लिनियर प्रोग्रामिंग पद्धतीचा संदर्भ आहे

Android साठी या व्याख्यानामध्ये गणितीय प्रोग्रामिंगच्या शाखांपैकी एक म्हणून रेखीय प्रोग्रामिंगला वाहिलेल्या अनेक समस्यांचा समावेश आहे; विशेषतः, रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांचे मुख्य प्रकार तयार करते, या समस्या आणि गणितीय विश्लेषणाच्या शास्त्रीय समस्यांमधील फरक प्रकट करते; ही कार्ये रेकॉर्ड करण्याच्या विविध प्रकारांचा परिचय करून देते, त्यांची रचना आणि संरचनेचा अभ्यास करते. सिम्प्लेक्स पद्धतीचा वापर करून रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्याचा प्रश्न पूर्णपणे शोधला गेला आहे.

1. गणितीय प्रोग्रामिंगची संकल्पना

ही एक गणितीय शाखा आहे ज्यामध्ये मर्यादांद्वारे निर्धारित केलेल्या संभाव्य मूल्यांच्या संचामध्ये वस्तुनिष्ठ कार्याची अत्यंत मूल्ये शोधण्यासाठी पद्धती विकसित केल्या जातात.

निर्बंधांची उपस्थिती फंक्शनची अत्यंत मूल्ये शोधण्याच्या गणितीय विश्लेषणाच्या शास्त्रीय समस्यांपासून मूलभूतपणे भिन्न बनवते. शोधासाठी गणितीय विश्लेषणाच्या पद्धती कार्याचा टोकाचा भागकार्यांमध्ये गणितीय प्रोग्रामिंगअयोग्य असल्याचे बाहेर वळणे.

समस्या सोडवण्यासाठी गणितीय प्रोग्रामिंगविशेष पद्धती आणि सिद्धांत विकसित केले गेले आहेत आणि विकसित केले जात आहेत. या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी मोठ्या प्रमाणात गणना करणे आवश्यक आहे, जेव्हा तुलनात्मक मूल्यांकनपद्धती, संगणकावर त्यांच्या अंमलबजावणीची कार्यक्षमता आणि सोयीसाठी खूप महत्त्व दिले जाते.

विशिष्ट वर्गांच्या समस्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास आणि विकास यात गुंतलेल्या स्वतंत्र विभागांचा एक संच मानला जाऊ शकतो.

ऑब्जेक्टिव्ह फंक्शन आणि कंस्ट्रेंट फंक्शनच्या गुणधर्मांवर अवलंबून, सर्व समस्या गणितीय प्रोग्रामिंगदोन मुख्य वर्गांमध्ये विभागलेले आहेत:

• रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या,
• कार्ये नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग.

जर वस्तुनिष्ठ फंक्शन आणि कंस्ट्रेंट फंक्शन्स रेखीय फंक्शन्स असतील, तर एक्स्ट्रीमम शोधण्याची संबंधित समस्या ही रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या आहे. जर सूचित केलेल्या फंक्शन्सपैकी किमान एक नॉनलाइनर असेल, तर एक्स्ट्रीमम शोधण्याची संबंधित समस्या ही समस्या आहे नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग.

2. रेखीय प्रोग्रामिंगची संकल्पना. रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांचे प्रकार

रेखीय प्रोग्रामिंग(LP) – पहिल्या आणि सर्वात सखोल अभ्यास केलेल्या विभागांपैकी एक गणितीय प्रोग्रामिंग. नक्की रेखीय प्रोग्रामिंगतो विभाग होता ज्यातून शिस्त विकसित होऊ लागली" गणितीय प्रोग्रामिंग". शिस्तीच्या शीर्षकातील "प्रोग्रामिंग" या शब्दाचा "कॉम्प्युटरसाठी प्रोग्रॅमिंग (म्हणजे एक प्रोग्राम संकलित करणे)" या शब्दाशी काहीही साम्य नाही" शिस्तीशी काहीही संबंध नाही. रेखीय प्रोग्रामिंगगणित, अभियांत्रिकी, आर्थिक आणि इतर समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी संगणकाचा मोठ्या प्रमाणावर वापर सुरू होण्यापूर्वीच उद्भवला.

संज्ञा " रेखीय प्रोग्रामिंग" इंग्लिश "लिनियर प्रोग्रामिंग" च्या चुकीच्या भाषांतरामुळे उद्भवला. "प्रोग्रामिंग" या शब्दाचा एक अर्थ म्हणजे योजना बनवणे, नियोजन करणे. म्हणून, इंग्रजी "लिनियर प्रोग्रामिंग" चे योग्य भाषांतर "होणार नाही. रेखीय प्रोग्रामिंग", आणि "रेखीय नियोजन", जे शिस्तीची सामग्री अधिक अचूकपणे प्रतिबिंबित करते. तथापि, अटी रेखीय प्रोग्रामिंग, नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग, गणितीय प्रोग्रामिंगइ. आमच्या साहित्यात सामान्यतः स्वीकारले गेले आहे आणि म्हणून ते जतन केले जाईल.

तर, रेखीय प्रोग्रामिंगद्वितीय विश्वयुद्धानंतर उद्भवले आणि वेगाने विकसित होऊ लागले, विस्तृत व्यावहारिक अनुप्रयोग तसेच गणितीय सुसंवादाच्या शक्यतेमुळे गणितज्ञ, अर्थशास्त्रज्ञ आणि अभियंते यांचे लक्ष वेधून घेतले.

असे म्हणता येईल रेखीय प्रोग्रामिंगवास्तविक जगाच्या रेखीय प्रतिनिधित्वाच्या गृहीतकावर आधारित त्या प्रक्रिया आणि प्रणालींचे गणितीय मॉडेल सोडवण्यासाठी लागू.

रेखीय प्रोग्रामिंगआर्थिक समस्या सोडवण्यासाठी, व्यवस्थापन आणि उत्पादन नियोजन यासारख्या कार्यांमध्ये वापरले जाते; समुद्री जहाजांवर आणि कार्यशाळांमध्ये उपकरणांची इष्टतम प्लेसमेंट निश्चित करण्याच्या कार्यांमध्ये; ठरवण्याच्या समस्यांमध्ये इष्टतम योजनामाल वाहतूक (वाहतूक कार्य); इष्टतम कर्मचारी वितरण, इ.

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या(LP), जसे वर सांगितले होते त्यावरून आधीच स्पष्ट आहे, रेखीय निर्बंधांखाली रेखीय कार्याचे किमान (किंवा कमाल) शोधणे समाविष्ट आहे.

