पोझिशनल नंबर सिस्टममध्ये अंकगणित ऑपरेशन्स. विविध संख्या प्रणालींमध्ये विविध संख्या एन्कोडिंगमधील अंकगणित ऑपरेशन्स

विंडोज फोनसाठी 30.09.2021

विंडोज फोनसाठी

बेरीज आणि वजाबाकी

बेस असलेल्या प्रणालीमध्ये, संख्या 0, 1, 2, ..., s - 1 शून्य आणि प्रथम c-1 नैसर्गिक संख्या नियुक्त करण्यासाठी कार्य करतात. बेरीज आणि वजाबाकीची क्रिया करण्यासाठी, एकल जोडण्याचे सारणी - अंकी संख्या संकलित केली आहे.

सारणी 1 - बायनरी जोड

उदाहरणार्थ, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालीमध्ये जोडणी सारणी:

तक्ता 2 - हेक्साडेसिमल सिस्टीममध्ये बेरीज

बेस c नंबर सिस्टीममध्ये लिहिलेल्या कोणत्याही दोन संख्यांची बेरीज दशांश सिस्टीममध्ये पहिल्या अंकापासून सुरू होऊन, या सिस्टीमच्या अॅडिशन टेबलचा वापर करून अंकांनुसार केली जाते. जोडल्या जाणार्‍या अंकांवर एकामागून एक सही केली जाते जेणेकरून समान अंकांचे अंक उभे राहतील. जोडणीचा परिणाम समंड क्रमांकांच्या खाली काढलेल्या क्षैतिज रेषेखाली लिहिलेला आहे. ज्याप्रमाणे दशांश प्रणालीमध्ये संख्या जोडताना, कोणत्याही अंकातील अंक जोडल्यास दोन-अंकी संख्या दिली जाते, तेव्हा या संख्येचा शेवटचा अंक निकालात लिहिला जातो आणि निकालात पहिला अंक जोडला जातो. पुढील अंक जोडत आहे.

उदाहरणार्थ,

तुम्ही फॉर्ममधील संख्यांचे प्रतिनिधित्व वापरून संख्या जोडण्यासाठी सूचित नियमाचे औचित्य सिद्ध करू शकता:

चला उदाहरणांपैकी एक पाहू:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

आम्ही क्रमशः सर्वात कमी, शून्य, पदवी पासून सुरू होऊन बेस 7 च्या डिग्रीनुसार अटी निवडतो.

वजाबाकी देखील अंकांद्वारे केली जाते, सर्वात कमी पासून सुरू होते आणि जर कमी केलेल्या अंकाचा अंक वजाबाकीच्या अंकापेक्षा कमी असेल, तर कमी केलेल्या पुढील अंकापासून एक "व्याप्त" असेल आणि सबट्राहेन्डचा संबंधित अंक असेल. परिणामी दोन-अंकी संख्येमधून वजा केले; पुढील अंकांचे अंक वजा करताना, या प्रकरणात, तुम्हाला मानसिकदृष्ट्या एकाने कमी केलेला अंक कमी करणे आवश्यक आहे, परंतु जर हा अंक शून्य झाला (आणि नंतर त्याची घट करणे अशक्य आहे), तर तुम्ही " पुढील अंकातून एक घ्या आणि नंतर एक कमी करा. विशेष वजाबाकी सारणी तयार करण्याची गरज नाही, कारण बेरीज सारणी वजाबाकीचे परिणाम देते.

उदाहरणार्थ,

गुणाकार आणि भागाकार

बेस c असलेल्या प्रणालीमध्ये गुणाकार आणि भागाकाराची क्रिया करण्यासाठी, एकल-अंकी संख्यांची गुणाकार सारणी संकलित केली जाते.

तक्ता 3 - एकल अंकी संख्यांचा गुणाकार

तक्ता 4 - हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालीमध्ये गुणाकार

बेस c असलेल्या सिस्टीममध्ये दोन अनियंत्रित संख्यांचा गुणाकार दशांश प्रणालीप्रमाणेच केला जातो - "स्तंभ" द्वारे, म्हणजे, गुणाकाराच्या प्रत्येक अंकाच्या अंकाने गुणाकार केला जातो (क्रमश:) या इंटरमीडिएट परिणामांच्या त्यानंतरच्या जोडणीसह.

उदाहरणार्थ,

इंटरमीडिएट निकालांमध्ये बहु-अंकी संख्यांचा गुणाकार करताना, बेस इंडेक्स सेट केला जात नाही:

बेस c सह सिस्टीममधील विभागणी दशांश संख्या प्रणालीप्रमाणे कोनाद्वारे केली जाते. या प्रकरणात, गुणाकार सारणी आणि संबंधित प्रणालीची जोडणी सारणी वापरली जाते. जर भागाकाराचा परिणाम मर्यादित c-ary अपूर्णांक (किंवा पूर्णांक) नसेल तर परिस्थिती अधिक गुंतागुंतीची आहे. नंतर, विभागणी ऑपरेशन करताना, सामान्यतः अपूर्णांकाचा नॉन-पीरियडिक भाग आणि त्याचा कालावधी निवडणे आवश्यक आहे. अपूर्णांक संख्यांचे एका क्रमांकावरून दुसऱ्या क्रमांकामध्ये भाषांतर करताना c-ary संख्या प्रणालीमध्ये भागाकार क्रिया करण्याची क्षमता उपयुक्त ठरते.

उदाहरणार्थ:

संख्या एका क्रमांक प्रणालीतून दुसऱ्या क्रमांकावर रूपांतरित करणे

एका नंबर सिस्टीममधून दुसर्‍या नंबरमध्ये नंबरचे भाषांतर करण्याचे बरेच वेगवेगळे मार्ग आहेत.

विभाजन पद्धत

N=an an-1 ही संख्या द्या. . . a1 a0 p.

बेस h असलेल्या सिस्टीममध्ये N क्रमांकाचा रेकॉर्ड मिळविण्यासाठी, तुम्ही ते फॉर्ममध्ये दर्शविले पाहिजे:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

कुठे 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

(1) कडून आम्हाला मिळते:

N= (bmhm-1+...b)*h +b0 = N1h+b0, 0 कुठे आहे? b0 ?h (3)

म्हणजेच, संख्या b0 ही संख्या N ला h या संख्येने भागल्यास उर्वरित आहे. अपूर्ण भागफल Nl = bmhm-1+ . . . +b1 असे दर्शविले जाऊ शकते:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, 0 कुठे आहे? b2 ?h (4)

अशा प्रकारे, क्रमांक N च्या नोटेशन (2) मधील अंक bi हा पहिल्या आंशिक भाग N1 ला नवीन संख्या प्रणालीच्या बेस h ने विभाजित केल्यावर उर्वरित आहे. दुसरा अपूर्ण भाग N2 खालीलप्रमाणे दर्शविला जाऊ शकतो:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, 0 कुठे आहे? b2 ?h (5)

म्हणजेच b2 ही संख्या दुसऱ्या आंशिक भाग N2 ला नवीन सिस्टीमच्या बेस h ने विभाजित केल्यावर उर्वरित आहे. अपूर्ण भागांक कमी होत असल्याने ही प्रक्रिया मर्यादित आहे. आणि मग आपल्याला Nm = bm मिळेल, जिथे bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

तर अंकांचा क्रम bm, bm-1 आहे. . ,b1,b0 बेस h सह संख्या प्रणालीमधील N क्रमांकाच्या नोटेशनमध्ये विरुद्ध क्रमाने घेतलेल्या बेस h द्वारे N संख्याच्या सलग भागाकाराच्या अवशेषांचा क्रम आहे.

