Введение

1. Понятие топологии сети

2. Базовые топологии сети

2.3 Базовая топология сети типа "кольцо" (ring)

3. Другие возможные сетевые топологии

3.1 Топология сети типа "дерево" (tree)

3.2 Комбинированные топологии сети

3.3 "Сеточная" топология сети

4. Многозначность понятия топологии

Заключение

Список используемой литературы

Введение

На сегодняшний день невозможно представить деятельность человека без использования им компьютерных сетей.

Компьютерная сеть - представляет собой систему распределенной обработки информации, состоящую как минимум из двух компьютеров, взаимодействующих между собой с помощью специальных средств связи.

В зависимости от удалённости компьютеров и масштабов, сети условно разделяют на локальные и глобальные.

Локальные сети - сети, имеющие замкнутую инфраструктуру до выхода на поставщиков услуг. Термин "LAN" может описывать и маленькую офисную сеть, и сеть уровня большого завода, занимающего несколько сотен гектаров. Локальные сети развёртываются обычно в рамках некоторой организации, поэтому их называют также корпоративными сетями.

Иногда выделяют сети промежуточного класса - городская или региональная сеть, т.е. сеть в пределах города, области и т.п.

Глобальная сеть покрывает большие географические регионы, включающие в себя как локальные сети, так и прочие телекоммуникационные сети и устройства. Глобальные сети практически имеют те же возможности, что и локальные. Но они расширяют область их действия. Польза от применения глобальных сетей ограничена в первую очередь скоростью работы: глобальные сети работают с меньшей скоростью, чем локальные.

Из выше перечисленных компьютерных сетей, обратим свое внимание на локальные сети, для того чтобы лучше понять архитектуру сетей, способы передачи данных. А для этого надо знать такое понятие, как топология сети.

1. Понятие топологии сети

Топология - это физическая конфигурация сети в совокупности с ее логическими характеристиками. Топология - это стандартный термин, который используется при описании основной компоновки сети. Если понять, как используются различные топологии, то можно будет определить, какими возможностями обладают различные типы сетей.

Существует два основных типа топологий:

физическая

логическая

Логическая топология описывает правила взаимодействия сетевых станций при передаче данных.

Физическая топология определяет способ соединения носителей данных.

Термин "топология сети" характеризует физическое расположение компьютеров, кабелей и других компонентов сети. Топология сети обуславливает ее характеристики.

Выбор той или иной топологии влияет на:

состав необходимого сетевого оборудования

характеристики сетевого оборудования

возможности расширения сети

способ управления сетью

Конфигурация сети может быть или децентрализованной (когда кабель "обегает" каждую станцию в сети), или централизованной (когда каждая станция физически подключается к некоторому центральному устройству, распределяющему фреймы и пакеты между станциями). Примером централизованной конфигурации является звезда с рабочими станциями, располагающимися на концах ее лучей. Децентрализованная конфигурация похожа на цепочку альпинистов, где каждый имеет свое положение в связке, а все вместе соединены одной веревкой. Логические характеристики топологии сети определяют маршрут, проходимый пакетом при передаче по сети.

При выборке топологии нужно учитывать, чтобы она обеспечивала надежную и эффективную работу сети, удобное управление потоками сетевых данных. Желательно также, чтобы сеть по стоимости создания и сопровождения получилась недорогой, но в то же время оставались возможности для ее дальнейшего расширения и, желательно, для перехода к более высокоскоростным технологиям связи. Это непростая задача! Чтобы ее решить, необходимо знать, какие бывают сетевые топологии.

2. Базовые топологии сети

Существует три базовые топологии, на основе которых строится большинство сетей.

звезда (star)

кольцо (ring)

Если компьютеры подключены вдоль одного кабеля, топология называется "шиной". В том случае, когда компьютеры подключены к сегментам кабеля, исходящим из одной точки, или концентратора, топология называется звездой. Если кабель, к которому подключены компьютеры, замкнут в кольцо, такая топология носит название кольца.

Хотя сами по себе базовые топологии несложны, в реальности часто встречаются довольно сложные комбинации, объединяющие свойства нескольких топологий.

2.1 Топология сети типа "шина" (bus)

В этой топологии все компьютеры соединяются друг с другом одним кабелем (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема топологии сети тип "шина"

В сети с топологией "шина" компьютеры адресуют данные конкретному компьютеру, передавая их по кабелю в виде электрических сигналов - аппаратных MAC-адресов . Чтобы понять процесс взаимодействия компьютеров по шине, нужно уяснить следующие понятия:

