ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 2GG 270

УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

О. М. Красильников* Ю. X. Векилов, И. Ю. Мосягин

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» 119049, Москва, Россия

Дано определение изотермических и адиабатических упругих постоянных /?-го порядка (/? > 2) нагруженного кристалла. Эти постоянные полностью характеризуют упругое поведение твердого тела при произвольной нагрузке и определяются не только межатомным взаимодействием, но и внешней нагрузкой. Для кристаллов кубической симметрии, находящихся под гидростатическим давлением, найдены соотношения, связывающие эти постоянные (второго, третьего и четвертого порядков) с упругими постоянными типа Браггера соответствующего порядка, которые определяются только межатомным взаимодействием. С использованием полученных соотношений уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ОЦК-тантала при Т = 0 рассчитаны методом функционала электронной плотности в широком интервале давлений (0-600 ГПа). Полученные в работе результаты по уравнению состояния и упругим постоянным второго порядка согласуются с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для анализа структурных превращений в твердых телах под давлением необходима информация об упругих постоянных (УП) различного порядка (2, 3 и 4) . Эти постоянные определяют (с учетом ангармонических поправок) скорость звука и, соответственно, частоты длинноволновых акустических колебаний, соотношение «напряжение деформация», характер фазовых переходов, обусловленных потерей устойчивости кристаллической решетки к однородным деформациям. Экспериментальное определение УП под давлением (особенно постоянных выше второго порядка) задача трудная, поэтому значение приобретают вычисления УП различного порядка с помогцыо компьютерного моделирования. В последние несколько лет опубликован целый ряд работ по расчету в рамках теории функционала плотности УП второго порядка металлов с кубической решеткой в мегабарном диапазоне давлений . В работах УП Та, V, Мо, N1) и \¥ находились как вторые производные свободной энергии по компонентам тензора бесконечно малых деформаций. Упругие постоянные Р1 и Си опреде-

E-mail: omkrasö"mail.ru

лялнсь в работах из соотношений «напряжение деформация» (закон Гука), деформированное состояние задавалось с помощью тензора бесконечно малых деформаций. В работах для нахождения УП второго порядка алюминия и ванадия использовалось разложение свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций.

Результаты расчета УП третьего и четвертого порядков ряда веществ с кубической решеткой (Си, А1, Аи и Ag) при атмосферном давлении приведены в работе . УП находились из разложения свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций Лагранжа. Свободная энергия вычислялась методом функционала плотности. Аналогичный расчет УП третьего порядка ванадия в интервале 0 800 ГПа проведен в работе .

Разнообразие в способах вычисления упругих постоянных связано с различными определениями этих величин (см., например, ). В ненагружен-ном состоянии все эти определения дают для УП второго порядка одни и те же значения. Однако в случае нагруженного кристалла вычисления приводят к различным величинам этих постоянных.

В настоящей работе дано определение упругих постоянных /¿-го порядка (п > 2), пригодное для описания упругих свойств как нагруженного кри-

паI.т. так и кристалла в отсутствие нагрузки. В качество примера рассчитаны УП второго и третьего порядков ОЦК-тантала в широком интервале давлений.

2. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ НАГРУЖЕННОГО КРИСТАЛЛА

Стандартное определение упругих постоянных /¿-го порядка дано в работе

(дпР То \дцидг1к1 1 (;)"("

То Кдщдг/и

Здесь Суд,; и Суд/ соответственно изотермические и адиабатические УП /7-го порядка (п > 2), ^и и соответственно свободная и внутренняя энергии кристалла, 1"о объем в не деформированном состоянии; //у компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа . Производные в (1) вычисляются при постоянной температуре Т и энтропии 5". Если а/., = ()г/. / <)!■,",. где гд, и Д, декартовы координаты точки тела, соответственно, в деформированном и не деформированном состояниях, то

Чи = т^"/.,",..;

где ¿>у символ Кронокора (по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем идет суммирование от 1 до 3). Компоненты тензора //у можно выразить через градиенты смещений иу = д-и^/дЩ [и, = = г, - в результате //у = и у + и^и^;/2 (вращение кристалла отсутствует). Если квадратичным слагаемым можно пренебречь, получаем тензор бесконечно малых деформаций ¡./у.

Упругие постоянные (1) полностью определяют упругое поведение нонагружонного кристалла. В нагруженном состоянии эти постоянные не учитывают работу, которая должна быть совершена против внешней нагрузки силами, вызванными дополнительной малой деформацией у. В работах рассмотрены так называемые эффективные УП для случая гидростатического давления. Эти постоянные учитывают как изменение свободной или внутренней энергии кристалла при деформации вблизи исходного состояния при заданном давлении Р, так и работу против гидростатического давления силами, обусловленными этой деформацией. Обобщая результаты этих работ, изотермические и адиабатические упругие постоянные различного поряд-

ка можно определить как соответствующие производные потенциала Гиббса С или энтальпии Н по компонентам тензора конечных деформаций //у при заданной нагрузке:

¡.¡и... - т-

1-0 \дццдщ./...

