جذر dx متكامل للعدد 1 4x 2. حل التكامل عبر الإنترنت

يعد العثور على التكامل غير المحدد مشكلة شائعة جدًا في الرياضيات العليا والفروع الفنية الأخرى للعلوم. غالبًا ما لا يكتمل حل أبسط المشكلات المادية بدون حساب عدة تكاملات بسيطة. لذلك ، منذ سن المدرسة ، يتم تعليمنا تقنيات وطرق حل التكاملات ، ويتم تقديم العديد من الجداول مع تكاملات أبسط الوظائف. ومع ذلك ، بمرور الوقت ، يتم نسيان كل هذا بأمان ، إما أنه ليس لدينا الوقت الكافي لإجراء العمليات الحسابية أو نحتاج إلى ذلك إيجاد حل للتكامل غير المحددمن وظيفة معقدة للغاية. لحل هذه المشكلات ، ستكون خدمتنا لا غنى عنها بالنسبة لك ، مما يتيح لك العثور بدقة على التكامل غير المحدد عبر الإنترنت.

حل التكامل غير المحدد

الخدمة عبر الإنترنت متاحة موقع الكترونييسمح لك أن تجد حل متكامل عبر الإنترنتسريع ومجاني وعالي الجودة. يمكنك استبدال البحث في جداول التكامل المطلوب بخدمتنا ، حيث من خلال إدخال الوظائف المطلوبة بسرعة ، ستحصل على حل التكامل غير المحدد في نسخة مجدولة. ليست كل المواقع الرياضية قادرة على حساب تكاملات غير محددة من الوظائف عبر الإنترنت بسرعة وكفاءة ، خاصة إذا كنت بحاجة إلى البحث تكامل غير محددمن وظيفة معقدة أو وظائف لم يتم تضمينها في المقرر العام للرياضيات العليا. موقع الكتروني موقع الكترونيسوف يساعد حل التكامل عبر الإنترنت والتعامل مع المهمة. باستخدام الحل عبر الإنترنت للتكامل الموجود على موقع الموقع ، ستحصل دائمًا على الإجابة الدقيقة.

حتى إذا كنت تريد حساب التكامل بنفسك ، فبفضل خدمتنا سيكون من السهل عليك التحقق من إجابتك ، أو العثور على خطأ أو خطأ مطبعي ، أو التأكد من اكتمال المهمة بشكل لا تشوبه شائبة. إذا كنت تحل مشكلة وتحتاج إلى حساب التكامل غير المحدد كإجراء إضافي ، فلماذا تضيع الوقت في هذه الإجراءات ، والتي ربما تكون قد نفذتها بالفعل ألف مرة؟ علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون الحسابات الإضافية للمتكامل سببًا لخطأ إملائي أو خطأ بسيط ، مما أدى لاحقًا إلى إجابة غير صحيحة. فقط استخدم خدماتنا وابحث تكامل غير محدد على الإنترنتبدون أي جهد. لمهام عملية البحث متكاملالمهام عبر الانترنتهذا الخادم مفيد جدا. تحتاج إلى إدخال وظيفة معينة ، والحصول على حل متكامل غير محدد عبر الإنترنتوقارن الإجابة مع الحل الخاص بك.

الوظيفة غير المنطقية للمتغير هي دالة تتكون من ثوابت متغيرة وتعسفية باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب (الرفع إلى قوة عددية) والقسمة واستخراج الجذور. تختلف الوظيفة غير المنطقية عن الوظيفة المنطقية في أن الوظيفة غير المنطقية تحتوي على عمليات استخراج الجذر.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الدوال غير المنطقية التي يمكن اختزال تكاملاتها غير المحددة إلى تكاملات وظائف عقلانية. هذه تكاملات تحتوي على جذور قوى صحيحة عشوائية من دالة كسرية خطية (يمكن أن تكون الجذور من درجات مختلفة ، ولكن من نفس الدالة الكسرية الخطية) ؛ تكاملات ذات الحدين التفاضلية والتكاملات مع جذر تربيعي لمربع ثلاثي الحدود.

ملاحظة مهمة. الجذور لها معنى!