передача сигнала

отражение сигнала

терминатор

1. Передача сигнала

Данные в виде электрических сигналов, передаются всем компьютерам сети; однако информацию принимает только тот, адрес которого соответствует адресу получателя, зашифрованному в этих сигналах. Причем в каждый момент времени только один компьютер может вести передачу. Так как данные в сеть передаются лишь одним компьютером, ее производительность зависит от количества компьютеров, подключенных к шине. Чем их больше, т.е. чем больше компьютеров, ожидающих передачи данных, тем медленнее сеть. Однако вывести прямую зависимость между пропускной способностью сети и количеством компьютеров в ней нельзя. Ибо, кроме числа компьютеров, на быстродействие сети влияет множество факторов, в том числе:

характеристики аппаратного обеспечения компьютеров в сети

частота, с которой компьютеры передают данные

тип работающих сетевых приложений

тип сетевого кабеля

расстояние между компьютерами в сети

Шина - пассивная топология. Это значит, что компьютеры только "слушают" передаваемые по сети данные, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных. В активных топологиях компьютеры регенерируют сигналы и передают их по сети.

2. Отражение сигнала

Данные, или электрические сигналы, распространяются по всей сети - от одного конца кабеля к другому. Если не предпринимать никаких специальных действий, сигнал, достигая конца кабеля, будет отражаться и не позволит другим компьютерам осуществлять передачу. Поэтому, после того как данные достигнут адресата, электрические сигналы необходимо погасить.

3. Терминатор

Чтобы предотвратить отражение электрических сигналов, на каждом конце кабеля устанавливают заглушки (терминаторы, terminators), поглощающие эти сигналы (Рисунок 2). Все концы сетевого кабеля должны быть к чему-нибудь подключены, например к компьютеру или к баррел-коннектору - для увеличения длины кабеля. К любому свободному - неподключенному - концу кабеля должен быть подсоединен терминатор, чтобы предотвратить отражение электрических сигналов.

Рисунок 2 - Установка терминатора

Нарушение целостности сети может произойти, если разрыв сетевого кабеля происходит при его физическом разрыве или отсоединении одного из его концов. Возможна также ситуация, когда на одном или нескольких концах кабеля отсутствуют терминаторы, что приводит к отражению электрических сигналов в кабеле и прекращению функционирования сети. Сеть "падает". Сами по себе компьютеры в сети остаются полностью работоспособными, но до тех пор, пока сегмент разорван, они не могут взаимодействовать друг с другом.

У такой топологии сети есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести:

небольшое время установки сети

дешевизна (требуется меньше кабеля и сетевых устройств)

простота настройки

выход из строя рабочей станции не отражается на работе сети

Недостатки такой топологии следующие.

такие сети трудно расширять (увеличивать число компьютеров в сети и количество сегментов - отдельных отрезков кабеля, их соединяющих).

поскольку шина используется совместно, в каждый момент времени передачу может вести только один из компьютеров.

"шина" является пассивной топологией - компьютеры только "слушают" кабель и не могут восстанавливать затухающие при передаче по сети сигналы.

надежность сети с топологией "шина" невысока. Когда электрический сигнал достигает конца кабеля, он (если не приняты специальные меры) отражается, нарушая работу всего сегмента сети.

Проблемы, характерные для топологии "шина", привели к тому, что эти сети, столь популярные еще десять лет назад, сейчас уже практически не используются.

Топология сети типа "шина" известна как логическая топология Ethernet 10 Мбит/с.

2.2 Базовая топология сети типа "звезда" (star)

При топологии "звезда" все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному компоненту, именуемому концентратором (hub) (рисунок 3).

Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем остальным.

Эта топология возникла на заре вычислительной техники, когда компьютеры были подключены к центральному, главному, компьютеру.

Топология компьютерных сетей

Одним из важнейших различий между разными типами сетей является их топология.

Под топологией обычно понимают взаимное расположение друг относительно друга узлов сети. К узлам сети в данном случае относятся компьютеры, концентраторы, свитчи, маршрутизаторы, точки доступа и т.п.

Топология – это конфигурация физических связей между узлами сети. Характеристики сети зависят от типа устанавливаемой топологии. В частности, выбор той или иной топологии влияет:

• на состав необходимого сетевого оборудования;
• на возможности сетевого оборудования;
• на возможности расширения сети;
• на способ управления сетью.

Различают следующие основные виды топологий: щит, кольцо, звезда, ячеистая топология и решетка. Остальные являются комбинациями основных топологий и называются смешанными или гибридными.

Шина . Сети с шинной топологией используют линейный моноканал (коаксиальный кабель) передачи данных, на концах которого устанавливаются специальные заглушки – терминаторы (terminator). Они необходимы для того,

Рис. 6.1.

чтобы погасить сигнал после прохождения по шине. К недостаткам шинной топологии следует отнести следующее:

• данные, передаваемые по кабелю, доступны всем подключенным компьютерам;
• в случае повреждения шины вся сеть перестает функционировать.

Кольцо – это топология, в которой каждый компьютер соединен линиями связи с двумя другими: от одного он получает информацию, а другому передаст и подразумевает следующий механизм передачи данных: данные передаются последовательно от одного компьютера к другому, пока не достигнут компьютера-получателя. Недостатки топологии "кольцо" те же, что и у топологии "шина":

• общедоступность данных;
• неустойчивость к повреждениям кабельной системы.