и о дщд1,к1

где п > 2. Суд,/ и Суд,/ полностью описывают упругое поведение кристалла при произвольном нагружонии. В случае гидростатического давления С = Р + Р\~, Н = и + РV. В отсутствие нагрузки определения (3) совпадают с (1). Аналогичное соотношение для изотермических УП второго порядка приведено в .

Величины Суд/... определяются не только межатомным взаимодействием, но и непосредственно приложенной нагрузкой и, в отличие от постоянных (1), обладают полной фойгтовской симметрией к перестановке индексов только при гидростатическом давлении (при других видах нагрузки такой симметрии пет) . Кроме того, для них соотношения Копти выполняться но могут, поскольку эти постоянные включают в себя внешнюю нагрузку. Как следует из работы , при использовании УП второго порядка Суд/ уравнение Кристоффеля, определяющее скорость звуковых воли в кристалле, имеет одинаковый вид как для нонагружонного, так и нагруженного кристаллов. То же относится и к условиям устойчивости кристалла , а также к соотношению «напряжение деформация» : в обоих случаях они имеют одинаковый вид.

Пользуясь соотношением (3), найдем выражение для изотермических УП второго четвертого порядков при гидростатическом давлении. Изменение потенциала Гиббса при деформации //у при давлении Р и температуре Т на единицу объема в недеформи-рованном состоянии равно

АС _ АР АУ У0 То К) Здесь ДС = С(Р,Т,"Г1)-С(Р,Т, 0), АР = Р(П. Т. //) - - Р(Р,Т,0), ДГ = V - Ко изменение объема в результате деформации, заданной компонентами тензора конечных деформаций Лагранжа »/у. Разложим ДС и в ряд по "//у до четвертого порядка включительно:

77 (<.Д1"/<./""М" + "7 (/./"/ //к»"//./""// /"/»<"" + 0 ^ О

I 2| С"ГД/ п) г, (.■11 Ьп г, ■ (5)

Таблица 1. Соотношения между и

н СЦ 1 = СЦ 1 + 2>Р Clin = Сии - 15Р Cl255 = С12.5.5 + Р

Cll2 = Си 2 - Р С1112 = С1112 + 3 Р С1266 = С1266 - Р

с12 = Ci2 + Р Cl23 = Ci23 + Р Сц22 = Сц22 + Р С1456 = Ci4.56 - Р

С144 = С144 - Р Сц 23 = Сц23 - Р С4444 = С4444 - 3 Р

D1 нСа. tfb II С155 = Ci.5.5 + Р С1144 = С1144 + Р С44.5.5 - С44.5.5 р

С4.56 = С4.56 + Р Сц.5.5 = Сц.5.5 - 2>Р

Таблица 2. Уравнение состояния и упругие постоянные тантала

\ о, А3 Р ГПа Сц, ГПа С12, ГПа С44, ГПа -Chi , ГПа Сц2, ГПа С123, ГПа С144, ГПа Ci.5.5, ГПа С4.56, ГПа

18.80 ^4.82 238.5 144.5 63.48 2258 664.9 32.9 407.8 308.9 152.1

17.97 3.87 285.4 172.0 72.58 2632 741.0 27.6 467.9 332.2 206.1

1G.38 2G.82 393.5 239.4 91.44 3374 938.8 47.9 618.7 395.6 362.6

14.90 59.43 530.6 330.8 111.4 3904 1307 - 838.7 588.5 601.3

13.50 105.3 699.1 458.57 127.4 - 2043 - 1274 1110 962.6

12.19 1G9.G 900.5 648.3 160.7 6491 2571 - 1780 1759 1437

10.98 262.1 1333 909.7 272.0 12774 2977 601.2 2362 2259 2130

9.84 398.3 1885 1256 422.5 16981 3424 1839 3049 3163 3034

8.79 597.1 2606 1803 620.3 21365 5125 2512 4244 4346 4192

В (5) линейный член разложения отсутствует, поскольку система находится в равновесии:

Vii + 77 ■ ijU>lij>IU + 77 ^ ijkimnVijVklVmn + О ^ О

I ^ijklmnpq4ij4klЧтп"Чрд

Так как AV/Vo = <7 - 1, где J = dot |a:y| , выразим a.jj через j/y, используя соотношение (2). В результате, удерживая слагаемые до четвертого порядка по //,;. получим 1

"и = ¿у + Щ - -rikir)kj +

1...... 5........

