एप्सिलॉन शेजार काय आहे. एम.ए. कार्य मर्यादा. एप्सिलॉन-डेल्टा भाषेत व्याख्या. शेवटच्या बिंदूंचे शेजारी

texvc -शेजारकार्यात्मक विश्लेषण आणि संबंधित विषयांमधील संच हे असे संच आहेत, ज्याचा प्रत्येक बिंदू दिलेल्या सेटमधून काढला जातो. अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon .

व्याख्या

• द्या अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): (X,\varrho)एक मेट्रिक जागा आहे, अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; गणित/README पहा - सेटअपसाठी मदत.): x_0 \in X,आणि अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon > 0. अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon-आसपासच्या अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvc सेट म्हणतात

अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• एक उपसंच द्या अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): A \subset X.मग अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon-या सेटच्या शेजारी हा सेट आहे

अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

नोट्स

• अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon-बिंदूचा शेजारी अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; गणित/README पहा - सेटअपसाठी मदत.): x_0अशा प्रकारे मध्यभागी असलेल्या एका खुल्या चेंडूला म्हणतात अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; गणित/README पहा - सेटअपसाठी मदत.): x_0आणि त्रिज्या अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon.
• हे थेट व्याख्येवरून अनुसरण करते

अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (एक्झिक्युटेबल फाइल texvcआढळले नाही; सेटअप मदतीसाठी गणित/README पहा.): \varepsilon-परिसर हा एक अतिपरिचित क्षेत्र आहे आणि विशेषतः, एक खुला संच आहे.

उदाहरणे

"एप्सिलॉन अतिपरिचित" लेखाबद्दल पुनरावलोकन लिहा

एप्सिलॉन परिसराचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा

- बरं, आपण ऐकू का? - लहान मुलीने मला अधीरतेने ढकलले.
आम्ही जवळ आलो... आणि मला एका चमचमीत लाटेचा अद्भुत मऊ स्पर्श जाणवला... ते आश्चर्यकारकपणे कोमल, आश्चर्यकारकपणे प्रेमळ आणि शांत करणारे, आणि त्याच वेळी, माझ्या आश्चर्यचकित आणि किंचित सावध असलेल्या "खोलीत" भेदक होते. आत्मा... शांत “संगीत” माझ्या पायाशी धावत गेले, लाखो वेगवेगळ्या छटांमध्ये कंप पावत होते, आणि वरच्या दिशेने वाढत असताना, मला असे काहीतरी विलक्षण सुंदर, शब्दांच्या पलीकडे वेढले जाऊ लागले... मला असे वाटले की मी उडत आहे, तरीही तिथे उड्डाण नव्हते ते वास्तवात घडले नाही. ते अद्भुत होते!.. येणाऱ्या नवीन लाटेत प्रत्येक पेशी विरघळली आणि वितळली, आणि झगमगत्या सोन्याने मला धुवून टाकले, वाईट आणि दुःखी सर्वकाही काढून टाकले आणि माझ्या आत्म्यात फक्त शुद्ध, मूळ प्रकाश सोडला ...
या चमचमीत चमत्कारात मी कसा शिरलो आणि कसा बुडालो हे मला जाणवलंही नाही. ते आश्चर्यकारकपणे चांगले होते आणि मला तेथून निघून जायचे नव्हते...
- बरं, ते आधीच पुरेसे आहे! एक कार्य आमची वाट पाहत आहे! - स्टेलाचा खंबीर आवाज चमकणाऱ्या सौंदर्यात शिरला. - तुम्हाला ते आवडले का?
- अरे हो! - मी श्वास सोडला. - मला खूप बाहेर जायचे नव्हते! ..
- नक्की! तर काही जण त्यांच्या पुढच्या अवतारापर्यंत "स्नान" करतात... आणि नंतर ते परत कधीच परत येत नाहीत...

संख्या रेषेवरील बिंदूच्या अतिपरिचित क्षेत्राची सामान्य व्याख्या मानली जाते. एप्सिलॉन शेजारच्या व्याख्या, डाव्या बाजूचे, उजव्या बाजूचे आणि मर्यादित आणि अनंत बिंदूंचे पंक्चर केलेले अतिपरिचित क्षेत्र. शेजारची मालमत्ता. कॉचीनुसार फंक्शनची मर्यादा ठरवण्यासाठी एप्सिलॉन शेजारचा वापर आणि अनियंत्रित अतिपरिचित क्षेत्र यांच्या समतुल्यतेबद्दल एक प्रमेय सिद्ध झाला आहे.

सामग्री

एका बिंदूचा परिसर निश्चित करणे

वास्तविक बिंदू x चे शेजारी 0 हा बिंदू असलेल्या कोणत्याही खुल्या अंतराला म्हणतात:
.
येथे ε 1 आणि ε 2 - अनियंत्रित सकारात्मक संख्या.