एक उदाहरण विचारात घ्या: संख्या 123 हेक्साडेसिमलमध्ये रूपांतरित करा:

अशा प्रकारे, संख्या 12310=7(11)16 किंवा 7B16 म्हणून लिहिता येईल

क्विनरी क्रमांक प्रणालीमध्ये 340227 क्रमांक लिहू:

अशा प्रकारे, आम्हाला ते 340227=2333315 मिळते

नोटेशन(SS) वर्णांचा विशिष्ट संच वापरून संख्या लिहिण्यासाठी तंत्र आणि नियमांचा एक संच आहे.
वर्णमाला SS - संख्या लिहिण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या वर्णांचा (संख्या) संच.
पाया SS (SS वर्णमाला शक्ती) - SS वर्णमाला वर्णांची संख्या (अंक).
सर्व संख्या प्रणालींमध्ये विभागलेले आहेत स्थितीसंबंधीआणि नॉन-पोझिशनल. नॉन-पोझिशनलसंख्या प्रणाली ही एक प्रणाली आहे ज्यामध्ये प्रत्येक अंकाचे परिमाणवाचक समतुल्य असते अवलंबून नाहीसंख्येच्या नोटेशनमध्ये त्याच्या स्थानावरून (स्थान, स्थिती).
तर, नॉन-पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये, संख्येच्या नोटेशनमध्ये अंक जो स्थान घेतो ती भूमिका बजावत नाही. उदाहरणार्थ, रोमन क्रमांक प्रणाली नॉन-पोझिशनल आहे. XI आणि IX मध्ये, दोन्ही संख्यांचे "वजन" समान आहे, त्यांचे स्थान विचारात न घेता.

पोझिशनल नंबर सिस्टम

पोझिशनल नंबर सिस्टम ही एक प्रणाली आहे ज्यामध्ये अंकाचे मूल्य असते अवलंबूनसंख्येच्या नोटेशनमध्ये त्याच्या स्थानापासून (स्थिती). संख्या प्रणालीचा आधार म्हणजे दिलेल्या संख्या प्रणालीमध्ये संख्या दर्शवण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या वर्ण किंवा चिन्हांची संख्या
संख्या प्रणालीचा आधार त्याचे नाव निर्धारित करतो: बेस p ही p-वी संख्या प्रणाली आहे.
उदाहरणार्थ, आधुनिक गणितामध्ये मुख्यतः वापरली जाणारी संख्या प्रणाली ही स्थितीत्मक दशांश प्रणाली आहे, तिचा आधार दहा आहे. कोणतीही संख्या लिहिण्यासाठी, ते दहा सुप्रसिद्ध अंक (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) वापरतात.

म्हणून, आम्ही म्हंटले की स्थानात्मक संख्या प्रणालींमध्ये, संख्येच्या नोटेशनमध्ये अंकाने व्यापलेले स्थान महत्त्वाचे आहे. तर, प्रविष्टी 23 म्हणजे ही संख्या 3 युनिट्स आणि 2 टेन्सची बनलेली असू शकते. जर आपण अंकांची स्थिती बदलली तर आपल्याला पूर्णपणे भिन्न संख्या मिळेल - 32. या संख्येमध्ये 3 दहापट आणि 2 एकके आहेत. दोघांचे "वजन" दहापट कमी झाले आहे, तर तिघांचे "वजन" दहापट वाढले आहे. संख्येचे विस्तारित नोटेशन
बेससह पोझिशनल नंबर सिस्टीममधील कोणतीही संख्या N pमध्ये बहुपदी म्हणून दर्शविले जाऊ शकते p:
N=a k p k + a k-1 p k-1 +a k-2 p k-2 +...a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ...,
जेथे N ही संख्या आहे, p हा संख्या प्रणालीचा आधार आहे (p>1), आणि i हे संख्येचे अंक आहेत (p अंशावरील गुणांक).
p-th संख्या प्रणालीतील संख्या अंकांच्या क्रमानुसार लिहिल्या जातात:
N=a k a k-1 a k-2 ...a 1 a 0 , a -1 a -2...
एका क्रमातील स्वल्पविराम संख्येच्या पूर्णांक भागाला अपूर्णांक भागापासून वेगळे करतो.
3210 -1-2
N= 4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

बायनरी संख्या प्रणाली

संख्या लिहिण्यासाठी, फक्त दोन अंक वापरले जातात - 0 आणि 1. संगणकात वापरण्यासाठी बायनरी प्रणालीची निवड या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केली जाते की ज्या इलेक्ट्रॉनिक घटकांमधून संगणक तयार केले जातात ते केवळ दोन चांगल्या स्थितीत असू शकतात. मूलत:, हे घटक स्विच आहेत. तुम्हाला माहिती आहे की, स्विच एकतर चालू किंवा बंद आहे. तिसरा कोणी नाही. राज्यांपैकी एक क्रमांक 1 द्वारे दर्शविला जातो, दुसरा - 0. या वैशिष्ट्यांमुळे धन्यवाद, बायनरी सिस्टम संगणक तयार करण्यासाठी मानक बनले आहे.
या संख्या प्रणालीमध्ये, कोणतीही संख्या खालीलप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते:
N=a k 2 k + a k-1 2 k-1 +a k-2 2 k-2 +...a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 - 2+...
उदाहरणार्थ: 11001.01 2 =1 *2 4 +1 *2 3 +0 *2 2 +0 *2 1 +1 *2 0 +0 *2 -1 +1 *2 -2

बायनरी अंकगणित

सर्व पोझिशनल नंबर सिस्टीममधील अंकगणितीय क्रिया समान सुप्रसिद्ध नियमांनुसार केल्या जातात.