I пVrkVriVkj 0 VkjVmkVmnVni (") I О

Подстановка выражений для AG/I"o и AF/Vq в (4) позволяет выразить УП Суд./... через постоянные

Браггера Суд./... и давление Р. Кристаллы кубической симметрии (группы 43т, 432, ^З^) имеют три независимые УП второго порядка Сар, шесть постоянных третьего порядка и одиннадцать четвертого порядка Упругие постоянные даны в обозначениях Фойгта: а,3,... принимают значения от 1 до 6 в соответствии с правилом: 11 -1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5 и 12 6. Соотношения между Сац... и постоянными Браггера приведены в табл. 1.

В работах показано, что УП второго порядка Сац можно также получить как вторые производные свободной (или внутренней) энергии при заданном давлении Р по компонентам тензора бесконечно малых деформаций и у. Но ситуация с УП второго порядка исключение, связанное с тем, что в выражении для //у помимо линейного по ¡./у слагаемого имеется и квадратичное. Для УП при

Константы упругости

Количественно упругость характеризуется константами, свойственными каждому материалу. При этом необходимо учитывать, что большинство свойств, кроме плотности и теплоемкости, связано с анизотропией структуры. Упругость является ярко выраженным анизотропным свойством. Поэтому следует различать упругость кристаллов и анизотпропных материалов и упругость изотропных тел.

Поликристаллические тела и материалы в целом изотропны, анизотропия их свойств проявляется только в результате формования или обработки, например прессования, штампования, прокатки, уплотнения и т.п. Таким образом, формируется анизотропия свойств керамической плитки, черепицы, стального листа и т.д. В дальнейшем рассматривается упругость только изотропных свойств, для которых не применимы представления об ориентированных кристаллографических осях и пр.

С учетом вышеизложенного для большинства природных и искусственных материалов (горные породы, керамика, бетон, металлы и т.д.) при малых деформациях зависимости между напряжениями «σ» и деформациями «ε» можно считать линейными (рис. 5.2) и описывать обобщенным законом Гука :

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

Подобным образом напряжение сдвига «τ» прямо пропорционально относительной деформации сдвига или углу сдвига у(рис. 5.3):

где G - модуль сдвига.

Рис. 5.2. Классическая зависимость напряжение - деформация:

А - керамики; В - металлов; С - полимеров

Рис. 5.3. Упругая деформация твердого тела при сдвиге

Удлинение образца при растяжении сопровождается уменьшением его толщины (рис. 5.4). Относительное изменение толщины Δl/l к относительному изменению длины Δd/d называется коэффициентом Пуассона «μ» или коэффициентом поперечного сжатия:

μ = (Δl/l) / (Δd/d).

Рис. 5.4. Упругая деформация твердого тела при растяжении

Если при деформации тела его объем не изменяется, а это может иметь место только при пластическом или вязком течении, то μ = 0,5. Однако, практически, эта величина значительно ниже теоретического показателя и для разных материалов она различна. Упругие материалы (бетон, керамика и др.) имеют невысокие значения коэффициента Пуассона (0,15-0,25), пластичные (полимерные материалы) - более высокие (0,3-0,4). Это объясняется зависимостью между силами притяжения и отталкивания и изменением межатомного расстояния при деформации.

Модуль Юнга

Модуль Юнга, или модуль продольной деформации Е показывает критическое напряжение, которое может иметь структура материала при максимальной ее деформации до разрушения; имеет размерность напряжений (МПа).

Где: σ р – критическое напряжение.

У поликристаллических материалов обычно наблюдаются отклонение от линейной σ = ƒ(ε,), несвязанное с энергией кристаллической решетки, а зависящей от структуры материала. Для оценки упругих свойств таких материалов применяют два модуля упругости: касательный Е = tgα и секущий V= tgβ, который называют модулем деформаций (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Схематическое изображение деформации огнеупоров:

а - кривая деформации; б - точка разрушения;

σ; - предельное напряжение при разрушении; ε - деформация

Величина модуля упругости двухфазной системы является средней между величинами модулей упругости каждой из фаз, и аналитическое выражения для ее нахождения аналогичны тем, что используются при различных значениях линейного КТР.

Линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи. из Lимеет место равенство (Ах, Ау) =(х, у). У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если линейное преобразование унитарного пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно. Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Линейное преобразование Аконечномерного унитарного пространства Lявляется У. п. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий: 1) в любом ортонормированием базисе преобразованию Асоответствует унитарная матрица; 2) Апереводит любой ортонормированный базис в ортопормированный; 3) в Lсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных для Авекторов, причем соответствующая Ав этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1. У. п. данного унитарного пространства образуют относительно умножения преобразований группу (наз. унитарной группой). A. Л. Онищик.

