर एक टेबल इंटिग्रल प्राप्त केले पाहिजे); 5) परिणामी निश्चित इंटिग्रलची गणना करा.

उदाहरण १:अविभाज्य गणना करा:

प्रतिस्थापन: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

विभाग १.६. निश्चित अभिन्नाचा भौमितीय अर्थ.

वक्र ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ:

हे ज्ञात आहे की सेगमेंटवरील निश्चित अविभाज्य हे फंक्शन f(x) च्या आलेखाने बांधलेल्या वक्र ट्रापेझॉइडचे क्षेत्र दर्शवते.

या रेषांची समीकरणे ज्ञात असल्यास विशिष्ट अविभाज्यांचा वापर करून विशिष्ट रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधले जाऊ शकते.

सेगमेंट वर द्या [अ; b] एक सतत फंक्शन दिले आहे y = ƒ(x) ≥ 0. या ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधू या.

अक्ष 0 ने बांधलेले आकृतीचे क्षेत्रफळ x, दोन उभ्या सरळ रेषा x = a, x = bआणि फंक्शनचा आलेख y = ƒ(x) (आकृती), सूत्राद्वारे निर्धारित:

हा निश्चित इंटिग्रलचा भौमितीय अर्थ आहे.

उदाहरण १: रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ काढा: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

उपाय: चला एक रेखाचित्र बनवू (लक्षात घ्या की y=0 हे समीकरण ऑक्स अक्ष परिभाषित करते).

उत्तर: S = 9 एकके 2

उदाहरण २: रेषांनी बांधलेल्या आकृतीच्या क्षेत्राची गणना करा: y= - e x, x=1 आणि समन्वय अक्ष.

उपाय: चला एक रेखाचित्र बनवू.
जर एक वक्र ट्रॅपेझॉइड पूर्णपणे ऑक्स अक्षाखाली स्थित, नंतर त्याचे क्षेत्र सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते:

IN या प्रकरणात:

लक्ष द्या! जर तुम्हाला निश्चित इंटिग्रल वापरून एखाद्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यास सांगितले, तर क्षेत्र नेहमीच सकारात्मक असते! म्हणूनच नुसत्या चर्चा केलेल्या सूत्रात मायनस दिसतो.

विभाग १.७. निश्चित इंटिग्रलचा वापर

p.1 क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमानाची गणना

ऑक्स अक्षाला लागून असलेला वक्र ट्रॅपेझॉइड आणि सरळ रेषा y=a, y=b आणि फंक्शनचा आलेख असल्यास y = F(x) (Fig. 1), नंतर क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा एका इंटिग्रल असलेल्या सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा समान आहे:

उदाहरण:

0≤ x ≤4 वर ऑक्स अक्षाभोवती रेषेच्या रोटेशनच्या पृष्ठभागाद्वारे मर्यादित शरीराची मात्रा शोधा.

उपाय:व्ही

युनिट्स 3. उत्तर: युनिट 3.

विभाग ३.१. सामान्य भिन्न समीकरणे

आयटम 1 विभेदक समीकरणाची संकल्पना

व्याख्या. भिन्न समीकरणव्हेरिएबल्स आणि त्यांच्या डेरिव्हेटिव्ह्जच्या संचाचे कार्य असलेले समीकरण आहे.

सामान्य दृश्यअसे समीकरण =0, जेथे F- ज्ञात कार्यत्याचे युक्तिवाद, एका निश्चित क्षेत्रामध्ये निर्दिष्ट केलेले; x - स्वतंत्र व्हेरिएबल (व्हेरिएबल ज्याद्वारे ते वेगळे केले जाते); - स्वतंत्र व्हेरिएबल x च्या संदर्भात अवलंबून व्हेरिएबल y चे व्युत्पन्न.

आयटम 2 विभेदक समीकरणाच्या मूलभूत संकल्पना

क्रमानेविभेदक समीकरणाला त्यात समाविष्ट असलेल्या सर्वोच्च व्युत्पन्नाचा क्रम म्हणतात.

उदाहरणार्थ:

सेकंड ऑर्डर समीकरण म्हणजे फर्स्ट ऑर्डर समीकरण.

व्हेरिएबल्सला जोडणारे आणि विभेदक समीकरणाला खऱ्या समानतेमध्ये बदलणारे कोणतेही कार्य म्हणतात निर्णयविभेदक समीकरण.