सामान्य फॉर्मसमस्येचे स्वरूप आहे: परिस्थितीनुसार शोधा

सामान्य फॉर्मसह, ते देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात प्रामाणिकआणि मानकफॉर्म प्रमाणित आणि प्रमाणित दोन्ही स्वरूपात

त्या. समस्येच्या कोणत्याही व्यवहार्य निराकरणातील सर्व व्हेरिएबल्सना नकारात्मक मूल्ये घेणे आवश्यक आहे (अशा व्हेरिएबल्सना सामान्यतः नकारात्मक नसलेलेतथाकथित विपरीत मोफतचल ज्यांच्या मूल्यांची श्रेणी अशा निर्बंधांच्या अधीन नाही). या फॉर्ममधील फरक असा आहे की एका प्रकरणात I 2 = 0, आणि दुसर्यामध्ये - I 1 = 0.

प्रमाणिक स्वरूपात LP समस्या.

ही पद्धत एक रेषीय प्रोग्रामिंग समस्येसाठी संदर्भ उपायांची हेतुपूर्ण गणना करण्याची एक पद्धत आहे. हे, मर्यादित संख्येच्या पायऱ्यांमध्ये, एकतर इष्टतम उपाय शोधण्यासाठी किंवा इष्टतम उपाय नाही हे स्थापित करण्यास अनुमती देते.

1. इष्टतम संदर्भ उपाय शोधण्यासाठी एक पद्धत सूचित करा
2. एका संदर्भ सोल्यूशनमधून दुसऱ्यामध्ये संक्रमणाची पद्धत सूचित करा, ज्यावर उद्दीष्ट कार्याचे मूल्य इष्टतम एकाच्या जवळ असेल, म्हणजे. संदर्भ समाधान सुधारण्याचा मार्ग सूचित करा
3. निकष सेट करा जे तुम्हाला इष्टतम सोल्यूशनवर समर्थन उपाय शोधणे त्वरित थांबविण्यास किंवा इष्टतम समाधानाच्या अनुपस्थितीबद्दल निष्कर्ष काढण्याची परवानगी देतात.

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी सिम्प्लेक्स पद्धतीचा अल्गोरिदम

1. समस्येला कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये आणा
2. "युनिट बेसिस" सह प्रारंभिक समर्थन उपाय शोधा (जर कोणतेही समर्थन समाधान नसेल, तर अडचणींच्या प्रणालीच्या विसंगततेमुळे समस्येचे निराकरण होत नाही)
3. संदर्भ सोल्यूशनवर आधारित वेक्टर विघटनाचे अंदाज काढा आणि सिम्प्लेक्स पद्धतीचा तक्ता भरा
4. जर इष्टतम समाधानाच्या विशिष्टतेचा निकष पूर्ण झाला तर समस्येचे निराकरण संपेल
5. इष्टतम सोल्यूशन्सच्या संचाच्या अस्तित्वाची अट पूर्ण झाल्यास, सर्व इष्टतम उपाय साध्या गणनेद्वारे शोधले जातात.

सिम्प्लेक्स पद्धत वापरून समस्या सोडवण्याचे उदाहरण

सिम्प्लेक्स पद्धत वापरून समस्या सोडवा:

उपाय:

आम्ही समस्या प्रामाणिक स्वरूपात आणतो.

हे करण्यासाठी, आम्ही पहिल्या असमानता प्रतिबंधाच्या डाव्या बाजूला गुणांक +1 सह अतिरिक्त व्हेरिएबल x 6 सादर करतो. व्हेरिएबल x 6 हे वस्तुनिष्ठ कार्यामध्ये शून्य गुणांकासह समाविष्ट केले आहे (म्हणजे, ते समाविष्ट केलेले नाही).

आम्हाला मिळते:

आम्ही प्रारंभिक समर्थन उपाय शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही शून्य x1 = x2 = x3 = 0 शी मुक्त (अनउत्तरित) चलांची बरोबरी करतो.

आम्हाला मिळते संदर्भ उपाय X1 = (0,0,0,24,30,6) युनिट आधारावर B1 = (A4, A5, A6).

आम्ही गणना करतो वेक्टर विघटनाचा अंदाजसूत्रानुसार संदर्भ समाधानाच्या आधारे अटी:

Δ k = C b X k - c k

• C b = (c 1, c 2, ..., c m) - मूळ चलांसाठी वस्तुनिष्ठ कार्याच्या गुणांकांचे सदिश
• X k = (x 1k, x 2k, ..., x mk) - संदर्भ सोल्यूशनच्या आधारावर संबंधित वेक्टर A k च्या विस्ताराचा सदिश
• C k हे व्हेरिएबल x k च्या वस्तुनिष्ठ कार्याचे गुणांक आहे.

आधारामध्ये समाविष्ट केलेल्या वेक्टरचे अंदाज नेहमी शून्याच्या समान असतात. संदर्भ समाधान, विस्तार गुणांक आणि संदर्भ सोल्यूशनवर आधारित कंडिशन वेक्टरच्या विस्ताराचे अंदाज यामध्ये लिहिलेले आहेत सिम्प्लेक्स टेबल:

सारणीच्या शीर्षस्थानी, अंदाजे मोजण्याच्या सोयीसाठी, वस्तुनिष्ठ कार्याचे गुणांक लिहिलेले आहेत. पहिल्या स्तंभ "B" मध्ये संदर्भ समाधानाच्या आधारे समाविष्ट केलेले वेक्टर लिहिलेले आहेत. हे वेक्टर ज्या क्रमाने लिहिलेले आहेत ते बंधन समीकरणांमधील अनुमत अज्ञातांच्या संख्येशी संबंधित आहेत. "C b" सारणीच्या दुसऱ्या स्तंभात मूळ चलांसाठीच्या वस्तुनिष्ठ कार्याचे गुणांक त्याच क्रमाने लिहिलेले आहेत. "C b" स्तंभातील वस्तुनिष्ठ कार्याच्या गुणांकांच्या योग्य मांडणीसह, आधारामध्ये समाविष्ट केलेल्या युनिट व्हेक्टरचे अंदाज नेहमी शून्य असतात.

"A 0" स्तंभातील Δ k च्या अंदाजांसह सारणीच्या शेवटच्या पंक्तीमध्ये संदर्भ सोल्यूशन Z(X 1) वर वस्तुनिष्ठ कार्याची मूल्ये लिहिली आहेत.

प्रारंभिक समर्थन उपाय इष्टतम नाही, कारण कमाल समस्येमध्ये A 1 आणि A 3 वेक्टरसाठी Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 हे अनुमान ऋण आहेत.

सपोर्ट सोल्यूशन सुधारण्याच्या प्रमेयानुसार, जर जास्तीत जास्त समस्येमध्ये कमीतकमी एका वेक्टरचा नकारात्मक अंदाज असेल, तर तुम्ही नवीन सपोर्ट सोल्यूशन शोधू शकता ज्यावर वस्तुनिष्ठ कार्याचे मूल्य जास्त असेल.

दोन सदिशांपैकी कोणते वेक्टर वस्तुनिष्ठ कार्यामध्ये मोठ्या प्रमाणात वाढ करतील हे ठरवू.

वस्तुनिष्ठ कार्याची वाढ सूत्रानुसार आढळते: .

