Уравнение тренда в excel. Расчет параметров уравнения тренда

Теоретическая справка

На практике при моделировании различных процессов - в частности, экономических, физических, технических, социальных - широко используются те или иные способы вычисления приближенных значений функций по известным их значениям в некоторых фиксированных точках.

Такого рода задачи приближения функций часто возникают:

• при построении приближенных формул для вычисления значений характерных величин исследуемого процесса по табличным данным, полученным в результате эксперимента;
• при численном интегрировании, дифференцировании, решении дифференциальных уравнений и т. д.;
• при необходимости вычисления значений функций в промежуточных точках рассматриваемого интервала;
• при определении значений характерных величин процесса за пределами рассматриваемого интервала, в частности при прогнозировании.

В данной статье рассмотрены возможности пакета MS Excel для решения такого рода задач, кроме того, приведены методы и приемы построения (создания) регрессий для таблично заданных функций (что является основой регрессионного анализа).

В Excel для построения регрессий имеются две возможности.

1. Добавление выбранных регрессий (линий тренда - trendlines) в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса (доступно лишь при наличии построенной диаграммы);
2. Использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel, позволяющих получать регрессии (линии тренда) непосредственно на основе таблицы исходных данных.

Добавление линий тренда в диаграмму

Для таблицы данных, описывающих некоторый процесс и представленных диаграммой, в Excel имеется эффективный инструмент регрессионного анализа, позволяющий:

• строить на основе метода наименьших квадратов и добавлять в диаграмму пять типов регрессий, которые с той или иной степенью точности моделируют исследуемый процесс;
• добавлять к диаграмме уравнение построенной регрессии;
• определять степень соответствия выбранной регрессии отображаемым на диаграмме данным.

y = y(x)

где x - независимая переменная, которая часто принимает значения последовательности натурального ряда чисел (1; 2; 3; …) и производит, например, отсчет времени протекания исследуемого процесса (характеристики).

1 . Линейная регрессия хороша при моделировании характеристик, значения которых увеличиваются или убывают с постоянной скоростью. Это наиболее простая в построении модель исследуемого процесса. Она

y = mx + b

где m - тангенс угла наклона линейной регрессии к оси абсцисс; b - координата точки пересечения линейной регрессии с осью ординат.

2 . Полиномиальная линия тренда полезна для описания характеристик, имеющих несколько ярко выраженных экстремумов (максимумов и минимумов). Выбор степени полинома определяется количеством экстремумов исследуемой характеристики. Так, полином второй степени может хорошо описать процесс, имеющий только один максимум или минимум; полином третьей степени - не более двух экстремумов; полином четвертой степени - не более трех экстремумов и т. д.

В этом случае линия тренда строится в соответствии с уравнением:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

где коэффициенты c0, c1, c2,... c6 - константы, значения которых определяются в ходе построения.

3 . Логарифмическая линия тренда с успехом применяется при моделировании характеристик, значения которых вначале быстро меняются, а затем постепенно стабилизируются.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c ln(x) + b

4 . Степенная линия тренда дает хорошие результаты, если значения исследуемой зависимости характеризуются постоянным изменением скорости роста. Примером такой зависимости может служить график равноускоренного движения автомобиля. Если среди данных встречаются нулевые или отрицательные значения, использовать степенную линию тренда нельзя.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c xb

где коэффициенты b, с - константы.

5 . Экспоненциальную линию тренда следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Для данных, содержащих нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения также неприменим.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c ebx

где коэффициенты b, с - константы.

При подборе линии тренда Excel автоматически рассчитывает значение величины R2, которая характеризует достоверность аппроксимации: чем ближе значение R2 к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуемый процесс. При необходимости значение R2 всегда можно отобразить на диаграмме.

Определяется по формуле:

Для добавления линии тренда к ряду данных следует:

• активизировать построенную на основе ряда данных диаграмму, т. е. щелкнуть в пределах области диаграммы. В главном меню появится пункт Диаграмма;
• после щелчка на этом пункте на экране появится меню, в котором следует выбрать команду Добавить линию тренда.

Эти же действия легко реализуются, если навести указатель мыши на график, соответствующий одному из рядов данных, и щелкнуть правой кнопкой мыши; в появившемся контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда с раскрытой вкладкой Тип (рис. 1).

После этого необходимо:

Выбрать на вкладке Тип необходимый тип линии тренда (по умолчанию выбирается тип Линейный). Для типа Полиномиальная в поле Степень следует задать степень выбранного полинома.

При необходимости, перейдя на вкладку Параметры (рис. 2), можно для линии тренда задать следующие параметры:

• изменить название линии тренда в поле Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой.
• задать количество периодов (вперед или назад) для прогноза в поле Прогноз;
• вывести в область диаграммы уравнение линии тренда, для чего следует включить флажок показать уравнение на диаграмме;
• вывести в область диаграммы значение достоверности аппроксимации R2, для чего следует включить флажок поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2);
• задать точку пересечения линии тренда с осью Y, для чего следует включить флажок пересечение кривой с осью Y в точке;
• щелкнуть на кнопке OK, чтобы закрыть диалоговое окно.