या व्यतिरिक्त

बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये संख्या जोडण्याचा विचार करा. हे एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या जोडणी सारणीवर आधारित आहे:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

दोन युनिट्स जोडताना, बिट ओव्हरफ्लो होते आणि सर्वोच्च बिटमध्ये हस्तांतरण होते याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. ओव्हरफ्लो होतो जेव्हा त्यातील संख्येचे मूल्य संख्या प्रणालीच्या पायाशी समान किंवा मोठे होते. बायनरी संख्या प्रणालीसाठी, हे मूल्य दोन समान आहे.
बहु-अंकी बायनरी संख्यांची बेरीज वरील जोडणी सारणीनुसार होते, खालच्या अंकांपासून उच्च अंकांमध्ये संभाव्य हस्तांतरण लक्षात घेऊन.

वजाबाकी

बायनरी संख्यांच्या वजाबाकीचा विचार करा. हे एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या वजाबाकी सारणीवर आधारित आहे. लहान संख्येतून (0) मोठ्या संख्येतून (1) वजा करताना, सर्वोच्च क्रमाने कर्ज दिले जाते. टेबलमध्ये, बारसह कर्ज 1 द्वारे दर्शविले जाते.

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

एक-अंकी बायनरी संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी
मल्टीडिजिट बायनरी संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी (उदाहरणे)

गुणाकार

गुणाकार एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या गुणाकार सारणीवर आधारित आहे:

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

बहु-अंकी बायनरी संख्यांचा गुणाकार वरील गुणाकार सारणीनुसार दशांश संख्या प्रणालीमध्ये वापरल्या जाणार्‍या नेहमीच्या योजनेनुसार, गुणाकाराच्या पुढील अंकाने गुणाकाराचा सलग गुणाकार करून होतो.

विभागणी

डिव्हिजन ऑपरेशन दशांश संख्या प्रणालीमधील डिव्हिजन ऑपरेशन अल्गोरिदम प्रमाणेच अल्गोरिदमनुसार केले जाते.

संख्या प्रणाली

संख्या प्रणाली -डिजिटल चिन्हे किंवा चिन्हांसह संख्या लिहिण्यासाठी तंत्र आणि नियमांचा संच.

सर्व संख्या प्रणाली दोन वर्गांमध्ये विभागल्या जाऊ शकतात: स्थितीसंबंधीआणि अस्थानिक. पोझिशनल सिस्टम्सच्या वर्गामध्ये, भिन्न संख्या प्रणालींमध्ये संख्या लिहिण्यासाठी एकमेकांपासून भिन्न वर्णांची विशिष्ट संख्या वापरली जाते. पोझिशनल नंबर सिस्टीममधील अशा वर्णांच्या संख्येला म्हणतात संख्या प्रणालीचा आधार.खाली एक सारणी आहे ज्यामध्ये काही स्थानात्मक संख्या प्रणालींची नावे आहेत आणि वर्णांची (संख्या) सूची आहे ज्यामधून संख्या तयार होतात.

काही संख्या प्रणाली

पाया	नोटेशन	चिन्हे
	बायनरी	0,1
	तिरंगी	0, 1, 2
	चतुर्थांश	0, 1, 2, 3
	पाचपट	0, 1, 2, 3, 4
	ऑक्टल	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	दशांश	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	डुओडेसिमल	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	हेक्साडेसिमल	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये, संख्येतील अंकाची सापेक्ष स्थिती वजन घटकाशी संबंधित असते आणि संख्या प्रणालीच्या पायाशी संबंधित अंशाने गुणांकांच्या उत्पादनांची बेरीज म्हणून संख्या दर्शविली जाऊ शकते (वजन घटक):

A n A n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

("," चिन्ह संख्येच्या पूर्णांक भागाला अपूर्णांक भागापासून वेगळे करते. अशा प्रकारे, संख्येतील प्रत्येक चिन्हाचे मूल्य संख्या प्रविष्टीमध्ये चिन्हाने व्यापलेल्या स्थानावर अवलंबून असते. म्हणूनच अशा संख्या प्रणालींना स्थितीत्मक म्हणतात. ).

पोझिशनल नंबर सिस्टम - एक प्रणाली ज्यामध्ये संख्येचे मूल्य त्याच्या अंकांच्या मूल्यांद्वारे आणि संख्येतील त्यांच्या सापेक्ष स्थितीद्वारे निर्धारित केले जाते.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

तळाशी असलेला दशांश निर्देशांक संख्या प्रणालीचा पाया दर्शवतो.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10 .

संगणकावर काम करताना, तुम्हाला समांतर (बहुतेकदा बायनरी, दशांश, अष्टाधारी आणि हेक्साडेसिमल) अनेक पोझिशनल नंबर सिस्टीम वापरावे लागतील, त्यामुळे संख्या एका नंबर सिस्टीममधून दुसर्‍या नंबरमध्ये रूपांतरित करण्याच्या प्रक्रियेला खूप व्यावहारिक महत्त्व आहे. लक्षात घ्या की वरील सर्व उदाहरणांमध्ये, परिणाम दशांश संख्या आहे, आणि अशा प्रकारे कोणत्याही स्थितीत्मक संख्या प्रणालीमधून दशांश मध्ये संख्या रूपांतरित करण्याचा एक मार्ग आधीच दर्शविला गेला आहे.

सर्वसाधारणपणे, संख्येचा पूर्णांक भाग दशांश प्रणालीपासून बेस B प्रणालीमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्ही त्यास B ने भागणे आवश्यक आहे. उर्वरित संख्येचा किमान महत्त्वाचा अंक देईल. परिणामी भागफल पुन्हा B ने भागणे आवश्यक आहे - उर्वरित संख्येचा पुढील अंक देईल, इ. जोपर्यंत भागांक पायापेक्षा कमी होत नाही तोपर्यंत विभागणे चालू राहतात. उलट क्रमाने घेतलेल्या परिणामी अवशेषांची मूल्ये इच्छित बायनरी संख्या तयार करतात.

संपूर्ण भागाच्या भाषांतराचे उदाहरण: 25 10 ला बायनरी नंबरमध्ये रूपांतरित करा.

25/2 = 12 उर्वरित 1 सह,

12/2 = 6 उर्वरित 0 सह,

6/2 = 3 उर्वरित 0 सह,

पूर्णांक आणि अपूर्णांक स्वतंत्रपणे अनुवादित केले आहेत. अपूर्णांकाचे भाषांतर करण्यासाठी, तो B ने गुणाकार केला पाहिजे. परिणामी उत्पादनाचा पूर्णांक भाग हा पहिला असेल (स्वल्पविरामाने पूर्णांक भागाला अपूर्णांकापासून विभक्त केल्यानंतर) चिन्ह. उत्पादनाचा अंशात्मक भाग पुन्हा B ने गुणाकार केला पाहिजे. परिणामी संख्येचा पूर्णांक भाग पुढील चिन्ह असेल, आणि असेच.

