कोणत्या प्रकारच्या घुसखोरी शोध प्रणाली अस्तित्वात आहेत. घुसखोरी शोध यंत्रणा. हल्ल्याच्या अंमलबजावणीचे टप्पे

संगणक विज्ञान सिद्धांताच्या मूलभूत गोष्टींचा गोषवारा

विषय:ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली.

पूर्णांक एका संख्या प्रणालीतून दुसऱ्या क्रमांकामध्ये रूपांतरित करणे.

इमाशेव इलनार आयदारोविच

विशेष 230701

अप्लाइड इन्फॉर्मेटिक्स

कोर्स 2, ग्रुप PI-2

शिक्षणाचे पूर्ण-वेळ स्वरूप

पर्यवेक्षक:

कलाश्निकोवा अनास्तासिया निकोलायव्हना

परिचय.............................................................................................................. 3

1. ऑक्टल संख्या प्रणाली................................................ ........................................ 5

2. हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली................................................ ....................... 7

3. संख्या एका क्रमांक प्रणालीतून दुसऱ्या क्रमांकामध्ये रूपांतरित करणे................................. ............ 9

निष्कर्ष...................................................................................................... 11

संदर्भग्रंथ......................................................................................... 12

अर्ज

परिचय

समाजाच्या विकासाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर, लोकांना जवळजवळ कसे मोजायचे हे माहित नव्हते. त्यांनी एकमेकांपासून दोन आणि तीन वस्तूंचे संग्रह वेगळे केले; मोठ्या संख्येने वस्तू असलेला कोणताही संग्रह “अनेक” या संकल्पनेत एकत्रित होता. हे अद्याप खाते नव्हते, परंतु केवळ त्याचा गर्भ होता.

त्यानंतर, लहान समुच्चयांना एकमेकांपासून वेगळे करण्याची क्षमता विकसित झाली; “चार”, “पाच”, “सहा”, “सात” या संकल्पना दर्शविण्यासाठी शब्द निर्माण झाले. शेवटचा शब्द बराच वेळअनिश्चित काळासाठी मोठ्या प्रमाणात देखील सूचित केले. आमच्या म्हणींनी या युगाची स्मृती जतन केली आहे ("सात वेळा मोजा - एकदा कापा", "सात आयांना डोळ्याशिवाय मूल आहे", "सात त्रास - एक उत्तर" इ.).

विशेषतः महत्वाची भूमिकामाणसाच्या नैसर्गिक साधनाने वाजवले - त्याच्या बोटांनी. हे इन्स्ट्रुमेंट बर्याच काळासाठी गणना परिणाम संचयित करू शकले नाही, परंतु ते नेहमी "हातात" होते आणि उत्कृष्ट गतिशीलतेने वेगळे होते. आदिमानवाची भाषा गरीब होती; जेश्चरने शब्दांच्या कमतरतेची भरपाई केली आणि बोटांवर नावे नसलेली संख्या "दाखवली" गेली.

म्हणूनच, हे अगदी स्वाभाविक आहे की "मोठ्या" संख्येची नवीन उदयोन्मुख नावे बहुतेक वेळा 10 क्रमांकावर आधारित होती - हाताच्या बोटांच्या संख्येनुसार.

सुरुवातीला, संख्यांच्या साठ्याचा विस्तार मंद होता. सुरुवातीला, लोक काही दहाच्या आत मोजण्यात प्रभुत्व मिळवले आणि नंतर फक्त शंभरावर पोहोचले. बऱ्याच लोकांचा क्रमांक 40 असतो बर्याच काळासाठीमोजणी मर्यादा होती आणि नाव अनिश्चित आहे मोठ्या संख्येने. रशियन भाषेत, “सेंटीपीड” या शब्दाचा अर्थ “सेंटीपीड” आहे; "चाळीस चाळीस" या अभिव्यक्तीचा अर्थ जुन्या काळात सर्व कल्पनेला मागे टाकणारी संख्या होती.

पुढच्या टप्प्यावर, मोजणी नवीन मर्यादेपर्यंत पोहोचते: दहा दहा, आणि 100 क्रमांकासाठी एक नाव तयार केले जाते. त्याच वेळी, "शंभर" शब्दाचा अनिश्चित अर्थ होतो. मोठ्या संख्येने. एक हजार, दहा हजार (जुन्या दिवसात या संख्येला "अंधार" म्हटले जात असे), आणि दहा लाख नंतर समान अर्थ प्राप्त करतात.

चालू आधुनिक टप्पामोजणीच्या सीमा "अनंत" या शब्दाद्वारे परिभाषित केल्या जातात, ज्या कोणत्याही विशिष्ट संख्येची नियुक्ती करत नाहीत.

आधुनिक माणूसव्ही रोजचे जीवनमला सतत संख्या आणि आकडेवारीचा सामना करावा लागतो - ते सर्वत्र आमच्याबरोबर असतात. प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांनी पेन्सिल-ऑन-पेपर कॅलक्युलेशनपासून ते सुपर कॉम्प्युटरवर केलेल्या गणनेपर्यंत संख्यात्मक गणनेची आवश्यकता असताना विविध संख्या प्रणाली वापरल्या जातात. म्हणून, हा विषय माझ्यासाठी खूप मनोरंजक आहे आणि मला त्याबद्दल अधिक जाणून घ्यायचे होते.

ऑक्टल संख्या प्रणाली

ऑक्टल संख्या प्रणाली- आधार 8 असलेली स्थितीत्मक पूर्णांक संख्या प्रणाली. ती संख्या दर्शवण्यासाठी 0 ते 7 पर्यंतच्या संख्यांचा वापर करते.

ऑक्टल प्रणाली बहुतेक वेळा डिजिटल उपकरणांशी संबंधित क्षेत्रांमध्ये वापरली जाते. ऑक्टल संख्यांचे बायनरीमध्ये सहज रूपांतर करणे आणि त्याउलट, ऑक्टल संख्यांना बायनरी ट्रिपलेटसह बदलून त्याचे वैशिष्ट्य आहे. पूर्वी, हे सर्वसाधारणपणे प्रोग्रामिंग आणि संगणक दस्तऐवजीकरणामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जात होते, परंतु आता हेक्साडेसिमलने जवळजवळ पूर्णपणे बदलले आहे.

ऑक्टल ते बायनरी रूपांतरण सारणी

भाषांतरासाठी ऑक्टल संख्याबायनरीमध्ये तुम्हाला अष्टक संख्येचा प्रत्येक अंक तिहेरीने बदलण्याची आवश्यकता आहे बायनरी अंक. उदाहरणार्थ: 2541 8 = [ 2 8 | 5 8 | 4 8 | 1 8 ] = [ 010 2 | 101 2 | 100 2 | 001 2 ] = 010101100001 2
प्रोग्रामिंगमध्ये, उपसर्ग 0 (शून्य) स्पष्टपणे अष्टक संख्या दर्शवण्यासाठी वापरला जातो. उदाहरणार्थ: 022.

या संख्या प्रणालीमध्ये 8 अंक आहेत: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. उदाहरणार्थ, संख्या 611 (ऑक्टल), बायनरी सिस्टममध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला प्रत्येक अंक त्याच्या समतुल्यसह बदलण्याची आवश्यकता आहे. बायनरी ट्रायड (तीन अंक). बहु-अंकी बायनरी क्रमांकामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी अंदाज लावणे सोपे आहे ऑक्टल प्रणालीतुम्हाला ते उजवीकडून डावीकडे ट्रायडमध्ये मोडणे आवश्यक आहे आणि प्रत्येक ट्रायडला संबंधित ऑक्टल अंकासह पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे.

