Aritmetičke operacije u položajnim brojevnim sustavima. Aritmetičke operacije u različitim Kodiranje brojeva u različitim brojevnim sustavima

Zbrajanje i oduzimanje

U sustavu s bazom brojevi 0, 1, 2, ..., s - 1 služe za označavanje nule i prvih c-1 prirodnih brojeva.Za izvođenje operacija zbrajanja i oduzimanja koristi se tablica zbrajanja jed. -sastavljaju se znamenkasti brojevi.

Tablica 1 - Binarno zbrajanje

Na primjer, tablica zbrajanja u heksadecimalnom brojevnom sustavu:

Tablica 2 - Zbrajanje u heksadekadskom sustavu

Zbrajanje bilo koja dva broja zapisana u sustavu brojeva s bazom c provodi se na isti način kao u decimalnom sustavu, po znamenkama, počevši od prve znamenke, pomoću tablice zbrajanja ovog sustava. Brojevi koji se zbrajaju potpisuju se jedan iza drugog tako da znamenke istih znamenki stoje okomito. Rezultat zbrajanja upisuje se ispod vodoravne crte povučene ispod brojeva pribrojnika. Kao i kod zbrajanja brojeva u decimalnom sustavu, u slučaju kada zbrajanjem znamenki u bilo kojoj znamenki dobijemo dvoznamenkasti broj, rezultatu se upisuje zadnja znamenka tog broja, a rezultatu prva znamenka. dodajući sljedeću znamenku.

Na primjer,

Navedeno pravilo zbrajanja brojeva možete obrazložiti prikazom brojeva u obliku:

Pogledajmo jedan od primjera:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Članove redom biramo prema stupnju baze 7, počevši od najnižeg, nultog, stupnja.

Oduzimanje se također provodi po znamenkama, počevši od najniže, a ako je znamenka umanjenog manja od znamenke oduzetog, tada se od sljedeće znamenke smanjenog “zauzima” jedna i pripada odgovarajuća znamenka umanjenog. oduzet od dobivenog dvoznamenkastog broja; kada oduzimate znamenke sljedeće znamenke, u ovom slučaju morate mentalno smanjiti znamenku one koja se smanjuje za jedan, ali ako se ta znamenka pokazala nula (i tada je njeno smanjenje nemoguće), tada biste trebali " uzeti” jedan od sljedeće znamenke i zatim smanjiti za jedan. Nema potrebe za izradom posebne tablice oduzimanja, budući da tablica zbrajanja daje rezultate oduzimanja.

Na primjer,

Množenje i dijeljenje

Za izvođenje operacija množenja i dijeljenja u sustavu s bazom c sastavlja se tablica množenja jednoznamenkastih brojeva.

Tablica 3 - Množenje jednoznamenkastih brojeva

Tablica 4 - Množenje u heksadekadskom brojevnom sustavu

Množenje dvaju proizvoljnih brojeva u sustavu s bazom c provodi se na isti način kao u decimalnom sustavu - "stupcem", odnosno množenik se množi znamenkom svake znamenke množitelja (sukcesivno) uz naknadno dodavanje ovih međurezultata.

Na primjer,

Prilikom množenja višeznamenkastih brojeva u međurezultatima, osnovni indeks nije postavljen:

Dijeljenje u sustavima s bazom c vrši se kutom, kao iu decimalnom brojevnom sustavu. U ovom slučaju koristi se tablica množenja i tablica zbrajanja odgovarajućeg sustava. Situacija je kompliciranija ako rezultat dijeljenja nije konačni c-redni razlomak (ili cijeli broj). Zatim, prilikom izvođenja operacije dijeljenja, obično je potrebno odabrati neperiodični dio razlomka i njegov period. Sposobnost izvođenja operacije dijeljenja u c-arnom brojevnom sustavu korisna je pri prevođenju frakcijskih brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi.

Na primjer:

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Postoji mnogo različitih načina za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi.

metoda podjele

Neka je dan broj N=an an-1. . . a1 a0 str.

Da biste dobili zapis broja N u sustavu s bazom h, trebali biste ga predstaviti u obliku:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

gdje 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Iz (1) dobivamo:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, gdje je 0? b0 ?h (3)

Odnosno, broj b0 je ostatak dijeljenja broja N s brojem h. Nepotpuni kvocijent Nl = bmhm-1+ . . . +b1 može se predstaviti kao:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, gdje je 0? b2 ?h (4)

Dakle, znamenka bi u zapisu (2) broja N je ostatak dijeljenja prvog parcijalnog kvocijenta N1 s bazom h novog brojevnog sustava. Drugi nepotpuni kvocijent N2 može se predstaviti kao:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, gdje je 0? b2 ?h (5)

to jest, broj b2 je ostatak dijeljenja drugog parcijalnog kvocijenta N2 s bazom h novog sustava. Budući da se nepotpuni kvocijenti smanjuju, ovaj je proces konačan. I tada dobivamo Nm = bm, gdje je bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Dakle, niz znamenki je bm, bm-1. . ,b1,b0 u zapisu broja N u brojevnom sustavu s bazom h je niz ostataka uzastopnog dijeljenja broja N s bazom h, uzet obrnutim redom.