एप्सिलॉन - बिंदू x च्या शेजारी 0 ज्या बिंदूपासून x बिंदू करायचे ते अंतर बिंदूंचा संच आहे 0 ε पेक्षा कमी:
.

पॉइंट x चा पंक्चर झालेला शेजार 0 या बिंदूचा शेजार आहे जिथून बिंदू x स्वतःच वगळला आहे 0 :
.

शेवटच्या बिंदूंचे शेजारी

अगदी सुरुवातीस, एखाद्या बिंदूच्या शेजारची व्याख्या दिली होती. हे म्हणून नियुक्त केले आहे. परंतु आपण स्पष्टपणे सूचित करू शकता की योग्य वितर्क वापरून अतिपरिचित क्षेत्र दोन संख्यांवर अवलंबून आहे:
(1) .
म्हणजेच, अतिपरिचित क्षेत्र म्हणजे खुल्या मध्यांतराशी संबंधित बिंदूंचा संच.

समीकरण ε 1 ते ε 2 , आम्हाला एप्सिलॉन - अतिपरिचित मिळते:
(2) .
एप्सिलॉन शेजार हा समान अंतर असलेल्या खुल्या मध्यांतराशी संबंधित बिंदूंचा संच आहे.
अर्थात, अक्षर एप्सिलॉन इतर कोणत्याही द्वारे बदलले जाऊ शकते आणि δ - अतिपरिचित, σ - अतिपरिचित इत्यादींचा विचार करा.

मर्यादा सिद्धांतामध्ये, सेट (1) आणि सेट (2) या दोन्हींवर आधारित अतिपरिचित क्षेत्राची व्याख्या वापरू शकते. यापैकी कोणतेही अतिपरिचित क्षेत्र वापरल्याने समतुल्य परिणाम मिळतात (पहा). परंतु व्याख्या (2) सोपी आहे, म्हणून एप्सिलॉनचा वापर अनेकदा केला जातो - (2) पासून निर्धारित केलेल्या बिंदूचा शेजार.

शेवटच्या बिंदूंच्या डाव्या बाजूच्या, उजव्या बाजूच्या आणि पंचर शेजारच्या संकल्पना देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जातात. त्यांच्या व्याख्या येथे आहेत.

वास्तविक बिंदू x चा डावा शेजार 0 x बिंदूच्या डावीकडे वास्तविक अक्षावर स्थित अर्ध-खुले अंतराल आहे 0 , बिंदूसह:
;
.

वास्तविक बिंदू x चे उजव्या बाजूचे अतिपरिचित क्षेत्र 0 बिंदू x च्या उजवीकडे स्थित अर्ध-खुले मध्यांतर आहे 0 , बिंदूसह:
;
.

शेवटच्या बिंदूंचे पंक्चर केलेले अतिपरिचित क्षेत्र

बिंदू x चे पंक्चर केलेले अतिपरिचित क्षेत्र 0 - हे तेच अतिपरिचित क्षेत्र आहेत ज्यातून बिंदू स्वतःच वगळण्यात आला आहे. ते अक्षराच्या वरच्या वर्तुळाने सूचित केले आहेत. त्यांच्या व्याख्या येथे आहेत.

बिंदू x च्या शेजारचे पंचर 0 :
.

पंक्चर केलेले एप्सिलॉन - पॉइंट x च्या शेजारचा भाग 0 :
;
.

छेदित डाव्या बाजूचा परिसर:
;
.

पंक्चर उजव्या बाजूचा परिसर:
;
.

अनंत बिंदूंचे शेजारी

शेवटच्या बिंदूंसोबत, अनंत बिंदूंच्या शेजारची संकल्पना देखील सादर केली आहे. ते सर्व पंक्चर झाले आहेत कारण अनंतावर कोणतीही वास्तविक संख्या नाही (अनंत बिंदू हा अमर्याद मोठ्या क्रमाची मर्यादा म्हणून परिभाषित केला जातो).

.
;
;
.

अशा प्रकारे अनंत बिंदूंचे अतिपरिचित क्षेत्र निर्धारित करणे शक्य होते:
.
पण M च्या ऐवजी, आम्ही वापरतो, जेणेकरून लहान ε सह शेजारचा भाग हा मोठ्या ε असलेल्या शेजारचा उपसंच आहे, जसे की एंडपॉईंट शेजारसाठी.

शेजारची मालमत्ता

पुढे, आम्ही बिंदूच्या शेजारच्या स्पष्ट गुणधर्माचा वापर करतो (मर्यादित किंवा अनंतावर). हे खरं आहे की ε च्या लहान मूल्यांसह बिंदूंचे अतिपरिचित क्षेत्र हे ε च्या मोठ्या मूल्यांसह अतिपरिचित क्षेत्रांचे उपसंच आहेत. येथे अधिक कठोर फॉर्म्युलेशन आहेत.