عند حساب التكاملات التي تحتوي على جذور ، غالبًا ما يواجه المرء تعبيرات من النموذج ، حيث توجد بعض وظائف متغير التكامل. عند القيام بذلك ، ينبغي أن يؤخذ في الاعتبار أن. هذا هو ، ل> 0 ، | t | = ر. في t< 0 ، | t | = - ر.لذلك ، عند حساب مثل هذه التكاملات ، من الضروري النظر بشكل منفصل في الحالات t> 0 و ت< 0 . يمكن القيام بذلك عن طريق كتابة العلامات أو عند الضرورة. بافتراض أن العلامة العلوية تشير إلى الحالة t> 0 ، والسفلى - للحالة ر< 0 . مع مزيد من التحول ، يتم تقليل هذه العلامات ، كقاعدة عامة ، بشكل متبادل.

من الممكن أيضًا اتباع نهج ثانٍ ، حيث يمكن اعتبار التكامل ونتائج التكامل وظائف معقدة لمتغيرات معقدة. ثم لا يمكنك اتباع العلامات في التعبيرات الجذرية. هذا النهج قابل للتطبيق إذا كان التكامل والتحليل ، أي دالة قابلة للتفاضل لمتغير معقد. في هذه الحالة ، يعتبر كل من التكامل و التكامل الخاص به دالات متعددة القيم. لذلك ، بعد التكامل ، عند استبدال القيم العددية ، من الضروري تحديد فرع أحادي القيمة (سطح ريمان) للتكامل ، واختيار الفرع المقابل لنتيجة التكامل.

اللاعقلانية الخطية الجزئية

هذه تكاملات لها جذور لها نفس الدالة الكسرية الخطية:
,
حيث R دالة منطقية ، هي أعداد منطقية ، m 1 ، n 1 ، ... ، m s ، n s أعداد صحيحة ، α ، β ، γ ، هي أعداد حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكامل دالة كسرية بالتعويض:
، حيث n هو المقام المشترك للأرقام r 1، ...، r s.

قد لا تكون الجذور بالضرورة من دالة كسرية خطية ، ولكن أيضًا من دالة خطية (γ = 0 ، δ = 1) ، أو من متغير التكامل x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

فيما يلي أمثلة على هذه التكاملات:
, .

التكاملات من التفاضل ذي الحدين

التكاملات من الحدين التفاضلي لها الشكل:
,
حيث م ، ن ، ص أعداد منطقية ، أ ، ب أعداد حقيقية.
مثل هذه التكاملات تختزل إلى تكاملات وظائف عقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عددًا صحيحًا. التعويض x = t N حيث N هو المقام المشترك للكسرين m و n.
2) إذا كان عددًا صحيحًا. التعويض a x n + b = t M حيث M هو مقام p.
3) إذا كان عددًا صحيحًا. التعويض a + b x - n = t M حيث M هو مقام p.

في حالات أخرى ، لا يتم التعبير عن هذه التكاملات من حيث الوظائف الأولية.

في بعض الأحيان يمكن تبسيط مثل هذه التكاملات باستخدام صيغ الاختزال:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لمربع ثلاثي الحدود

هذه التكاملات لها الشكل:
,
حيث R دالة منطقية. لكل تكامل من هذا القبيل ، هناك عدة طرق لحلها.
1) بمساعدة التحولات تؤدي إلى تكاملات أبسط.
2) تطبيق البدائل المثلثية أو الزائدية.
3) تطبيق بدائل أويلر.

دعنا نفكر في هذه الطرق بمزيد من التفصيل.

1) تحول من نوع Integrand

بتطبيق الصيغة وإجراء التحويلات الجبرية ، نأتي بالتكامل إلى النموذج:
,
حيث φ (x) ، ω (x) هي وظائف عقلانية.

انا اطبع

لا يتجزأ من النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بطريقة المعاملات غير المحددة ، باستخدام الهوية:

.
وباشتقاق هذه المعادلة ومساواة الجانبين الأيمن والأيسر ، نجد المعاملين A i.

النوع الثاني

لا يتجزأ من النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثير حدود من الدرجة m.

الاستبدال t = (س - α] -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كانت m n ، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

هنا نقوم باستبدال:
.
ثم يأخذ التكامل الشكل:
.
علاوة على ذلك ، يجب اختيار الثوابت α ، بحيث تتلاشى المعاملات عند t في المقام:
ب = 0 ، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع تكاملات من نوعين:
,
,
التي تتكامل بالبدائل:
ش 2 \ u003d أ 1 ر 2 + ج 1 ،
v 2 \ u003d A 1 + C 1 t -2.