Razmotrite primjer: Pretvorite broj 123 u heksadecimalni:

Dakle, broj 12310=7(11)16 ili se može napisati kao 7B16

Zapišimo broj 340227 u kvinarni brojevni sustav:

Dakle, dobivamo da je 340227=2333315

Notacija(SS) je skup tehnika i pravila za pisanje brojeva pomoću određenog skupa znakova.
Abeceda SS - skup znakova (brojeva) koji se koriste za pisanje broja.
Baza SS (SS alphabet power) - broj znakova (znamenki) SS abecede.
Svi brojčani sustavi dijele se na pozicijski i nepozicijski. nepozicijski brojevni sustav je sustav u kojem kvantitativni ekvivalent svake znamenke ne ovisi od njegova položaja (mjesta, položaja) u zapisu broja.
Dakle, u nepozicijskim brojevnim sustavima pozicija koju znamenka zauzima u zapisu broja ne igra nikakvu ulogu. Na primjer, rimski brojevni sustav je nepozicijski. U brojevima XI i IX, "težina" oba broja je ista, bez obzira na njihov položaj.

Pozicijski brojevni sustavi

Pozicijski brojevni sustav je sustav u kojem vrijednost znamenke ovisi sa svog mjesta (položaja) u zapisu broja. Osnova brojevnog sustava je broj znakova ili simbola koji se koriste za predstavljanje broja u određenom brojevnom sustavu
Baza brojevnog sustava određuje njegov naziv: baza p je p-ti brojevni sustav.
Na primjer, brojevni sustav koji se najviše koristi u modernoj matematici je položajni decimalni sustav, čija je baza deset. Za pisanje bilo kojeg broja koristi se deset dobro poznatih znamenki (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Dakle, rekli smo da je u pozicijskim brojevnim sustavima važno mjesto koje znamenka zauzima u zapisu broja. Dakle, unos 23 znači da se taj broj može sastaviti od 3 jedinice i 2 desetice. Ako promijenimo položaje znamenki, dobit ćemo potpuno drugačiji broj - 32. Ovaj broj sadrži 3 desetice i 2 jedinice. “Težina” dvojke se udeseterostručila, dok se “težina” trojke udeseterostručila. Prošireni zapis broja
Bilo koji broj N u pozicijskom brojevnom sustavu s bazom str može se prikazati kao polinom u str:
N=a k p k + a k-1 p k-1 +a k-2 p k-2 +...+a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ...,
gdje je N broj, p je baza brojevnog sustava (p>1), a i su znamenke broja (koeficijenti na stupnju p).
Brojevi u p-tom brojevnom sustavu zapisuju se kao niz znamenki:
N=a k a k-1 a k-2 ...a 1 a 0 , a -1 a -2...
Zarez u nizu odvaja cjelobrojni dio broja od razlomka.
3210 -1-2
N= 4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

Binarni brojevni sustav

Za pisanje brojeva koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Odabir binarnog sustava za korištenje u računalu objašnjava se činjenicom da elektronički elementi od kojih su računala izgrađena mogu biti samo u dva dobro razlučiva stanja. U biti, ovi elementi su prekidači. Kao što znate, prekidač je uključen ili isključen. Trećeg nema. Jedno od stanja označeno je brojem 1, drugo - 0. Zahvaljujući ovim značajkama, binarni sustav postao je standard za izgradnju računala.
U ovom brojevnom sustavu bilo koji broj može se predstaviti kao:
N=a k 2 k + a k-1 2 k-1 +a k-2 2 k-2 +...+a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 - 2+....
Na primjer: 11001.01 2 =1 *2 4 +1 *2 3 +0 *2 2 +0 *2 1 +1 *2 0 +0 *2 -1 +1 *2 -2

Binarna aritmetika

Aritmetičke operacije u svim položajnim brojevnim sustavima izvode se prema istim, dobro poznatim pravilima.