6118 =011 001 0012

1 110 011 1012=14358 (4 ट्रायड्स)

बायनरी संख्या ऑक्टलमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, ते तिप्पटांमध्ये खंडित करणे आणि अष्टक संख्या प्रणालीमधील त्यांच्या संबंधित अंकांसह पुनर्स्थित करणे पुरेसे आहे. तुम्हाला शेवटपासून तिप्पटांमध्ये विभागणे सुरू करणे आवश्यक आहे आणि सुरुवातीला शून्यासह गहाळ संख्या पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

म्हणजेच, बायनरी संख्या प्रणालीतील 1011101 ही संख्या ऑक्टल संख्या प्रणालीमधील 135 क्रमांकाच्या बरोबरीची आहे. किंवा 1011101 2 = 135 8.

उलट अनुवाद. समजा तुम्हाला 100 8 संख्या (चुकून समजू नका! 100 ऑक्टल मध्ये 100 दशांश नाही) बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 1000000 2

अष्टांक संख्या दशांश संख्येत रूपांतरित करणे आधीपासूनच परिचित योजना वापरून केले जाऊ शकते:

672 8 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 442 10
100 8 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 64 10 .
2. हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली (हेक्साडेसिमल संख्या) - पूर्णांक आधार 16 वर आधारित स्थितीत्मक संख्या प्रणाली.

सहसा म्हणून हेक्साडेसिमल अंक 0 ते 9 पर्यंत दशांश अंक आणि A ते F पर्यंतची लॅटिन अक्षरे 10 10 ते 15 10 पर्यंतची संख्या दर्शवण्यासाठी वापरली जातात, म्हणजेच (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B, C, D, E, F).

अर्ज:

कमी-स्तरीय प्रोग्रामिंग आणि संगणक दस्तऐवजीकरणामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते कारण आधुनिक संगणकमेमरीचे किमान एकक 8-बिट बाइट आहे, ज्याची मूल्ये सोयीस्करपणे दोनमध्ये लिहिली आहेत हेक्साडेसिमल अंक. हा वापर IBM/360 प्रणालीपासून सुरू झाला, जेथे सर्व दस्तऐवजीकरण हेक्साडेसिमल प्रणाली वापरतात, तर इतरांचे दस्तऐवजीकरण संगणक प्रणालीत्या काळातील (अगदी 8-बिट वर्णांसह, जसे की PDP-11 किंवा BESM-6) त्यांनी ऑक्टल प्रणाली वापरली.

युनिकोड स्टँडर्डमध्ये, वर्ण क्रमांक सहसा हेक्साडेसिमलमध्ये लिहिला जातो, कमीतकमी 4 अंक वापरून (आवश्यक असल्यास अग्रगण्य शून्यासह).

हेक्स रंग - तीन रेकॉर्डरंग घटक (R, G आणि B) हेक्साडेसिमलमध्ये.

बायनरी संख्या हेक्साडेसिमलमध्ये रूपांतरित करताना, प्रथम चार अंकांच्या गटांमध्ये विभागली जाते, शेवटपासून सुरू होते. जर अंकांची संख्या पूर्णांकाने भागत नसेल, तर पहिले चार समोर शून्यासह जोडले जातात. प्रत्येक चार एका संख्येशी संबंधित आहेत हेक्साडेसिमल प्रणालीई गणना:

उदाहरणार्थ:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

आवश्यक असल्यास, संख्या 4C5 दशांश संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरित केली जाऊ शकते खालील प्रकारे(दशांश संख्या प्रणालीमधील या चिन्हाशी संबंधित संख्येने C बदलले पाहिजे - हे 12 आहे):

4C5 = 4 * 16 2 + 12 * 16 1 + 5 * 16 0 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

कमाल दोन अंकी संख्या, जे हेक्साडेसिमल नोटेशन वापरून मिळवता येते, FF आहे.

FF = 15 * 16 1 + 15 * 16 0 = 240 + 15 = 255

२.३. ऑक्टल क्रमांक

ऑक्टल नोटेशन, हेक्साडेसिमल सारखे, बायनरी संख्या दर्शवण्यासाठी वापरले जाते. ऑक्टल सिस्टीममध्ये 0 ते 7 पर्यंत 8 अंक असतात आणि त्यानुसार, टेबलमध्ये 8 चा आधार असलेली प्रणाली असते. 2.7 अनेक दशांश, ऑक्टल आणि बायनरी संख्या सादर करते.

चला परिवर्तन करूया बायनरी संख्या 11111000100 त्याच्या अष्टक समतुल्य. या प्रकरणात प्रक्रिया खालीलप्रमाणे आहे. बायनरी क्रमांकाच्या MB पासून प्रारंभ करून, आम्ही ते 3 बिट्सच्या गटांमध्ये विभागतो. मग, टेबल वापरून. 2.7, आम्ही प्रत्येक ट्रायड (3 बिट्सचा समूह) समतुल्य ऑक्टल अंकामध्ये रूपांतरित करतो. म्हणून आम्ही बायनरी क्रमांक 11111000100 त्याच्या ऑक्टल समतुल्य 37048 ने बदलू:

बायनरी क्रमांक 011 111 000 100

अष्टांक 3 7 0 4

आता अष्टक संख्या ६५२१ ला त्याच्या बायनरी समतुल्य मध्ये रूपांतरित करू. प्रत्येक ऑक्टल अंक बायनरी ट्रायडने बदलला जातो आणि असे दिसून येते की 65218 = 110101010001 2".

अष्टांक 2357 दशांश स्वरूपात लिहू. क्लासिक प्रक्रिया सारणीनुसार केली जाते. २.८. येथे 512, 64, 8 आणि 1 हे पहिल्या चार अष्टक स्थानांचे वजन आहेत. लक्षात घ्या की या उदाहरणात 7, 5 आठ, 4 64 आणि दोन 521 आहेत आणि आम्ही त्यांना जोडतो आणि परिणाम मिळवतो: 1024+192+40+7= 1263 10.

शेवटी, 3336 दशांश संख्या त्याच्या अष्टक समतुल्य मध्ये रूपांतरित करू. प्रक्रिया अंजीर मध्ये दर्शविली आहे. २.३. सर्व प्रथम, 3336 ला 8 ने भागले आहे, जे भागफल 417 देते आणि उर्वरित 0 10 देते, 0 10=08 सह, अष्टक 0 हे अष्टक संख्येचे MP मूल्य बनते. पहिला भागांक (417) विभाज्य बनतो आणि पुन्हा 8 (दुसरी ओळ) ने भागला जातो, ज्यामुळे भागफल 52 आणि उर्वरित 110=18 मिळतो, जो अष्टांकाचा दुसरा अंक बनतो. तिसऱ्या ओळीत, भागफल (52) विभाज्य होतो आणि त्याला 8 ने भागल्यास भागफल 6 आणि उर्वरित 4 10=48 मिळतो. चौथ्या ओळीत, शेवटचा भागांक 6 हा भागांक 0 सह 8 ने भागला आहे आणि उर्वरित 6 10=68 आहे.