На экране появится диалоговое окно Формат линии тренда (рис. 3), содержащее три вкладки: Вид, Тип, Параметры, причем содержимое последних двух полностью совпадает с аналогичными вкладками диалогового окна Линия тренда (рис.1-2). На вкладке Вид, можно задать тип линии, ее цвет и толщину.

Для удаления уже построенной линии тренда следует выбрать удаляемую линию тренда и нажать клавишу Delete.

Достоинствами рассмотренного инструмента регрессионного анализа являются:

• относительная легкость построения на диаграммах линии тренда без создания для нее таблицы данных;
• достаточно широкий перечень типов предложенных линий трендов, причем в этот перечень входят наиболее часто используемые типы регрессии;
• возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на произвольное (в пределах здравого смысла) количество шагов вперед, а также назад;
• возможность получения уравнения линии тренда в аналитическом виде;
• возможность, при необходимости, получения оценки достоверности проведенной аппроксимации.

Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных, нормированных, лепестковых, круговых и кольцевых диаграммах.

Использование встроенных функций Excel

В Excel имеется также инструмент регрессионного анализа для построения линий тренда вне области диаграммы. Для этой цели можно использовать ряд статистических функций рабочего листа, однако все они позволяют строить лишь линейные или экспоненциальные регрессии.

В Excel имеется несколько функций для построения линейной регрессии, в частности:

• ТЕНДЕНЦИЯ;
• ЛИНЕЙН;
• НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

А также несколько функций для построения экспоненциальной линии тренда, в частности:

• РОСТ;
• ЛГРФПРИБЛ.

Достоинствами инструмента встроенных функций для регрессионного анализа являются:

• достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных исследуемой характеристики для всех встроенных статистических функций, задающих линии тренда;
• стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;
• возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необходимое количество шагов вперед или назад.

Следует отметить, что авторы не ставили целью статьи изложение курса регрессионного анализа с той или иной степенью полноты. Основная ее задача - на конкретных примерах показать возможности пакета Excel при решении задач аппроксимации; продемонстрировать, какими эффективными инструментами для построения регрессий и прогнозирования обладает Excel; проиллюстрировать, как относительно легко такие задачи могут быть решены даже пользователем, не владеющим глубокими знаниями регрессионного анализа.

Примеры решения конкретных задач

Рассмотрим решение конкретных задач с помощью перечисленных инструментов пакета Excel.

Задача 1

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг. необходимо выполнить следующие действия.

1. Построить диаграмму.
2. В диаграмму добавить линейную и полиномиальную (квадратичную и кубическую) линии тренда.
3. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные по прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2004 г.г.
4. Составить прогноз по прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.

Решение задачи

1. В диапазон ячеек A4:C11 рабочего листа Excel вводим рабочую таблицу, представленную на рис. 4.
2. Выделив диапазон ячеек В4:С11, строим диаграмму.
3. Активизируем построенную диаграмму и по описанной выше методике после выбора типа линии тренда в диалоговом окне Линия тренда (см. рис. 1) поочередно добавляем в диаграмму линейную, квадратичную и кубическую линии тренда. В этом же диалоговом окне открываем вкладку Параметры (см. рис. 2), в поле Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой вводим наименование добавляемого тренда, а в поле Прогноз вперед на: периодов задаем значение 2, так как планируется сделать прогноз по прибыли на два года вперед. Для вывода в области диаграммы уравнения регрессии и значения достоверности аппроксимации R2 включаем флажки показывать уравнение на экране и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Для лучшего визуального восприятия изменяем тип, цвет и толщину построенных линий тренда, для чего воспользуемся вкладкой Вид диалогового окна Формат линии тренда (см. рис. 3). Полученная диаграмма с добавленными линиями тренда представлена на рис. 5.
4. Для получения табличных данных по прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2004 гг. воспользуемся уравнениями линий тренда, представленными на рис. 5. Для этого в ячейки диапазона D3:F3 вводим текстовую информацию о типе выбранной линии тренда: Линейный тренд, Квадратичный тренд, Кубический тренд. Далее вводим в ячейку D4 формулу линейной регрессии и, используя маркер заполнения, копируем эту формулу c относительными ссылками в диапазон ячеек D5:D13. Следует отметить, что каждой ячейке с формулой линейной регрессии из диапазона ячеек D4:D13 в качестве аргумента стоит соответствующая ячейка из диапазона A4:A13. Аналогично для квадратичной регрессии заполняется диапазон ячеек E4:E13, а для кубической регрессии - диапазон ячеек F4:F13. Таким образом, составлен прогноз по прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг. с помощью трех трендов. Полученная таблица значений представлена на рис. 6.

Задача 2

1. Построить диаграмму.
2. В диаграмму добавить логарифмическую, степенную и экспоненциальную линии тренда.
3. Вывести уравнения полученных линий тренда, а также величины достоверности аппроксимации R2 для каждой из них.
4. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные о прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2002 гг.
5. Составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг., используя эти линии тренда.