Dodatak

Razmotrimo zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu. Temelji se na tablici zbrajanja jednoznamenkastih binarnih brojeva:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

Važno je obratiti pozornost na činjenicu da kod zbrajanja dviju jedinica dolazi do prelijevanja bita i prijenosa na najviši bit. Do preljeva dolazi kada vrijednost broja u njemu postane jednaka ili veća od baze brojevnog sustava. Za binarni brojevni sustav ta je vrijednost jednaka dva.
Zbrajanje višeznamenkastih binarnih brojeva odvija se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih znamenki na više.

Oduzimanje

Razmotrimo oduzimanje binarnih brojeva. Temelji se na tablici oduzimanja jednoznamenkastih binarnih brojeva. Kada se od manjeg broja (0) oduzima veći (1), posuđuje se iz najvišeg reda. U tablici je kredit označen s 1 s crticom.

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

Zbrajanje i oduzimanje jednoznamenkastih binarnih brojeva
Zbrajanje i oduzimanje višeznamenkastih binarnih brojeva (primjeri)

Množenje

Množenje se temelji na tablici množenja jednoznamenkastih binarnih brojeva:

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Množenje višeznamenkastih binarnih brojeva odvija se u skladu s gornjom tablicom množenja prema uobičajenoj shemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sustavu, uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom znamenkom množitelja.

Podjela

Operacija dijeljenja izvodi se po algoritmu sličnom algoritmu operacije dijeljenja u decimalnom brojevnom sustavu.

Sustavi brojeva

Sustav brojeva - skup tehnika i pravila za pisanje brojeva digitalnim znakovima ili simbolima.

Svi sustavi brojeva mogu se podijeliti u dvije klase: pozicijski i nepozicijski. U klasi položajnih sustava za zapis brojeva u različitim brojevnim sustavima koristi se određeni broj znakova koji se međusobno razlikuju. Broj takvih znakova u pozicijskom brojevnom sustavu naziva se baza brojevnog sustava. U nastavku se nalazi tablica koja sadrži nazive nekih pozicijskih brojevnih sustava i popis znakova (brojeva) od kojih se u njima tvore brojevi.

Neki sustavi brojeva

Baza	Notacija	Znakovi
	Binarni	0,1
	trojni	0, 1, 2
	Kvartar	0, 1, 2, 3
	pet puta	0, 1, 2, 3, 4
	oktalni	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Decimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	duodecimalan	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Heksadecimalni	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

U pozicijskom brojevnom sustavu relativni položaj znamenke u broju povezan je s faktorom težine, a broj se može prikazati kao zbroj proizvoda koeficijenata s odgovarajućim stupnjem baze brojevnog sustava (težina faktor):

A n A n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Znak “,” odvaja cijeli dio broja od razlomka. Dakle, vrijednost svakog znaka u broju ovisi o mjestu koje znak zauzima u unosu broja. Zato se takvi brojevni sustavi nazivaju položajnim ).

Pozicijski brojevni sustav - sustav u kojem je vrijednost broja određena vrijednostima njegovih znamenki i njihovim relativnim položajem u broju.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Decimalni indeks na dnu označava bazu brojevnog sustava.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10 .

U radu s računalima potrebno je paralelno koristiti nekoliko položajnih brojevnih sustava (najčešće binarni, decimalni, oktalni i heksadecimalni), pa su postupci prevođenja brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi od velike praktične važnosti. Imajte na umu da je u svim gornjim primjerima rezultat decimalni broj, pa je stoga već demonstriran način pretvaranja brojeva iz bilo kojeg pozicijskog brojevnog sustava u decimalni.

Općenito, da biste pretvorili cijeli broj broja iz decimalnog sustava u osnovni B sustav, morate ga podijeliti s B. Ostatak će dati najmanje značajnu znamenku broja. Dobiveni kvocijent mora se ponovno podijeliti s B - ostatak će dati sljedeću znamenku broja itd. Dijeljenje se nastavlja sve dok kvocijent ne bude manji od baze. Vrijednosti dobivenih ostataka, uzete obrnutim redoslijedom, tvore željeni binarni broj.

Primjer prijevoda cijelog dijela: Pretvorite 25 10 u binarni broj.

25/2 = 12 s ostatkom 1,

12/2 = 6 s ostatkom 0,

6/2 = 3 s ostatkom 0,

Cijeli i razlomački dio prevode se odvojeno. Da biste preveli razlomački dio, potrebno ga je pomnožiti s B. Cjelobrojni dio dobivenog umnoška bit će prvi (nakon zareza koji odvaja cijeli broj od razlomka) znak. Razlomački dio umnoška mora se ponovno pomnožiti s B. Cijeli dio dobivenog broja bit će sljedeći znak, i tako dalje.