Звезда – это единственная топология сети с явно выделенным центром, называемым сетевым концентратором или "хабом" (hub), к которому подключаются все остальные абоненты. Функциональность сети зависит от состояния этого концентратора. В топологии "звезда" прямые соединения двух компьютеров в сети отсутствуют. Благодаря этому имеется возможность решения проблемы общедоступности данных, а также повышается устойчивость к повреждениям кабельной системы.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3. Топология типа "звезда"

– это топология компьютерной сети, в которой каждая рабочая станция сети соединяется с несколькими рабочими станциями этой же сети. Характеризуется высокой отказоустойчивостью, сложностью настройки и переизбыточным расходом кабеля. Каждый компьютер имеет множество возможных путей соединения с другими компьютерами. Обрыв кабеля не приведет к потере соединения между двумя компьютерами.

Рис. 6.4.

Решетка – это топология, в которой узлы образуют регулярную многомерную решетку. При этом каждое ребро решетки параллельно ее оси и соединяет два смежных узла вдоль этой оси. Одномерная решетка – это цепь, соединяющая два внешних узла (имеющие лишь одного соседа) через некоторое количество внутренних (у которых по два соседа – слева и справа). При соединении обоих внешних узлов получается топология "кольцо". Двух- и трехмерные решетки используются в архитектуре суперкомпьютеров.

Сети, основанные па FDDI, используют топологию "двойное кольцо", достигая тем самым высокой надежности и производительности. Многомерная решетка, соединенная циклически в более чем одном измерении, называется "тор".

(рис. 6.5) – топология, преобладающая в крупных сетях с произвольными связями между компьютерами. В таких сетях можно выделить отдельные произвольно связанные фрагменты (подсети ), имеющие типовою топологию, поэтому их называют сетями со смешанной топологией.

Для подключения большого числа узлов сети применяют сетевые усилители и (или) коммутаторы. Также применяются активные концентраторы – коммутаторы, одновременно обладающие и функциями усилителя. На практике используют два вида активных концентраторов, обеспечивающих подключение 8 или 16 линий.

Рис. 6.5.

Другой тип коммутационного устройства – пассивный концентратор, который позволяет организовать разветвление сети для трех рабочих станций. Малое число присоединяемых узлов означает, что пассивный концентратор не нуждается в усилителе. Такие концентраторы применяются в тех случаях, когда расстояние до рабочей станции не превышает нескольких десятков метров.

По сравнению с шинной или кольцевой смешанная топология обладает большей надежностью. Выход из строя одного из компонентов сети в большинстве случаев не оказывает влияния на общую работоспособность сети.

Рассмотренные выше топологии локальных сетей являются основными, т. е. базовыми. Реальные вычислительные сети строят, основываясь на задачах, которые призвана решить данная локальная сеть, и па структуре ее информационных потоков. Таким образом, на практике топология вычислительных сетей представляет собой синтез традиционных типов топологий.

Основные характеристики современных компьютерных сетей

Качество работы сети характеризуют следующие свойства: производительность, надежность, совместимость, управляемость, защищенность, расширяемость и масштабируемость.

К основным характеристикам производительности сети относятся:

• время реакции – характеристика, которая определяется как время между возникновением запроса к какому-либо сетевому сервису и получением ответа на него;
• пропускная способность – характеристика, которая отражает объем данных, переданных сетью в единицу времени;
• задержка передачи – интервал между моментом поступления пакета на вход какого-либо сетевого устройства и моментом его появления на выходе этого устройства.

Для оценки надежности сетей используются различные характеристики, в том числе:

• коэффициент готовности, означающий долю времени, в течение которого система может быть использована;
• безопасность, т.е. способность системы защитить данные от несанкционированного доступа;
• отказоустойчивость – способность системы работать в условиях отказа некоторых ее элементов.

Расширяемость означает возможность сравнительно легкого добавления отдельных элементов сети (пользователей, компьютеров, приложений, сервисов), наращивания длины сегментов сети и замены существующей аппаратуры более мощной.

Масштабируемость означает, что сеть позволяет наращивать количество узлов и протяженность связей в очень широких пределах, при этом производительность сети не ухудшается.

Прозрачность – свойство сети скрывать от пользователя детали своего внутреннего устройства, упрощая тем самым его работу в сети.

Управляемость сети подразумевает возможность централизованно контролировать состояние основных элементов сети, выявлять и разрешать проблемы, возникающие при работе сети, выполнять анализ производительности и планировать развитие сети.

Совместимость означает, что сеть способна включать в себя самое разнообразное программное и аппаратное обеспечение.