Решение задачи

Следуя методике, приведенной при решении задачи 1, получаем диаграмму с добавленными в нее логарифмической, степенной и экспоненциальной линиями тренда (рис. 7). Далее, используя полученные уравнения линий тренда, заполняем таблицу значений по прибыли предприятия, включая прогнозируемые значения на 2003 и 2004 гг. (рис. 8).

На рис. 5 и рис. видно, что модели с логарифмическим трендом, соответствует наименьшее значение достоверности аппроксимации

R2 = 0,8659

Наибольшие же значения R2 соответствуют моделям с полиномиальным трендом: квадратичным (R2 = 0,9263) и кубическим (R2 = 0,933).

Задача 3

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг., приведенной в задаче 1, необходимо выполнить следующие действия.

1. Получить ряды данных для линейной и экспоненциальной линии тренда с использованием функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.
2. Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.
3. Для исходных данных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Решение задачи

Воспользуемся рабочей таблицей задачи 1 (см. рис. 4). Начнем с функции ТЕНДЕНЦИЯ:

1. выделяем диапазон ячеек D4:D11, который следует заполнить значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ, соответствующими известным данным о прибыли предприятия;
2. вызываем команду Функция из меню Вставка. В появившемся диалоговом окне Мастер функций выделяем функцию ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические, после чего щелкаем по кнопке ОК. Эту же операцию можно осуществить нажатием кнопки (Вставка функции) стандартной панели инструментов.
3. В появившемся диалоговом окне Аргументы функции вводим в поле Известные_значения_y диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х - диапазон ячеек B4:B11;
4. чтобы вводимая формула стала формулой массива, используем комбинацию клавиш + + .

В результате диапазон ячеек D4:D11 заполняется соответствующими значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (рис. 9).

1. выделить диапазон ячеек D12:D13, куда будут заноситься значения, прогнозируемые функцией ТЕНДЕНЦИЯ.
2. вызвать функцию ТЕНДЕНЦИЯ и в появившемся диалоговом окне Аргументы функции ввести в поле Известные_значения_y - диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х - диапазон ячеек B4:B11; а в поле Новые_значения_х - диапазон ячеек B12:B13.
3. превратить эту формулу в формулу массива, используя комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.
4. Введенная формула будет иметь вид: ={ТЕНДЕНЦИЯ(C4:C11;B4:B11;B12:B13)}, а диапазон ячеек D12:D13 заполнится прогнозируемыми значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (см. рис. 9).

Аналогично заполняется ряд данных с помощью функции РОСТ, которая используется при анализе нелинейных зависимостей и работает точно так же, как ее линейный аналог ТЕНДЕНЦИЯ.

На рис.10 представлена таблица в режиме показа формул.

Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. 11.

Задача 4

С таблицей данных о поступлении в диспетчерскую службу автотранспортного предприятия заявок на услуги за период с 1 по 11 число текущего месяца необходимо выполнить следующие действия.

1. Получить ряды данных для линейной регрессии: используя функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК; используя функцию ЛИНЕЙН.
2. Получить ряд данных для экспоненциальной регрессии с использованием функции ЛГРФПРИБЛ.
3. Используя вышеназванные функции, составить прогноз о поступлении заявок в диспетчерскую службу на период с 12 по 14 число текущего месяца.
4. Для исходных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Решение задачи

Отметим, что, в отличие от функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, ни одна из перечисленных выше функций (НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ) не является регрессией. Эти функции играют лишь вспомогательную роль, определяя необходимые параметры регрессии.

Для линейной и экспоненциальной регрессий, построенных с помощью функций НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ, внешний вид их уравнений всегда известен, в отличие от линейной и экспоненциальной регрессий, соответствующих функциям ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.

1 . Построим линейную регрессию, имеющую уравнение:

y = mx+b

Для этого осуществляем следующие действия:

1. заносим исходную таблицу в диапазон ячеек A4:B14;
2. значение параметра m будет определяться в ячейке С19. Выбираем из категории Статистические функцию Наклон; заносим диапазон ячеек B4:B14 в поле известные_значения_y и диапазон ячеек А4:А14 в поле известные_значения_х. В ячейку С19 будет введена формула: =НАКЛОН(B4:B14;A4:A14);
3. по аналогичной методике определяется значение параметра b в ячейке D19. И ее содержимое будет иметь вид: =ОТРЕЗОК(B4:B14;A4:A14). Таким образом, необходимые для построения линейной регрессии значения параметров m и b будут сохраняться соответственно в ячейках C19, D19;
4. далее заносим в ячейку С4 формулу линейной регрессии в виде: =$C*A4+$D. В этой формуле ячейки С19 и D19 записаны с абсолютными ссылками (адрес ячейки не должен меняться при возможном копировании). Знак абсолютной ссылки $ можно набить либо с клавиатуры, либо с помощью клавиши F4, предварительно установив курсор на адресе ячейки. Воспользовавшись маркером заполнения, копируем эту формулу в диапазон ячеек С4:С17. Получаем искомый ряд данных (рис. 12). В связи с тем, что количество заявок - целое число, следует установить на вкладке Число окна Формат ячеек числовой формат с числом десятичных знаков 0.

y = mx+b

Для этого:

1. вводим в диапазон ячеек C20:D20 функцию ЛИНЕЙН как формулу массива: ={ЛИНЕЙН(B4:B14;A4:A14)}. В результате получаем в ячейке C20 значение параметра m, а в ячейке D20 - значение параметра b;
2. вводим в ячейку D4 формулу: =$C*A4+$D;
3. копируем эту формулу с помощью маркера заполнения в диапазон ячеек D4:D17 и получаем искомый ряд данных.

y = bmx

На рис. 13 приведена таблица, где видны используемые нами функции с необходимыми диапазонами ячеек, а также формулы.

Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. 14.

Чтобы «сделать красиво»? Вовсе нет — главная задача диаграммы позволить представить малопонятные цифры в удобном для усвоения графическом виде. Чтобы с одного взгляда было понятно состояние дел, и не было необходимости тратить время на изучение сухой статистики.

Ещё один громадный плюс диаграмм состоит в том, что с их помощью гораздо проще показать тенденции, то есть, сделать прогноз на будущее. В самом деле, если дела шли в гору весь год, нет причин думать, что в следующем квартале картина вдруг изменится на противоположную.

Как диаграммы и графики нас обманывают

Однако диаграммы (особенно когда речь заходит о визуальном представлении большого объема данных), хотя и крайне удобны для восприятия, далеко не всегда очевидны.

Проиллюстрирую свои слова простейшим примером:

Эта таблица показывает среднее число посетителей некого сайта в сутки по месяцам, а также количество просмотров страниц на одного посетителя. Логично, что просмотров страниц всегда должно быть больше, чем посетителей, так как один пользователь может просмотреть сразу несколько страниц.

Не менее логично и то, что чем больше страниц просматривает посетитель, тем лучше сайт — он захватывает внимание пользователя и заставляет его углубиться в чтение.

Что видит владелец сайта из нашей диаграммы? Что дела у него идут хорошо! В летние месяцы был сезонный спад интереса, но осенью показатели вернулись и даже превысили показатели весны. Выводы? Продолжаем в том же духе и вскоре добьемся успеха!

Наглядна диаграмма? Вполне. А вот очевидна ли она? Давайте разберемся.

Разбираемся с трендами в MS Excel

Большой ошибкой со стороны владельца сайта будет воспринимать диаграмму как есть. Да, невооруженным взглядом видно, что синий и оранжевый столбики «осени» выросли по сравнению с «весной» и тем более «летом». Однако важны не только цифры и величина столбиков, но и зависимость между ними. То есть в идеале, при общем росте, «оранжевые» столбики просмотров должны расти намного сильнее «синих», что означало бы то, что сайт не только привлекает больше читателей, но и становится больше и интереснее.

Что же мы видим на графике? Оранжевые столбики «осени» как минимум ни чем не больше «весенних», а то и меньше. Это свидетельствует не об успехе, а скорее наоборот — посетители прибывают, но читают в среднем меньше и на сайте не задерживаются!

Самое время бить тревогу и… знакомится с такой штукой как линия тренда .

Зачем нужна линия тренда

Линия тренда «по-простому», это непрерывная линия составленная на основе усредненных на основе специальных алгоритмов значений из которых строится наша диаграмма. Иными словами, если наши данные «прыгают» за три отчетных точки с «-5» на «0», а следом на «+5», в итоге мы получим почти ровную линию: «плюсы» ситуации очевидно уравновешивают «минусы».

Исходя из направления линии тренда гораздо проще увидеть реальное положение дел и видеть те самые тенденции, а следовательно — строить прогнозы на будущее. Ну а теперь, за дело!

Как построить линию тренда в MS Excel

Щелкните правой кнопкой мыши по одному из «синих» столбцов, и в контекстном меню выберите пункт «Добавить линию тренда» .

На листе диаграммы теперь отображается пунктирная линия тренда. Как видите, она не совпадает на 100% со значениями диаграммы — построенная по средневзвешенным значениям, она лишь в общих чертах повторяет её направление. Однако это не мешает нам видеть устойчивый рост числа посещений сайта — на общем результате не сказывается даже «летняя» просадка.

Линия тренда для столбца «Посетители»

Теперь повторим тот же фокус с «оранжевыми» столбцами и построим вторую линию тренда. Как я и говорил раньше: здесь ситуация не так хороша. Тренд явно показывает, что за расчетный период число просмотров не только не увеличилось, но даже начало падать — медленно, но неуклонно.

Ещё одна линия тренда позволяет прояснить ситуацию

Мысленно продолжив линию тренда на будущие месяцы, мы придем к неутешительному выводу — число заинтересованных посетителей продолжит снижаться. Так как пользователи здесь не задерживаются, падение интереса сайта в ближайшем будущем неизбежно вызовет и падение посещаемости.

Следовательно, владельцу проекта нужно срочно вспоминать чего он такого натворил летом («весной» все было вполне нормально, судя по графику), и срочно принимать меры по исправлению ситуации.

Как поступить в случае, если для определенных объемов/размеров продукции хронометражные замеры отсутствуют? Или число замеров недостаточно, а дополнительные наблюдения в ближайшее время осуществить невозможно? Наилучший способ решения данной проблемы – построение расчетных зависимостей (уравнений регрессии) с помощью линий тренда в MS Excel.