सामान्य उपायफर्स्ट-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन चे फंक्शन आणि एक अनियंत्रित स्थिरांक आहे जे या समीकरणाला ओळख मध्ये बदलते.

निहित फॉर्म =0 मध्ये लिहिलेल्या सामान्य समाधानाला म्हणतात सामान्य अविभाज्य.

खाजगी निर्णयसमीकरण =0 हे एका निश्चित मूल्यासाठी सामान्य सोल्यूशनमधून प्राप्त केलेले समाधान आहे - एक निश्चित संख्या.

nव्या क्रमाच्या (n= 1,2,3,...) विभेदक समीकरणासाठी विशिष्ट समाधान शोधण्याची समस्या, समाधानकारक प्रारंभिक परिस्थितीदयाळू

म्हणतात कॉची समस्या.

कलम 3 भिन्न समीकरणेविभक्त व्हेरिएबल्ससह प्रथम ऑर्डर

फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंशियल समीकरण जर फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकत असेल तर त्याला विभक्त समीकरण म्हणतात फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहिले जाऊ शकते . जर . चला समाकलित करूया: .

या प्रकारच्या समीकरणाचे निराकरण करण्यासाठी आपल्याला आवश्यक आहे:

1. वेगळे चल;

2. विभक्त व्हेरिएबल समीकरण एकत्र करणे, शोधा सामान्य उपायदिलेले समीकरण;

3. एक विशिष्ट उपाय शोधा जो प्रारंभिक परिस्थिती पूर्ण करेल (जर ते दिले असतील).

उदाहरण १.समीकरण सोडवा. y=4 वरील x=-2 स्थितीचे समाधान करणारे विशिष्ट उपाय शोधा.

उपाय:हे विभक्त व्हेरिएबल समीकरण आहे. समाकलित करताना, आम्हाला समीकरणाचे सामान्य समाधान सापडते: . एक सोपा सामान्य उपाय प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही C/2 फॉर्ममध्ये उजव्या बाजूला स्थिर संज्ञा दर्शवतो. आमच्याकडे एक सामान्य उपाय आहे किंवा आहे. सामान्य सोल्युशनमध्ये y=4 आणि x=-2 मूल्ये बदलल्यास, आपल्याला 16=4+C मिळेल, ज्यामधून C=12.

तर, समीकरणाचे एक विशिष्ट समाधान समाधानकारक ही स्थिती, फॉर्म आहे

उदाहरण २.जर समीकरणासाठी विशिष्ट उपाय शोधा .

उपाय: , , , , , सामान्य उपाय.

आम्ही x आणि y ची मूल्ये विशिष्ट सोल्युशनमध्ये बदलतो: , , खाजगी समाधान.

उदाहरण ३.समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधा . उपाय:,, , - सामान्य उपाय.

आयटम 4 पहिल्यापेक्षा जास्त ऑर्डरची भिन्न समीकरणे

फॉर्मचे समीकरण किंवा दुहेरी एकत्रीकरणाद्वारे सोडवले जाते: , , कुठून . हे फंक्शन एकत्रित केल्यावर, आम्हाला f(x) चे नवीन फंक्शन मिळते, जे आम्ही F(x) ने दर्शवतो. अशा प्रकारे,; . चला पुन्हा समाकलित करू: किंवा y=Ф(x). आम्ही दोन अनियंत्रित स्थिरांक असलेल्या समीकरणाचे सामान्य समाधान मिळवले आणि .

उदाहरण १.समीकरण सोडवा.

उपाय:, , ,

उदाहरण २.समीकरण सोडवा . उपाय: , , .

विभाग ३.२. संख्या मालिका, त्याचे सदस्य

व्याख्या १.संख्या मालिकाफॉर्मची अभिव्यक्ती म्हणतात ++…++…, (1)

कुठे , , …, , … - काही विशिष्ट संख्या प्रणालीशी संबंधित संख्या.

अशा प्रकारे, आपण वास्तविक मालिकांबद्दल बोलू शकतो ज्यासाठी आर,जटिल मालिकेबद्दल ज्यासाठी C, i= 1, 2, …, n, ...

जर x=φ(t) फंक्शनमध्ये सतत व्युत्पन्न असेल, तर दिलेल्या अनिश्चित अविभाज्य ∫f(x)dx मध्ये तुम्ही सूत्र वापरून नेहमी नवीन चल t वर जाऊ शकता.