— это способ описания конфигурации сети, схема расположения и соединения сетевых устройств. Топология сети позволяет увидеть всю ее структуру, сетевые устройства, входящие в сеть, и их связь между собой.

Выделяют несколько видов топологий: физическую, логическую, информационную и топологию управления обменом. В этой статье мы поговорим о физической топологии сети, которая описывает реальное расположение и связи между узлами локальной сети.

Выделяют несколько основных видов физических топологий сетей:

1. Шинная топология сети — топология, при которой все компьютеры сети подключаются к одному кабелю, который используется совместно всеми рабочими станциями. При такой топологии выход из строя одной машины не влияет на работу всей сети в целом. Недостаток же заключается в том, что при выходе из строя или обрыве шины нарушается работа всей сети.
2. Топология сети «Звезда» — топология, при которой все рабочие станции имеют непосредственное подключение к серверу, являющемуся центром "звезды". При такой схеме подключения, запрос от любого сетевого устройства направляется прямиком к серверу, где он обрабатывается с различной скоростью, зависящей от аппаратных возможностей центральной машины. Выход из строя центральной машины приводит к остановке всей сети. Выход же из строя любой другой машины на работу сети не влияет.
3. Кольцевая топология сети — схема, при которой все узлы соединены каналами связи в неразрывное кольцо (необязательно окружность), по которому передаются данные. Выход одного ПК соединяется с входом другого. Начав движение из одной точки, данные, в конечном счете, попадают на его начало. Данные в кольце всегда движутся в одном и том же направлении. Такая топология сети не требует установки дополнительного оборудования (сервера или хаба), но при выходе из строя одного компьютера останавливается и работа всей сети.
4. Ячеистая топология сети — топология, при которой каждая рабочая станция соединяется со всеми другими рабочими станциями этой же сети. Каждый компьютер имеет множество возможных путей соединения с другими компьютерами. Поэтому обрыв кабеля не приведет к потере соединения между двумя компьютерами. Эта топология сети допускает соединение большого количества компьютеров и характерна, как правило, для крупных сетей.
5. При смешанной топологии применяются сразу несколько видов соединения компьютеров между собой. Встречается она достаточно редко в особо крупных компаниях и организациях.

Для чего нужно знать виды топологий и все их минусы и плюсы? От схемы сети зависит состав оборудования и программного обеспечения. Топологию выбирают, исходя из потребностей предприятия. Кроме того, знание топологии сети позволяет оценивать ее слабые места, а также зависимость стабильности ее работы от отдельных составляющих, тщательнее планировать последующие подключения нового сетевого оборудования и ПК. В случае какого-то сбоя, отсутствия связи с каким-либо компьютером сети, на карте всегда можно посмотреть, где данное устройство располагается, на каком этаже, в каком офисе или помещении, на что, прежде всего, нужно обратить внимание и куда идти в первую очередь для устранения неисправности.

И тут мы подошли к одному из ключевых вопросов, интересующих всех системных администраторов, а именно: как нарисовать схему сети с минимальными затратами времени, сил и средств? Если сеть велика и состоит из десятков серверов, сотен компьютеров и еще множества других сетевых устройств (принтеров, свитчей и т.д.), даже опытному системному администратору (не говоря уже о новичке) очень сложно быстро разобраться во всех связях между сетевым оборудованием. О создании топологии сети вручную тут и речи быть не может. К счастью, современный рынок ПО предлагает специальные программы для автоматического исследования и построения схемы сети. Это позволяет системному администратору узнать, где и какое оборудование находится, не прибегая к ручному исследованию проводов.

Таким образом, даже если вы в компании новичок, и предыдущий сисадмин не горел большим желанием «сдавать» вам сеть по всем правилам, программы рисования топологии сети позволят вам быстро включиться в работу и начать ее с построения схемы вашей сети.

Термин «топология» характеризует физическое расположение компьютеров, кабелей и других компонентов сети.

Топология – это стандартный термин, который используется профессионалами при описании основной компоновки сети.

Кроме термина «топология», для описания физической компоновки употребляют также следующее:

Физическое расположение;

Компоновка;

Диаграмма;

Топология сети обуславливает ее характеристики. В частности выбор той или иной топологии влияет на:

состав необходимого сетевого оборудования;

характеристики сетевого оборудования;

возможности расширения сети;

способ управления сетью.

Чтобы совместно использовать ресурсы или выполнять другие сетевые задачи, компьютеры должны быть подключены друг к другу. Для этой цели в большинстве случаев используется кабель (реже – беспроводные сети – инфракрасное оборудование). Однако, просто подключить компьютер к кабелю, соединяющему другие компьютеры, недостаточно. Различные типы кабелей в сочетании с различными сетевыми платами, сетевыми операционными системами и другими компонентами требуют и различного взаиморасположения компьютеров.

Каждая топология сети налагает ряд условий. Например, она может диктовать не только тип кабеля, но и способ его прокладки.

