Вредоносное ПО (malware) - это назойливые или опасные программы,...
Математическая матрица – это таблица упорядоченных элементов. Размеры этой таблицы определяются по количеству строк и столбцов в ней. Что касается решения матриц, то им называют огромное количество операций, которые производятся над этими самыми матрицами. Математики различают несколько видов матриц. Для некоторых из них действуют общие правила по решению, а для других не действуют. Например, если матрицы имеют одинаковую размерность, то их можно сложить, а если они согласовываются между собой, то их можно перемножить. Обязательно для решения любой матрицы необходимо найти детерминант. Кроме того, матрицы подвергаются транспонированию и нахождению в них миноров. Итак, давайте рассмотрим, как решать матрицы.
Порядок решения матриц
Сначала записываем заданные матрицы. Считаем сколько в них строк и столбцов. Если количество строк и столбцов одинаковое, то такая матрица называется квадратной. Если каждый элемент матрицы оказался равен нулю, то такая матрица нулевая. Следующее, что мы делаем, это находим главную диагональ матрицы. Элементы такой матрицы находятся от правого нижнего угла до левого верхнего. Вторая же диагональ в матрице является побочной. Теперь необходимо произвести транспонирование матрицы. Чтобы это сделать, необходимо заменить в каждой из двух матриц элементы строк на соответствующие элементы столбцов. Например, элемент под а21 окажется элементом а12 или же наоборот. Таким образом, после этой процедуры должна появиться совершенно иная матрица.
Если матрицы имеют совершенно одинаковую размерность, то их можно запросто сложить. Чтобы это сделать, мы берем первый элемент первой матрицы а11 и складываем его с подобным элементом второй матрица b11. То, что получится в результате, записываем на ту же позицию, только уже в новую матрицу. Теперь аналогичным образом складываем все остальные элементы матрицы, пока не получится новая совершенно иная матрица. Посмотрим еще несколько способов, как решать матрицы.
Варианты действий с матрицами
Также мы можем определить, являются ли согласованными матрицы. Для этого нам нужно сравнить количество строк в первой матрице с количеством столбцов второй матрицы. В случае если они оказываются равными, можно их перемножить. Чтобы это сделать, мы попарно умножаем элемент строки одной матрицы на аналогичный элемент столбца другой матрицы. Только после этого можно будет посчитать сумму получившихся произведений. Исходя из этого, начальный элемент той матрицы, которая должна получиться в результате будет равен g11 = а11* b11 + а12*b21 + а13*b31 + … + а1m*bn1. После того как будет выполнено сложение и умножение всех произведений, вы сможете заполнить итоговую матрицу.
Также можно при решении матриц найти их детерминант и определитель для каждой. Если матрица квадратная и имеет размерность 2 на 2, то определитель можно найти как разницу всех произведений элементов главной и побочной диагоналей. Если матрица уже трехмерная, то определитель можно будет найти, применив следующую формулу. D = а11* а22*а33 + а13* а21*а32 + а12* а23*а31 - а21* а12*а33 - а13* а22*а31 - а11* а32*а23.
Чтобы найти минор заданного элемента, нужно вычеркнуть столбец и строку, там, где находится этот элемент. После этого найдите детерминант данной матрицы. Он и будет соответствующим минором. Подобный метод решающих матриц был разработан еще несколько десятилетий тому назад для того, чтобы повысить достоверность результата путем разделения проблемы на подпроблемы. Таким образом, решать матрицы не так уж сложно, если вы знаете основные математические действия.
Определение 1. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
,
или
Определение
2.
Две матрицы
и
одного размера называютсяравными
,
если они совпадают поэлементно, т.е.
=
,i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n.
С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.
Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.
Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.
Виды
матриц: квадратная (размера 33)
-
,
прямоугольная
(размера 25)
-
,
диагональная
-
,
единичная -
,
нулевая -
,
матрица-строка
-
,
матрица-столбец -.
Определение
5.
Элементы
квадратной матрицы порядка n
с одинаковыми индексами называются
элементами главной диагонали, т.е. это
элементы:
.
Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .
1.2. Операции над матрицами.
1
0
.
Суммой
двух матриц
и
одинакового размера называется матрица
С = (с ij),
элементы которой определяются равенством
с ij
= a ij
+ b ij ,
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции сложения матриц.
Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:
1) А + В = В + А (коммутативность),
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
2
0
.
Произведением
матрицы
на число
называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij
= 
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции умножения матрицы на число.
(А) = ()А (ассоциативность умножения);
(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);
(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).
Определение 7.
Линейной
комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение
видаА+В,
где
и
- произвольные числа.
3 0 . Произведением А В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);
(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
АВ ВА (не коммутативность).
Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:
Перемена местами двух строк (столбцов).
Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если
,
.
,
,
.
Пример
1.2.
Найти
произведение матриц
,
если
.
Решение:
т.к количество столбцов первой матрицы
совпадает с количеством строк второй
матрицы, то произведение матриц
существует. В результате получаем новую
матрицу
,
где
В
результате получим
.
Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1
. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .
В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы .
Сложение и вычитание матриц.
Суммой $A+B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Аналогичное определение вводят и для разности матриц:
Разностью $A-B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц - операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.
Пример №1
Заданы три матрицы:
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). $$
Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.
Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами - размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.
Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.
$$ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) $$
Найдем матрицу $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) $$
Ответ : $C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)$, $D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)$.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B_{m\times n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Попросту говоря, умножить матрицу на некое число - означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.
Пример №2
Задана матрица: $ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). $$
Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) $$
Ответ : $3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right);\; -5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right);\; -A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)$.
Произведение двух матриц.
Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.
Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$
Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными ). Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:
Пример №3
Заданы матрицы: $ A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)$ и $ B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.
Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:
Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" , в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.
Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:
$$ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:
Аналогично предыдущему, имеем:
$$ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
$$ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:
$$ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). $$
Ответ : $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$.
Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:
Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Транспонированной по отношению к матрице $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.
Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка - станет первый столбец; была вторая строка - станет второй столбец; была третья строка - станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3\times 5}$:
Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.
Некоторые свойства операций над матрицами.
Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ - некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ - матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.
- $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ - нулевая матрица соответствующего размера.
- $\left(A^T \right)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей)
называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей
называется квадратная матрица вида
Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).
Определим основные операции над матрицами .
Сложение матриц
Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле
. Обозначается C = A+B.
Пример 6
. .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.
Вычитание матриц
Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.Умножение матриц
Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .Определение . Пусть даны две матрицы
и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле 
.
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:
а правило вычисления элемента в произведении:
Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .
Пример 7
. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение.
Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.
Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).
Пример 8
. Дана матрица 
. Найти 3A 2 – 2A.
Решение.
.
; 
.
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