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

नंतर उजव्या बाजूने अविभाज्य शोधा आणि मूळ व्हेरिएबलकडे परत या. या प्रकरणात, या समानतेच्या उजव्या बाजूला अविभाज्य असू शकते अविभाज्य पेक्षा सोपे, या समानतेच्या डाव्या बाजूला उभे, किंवा अगदी टॅब्युलर. अविभाज्य शोधण्याच्या या पद्धतीला परिवर्तनीय पद्धती म्हणतात.

उदाहरण 7. ∫x√x-5dx

मुळापासून मुक्त होण्यासाठी, आम्ही √x-5=t सेट करतो. म्हणून x=t 2 +5 आणि म्हणून dx=2tdt. प्रतिस्थापन करणे, आमच्याकडे सातत्याने आहे:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. भागांद्वारे एकत्रीकरणाची पद्धत

भाग पद्धतीद्वारे एकत्रीकरण खालील सूत्रावर आधारित आहे:

∫udv=uv-∫vdu

जेथे u(x), v(x) ही सतत भिन्नता कार्ये आहेत. सूत्राला भाग सूत्रानुसार एकत्रीकरण म्हणतात. हे सूत्र दर्शविते की अविभाज्य ∫udv अविभाज्य ∫vdu कडे घेऊन जाते, जे मूळ किंवा अगदी सारणीपेक्षा सोपे असू शकते.

उदाहरण 12. अनिश्चित पूर्णांक ∫xe -2x dx शोधा

भागांनुसार एकत्रीकरणाची पद्धत वापरू. u=x, dv=e -2x dx टाकू. नंतर du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C म्हणून, सूत्रानुसार आपल्याकडे आहे: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e -2x -e -2x +C

23 . तर्कशुद्ध अपूर्णांकहा एक अपूर्णांक आहे ज्याचा अंश आणि भाजक बहुपदी आहेत.

परिमेय अपूर्णांक. सर्वात सोपा परिमेय अपूर्णांक आणि त्यांचे एकत्रीकरण

कोणतेही परिमेय कार्य परिमेय अपूर्णांक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजेच दोन बहुपदींचे गुणोत्तर म्हणून:

जर अंशाची पदवी भाजकाच्या अंशापेक्षा कमी असेल तर अपूर्णांक म्हणतात. बरोबर, व्ही अन्यथाअपूर्णांक म्हणतात चुकीचे

जर अपूर्णांक अयोग्य असेल, तर अंशाला भाजकाने भागून (बहुपदी विभाजित करण्याच्या नियमानुसार), तुम्ही हा अपूर्णांक बहुपदीची बेरीज आणि काही योग्य अपूर्णांक म्हणून दर्शवू शकता: , कुठे M(x)-बहुपदी, परंतु योग्य अपूर्णांक.

उदाहरण:आम्हाला एक अयोग्य तर्कसंगत अंश द्या.

मग , कारण एका कोपऱ्याने विभाजित केल्यावर आपल्याला उर्वरित (4x-6) मिळते.

बहुपदांच्या एकत्रीकरणामध्ये कोणत्याही मूलभूत अडचणी येत नसल्यामुळे, परिमेय अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण करण्यात मुख्य अडचण योग्य परिमेय अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणामध्ये आहे.

तर्कसंगत अपूर्णांकांचे अनेक प्रकार आहेत:

II. प्रकार: (k-सकारात्मक पूर्णांक ³2).

आयवाय. पहा: (k-integer³2).

चला सर्वात सोप्या तर्कसंगत अपूर्णांकांचे अविभाज्य विचार करूया.

आय. .

II. =ए .

24 .तर्कसंगत अपूर्णांक एकत्रित करणे

इंटिग्रँड हा परिमेय अपूर्णांक असू द्या जेथे आणि अंशांचे बहुपदी (बहुपदी) आहेत k आणि nअनुक्रमे सामान्यता गमावल्याशिवाय, आपण असे गृहीत धरू शकतो k < n, अन्यथा तुम्ही नेहमी P(x) = Q(x)R(x) + S(x) या फॉर्ममध्ये अंश सादर करू शकता जेथे R(x) आणि S(x) हे बहुपदी आहेत, सामान्यतः केस प्रमाणे म्हणतात. वास्तविक संख्या, भागफल आणि शेष, आणि बहुपदी S(x) ची डिग्री कमी आहे n. मग

, (1.1)