आता शेवटच्या भागांक 0 सह मोजणी पूर्ण झाली आहे. अंक 68 हे ऑक्टल संख्येचे CP मूल्य बनते आणि आपण अंजीर मध्ये पाहू शकतो. 2.3, ते 3336yu=64108.

बहुतेक मायक्रोप्रोसेसर आणि मायक्रो कॉम्प्युटर 4, 8 किंवा 16 बिटच्या गटांवर प्रक्रिया करतात. हे खालीलप्रमाणे आहे की हेक्साडेसिमल नोटेशन सहसा ऑक्टल नोटेशनपेक्षा जास्त वेळा वापरले जाते. तथापि, जेव्हा बिट्सचे गट 3 ने विभाज्य असतात (उदाहरणार्थ, 12 बिट्सचे गट) तेव्हा ऑक्टल नोटेशन अधिक सोयीचे असते.

व्यायाम

२.१८. बायनरी संख्यांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, 8-बिट मायक्रोप्रोसेसर दस्तऐवजीकरण मजकूर वापरतो _

(हेक्साडेसिमल, ऑक्टल) प्रणाली.

२.१९. ऑक्टल प्रणालीचे दुसरे नाव आहे

2.20. बायनरी कोडमध्ये खालील ऑक्टल संख्या लिहा: अ) 3; ब) 7; c) 0; ड) ७६४२; e) 1036; e) 2105.

२.२१. खालील बायनरी संख्या ऑक्टल कोडमध्ये लिहा: अ) 101; ब) 110; c) 010; ड) 111000101010; e) 1011000111; e) 100110100101.

2.22. 67248=_____10.

2.23. 2648 10=____8.

२.१८. हेक्साडेसिमल, ज्यामध्ये दोन 4-बिट गटांमध्ये बायनरी संख्या दर्शवणे सोयीचे आहे. २.१९. बेस 8 सह प्रणाली 2.20. अ) ३८=०११२; b) 78=1112; c) 08 = 0002; ड) 76428= 1111101000102;

e) 10368= 10000111102; f) 21058= 100010001012. 2.21. अ) १०१२=५८; ब) 1102=68; c) ०१०२=२८; ड) 1110001010102 = 70528; e) 10110001112= 13078;

f) 1001101001012 = 46458. 2.22. प्रक्रिया सारणीनुसार. 2.8: 67248= = (512X6) + (64x7) + (8x2) + (1X4)=3540 10. 2.23. प्रक्रियेनुसार अंजीर. 2.3:

2648 10: 8 = 331, उर्वरित 0 (MP); ३३१: ८= ४१, उर्वरित ३; 41: 8= 5, उर्वरित 1; 5: 8 = 0, उर्वरित 5 (CP); २६४८ १०=५१३०८.

आधार 8 असलेली स्थिती संख्या प्रणाली, ज्यामध्ये संख्या लिहिण्यासाठी 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 आणि 7 वापरले जातात हे देखील पहा: स्थितीत्मक संख्या प्रणाली वित्तीय शब्दकोश Finam ... आर्थिक शब्दकोश

अष्टांकीय प्रणाली- (ऑक्टल नोटेशन) एक संख्या प्रणाली जी संख्या व्यक्त करण्यासाठी 0 ते 7 पर्यंत आठ अंक वापरते अशा प्रकारे, ऑक्टल सिस्टीममधील दशांश संख्या 32 म्हणून लिहिली जाईल. हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली (हेक्साडेसिमल... ... व्यवसायाच्या अटींचा शब्दकोश

ऑक्टल संख्या प्रणाली- - दूरसंचार विषय, मूलभूत संकल्पना EN ऑक्टल नोटेशन ... तांत्रिक अनुवादक मार्गदर्शक

ऑक्टल संख्या प्रणाली

ऑक्टल प्रणाली- aštuonetainė प्रणाली स्थिती T sritis automatika atitikmenys: engl. ऑक्टल नोटेशन; ऑक्टल संख्या प्रणाली; ऑक्टल प्रणाली; octonary notation vok. एक्टरसिस्टम, एन; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. अष्टक प्रणाली… ऑटोमॅटिक टर्मिनो जॉडिनास

नोटेशन

ड्युडेसिमल संख्या प्रणाली

बारा संख्या प्रणाली- डुओडेसिमल नंबर सिस्टीम ही 12 पूर्णांक बेस असलेली स्थितीत्मक संख्या प्रणाली आहे. वापरलेल्या संख्या 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B आहेत. दुसरी नोटेशन सिस्टम आहे जिथे गहाळ अंकांसाठी A वापरला जात नाही आणि B, आणि t... ... विकिपीडिया

हेक्साडेकल अंक प्रणाली- (हेक्साडेसिमल नोटेशन) संख्यात्मक प्रणाली, संख्या व्यक्त करण्यासाठी 0 ते 9 आणि A ते F या दहा अंकांचा वापर करा. उदाहरणार्थ, या प्रणालीमध्ये दशांश संख्या 26 1A म्हणून लिहिली आहे. लैंगिक संख्या मोठ्या प्रमाणात वापरली जाते ... ... व्यवसायाच्या अटींचा शब्दकोश

पोझिशनल नंबर सिस्टम- संस्कृतीतील संख्या प्रणाली इंडो अरबी संख्या प्रणाली अरबी भारतीय तमिळ बर्मीज खमेर लाओशियन मंगोलियन थाई पूर्व आशियाई क्रमांक प्रणाली चीनी जपानी सुझो कोरियन व्हिएतनामी काउंटिंग स्टिक्स... ... विकिपीडिया

डिजिटल तंत्रज्ञानाचा अंकगणित पाया.

अंकीय प्रणाली.

मध्ये संख्यांचे प्रतिनिधित्व विविध प्रणालीहिशेब.

कडे सादर करणे डिजिटल उपकरणेसंख्या, तसेच प्रोग्रामिंग प्रक्रियेतील इतर माहिती, आम्हाला परिचित असलेल्या दशांश संख्या प्रणालीसह, इतर प्रणाली मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जातात. चला सर्वात सामान्य पाहू पोझिशनिंग सिस्टमहिशेब. अशा संख्या प्रणालीमधील संख्या अंकांच्या अनुक्रमाने (अंकांचे अंक) दर्शविल्या जातात, स्वल्पविरामाने दोन गटांमध्ये विभक्त केल्या जातात: संख्येचा पूर्णांक भाग दर्शविणारा अंकांचा समूह आणि संख्येचा अंशात्मक भाग दर्शविणारा अंकांचा समूह. :

येथे , , ... शून्य, प्रथम, इत्यादी संख्या दर्शवा. संख्येच्या पूर्णांक भागाचे अंक, , ... - प्रथम, द्वितीय, इ.चे अंक. संख्येच्या अंशात्मक भागाचे अंक.