Смотреть значение Унитарное Преобразование в других словарях

Преобразование — реорганизация
реформа
перестройка
переустройство
Словарь синонимов

Преобразование Ср. — 1. Процесс действия по знач. глаг.: преобразовать, преобразоваться (1а1-3). 2. Коренное изменение чего-л.
Толковый словарь Ефремовой

Государство Унитарное — - характеризуется простотой устройства, единой конституцией и гражданством, единой системой высших государственных органов, права и суда, действующих без ограничения........
Политический словарь

Унитарное Государство — (от лат. unitas - единство) - одна из форм территориально-политической организации и управления государством, в которой реализуется принцип распределения власти между центром........
Политический словарь

Акционирование; Преобразование Частной Компании В Публичную — Термин используется в том случае, когда частная компания впервые предлагает свои акции в открытой продаже. Право владения компанией, таким образом, переходит из рук........
Экономический словарь

Преобразование — преобразования, ср. (книжн.). 1. только ед. Действие по глаг. преобразовать. электрического тока. 2. Коренное изменение, реформа чего-н. (устар.). Преобразования Петра I.
Толковый словарь Ушакова

Преобразование — -я; ср.
1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую.
2. Коренное изменение, перемена. Крупные........
Толковый словарь Кузнецова

Предприятие Унитарное — предприятие, не обладающее правом собственности на закрепленное за ним имущество, владельцем которого является государство или муниципальный орган власти. П.у., находясь........
Экономический словарь

Предприятие, Унитарное — - коммерческая организация, не обладающая правом собственности на закрепленное за ним имущество. У.п. может быть государственным или муниципальным, соответственно........
Экономический словарь

Преобразование — Форма реорганизации юридических лиц. При преобразовании юридическое
лицо прекращает свое существование, и на его базе возникает новое. Ст. 57 ГК РФ. Например,
........
Экономический словарь

Преобразование Предприятия — -
прекращение деятельности предприятия с передачей всех прав и обязанностей вновь создаваемому предприятию
Экономический словарь

— - см. РЕОРГАНИЗАЦИЯ ЮРИДИЧЕСКОГО ЛИЦА.
Экономический словарь

Приватизация; Преобразование Публичной Компании В Частную — Преобразование публичной акционерной компании в частную либо путем выкупа компанией своих акций, либо путем покупки акций внешним инвестором. Такое преобразование........
Экономический словарь

Унитарное Государство — государство, предоставляющее минимальную хозяйственную самостоятельность регионам.
Экономический словарь

Унитарное Предприятие — -
коммерческая организация, не наделенная
правом собственности на закрепленное за ней собственником
имущество
Экономический словарь

Государственное Унитарное Предприятие
Юридический словарь

Муниципальное Унитарное Предприятие — - коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней собственником имущество. Имущество унитарного предприятия является неделимым........
Юридический словарь

Предприятие Унитарное — - см. Унитарное предприятие.
Юридический словарь

Преобразование Заявок — до публикации сведений о заявке на изобретение заявитель вправе преобразовать ее в заявку на полезную модель путем подачи соответствующего заявления. Преобразование........
Юридический словарь

Преобразование Юридического Лица — - см. Реорганизация юридического лица.
Юридический словарь

Унитарное Предприятие — - по гражданскому законодательству РФ коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней собственником имущество. Имущество У.п. является........
Юридический словарь

Унитарное Государство — - см. Унитаризм.
Юридический словарь

Унитарное Предприятие — - по гражданскому законодательству РФ коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней имущество. В форме У. п. могут быть созданы........
Юридический словарь

Аффинное Преобразование — геометрическое преобразование плоскости илипространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальныеотражения и гомотетии в направлениях координатных осей.

Преобразование Лоренца — , соотношение, выдвинутое Хендриком ЛОРЕНЦЕМ, связанное с координатами явления в пространстве и времени, наблюдаемого с двух разных точек, особенно при релятивистских........
Научно-технический энциклопедический словарь

Геометрическое Преобразование — взаимно однозначное отображение прямой,плоскости или пространства на себя. Примеры геометрическогопреобразования: подобие, движение, аффинное преобразование.
Большой энциклопедический словарь

Линейное Преобразование — линейное преобразование переменных x1, x2,..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которыепервоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:........
Большой энциклопедический словарь

Преобразование — замена одного математического объекта (геометрическойфигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом,получаемым из первого по определенным правилам.........
Большой энциклопедический словарь

Преобразование Представления Величин — (вычислительная техника) - переводмашинных переменных величин из аналоговой формы в цифровую или наоборот;применяется, напр., при работе ЭВМ в системе автоматического........
Большой энциклопедический словарь

Унитарное Государство — форма государственного устройства, при которойтерритория государства, в отличие от федерации, не имеет в своем составефедеративных единиц (штатов, земель), а подразделяется........
Большой энциклопедический словарь