फ्रॅक्शनल भाग (किंवा "0" पूर्णांक असलेली संख्या) भाषांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला ते 2 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. उत्पादनाचा पूर्णांक भाग हा बायनरी सिस्टममधील संख्येचा पहिला अंक असेल. नंतर, निकालाचा पूर्णांक भाग टाकून, आम्ही पुन्हा 2 ने गुणाकार करतो, आणि असेच. लक्षात घ्या की या प्रकरणात अंतिम दशांश अपूर्णांक अनंत (नियतकालिक) बायनरी होऊ शकतो.

अंशात्मक भागाच्या भाषांतराचे उदाहरण: 0.73 10 ला बायनरी नंबरमध्ये रूपांतरित करा.

0.73 ⋅ 2 = 1.46 (1 चा संपूर्ण भाग),

0.46 ⋅ 2 = 0.92 (0 चा संपूर्ण भाग),

0.92 ⋅ 2 = 1.84 (1 चा संपूर्ण भाग),

0.84 ⋅ 2 = 1.68 (1 चा संपूर्ण भाग), इ.

अशा प्रकारे: 0.73 10 \u003d 0.1011 2.

कोणत्याही संख्या प्रणालीमध्ये लिहिलेल्या संख्यांवर, तुम्ही विविध अंकगणितीय क्रिया करू शकता. सर्व पोझिशनल नंबर सिस्टीममधील अंकगणितीय क्रिया समान सुप्रसिद्ध नियमांनुसार केल्या जातात.

बेस टेनमध्ये दोन संख्या जोडण्याचा विचार करा:

संख्या 6 आणि 7 जोडताना, परिणाम 10 + 3 अभिव्यक्ती म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो, जेथे 10 दशांश संख्या प्रणालीसाठी पूर्ण आधार आहे. चला 10 (आधार) 1 ने बदलू आणि 3 क्रमांकाच्या डावीकडे बदलू. असे दिसून आले:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

बेस आठ मध्ये दोन संख्या जोडण्याचा विचार करा:

संख्या 6 आणि 7 जोडताना, परिणाम 8 + 5 अभिव्यक्ती म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो, जेथे 8 हा अष्टक संख्या प्रणालीचा पूर्ण आधार आहे. 8 (आधार) 1 ने बदला आणि क्रमांक 5 च्या डावीकडे बदला. असे दिसून आले:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

बेस आठ मध्ये दोन मोठ्या संख्या जोडण्याचा विचार करा:

जोडणी किमान महत्त्वाच्या अंकापासून सुरू होते. तर, 4 8 + 6 8 8 (बेस) + 2 म्हणून दर्शविला जातो. 8 (बेस) 1 ने बदला आणि हे एकक उच्च-ऑर्डर अंकांमध्ये जोडा. पुढे, खालील अंक जोडा: 5 8 + 3 8 + 1 8 8 + 1 म्हणून दर्शवा, 8 (आधार) 1 ने बदला आणि त्यास सर्वोच्च अंकात जोडा. पुढे, आम्ही 2 8 + 7 8 + 1 8 8 (बेस) + 2 म्हणून दर्शवतो, 8 (बेस) च्या जागी 1 आणि परिणामी संख्येच्या डावीकडे (सर्वात लक्षणीय अंकाच्या स्थितीत) बदलतो. अशा प्रकारे, हे बाहेर वळते:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

वेगवेगळ्या संख्या प्रणालींमधील इतर अंकगणितीय क्रिया (वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार) अशाच प्रकारे केल्या जातात.

बायनरी प्रणालीच्या दोन संख्यांचे उदाहरण वापरून "स्तंभ" द्वारे गुणाकार विचारात घ्या:

१११०१ २ १०१ २

अंकांच्या अनुषंगाने आम्ही अंक एकमेकांच्या खाली लिहितो. मग आपण पहिल्याने दुसऱ्या घटकाचा थोडासा गुणाकार करतो आणि दशांश संख्यांचा गुणाकार करताना डावीकडे शिफ्ट करून लिहितो. या प्रकरणात बायनरी, संख्यांचा आधार विचारात घेऊन "शिफ्ट केलेले" संख्या जोडणे बाकी आहे.

निकाल बेस 16 मध्ये रूपांतरित करा.

दुसऱ्या अंकात, 29 हे 16 (बेस) आणि 13 (D) म्हणून दाखवले आहे. चला 16 (बेस) 1 ने बदलू आणि सर्वात लक्षणीय बिट जोडू.

तिसऱ्या अंकात, 96 + 1 = 97. मग आपण 97 ला 6 16 (बेस) आणि 1 असे दर्शवतो. सर्वात महत्त्वाच्या अंकात 6 जोडा.

चौथ्या अंकात, 20 + 6 = 26. 26 ची कल्पना करा 16 (आधार) आणि 10 (A). आम्ही युनिटला सर्वोच्च अंकात स्थानांतरित करतो.

भिन्न संख्या प्रणालींसह काम करण्याच्या विशिष्ट कौशल्यांसह, रेकॉर्ड त्वरित म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते

	ए

	बी	बी

ए		डी

अशा प्रकारे, A31 16 29 16 = 1A1D9 16 .

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16 ,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

२७६ ८ २३१ ८ \u003d ७०६१६ ८,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16 ,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2 .

संगणकातील माहितीचे प्रतिनिधित्व आणि प्रक्रिया करण्याच्या तत्त्वांचा अभ्यास करण्याच्या दृष्टिकोनातून, चर्चा केलेल्या प्रणाली (बायनरी, ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल) खूप स्वारस्यपूर्ण आहेत, जरी संगणक केवळ बायनरी कोड (बायनरी नंबर सिस्टम) मध्ये रूपांतरित डेटावर प्रक्रिया करतो. तथापि, बर्‍याचदा कागदावर लिहिलेल्या किंवा संगणकाच्या कीबोर्डवरून प्रविष्ट केलेल्या वर्णांची संख्या कमी करण्यासाठी, ऑक्टल किंवा हेक्साडेसिमल संख्या वापरणे अधिक सोयीस्कर आहे, विशेषत: खाली दर्शविल्याप्रमाणे, प्रत्येक क्रमांकाचे परस्पर रूपांतर करण्याची प्रक्रिया. या सिस्टीम ते बायनरी अतिशय सोप्या आहेत - या तीनपैकी कोणत्याही सिस्टीम आणि दशांश मधील भाषांतरापेक्षा खूपच सोपे आहे.

चला भिन्न संख्या प्रणालीच्या संख्या अनुक्रमे एकमेकांना दर्शवू:

दशांश	हेक्साडेसिमल	ऑक्टल	बायनरी










	ए
	बी
	सी
	डी
	इ
	एफ

सारणी दर्शविते की बेस 2, 8 आणि 16 असलेल्या सिस्टीमच्या संख्यांमध्ये नियतकालिक नमुने आहेत. तर, ऑक्टल सिस्टमची आठ मूल्ये, म्हणजेच (0 ते 7 किंवा पूर्ण बेस पर्यंत) तीन अंकांशी संबंधित आहेत ( त्रिकूट) बायनरी प्रणालीचे. अशा प्रकारे, ऑक्टल सिस्टीमच्या एका अंकाच्या संख्येचे वर्णन करण्यासाठी, बायनरी प्रणालीचे तीन अंक आवश्यक आहेत. हेक्साडेसिमल संख्यांसाठीही हेच आहे. त्यांचे वर्णन करण्यासाठी फक्त चार बिट लागतात ( टेट्राड्स) बायनरी प्रणालीचे.