आम्ही सूत्र वापरून पहिल्या आणि तिसऱ्या स्तंभासाठी पॅरामीटर θ 01 च्या मूल्यांची गणना करतो:

आम्हाला l = 1 साठी θ 01 = 6, l = 1 साठी θ 03 = 3 (टेबल 26.1) मिळते.

प्रथम सदिश ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12 आणि तिसरा सदिश ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27 या आधारावर मांडताना आपल्याला वस्तुनिष्ठ कार्याची वाढ आढळते.

परिणामी, इष्टतम सोल्यूशनच्या जलद दृष्टीकोनासाठी, पहिल्या पंक्तीमध्ये किमान θ 03 पॅरामीटर साध्य केल्यामुळे, आधार A6 च्या पहिल्या वेक्टरऐवजी संदर्भ सोल्यूशनच्या आधारावर वेक्टर A3 समाविष्ट करणे आवश्यक आहे ( l = 1).

आम्ही X13 = 2 घटकासह जॉर्डन परिवर्तन करतो, आम्हाला B2 = (A3, A4, A5) च्या आधारावर दुसरे संदर्भ समाधान X2 = (0,0,3,21,42,0) मिळते. (सारणी 26.2)

हे समाधान इष्टतम नाही, कारण वेक्टर A2 चा नकारात्मक अंदाज Δ2 = - 6 आहे. सोल्यूशन सुधारण्यासाठी, संदर्भ सोल्यूशनच्या आधारावर वेक्टर A2 समाविष्ट करणे आवश्यक आहे.

आम्ही आधारावरून काढलेल्या वेक्टरची संख्या निर्धारित करतो. हे करण्यासाठी, आम्ही दुसऱ्या स्तंभासाठी θ 02 पॅरामीटर मोजतो, ते l = 2 साठी 7 च्या बरोबरीचे आहे. परिणामी, आम्ही आधारावरून दुसरा आधार वेक्टर A4 काढतो. आम्ही x 22 = 3 या घटकासह जॉर्डन परिवर्तन करतो, आम्हाला तिसरे संदर्भ समाधान X3 = (0,7,10,0,63,0) B2 = (A3, A2, A5) (टेबल 26.3) मिळते.

हे समाधान एकमेव इष्टतम आहे, कारण आधारामध्ये समाविष्ट नसलेल्या सर्व वेक्टरसाठी अंदाज सकारात्मक आहेत

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

उत्तर:कमाल Z(X) = 201 येथे X = (0.7,10,0.63).

आर्थिक विश्लेषणामध्ये रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धत

रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धतउत्पादनात वापरल्या जाणाऱ्या संसाधनांशी संबंधित गंभीर निर्बंधांच्या परिस्थितीत सर्वात इष्टतम आर्थिक समाधानाचे औचित्य सिद्ध करणे शक्य करते (अचल मालमत्ता, साहित्य, कामगार संसाधने). आर्थिक विश्लेषणामध्ये या पद्धतीचा वापर केल्याने मुख्यतः संस्थेच्या क्रियाकलापांच्या नियोजनाशी संबंधित समस्यांचे निराकरण करणे शक्य होते. ही पद्धत उत्पादन उत्पादनाची इष्टतम मात्रा तसेच संस्थेकडे उपलब्ध असलेल्या उत्पादन संसाधनांच्या सर्वात प्रभावी वापरासाठी दिशानिर्देश निर्धारित करण्यात मदत करते.

या पद्धतीचा वापर करून, तथाकथित चरम समस्यांचे निराकरण केले जाते, ज्यामध्ये अत्यंत मूल्ये शोधणे समाविष्ट असते, म्हणजे, चल प्रमाणांची कमाल आणि किमान कार्ये.

हा कालावधी रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडविण्यावर आधारित आहे जेथे विश्लेषण केलेल्या आर्थिक घटना एका रेखीय, काटेकोरपणे कार्यात्मक अवलंबनाने जोडल्या जातात. काही मर्यादित घटकांच्या उपस्थितीत चलांचे विश्लेषण करण्यासाठी रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धत वापरली जाते.

रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धत वापरून तथाकथित वाहतूक समस्या सोडवणे खूप सामान्य आहे. जास्तीत जास्त ग्राहकांना सेवा देण्याची गरज असल्यास वाहनांची संख्या, त्यांची वाहून नेण्याची क्षमता, त्यांच्या ऑपरेशनचा कालावधी यासंबंधी विद्यमान निर्बंधांनुसार वाहनांच्या ऑपरेशनच्या संबंधात होणारा खर्च कमी करणे हे या कार्याची सामग्री आहे.

याव्यतिरिक्त, शेड्यूलिंग समस्येचे निराकरण करण्यासाठी ही पद्धत मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. या कार्यामध्ये दिलेल्या संस्थेच्या कर्मचाऱ्यांसाठी ऑपरेटिंग वेळेचे असे वितरण समाविष्ट आहे जे या कर्मचाऱ्यांच्या सदस्यांसाठी आणि संस्थेच्या ग्राहकांसाठी सर्वात स्वीकार्य असेल.

हे कार्य उपलब्ध कर्मचाऱ्यांच्या संख्येवरील मर्यादांनुसार सेवा दिलेल्या ग्राहकांची संख्या, तसेच कामकाजाच्या वेळेच्या निधीवर वाढवणे आहे.

अशा प्रकारे, विविध प्रकारच्या संसाधनांच्या प्लेसमेंट आणि वापराच्या विश्लेषणामध्ये तसेच संस्थांच्या क्रियाकलापांचे नियोजन आणि अंदाज करण्याच्या प्रक्रियेत रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धत खूप सामान्य आहे.

तरीसुद्धा, गणितीय प्रोग्रामिंग त्या आर्थिक घटनांवर देखील लागू केले जाऊ शकते, ज्यामधील संबंध रेषीय नाही. यासाठी, नॉनलाइनर, डायनॅमिक आणि कन्व्हेक्स प्रोग्रामिंग पद्धती वापरल्या जाऊ शकतात.

नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग हे वस्तुनिष्ठ फंक्शन किंवा मर्यादा किंवा दोन्हीच्या नॉनलाइनर स्वरूपावर अवलंबून असते. वस्तुनिष्ठ कार्याचे स्वरूप आणि या परिस्थितीत निर्बंधांची असमानता भिन्न असू शकते.

आर्थिक विश्लेषणामध्ये नॉनलाइनर प्रोग्रामिंगचा वापर केला जातो, विशेषतः, संस्थेच्या क्रियाकलापांची कार्यक्षमता आणि या क्रियाकलापांची मात्रा, उत्पादन खर्चाची रचना, बाजार परिस्थिती इ.