Da biste preveli razlomački dio (ili broj koji ima cijele brojeve "0"), trebate ga pomnožiti s 2. Cjelobrojni dio umnoška bit će prva znamenka broja u binarnom sustavu. Zatim, odbacujući cjelobrojni dio rezultata, ponovno množimo s 2, i tako dalje. Imajte na umu da konačni decimalni razlomak u ovom slučaju može postati beskonačni (periodični) binarni.

Primjer prijevoda razlomka: Pretvorite 0,73 10 u binarni broj.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (cijeli dio od 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (cijeli dio od 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (cijeli dio od 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (cijeli dio od 1), itd.

Dakle: 0,73 10 \u003d 0,1011 2.

Na brojevima napisanim u bilo kojem brojevnom sustavu možete izvoditi razne aritmetičke operacije. Aritmetičke operacije u svim položajnim brojevnim sustavima izvode se prema istim, dobro poznatim pravilima.

Razmotrite dodavanje dva broja bazi deset:

Kada zbrajamo brojeve 6 i 7, rezultat se može prikazati kao izraz 10 + 3, gdje je 10 puna baza za decimalni brojevni sustav. Zamijenimo 10 (bazu) s 1 i zamijenimo lijevo od broja 3. Ispada:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Razmislite o dodavanju dva broja bazi osam:

Kada zbrajamo brojeve 6 i 7, rezultat se može prikazati kao izraz 8 + 5, gdje je 8 puna baza za oktalni brojevni sustav. Zamijenite 8 (baza) s 1 i zamijenite lijevo od broja 5. Ispada:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Razmislite o dodavanju dva velika broja bazi osam:

Zbrajanje počinje od najmanje značajne znamenke. Dakle, 4 8 + 6 8 je predstavljeno kao 8 (osnova) + 2. Zamijenite 8 (osnova) s 1 i dodajte ovu jedinicu višim znamenkama. Zatim dodajte sljedeće znamenke: 5 8 + 3 8 + 1 8 predstavite kao 8 + 1, zamijenite 8 (osnovu) s 1 i dodajte ga najvišoj znamenki. Nadalje, predstavljamo 2 8 + 7 8 + 1 8 kao 8 (baza) + 2, zamijenimo 8 (bazu) s 1 i zamijenimo lijevo od rezultirajućeg broja (na mjestu najznačajnije znamenke). Dakle, ispada:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Slično se izvode i ostale računske operacije (oduzimanje, množenje i dijeljenje) u različitim brojevnim sustavima.

Razmotrimo množenje "stupcem", koristeći primjer dva broja binarnog sustava:

11101 2 101 2

Brojeve pišemo jedan ispod drugog, u skladu sa znamenkama. Zatim vršimo bit-wise množenje drugog faktora s prvim i pišemo ga s pomakom ulijevo, baš kao kod množenja decimalnih brojeva. Ostaje još dodati "pomaknute" brojeve, uzimajući u obzir bazu brojeva, u ovom slučaju binarnu.

Pretvorite rezultat u bazu 16.

U drugoj znamenki, 29 je predstavljeno kao 16 (osnova) i 13 (D). Zamijenimo 16 (bazu) s 1 i dodajmo bitu najveće važnosti.

U trećoj znamenki, 96 + 1 = 97. Zatim predstavljamo 97 kao 6 16 (osnova) i 1. Dodajte 6 najznačajnijoj znamenki.

U četvrtoj znamenki, 20 + 6 = 26. Zamislite 26 kao 16 (osnova) i 10 (A). Jedinicu prenosimo na najvišu znamenku.

Uz određene vještine u radu s različitim sustavima brojeva, zapis se može odmah predstaviti kao

		A
		B	B
	A		D

Dakle, A31 16 29 16 = 1A1D9 16 .

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 \u003d 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16 ,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Sa stajališta proučavanja principa reprezentacije i obrade informacija u računalu, razmatrani sustavi (binarni, oktalni i heksadecimalni) su od velikog interesa, iako računalo obrađuje podatke samo pretvorene u binarni kod (binarni brojevni sustav). Međutim, često je, kako bi se smanjio broj znakova napisanih na papiru ili unesenih s računalne tipkovnice, prikladnije koristiti oktalne ili heksadecimalne brojeve, pogotovo jer, kao što će biti prikazano u nastavku, postupak međusobnog pretvaranja brojeva iz svakog od ovih sustava u binarni je vrlo jednostavan - mnogo jednostavniji od prijevoda između bilo kojeg od ova tri sustava i decimalnog.