आणि आपण बहुपदी R(x) च्या पूर्णांकाची गणना करू शकतो. विस्तार कसा मिळवायचा ते उदाहरणाद्वारे दाखवूया (1.1). P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 – 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2 समजा. बहुपदी P(x) ला बहुपदी Q(x) ने भागू या त्याच प्रकारे आपण वास्तविक संख्यांना विभाजित करतो (आपण स्तंभ विभाजन कॅल्क्युलेटर वापरून समाधान मिळवतो). अशा प्रकारे, आम्हाला अपूर्णांकाचा संपूर्ण भाग (बहुपदी P च्या बहुपदी Q द्वारे भागाकाराचा भाग) R(x) = x 4 + 2x 2 – 4x + 7 आणि उर्वरित S(x) = 9x 2 – प्राप्त झाला. या विभागातून 14x +12. बीजगणिताच्या मूळ प्रमेयानुसार, कोणतीही बहुपदी साध्या घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकते, म्हणजेच फॉर्ममध्ये दर्शविली जाते, बहुपदी Q(x) ची मुळे त्यांच्या गुणाकाराच्या अनेक वेळा पुनरावृत्ती केली जातात. बहुपदी Q(x) ची n भिन्न मुळे असू द्या. मग योग्य परिमेय अपूर्णांक म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते , संख्या कुठे निर्धारित करायची आहे. जर गुणाकार α चे मूळ असेल, तर साध्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन करताना तेथे α संज्ञा जुळतात . जर x j हे वास्तविक गुणांक असलेल्या बहुपदीच्या गुणाकाराचे जटिल मूळ असेल, तर जटिल संयुग्मित संख्या देखील या बहुपदीच्या गुणाकार α चे मूळ आहे. परिमेय अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण करताना जटिल संख्यांना सामोरे जाऊ नये म्हणून, जटिल संयुग्मित मुळांच्या जोड्यांशी संबंधित योग्य परिमेय अपूर्णांकाच्या विस्तारातील संज्ञा एकत्रित केल्या जातात आणि फॉर्मची एक संज्ञा म्हणून लिहिली जातात, जर - गुणाकाराची मुळे. जर गुणाकाराची मुळे असतील, तर ती संज्ञांशी जुळतात आणि संबंधित विस्ताराचे स्वरूप असते

अशाप्रकारे, योग्य परिमेय अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सर्वात सोप्या अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणात कमी केले गेले आहे, ज्यापैकी सारणीतील भाग पुनरावृत्ती सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकतात, जे भागांद्वारे एकत्रीकरणाद्वारे प्राप्त केले जातात. अविभाज्य, ज्या बाबतीत भाजकाला गुंतागुंतीची मुळे (भेदभाव) असतात, त्या बाबतीत, पूर्ण वर्गाची निवड वापरून, प्रतिस्थापनाद्वारे, अविभाज्यांमध्ये कमी केली जाते. योग्य परिमेय अपूर्णांकाच्या विस्तारामध्ये गुणांक शोधण्याचा एक मार्ग खालीलप्रमाणे आहे. अनिर्धारित गुणांकांसह परिणामी विस्ताराची उजवी बाजू सामान्य भाजकापर्यंत कमी केली जाते. उजव्या आणि डाव्या बाजूंचे भाजक समान असल्याने, बहुपदी असलेले अंक देखील समान असले पाहिजेत. गुणांकांचे समान अंशांवर समीकरण करणे (समान अंशांवर गुणांक समान असल्यास बहुपदी समान असतात), हे गुणांक निश्चित करण्यासाठी आम्हाला रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली मिळते.

25. अपरिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण - अपरिमेय अभिव्यक्ती एकत्रित करण्याचे सामान्य तत्त्व व्हेरिएबल पुनर्स्थित करणे आहे, जे आपल्याला इंटिग्रँडमधील मुळांपासून मुक्त होऊ देते. काही फंक्शन वर्गांसाठी हे लक्ष्य मानक प्रतिस्थापन वापरून साध्य केले जाते.

फॉर्मचे इंटिग्रल्स .

फॉर्मचे इंटिग्रल्स पुनर्स्थित करून किंवा मोजले जातात.

फॉर्मचे इंटिग्रल्स पुनर्स्थित करून किंवा मोजले जातात.