डायनॅमिक प्रोग्रामिंग निर्णय वृक्ष तयार करण्यावर आधारित आहे. या झाडाचा प्रत्येक स्तर मागील निर्णयाचे परिणाम निश्चित करण्यासाठी आणि त्या निर्णयासाठी अप्रभावी पर्याय काढून टाकण्यासाठी एक टप्पा म्हणून काम करतो. अशा प्रकारे, डायनॅमिक प्रोग्रामिंगमध्ये बहु-चरण, बहु-स्टेज निसर्ग आहे. या प्रकारच्या प्रोग्रामिंगचा वापर आर्थिक विश्लेषणामध्ये सध्या आणि भविष्यात संस्थेच्या विकासासाठी इष्टतम पर्याय शोधण्यासाठी केला जातो.

कन्व्हेक्स प्रोग्रामिंग हा नॉनलाइनर प्रोग्रामिंगचा एक प्रकार आहे. या प्रकारचे प्रोग्रामिंग संस्थेच्या क्रियाकलापांचे परिणाम आणि त्याची किंमत यांच्यातील संबंधांचे नॉनलाइनर स्वरूप व्यक्त करते. उत्तल (उर्फ अवतल) प्रोग्रामिंग उत्तल वस्तुनिष्ठ कार्ये आणि उत्तल अवरोध प्रणाली (व्यवहार्यता बिंदू) चे विश्लेषण करते. कॉन्व्हेक्स प्रोग्रामिंगचा वापर आर्थिक क्रियाकलापांच्या विश्लेषणामध्ये खर्च कमी करण्याच्या उद्देशाने केला जातो आणि अवतल प्रोग्रामिंगचा वापर विरुद्ध मार्गाने विश्लेषण केलेल्या निर्देशकांवर परिणाम करणाऱ्या घटकांच्या क्रियांवर विद्यमान निर्बंधांनुसार उत्पन्न वाढवण्याच्या उद्देशाने केला जातो. परिणामी, विचाराधीन प्रोग्रामिंगच्या प्रकारांसह, उत्तल वस्तुनिष्ठ कार्ये कमी केली जातात आणि अवतल वस्तुनिष्ठ कार्ये कमाल केली जातात.

रेखीय प्रोग्रामिंग

रेखीय प्रोग्रामिंग- रेखीय समीकरणे आणि असमानता प्रणालींद्वारे परिभाषित -आयामी वेक्टर स्पेसच्या संचावर सिद्धांत आणि अत्यंत समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींना समर्पित गणितीय शिस्त.

लिनियर प्रोग्रामिंग हे बहिर्गोल प्रोग्रामिंगचे एक विशेष प्रकरण आहे, जे गणितीय प्रोग्रामिंगचे एक विशेष प्रकरण आहे. त्याच वेळी, पूर्णांक आणि नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी अनेक पद्धतींचा आधार आहे. रेखीय प्रोग्रामिंगचे एक सामान्यीकरण म्हणजे फ्रॅक्शनल लिनियर प्रोग्रामिंग.

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांचे अनेक गुणधर्म पॉलिहेड्राचे गुणधर्म म्हणून देखील समजले जाऊ शकतात आणि अशा प्रकारे भौमितिकरित्या तयार आणि सिद्ध केले जाऊ शकतात.

कथा

इंटीरियर पॉइंट पद्धतीचा प्रथम उल्लेख I. I. Dikin यांनी 1967 मध्ये केला होता.

कार्ये

मुख्य (मानक) रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या फॉर्मचे किमान रेखीय वस्तुनिष्ठ कार्य (रेषीय स्वरूप) शोधण्याच्या समस्येला म्हणतात:

परिस्थितीत

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या असेल प्रामाणिक दृश्य , जर मुख्य समस्येमध्ये असमानतेच्या पहिल्या प्रणालीऐवजी समीकरणांची प्रणाली असेल:

अतिरिक्त व्हेरिएबल्स सादर करून मुख्य समस्या कॅनॉनिकलमध्ये कमी केली जाऊ शकते.

सर्वात सामान्य स्वरूपाच्या रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या (मिश्र मर्यादांसह समस्या: समानता आणि असमानता, अडथळ्यांपासून मुक्त व्हेरिएबल्सची उपस्थिती) व्हेरिएबल्स बदलून आणि समानता बदलून समतुल्य समस्यांपर्यंत कमी केल्या जाऊ शकतात (समाधानांचा समान संच) असमानता

हे पाहणे सोपे आहे की कमाल शोधण्याची समस्या विरुद्ध चिन्हासह गुणांक घेऊन किमान शोधण्याच्या कार्याद्वारे बदलली जाऊ शकते.

समस्यांची उदाहरणे

जास्तीत जास्त जुळणी

द्विपक्षीय आलेखामध्ये जास्तीत जास्त जुळणारी समस्या विचारात घ्या: तेथे अनेक मुले आणि मुली आहेत आणि प्रत्येक मुलगा आणि मुलगी हे एकमेकांसाठी आकर्षक आहेत की नाही हे ओळखले जाते. परस्पर सहानुभूतीने जास्तीत जास्त जोडप्यांशी विवाह करणे आवश्यक आहे.

चला -मुलगा आणि -मुलीच्या जोडीशी सुसंगत व्हेरिएबल्स सादर करूया आणि निर्बंध पूर्ण करूया:

वस्तुनिष्ठ कार्यासह. हे दर्शविले जाऊ शकते की या समस्येच्या इष्टतम उपायांपैकी एक पूर्णांक आहे. 1 च्या समान व्हेरिएबल्स विवाहित जोडप्यांशी संबंधित असतील.

जास्तीत जास्त प्रवाह

एक आलेख असू द्या (ओरिएंटेड कडांसह) ज्यामध्ये प्रत्येक काठासाठी त्याची क्षमता दर्शविली आहे. आणि दोन शिरोबिंदू दिले आहेत: निचरा आणि स्त्रोत. प्रत्येक काठासाठी त्यातून किती द्रव प्रवाहित होईल (त्याच्या क्षमतेपेक्षा जास्त नाही) हे सूचित करणे आवश्यक आहे जेणेकरुन स्त्रोतापासून नाल्याकडे एकूण प्रवाह जास्तीत जास्त व्हावा (ड्रेने आणि स्त्रोत वगळता सर्व शिरोबिंदूंवर द्रव दिसू शकत नाही किंवा अदृश्य होऊ शकत नाही).

बरगडीतून वाहणाऱ्या द्रवाचे प्रमाण चल म्हणून घेऊ. मग

त्या काठाची क्षमता कुठे आहे. या असमानता प्रत्येक शिरोबिंदूसाठी प्रवाही आणि बहिर्मुख द्रवपदार्थाच्या समानतेने पूरक असणे आवश्यक आहे, निचरा आणि स्त्रोत वगळता. एक कार्य म्हणून, स्त्रोतावरील बहिर्वाह आणि प्रवाही द्रवपदार्थ यांच्यातील फरक लक्षात घेणे स्वाभाविक आहे.