Predstavimo međusobno brojeve različitih brojevnih sustava:

Decimal	Heksadecimalni	oktalni	Binarni
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Tablica pokazuje da brojevi sustava s bazom 2, 8 i 16 imaju periodične obrasce. Dakle, osam vrijednosti oktalnog sustava, odnosno (od 0 do 7 ili pune baze) odgovara trima znamenkama ( trijade) binarnog sustava. Dakle, za opisivanje brojeva jedne znamenke oktalnog sustava potrebne su točno tri znamenke binarnog sustava. Isto vrijedi i za heksadecimalne brojeve. Potrebna su samo četiri bita da ih se opiše ( tetrade) binarnog sustava.

Iz toga slijedi da je za pretvaranje bilo kojeg cijelog binarnog broja u oktalni potrebno razbiti s desna na lijevo u skupine od 3 znamenke (krajnja lijeva skupina može sadržavati manje od tri binarne znamenke), a zatim svakoj skupini dodijeliti oktalni ekvivalent.

Na primjer, želite pretvoriti 11011001 2 u oktalni.

Broj dijelimo u skupine od tri znamenke 011 2 , 011 2 i 001 2 . Zamjenjujemo odgovarajuće brojeve oktalnog sustava. Dobivamo 3 8 , 3 8 i 1 8 ili 331 8 .

11011001 2 = 331 8 .

Slično se provode obrnuti prijenosi, na primjer:

Pretvorite AB5D 16 u binarni brojevni sustav.

Svaki simbol broja AB5D 16 naizmjenično zamjenjujemo odgovarajućim brojem iz binarnog sustava. Dobivamo 1010 16, 1011 16, 0101 16 i 1101 16 ili 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Osim gore razmotrenih položajnih brojčanih sustava, postoje i oni u kojima vrijednost znaka ne ovisi o mjestu koje zauzima u broju. Takvi brojevni sustavi nazivaju se nepozicijski. Najpoznatiji primjer nepozicijskog sustava je rimski. Ovaj sustav koristi 7 znakova (I, V, X, L, C, D, M), koji odgovaraju sljedećim vrijednostima:

Pravila za pisanje brojeva rimskim brojevima: - ako je veći broj ispred manjeg, onda se zbrajaju (princip zbrajanja), - ako je manji broj ispred većeg, tada se manji oduzima od većeg (princip oduzimanja).

Drugo pravilo primjenjuje se kako bi se izbjeglo ponavljanje istog broja četiri puta. Dakle, rimski brojevi I, X, C stavljaju se redom ispred X, C, M da bi označili 9, 90, 900 ili ispred V, L, D da bi označili 4, 40, 400.

Primjeri pisanja brojeva rimskim brojevima:

IV = 5 - 1 = 4 (umjesto IIII),

XIX \u003d 10 + 10 - 1 \u003d 19 (umjesto XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (umjesto XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 itd.

Treba napomenuti da je izvođenje čak i jednostavnih aritmetičkih operacija na višeznamenkastim brojevima s rimskim brojevima vrlo nezgodno. Vjerojatno je složenost izračuna u rimskom sustavu, temeljena na upotrebi latiničnih slova, bila jedan od dobrih razloga za njegovu zamjenu prikladnijim decimalnim sustavom u tom pogledu.

3.1 Baza brojevnog sustava naziva se ...

Skup tehnika i pravila za pisanje brojeva digitalnim znakovima ili simbolima

Broj znakova koji se koriste u određenom pozicijskom brojevnom sustavu

Djelitelj koji se koristi pri pretvorbi brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Zajednički faktor pri prevođenju brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

3.2 Koji brojevni sustav nije široko korišten u računalnoj tehnologiji

oktalni

Binarni

pet puta

Heksadecimalni

LEKCIJA #19-20.

Tema

Aritmetičke operacije u položajnim brojevnim sustavima. Množenje i dijeljenje.

Svrha lekcije: pokazati metode aritmetičkih operacija (množenje i dijeljenje) brojeva u različitim brojevnim sustavima, provjeriti asimilaciju teme "Zbrajanje i oduzimanje brojeva u različitim brojevnim sustavima."

Ciljevi lekcije:

obrazovni: praktična primjena naučenog gradiva o temi "Množenje i dijeljenje u raznim brojevnim sustavima", učvršćivanje i provjera znanja o temi "Zbrajanje i oduzimanje brojeva u raznim brojevnim sustavima". razvoj: razvoj vještina individualnog praktičnog rada, sposobnost primjene znanja za rješavanje problema. obrazovni: postizanje svjesne asimilacije materijala od strane učenika.

Materijali i oprema za nastavu: kartice za samostalan rad, tablica množenja.

Vrsta lekcije: kombinirani sat

Obrazac lekcije: pojedinačni, frontalni.