26 . अपरिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण - अपरिमेय अभिव्यक्ती एकत्रित करण्याचे सामान्य तत्त्व व्हेरिएबल पुनर्स्थित करणे आहे, जे आपल्याला इंटिग्रँडमधील मुळांपासून मुक्त होऊ देते. काही फंक्शन वर्गांसाठी हे लक्ष्य मानक प्रतिस्थापन वापरून साध्य केले जाते.

फॉर्मचे इंटिग्रल्स , त्याच्या युक्तिवादांचे तर्कसंगत कार्य कोठे आहे, पुनर्स्थित करून गणना केली जाते .

फॉर्मचे इंटिग्रल्स पुनर्स्थित करून किंवा मोजले जातात.

फॉर्मचे इंटिग्रल्स पुनर्स्थित करून किंवा मोजले जातात. फॉर्मचे इंटिग्रल्स पुनर्स्थित करून किंवा मोजले जातात.

चला सामान्य प्रकरणाचा विचार करूया - अनिश्चित अविभाज्य मध्ये चल बदलण्याची पद्धत.

उदाहरण ५

उदाहरण म्हणून, आम्ही धड्याच्या अगदी सुरुवातीला पाहिलेला अविभाज्य भाग मी घेतला. आम्ही आधीच म्हटल्याप्रमाणे, अविभाज्य निराकरण करण्यासाठी आम्हाला सारणी सूत्र आवडले , आणि मी तिच्यासाठी संपूर्ण प्रकरण कमी करू इच्छितो.

बदलण्याची पद्धत मागे कल्पना आहे जटिल अभिव्यक्ती (किंवा काही कार्य) एका अक्षराने पुनर्स्थित करा.
या प्रकरणात ते विनंती करते:
दुसरे सर्वात लोकप्रिय बदली पत्र हे पत्र आहे.
तत्वतः, आपण इतर अक्षरे वापरू शकता, परंतु तरीही आम्ही परंपरांचे पालन करू.

त्यामुळे:
पण जेव्हा आपण ते बदलतो तेव्हा आपण बाकी असतो! बहुधा, अनेकांनी असा अंदाज लावला आहे की जर नवीन व्हेरिएबलमध्ये संक्रमण केले गेले असेल तर नवीन अविभाज्य मध्ये सर्व काही अक्षराद्वारे व्यक्त केले जावे आणि तेथे भिन्नतेसाठी अजिबात स्थान नाही.
तार्किक निष्कर्ष असा आहे की ते आवश्यक आहे फक्त अवलंबून असलेल्या काही अभिव्यक्तीमध्ये बदला .

कृती खालीलप्रमाणे आहे. आम्ही बदली निवडल्यानंतर, या उदाहरणात, आम्हाला फरक शोधण्याची आवश्यकता आहे. भिन्नतेसह, मला वाटते की प्रत्येकाने आधीच मैत्री स्थापित केली आहे.

तेव्हापासून

विभेदक विभक्त केल्यानंतर, मी अंतिम निकाल शक्य तितक्या थोडक्यात पुन्हा लिहिण्याची शिफारस करतो:
आता, प्रमाणाच्या नियमांनुसार, आम्हाला काय हवे आहे ते आम्ही व्यक्त करतो:

परिणामी:
अशा प्रकारे:

आणि हे आधीच सर्वात सारणीबद्ध अविभाज्य आहे (अविभाज्यांचे सारणी, अर्थातच, व्हेरिएबलसाठी देखील वैध आहे).

शेवटी, रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करणे बाकी आहे. आपण ते लक्षात ठेवूया.

तयार.

विचारात घेतलेल्या उदाहरणाचे अंतिम डिझाइन असे काहीतरी दिसले पाहिजे:

“

चला बदलू:

“

चिन्हाचा कोणताही गणितीय अर्थ नाही; याचा अर्थ असा आहे की आम्ही मध्यवर्ती स्पष्टीकरणासाठी उपाय व्यत्यय आणला आहे.

नोटबुकमध्ये उदाहरण तयार करताना, रिव्हर्स प्रतिस्थापन साध्या पेन्सिलने चिन्हांकित करणे चांगले आहे.

लक्ष द्या!खालील उदाहरणांमध्ये, भिन्नता शोधण्याचे तपशीलवार वर्णन केले जाणार नाही.

आता पहिला उपाय लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे:

फरक काय आहे? यात कोणताही मूलभूत फरक नाही. प्रत्यक्षात तीच गोष्ट आहे. परंतु कार्य डिझाइन करण्याच्या दृष्टिकोनातून, भिन्न चिन्हाखाली फंक्शन समाविष्ट करण्याची पद्धत खूपच लहान आहे.