मागील समस्येचे सामान्यीकरण म्हणजे किमान खर्चाचा जास्तीत जास्त प्रवाह. या समस्येमध्ये, प्रत्येक काठासाठी खर्च दिलेला आहे आणि आपल्याला जास्तीत जास्त प्रवाहांमध्ये किमान खर्चासह प्रवाह निवडण्याची आवश्यकता आहे. ही समस्या दोन रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांपर्यंत खाली येते: प्रथम आपल्याला जास्तीत जास्त प्रवाहाची समस्या सोडवणे आवश्यक आहे, आणि नंतर या समस्येमध्ये मर्यादा जोडणे आवश्यक आहे , कमाल प्रवाहाचे मूल्य कोठे आहे आणि नवीन कार्यासह समस्या सोडवा - प्रवाहाची किंमत.

समीकरणे आणि असमानता यांच्या विशेष संरचनेमुळे, रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी सामान्य अल्गोरिदमच्या तुलनेत या समस्या जलद सोडवल्या जाऊ शकतात.

वाहतूक कार्य

एक विशिष्ट एकसंध माल आहे ज्याला गोदामांमधून कारखान्यांमध्ये हस्तांतरित करणे आवश्यक आहे. प्रत्येक गोदामासाठी त्यात किती माल आहे हे माहीत असते आणि प्रत्येक वनस्पतीसाठी त्याची मालाची मागणी माहीत असते. वाहतुकीची किंमत गोदामापासून कारखान्यापर्यंतच्या अंतराच्या प्रमाणात असते (व्या गोदामापासून फॅक्टरीपर्यंतचे सर्व अंतर ज्ञात आहेत). स्वस्त वाहतूक योजना तयार करणे आवश्यक आहे.

या प्रकरणातील निर्णायक व्हेरिएबल्स म्हणजे गोदामातून व्या प्लांटपर्यंत वाहून नेल्या जाणाऱ्या मालाचे प्रमाण. ते निर्बंध पूर्ण करतात:

वस्तुनिष्ठ कार्याचे स्वरूप आहे: , जे कमी करणे आवश्यक आहे.

शून्य बेरीज खेळ

एक आकार मॅट्रिक्स आहे. पहिला खेळाडू 1 ते , दुसरा - 1 ते . मग ते संख्या तपासतात आणि पहिल्या खेळाडूला गुण मिळतात आणि दुसऱ्याला गुण मिळतात (पहिल्या खेळाडूने निवडलेला क्रमांक दुसरा मिळतो). आम्हाला पहिल्या खेळाडूसाठी इष्टतम रणनीती शोधण्याची गरज आहे.

समजा की एखाद्या इष्टतम रणनीतीमध्ये, उदाहरणार्थ, पहिल्या खेळाडूने संभाव्यतेसह संख्या निवडणे आवश्यक आहे. मग इष्टतम धोरण खालील रेखीय प्रोग्रामिंग समस्येचे निराकरण आहे:

ज्यामध्ये फंक्शन कमाल करणे आवश्यक आहे. इष्टतम सोल्यूशनमधील मूल्य हे सर्वात वाईट परिस्थितीत पहिल्या खेळाडूच्या मोबदल्याची गणितीय अपेक्षा असेल.

उपाय अल्गोरिदम

सामान्य रेखीय प्रोग्रामिंग (LP) समस्या सोडवण्यासाठी सरावामध्ये सर्वात प्रसिद्ध आणि व्यापकपणे वापरली जाणारी सिम्प्लेक्स पद्धत आहे. सिम्प्लेक्स पद्धत ही बऱ्यापैकी प्रभावी अल्गोरिदम असूनही लागू केलेल्या LP समस्यांचे निराकरण करण्यात चांगले परिणाम दर्शविले आहेत, हे घातांकीय जटिलतेसह अल्गोरिदम आहे. याचे कारण सिम्प्लेक्स पद्धतीचे संयोजनात्मक स्वरूप आहे, जे इष्टतम समाधान शोधताना व्यवहार्य सोल्यूशन्सच्या पॉलिहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंची अनुक्रमे गणना करते.

प्रथम बहुपदी अल्गोरिदम, लंबवर्तुळ पद्धत, सोव्हिएत गणितज्ञ एल. खाचियान यांनी 1979 मध्ये प्रस्तावित केली होती, अशा प्रकारे दीर्घकाळ न सुटलेली समस्या सोडवली. इलिप्सॉइड पद्धतीमध्ये सिम्प्लेक्स पद्धतीपेक्षा पूर्णपणे भिन्न, गैर-संयोजक स्वरूप आहे. तथापि, संगणकीय दृष्टिकोनातून, ही पद्धत आशाहीन असल्याचे दिसून आले. तरीसुद्धा, समस्यांच्या बहुपदी जटिलतेच्या वस्तुस्थितीमुळे प्रभावी एलपी अल्गोरिदमचा संपूर्ण वर्ग तयार झाला - अंतर्गत बिंदू पद्धती, त्यापैकी पहिला एन. करमरकर यांनी 1984 मध्ये प्रस्तावित केलेला अल्गोरिदम होता. या प्रकारचे अल्गोरिदम एलपी समस्येचे सतत व्याख्या वापरतात, जेव्हा एलपी समस्येचे निराकरण करण्यासाठी पॉलीहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंची गणना करण्याऐवजी, समस्या व्हेरिएबल्सच्या जागेत ट्रॅजेक्टोरीजसह शोध केला जातो जे शिरोबिंदूंमधून जात नाहीत. पॉलीहेड्रॉनचे. इंटीरियर पॉइंट पद्धत, जी, सिम्प्लेक्स पद्धतीच्या विपरीत, व्यवहार्य प्रदेशाच्या आतील भागातून बिंदू पार करते, 1960 मध्ये Fiacco आणि McCormick यांनी विकसित केलेल्या लॉग-बॅरियर नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग पद्धती वापरते.

हे देखील पहा

• रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी ग्राफिकल पद्धत

नोट्स

साहित्य

• थॉमस एच. कोरमन आणि इतर.धडा 29. रेखीय प्रोग्रामिंग // अल्गोरिदम: बांधकाम आणि विश्लेषण = अल्गोरिदमचा परिचय. - दुसरी आवृत्ती. - एम.: "विलियम्स", 2006. - पी. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4
• अकुलिच आय.एल.धडा 1. रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या, धडा 2. विशेष रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या // उदाहरणे आणि समस्यांमध्ये गणितीय प्रोग्रामिंग. - एम.: हायर स्कूल, 1986. - 319 पी. - ISBN 5-06-002663-9
• कर्मानोव्ह व्ही. जी.गणितीय प्रोग्रामिंग. - तिसरी आवृत्ती. - एम.: नौका, 1986. - 288 पी.
• डॅनझिग जॉर्ज बर्नार्ड "रेखीय प्रोग्रामिंगच्या सुरुवातीच्या आठवणी"

दुवे

• - रेखीय, पूर्णांक आणि लक्ष्य प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी डिझाइन केलेले विनामूल्य ऑप्टिमायझेशन पॅकेज.
• वर्शिक ए.एम. "एल. व्ही. कांटोरोविच आणि रेखीय प्रोग्रामिंग बद्दल"
• बोलशाकोवा I. V., Kuralenko M. V. “लिनियर प्रोग्रामिंग. चाचणीसाठी शैक्षणिक आणि पद्धतशीर मॅन्युअल."
• बार्सोव ए.एस. “रेखीय प्रोग्रामिंग म्हणजे काय”, गणितावरील लोकप्रिय व्याख्याने, गोस्तेखिजदत, १९५९.
• M. N. व्याल्यीरेखीय असमानता आणि संयोजन. - MCNMO, 2003.