एक अंतिम किंवा असीम दूरचा मुद्दा असू द्या. ते जाऊ दे .
मग
;
;
;
;
;
;
;
.

संभाषण देखील खरे आहे.

कॉचीनुसार फंक्शनच्या मर्यादेच्या व्याख्यांची समतुल्यता

आता आपण दाखवू की Cauchy नुसार फंक्शनची मर्यादा ठरवण्यासाठी, तुम्ही एक अनियंत्रित शेजार आणि समतुल्य टोके असलेले अतिपरिचित क्षेत्र दोन्ही वापरू शकता.

प्रमेय
एका फंक्शनच्या मर्यादेची कॉची व्याख्या जी अनियंत्रित अतिपरिचित क्षेत्रे आणि समतुल्य टोकांसह अतिपरिचित क्षेत्र वापरतात त्या समतुल्य आहेत.

पुरावा

चला सूत्रबद्ध करू फंक्शनच्या मर्यादेची पहिली व्याख्या.
संख्या a ही एका बिंदूवरील फंक्शनची मर्यादा (सीमित किंवा अनंत) असते, जर कोणत्याही सकारात्मक संख्यांसाठी संख्या अवलंबून असेल आणि त्या सर्वांसाठी बिंदूच्या संबंधित शेजारच्या असतील तर:
.

चला सूत्रबद्ध करू फंक्शनच्या मर्यादेची दुसरी व्याख्या.
संख्या a ही एका बिंदूवरील फंक्शनची मर्यादा आहे जर कोणत्याही सकारात्मक संख्येसाठी सर्वांसाठी त्यावर अवलंबून संख्या असेल:
.

पुरावा १ ⇒ २

आपण हे सिद्ध करूया की जर संख्या a ही पहिल्या व्याख्येनुसार फंक्शनची मर्यादा असेल तर ती 2 व्या व्याख्येनुसार देखील मर्यादा आहे.

प्रथम व्याख्येचे समाधान होऊ द्या. याचा अर्थ असा की फंक्शन्स आहेत आणि , म्हणून कोणत्याही सकारात्मक संख्यांसाठी खालील धारण करतात:
येथे , कुठे .

संख्या अनियंत्रित असल्याने, आम्ही त्यांची बरोबरी करतो:
.
मग अशी फंक्शन्स आहेत आणि , म्हणून खालील कोणत्याही होल्डसाठी:
येथे , कुठे .

त्याची नोंद घ्या .
धन संख्यांपैकी सर्वात लहान असू द्या आणि . मग, वर नमूद केल्यानुसार,
.
जर तर.

म्हणजेच, आम्हाला असे फंक्शन आढळले आहे, म्हणून खालील कोणत्याही होल्डसाठी:
येथे , कुठे .
याचा अर्थ a ही संख्या दुसऱ्या व्याख्येनुसार फंक्शनची मर्यादा आहे.

पुरावा २ ⇒ १

आपण सिद्ध करूया की जर संख्या a ही 2 व्या व्याख्येनुसार फंक्शनची मर्यादा असेल तर ती 1 व्या व्याख्येनुसार देखील मर्यादा आहे.

दुसरी व्याख्या समाधानी होऊ द्या. दोन सकारात्मक संख्या घेऊ आणि . आणि त्यापैकी सर्वात कमी असू द्या. मग, दुसऱ्या व्याख्येनुसार, असे कार्य आहे, जेणेकरून कोणत्याही सकारात्मक संख्येसाठी आणि सर्वांसाठी, ते खालीलप्रमाणे आहे.
.

पण त्यानुसार, . म्हणून, त्या खालील कशावरून
.

मग कोणत्याही सकारात्मक संख्यांसाठी आणि , आम्हाला दोन संख्या सापडल्या, म्हणून सर्वांसाठी:
.

याचा अर्थ अ ही संख्या पहिल्या व्याख्येनुसार मर्यादा आहे.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

संदर्भ:
एल.डी. कुद्र्यवत्सेव. गणितीय विश्लेषणाचा कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 2003.

असमानता चिन्हे आणि मॉड्यूलस व्यतिरिक्त तुम्हाला कोणती चिन्हे माहित आहेत?

बीजगणित अभ्यासक्रमावरून आपल्याला खालील नोटेशन माहित आहेत:

– युनिव्हर्सल क्वांटिफायर म्हणजे “कोणत्याही साठी”, “सर्वांसाठी”, “प्रत्येकासाठी”, म्हणजेच, एंट्री “कोणत्याही सकारात्मक एप्सिलॉनसाठी” वाचली पाहिजे;

- अस्तित्वात्मक परिमाणक, - नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित एक मूल्य आहे.

