Вредоносное ПО (malware) - это назойливые или опасные программы,...
Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.
Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2. Интегралы вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , где n – целое.
Необходимо использовать формулы
3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n - нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x . Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫ sin(nx)·cos(mx)dx , ∫ cos(mx)·cos(nx)dx , ∫ sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму
Примеры
1. Вычислить интеграл ∫
cos 4 x·sin 3 xdx .
Делаем замену cos(x)=t . Тогда ∫
cos 4 x·sin 3 xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t , получаем
3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t . Подставляя, получаем
Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и поэтому
Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
Пример №1
. Вычислить интегралы:
Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R - рациональная функция от sin x и cos x , преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t .
Тогда имеем
Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫
R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
- Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то применяется подстановка cos x = t .
- Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то подстановка sin x = t .
- Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx , то подстановка tgx = t или ctg x = t .
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t .
Тогда
Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим
Возвращась к исходной переменной будем иметь
b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫
R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫
sin m x·cos n xdx . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t . Если нечетно n , следует применить подстановку sin x = t . Если оба показателя тип - четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае
Ответ:
Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:
,
где R
- рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.
В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.
Подстановки t = sin x или t = cos x
Если R(cos
x, sin
x)
умножается на -1
при замене
cos
x → - cos
x
или sin
x → - sin
x
,
то полезно другую из них обозначить через t
.
Так, при подстановке
t = cos
x
,
dt = (cos
x )′
dx = - sin
x dx
,
sin 2
x = 1 - cos 2
x = 1
- t 2
.
При подстановке
t = sin
x
,
dt = (sin
x )′
dx = cos
x dx
,
cos 2
x = 1 - sin 2
x = 1
- t 2
.
Подстановка t = tg x
Если R(cos
x, sin
x)
не меняется при одновременной замене
cos
x → - cos
x
и sin
x → - sin
x
,
то полезно положить tg
x = t
или ctg
x = t
.
Пусть t = tg
x
,
тогда
,
,
,
.
Подстановка t = tg(x/2)
Подстановка
во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.
При этом
,
,
,
,
,
.
Итак,
.
Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.
Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x
Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса:
При целых m
и n
подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.
Примеры
Ниже подробно рассмотрены три примера интегрирования рациональных тригонометрических функций.
Пример 1
Вычислить интеграл
Решение
Подынтегральная функция
является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрических функций sin
x
и cos
x
sin
x
и cos
x
.
Заменим cos
x
на - cos
x
:
Вся функция умножилась на -1
.
По правилу 1, делаем подстановку:
t = sin
x
.
Тогда
dt = (sin
x)′
dx = cos
x dx
.
Подставляем в интеграл:
Получили интеграл от рациональной функции (дроби из многочленов). Выделяем целую часть и разложим дробь на простейшие:
.
Интегрируем:
Ответ
Пример 2
Определить интеграл
Решение
Подынтегральная функция
является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрической функции sin
x
.
Поэтому она является рациональной функцией от sin
x
и cos
x
.
Заменим sin
x
на - sin
x
:
Функция не изменилась.
Заменим cos x на - cos x . Поскольку подынтегральная функция не зависит от cos x , то при этой замене она также не меняется.
Согласно второму правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg
x
.
;
;
.
Применим формулу sin 2
x + cos 2
x = 1
и разделим числитель и знаменатель на cos 2
x
.
.
Подставляем и раскладываем дробь на простейшие:
.
Ответ
Пример 3
Решить интеграл
Решение
Подынтегральная функция
является дробью, состоящей из многочлена от тригонометрических функций sin
x
и cos
x
.
Поэтому она является рациональной функцией от sin
x
и cos
x
.
Если заменить sin x на - sin x или cos x на - cos x , то функция меняет вид, поэтому правила 1 или 2 не применимы.
Согласно третьему правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
.
;
.
Преобразуем знаменатель, применяя формулы:
,
,
.
.
.
Приводим знаменатель к сумме квадратов:
.
Подставляем:
Ответ
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.