विकिमीडिया फाउंडेशन.

• 2010.
• सॉल्टन, फेलिक्स

ग्लागो, मार्टिना

इतर शब्दकोशांमध्ये “लिनियर प्रोग्रामिंग” काय आहे ते पहा:- - रेखीय प्रोग्रामिंग हे गणितीय प्रोग्रामिंगचे क्षेत्र आहे जे सिद्धांत आणि अत्यंत समस्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींना समर्पित आहे ... तांत्रिक अनुवादक मार्गदर्शक

रेखीय प्रोग्रामिंग

रेखीय प्रोग्रामिंग- व्हेरिएबल्समधील रेखीय संबंधाने वैशिष्ट्यीकृत अत्यंत समस्या सोडवण्याच्या सिद्धांत आणि पद्धतींना समर्पित गणितीय प्रोग्रामिंगचे क्षेत्र. त्याच्या सर्वात सामान्य स्वरूपात, L.p. ची समस्या. असे लिहिले जाऊ शकते. दाना...... आर्थिक आणि गणितीय शब्दकोश

15. विश्लेषणात्मक पद्धती. रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धती.

१५.१. विश्लेषणात्मक पद्धती

त्याच्या संपूर्ण उत्क्रांतीमध्ये, मनुष्याने, काही क्रिया करत असताना, अशा प्रकारे वागण्याचा प्रयत्न केला की काही कृतीचा परिणाम म्हणून प्राप्त झालेले परिणाम, एका अर्थाने, सर्वोत्तम ठरले. एका बिंदूवरून दुसऱ्या बिंदूकडे जाताना, त्याने शक्य तितक्या लहान मार्गाचा शोध घेण्याचा प्रयत्न केला. निवासस्थान बांधताना, त्याने अशी भूमिती शोधली जी कमीतकमी इंधन वापरासह स्वीकार्य राहणीमान प्रदान करेल. जहाजे बांधताना, त्याने त्यांना असा आकार देण्याचा प्रयत्न केला ज्यामध्ये पाणी कमीत कमी प्रतिकार करेल. तत्सम उदाहरणांची यादी सहजपणे चालू ठेवली जाऊ शकते.

एका विशिष्ट अर्थाने समस्यांचे सर्वोत्तम उपाय सहसा म्हणतात इष्टतम. सध्या, ऑप्टिमायझेशन तत्त्वांचा वापर केल्याशिवाय एकही अधिक किंवा कमी जटिल समस्या सोडवली जाऊ शकत नाही. ऑप्टिमायझेशन समस्या सेट करताना आणि सोडवताना, दोन प्रश्न उद्भवतात: काय आणि कसे ऑप्टिमाइझ करावे?

समस्येचे निराकरण करण्याच्या सखोल अभ्यासाच्या परिणामी पहिल्या प्रश्नाचे उत्तर प्राप्त होते. उद्भवलेल्या समस्येच्या निराकरणाच्या परिपूर्णतेची डिग्री निर्धारित करणारे पॅरामीटर ओळखले जाते. हे पॅरामीटर सहसा म्हणतात लक्ष्य कार्यकिंवा गुणवत्ता निकष. पुढे, परिमाणांचा एक संच स्थापित केला जातो जो वस्तुनिष्ठ कार्य निर्धारित करतो. शेवटी, समस्या सोडवताना विचारात घेतलेल्या सर्व अडचणी तयार केल्या जातात. यानंतर, एक गणितीय मॉडेल तयार केले जाते, ज्यामध्ये सर्व युक्तिवादांवर वस्तुनिष्ठ कार्याचे विश्लेषणात्मक अवलंबित्व स्थापित करणे आणि समस्येशी संबंधित अडचणींचे विश्लेषणात्मक सूत्रीकरण समाविष्ट आहे. पुढे, आपण दुसऱ्या प्रश्नाचे उत्तर शोधू लागतो.

तर, लागू केलेल्या समस्येच्या औपचारिकतेच्या परिणामी, हे स्थापित केले गेले आहे की वस्तुनिष्ठ कार्य आहे , जेथे संच X निर्बंधांचे सामान्यीकरण आहे, त्याला व्यवहार्य उपायांचा संच म्हणतात. ऑप्टिमायझेशन समस्येचे सार म्हणजे सेट X वर शोधणे - अशा समाधानासाठी व्यवहार्य उपायांचा संच
, ज्यावर लक्ष्य कार्य करते f त्याच्या किमान किंवा कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते.

ऑप्टिमायझेशन पद्धतींचा एक अविभाज्य भाग रेखीय प्रोग्रामिंग आहे.

१५.२. रेखीय प्रोग्रामिंगच्या मूलभूत संकल्पना

प्रभावी उत्पादन व्यवस्थापनातील गणितीय पद्धतींचा पहिला उल्लेख (1938) सोव्हिएत गणितज्ञ एल.व्ही. कांटोरोविच यांचा आहे. एका वर्षानंतर, 1939 मध्ये, एल.व्ही. कांटोरोविच यांनी "उत्पादनाचे आयोजन आणि नियोजन करण्याच्या गणितीय पद्धती" हे काम प्रकाशित केले आणि प्राप्त परिणामांचा व्यावहारिकपणे वापर केला. 40 च्या दशकाच्या उत्तरार्धात अमेरिकन गणितज्ञ जे. डॅनझिग आणि टी. कूपमन्स यांनी “रेखीय प्रोग्रामिंग” हा शब्द सुरू केला. जे. डॅन्टझिग यांनी रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सोडवण्यासाठी सिम्प्लेक्स पद्धतीचे गणितीय उपकरण विकसित केले (1951). सिम्प्लेक्स पद्धत रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांच्या विस्तृत श्रेणीचे निराकरण करण्यासाठी वापरली जाते आणि अजूनही मुख्य पद्धतींपैकी एक आहे.