ठिकाणाचा अंक वजन नियुक्त केला आहे , जेथे संख्या प्रणालीचा पाया आहे; - अंक संख्या, अंक अंकांच्या पदनामातील निर्देशांकाच्या समान. तर, वरील नोंदीचा अर्थ खालील प्रमाण आहे:

अंकांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी विविध चिन्हांचा संच वापरला जातो. म्हणून, जेव्हा (म्हणजे नेहमीच्या दशांश संख्या प्रणालीमध्ये) अंकांचे अंक रेकॉर्ड करण्यासाठी दहा चिन्हांचा संच वापरला जातो: 0, 1, 2, ..., 9. या प्रकरणात, प्रविष्टी (यानंतर अनुक्रमणिका आणि संख्या सह संख्या प्रणालीचा आधार दर्शवितो, ज्यामध्ये संख्या सादर केली जाते) म्हणजे खालील प्रमाण:

,

संख्या दर्शविण्याचे हे तत्त्व वापरणे, परंतु भिन्न मूलभूत मूल्ये निवडणे आर,आपण विविध संख्या प्रणाली तयार करू शकता.

बायनरी संख्या प्रणाली मध्येमूलांक आर= 2. अशा प्रकारे, अंकांचे अंक लिहिण्यासाठी, फक्त दोन वर्णांचा संच आवश्यक आहे, जे 0 आणि 1 आहेत. म्हणून, बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये ते 0 आणि 1 वर्णांच्या क्रमाने दर्शवले जाते. या प्रकरणात , प्रविष्टी 11011,1012 दशांश संख्या प्रणालीशी संबंधित आहे पुढील तारीख:

श्रेणींचे वजन गुणांक

ऑक्टल संख्या प्रणालीमध्येमूलांक आर= 8. परिणामी, अंकांच्या अंकांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, आठ भिन्न चिन्हे वापरणे आवश्यक आहे, ज्यासाठी 0, 1, 2, ..., 7 निवडले आहेत (लक्षात ठेवा की 8 आणि 9 ही चिन्हे येथे वापरली जात नाहीत आणि नसावीत. संख्यांच्या रेकॉर्डिंगमध्ये दिसतात). उदाहरणार्थ, खालील संख्या दशांश संख्या प्रणालीमधील नोंदीशी संबंधित आहे:

,

वजन गुणांक

रँक

त्या नोटेशन म्हणजे सात वेळा, तीन वेळा, पाच वेळा, चार वेळा, सहा वेळा असलेली संख्या.

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालीमध्येमूलांक आर= 16 आणि अंकांचे अंक रेकॉर्ड करण्यासाठी 16 चिन्हांचा संच वापरला जाणे आवश्यक आहे: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F. यामध्ये 10 अरबी अंक वापरले जातात आणि आवश्यक सोळा पर्यंत ते सहा प्रारंभिक अक्षरांसह पूरक आहेत लॅटिन वर्णमाला. या प्रकरणात, दशांश संख्या प्रणालीमधील चिन्ह A हे 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15 शी संबंधित आहे.

नोंद दशांश चिन्हात खालील संख्येशी संबंधित आहे:

श्रेणींचे वजन गुणांक

स्टोरेज साठी nडिजिटल उपकरणांमध्ये -बिट क्रमांक, आपण असलेली उपकरणे वापरू शकता nघटक, ज्यापैकी प्रत्येक क्रमांकाच्या संबंधित अंकाचा अंक लक्षात ठेवतो. बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये संख्या संग्रहित करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग आहे. बायनरी संख्येच्या प्रत्येक अंकाचे अंक लक्षात ठेवण्यासाठी, दोन स्थिर अवस्था असलेली उपकरणे (उदाहरणार्थ, फ्लिप-फ्लॉप) वापरली जाऊ शकतात. या स्थिर स्थितींपैकी एकास 0 क्रमांक, दुसरा - क्रमांक 1 नियुक्त केला आहे.

दशांश संख्या संचयित करताना, प्रत्येक अंक दशांश संख्याबायनरी स्वरूपात प्रस्तुत. संख्या दर्शविण्याच्या या फॉर्मला म्हणतात बायनरी कोडेड दशांश प्रणाली. उदाहरणार्थ, बायनरी-कोडेड दशांश प्रणालीमध्ये एक संख्या दर्शविली जाते खालील फॉर्म:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की बायनरी-कोड केलेल्या दशांश संख्येची बाह्य समानता असूनही, ज्यामध्ये केवळ 0 आणि 1 अंक आहेत, बायनरी संख्येसह, पूर्वीचा बायनरी नाही. हे सत्यापित करणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, जर वरील नोटेशनचा संपूर्ण भाग बायनरी संख्या मानला गेला असेल, तर जेव्हा दशांश स्वरूपात रूपांतरित केले जाते तेव्हा याचा अर्थ असा होतो की ते त्याच्याशी एकरूप होत नाही. संपूर्ण भागमूळ संख्या 765 आहे.

पद्धत मानली जाते बायनरी प्रतिनिधित्व(कोडिंग) दशांश अंकतथाकथित वापरते कोड 8421(कोडचे नाव बायनरी नंबरच्या बिट्सच्या वेटिंग गुणांकांनी बनलेले आहे). या कोडसह जेव्हा बायनरी कोडिंगदशांश अंकांसाठी इतर विविध कोड वापरले जातात, त्यापैकी सर्वात सामान्य कोड टेबलमध्ये दिले आहेत. २.१.

एन्कोडिंगचा अभ्यास करताना, मला लक्षात आले की मला संख्या प्रणाली पुरेशी समजत नाही. तरीसुद्धा, मी अनेकदा 2-, 8-, 10-, 16-व्या प्रणाली वापरल्या, एकमेकांमध्ये रूपांतरित केल्या, परंतु सर्वकाही "स्वयंचलितपणे" केले गेले. अनेक प्रकाशने वाचून, एकही लिहिलेले नसल्यामुळे मला आश्चर्य वाटले सोप्या भाषेत, अशा मूलभूत सामग्रीवरील लेख. म्हणूनच मी माझे स्वतःचे लिहिण्याचा निर्णय घेतला, ज्यामध्ये मी संख्या प्रणालीच्या मूलभूत गोष्टी सुलभ आणि व्यवस्थितपणे सादर करण्याचा प्रयत्न केला.

परिचय

नोटेशनसंख्या रेकॉर्ड करण्याचा (प्रतिनिधी) एक मार्ग आहे.

याचा अर्थ काय? उदाहरणार्थ, तुम्हाला तुमच्या समोर अनेक झाडे दिसतात. त्यांची गणना करणे आपले कार्य आहे. हे करण्यासाठी, तुम्ही तुमची बोटे वाकवू शकता, दगडावर खाच बनवू शकता (एक झाड - एक बोट/खाच), किंवा 10 झाडे एखाद्या वस्तूशी जुळवू शकता, उदाहरणार्थ, एक दगड आणि एकच नमुना काठीने लावा. तुम्ही मोजता त्याप्रमाणे जमिनीवर. पहिल्या प्रकरणात, संख्या वाकलेल्या बोटांच्या किंवा खाचांच्या स्ट्रिंगच्या रूपात दर्शविली जाते, दुसऱ्यामध्ये - दगड आणि काठ्यांची रचना, जिथे दगड डावीकडे असतात आणि उजवीकडे काठ्या असतात.

संख्या प्रणाली स्थितीत्मक आणि नॉन-पोझिशनल आणि स्थितीत्मक, यामधून, एकसंध आणि मिश्र मध्ये विभागली गेली आहे.