Базовые топологии

• звезда (star)

  кольцо (ring)

Если компьютеры подключены вдоль одного кабеля, топология называется шиной. В том случае, когда компьютеры подключены к сегментам кабеля, исходящим из одной точки, или концентратора, топология называется звездой. Если кабель, к которому подключены компьютеры, замкнут в кольцо, такая топология носит название кольца.

Шина.

Топологию «шина» часто называют «линейной шиной» (linerbus). Данная топология относится к наиболее простым и широко распространенным топологиям. В ней используется один кабель, именуемый магистралью или сегментом, вдоль которого подключены все компьютеры сети.

В сети с топологией «шина» компьютеры адресуют данные конкретному компьютеру, передавая их по кабелю в виде электрических сигналов.

Данные в виде электрических сигналов передаются всем компьютерам в сети; однако информацию принимает тот, адрес которого соответствует адресу получателя, зашифрованному в этих сигналах. Причем в каждый момент времени, только один компьютер может вести передачу.

Так, как данные в сеть передаются только одним компьютером, ее производительность зависит от количества компьютеров, подключенных к шине. Чем их больше, тем медленнее работает сеть. Шина – пассивная топология. Это значит, что компьютеры только «слушают» передаваемые по сети данных, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных. В этой топологии данные распространяются по всей сети – от одного конца кабеля к другому. Если не предпринимать никаких действий, то сигналы, достигнув конца кабеля будут отражаться и это не позволит другим компьютерам осуществлять передачу. Поэтому, после того, как данные достигнут адресата, электрические сигналы необходимо погасить. Для этого на каждом конце кабеля в сети с топологией «шина» устанавливают терминаторы (terminators) (которые еще называют заглушками) для поглощения электрических сигналов.

Преимущества: отсутствие дополнительного активного оборудования (например повторителей) делает такие сети простыми и недорогими.

Схема линейной топологии локальной сети

Однако, недостаток линейной топологии заключается в ограничениях по размеру сети, ее функциональности и расширяемости.

Кольцо

При кольцеобразной топологии каждая рабочая станция соединяется с двумя ближайшими соседями. Такая взаимосвязь образует локальную сеть в виде петли или кольца. Данные передаются по кругу в одном направлении, а каждая станция играет роль повторителя, который принимает и отвечает на адресованные ему пакеты и передает другие пакеты следующей рабочей станции «вниз». В оригинальной кольцеобразной сети все объекты подключались друг к другу. Такое подключение должно было быть замкнутым. В отличии от пассивной топологии «шина», здесь каждый компьютер выступает в роли репитора, усиливая сигналы и передавая их следующему компьютеру. Преимущество такой топологии было предсказуемое время реагирования сети. Чем больше устройств находилось в кольце, тем дольше сеть реагировала на запросы. Наиболее существенный ее недостаток заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного устройства отказывалась функционировать вся сеть.

Один из принципов передачи данных по кольцу носит название передачи маркера. Суть его такова. Маркер последовательно, от одного компьютера к другому, передается до тех пор, пока его не получит тот, который хочет передать данные. Передающий компьютер изменяет маркер, помещает электронный адрес в данные и посылает их по кольцу.

Такую топологию можно улучшить, подключив все сетевые устройства через концентратор (Hub устройство, соединяющие другие устройства). Визуально «подправленное кольцо физически кольцом уже не является, но в подобной сети данные все равно передаются по кругу.

На рисунке сплошными линиями обозначены физические соединения, а пунктирными – направления передачи данных. Таким образом, подобная сеть имеет логическую кольцевидную топологию, тогда как физически представляет собой звезду.

Звезда

При топологии «звезда» все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному компоненту, имеющему концентратор. Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем остальным. В сетях с топологией «звезда» подключение кабеля и управление конфигурацией сети централизованы. Но есть и недостаток: так как все компьютеры подключены к центральной точке, для больших сетей значительно увеличивается расход кабеля. К тому же если центральный компонент выйдет из строя, нарушится работа всей сети.

Преимущество: если нарушится работа в одном компьютере или выйдет из строя кабель, соединяющий один компьютер, то только этот компьютер не сможет получать и передавать сигналы. На остальные компьютеры в сети это не повлияет. Общая скорость работы сети ограничивается только пропускной способностью концентратора.

Звездообразная топология является доминирующей в современных локальных сетях. Такие сети довольно гибкие, легко расширяемые и относительно недорогие по сравнению с более сложными сетями, в которых строго фиксируются методы доступа устройств к сети. Таким образом, «звезды» вытеснили устаревшие и редко используемые линейные и кольцеобразные топологии. Более того, они стали переходным звеном к последнему виду топологии – коммутируемой звезд е.