रेखीय प्रोग्रामिंग ही गणिताची एक शाखा आहे जी रेषीय समीकरणांद्वारे वर्णन केलेल्या समस्यांमध्ये एक्स्ट्रिमम (कमाल किंवा कमाल) शोधण्यावर केंद्रित आहे. शिवाय, रेखीय समीकरणे वस्तुनिष्ठ कार्य आणि इनपुट पॅरामीटर्स (व्हेरिएबल्स) आणि इनपुट पॅरामीटर्सवरील निर्बंधांच्या अटी या दोन्हीचे वर्णन करतात. रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांसाठी आवश्यक अट म्हणजे संसाधनांवर निर्बंधांची अनिवार्य उपस्थिती (कच्चा माल, साहित्य, वित्त, उत्पादित उत्पादनांची मागणी इ.). समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आणखी एक महत्त्वाची अट म्हणजे अल्गोरिदम थांबविण्याच्या निकषाची निवड, म्हणजे उद्दीष्ट कार्य काही अर्थाने इष्टतम असणे आवश्यक आहे. वस्तुनिष्ठ कार्याची इष्टतमता परिमाणात्मकपणे व्यक्त केली जाणे आवश्यक आहे. लक्ष्य फंक्शन एक किंवा दोन समीकरणांद्वारे दर्शविल्यास, सराव मध्ये अशा समस्या अगदी सहजपणे सोडवल्या जाऊ शकतात. अल्गोरिदम स्टॉपिंग निकष (किंवा इष्टतमता निकष) खालील आवश्यकता पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

दिलेल्या कार्यासाठी एकमेव व्हा;

प्रमाणाच्या युनिट्समध्ये मोजले जाते;

रेखीयपणे इनपुट पॅरामीटर्सवर अवलंबून असते.

वरील आधारे, आम्ही रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या सामान्य स्वरूपात तयार करू शकतो:

वस्तुनिष्ठ कार्याचा टोकाचा भाग शोधा

समानतेच्या स्वरूपात निर्बंध अंतर्गत:

(2.2)

असमानतेच्या स्वरूपात निर्बंध अंतर्गत:

(2.3)

आणि इनपुट पॅरामीटर्सच्या गैर-नकारात्मकतेच्या अटी:

थोडक्यात, रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या खालीलप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते:

(2.5)

ते दिले

कुठे
- इनपुट व्हेरिएबल्स;

संख्या सकारात्मक, ऋण आणि शून्याच्या समान आहेत.

मॅट्रिक्स स्वरूपात, ही समस्या खालीलप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते:

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या विश्लेषणात्मक आणि ग्राफिक पद्धतीने सोडवल्या जाऊ शकतात.

१५.३. कॅनोनिकल रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या

, i=1,…,m,

, j=1,…,n.

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी मुख्य संगणकीय पद्धती विशेषतः कॅनोनिकल समस्येसाठी विकसित केल्या गेल्या.

१५.४. सामान्य रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या

चे रेखीय कार्य जास्तीत जास्त (कमीतकमी) करणे आवश्यक आहे nचल

निर्बंध अंतर्गत

, i=1,…, k,

, i=1+ k,…, मी,

, …,

येथे k≤ मी, आर≤ n. मानक समस्या सह सामान्य एक विशेष केस म्हणून प्राप्त आहे k= मी, आर= n; प्रमाणिक - येथे k=0, आर= n.

उदाहरण.

मिठाई कारखाना अनेक प्रकारच्या मिठाई तयार करतो. चला त्यांना "A", "B" आणि "C" म्हणू या. हे ज्ञात आहे की दहा किलोग्रॅम मिठाई "ए" च्या विक्रीतून 90 रूबल, "बी" - 100 रूबल आणि "सी" - 160 रूबलचा नफा मिळतो. कँडी कोणत्याही प्रमाणात तयार केली जाऊ शकते (विक्रीची हमी आहे), परंतु कच्च्या मालाचा पुरवठा मर्यादित आहे. कोणत्या प्रकारची मिठाई आणि किती दहा किलोग्रॅम तयार करणे आवश्यक आहे हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे जेणेकरून विक्रीतून एकूण नफा जास्तीत जास्त होईल. प्रत्येक प्रकारच्या 10 किलो मिठाईच्या उत्पादनासाठी कच्च्या मालाच्या वापराचे दर तक्ता 1 मध्ये दिले आहेत.

तक्ता 1. कच्च्या मालाचा वापर दर

उत्पादनासाठी

समस्येचे आर्थिक आणि गणितीय सूत्रीकरणाचे स्वरूप आहे

अशी चल मूल्ये शोधा X=(x1, x2, x3), ते

वस्तुनिष्ठ कार्य

अटींनुसार-निर्बंध:

40 आणि 50 च्या दशकात रेखीय प्रोग्रामिंग लागू गणिताची एक वेगळी शाखा म्हणून उदयास आली. XX शतक सोव्हिएत शास्त्रज्ञाच्या कार्याबद्दल धन्यवाद, नोबेल पारितोषिक विजेते एल.व्ही. कंटोरोविच. 1939 मध्ये, त्यांनी "उत्पादनाचे आयोजन आणि नियोजन करण्याच्या गणितीय पद्धती" हे काम प्रकाशित केले, ज्यामध्ये त्यांनी मशिनचे सर्वोत्तम लोडिंग, कमीत कमी किमतीत साहित्य कापणे, अनेक प्रकारच्या वाहतुकीमध्ये मालाचे वितरण आणि इतरांबद्दल आर्थिक समस्या सोडवण्यासाठी गणिताचा वापर केला. , गुणकांचे निराकरण करण्याची पद्धत प्रस्तावित करणे 8 .

एल.व्ही. इष्टतम योजना, संसाधनांचे इष्टतम वाटप, वस्तुनिष्ठपणे निर्धारित मूल्यमापन यासारख्या मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जाणाऱ्या आर्थिक आणि गणिती संकल्पना तयार करणारे कँटोरोविच हे पहिले होते, ज्या अर्थशास्त्राच्या अनेक क्षेत्रांना सूचित करतात जेथे ते लागू केले जाऊ शकतात.

रेखीय प्रोग्रामिंगची संकल्पना अमेरिकन गणितज्ञ डी. डॅन्टझिग यांनी मांडली होती, ज्यांनी 1949 मध्ये रेखीय प्रोग्रामिंग समस्येचे निराकरण करण्यासाठी एक अल्गोरिदम प्रस्तावित केला होता, ज्याला "सिंपलेक्स पद्धत" म्हणतात.

गणितीय प्रोग्रामिंग, ज्यामध्ये रेखीय प्रोग्रामिंग समाविष्ट आहे, सध्या ऑपरेशन्स संशोधनाच्या क्षेत्रांपैकी एक आहे. कोणत्या प्रकारच्या समस्यांचे निराकरण केले जात आहे यावर अवलंबून, ते रेखीय, नॉनलाइनर, डिस्क्रिट, डायनॅमिक प्रोग्रामिंग इत्यादी क्षेत्रांमध्ये फरक करते. "प्रोग्रामिंग" हा शब्द सामान्यतः समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत असणारे अज्ञात व्हेरिएबल्स निर्धारित करतात या वस्तुस्थितीमुळे ओळखले गेले. काही आर्थिक घटकाचा कार्यक्रम किंवा योजना ऑपरेशन.