Tijekom nastave:

1. Provjera domaće zadaće.

Domaća zadaća:

1. № 2.41 (1. i 2. stupac), radionica, 55. str

Riješenje:

A) 11102 + 10012 \u003d 101112

B) 678+238=1128

B) AF16+9716 = 14616

D) 11102-10012 \u003d 1012

E) 678-238 = 448

E) AF16-9716 =1816

2. br. 2.48 (str. 56)

2. Samostalni rad "Zbrajanje i oduzimanje brojeva u različitim brojevnim sustavima." (20 minuta)

Samostalni rad. 10. razred .
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Oduzmi: 10111-111; 11 - 1110 (prikaz, stručni). 4. Zbrajanje i oduzimanje u 8-arnom sustavu: 738 i 258	opcija 1
Samostalni rad. 10. razred. Binarni brojevni sustav: prijevod 2® 10; dodatak.
1. Pretvorite iz binarnog u decimalni. 2. Zbrojite dva binarna broja. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Oduzimanje: 111-1001; 1110+111 4. Zbrajanje i oduzimanje u heksadecimalnom sustavu: 7316 i 2916	opcija 2

3. Novi materijal.

1. Množenje

Kada izvodite množenje višeznamenkastih brojeva u različitim položajnim brojevnim sustavima, možete koristiti uobičajeni algoritam za množenje brojeva u stupcu, ali rezultati množenja i zbrajanja jednoznamenkastih brojeva moraju se posuditi iz odgovarajućih tablica množenja i zbrajanja. razmatranom sustavu.

Množenje u binarnom obliku

Množenje u oktalnom sustavu

Zbog iznimne jednostavnosti tablice množenja u binarnom sustavu množenje se svodi samo na pomake množenika i zbrajanja.

Primjer 1 Pomnožimo brojeve 5 i 6 u decimalnom, binarnom, oktalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
Odgovor: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Ispitivanje.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Primjer 2 Pomnožimo brojeve 115 i 51 u decimalnom, binarnom, oktalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
Odgovor: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Ispitivanje. Pretvorimo dobivene produkte u decimalni oblik:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. Podjela

Dijeljenje u bilo kojem položajnom brojevnom sustavu izvodi se prema istim pravilima kao i dijeljenje kutom u decimalnom sustavu. U binarnom obliku dijeljenje je posebno jednostavno., jer sljedeća znamenka količnika može biti samo nula ili jedan.
Primjer 3 Podijelite broj 30 s brojem 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
Odgovor: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Primjer 4 Podijelite broj 5865 s brojem 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

Oktalni: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
Odgovor: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Ispitivanje. Pretvorimo primljene kvocijente u decimalni oblik:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Domaća zadaća:

1. Pripremite se za test br. 2 „Na temu brojevnog sustava. Prijevod brojeva. Aritmetičke operacije u brojevnim sustavima"

2. Praktikum Ugrinovich, br. 2.46, 2.47, str. 56.

Književnost:

1. Radionica iz informatike i informatike. Udžbenik za obrazovne ustanove /,. – M.: Binom. Laboratorij znanja, 2002. 400 str.: ilustr.

2. Ugrinovich i informacijske tehnologije. Udžbenik za 10-11 razred. – M.: BINOM. Laboratorija znanja, 2003. (monografija).

3. Shautsukova: Udžbenik. dodatak za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucija. - M .: Obrazovanje, 2003.9 - str. 97-101, 104-107.

Koristi se za rad s podacima kodiranje, tj. izražavanje podataka jedne vrste u smislu podataka druge vrste.

Računalna tehnika također ima svoj sustav – tzv binarno kodiranje a temelji se na predstavljanju podataka nizom od samo dva znaka: 0 i 1. Ti se znakovi nazivaju binarne znamenke, na engleskom - binarna znamenka ili, ukratko, bit (bit).

Dva pojma mogu se izraziti jednim bitom: 0 ili 1 (Da ili ne, crna ili bijelo, istina ili lažno itd.). Ako se broj bitova poveća na dva, tada se već mogu izraziti četiri različita koncepta:

Tri bita mogu kodirati osam različitih vrijednosti: 000 001 010 011 100 101 110 111

Povećanjem za jedan broj znamenki u binarnom kodnom sustavu udvostručujemo broj vrijednosti koje se mogu izraziti u ovom sustavu, odnosno opća formula izgleda ovako:

N=2 m , gdje:

N- broj neovisno kodiranih vrijednosti;

t- bitna dubina binarnog kodiranja usvojenog u ovom sustavu.

Budući da je bit premala mjerna jedinica, u praksi se često koristi veća jedinica - bajt, jednak osam bitova.