असा प्रश्न पडतो. जर पहिली पद्धत लहान असेल तर बदलण्याची पद्धत का वापरायची? वस्तुस्थिती अशी आहे की अनेक अविभाज्य घटकांसाठी फंक्शनला भिन्नतेच्या चिन्हावर "फिट" करणे इतके सोपे नाही.

उदाहरण 6

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

चला बदली करू: (येथे दुसऱ्या बदलीचा विचार करणे कठीण आहे)

जसे आपण पाहू शकता, प्रतिस्थापनाच्या परिणामी, मूळ अविभाज्य लक्षणीयरीत्या सरलीकृत केले गेले - सामान्य पॉवर फंक्शनमध्ये कमी केले गेले. हे प्रतिस्थापनाचा उद्देश आहे - इंटिग्रल सुलभ करण्यासाठी.

आळशी प्रगत लोक विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन समाविष्ट करून हे अविभाज्य सहज सोडवू शकतात:

आणखी एक गोष्ट अशी आहे की असा उपाय सर्व विद्यार्थ्यांसाठी नाही. याव्यतिरिक्त, आधीच या उदाहरणात, विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन समाविष्ट करण्याच्या पद्धतीचा वापर निर्णयात गोंधळ होण्याचा धोका लक्षणीय वाढतो.

उदाहरण 7

अनिश्चित अविभाज्य शोधा. तपासणी करा.

उदाहरण 8

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

बदली:
त्याचे काय रूपांतर होणार हे पाहणे बाकी आहे

ठीक आहे, आम्ही ते व्यक्त केले आहे, परंतु अंशामध्ये उरलेल्या "X" चे काय करायचे?!
वेळोवेळी, इंटिग्रल्स सोडवताना, आम्हाला खालील युक्ती आढळते: आम्ही त्याच बदलीतून व्यक्त करू!

उदाहरण ९

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. उत्तर धड्याच्या शेवटी आहे.

उदाहरण 10

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

निश्चितपणे काही लोकांच्या लक्षात आले आहे की माझ्या लुकअप टेबलमध्ये व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट नियम नाही. हे जाणीवपूर्वक केले गेले. नियम स्पष्टीकरण आणि समजून घेण्यात गोंधळ निर्माण करेल, कारण तो वरील उदाहरणांमध्ये स्पष्टपणे दिसत नाही.

आता व्हेरिएबल प्रतिस्थापन पद्धती वापरण्याच्या मूलभूत तत्त्वाबद्दल बोलण्याची वेळ आली आहे: integrand मध्ये काही फंक्शन असणे आवश्यक आहे आणि त्याचे व्युत्पन्न : (कार्ये उत्पादनामध्ये असू शकत नाहीत)

या संदर्भात, अविभाज्य शोधताना, आपल्याला अनेकदा डेरिव्हेटिव्ह्जचे टेबल पहावे लागेल.

विचाराधीन उदाहरणामध्ये, आपल्या लक्षात येते की अंशाची पदवी भाजकाच्या अंशापेक्षा एक कमी आहे. डेरिव्हेटिव्हजच्या सारणीमध्ये आम्हाला सूत्र सापडते, जे फक्त एक अंश कमी करते. आणि याचा अर्थ असा की जर तुम्ही त्यास भाजक म्हणून नियुक्त केले तर अंकाचे काहीतरी चांगले होईल अशी शक्यता जास्त आहे.

बदली:

तसे, विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन समाविष्ट करणे इतके अवघड नाही:

हे लक्षात घ्यावे की सारख्या अपूर्णांकांसाठी, ही युक्ती यापुढे कार्य करणार नाही (अधिक तंतोतंत, केवळ बदलण्याचे तंत्र लागू करणे आवश्यक नाही). तुम्ही वर्गात काही अपूर्णांक एकत्र करायला शिकू शकता. काही अपूर्णांक एकत्र करणे.

समान ऑपेरामधील स्वतंत्र सोल्यूशन्ससाठी येथे आणखी काही विशिष्ट उदाहरणे आहेत:

उदाहरण 11

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

उदाहरण 12

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

धड्याच्या शेवटी उपाय.