Коммутатор – это многопортовое активное сетевое устройство. Коммутатор «запоминает» аппаратные (или MAC–MediaAccessControl) адреса подключенных к нему устройств и создает временные пути от отправителя к получателю, по которым и передаются данные. В обычной локальной сети с коммутироуемой топологией предусмотрено несколько соединений с коммутатором. Каждый порт и устройство, которое к нему подключено, имеет свою собственную пропускную способность (скорость передачи данных).

Коммутаторы могут значительно улучшить производительность сетей. Во-первых, они увеличивают общую пропускную способность, которая доступна для данной сети. Например в 8-ми потровом коммутаторе может быть 8 отдельных соединений, поддерживающих скорость до 10 Мбит/с каждое. Соответственно пропускная способность такого устройства – 80Мбит/с. Прежде всего коммутаторы увеличивают производительность сети, уменьшая количество устройств, которые могут заполнить всю пропускную способность одного сегмента. В одном таком сегменте содержится только два устройства: сетевое устройство рабочей станции и порт коммутатора. Таким образом за полосу пропускания в 10 Мбит/с могут «соперничать» всего два устройства, а не восемь (при сипользовании обыкновенного 8-портового концентратора, который не предусматривает такого разделения полосы пропускания на сегменты).

В заключении следует сказать что различают топологию физических связей (физическая структура сети) и топологию логических связей (логическую структуру сети)

Конфигурация физических связей определяется электрическими соединениями компьютеров и может быть представлена в виде графа, узлами которого являются компьютеры и коммуникационное оборудование, а ребра соответствуют отрезкам кабеля, связывающим пары узлов.

Логические связи представляют собой пути прохождения информационных потоков по сети, они образуются путем соответствующей настройки коммуникационного оборудования.

В некоторых случаях физическая и логическая топологии совпадают, а иногда не совпадают.

Сеть показанная на рисунке являет собой пример несовпадения физической и логической топологии. Физически компьютеры соединены по топологии общая шина. Доступ же к шине происходит не по алгоритму случайного доступа, а путем передачи токена (маркер) в кольцевом порядке: от компьютера А – компьютеру В, от компьютера В – компьютеру С и т.д. Здесь порядок передачи токена уже не повторяет физические связи, а определяется логическим конфигурированием сетевых адаптеров. Ничто не мешает настроить сетевые адаптеры и их драйверы так, чтобы компьютеры образовали кольцо в другом порядке, например В, А, С… При этом физическая структура не меняется.

Беспроводные сети.

Словосочетание «беспроводная среда» может ввести в заблуждение, поскольку означает полное отсутствие проводов в сети. В действительности же обычно беспроводные компоненты взаимодействуют с сетью, в которой – как среда передачи – используется кабель. Такая сеть со смешанными компонентами называется гибридной.

В зависимости от технологии беспроводные сети можно разделить на три типа:

локальные вычислительные сети;

расширенные локальные вычислительные сети;

мобильные сети (переносные компьютеры).

Способы передачи:

инфракрасное излучение;

• радиопередача в узком спектре (одночастотнная передача);

  радиопередача в рассеянном спектре.

Кроме этих способов передачи и получения данных можно использовать мобильные сети, пакетное радио соединение, сотовые сети и микроволновые системы передачи данных.

В настоящее время офисная сеть – это не просто соединение компьютеров между собой. Современный офис сложно представить без баз данных в которых хранится как финансовая отчётность предприятия, так и информация по кадрам. В крупных сетях, как правило, в целях безопасности баз данных, и для увеличения скорости доступа к ним используются отдельные сервера для хранения баз данных. Также сейчас современный офис сложно представить без доступа в сеть Интернет. Вариант схемы беспроводной сети офиса изображён на рисунке

Итак сделаем вывод: будущую сеть необходимо тщательно спланировать. Для этого следует ответить на следующие вопросы:

Для чего вам нужна сеть?

Сколько пользователей будет в вашей сети?

Как быстро сеть будет расширяться?

Нужен ли для данной сети выход в Интернет?

Необходимо ли централизованное управление пользователями сети?

После этого нарисуйте на бумаге приблизительную схему сети. Следует не забывать о стоимости сети.

Как мы с вами определили, топология является важнейшим фактором улучшения общей производительности сети. Базовые топологии могут применяться в любой комбинации. Важно понимать, что сильные и слабые стороны каждой топологии влияют на желаемую производительность сети и зависят от существующих технологий. Необходимо добиться равновесия между реальным расположением сети (например, в нескольких зданиях), возможностями использования кабеля, путями его прокладки и даже его типом.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

топология

топологии, мн. нет, ж. (от греч. topos - место и logos - учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.).