हे खालीलप्रमाणे आहे की कोणतीही पूर्णांक बायनरी संख्या ऑक्टलमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, त्यास उजवीकडून डावीकडे 3 अंकांच्या गटांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे (सर्वात डावीकडील गटात तीन बायनरी अंकांपेक्षा कमी असू शकतात), आणि नंतर प्रत्येक गटाला त्याचे अष्टक समतुल्य नियुक्त करा.

उदाहरणार्थ, तुम्हाला 11011001 2 चे ऑक्टल मध्ये रूपांतर करायचे आहे.

आम्ही संख्या 011 2, 011 2 आणि 001 2 या तीन अंकांच्या गटांमध्ये विभागतो. आम्ही ऑक्टल सिस्टीमच्या संबंधित संख्यांची जागा घेतो. आम्हाला 3 8, 3 8 आणि 1 8 किंवा 331 8 मिळतात.

11011001 2 = 331 8 .

त्याचप्रमाणे, उलट हस्तांतरण केले जाते, उदाहरणार्थ:

AB5D 16 ला बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरित करा.

आम्‍ही AB5D 16 या संख्‍येच्‍या प्रत्‍येक चिन्हाला बायनरी सिस्‍टममधील संबंधित संख्‍येसह वैकल्पिकरित्या बदलतो. आम्हाला 1010 16 , 1011 16 , 0101 16 आणि 1101 16 किंवा 1010101101011101 2 मिळेल.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

वर चर्चा केलेल्या पोझिशनल नंबर सिस्टीम व्यतिरिक्त, अशा काही आहेत ज्यामध्ये चिन्हाचे मूल्य संख्यामध्ये असलेल्या स्थानावर अवलंबून नसते. अशा संख्या प्रणाली म्हणतात नॉन-पोझिशनल. नॉन-पोझिशनल सिस्टमचे सर्वात प्रसिद्ध उदाहरण आहे रोमन. ही प्रणाली 7 वर्ण (I, V, X, L, C, D, M) वापरते, जे खालील मूल्यांशी संबंधित आहेत:

रोमन अंकांमध्ये संख्या लिहिण्याचे नियम:- जर लहान संख्‍याच्‍या आधी मोठी संख्‍या आली, तर ती जोडली जाते (अ‍ॅडिशन तत्त्व), - जर मोठ्या संख्‍येच्‍या आधी लहान संख्‍या आली, तर मोठी संख्‍या वजा केली जाते (वजाबाकीचे तत्त्व).

समान संख्या चार वेळा पुनरावृत्ती टाळण्यासाठी दुसरा नियम लागू केला जातो. तर, रोमन अंक I, X, C हे अनुक्रमे X, C, M 9, 90, 900 दर्शविण्यासाठी किंवा V, L, D 4, 40, 400 दर्शविण्यासाठी अनुक्रमे ठेवले आहेत.

रोमन अंकांमध्ये संख्या लिहिण्याची उदाहरणे:

IV = 5 - 1 = 4 (IIII च्या ऐवजी),

XIX \u003d 10 + 10 - 1 \u003d 19 (XVIIII च्या ऐवजी),

XL = 50 - 10 = 40 (XXXX ऐवजी),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 इ.

हे लक्षात घ्यावे की रोमन अंकांसह बहु-अंकी संख्यांवर अगदी साध्या अंकगणित ऑपरेशन्स करणे खूप गैरसोयीचे आहे. कदाचित, लॅटिन अक्षरांच्या वापरावर आधारित, रोमन प्रणालीमध्ये गणनाची जटिलता, या संदर्भात अधिक सोयीस्कर दशांश प्रणालीसह बदलण्याचे एक चांगले कारण होते.

3.1 संख्या प्रणालीच्या पायाला म्हणतात ...

डिजिटल चिन्हे किंवा चिन्हांसह संख्या लिहिण्यासाठी तंत्र आणि नियमांचा संच

विशिष्ट स्थितीत्मक संख्या प्रणालीमध्ये वापरलेल्या वर्णांची संख्या

एका संख्या प्रणालीतून दुसऱ्या क्रमांकामध्ये संख्या रूपांतरित करताना वापरलेला भाजक

एका नंबर सिस्टीममधून दुसर्‍या क्रमांकामध्ये संख्या अनुवादित करताना सामान्य घटक

3.2 संगणक तंत्रज्ञानामध्ये कोणती संख्या प्रणाली मोठ्या प्रमाणावर वापरली जात नाही

ऑक्टल

बायनरी

पाचपट

हेक्साडेसिमल

धडा #19-20.

विषय

पोझिशनल नंबर सिस्टममध्ये अंकगणित ऑपरेशन्स. गुणाकार आणि भागाकार.

धड्याचा उद्देश:वेगवेगळ्या संख्या प्रणालींमध्ये अंकांच्या अंकगणित क्रिया (गुणाकार आणि भागाकार) च्या पद्धती दर्शवा, "विविध संख्या प्रणालींमध्ये संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी" या विषयाचे आत्मसातीकरण तपासा.

धड्याची उद्दिष्टे:

शैक्षणिक

विकसनशील:

शैक्षणिक:

धड्यासाठी साहित्य आणि उपकरणे:स्वतंत्र कामासाठी कार्ड, गुणाकार सारण्या.

धड्याचा प्रकार:एकत्रित धडा

धडा फॉर्म: वैयक्तिक, पुढचा.

वर्ग दरम्यान:

1. गृहपाठ तपासत आहे.

गृहपाठ:

1. № 2.41 (स्तंभ 1 आणि 2), कार्यशाळा, पृष्ठ 55

उपाय:

अ) 11102 + 10012 \u003d 101112

ब) ६७८+२३८=११२८

ब) AF16+9716 = 14616

ड) 11102-10012 \u003d 1012

इ) ६७८-२३८ = ४४८

ई) AF16-9716 =1816

२. क्रमांक २.४८ (पृ. ५६)

2. स्वतंत्र कार्य "विविध संख्या प्रणालींमध्ये संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी." (20 मिनिटे)

स्वतंत्र काम. ग्रेड 10.
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. वजा करा: 10111-111; 11 - 1110 4. 8-ary प्रणालीमध्ये जोडा आणि वजा करा: 738 आणि 258	पर्याय 1

स्वतंत्र काम. ग्रेड 10.बायनरी संख्या प्रणाली: अनुवाद 2® 10; या व्यतिरिक्त.
1. बायनरी मधून दशांश मध्ये रूपांतरित करा. 2. दोन बायनरी संख्या जोडा. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. वजा करा: 111-1001; 1110+111 4. हेक्साडेसिमल सिस्टीममध्ये जोडा आणि वजा करा: 7316 आणि 2916	पर्याय २

3. नवीन साहित्य.