नॉन-पोझिशनल- सर्वात प्राचीन, त्यामध्ये संख्येच्या प्रत्येक अंकाचे मूल्य असते जे त्याच्या स्थानावर (अंक) अवलंबून नसते. म्हणजेच, जर तुमच्याकडे 5 ओळी असतील, तर संख्या देखील 5 आहे, कारण प्रत्येक ओळ, ओळीतील तिचे स्थान विचारात न घेता, फक्त 1 आयटमशी संबंधित आहे.

स्थिती प्रणाली- प्रत्येक अंकाचा अर्थ क्रमांकावरील त्याच्या स्थानावर (अंक) अवलंबून असतो. उदाहरणार्थ, आम्हाला परिचित असलेली 10 वी संख्या प्रणाली स्थितीत्मक आहे. चला संख्या 453 चा विचार करूया. संख्या 4 शेकडोची संख्या दर्शवते आणि 400, 5 - दहापटांची संख्या आणि मूल्य 50, आणि 3 - युनिट्स आणि मूल्य 3 प्रमाणे आहे. जसे तुम्ही पाहू शकता, अंक मोठा, मूल्य जास्त. अंतिम संख्या 400+50+3=453 बेरीज म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.

एकसंध प्रणाली- संख्येच्या सर्व अंकांसाठी (स्थिती) वैध वर्णांचा संच (अंक) समान असतो. उदाहरण म्हणून, आधी नमूद केलेली 10वी प्रणाली घेऊ. एकसंध 10 व्या प्रणालीमध्ये संख्या लिहिताना, आपण प्रत्येक अंकामध्ये 0 ते 9 पर्यंत फक्त एक अंक वापरू शकता, अशा प्रकारे 450 क्रमांकास परवानगी आहे (1ला अंक - 0, 2रा - 5, 3रा - 4), परंतु 4F5 नाही, कारण F हा वर्ण 0 ते 9 या संख्यांच्या संचामध्ये समाविष्ट केलेला नाही.

मिश्र प्रणाली- संख्येच्या प्रत्येक अंकात (स्थितीत), वैध वर्णांचा संच (अंक) इतर अंकांच्या संचापेक्षा वेगळा असू शकतो. एक धक्कादायक उदाहरण- वेळ मापन प्रणाली. सेकंद आणि मिनिटांच्या श्रेणीमध्ये 60 भिन्न चिन्हे शक्य आहेत ("00" ते "59" पर्यंत), तास श्रेणीमध्ये - 24 भिन्न चिन्हे("00" ते "23" पर्यंत), दिवसाच्या श्रेणीमध्ये - 365, इ.

नॉन-पोझिशनल सिस्टम

माणसे मोजायला शिकल्याबरोबर संख्या लिहिण्याची गरज निर्माण झाली. सुरुवातीला, सर्वकाही सोपे होते - काही पृष्ठभागावरील खाच किंवा डॅश एका वस्तूशी संबंधित होते, उदाहरणार्थ, एक फळ. अशा प्रकारे प्रथम क्रमांक प्रणाली दिसू लागली - एकक.

युनिट क्रमांक प्रणाली

या संख्या प्रणालीतील संख्या ही डॅशची एक स्ट्रिंग आहे (स्टिक्स), ज्याची संख्या मूल्याच्या समान आहे दिलेला क्रमांक. अशा प्रकारे, 100 तारखांची कापणी 100 डॅश असलेल्या संख्येइतकी असेल.
परंतु या प्रणालीमध्ये स्पष्ट गैरसोय आहे - संख्या जितकी मोठी असेल तितकी लाकडाची स्ट्रिंग लांब असेल. याव्यतिरिक्त, चुकून एक अतिरिक्त स्टिक जोडून किंवा उलट, ते लिहून न देता संख्या लिहिताना आपण सहजपणे चूक करू शकता.

सोयीसाठी, लोकांनी काड्यांचे 3, 5 आणि 10 तुकडे करणे सुरू केले. त्याच वेळी, प्रत्येक गट विशिष्ट चिन्ह किंवा वस्तूशी संबंधित होता. सुरुवातीला, मोजणीसाठी बोटांचा वापर केला जात असे, म्हणून प्रथम चिन्हे 5 आणि 10 तुकड्यांच्या (युनिट्स) गटांसाठी दिसू लागली. या सर्वांमुळे अधिक निर्माण करणे शक्य झाले सोयीस्कर प्रणालीरेकॉर्डिंग क्रमांक.

प्राचीन इजिप्शियन दशांश प्रणाली

प्राचीन इजिप्तमध्ये, 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 या संख्यांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी विशेष चिन्हे (संख्या) वापरली जात होती. त्यापैकी काही येथे आहेत:

त्याला दशांश का म्हणतात? वर म्हटल्याप्रमाणे, लोक चिन्हे गट करू लागले. इजिप्तमध्ये, त्यांनी 10 चा एक गट निवडला आणि "1" हा नंबर अपरिवर्तित केला. IN या प्रकरणात, 10 क्रमांकाला बेस म्हणतात दशांश प्रणालीसंख्या, आणि प्रत्येक चिन्ह काही प्रमाणात 10 क्रमांकाचे प्रतिनिधित्व आहे.

प्राचीन इजिप्शियन संख्या प्रणालीतील संख्या या एकत्रितपणे लिहिल्या गेल्या
वर्ण, ज्यापैकी प्रत्येकाची पुनरावृत्ती नऊपेक्षा जास्त वेळा झाली नाही. अंतिम मूल्य संख्येच्या घटकांच्या बेरजेइतके होते. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की मूल्य प्राप्त करण्याची ही पद्धत प्रत्येक नॉन-पोझिशनल नंबर सिस्टमचे वैशिष्ट्य आहे. एक उदाहरण क्रमांक 345 असेल:

बॅबिलोनियन सेक्सेजिमल सिस्टम

इजिप्शियन प्रणालीच्या विपरीत, बॅबिलोनियन प्रणालीमध्ये फक्त 2 चिन्हे वापरली गेली: एकके दर्शवण्यासाठी एक "सरळ" पाचर आणि दहापट दर्शवण्यासाठी "रेकंबंट" वेज. एखाद्या संख्येचे मूल्य निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला त्या संख्येची प्रतिमा उजवीकडून डावीकडे अंकांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे. नवीन डिस्चार्ज एका मागे पडल्यानंतर सरळ पाचर दिसण्यापासून सुरू होते. उदाहरण म्हणून 32 क्रमांक घेऊ.

संख्या 60 आणि त्याच्या सर्व शक्ती देखील "1" सारख्या सरळ पाचर द्वारे दर्शविल्या जातात. म्हणून, बॅबिलोनियन संख्या प्रणालीला सेक्सेजिमल म्हटले गेले.
बॅबिलोनियन लोकांनी 1 ते 59 पर्यंत सर्व संख्या दशांश नॉन-पोझिशनल सिस्टीममध्ये आणि 60 च्या बेस असलेल्या पोझिशनल सिस्टममध्ये मोठी मूल्ये लिहिली. संख्या 92:

शून्य दर्शविणारा अंक नसल्यामुळे क्रमांकाचे रेकॉर्डिंग संदिग्ध होते. 92 क्रमांकाच्या प्रतिनिधित्वाचा अर्थ केवळ 92=60+32 असाच नाही तर, उदाहरणार्थ, 3632=3600+32 असाही होऊ शकतो. ठरवण्यासाठी परिपूर्ण मूल्यक्रमांक प्रविष्ट केले आहेत विशेष वर्णगहाळ लिंगसिमल अंक दर्शविण्यासाठी, जो दशांश संख्येच्या नोटेशनमधील अंक 0 च्या स्वरूपाशी संबंधित आहे:

आता क्रमांक 3632 असे लिहावे:

बॅबिलोनियन सेक्सेजिमल सिस्टीम ही प्रथम क्रमांक प्रणाली आहे जी काही अंशी स्थितीच्या तत्त्वावर आधारित आहे. ही यंत्रणानोटेशन आजही वापरले जाते, उदाहरणार्थ, वेळ ठरवताना - एका तासात 60 मिनिटे असतात आणि एका मिनिटात 60 सेकंद असतात.