- एक लांब उभ्या काठी असे वाचते: “असे ते”, “असे ते”, “असे ते” किंवा “असे ते”, आपल्या बाबतीत, स्पष्टपणे, आपण एका संख्येबद्दल बोलत आहोत - म्हणून “असे ते”;

– पेक्षा मोठ्या सर्व “en” साठी;

- मॉड्यूलस चिन्हाचा अर्थ अंतर आहे, म्हणजे ही नोंद आम्हाला सांगते की मूल्यांमधील अंतर एप्सिलॉनपेक्षा कमी आहे.

अनुक्रम मर्यादा निश्चित करणे

आणि खरं तर, थोडा विचार करूया - क्रमाची कठोर व्याख्या कशी तयार करावी? ...व्यावहारिक धड्याच्या प्रकाशात लक्षात येणारी पहिली गोष्ट: "अनुक्रमाची मर्यादा ही ती संख्या आहे जिच्याकडे अनुक्रमाचे सदस्य अपरिमितपणे जवळ येतात."

ठीक आहे, चला क्रम लिहू:

हे समजणे कठीण नाही की त्यानंतरची संख्या -1 अनंत जवळ येते आणि सम संख्या असलेल्या संज्ञा "एक" च्या जवळ येतात.

किंवा कदाचित दोन मर्यादा आहेत? पण मग कोणत्याही क्रमात दहा किंवा वीस का असू शकत नाहीत? या मार्गाने तुम्ही खूप दूर जाऊ शकता. या संदर्भात, हे गृहीत धरणे तर्कसंगत आहे की जर अनुक्रमाला मर्यादा असेल तर ती एकच आहे.

टीप: अनुक्रमाला मर्यादा नाही, परंतु त्यापासून दोन अनुवर्ती वेगळे केले जाऊ शकतात (वर पहा), त्या प्रत्येकाची स्वतःची मर्यादा आहे.

अशा प्रकारे, वरील व्याख्या असमर्थनीय असल्याचे दिसून येते. होय, हे अशा प्रकरणांसाठी कार्य करते (जे मी व्यावहारिक उदाहरणांच्या सरलीकृत स्पष्टीकरणांमध्ये योग्यरित्या वापरले नाही), परंतु आता आपल्याला कठोर व्याख्या शोधण्याची आवश्यकता आहे.

प्रयत्न दोन: "अनुक्रमाची मर्यादा ही संख्या आहे ज्याकडे अनुक्रमातील सर्व सदस्य त्यांच्या मर्यादित संख्येचा संभाव्य अपवाद वगळता संपर्क साधतात." हे सत्याच्या जवळ आहे, परंतु तरीही पूर्णपणे अचूक नाही. म्हणून, उदाहरणार्थ, अनुक्रमाच्या अर्ध्या अटी शून्यापर्यंत पोहोचत नाहीत - ते फक्त त्याच्या समान आहेत =) तसे, "फ्लॅशिंग लाइट" सामान्यतः दोन निश्चित मूल्ये घेते.

सूत्रीकरण स्पष्ट करणे कठीण नाही, परंतु नंतर दुसरा प्रश्न उद्भवतो: गणितीय चिन्हांमध्ये व्याख्या कशी लिहायची? वैज्ञानिक जगाने या समस्येशी बराच काळ संघर्ष केला जोपर्यंत प्रसिद्ध उस्तादांनी परिस्थितीचे निराकरण केले नाही, ज्याने थोडक्यात शास्त्रीय गणितीय विश्लेषणास त्याच्या सर्व कठोरतेने औपचारिक केले. कॉचीने आजूबाजूच्या परिसरात काम करण्याचे सुचवले, ज्याने सिद्धांतात लक्षणीय प्रगती केली.

एक विशिष्ट मुद्दा आणि त्याच्या अनियंत्रित अतिपरिचित क्षेत्राचा विचार करा:

"एप्सिलॉन" चे मूल्य नेहमीच सकारात्मक असते आणि त्याशिवाय, आम्हाला ते स्वतः निवडण्याचा अधिकार आहे. आपण असे गृहीत धरू की दिलेल्या अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये काही अनुक्रमाचे अनेक सदस्य (सर्वच आवश्यक नाहीत) आहेत. उदाहरणार्थ, दहावी पद शेजारी आहे हे तथ्य कसे लिहायचे? त्याच्या उजव्या बाजूला असू द्या. मग बिंदूंमधील अंतर आणि "एप्सिलॉन" पेक्षा कमी असावे: . तथापि, जर "x दहावा" बिंदू "a" च्या डावीकडे स्थित असेल, तर फरक नकारात्मक असेल आणि म्हणून त्यात मॉड्यूलस चिन्ह जोडले जाणे आवश्यक आहे: .