Koriste se i veće izvedene jedinice podataka:

Kilobajt (KB) = 1024 bajta = 2 10 bajta;

Megabajt (MB) = 1024 KB = 2 20 bajtova;

Gigabajt (GB) = 1024 MB = 230 bajtova.

U posljednje vrijeme, zbog povećanja količine obrađenih podataka, takve izvedene jedinice kao što su:

Terabajt (TB) = 1024 GB = 240 bajtova;

Petabajt (PB) = 1024 TB = 250 bajtova;

Eksabajt (Ebyte) = 1024 PB = 260 bajtova.

Kodiranje tekstualnih informacija proizvodi se pomoću američkog standardnog koda za razmjenu informacija ASCII, koji postavlja kodove znakova od 0 do 127. Nacionalni standardi dodjeljuju 1 bajt informacija za znak i uključuju tablicu ASCII kodova, kao i nacionalne kodove abecede s brojevima od 128 do 255. Trenutno postoji pet različitih kodiranja ćirilice: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh i ISO. Krajem 90-ih pojavio se novi međunarodni Unicode standard, koji ne dodjeljuje jedan bajt, već dva bajta za svaki znak, pa se stoga može koristiti za kodiranje ne, već različitih znakova.

Tablica osnovnog kodiranja ASCII prikazano u tablici.

Kodiranje grafike u boji se izrađuje pomoću rastera, gdje je svaka točka povezana sa svojim brojem boje. U RGB sustavu kodiranja, boja svake točke predstavljena je zbrojem crvene (Red), zelene (Green) i plave (Blue) boje. U CMYK sustavu kodiranja, boja svake točke predstavljena je zbrojem cijan (Cyan), magenta (Magenta), žute (Yellow) i dodatkom crne (Black, K) boja.

Analogno kodiranje

Povijesno gledano, prvi tehnološki oblik primanja, prijenosa i pohranjivanja podataka bio je analogni (kontinuirani) prikaz zvučnog, optičkog, električnog ili drugog signala. Za primanje takvih signala u računalu prethodno se izvodi analogno-digitalna pretvorba.

Analogno-digitalna pretvorba sastoji se od mjerenja analognog signala u pravilnim intervalima τ i kodiranja rezultata mjerenja n-bitnom binarnom riječi. U ovom slučaju dobiva se niz n-bitnih binarnih riječi koje predstavljaju analogni signal sa zadanom točnošću.

Trenutačno usvojeni CD standard koristi takozvani "16-bitni audio pri brzini skeniranja od 44 kHz". Za gornju sliku, prevedeno na normalan jezik, to znači da je "duljina koraka" (t) 1/44000 s, a "visina koraka" (δ) je 1/65,536 maksimalne glasnoće signala (od 2 16 \ u003d 65,536) . U ovom slučaju frekvencijski raspon reprodukcije je 0-22 kHz, a dinamički raspon 96 decibela (što je kvalitetna karakteristika koja je potpuno nedostižna za magnetsko ili mehaničko snimanje zvuka).

Kompresija podataka.

Količina obrađenih i prenesenih podataka ubrzano raste. Razlog tome je implementacija sve složenijih aplikacijskih procesa, pojava novih informacijskih usluga, korištenje slike i zvuka.

Kompresija podataka (kompresija podataka)- proces koji smanjuje količinu podataka. Kompresija vam omogućuje da drastično smanjite količinu memorije potrebne za pohranu podataka, smanjite (na prihvatljivu veličinu) vrijeme njihovog prijenosa. Kompresija slike je posebno učinkovita. Kompresija podataka može se izvršiti softverski i hardverski ili kombiniranom metodom.

Sažimanje teksta povezano je s kompaktnijim izgledom bajtova kodiranje znakova. Također koristi brojanje ponavljanja razmaka. Što se tiče zvuka i slike, količina informacija koja ih predstavlja ovisi o odabranom koraku kvantizacije i broju znamenki analogno-digitalne pretvorbe. Ovdje se u principu koriste iste metode kompresije kao i kod obrade teksta. Ako do kompresije teksta dođe bez gubitka informacija, kompresija zvuka i slike gotovo uvijek dovodi do gubitka informacija. Kompresija se široko koristi u arhiviranju podataka.

Notacija- predstavljanje broja određenim skupom znakova. Sustavi brojeva su:

1. Pojedinačni (sustav oznaka ili štapića);

2. Nepozicijski (rimski);

3. Pozicijski (decimalni, binarni, oktalni, heksadecimalni, itd.).

pozicijski zove se brojevni sustav u kojem kvantitativna vrijednost svake znamenke ovisi o njezinu mjestu (položaju) u broju. temelj položajni brojevni sustav naziva se cijeli broj podignut na potenciju, koja je jednaka broju znamenki u ovom sustavu.