Рассмотрим реальную ситуацию: на складе с целью установления величины трудовых затрат по коробочной отборке заказа были проведены хронометражные наблюдения. Результаты этих наблюдений представлены в таблице 1 ниже.

Впоследствии возникла необходимость определения затрат времени на отборку 0,6 и 0,9 м3 товара/заказа. В связи с невозможностью проведения дополнительных хронометражных исследований затраты времени на отборку данных объемов заказа были рассчитаны с помощью уравнений регрессии в MS Excel. Для этого таблица 1 была преобразована в таблицу 2.

Выбор точечной диаграммы, рис. 1

Следующий шаг: курсор мыши был установлен на одной из точек графика и с помощью правой кнопки мыши было вызвано контекстное меню, в котором был выбран пункт: «добавить линию тренда» (рис.2).

Добавление линии тренда, рис. 2

В появившемся окне настройки формата линии тренда (рис. 3) были последовательно выбраны: тип линии линейная/степенная и установлены флажки на следующие пункты: «показать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмме величину достоверности аппроксимации (R^2)» (коэффициент детерминации).

Формат линии тренда, рис. 3

В результате были получены графики, представленные на рис. 4 и 5.

Линейная расчетная зависимость, рис. 4

Степенная расчетная зависимость, рис. 5

Наглядный анализ графиков однозначно свидетельствует о близости полученных зависимостей. Кроме того, величина достоверности аппроксимации (R^2), которую также называют коэффициентом детерминации, в случае обеих зависимостей составляет одну и ту же величину 0,97. Известно, что чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем больше линия тренда соответствует действительности. Также можно констатировать, что изменение затрат времени на обработку заказа на 97% объясняется изменением количества товара. Поэтому в данном случае не принципиально: какую расчетную зависимость выбрать в качестве основной для последующего расчета временных затрат.

Примем за основную - линейную расчетную зависимость. Тогда значения затрат времени в зависимости от количества товара будут определяться по формуле: y = 54,511x + 0,1489. Результаты этих расчетов для количества товара, по которому ранее были проведены хронометражные наблюдения, представлены в таблице 3 ниже.

Определим среднее отклонение затрат времени, рассчитанных по уравнению регрессии от затрат времени, рассчитанных по данным хронометражных наблюдений: (-0,05+0,10-0,05+0,01)/4=0,0019. Таким образом, затраты времени, рассчитанные по уравнению регрессии отличаются от затрат времени, рассчитанных по данным хронометражных наблюдений всего на 0,19%. Расхождение данных ничтожно мало.

По формуле: y = 54,511x + 0,1489 установим затраты времени для количества товара, по которому ранее не были проведены хронометражные наблюдения (таблица 4).

Таким образом, построение расчетных зависимостей с помощью линий тренда в MS Excel – это отличный способ установления затрат времени по операциям, которые в силу различных причин не были охвачены хронометражными наблюдениями.

Тренд - это закономерность описывающая подъем или падение показателя в динамике. Если изобразить любой динамический ряд (статистические данные, представляющие собой список зафиксированных значений изменяемого показателя во времени) на графике, часто выделяется определенный угол – кривая либо постепенно идет на увеличение или на уменьшение, в таких случаях принято говорить, что ряд динамики имеет тенденцию (к росту или падению соответственно).

Тренд как модель

Если же построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования не требующий каких-либо сложных вычислений или временных затрат на проверку значимости или адекватности влияющих факторов.

Итак, что же собой представляет тренд как модель? Это совокупность расчетных коэффициентов уравнения, которые выражают регрессионную зависимость показателя (Y) от изменения времени (t). То есть, это точно такая же регрессия, как и те, что мы рассматривали ранее, только влияющим фактором здесь выступает именно показатель времени.

Важно!

В расчетах под t обычно подразумевается не год, номер месяца или недели, а именно порядковый номер периода в изучаемой статистической совокупности – динамическом ряде. К примеру, если динамический ряд изучается за несколько лет, а данные фиксировались ежемесячно, то использовать обнуляющуюся нумерацию месяцев, с 1 по 12 и опять сначала, в корне неверно. Также неверно в случае, если изучение ряда начинается, к примеру, с марта месяца в качестве значения t использовать 3 (третий месяц в году), если это первое значение в изучаемой совокупности, то его порядковый номер должен быть 1.

Модель линейного тренда

Как и любая другая регрессия, тренд может быть как линейным (степень влияющего фактора t равна 1) так и нелинейным (степень больше или меньше единицы). Так как линейная регрессия является самой простейшей, хотя далеко не всегда самой точной, то рассмотрим более детально именно этот тип тренда.

Общий вид уравнения линейного тренда:

Y(t) = a 0 + a 1 *t + Ɛ

Где a 0 – это нулевой коэффициент регрессии, то есть, то каким будет Y в случае, если влияющий фактор будет равен нулю, a 1 – коэффициент регрессии, который выражает степень зависимости исследуемого показателя Y от влияющего фактора t, Ɛ – случайная компонента или стандартная ошибка, по сути являет собой разницу между реально существующими значениями Y и расчетными. t – это единственный влияющий фактор – время.