व्याख्या: एखाद्या संख्येला अनुक्रमाची मर्यादा असे म्हणतात जर त्याच्या कोणत्याही अतिपरिचित क्षेत्रासाठी (पूर्व-निवडलेली) अशी नैसर्गिक संख्या असेल की मोठ्या संख्येसह अनुक्रमातील सर्व सदस्य शेजारच्या आत असतील:

किंवा थोडक्यात: जर

दुसऱ्या शब्दांत, आपण कितीही लहान “एप्सिलॉन” मूल्य घेतले तरीही, लवकरच किंवा नंतर अनुक्रमाची “अनंत शेपटी” पूर्णपणे या परिसरात असेल.

तर, उदाहरणार्थ, अनुक्रमाची “अनंत शेपटी” बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान-शेजारच्या भागात पूर्णपणे जाईल. अशा प्रकारे, हे मूल्य व्याख्येनुसार अनुक्रमाची मर्यादा आहे. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की ज्या क्रमाची मर्यादा शून्य आहे त्याला म्हणतात अमर्याद

हे लक्षात घ्यावे की एका क्रमासाठी "अंतहीन शेपटी येईल" असे म्हणणे यापुढे शक्य नाही - विषम संख्या असलेल्या अटी खरं तर शून्याच्या समान आहेत आणि "कोठेही जाणार नाहीत" =) म्हणूनच क्रियापद "दिसेल" " हे व्याख्येत वापरले जाते. आणि, अर्थातच, यासारख्या क्रमाचे सदस्य देखील "कोठेही जात नाहीत." तसे, संख्या त्याची मर्यादा आहे का ते तपासा.

आता आपण दाखवू की अनुक्रमाला मर्यादा नाही. उदाहरणार्थ, बिंदूच्या शेजारचा विचार करा. हे पूर्णपणे स्पष्ट आहे की अशी कोणतीही संख्या नाही ज्यानंतर सर्व अटी दिलेल्या शेजारच्या भागात संपतील - विषम संज्ञा नेहमी "उणे एक" वर "जंप आउट" होतील. तत्सम कारणास्तव, बिंदूवर कोणतीही मर्यादा नाही.

अनुक्रमाची मर्यादा शून्य आहे हे सिद्ध करा. बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान शेजारच्या आत असण्याची हमी अनुक्रमातील सर्व सदस्यांना दिलेली संख्या निर्दिष्ट करा.

टीप: अनेक अनुक्रमांसाठी, आवश्यक नैसर्गिक संख्या मूल्यावर अवलंबून असते - म्हणून नोटेशन .

उपाय: एखाद्या बिंदूच्या अनियंत्रित -शेजारचा विचार करा आणि जास्त संख्या असलेल्या सर्व संज्ञा या अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये असतील अशी संख्या आहे का ते तपासा:

आवश्यक संख्येचे अस्तित्व दर्शविण्यासाठी, आम्ही ते द्वारे व्यक्त करतो.

"en" च्या कोणत्याही मूल्यासाठी, मॉड्यूलस चिन्ह काढले जाऊ शकते:

आम्ही असमानतेसह "शाळा" क्रिया वापरतो, ज्याची मी रेखीय असमानता आणि कार्याचे डोमेन या धड्यांमध्ये पुनरावृत्ती केली आहे. या प्रकरणात, एक महत्त्वाची परिस्थिती अशी आहे की "एप्सिलॉन" आणि "एन" सकारात्मक आहेत:

आम्ही डावीकडील नैसर्गिक संख्यांबद्दल बोलत असल्यामुळे आणि उजवी बाजू सामान्यतः अपूर्णांकीय असते, ती गोलाकार करणे आवश्यक आहे:

टीप: काहीवेळा सुरक्षित बाजूला राहण्यासाठी उजवीकडे एक युनिट जोडले जाते, परंतु प्रत्यक्षात हे ओव्हरकिल आहे. तुलनेने बोलायचे झाले तर, जर आपण गोल करून परिणाम कमकुवत केला, तर सर्वात जवळची योग्य संख्या ("तीन") तरीही मूळ असमानता पूर्ण करेल.

आता आम्ही असमानता पाहतो आणि लक्षात ठेवा की सुरुवातीला आम्ही एक अनियंत्रित -परिसर मानला, म्हणजे. "एप्सिलॉन" कोणत्याही सकारात्मक संख्येच्या बरोबरीचे असू शकते.

निष्कर्ष : बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान-शेजारच्या भागासाठी, सर्व मोठ्या संख्येसाठी असमानता असे मूल्य आढळले. अशा प्रकारे, संख्या ही व्याख्येनुसार क्रमाची मर्यादा आहे. Q.E.D.