रोमन प्रणाली

रोमन प्रणाली इजिप्शियन प्रणालीपेक्षा फार वेगळी नाही. हे अनुक्रमे 1, 5, 10, 50, 100, 500 आणि 1000 या अंकांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी I, V, X, L, C, D आणि M ही कॅपिटल लॅटिन अक्षरे वापरते. रोमन अंक प्रणालीतील संख्या ही सलग अंकांचा संच आहे.

संख्येचे मूल्य निश्चित करण्याच्या पद्धती:

1. संख्येचे मूल्य त्याच्या अंकांच्या मूल्यांच्या बेरजेइतके असते. उदाहरणार्थ, रोमन अंक प्रणालीतील संख्या 32 आहे XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. जर मोठ्या अंकाच्या डावीकडे एक लहान असेल, तर मूल्य मोठ्या आणि लहान अंकांमधील फरकाच्या समान असेल. त्याच वेळी, डावा अंक उजव्या अंकापेक्षा जास्तीत जास्त एका क्रमाने कमी असू शकतो: उदाहरणार्थ, "सर्वात कमी" अंकांमध्ये L(50) आणि C(100) च्या आधी फक्त X(10) दिसू शकतात. , आणि फक्त D(500) आणि M(1000) C(100), V(5) च्या आधी - फक्त I(1); विचाराधीन क्रमांक प्रणालीमधील क्रमांक 444 हा CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 असा लिहिला जाईल.
3. मूल्य बिंदू 1 आणि 2 मध्ये बसत नसलेल्या गट आणि संख्यांच्या मूल्यांच्या बेरजेइतके आहे.

डिजिटल व्यतिरिक्त, अक्षरे (अक्षर) संख्या प्रणाली देखील आहेत, त्यापैकी काही येथे आहेत:
1) स्लाव्हिक
२) ग्रीक (आयोनियन)

पोझिशनल नंबर सिस्टम

वर नमूद केल्याप्रमाणे, प्राचीन बॅबिलोनमध्ये स्थानीय प्रणालीच्या उदयाची पहिली पूर्वस्थिती उद्भवली. भारतात, प्रणालीने शून्य वापरून स्थानात्मक दशांश क्रमांकाचे रूप धारण केले आणि भारतीयांकडून ही संख्या प्रणाली अरबांनी घेतली होती, ज्यांच्याकडून युरोपियन लोकांनी ती स्वीकारली. काही कारणास्तव, युरोपमध्ये या प्रणालीला “अरब” हे नाव देण्यात आले.

दशांश संख्या प्रणाली

ही सर्वात सामान्य संख्या प्रणालींपैकी एक आहे. जेव्हा आपण एखाद्या उत्पादनाच्या किंमतीला नाव देतो आणि बस क्रमांक म्हणतो तेव्हा आपण हेच वापरतो. प्रत्येक अंक (स्थिती) 0 ते 9 च्या श्रेणीतील फक्त एक अंक वापरू शकतो. प्रणालीचा आधार क्रमांक 10 आहे.

उदाहरणार्थ, ५०३ ही संख्या घेऊ. जर ही संख्या नॉन-पोझिशनल सिस्टीममध्ये लिहिली गेली असेल, तर तिचे मूल्य 5+0+3 = 8 असेल. परंतु आपल्याकडे एक स्थानात्मक प्रणाली आहे आणि याचा अर्थ क्रमांकाचा प्रत्येक अंक असणे आवश्यक आहे. सिस्टीमच्या पायाने गुणाकार केला, या प्रकरणात “10” संख्या अंक संख्येच्या बरोबरीने वाढविली जाते. असे दिसून आले की मूल्य 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 आहे. गोंधळ टाळण्यासाठी जेव्हा एकाच वेळी कामएकाधिक संख्या प्रणालीसह, आधार सबस्क्रिप्ट म्हणून निर्दिष्ट केला जातो. अशा प्रकारे, 503 = 503 10.

दशांश प्रणाली व्यतिरिक्त, विशेष लक्ष 2-, 8-, 16 व्या प्रणालीस पात्र.

बायनरी संख्या प्रणाली

ही प्रणाली प्रामुख्याने वापरली जाते संगणक तंत्रज्ञान. त्यांनी नेहमीची 10वी का वापरली नाही? पहिला संगणक ब्लेझ पास्कल यांनी तयार केला होता, ज्याने दशांश प्रणाली वापरली होती, जी आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक मशीनमध्ये गैरसोयीची ठरली, कारण त्यासाठी 10 राज्यांमध्ये कार्य करण्यास सक्षम उपकरणांचे उत्पादन आवश्यक होते, ज्यामुळे त्यांची किंमत आणि अंतिम आकार वाढला. मशीन. 2 रा प्रणालीमध्ये कार्यरत घटकांमध्ये या कमतरता नाहीत. तथापि, प्रश्नातील प्रणाली शोधाच्या खूप आधी तयार केली गेली होती संगणकआणि त्याची "मुळे" इंका सभ्यतेमध्ये आहे, जिथे क्विपस वापरला जात असे - जटिल दोरी विणणे आणि गाठी.

बायनरी पोझिशनल नंबर सिस्टमचा आधार 2 असतो आणि संख्या लिहिण्यासाठी 2 चिन्हे (अंक) वापरतात: 0 आणि 1. प्रत्येक अंकामध्ये फक्त एक अंक अनुमत आहे - एकतर 0 किंवा 1.

101 क्रमांकाचे उदाहरण आहे. हे दशांश संख्या प्रणालीतील क्रमांक 5 सारखे आहे. 2 ते 10 मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला बायनरी संख्येचा प्रत्येक अंक स्थान मूल्याच्या बरोबरीच्या पॉवरमध्ये वाढवलेल्या बेस "2" ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, संख्या 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

बरं, मशीनसाठी 2री नंबर सिस्टम अधिक सोयीस्कर आहे, परंतु आपण संगणकावर 10 व्या सिस्टीममध्ये संख्या पाहतो आणि वापरतो. मग वापरकर्ता कोणता नंबर प्रविष्ट करत आहे हे मशीन कसे ठरवते? 0 आणि 1 - फक्त 2 चिन्हे असल्याने ते एका सिस्टीममधून दुसऱ्या क्रमांकावर कसे भाषांतरित करते?