Чем более выраженная тенденция роста показателя или его падения, тем будет больше коэффициент a 1 . Соответственно, предполагается, что константа a 0 совместно со случайной компонентой Ɛ отражают остальные регрессионные влияния, помимо времени, то есть всех прочих возможных влияющих факторов.

Рассчитать коэффициенты модели можно стандартным Методом наименьших квадратов (МНК). Со всеми этими расчетами Microsoft Excel справляется на ура самостоятельно, при чем, чтобы получить модель линейного тренда либо готовый прогноз существует целых пять способов, которые мы по отдельности разберем ниже.

Графический способ получения линейного тренда

В этом и во всех дальнейших примерах будем использовать один и тот же динамический ряд – уровень ВВП, который вычисляется и фиксируется ежегодно, в нашем случае исследование будет проходить на периоде с 2004-го по 2012-й гг.

Добавим к исходным данным еще один столбец, который назовем t и пометим цифрами по возрастающей порядковые номера всех зафиксированных значений ВВП за указанный период с 2004-го по 2012-й гг. – 9 лет или 9 периодов .

Эксель добавит пустое поле – разметку под будущий график, выделяем этот график и активируем появившуюся вкладку в панели меню – Конструктор , ищем кнопку Выбрать данные , в отрывшемся окне жмем кнопочку Добавить . Всплывшее окошко предложит выбрать данные для построения диаграммы. В качестве значения поля Имя ряда выбираем ячейку, которая содержит текст, наиболее полно отвечающий названию графика. В поле Значения X указываем интервал ячеек стобца t – влияющего фактора. В поле Значения Y указываем интервал ячеек столбца с известными значениями ВВП (Y) – исследуемого показателя.

Заполнив указанные поля, несколько раз нажимаем кнопку ОК и получаем готовый график динамики. Теперь выделяем правой кнопкой мыши саму линию графика и из появившегося контекстного меню выбираем пункт Добавить линию тренда

Откроется окошко для настройки параметров построения линии тренда, где среди типов моделей выбираем Линейная , ставим галочки напротив пунктов Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2 , этого будет достаточно чтобы на графике отобразилась уже построенная линия тренда, а также математический вариант отображения модели в виде готового уравнения и показатель качества модели R 2 . Если вас интересует отображение на графике прогноза, чтобы визуально оценить отрыв исследуемого показателя укажите в поле Прогноз вперед на количество интересующих периодов.

Собственно это все, что касается этого способа, можно конечно добавить, что отображаемое уравнение линейного тренда это и есть непосредственно сама модель, которую можно использовать, в качестве формулы, чтобы получить расчетные значения по модели и соответственно точные значения прогноза (прогноз отображаемый на графике, оценить можно лишь приблизительно), что мы и сделали в приложенному к статье примере.

Построение линейного тренда с помощью формулы ЛИНЕЙН

Суть этого метода сводится к поиску коэффициентов линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН , затем, подставляя эти влияющие коэффициенты в уравнение, получим прогнозную модель.

Нам потребуется выделить две рядом стоящие ячейки (на скриншоте это ячейки A38 и B38), далее в строке формул вверху (выделено красным на скриншоте выше) вызываем функцию, написав «=ЛИНЕЙН(», после чего эксель выведет подсказки того, что требуется для этой функции, а именно:

1. выделяем диапазон с известными значениями описываемого показателя Y (в нашем случае ВВП, на скриншоте диапазон выделен синим) и ставим точку с запятой
2. указываем диапазон влияющих факторов X (в нашем случае это показатель t, порядковый номер периодов, на скриншоте выделено зеленым) и ставим точку с запятой
3. следующий по порядку требуемый параметр для функции – это определение того нужно ли рассчитывать константу, так как мы изначально рассматриваем модель с константой (коэффициент a 0 ), то ставим либо «ИСТИНА» либо «1» и точку с запятой
4. далее нужно указать требуется ли расчет параметров статистики (в случае, если бы мы рассматривали этот вариант, то изначально пришлось бы выделить диапазон «под формулу» на несколько строк ниже). Указывать необходимость расчета параметров статистики, а именно стандартного значение ошибки для коэффициентов, коэффициента детерминированности, стандартной ошибки для Y, критерия Фишера, степеней свободы и пр. , есть смысл только тогда, когда вы понимаете, что они означают, в этом случае ставим либо «ИСТИНА», либо «1». В случае упрощенного моделирования, которому мы пытаемся научиться, на этом этапе прописывания формулы, ставим «ЛОЖЬ» либо «0» и добавляем после закрывающую скобочку «)»
5. чтобы «оживить» формулу, то есть заставить ее работать после прописывания всех необходимых параметров, не достаточно нажать кнопку Enter, необходимо последовательно зажать три клавиши: Ctrl, Shift, Enter

Как видим на скриншоте выше, выделенные нами под формулу ячейки заполнились расчетными значениями коэффициентов регрессии для линейного тренда, в ячейке B38 находится коэффициент a 0 , а в ячейке A38 - коэффициент зависимости от параметра t (или x ), то есть a 1 . Подставляем полученные значения в уравнение линейной функции и получаем готовую модель в математическом выражении – y = 169 572,2+138 454,3*t

Чтобы получить расчетные значения Y по модели и, соответственно, чтобы получить прогноз, нужно просто подставить формулу в ячейку экселя, а вместо t указать ссылку на ячейку с требуемым номером периода (смотрите на скриншоте ячейку D25 ).