1. गुणाकार

विविध पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये बहु-अंकी संख्यांचा गुणाकार करताना, आपण स्तंभातील संख्यांचा गुणाकार करण्यासाठी नेहमीचा अल्गोरिदम वापरू शकता, परंतु गुणाकार आणि एकल-अंकी संख्यांच्या जोडणीचे परिणाम संबंधित गुणाकार आणि जोडणी सारण्यांमधून घेतले पाहिजेत. विचारात घेतलेल्या प्रणालीकडे.

बायनरी मध्ये गुणाकार

अष्टप्रणालीमध्ये गुणाकार

बायनरी सिस्टीममधील गुणाकार सारणीच्या अत्यंत साधेपणामुळे, गुणाकार केवळ गुणाकार आणि बेरीजच्या बदलांमध्ये कमी केला जातो.

उदाहरण १दशांश, बायनरी, ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालीमध्ये 5 आणि 6 संख्यांचा गुणाकार करू.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
उत्तर: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
परीक्षा.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

उदाहरण २चला दशांश, बायनरी, ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालीमध्ये 115 आणि 51 संख्यांचा गुणाकार करू.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
उत्तर: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
परीक्षा.परिणामी उत्पादने दशांश स्वरूपात रूपांतरित करू:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. विभागणी

दशांश प्रणालीतील कोनाद्वारे भागाकाराच्या समान नियमांनुसार कोणत्याही स्थितीत्मक संख्या प्रणालीमध्ये भागाकार केला जातो. बायनरीमध्ये, विभाजन विशेषतः सोपे आहे., कारण भागफलाचा पुढील अंक असू शकतो फक्त शून्य किंवा एक.
उदाहरण ३संख्या 30 ला संख्या 6 ने विभाजित करा.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
उत्तर: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

उदाहरण ४ 5865 या संख्येला 115 ने भागा.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

अष्ट: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
उत्तर: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
परीक्षा.प्राप्त भागांक दशांश स्वरूपात रूपांतरित करू:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. गृहपाठ:

1. चाचणी क्रमांक 2 ची तयारी करा “संख्या प्रणालीच्या विषयावर. संख्यांचे भाषांतर. संख्या प्रणालीतील अंकगणितीय क्रिया"

2. प्रॅक्टिकम उग्रीनोविच, क्रमांक 2.46, 2.47, पृष्ठ 56.

साहित्य:

1. संगणक विज्ञान आणि माहिती तंत्रज्ञान कार्यशाळा. शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक /,. - एम.: बिनोम. लॅबोरेटरी ऑफ नॉलेज, 2002. 400 पी.: आजारी.

2. उग्रीनोविच आणि माहिती तंत्रज्ञान. 10-11 इयत्तांसाठी पाठ्यपुस्तक. - एम.: BINOM. नॉलेज लॅब, 2003.

3. शौत्सुकोवा: पाठ्यपुस्तक. 10-11 पेशींसाठी भत्ता. सामान्य शिक्षण संस्था - एम.: शिक्षण, 2003.9 - पी. 97-101, 104-107.

डेटासह कार्य करण्यासाठी वापरले जाते कोडिंग, म्हणजे दुसर्‍या प्रकारच्या डेटाच्या संदर्भात एका प्रकारच्या डेटाची अभिव्यक्ती.

संगणक तंत्रज्ञानाची स्वतःची प्रणाली देखील आहे - त्याला म्हणतात बायनरी एन्कोडिंगआणि केवळ दोन वर्णांच्या अनुक्रमाने डेटाच्या प्रतिनिधित्वावर आधारित आहे: 0 आणि 1. या वर्णांना म्हणतात बायनरी अंक,इंग्रजी मध्ये - बायनरी अंककिंवा, थोडक्यात, बिट (बिट).

दोन संकल्पना एका बिटमध्ये व्यक्त केल्या जाऊ शकतात: 0 किंवा 1 (होयकिंवा नाही, काळाकिंवा पांढरा, खरेकिंवा खोटे बोलणेवगैरे.) जर बिट्सची संख्या दोन पर्यंत वाढवली तर चार भिन्न संकल्पना आधीच व्यक्त केल्या जाऊ शकतात:

तीन बिट आठ भिन्न मूल्ये एन्कोड करू शकतात: 000 001 010 011 100 101 110 111

बायनरी कोडिंग सिस्टीममधील अंकांची संख्या एकाने वाढवून, आम्ही या प्रणालीमध्ये व्यक्त केलेल्या मूल्यांची संख्या दुप्पट करतो, म्हणजेच सामान्य सूत्र असे दिसते:

N=2 मी,कुठे:

N-स्वतंत्र एन्कोड केलेल्या मूल्यांची संख्या;

ट- या प्रणालीमध्ये स्वीकारलेल्या बायनरी कोडिंगची थोडी खोली.

बिट हे मोजण्याचे एकक खूप लहान असल्याने, सराव मध्ये एक मोठे एकक वापरले जाते - एक बाइट, आठ बिट्सच्या समान.

मोठ्या व्युत्पन्न डेटा युनिट्स देखील वापरली जातात:

किलोबाइट (KB) = 1024 बाइट = 2 10 बाइट;

मेगाबाइट (MB) = 1024 KB = 2 20 बाइट;

गिगाबाइट (GB) = 1024 MB = 230 बाइट्स.

अलीकडे, प्रक्रिया केलेल्या डेटाच्या प्रमाणात वाढ झाल्यामुळे, अशा व्युत्पन्न युनिट्स:

टेराबाइट (टीबी) = 1024 जीबी = 240 बाइट;

पेटाबाइट (पीबी) = 1024 टीबी = 250 बाइट्स;

Exabyte (Ebyte) = 1024 PB = 260 बाइट्स.

मजकूर माहितीचे एन्कोडिंगमाहिती ASCII च्या इंटरचेंजसाठी अमेरिकन मानक कोड वापरून तयार केले जाते, जे 0 ते 127 पर्यंत वर्ण कोड सेट करते. राष्ट्रीय मानके एका वर्णासाठी 1 बाइट माहितीचे वाटप करतात आणि ASCII कोड सारणी, तसेच 128 मधील संख्या असलेले राष्ट्रीय वर्णमाला कोड समाविष्ट करतात. 255 पर्यंत. सध्या पाच भिन्न सिरिलिक एन्कोडिंग आहेत: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh आणि ISO. 90 च्या दशकाच्या शेवटी, एक नवीन आंतरराष्ट्रीय युनिकोड मानक दिसू लागले, जे प्रत्येक वर्णासाठी एक बाइट नाही तर दोन बाइट्सचे वाटप करते आणि म्हणूनच ते एन्कोड करण्यासाठी नव्हे तर विविध वर्णांसाठी वापरले जाऊ शकते.