2) البدائل المثلثية والقطع الزائدية

لتكاملات النموذج ، أ > 0 ,
لدينا ثلاث بدائل رئيسية:
;
;
;

للتكاملات ، أ > 0 ,
لدينا البدائل التالية:
;
;
;

وأخيرًا ، بالنسبة للتكاملات ، أ > 0 ,
البدائل كالتالي:
;
;
;

3) بدائل أويلر

يمكن أيضًا اختزال التكاملات إلى تكاملات وظائف عقلانية لإحدى بدائل أويلر الثلاثة:
، لـ> 0 ؛
، لـ c> 0 ؛
، حيث x 1 هو جذر المعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

التكاملات الإهليلجية

أخيرًا ، ضع في اعتبارك تكاملات النموذج:
,
حيث R دالة منطقية. تسمى هذه التكاملات البيضاوية. بشكل عام ، لا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. ومع ذلك ، هناك حالات عندما تكون هناك علاقات بين المعاملات A ، B ، C ، D ، E ، حيث يتم التعبير عن هذه التكاملات من حيث الوظائف الأولية.

فيما يلي مثال متعلق بكثيرات الحدود العودية. يتم حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل:
.

مثال

حساب التكامل:
.

المحلول

نجري الاستبدال.

.
هنا ، من أجل x> 0 (ش> 0 ) نأخذ العلامة العلوية ′ + ′. بالنسبة إلى x< 0 (ش< 0 ) - أدنى '- '.

.

إجابه

مراجع:
ن. غونتر ، R.O. كوزمين ، مجموعة المسائل في الرياضيات العليا ، لان ، 2003.

تسمى الوظيفة F (x) القابلة للاشتقاق في فترة زمنية معينة X مشتق عكسي للوظيفة f (x) ، أو جزء لا يتجزأ من f (x) إذا كانت المساواة لأي x ∈X:

F "(x) = f (x). (8.1)

يُطلق على البحث عن جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة اسمها دمج. تكامل الدالة غير المحدود f (x) في فترة زمنية معينة X هي مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة f (x) ؛ تعيين -

إذا كانت F (x) عبارة عن مشتق عكسي للوظيفة f (x) ، إذن ∫ f (x) dx = F (x) + C ، (8.2)

حيث C ثابت تعسفي.

جدول التكاملات

نحصل مباشرة من التعريف على الخصائص الرئيسية للتكامل غير المحدد وقائمة تكاملات الجدول:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + g (x) dx

قائمة تكاملات الجدول

1. ∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C ؛ (م ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0، a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C.

استبدال متغير

لدمج العديد من الوظائف ، يتم استخدام طريقة تغيير المتغير أو بدائلالسماح بإحضار التكاملات إلى شكل جدولي.

إذا كانت الدالة f (z) متصلة على [α ، β] ، فإن الدالة z = g (x) لها مشتق مستمر و α ≤ g (x) ≤ β ، إذن

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz، (8.3)

علاوة على ذلك ، بعد التكامل على الجانب الأيمن ، يجب إجراء استبدال z = g (x).

لإثبات ذلك ، يكفي كتابة التكامل الأصلي بالشكل:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

فمثلا:

طريقة التكامل بالأجزاء

لنفترض أن u = f (x) و v = g (x) عبارة عن دالات ذات صلة مستمرة. ثم ، حسب الأعمال ،

د (uv)) = udv + vdu أو udv = d (uv) - vdu.

بالنسبة للتعبير d (uv) ، من الواضح أن المشتق العكسي سيكون uv ، لذا فإن الصيغة تحدث:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

هذه الصيغة تعبر عن القاعدة تكامل اجزاء. يجلب تكامل التعبير udv = uv "dx لتكامل التعبير vdu = vu" dx.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب إيجاد ∫xcosx dx. دع u = x، dv = cosxdx، لذا فإن du = dx، v = sinx. ثم

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

قاعدة التكامل بالأجزاء لها نطاق محدود أكثر من تغيير المتغير. ولكن هناك فئات كاملة من التكاملات ، على سبيل المثال ،

∫x k ln m xdx و ∫x k sinbxdx و ∫ x k cosbxdx و ∫x k e ax وغيرها ، والتي يتم حسابها بالضبط باستخدام التكامل بالأجزاء.

واضح لا يتجزأ

يتم تقديم مفهوم التكامل المحدد على النحو التالي. دع الدالة f (x) تُحدد في فترة. دعونا نقسم المقطع [أ ، ب] إلى نالأجزاء بالنقاط أ = س 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \ u003d x i - x i-1. مجموع النموذج f (ξ i) Δ x i يسمى مجموع متكامل، والحد الأقصى عند λ = maxΔx i → 0 ، إذا كان موجودًا ومحدودًا ، يسمى لا يتجزأوظائف f (x) من أقبل بويشار إليه:

F (ξ i) Δx i (8.5).