Binarni brojevni sustav uključuje abecedu od dvije znamenke: 0 i 1.

Oktalni brojevni sustav uključuje abecedu od 8 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

Dekadni brojevni sustav uključuje abecedu od 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Heksadecimalni brojevni sustav uključuje abecedu od 16 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

			A B C D E F

U računalnoj tehnologiji kodiranje se koristi u binarnom sustavu, tj. niz od 0 i 1.

Da biste pretvorili cijeli broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, morate izvršiti sljedeći algoritam:

1. Osnovu novog brojevnog sustava izrazite brojevima izvornog brojevnog sustava.

2. Zadani broj dosljedno dijelite s osnovom novog brojevnog sustava dok ne dobijete kvocijent manji od djelitelja.

3. Prenesite dobivena stanja u novi brojevni sustav.

4. Sastavi broj od ostataka u novom brojevnom sustavu počevši od zadnjeg ostatka.

Općenito, u položajnom SS-u s bazom P, bilo koji broj X može se prikazati kao polinom u bazi P:

X \u003d a n P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m P -m,

gdje koeficijenti a i mogu biti bilo koja od P znamenki korištenih u SS s bazom P.

Pretvorba brojeva iz 10 SS u bilo koji drugi za cijeli i razlomački dio broja izvodi se različitim metodama:

a) cjelobrojni dio broja i međukoličnik se dijele s bazom novog SS, izraženog u 10 SS, sve dok kvocijent dijeljenja ne postane manji od baze novog SS. Radnje se izvode u 10 CC. Rezultat je privatan, napisan obrnutim redoslijedom.

b) razlomački dio broja i dobiveni razlomački dijelovi međuproizvoda množe se s bazom novog SS dok se ne postigne navedena točnost ili se u razlomačkom dijelu međuproizvoda dobije "0". Rezultat su cijeli dijelovi međuradova, napisani redom kojim su pristigli.

Pomoću formule (1) možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav.

Primjer 1 Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Primjer 2 Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

Primjer 3. Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog u decimalni SS. Riješenje:

Ovdje A- zamijenjen sa 10, B- u 11, C- u 12, F- u 15.

Prijevod 8 (16) brojeva u 2 oblik - dovoljno je zamijeniti svaku znamenku ovog broja s odgovarajućim 3-znamenkastim (4-znamenkastim) binarnim brojem. Odbacite nepotrebne nule u visokim i niskim znamenkama.

Primjer 1: Pretvorite broj 305.4 8 u binarni SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Primjer 2: pretvorite broj 9AF,7 16 u binarni CC.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Za prevođenje 2. broja u 8 (16) SS, postupite na sljedeći način: pomičući se od zareza lijevo i desno, podijelite binarni broj u grupe od 3 (4) znamenke, dopunjujući krajnje lijeve i desne skupine nulama ako je potrebno . Svaka grupa se zatim zamjenjuje odgovarajućom oktalnom (16) znamenkom.

Primjer 1: pretvorite broj 110100011110100111,1001101 2 u oktalni ss.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Primjer 2: pretvorite broj 110100011110100111,1001101 2 u heksadecimalni ss.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Aritmetičke operacije u svim položajnim brojevnim sustavima izvode se prema istim vama dobro poznatim pravilima.

Dodatak. Razmotrimo zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu. Temelji se na tablici zbrajanja jednoznamenkastih binarnih brojeva:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Važno je obratiti pozornost na činjenicu da kod zbrajanja dviju jedinica dolazi do prelijevanja bita i prijenosa na najviši bit. Preljev se događa kada vrijednost broja u njemu postane jednaka ili veća od baze.

Zbrajanje višeznamenkastih binarnih brojeva odvija se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih znamenki na više. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve 110 2 i 11 2 u stupac:

Oduzimanje. Razmotrimo oduzimanje binarnih brojeva. Temelji se na tablici oduzimanja jednoznamenkastih binarnih brojeva. Kada se od manjeg broja (0) oduzima veći (1), posuđuje se iz najvišeg reda. U tablici je kredit označen s 1 uz crtu:

Množenje. Množenje se temelji na tablici množenja jednoznamenkastih binarnih brojeva:

Podjela. Operacija dijeljenja izvodi se po algoritmu sličnom algoritmu operacije dijeljenja u decimalnom brojevnom sustavu. Kao primjer, podijelimo binarni broj 110 2 s 11 2:

Za izvođenje aritmetičkih operacija s brojevima izraženima u različitim brojevnim sustavima, prvo ih morate prevesti u isti sustav.