बेस एन्कोडिंग टेबल ASCIIटेबल मध्ये दर्शविले आहे.

कलर ग्राफिक्स एन्कोडिंगरास्टर वापरून बनवले जाते, जेथे प्रत्येक बिंदू त्याच्या रंग क्रमांकाशी संबंधित असतो. RGB कोडींग प्रणालीमध्ये, प्रत्येक बिंदूचा रंग लाल (लाल), हिरवा (हिरवा) आणि निळा (निळा) रंगांच्या बेरजेने दर्शविला जातो. CMYK कोडिंग सिस्टीममध्ये, प्रत्येक बिंदूचा रंग निळसर (निळसर), किरमिजी (किरमिजी), पिवळा (पिवळा) आणि काळा (काळा, के) रंगांच्या बेरजेने दर्शविला जातो.

अॅनालॉग कोडिंग

ऐतिहासिकदृष्ट्या, डेटा प्राप्त करणे, प्रसारित करणे आणि संग्रहित करणे हे पहिले तांत्रिक स्वरूप म्हणजे ध्वनी, ऑप्टिकल, इलेक्ट्रिकल किंवा इतर सिग्नलचे एनालॉग (सतत) प्रतिनिधित्व होते. संगणकात असे सिग्नल प्राप्त करण्यासाठी, अॅनालॉग-टू-डिजिटल रूपांतरण प्राथमिकपणे केले जाते.

अॅनालॉग-टू-डिजिटल रूपांतरणामध्ये नियमित अंतराने अॅनालॉग सिग्नल मोजणे आणि n-बिट बायनरी शब्दासह मापन परिणाम एन्कोड करणे समाविष्ट आहे. या प्रकरणात, एन-बिट बायनरी शब्दांचा क्रम प्राप्त होतो, दिलेल्या अचूकतेसह अॅनालॉग सिग्नलचे प्रतिनिधित्व करतो.

सध्या दत्तक घेतलेले सीडी मानक तथाकथित "44 kHz स्कॅन दराने 16-बिट ऑडिओ" वापरते. वरील आकृतीसाठी, सामान्य भाषेत अनुवादित केले आहे, याचा अर्थ असा की "चरण लांबी" (t) 1/44000 s आहे आणि "चरण उंची" (δ) कमाल सिग्नल व्हॉल्यूमच्या 1/65,536 आहे (2 16 पासून u003d 65,536) . या प्रकरणात, पुनरुत्पादन वारंवारता श्रेणी 0-22 kHz आहे, आणि डायनॅमिक श्रेणी 96 डेसिबल आहे (जे एक गुणवत्ता वैशिष्ट्य आहे जे चुंबकीय किंवा यांत्रिक ध्वनी रेकॉर्डिंगसाठी पूर्णपणे अप्राप्य आहे).

डेटा कॉम्प्रेशन.

प्रक्रिया केलेल्या आणि प्रसारित केलेल्या डेटाचे प्रमाण वेगाने वाढत आहे. हे वाढत्या जटिल अनुप्रयोग प्रक्रियेच्या अंमलबजावणीमुळे, नवीन माहिती सेवांचा उदय, प्रतिमा आणि आवाजाचा वापर यामुळे आहे.

डेटा कॉम्प्रेशन (डेटा कॉम्प्रेशन)- डेटाची मात्रा कमी करणारी प्रक्रिया. कॉम्प्रेशन तुम्हाला डेटा संचयित करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या मेमरीचे प्रमाण कमी करण्यास, त्यांच्या हस्तांतरणाची वेळ (स्वीकारण्यायोग्य आकारापर्यंत) कमी करण्यास अनुमती देते. इमेज कॉम्प्रेशन विशेषतः प्रभावी आहे. डेटा कॉम्प्रेशन सॉफ्टवेअर आणि हार्डवेअरद्वारे किंवा एकत्रित पद्धतीने केले जाऊ शकते.

मजकूर कॉम्प्रेशन अधिक कॉम्पॅक्ट लेआउटशी संबंधित आहे बाइट्सएन्कोडिंग वर्ण. हे स्पेस रिपीट काउंट देखील वापरते. ध्वनी आणि प्रतिमांसाठी, त्यांना दर्शविणारी माहितीचे प्रमाण निवडलेल्या परिमाणीकरण चरणावर आणि अॅनालॉग-टू-डिजिटल रूपांतरणाच्या अंकांच्या संख्येवर अवलंबून असते. तत्वतः, मजकूर प्रक्रियेप्रमाणे येथे समान कॉम्प्रेशन पद्धती वापरल्या जातात. जर मजकूर कॉम्प्रेशन माहिती गमावल्याशिवाय उद्भवते, तर ध्वनी आणि प्रतिमा कॉम्प्रेशनमुळे जवळजवळ नेहमीच माहितीचे नुकसान होते. डेटा संग्रहणात कॉम्प्रेशनचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो.

नोटेशन- वर्णांच्या विशिष्ट संचाद्वारे संख्येचे प्रतिनिधित्व. संख्या प्रणाली आहेत:

1. सिंगल (टॅग किंवा स्टिक्सची प्रणाली);

2. नॉन-पोझिशनल (रोमन);

3. पोझिशनल (दशांश, बायनरी, ऑक्टल, हेक्साडेसिमल इ.).

स्थितीसंबंधीयाला संख्या प्रणाली म्हणतात ज्यामध्ये प्रत्येक अंकाचे परिमाणवाचक मूल्य संख्यामधील त्याच्या स्थानावर (स्थितीवर) अवलंबून असते. पायापोझिशनल नंबर सिस्टीमला घात वाढवलेला पूर्णांक असे म्हणतात, जे या प्रणालीतील अंकांच्या संख्येइतके असते.

बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये दोन अंकांची वर्णमाला समाविष्ट आहे: 0 आणि 1.

अष्टक संख्या प्रणालीमध्ये 8 अंकांची वर्णमाला समाविष्ट आहे: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 आणि 7.

दशांश संख्या प्रणालीमध्ये 10 अंकांची वर्णमाला समाविष्ट आहे: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 आणि 9.

हेक्साडेसिमल क्रमांक प्रणालीमध्ये 16 अंकांची वर्णमाला समाविष्ट आहे: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			A B C D E F

संगणक तंत्रज्ञानामध्ये, बायनरी प्रणालीमध्ये कोडिंग वापरली जाते, म्हणजे. 0 आणि 1 चा क्रम.