शास्त्रीय गणितीय विश्लेषणामध्ये, कंडिशनल एक्स्ट्रीमम निर्धारित करण्याच्या समस्येचे सामान्य सूत्रीकरण अभ्यासले जाते. तथापि, औद्योगिक उत्पादन, वाहतूक, कृषी आणि बँकिंग क्षेत्राच्या विकासाच्या संबंधात, गणितीय विश्लेषणाचे पारंपारिक परिणाम पुरेसे नव्हते. सरावाच्या गरजा आणि संगणक तंत्रज्ञानाच्या विकासामुळे जटिल आर्थिक प्रणालींचे विश्लेषण करताना इष्टतम उपाय निश्चित करण्याची गरज निर्माण झाली आहे.

अशा समस्या सोडवण्याचे मुख्य साधन म्हणजे गणितीय मॉडेलिंग. या प्रकरणात, प्रथम एक साधे मॉडेल तयार केले जाते, नंतर त्याचे संशोधन केले जाते, ज्यामुळे ऑब्जेक्टचे कोणते समाकलित गुणधर्म औपचारिक योजनेद्वारे कॅप्चर केलेले नाहीत हे समजून घेणे शक्य होते, त्यानंतर, मॉडेलची गुंतागुंत करून, त्याची अधिक पर्याप्तता. वास्तविकतेची खात्री केली जाते. बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, वास्तविकतेचे पहिले अंदाज हे एक मॉडेल असते ज्यामध्ये ऑब्जेक्टची स्थिती दर्शविणाऱ्या व्हेरिएबल्समधील सर्व अवलंबित्व रेषीय असतात. सराव दर्शवितो की पुरेशा प्रमाणात आर्थिक प्रक्रियांचे वर्णन रेखीय मॉडेल्सद्वारे केले जाते. परिणामी, रेषीय समीकरणे आणि असमानता द्वारे परिभाषित केलेल्या सेटवर एक सशर्त सीमा शोधण्याची परवानगी देणारे उपकरण म्हणून रेखीय प्रोग्रामिंग या प्रक्रियेच्या विश्लेषणात महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते.

रेखीय प्रोग्रामिंगचा व्यापक विकास झाला आहे कारण हे स्थापित केले गेले आहे की रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांच्या रूपात अनेक नियोजन आणि नियंत्रण समस्या तयार केल्या जाऊ शकतात, ज्याचे निराकरण करण्यासाठी प्रभावी पद्धती आहेत. तज्ञांच्या मते, सराव मध्ये सोडवलेल्या सर्व ऑप्टिमायझेशन समस्यांपैकी अंदाजे 80-85% रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांशी संबंधित आहेत.

संगणक प्रोग्राम्सच्या संयोजनात तयार केलेले गणितीय उपकरण जे श्रम-केंद्रित गणना करतात ते आर्थिक विज्ञान आणि सराव मध्ये रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडेल्सचा व्यापकपणे वापर करणे शक्य करते.

व्याख्या १ 9 . लिनियर प्रोग्रामिंग (LP) हे गणितीय प्रोग्रामिंगचे एक क्षेत्र आहे, जी गणिताची एक शाखा आहे जी मर्यादित संख्येच्या चलांच्या रेखीय कार्याची अत्यंत (सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान) मूल्ये शोधण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास करते, ज्याचे अज्ञात आहेत रेखीय मर्यादा.

या रेषीय फंक्शनला लक्ष्य फंक्शन असे म्हणतात, आणि मर्यादा, जे चलांमधील परिमाणात्मक संबंध दर्शवतात जे आर्थिक समस्येची परिस्थिती आणि आवश्यकता व्यक्त करतात आणि समीकरणे किंवा असमानतेच्या रूपात गणितीय पद्धतीने लिहिलेले असतात, त्यांना मर्यादांची प्रणाली म्हणतात.

आर्थिक प्रक्रियांचे नियोजन करण्याच्या समस्यांची विस्तृत श्रेणी रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांपर्यंत कमी केली जाते, जिथे सर्वोत्तम (इष्टतम) समाधान शोधण्याचे कार्य उभे केले जाते.

सामान्य रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या (GLP) म्हणजे रेखीय कार्याचे अत्यंत मूल्य (कमाल किंवा किमान) शोधणे, ज्याला उद्दिष्ट 10 म्हणतात:

पासून n चल x 1 , x 2 , …, एक्स nलागू केलेल्या कार्यात्मक निर्बंधांसह:

(3.2)

आणि थेट निर्बंध (व्हेरिएबल्सच्या गैर-नकारात्मकतेची आवश्यकता)

, (3.3)

कुठे a ij , b i , c j- दिलेली स्थिर मूल्ये.

निर्बंधांच्या प्रणालीमध्ये (3.2), "त्यापेक्षा कमी किंवा समान", "इतकेच" आणि "त्यापेक्षा मोठे किंवा समान" ही चिन्हे एकाच वेळी दिसू शकतात.

अधिक संक्षिप्त स्वरूपात ZLP मध्ये फॉर्म आहे:

,

निर्बंधांसह:

;

.

वेक्टर` एक्स = (x 1 , x 2 , …, एक्स n) ज्याचे घटक समस्येचे कार्यात्मक आणि थेट निर्बंध पूर्ण करतात त्यांना म्हणतात योजना(किंवा स्वीकार्य उपाय) ZLP.

सर्व व्यवहार्य उपाय तयार होतात व्याख्या डोमेन रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या, किंवा व्यवहार्य उपायांचा प्रदेश (ODR). एक व्यवहार्य उपाय जे जास्तीत जास्त किंवा किमान उद्दिष्ट कार्य वितरीत करते f(`एक्स), याला समस्येची इष्टतम योजना म्हणतात आणि दर्शविले जाते f(`एक्स * ), कुठे ` एक्स * =(x 1 * , x 2 * , …, एक्स n * ).

पीपीपी रेकॉर्ड करण्याचा आणखी एक प्रकार:

,

कुठे f(`एक्स * ) हे कमाल (किमान) मूल्य आहे f(सह, एक्स), संभाव्य उपायांच्या संचामध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व उपायांचा ताबा घेतला एक्स .

व्याख्या २ 11 . वस्तुनिष्ठ कार्याची गणितीय अभिव्यक्ती आणि त्याच्या मर्यादांना आर्थिक समस्येचे गणितीय मॉडेल म्हणतात.

गणितीय मॉडेल संकलित करण्यासाठी आपल्याला आवश्यक आहे:

1) चल ओळखा;

2) समस्येच्या ध्येयावर आधारित एक वस्तुनिष्ठ कार्य तयार करा;

3) समस्या विधानातील निर्देशक आणि त्यांचे परिमाणवाचक नमुने विचारात घेऊन निर्बंधांची प्रणाली लिहा.