Для сравнения полученной модели с реальными данными, можно построить два графика, где в качестве Х указать порядковый номер периода, а в качестве Y в одном случае – реальный ВВП, а, в другом – расчетный (на скриншоте диаграмма справа).

Построение линейного тренда с помощью инструмента Регрессия в Пакете анализа

В статье , по сути, полностью описан этот метод, единственная же разница в том, что в наших исходных данных только один влияющий фактор Х (номер периода – t ).

Как видно на рисунке выше, диапазон данных с известными значениями ВВП выделен как входной интервал Y , а соответствующий ему диапазон с номерами периодов t – как входной интервал Х . Итоги расчетов Пакетом анализа выносятся на отдельный лист и выглядит как набор таблиц (см. рисунок ниже) на котором нас интересуют ячейки, которые были закрашены мною в желтый и зеленый цвета. По аналогии с порядком, расписанным в указанной выше статье, из полученных коэффициентов собирается модель линейного тренда y=169 572,2+138 454,3*t , на основе которой и делаются прогнозы.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ТЕНДЕНЦИЯ

Этот метод отличается от предыдущих тем, что он пропускает необходимые ранее этапы расчета параметров модели и подстановки полученных коэффициентов вручную в качестве формулы в ячейку, чтобы получить прогноз, эта функция как раз и выдает уже готовое рассчитанное прогнозное значение на основе известных исходных данных.

В целевую ячейку (ту ячейку, где хотим видеть результат) ставим знак равно и вызываем волшебную функцию, прописав «ТЕНДЕНЦИЯ(», далее необходимо выделить , то есть , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х, то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП, опять ставим точку с запятой и выделяем ячейку с номером периода, для которого мы делаем прогноз (правда, в нашем случае, номер периода можно указать не ссылкой на ячейку, а просто цифрой прямо в формуле), далее ставим еще одну точку с запятой и указываем ИСТИНА или 1 , в качестве подтверждения для расчета коэффициента a 0 , наконец, ставим закрывающую скобочку и нажимаем клавишу Enter .

Минус данного метода в том, что он не показывает ни уравнения модели, ни его коэффициентов, из-за чего нельзя сказать, что на основе такой-то модели мы получили такой-то прогноз, также как и нет какого-либо отражения параметров качества модели, того таки коэффициента детерминации, по которому можно было бы сказать имеет ли смысл брать во внимание полученный прогноз или нет.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ПРЕДСКАЗ

Суть данной функции целиком и полностью идентична предыдущей, разница лишь в порядке прописывания исходных данных в формуле и в том, что нет настройки для наличия или отсутствия коэффициента a 0 (то есть функция подразумевает, что этот коэффициент, в любом случае, есть)

Как видно с рисунка выше, в целевую ячейку прописываем «=ПРЕДСКАЗ(» и затем указываем ячейку с номером периода , для которого необходимо просчитать значение по линейному тренду, то есть прогноз, после ставим точку с запятой, далее выделяем диапазон известных значений Y , то есть столбец с известными значениями ВВП , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х , то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП и, наконец, ставим закрывающую скобочку и жмем клавишу Enter .

Полученные результаты, как и в методе выше, это лишь готовый результат расчета прогнозного значения по линейной трендовой модели, он не выдает ни погрешностей, ни самой модели в математическом выражении.

Подводя итог к статье

Можно сказать, что каждый из методов может быть наиболее приемлемым среди прочих в зависимости от текущей цели, которую мы ставим перед собой. Первые три метода пересекаются между собой как по смыслу, так и по результату, и годятся для любой более или менее серьезной работы, где необходимо описание модели и ее качества. В свою очередь, последние два метода также идентичны между собой и максимально быстро вам дадут ответ, например, на вопрос: «Какой прогноз продаж на следующий год?».

Прогнозирование – это очень важный элемент практически любой сферы деятельности, начиная от экономики и заканчивая инженерией. Существует большое количество программного обеспечения, специализирующегося именно на этом направлении. К сожалению, далеко не все пользователи знают, что обычный табличный процессор Excel имеет в своем арсенале инструменты для выполнения прогнозирования, которые по своей эффективности мало чем уступают профессиональным программам. Давайте выясним, что это за инструменты, и как сделать прогноз на практике.

Целью любого прогнозирования является выявление текущей тенденции, и определение предполагаемого результата в отношении изучаемого объекта на определенный момент времени в будущем.

Способ 1: линия тренда

Одним из самых популярных видов графического прогнозирования в Экселе является экстраполяция выполненная построением линии тренда.

Попробуем предсказать сумму прибыли предприятия через 3 года на основе данных по этому показателю за предыдущие 12 лет.