الوظيفة f (x) في هذه الحالة تسمى تكامل على قطعة، يتم استدعاء الأرقام a و b الحد الأدنى والأعلى من التكامل.

الخصائص التالية تحمل تكاملًا محددًا:

4) ، (k = const ، k∈R) ؛

5)

6)

7) و (ξ) (ب أ) (ξ∈).

آخر خاصية تسمى يعني نظرية القيمة.

لنفترض أن f (x) تكون متصلة. ثم يوجد في هذا الجزء تكامل غير محدد

∫f (x) dx = F (x) + C

ويحدث صيغة نيوتن ليبنيز، الذي يربط التكامل المحدد مع غير المحدود:

و (ب) - و (أ). (8.6)

التفسير الهندسي: التكامل المحدد هو مساحة شبه منحني منحني الخط يحده من الأعلى المنحنى y = f (x) ، والخطوط المستقيمة x = a و x = b ومقطع المحور ثور.

التكاملات غير الصحيحة

تسمى التكاملات ذات الحدود اللانهائية وتكاملات الدوال المتقطعة (غير المحدودة) غير مناسب. التكاملات غير الصحيحة من النوع الأول -هذه تكاملات على فترة لانهائية ، كما يلي:

(8.7)

إذا كان هذا الحد موجودًا ومحدودًا ، فإنه يسمى تكامل متقارب غير لائق لـ f (x)على الفاصل الزمني [а ، + ∞) ، وتسمى الوظيفة f (x) تكامل على فترة لانهائية[أ ، + ∞). خلاف ذلك ، يُقال أن التكامل غير موجود أو يتباعد.

يتم تعريف التكاملات غير الصحيحة على الفترات (-، b] و (-، +) بالمثل:

دعونا نحدد مفهوم تكامل وظيفة غير محدودة. إذا كانت f (x) متصلة لجميع القيم xالمقطع ، باستثناء النقطة c ، التي عندها f (x) لها انقطاع لانهائي ، إذن تكامل غير لائق من النوع الثاني منو (خ) تتراوح من أ إلى بيسمى المجموع:

إذا كانت هذه الحدود موجودة ومحدودة. تعيين:

أمثلة على حساب التكاملات

المثال 3.30.احسب ∫dx / (x + 2).

المحلول.أشر إلى t = x + 2 ، ثم dx = dt ، ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + ج.

المثال 3.31. أوجد ∫ tgxdx.

المحلول.∫tgxdx = sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. لنفترض أن t = cosx ، ثم ∫ tgxdx =-dt / t = - ln | t | + C = -ln | كوسكس | + ج.

المحلول.

مثال3.33. تجد .

المحلول. = .

مثال3.34 . أوجد ∫arctgxdx.

المحلول. نتكامل بالأجزاء. أشر إلى u = arctgx، dv = dx. ثم du = dx / (x 2 +1) ، v = x ، ومن أين ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C ؛ لان
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

مثال3.35 . احسب ∫lnxdx.

المحلول.عند تطبيق صيغة التكامل على حدة ، نحصل على:
u = lnx ، dv = dx ، du = 1 / x dx ، v = x. ثم ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

مثال3.36 . احسب ∫e x sinxdx.

المحلول.دلالة u = e x، dv = sinxdx، ثم du = e x dx، v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + e x cosxdx. التكامل ∫e x cosxdx قابل للتكامل أيضًا بالأجزاء: u = e x، dv = cosxdx، du = e x dx، v = sinx. نملك:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. حصلنا على العلاقة ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx ، من أين 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

مثال 3.37. احسب J = ∫cos (lnx) dx / x.

المحلول.بما أن dx / x = dlnx ، فإن J = ∫cos (lnx) d (lnx). عند استبدال lnx عبر t ، نصل إلى الجدول المتكامل J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

مثال 3.38 . احسب J =.

المحلول.مع الأخذ في الاعتبار أن = d (lnx) ، نجعل الاستبدال lnx = t. ثم J = .

مثال 3.39 . احسب التكامل ي = .

المحلول.نملك: . لذلك =
=
=. تم إدخاله كـ sqrt (tan (x / 2)).

وإذا قمت بالنقر فوق "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا في نافذة النتيجة ، فستحصل على حل مفصل.