संगणकास बायनरी संख्या (कोड) सह कार्य करण्यासाठी, ते कुठेतरी संग्रहित केले पाहिजेत. प्रत्येक वैयक्तिक अंक संचयित करण्यासाठी, ट्रिगर वापरला जातो, जो आहे इलेक्ट्रॉनिक सर्किट. हे 2 राज्यांमध्ये असू शकते, त्यापैकी एक शून्याशी संबंधित आहे, दुसरा एकाशी. एकच संख्या लक्षात ठेवण्यासाठी, एक रजिस्टर वापरला जातो - ट्रिगर्सचा एक गट, ज्याची संख्या बायनरी क्रमांकातील अंकांच्या संख्येशी संबंधित आहे. आणि रजिस्टर्सचा संग्रह आहे रॅम. रजिस्टरमध्ये दिलेला क्रमांक हा मशीन शब्द आहे. अंकगणित आणि तार्किक ऑपरेशन्सशब्दांसह अंकगणित लॉजिक युनिट (ALU) द्वारे चालते. नोंदणीमध्ये प्रवेश सुलभ करण्यासाठी, त्यांना क्रमांक दिले आहेत. नंबरला रजिस्टर पत्ता म्हणतात. उदाहरणार्थ, आपल्याला 2 संख्या जोडण्याची आवश्यकता असल्यास, ते ज्या सेलमध्ये (रजिस्टर) आहेत त्यांची संख्या दर्शविण्यास पुरेसे आहे आणि स्वतः संख्या नाही. पत्ते ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल सिस्टीममध्ये लिहिलेले आहेत (त्यांची खाली चर्चा केली जाईल), कारण त्यांच्याकडून बायनरी सिस्टम आणि बॅकमध्ये संक्रमण करणे अगदी सोपे आहे. 2 रा ते 8 व्या स्थानांतरीत करण्यासाठी, संख्या उजवीकडून डावीकडे 3 अंकांच्या गटांमध्ये विभागली जाणे आवश्यक आहे आणि 16 व्या - 4 वर जाणे आवश्यक आहे. जर सर्वात डावीकडील अंकांच्या गटामध्ये पुरेसे अंक नसतील तर ते भरले जातील. डावीकडून शून्यासह, ज्याला अग्रगण्य म्हणतात. उदाहरण म्हणून 101100 2 क्रमांक घेऊ. ऑक्टलमध्ये ते 101 100 = 54 8 आहे आणि हेक्साडेसिमलमध्ये ते 0010 1100 = 2C 16 आहे. छान, पण स्क्रीनवर दशांश संख्या आणि अक्षरे का दिसतात? जेव्हा तुम्ही की दाबता तेव्हा ती संगणकावर प्रसारित केली जाते विशिष्ट क्रमविद्युत आवेग, आणि प्रत्येक चिन्ह विद्युत आवेगांच्या स्वतःच्या क्रमाशी संबंधित आहे (शून्य आणि एक). कीबोर्ड आणि स्क्रीन ड्रायव्हर प्रोग्राममध्ये प्रवेश होतो कोड टेबलवर्ण (उदाहरणार्थ, युनिकोड, जे तुम्हाला 65536 वर्ण एन्कोड करण्याची परवानगी देते), प्राप्त कोड कोणत्या वर्णाशी संबंधित आहे हे निर्धारित करते आणि स्क्रीनवर प्रदर्शित करते. अशा प्रकारे, मजकूर आणि संख्या संगणकाच्या मेमरीमध्ये संग्रहित केल्या जातात बायनरी कोड, ए कार्यक्रमानुसारस्क्रीनवरील प्रतिमांमध्ये रूपांतरित केले जातात.

ऑक्टल संख्या प्रणाली

8वी संख्या प्रणाली, बायनरी प्रमाणे, बहुतेक वेळा डिजिटल तंत्रज्ञानामध्ये वापरली जाते. त्याचा आधार 8 आहे आणि अंक लिहिण्यासाठी 0 ते 7 अंक वापरतात.

ऑक्टल संख्येचे उदाहरण: 254. 10 व्या सिस्टीममध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, मूळ संख्येचा प्रत्येक अंक 8 n ने गुणाकार केला पाहिजे, जेथे n ही अंक संख्या आहे. असे दिसून आले की 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली

आधुनिक संगणकांमध्ये हेक्साडेसिमल प्रणाली मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते, उदाहरणार्थ, ती रंग दर्शवण्यासाठी वापरली जाते: #FFFFFF - पांढरा रंग. प्रश्नातील प्रणालीचा आधार 16 आहे आणि लिहिण्यासाठी खालील संख्या वापरतात: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, कुठे अक्षरे अनुक्रमे 10, 11, 12, 13, 14, 15 आहेत.

उदाहरण म्हणून 4F5 16 क्रमांक घेऊ. ऑक्टल सिस्टीममध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, आपण प्रथम हेक्साडेसिमल संख्या बायनरीमध्ये रूपांतरित करतो, आणि नंतर, 3 अंकांच्या गटांमध्ये, ऑक्टलमध्ये विभाजित करतो. संख्या 2 मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला प्रत्येक अंक 4-बिट बायनरी संख्या म्हणून प्रस्तुत करणे आवश्यक आहे. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . परंतु गट 1 आणि 3 मध्ये पुरेसा अंक नाही, तर चला प्रत्येक अग्रगण्य शून्याने भरा: 0100 1111 0101. आता तुम्हाला परिणामी संख्या 3 अंकांच्या गटांमध्ये उजवीकडून डावीकडे विभागणे आवश्यक आहे: 0100 1111 0101 = 010 011 1101 प्रत्येक अंकाचा 2 n ने गुणाकार करून प्रत्येक बायनरी गटाला ऑक्टल सिस्टीममध्ये रूपांतरित करू, जिथे n हा अंक आहे: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

विचारात घेतलेल्या स्थितीत्मक संख्या प्रणाली व्यतिरिक्त, इतर आहेत, उदाहरणार्थ:
1) ट्रिनिटी
2) चतुर्भुज
3) ड्युओडेसिमल

पोझिशनल सिस्टीम एकसंध आणि मिश्र मध्ये विभागल्या जातात.

एकसंध स्थानीय संख्या प्रणाली

लेखाच्या सुरुवातीला दिलेली व्याख्या एकसंध प्रणालींचे पूर्णपणे वर्णन करते, म्हणून स्पष्टीकरण अनावश्यक आहे.

मिश्र संख्या प्रणाली

आधीच दिलेल्या व्याख्येमध्ये आपण प्रमेय जोडू शकतो: “जर P=Q n (P,Q,n हे धन पूर्णांक आहेत, तर P आणि Q बेस आहेत), तर मिश्रित (P-Q) संख्या प्रणालीतील कोणत्याही संख्येचे रेकॉर्डिंग एकसारखेच आहे. बेस Q सह संख्या प्रणालीमध्ये समान संख्या लिहिण्याशी एकरूप होतो.”

प्रमेयाच्या आधारे, आम्ही P वरून हस्तांतरित करण्यासाठी नियम तयार करू शकतो Q-th प्रणालीआणि उलट:

1. Q मधून P मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला एक संख्या आवश्यक आहे Q-प्रणाली, ने सुरू होणाऱ्या n अंकांच्या गटांमध्ये विभागणे योग्य अंक, आणि प्रत्येक गटाला एका अंकाने बदला P-th प्रणाली.
2. P-th वरून Q-th मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, P-th सिस्टीममधील संख्येचा प्रत्येक अंक Q-th मध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे आणि डावीकडे अपवाद वगळता गहाळ अंक अग्रगण्य शून्यांसह भरा, जेणेकरून बेस Q सह प्रणालीतील प्रत्येक संख्येमध्ये n अंक असतात.