तसे, मिळालेल्या निकालातून एक नैसर्गिक नमुना स्पष्टपणे दिसतो: शेजार जितका लहान तितका मोठा, त्यानंतर अनुक्रमातील सर्व सदस्य या अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये असतील. परंतु "एप्सिलॉन" कितीही लहान असले तरीही, आत आणि बाहेर नेहमीच एक "अनंत शेपटी" असेल - अगदी मोठ्या, परंतु मर्यादित संख्या.

सैद्धांतिक किमान

संख्या अनुक्रमांच्या संबंधात मर्यादा ही संकल्पना "" विषयामध्ये आधीच सादर केली गेली आहे.
आपण प्रथम त्यात असलेली सामग्री वाचण्याची शिफारस केली जाते.

या विषयाच्या विषयाकडे जाताना, आपण फंक्शनची संकल्पना आठवू या. फंक्शन हे मॅपिंगचे दुसरे उदाहरण आहे. आम्ही सर्वात सोप्या केसचा विचार करू
एका वास्तविक युक्तिवादाचे वास्तविक कार्य (इतर प्रकरणांमध्ये काय कठीण आहे याबद्दल नंतर चर्चा केली जाईल). या विषयातील कार्य असे समजले आहे
एक कायदा ज्यानुसार सेटचा प्रत्येक घटक ज्यावर फंक्शन परिभाषित केले आहे एक किंवा अधिक घटक नियुक्त केले आहेत
सेट, ज्याला फंक्शन व्हॅल्यूज म्हणतात. फंक्शनच्या परिभाषेच्या डोमेनच्या प्रत्येक घटकाला एक घटक नियुक्त केल्यास
मूल्यांचा संच, नंतर फंक्शनला सिंगल-व्हॅल्यूड म्हणतात, अन्यथा फंक्शनला मल्टी-व्हॅल्यूड म्हणतात. साधेपणासाठी, आम्ही फक्त याबद्दल बोलू
अस्पष्ट कार्ये.

फंक्शन आणि सीक्वेन्समधील मूलभूत फरकावर मी ताबडतोब जोर देऊ इच्छितो: या दोन प्रकरणांमध्ये मॅपिंगद्वारे जोडलेले सेट लक्षणीय भिन्न आहेत.
सामान्य टोपोलॉजीची संज्ञा वापरण्याची गरज टाळण्यासाठी, आम्ही अस्पष्ट तर्क वापरून फरक स्पष्ट करू. मर्यादा चर्चा करताना
अनुक्रम, आम्ही फक्त एका पर्यायाबद्दल बोललो: अनुक्रम घटक क्रमांकाची अमर्यादित वाढ. संख्या या वाढीसह, घटक स्वतः
क्रम अधिक वैविध्यपूर्णपणे वागले. ते एका विशिष्ट संख्येच्या लहान परिसरात "जमा" करू शकतात; ते अमर्यादित वाढू शकतात इ.
ढोबळपणे सांगायचे तर, अनुक्रम निर्दिष्ट करणे म्हणजे वेगळ्या "परिभाषेच्या डोमेन" वर फंक्शन निर्दिष्ट करणे होय. जर आपण एखाद्या कार्याबद्दल बोललो तर त्याची व्याख्या दिली आहे
विषयाच्या सुरुवातीला, मर्यादा संकल्पना अधिक काळजीपूर्वक तयार केली पाहिजे. फंक्शनच्या मर्यादेबद्दल बोलणे अर्थपूर्ण आहे जेव्हा त्याचा युक्तिवाद एका विशिष्ट मूल्याकडे असतो .
प्रश्नाचे हे सूत्र अनुक्रमांच्या संदर्भात अर्थपूर्ण नाही. काही खुलासे करण्याची गरज आहे. ते सर्व संबंधित आहेत
युक्तिवाद प्रश्नातील अर्थासाठी नेमका कसा प्रयत्न करतो.

आता काही उदाहरणे पाहू - थोडक्यात:


हे कार्य आम्हाला विविध प्रकरणांचा विचार करण्यास अनुमती देईल. सादरीकरणाच्या अधिक स्पष्टतेसाठी आम्ही येथे या कार्यांचे आलेख सादर करतो.