पूर्णांक एका संख्या प्रणालीतून दुसर्‍यामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्ही खालील अल्गोरिदम पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

1. मूळ संख्या प्रणालीच्या संख्यांच्या संदर्भात नवीन संख्या प्रणालीचा आधार व्यक्त करा.

2. जोपर्यंत तुम्हाला विभाजकापेक्षा कमी भाग मिळत नाही तोपर्यंत दिलेल्या संख्येला नवीन संख्या प्रणालीच्या आधारे सातत्याने भागा.

3. परिणामी शिल्लक नवीन क्रमांक प्रणालीवर हस्तांतरित करा.

4. शेवटच्या उरलेल्या भागापासून सुरुवात करून, नवीन संख्या प्रणालीमध्ये उर्वरित भागांमधून एक संख्या तयार करा.

सर्वसाधारणपणे, बेस P सह स्थितीत्मक SS मध्ये, कोणतीही संख्या X बेस P मध्ये बहुपदी म्हणून दर्शविली जाऊ शकते:

X \u003d a n P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m P -m,

जेथे गुणांक a i हे बेस P सह SS मध्ये वापरलेल्या P अंकांपैकी कोणतेही असू शकतात.

संख्येच्या पूर्णांक आणि अपूर्णांक भागांसाठी 10 SS वरून इतर कोणत्याही संख्येत रूपांतरण विविध पद्धतींनी केले जाते:

a) संख्येचा पूर्णांक भाग आणि मध्यवर्ती भागांक नवीन SS च्या पायाने विभागले जातात, 10 SS मध्ये व्यक्त केले जातात, जोपर्यंत भागाचा भाग नवीन SS च्या पायापेक्षा कमी होत नाही. क्रिया 10 CC मध्ये केल्या जातात. परिणाम खाजगी आहे, उलट क्रमाने लिहिलेला आहे.

b) संख्येचा अंशात्मक भाग आणि मध्यवर्ती उत्पादनांचे परिणामी अपूर्णांक भाग निर्दिष्ट अचूकतेपर्यंत पोहोचेपर्यंत नवीन SS च्या पायाने गुणाकार केला जातो किंवा मध्यवर्ती उत्पादनाच्या अंशात्मक भागामध्ये "0" प्राप्त होत नाही. परिणाम म्हणजे मध्यवर्ती कामांचे संपूर्ण भाग, ते प्राप्त झालेल्या क्रमाने लिहिलेले आहेत.

फॉर्म्युला (1) वापरून, तुम्ही कोणत्याही संख्या प्रणालीतील संख्या दशांश संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरित करू शकता.

उदाहरण १ 1011101.001 संख्या बायनरी संख्या प्रणाली (SS) वरून दशांश SS मध्ये रूपांतरित करा. उपाय:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 २ -३ = ६४+१६+८+४+१+१/८=९३.१२५

उदाहरण २ 1011101.001 संख्या ऑक्टल संख्या प्रणाली (SS) वरून दशांश SS मध्ये रूपांतरित करा. उपाय:

उदाहरण ३. संख्या AB572.CDF हे हेक्साडेसिमल वरून दशांश SS मध्ये रूपांतरित करा. उपाय:

येथे ए- 10 ने बदलले, बी- 11 वाजता, सी- 12 वाजता, एफ- 15 वाजता.

8 (16) संख्यांचे 2 फॉर्ममध्ये भाषांतर करा - या संख्येचा प्रत्येक अंक संबंधित 3-अंकी (4-अंकी) बायनरी क्रमांकासह पुनर्स्थित करणे पुरेसे आहे. उच्च आणि निम्न अंकांमध्ये अनावश्यक शून्य टाकून द्या.

उदाहरण 1: संख्या 305.4 8 बायनरी SS मध्ये रूपांतरित करा.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

उदाहरण 2: क्रमांक 9AF,7 16 ला बायनरी CC मध्ये रूपांतरित करा.

(_9 __ _ए __ _एफ __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

2रा क्रमांक 8 (16) SS मध्ये अनुवादित करण्यासाठी, पुढीलप्रमाणे पुढे जा: स्वल्पविरामावरून डावीकडे आणि उजवीकडे जाणे, बायनरी संख्या 3 (4) अंकांच्या गटांमध्ये विभागणे, आवश्यक असल्यास अत्यंत डाव्या आणि उजव्या गटांना शून्यासह पूरक करणे. . प्रत्येक गट नंतर संबंधित ऑक्टल (16) अंकाने बदलला जातो.

उदाहरण 1: संख्या 110100011110100111,1001101 2 ला ऑक्टल ss मध्ये रूपांतरित करा.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

उदाहरण 2: संख्या 110100011110100111,1001101 2 हे हेक्साडेसिमल ss मध्ये रूपांतरित करा.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

अंकगणित ऑपरेशन्ससर्व पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये तुम्हाला ज्ञात असलेल्या समान नियमांनुसार कार्य केले जाते.

या व्यतिरिक्त.बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये संख्या जोडण्याचा विचार करा. हे एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या जोडणी सारणीवर आधारित आहे:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

दोन युनिट्स जोडताना, बिट ओव्हरफ्लो होते आणि सर्वोच्च बिटमध्ये हस्तांतरण होते याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. ओव्हरफ्लो होतो जेव्हा त्यातील संख्येचे मूल्य बेसच्या बरोबरीचे किंवा मोठे होते.

बहु-अंकी बायनरी संख्यांची बेरीज वरील जोडणी सारणीनुसार होते, खालच्या अंकांपासून उच्च अंकांमध्ये संभाव्य हस्तांतरण लक्षात घेऊन. उदाहरण म्हणून, एका स्तंभात बायनरी संख्या 110 2 आणि 11 2 जोडू.

वजाबाकी.बायनरी संख्यांच्या वजाबाकीचा विचार करा. हे एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या वजाबाकी सारणीवर आधारित आहे. लहान संख्येतून (0) मोठ्या संख्येतून (1) वजा करताना, सर्वोच्च क्रमाने कर्ज दिले जाते. टेबलमध्ये, कर्ज एका ओळीसह 1 द्वारे सूचित केले आहे:

गुणाकार.गुणाकार एकल-अंकी बायनरी संख्यांच्या गुणाकार सारणीवर आधारित आहे:

विभागणी.डिव्हिजन ऑपरेशन दशांश संख्या प्रणालीमधील डिव्हिजन ऑपरेशन अल्गोरिदम प्रमाणेच अल्गोरिदमनुसार केले जाते. उदाहरण म्हणून, बायनरी क्रमांक 110 2 ला 11 2 ने विभाजित करू:

भिन्न संख्या प्रणालींमध्ये व्यक्त केलेल्या संख्यांवर अंकगणित क्रिया करण्यासाठी, तुम्ही प्रथम त्यांचे समान प्रणालीमध्ये भाषांतर केले पाहिजे.