चे भाषांतर हे एक उल्लेखनीय उदाहरण आहे बायनरी प्रणालीऑक्टल नोटेशन. चला बायनरी संख्या 10011110 2 घेऊ, त्याचे अष्टकात रूपांतर करण्यासाठी - आपण त्यास उजवीकडून डावीकडे 3 अंकांच्या गटात विभागू: 010 011 110, आता प्रत्येक अंकाचा 2 n ने गुणाकार करा, जिथे n ही अंक संख्या आहे, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = २३६ ८ . असे दिसून आले की 10011110 2 = 236 8. बायनरी-ऑक्टल संख्येची प्रतिमा अस्पष्ट बनवण्यासाठी, ती तिप्पटांमध्ये विभागली आहे: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

मिश्र संख्या प्रणाली देखील आहेत, उदाहरणार्थ:
1) गुणात्मक
2) फिबोनाची

एका नंबर सिस्टीममधून दुसऱ्या क्रमांकावर रुपांतरण

काहीवेळा तुम्हाला एक नंबर एका नंबर सिस्टीममधून दुसऱ्या नंबरमध्ये रूपांतरित करण्याची आवश्यकता असते, तर चला भिन्न प्रणालींमध्ये रूपांतरित करण्याचे मार्ग पाहू या.

दशांश संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरण

बेस b सह संख्या प्रणालीमध्ये a 1 a 2 a 3 संख्या आहे. 10 व्या सिस्टीममध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, संख्येचा प्रत्येक अंक b n ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे, जेथे n ही अंकाची संख्या आहे. अशा प्रकारे, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

उदाहरण: १०१ २ = १*२ २ + ०*२ १ + १*२ ० = ४+०+१ = ५ १०

दशांश संख्या प्रणालीवरून इतरांमध्ये रूपांतरण

संपूर्ण भाग:

1. दशांश संख्येचा पूर्णांक भाग आपण ज्या सिस्टीममध्ये रूपांतरित करत आहोत त्या प्रणालीच्या बेसने क्रमशः विभागतो जोपर्यंत दशांश संख्या शून्य होत नाही.
2. भागाकार करताना मिळणारे उरलेले अंक हे इच्छित संख्येचे अंक आहेत. मध्ये क्रमांक नवीन प्रणालीशेवटच्या उर्वरित पासून सुरू करून लिहा.

अपूर्णांक:

1. आपण ज्या सिस्टीममध्ये रूपांतरित करू इच्छितो त्या सिस्टीमच्या बेसने आपण दशांश संख्येचा अंशात्मक भाग गुणाकार करतो. संपूर्ण भाग वेगळे करा. आम्ही फ्रॅक्शनल भाग नवीन सिस्टमच्या बेसने गुणाकार करणे सुरू ठेवतो जोपर्यंत ते 0 च्या बरोबरीचे होत नाही.
2. नवीन प्रणालीमधील संख्या त्यांच्या उत्पादनाशी संबंधित क्रमाने गुणाकार परिणामांच्या संपूर्ण भागांनी बनलेल्या आहेत.

उदाहरण: 15 10 ला ऑक्टल मध्ये रूपांतरित करा:
१५\८ = १, उर्वरित ७
१\८ = ०, उर्वरित १

तळापासून वरपर्यंत सर्व शिल्लक लिहिल्यानंतर, आपल्याला अंतिम संख्या 17 मिळेल. म्हणून, 15 10 = 17 8.

बायनरीमधून ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमलमध्ये रूपांतरित करणे

ऑक्टलमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, आम्ही बायनरी संख्या उजवीकडून डावीकडे 3 अंकांच्या गटांमध्ये विभाजित करतो आणि गहाळ बाहेरील अंक अग्रगण्य शून्यांसह भरा. पुढे, आम्ही अंकांना अनुक्रमे 2n ने गुणाकारून प्रत्येक गटाचे रूपांतर करतो, जिथे n अंकाची संख्या आहे.

उदाहरण म्हणून 1001 2 ही संख्या घेऊ: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

हेक्साडेसिमलमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, आम्ही बायनरी संख्या उजवीकडून डावीकडे 4 अंकांच्या गटांमध्ये विभागतो, नंतर 2 रा ते 8 व्या रूपांतरणाप्रमाणे.

ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमलमधून बायनरीमध्ये रूपांतरित करा

ऑक्टल मधून बायनरीमध्ये रूपांतर - आम्ही ऑक्टल नंबरच्या प्रत्येक अंकाला 2 ने भागून बायनरी 3-अंकी संख्येमध्ये रूपांतरित करतो (भागाकाराबद्दल अधिक माहितीसाठी, वरील "दशांश संख्या प्रणालीमधून इतरांमध्ये रूपांतरित करणे" हा परिच्छेद पहा), भरा अग्रगण्य शून्यासह बाह्यतम अंक गहाळ.

उदाहरणार्थ, संख्या 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2 विचारात घ्या

16 व्या ते 2 रा स्थानांतर - प्रत्येक अंक रूपांतरित करा हेक्साडेसिमल संख्याबायनरी 4-बिट संख्येमध्ये 2 ने भागून, गहाळ बाहेरील अंक अग्रगण्य शून्यांसह भरून.

कोणत्याही संख्या प्रणालीचा अंशात्मक भाग दशांश मध्ये रूपांतरित करणे

रूपांतर पूर्णांक भागांप्रमाणेच केले जाते, त्याशिवाय संख्येचे अंक बेसने गुणाकारले जाते "-n" पॉवर, जेथे n 1 पासून सुरू होते.

उदाहरण: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10

बायनरीचा अपूर्णांक 8 व्या आणि 16 व्या मध्ये रूपांतरित करणे

फ्रॅक्शनल भागाचे भाषांतर एका संख्येच्या संपूर्ण भागांप्रमाणेच केले जाते, केवळ अपवाद वगळता 3 आणि 4 अंकांच्या गटांमध्ये विभागणी दशांश बिंदूच्या उजवीकडे जाते, गहाळ अंकांना पूरक केले जाते. उजवीकडे शून्य.

उदाहरण: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *२ १ + ०*२ ०) = (०+०+१) (०+०+१), (०+२+०) = ११.२ ८

दशांश प्रणालीचा अंशात्मक भाग इतर कोणत्याही भागामध्ये रूपांतरित करणे

एका संख्येचा अंशात्मक भाग इतर संख्या प्रणालींमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला संपूर्ण भाग शून्यात बदलणे आवश्यक आहे आणि परिणामी संख्येचा तुम्हाला ज्या सिस्टीममध्ये रूपांतर करायचे आहे त्या आधारे गुणाकार करणे आवश्यक आहे. जर, गुणाकाराच्या परिणामी, संपूर्ण भाग पुन्हा दिसू लागले, तर प्रथम परिणामी संपूर्ण भागाचे मूल्य लक्षात ठेवल्यानंतर (लिहिल्यानंतर) ते पुन्हा शून्याकडे वळले पाहिजेत. ऑपरेशन तेव्हा संपते अपूर्णांकपूर्णपणे शून्यावर जाईल.

उदाहरणार्थ, 10.625 10 ला बायनरीमध्ये रूपांतरित करूया:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
वरपासून खालपर्यंत सर्व शिल्लक लिहिल्यास, आपल्याला 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2 मिळेल.