एखाद्या फंक्शनला त्याच्या व्याख्येच्या कोणत्याही टप्प्यावर मर्यादा असते - हे अंतर्ज्ञानाने स्पष्ट आहे. परिभाषेच्या क्षेत्राचा कोणताही मुद्दा आपण घेतो,
जेव्हा युक्तिवाद निवडलेल्या मूल्याकडे झुकतो तेव्हा फंक्शन कोणत्या मूल्याकडे झुकते ते तुम्ही ताबडतोब सांगू शकता आणि केवळ वितर्क असल्यास मर्यादा मर्यादित असेल
अनंताकडे झुकत नाही. फंक्शनच्या आलेखाला एक किंक आहे. हे ब्रेक पॉइंटवर फंक्शनच्या गुणधर्मांवर परिणाम करते, परंतु मर्यादेच्या दृष्टिकोनातून
हा मुद्दा हायलाइट केलेला नाही. फंक्शन आधीपासूनच अधिक मनोरंजक आहे: फंक्शनला नेमून दिलेल्या मर्यादेचे कोणते मूल्य द्यायचे हे स्पष्ट नाही.
जर आपण उजवीकडून एखाद्या बिंदूकडे गेलो, तर फंक्शन एका मूल्याकडे झुकते, डावीकडून, फंक्शन दुसऱ्या मूल्याकडे झुकते. मागील मध्ये
याची उदाहरणे नव्हती. जेव्हा फंक्शन शून्याकडे झुकते, डावीकडून किंवा उजवीकडून, ते त्याच प्रकारे वागते, अनंताकडे झुकते -
फंक्शनच्या उलट, जे वितर्क शून्याकडे झुकत असताना अनंताकडे झुकते, परंतु अनंताचे चिन्ह कशावर अवलंबून असते
बाजूला आपण शून्याजवळ येत आहोत. शेवटी, फंक्शन शून्यावर पूर्णपणे अनाकलनीयपणे वागते.

"एप्सिलॉन-डेल्टा" भाषेचा वापर करून मर्यादेची संकल्पना औपचारिक करूया. अनुक्रम मर्यादेच्या व्याख्येतील मुख्य फरक गरज असेल
फंक्शन आर्ग्युमेंटच्या विशिष्ट मूल्याच्या प्रवृत्तीचे वर्णन करा. यासाठी सेटच्या मर्यादा बिंदूची संकल्पना आवश्यक आहे, जी या संदर्भात सहायक आहे.
एखाद्या बिंदूला एखाद्या समुच्चयातील सीमा बिंदू म्हणतात असंख्य गुण आहेत
च्या मालकीचे आणि वेगळे. अशी व्याख्या का आवश्यक आहे हे थोड्या वेळाने स्पष्ट होईल.

तर, संख्येला बिंदूवरील फंक्शनची मर्यादा म्हणतात, जो सेटचा मर्यादा बिंदू आहे ज्यावर ते परिभाषित केले आहे
कार्य असल्यास

ही व्याख्या एक एक करून पाहू. अर्थाच्या युक्तिवादाच्या इच्छेशी आणि कार्याच्या इच्छेशी संबंधित भाग येथे हायलाइट करूया
मुल्य . तुम्हाला लिखित विधानाचा सामान्य अर्थ समजला पाहिजे, ज्याचा अंदाजे खालीलप्रमाणे अर्थ लावला जाऊ शकतो.
फंक्शन कडे झुकते, जर बिंदूच्या पुरेशा लहान शेजारून संख्या घेतली तर आपण करू
संख्येच्या पुरेशा लहान शेजारून फंक्शनचे मूल्य मिळवा. आणि ज्या बिंदूपासून मूल्ये घेतली जातात त्या बिंदूचा शेजार लहान
युक्तिवाद, संबंधित फंक्शन व्हॅल्यूज ज्या बिंदूमध्ये कमी होतील त्या बिंदूचा शेजार लहान असेल.

आपण मर्यादेच्या औपचारिक व्याख्येकडे परत येऊ आणि नुकतेच जे सांगितले आहे त्या प्रकाशात वाचू या. धन संख्या अतिपरिचित क्षेत्र मर्यादित करते
बिंदू ज्यावरून आपण युक्तिवादाची मूल्ये घेऊ. शिवाय, युक्तिवादाची मूल्ये, अर्थातच, फंक्शनच्या व्याख्येच्या क्षेत्रातून आहेत आणि फंक्शनशीच जुळत नाहीत.
पूर्णविराम: आम्ही आकांक्षा लिहित आहोत, योगायोग नाही! म्हणून, जर आपण बिंदूच्या निर्दिष्ट शेजारच्या युक्तिवादाचे मूल्य घेतले,
नंतर फंक्शनचे मूल्य बिंदूच्या शेजारच्या भागात पडेल .
शेवटी, व्याख्या एकत्र ठेवूया. आपण बिंदूचे शेजारी कितीही लहान असले तरीही, बिंदूचा असा शेजार नेहमीच असेल,
की त्यातून युक्तिवादाची मूल्ये निवडताना आपण स्वतःला बिंदूच्या सान्निध्यात शोधू. अर्थात, आकार हा या प्रकरणात बिंदूचा अतिपरिचित क्षेत्र आहे
बिंदूचा कोणता परिसर निर्दिष्ट केला आहे यावर अवलंबून आहे. फंक्शन व्हॅल्यूचा शेजार पुरेसा मोठा असल्यास, मूल्यांचा संबंधित प्रसार
युक्तिवाद छान होईल. फंक्शन व्हॅल्यूचा शेजार जसजसा कमी होईल, तसतसे वितर्क मूल्यांचा संबंधित प्रसार देखील कमी होईल (चित्र 2 पहा).