उदाहरण 13

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

आम्ही व्युत्पन्न सारणी पाहतो आणि आमचा चाप कोसाइन शोधतो: . आमच्या इंटिग्रँडमध्ये आमच्याकडे आर्क कोसाइन आहे आणि त्याच्या व्युत्पन्नासारखे काहीतरी आहे.

सामान्य नियम:
साठी आपण फंक्शनच दर्शवतो(आणि त्याचे व्युत्पन्न नाही).

या प्रकरणात: . इंटिग्रँडचा उर्वरित भाग कशात बदलेल हे शोधणे बाकी आहे.

या उदाहरणात, मी शोधाचे तपशीलवार वर्णन करेन कारण ते एक जटिल कार्य आहे.

किंवा थोडक्यात:
प्रमाणाचा नियम वापरून, आम्ही आम्हाला आवश्यक असलेली उर्वरित व्यक्त करतो:

अशा प्रकारे:

येथे विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन समाविष्ट करणे इतके सोपे नाही.

उदाहरण 14

अनिश्चित अविभाज्य शोधा.

स्वतंत्र समाधानाचे उदाहरण. उत्तर अगदी जवळ आहे.

लक्षवेधक वाचकांच्या लक्षात आले असेल की मी त्रिकोणमितीय फंक्शन्ससह काही उदाहरणांचा विचार केला आहे. आणि हा योगायोग नाही, कारण एक वेगळा धडा त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या अविभाज्य घटकांना समर्पित आहे. शिवाय, हा धडा व्हेरिएबल बदलण्यासाठी काही उपयुक्त मार्गदर्शक तत्त्वे प्रदान करतो, जे विशेषतः डमींसाठी महत्वाचे आहे, ज्यांना नेहमी समजत नाही आणि विशिष्ट अविभाज्य घटकामध्ये कोणत्या प्रकारची बदली करणे आवश्यक आहे हे लगेच समजत नाही. डेफिनिट इंटिग्रल या लेखात तुम्ही काही प्रकारचे प्रतिस्थापन देखील पाहू शकता. उपायांची उदाहरणे.

अधिक अनुभवी विद्यार्थ्यांना अपरिमेय फंक्शन्ससह इंटिग्रल्समधील ठराविक प्रतिस्थापनांसह परिचित व्हायचे असेल. मुळे एकत्रित करताना प्रतिस्थापना विशिष्ट असते आणि त्याचे अंमलबजावणी तंत्र आपण या धड्यात चर्चा केलेल्या तंत्रापेक्षा वेगळे आहे.

मी तुम्हाला यश इच्छितो!

उपाय आणि उत्तरे:

उदाहरण ३: उपाय:

उदाहरण ४: उपाय:

उदाहरण 7: उपाय:

उदाहरण 9: उपाय:

बदली:

उदाहरण 11: उपाय:

चला बदलू:

(लेख पहा अनिश्चित अविभाज्य मध्ये परिवर्तनीय बदल पद्धत ) किंवा इंटिग्रल फक्त चालू आहे भाग पद्धतीद्वारे एकत्रीकरण.

नेहमीप्रमाणे, तुमच्या हातात असणे आवश्यक आहे: अविभाज्यांचे सारणीआणि व्युत्पन्न सारणी. तुमच्याकडे अद्याप ते नसल्यास, कृपया माझ्या वेबसाइटच्या स्टोरेज रूमला भेट द्या: गणिती सूत्रे आणि तक्ते. मी पुनरावृत्ती करण्यास कंटाळणार नाही - सर्वकाही मुद्रित करणे चांगले आहे. मी सर्व सामग्री सुसंगतपणे, सोप्या आणि स्पष्टपणे सादर करण्याचा प्रयत्न करेन, भाग एकत्रित करण्यात काही विशेष अडचणी नाहीत.

भागांद्वारे एकत्रीकरणाची पद्धत कोणती समस्या सोडवते? भागांद्वारे एकत्रीकरणाची पद्धत एक अतिशय महत्त्वाची समस्या सोडवते; ते आपल्याला टेबलमध्ये नसलेली काही कार्ये एकत्रित करण्याची परवानगी देते; काम

3) , , त्रिकोणमितीय फंक्शन्स काही बहुपदी गुणाकार आहेत.

4) , – व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये ("कमान"), "कमान" काही बहुपदी गुणाकार.

काही अंश देखील भागांमध्ये घेतले आहेत; आम्ही संबंधित उदाहरणांचा तपशीलवार विचार करू.