Способ 2: оператор ПРЕДСКАЗ

Экстраполяцию для табличных данных можно произвести через стандартную функцию Эксель ПРЕДСКАЗ . Этот аргумент относится к категории статистических инструментов и имеет следующий синтаксис:

ПРЕДСКАЗ(X;известные_значения_y;известные значения_x)

«X» – это аргумент, значение функции для которого нужно определить. В нашем случае в качестве аргумента будет выступать год, на который следует произвести прогнозирование.

«Известные значения y» — база известных значений функции. В нашем случае в её роли выступает величина прибыли за предыдущие периоды.

«Известные значения x» — это аргументы, которым соответствуют известные значения функции. В их роли у нас выступает нумерация годов, за которые была собрана информация о прибыли предыдущих лет.

Естественно, что в качестве аргумента не обязательно должен выступать временной отрезок. Например, им может являться температура, а значением функции может выступать уровень расширения воды при нагревании.

При вычислении данным способом используется метод линейной регрессии.

Давайте разберем нюансы применения оператора ПРЕДСКАЗ на конкретном примере. Возьмем всю ту же таблицу. Нам нужно будет узнать прогноз прибыли на 2018 год.

Но не стоит забывать, что, как и при построении линии тренда, отрезок времени до прогнозируемого периода не должен превышать 30% от всего срока, за который накапливалась база данных.

Способ 3: оператор ТЕНДЕНЦИЯ

Для прогнозирования можно использовать ещё одну функцию – ТЕНДЕНЦИЯ . Она также относится к категории статистических операторов. Её синтаксис во многом напоминает синтаксис инструмента ПРЕДСКАЗ и выглядит следующим образом:

ТЕНДЕНЦИЯ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])

Как видим, аргументы «Известные значения y» и «Известные значения x» полностью соответствуют аналогичным элементам оператора ПРЕДСКАЗ , а аргумент «Новые значения x» соответствует аргументу «X» предыдущего инструмента. Кроме того, у ТЕНДЕНЦИЯ имеется дополнительный аргумент «Константа» , но он не является обязательным и используется только при наличии постоянных факторов.

Данный оператор наиболее эффективно используется при наличии линейной зависимости функции.

Посмотрим, как этот инструмент будет работать все с тем же массивом данных. Чтобы сравнить полученные результаты, точкой прогнозирования определим 2019 год.

Способ 4: оператор РОСТ

Ещё одной функцией, с помощью которой можно производить прогнозирование в Экселе, является оператор РОСТ. Он тоже относится к статистической группе инструментов, но, в отличие от предыдущих, при расчете применяет не метод линейной зависимости, а экспоненциальной. Синтаксис этого инструмента выглядит таким образом:

РОСТ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])

Как видим, аргументы у данной функции в точности повторяют аргументы оператора ТЕНДЕНЦИЯ , так что второй раз на их описании останавливаться не будем, а сразу перейдем к применению этого инструмента на практике.

Способ 5: оператор ЛИНЕЙН

Оператор ЛИНЕЙН при вычислении использует метод линейного приближения. Его не стоит путать с методом линейной зависимости, используемым инструментом ТЕНДЕНЦИЯ . Его синтаксис имеет такой вид:

ЛИНЕЙН(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])

Последние два аргумента являются необязательными. С первыми же двумя мы знакомы по предыдущим способам. Но вы, наверное, заметили, что в этой функции отсутствует аргумент, указывающий на новые значения. Дело в том, что данный инструмент определяет только изменение величины выручки за единицу периода, который в нашем случае равен одному году, а вот общий итог нам предстоит подсчитать отдельно, прибавив к последнему фактическому значению прибыли результат вычисления оператора ЛИНЕЙН , умноженный на количество лет.

Как видим, прогнозируемая величина прибыли, рассчитанная методом линейного приближения, в 2019 году составит 4614,9 тыс. рублей.

Способ 6: оператор ЛГРФПРИБЛ

Последний инструмент, который мы рассмотрим, будет ЛГРФПРИБЛ . Этот оператор производит расчеты на основе метода экспоненциального приближения. Его синтаксис имеет следующую структуру:

ЛГРФПРИБЛ (Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])

Как видим, все аргументы полностью повторяют соответствующие элементы предыдущей функции. Алгоритм расчета прогноза немного изменится. Функция рассчитает экспоненциальный тренд, который покажет, во сколько раз поменяется сумма выручки за один период, то есть, за год. Нам нужно будет найти разницу в прибыли между последним фактическим периодом и первым плановым, умножить её на число плановых периодов (3) и прибавить к результату сумму последнего фактического периода.

Прогнозируемая сумма прибыли в 2019 году, которая была рассчитана методом экспоненциального приближения, составит 4639,2 тыс. рублей, что опять не сильно отличается от результатов, полученных при вычислении предыдущими способами.

Мы выяснили, какими способами можно произвести прогнозирование в программе Эксель. Графическим путем это можно сделать через применение линии тренда, а аналитическим – используя целый ряд встроенных статистических функций. В результате обработки идентичных данных этими операторами может получиться разный итог. Но это не удивительно, так как все они используют разные методы расчета. Если колебание небольшое, то все эти варианты, применимые к конкретному случаю, можно считать относительно достоверными.