काही तपशील स्पष्ट करणे बाकी आहे. प्रथम, बिंदू ही मर्यादा असण्याची आवश्यकता बिंदू आहे की नाही याबद्दल काळजी करण्याची गरज दूर करते
कडून -परिभाषिक क्षेत्र सामान्यतः फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनशी संबंधित आहे. दुसरे म्हणजे, मर्यादा अट निश्चित करण्यात सहभाग म्हणजे
की युक्तिवाद डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्ही मूल्यांकडे कल करू शकतो.

फंक्शन वितर्क अनंताकडे झुकत असताना, मर्यादा बिंदूची संकल्पना स्वतंत्रपणे परिभाषित केली जावी. मर्यादा म्हणतात
कोणत्याही धनात्मक संख्येसाठी मध्यांतरामध्ये अनंत संच असल्यास सेटचा बिंदू
सेट पासून गुण.

चला उदाहरणांकडे परत जाऊया. कार्य आमच्यासाठी विशेष स्वारस्य नाही. चला इतर कार्ये जवळून पाहू.

उदाहरणे.

उदाहरण १. फंक्शनच्या आलेखाला एक किंक आहे.
कार्य बिंदूवर एकवचन असूनही, त्याला या टप्प्यावर मर्यादा आहे. शून्यातील वैशिष्ठ्य म्हणजे गुळगुळीतपणाचे नुकसान.

उदाहरण २. एकतर्फी मर्यादा.
एका बिंदूवरील फंक्शनला मर्यादा नसते. आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, मर्यादेच्या अस्तित्वासाठी हे आवश्यक आहे की, टेंडिंग करताना
डावीकडे आणि उजवीकडे फंक्शन समान मूल्याकडे झुकते. हे स्पष्टपणे येथे धरून नाही. तथापि, एकतर्फी मर्यादेची संकल्पना सादर केली जाऊ शकते.
जर युक्तिवाद मोठ्या मूल्यांच्या बाजूने दिलेल्या मूल्याकडे झुकत असेल, तर आपण उजव्या हाताच्या मर्यादेबद्दल बोलतो; लहान मूल्यांच्या बाजूला असल्यास -
डाव्या हाताच्या मर्यादेबद्दल.
कार्याच्या बाबतीत
- उजव्या हाताची मर्यादा तथापि, आम्ही एक उदाहरण देऊ शकतो जेव्हा साइनचे अंतहीन दोलन मर्यादेच्या (आणि दोन बाजूंनी) अस्तित्वात व्यत्यय आणत नाहीत.
एक उदाहरण फंक्शन असेल . आलेख खाली दिलेला आहे; स्पष्ट कारणास्तव, आसपासच्या परिसरात ते पूर्ण करण्यासाठी तयार करा
मूळ अशक्य आहे. येथे मर्यादा शून्य आहे.

नोट्स.
1. फंक्शनची मर्यादा निर्धारित करण्यासाठी एक दृष्टीकोन आहे जो अनुक्रमाची मर्यादा वापरतो - तथाकथित. हेनची व्याख्या. तेथे बिंदूंचा एक क्रम तयार केला जातो जो आवश्यक मूल्याशी एकत्रित होतो
आर्ग्युमेंट - नंतर फंक्शन व्हॅल्यूजचा संबंधित क्रम या वितर्क मूल्यावरील फंक्शनच्या मर्यादेपर्यंत एकत्रित होतो. Heine च्या व्याख्या आणि भाषेतील व्याख्या समतुल्य
"एप्सिलॉन-डेल्टा" सिद्ध झाले आहे.
2. दोन किंवा अधिक वितर्कांच्या फंक्शन्सचे प्रकरण या वस्तुस्थितीमुळे गुंतागुंतीचे आहे की एका बिंदूवर मर्यादा अस्तित्वात असण्यासाठी, वितर्काच्या कोणत्याही मार्गाने मर्यादेचे मूल्य समान असणे आवश्यक आहे.
आवश्यक मूल्यापर्यंत. जर एकच युक्तिवाद असेल, तर तुम्ही आवश्यक मूल्यासाठी डावीकडून किंवा उजवीकडून प्रयत्न करू शकता. अधिक व्हेरिएबल्ससह, पर्यायांची संख्या नाटकीयरित्या वाढते. फंक्शन्सची केस
जटिल व्हेरिएबलसाठी स्वतंत्र चर्चा आवश्यक आहे.