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

топология

ж. Раздел математики, изучающий качественные свойства геометрических фигур, не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и т.п.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

топология

ТОПОЛОГИЯ (от греч. topos - место и... логия) раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

Топология

(от греч. tоpos ≈ место и ¼ логия) ≈ часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных. I. Общая топология Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике. Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Æ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством. В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x Î X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A Ì X называют замкнутым, если его дополнение Х \ А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то А называют всюду плотным в Х и т.д. По определению, Æ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное ≈ из нескольких. Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства ═является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т. Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств ═произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в ═могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в, например, сфер могут быть очень сложно устроенными). Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии ≈бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне ≈ Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество ═компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение. Открытое покрытие {Vb} называют вписанным в покрытие {Ua}, если для любого b существует a такое, что Vb Ì Ua. Покрытие {Vb} называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X, совпадает с Т., заданной в X. Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim = n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства X, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности ≈ наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п. Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T2, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет. Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x0 ═Х и любого не содержащего её замкнутого множества F ═Х существовала непрерывная функция g: Х ╝ , равная нулю в x0 и единице на F. Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из ═≈ сфера S n). Отображение f: X ╝ Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V Ì Y множество f≈1(V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f≈1: Y ╝ X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х ╝ Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки). Пусть {Хa} ≈ произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {хa}, где xa ═Xa (прямое произведение множеств Xa). Для любого a формула определяет некоторое отображение ═(называется проекцией). Вообще говоря, в Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения pa непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Хa и обозначается символом ПХa (а в случае конечного числа сомножителей ≈ символом X1 ` ... ` Xn). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида, где Ua открыто в Xa. Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений fa: Y ╝ Xa существует единственное непрерывное отображение f: Y ╝ X, для которого ══при всех a. Пространство ═является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно. Если Х ≈ топологическое пространство, а Y ≈ произвольное множество и если задано отображение p: X ╝ Y пространства Х на множество Y (например, если Y является фактормножеством Х по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом х Î Х его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества V Ì Y, для которых множество f‑1(V) Ì Х открыто в X. Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства Х (по отношению к p). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение f: Y ╝ Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение ═: X ╝ Z. Непрерывное отображение p: X ╝ Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение p: X ╝ Y называется открытым, если для любого открытого множества U Ì Х множество p(U) открыто в Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества F Ì Х множество p(F) замкнуто в Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения f: Х ╝ Y, для которых f(X) = Y, являются факторными. Пусть Х ≈ топологическое пространство, А ≈ его подпространство и f: A ╝ Y ≈ непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Х и Y непересекающимися, введём в их объединении Х È Y топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Х и Y. Далее, введём в пространстве Х È Y наименьшее отношение эквивалентности, в котором a ~ f(a) для любой точки a Î А. Соответствующее факторпространство обозначается символом X È fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Х к топологическому пространству Y по А посредством непрерывного отображения f. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство Х È fY обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из Х стягиванием А в точку. Например, если Х ≈ диск, а А ≈ его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере. 2. Равномерная топология Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали. Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение AdB), если для любого e > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Алгебраическая топология Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f: X ╝ Y ≈ некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) ╝ h(Y) (или h(f) : h(Y) ╝ h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f1 ═f2) = h(f1) ═h(f2) (или, соответственно, h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f: A ╝ Y подпространства A Ì Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g: X ╝ Y, совпадающее на A с f, то есть такое, что f = g×i, где i: А ╝ Х ≈ отображение вложения (i(a) = а для любой точки а Î A). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (j: h(X) ╝ h(Y) (гомоморфизм j: h(Y) ╝ h(X)), что h(f) = j ═h(i) (соответственно h(f) = h(i) ═j); им будет гомоморфизм j = h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения g. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h, значение которого на шаре E n является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S n≈1 ≈ нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции ≈ непрерывного отображения р: E n╝ S n≈1, неподвижного на S n≈1, то есть такого, что композиция р×i, где i: S n‑1 ╝ E n ≈ отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S n≈1) будет композицией отображений h(i) : h(S n≈1) ╝ h(E n) и h(p) : h(E n) ╝ h(S n≈1), что при тривиальной группе h(E n) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f: E n╝ E n имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E n хотя бы одно решение (если f(x) ¹ x для всех х Î E n, то, приняв за р(х) точку из S n≈1, коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х, получим ретракцию р: E n╝ S n≈1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений. Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (j тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X). Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры. Топологическое пространство Х называется клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X 0 Ì ¼ Ì X n≈1 Ì X n Ì ¼ (называется остовами клеточного пространства X), объединением которых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество U Ì X тогда и только тогда открыто в X, когда для любого n множество U Ç X n открыто в X n; 2) X n получается из X n≈1 приклеиванием некоторого семейства n-мepных шаров по их граничным (n≈1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X n≈1); 3) X0 состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа полиэдров, см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров). Два непрерывных отображения f, g: X ╝ Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений ft: X ╝ Y, непрерывно зависящих от параметра t Î , что f0= f и f1 = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = ft(x), х Î X, t Î определяет непрерывное отображение F: Х ` ╝ Y; это отображение, а также семейство {ft } называют гомотопией, связывающей f с g). Совокупность всех непрерывных отображений X ╝ Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Х в Y обозначается символом . Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Х и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f: Х ╝ Y и g: Y ╝ Х, что непрерывные отображения g×f: Х ╝ Х и f×g: Y ╝ Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают). Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f: A ╝ Y; точнее, если для f распространение g: Х ╝ Y существует, то для любой гомотопии ft: A ╝ Y (с f0 = f) существует распространение gt: Х ╝ Y такое, что g0 = g. Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, то есть такие, что h(f0) = h(f1), если отображения f0 и f1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину. Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = и h(f) = , где f: X1 ╝ X2 и j: X2 ╝ Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y. Это ≈ стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x0 и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x0 в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н-пространствами. Таким образом, каждое Н-пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = , значениями которого являются группы. Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = , h(f) = , где f: X1 ╝ X2 и j: Y ╝ X1, некоторый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н-пространствами. Примером ко-Н-пространства является n-мepная сфера S n (при n ³ 1). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула pnX = определяет некоторую группу pnX, n ³ 1, которая называется n-й гомотопической группой пространства X. При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа pnX коммутативна. Если p1X= {1}, то Х называется односвязным. Клеточное пространство Х называется пространством K(G, n), если pi(X) = 0 при i ¹ n и pnX = G; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K(G, n) оказывается Н-пространством и потому представляет некоторую группу H n(X; G) = . Эта группа называется n-мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К-функтор KO(X) = [Х, BO], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO, группы ориентированных кобордизмов WnX и т.п. Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H n(X; G) является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Zp, где Zp ≈ циклическая группа порядка р) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры p, называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H n(X; G), а с другой ≈ установить связи между группами H n(X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами pnX), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы. Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий Hn(X; G), являющиеся гомотопическими группами pnM(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий. Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий. 4. Кусочно-линейная топология Подмножество Р Î ═называется конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab, где b Î В. Подмножество Х Î ═называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f: X ╝ Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х Î X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны. Подмножество Х Î ═тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом: а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C n(K; G); б) выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса s вершину с номером i, 0 £ i £ n, получим упорядоченный (n≈1)-мерный симплекс, который обозначается символом s(i); цепь ═называется границей s; по линейности отображение ═распространяется до гомоморфизма ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); в) цепи с, для которых ═= 0, называются циклами, они составляют группу циклов Zn(K; G); г) цепи вида ═называются границами, они составляют группу границ Bn(K; G); д) доказывается, что Bn(K; G) Ì Zn(K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G). Оказывается, что группа Hn(K; G) изоморфна группе гомологий Hn(X; G) полиэдра X, триангуляцией которого является К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомологий. С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре. Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией). Произвольному открытому покрытию {Ua} каждого топологического пространства Х можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы Ua покрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Х и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т. 5. Топология многообразий Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству. В этой окрестности точки задаются n числами x1, ┘, xn, называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в, называются гомеоморфизмом перехода. Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из ═называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, ≈ s-гомеоморфизмом. Пусть a = t, p или s. Топологическое многообразие называется a-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются a-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт a-структуру на топологическом многообразии X. Таким образом, t-многообразие ≈ это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. a-отображением a-многообразия называются называется при a = t произвольное непрерывное отображение, при a = s ≈ произвольное кусочно-линейное отображение, при a = s ≈ произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное a-отображение, обратное к которому также является a-отображением, называется a-гомеоморфизмом (при a = s также диффеоморфизмом), a-многообразия Х и Y называются a-гомеоморфными (при a = s ≈ диффеоморфными), если существует хотя бы один a-гомеоморфизм X ╝ Y. Предметом теории a-многообразий является изучение a-многообразий и их a-отображений; при этом a-гомеоморфные a-многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т. Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой ≈ резко стимулировала развитие самой алгебраической Т. Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в, не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N ³ 2n + 1). Аналогичный результат верен и при a = t, p. Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое a-многообразие, где a = p или s, является a▓-многообразием, где a▓ = t или p. Ответ на обратный вопрос: на каких a▓-многообразиях можно ввести a-структуру (такое a▓-многообразие при a▓ = p называется сглаживаемым, а при a▓ = t ≈триангулируемым), а если можно, то сколько? ≈ зависит от размерности n. Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S1 (компактное многообразие) и прямая линия ═(некомпактное многообразие). Для любого a = p, s на t-многообразиях S1 и ═существует единственная a-структура. Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная a-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S2 и тор T2. Пусть Х и Y ≈ два связных n-мерных a-многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 ≈ диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 ≈ окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим a-многообразие. Оно называется связной суммой a-многообразий Х и Y и обозначается X#Y. Например, T2#T2 имеет вид кренделя. Сфера S n является нулём этого сложения, то естьS n#X = Х для любого X. В частности, S2#T2= T2. Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S2#T2#┘#T2, число p слагаемых T2 называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме P2# ¼ #P2 некоторого числа проективных плоскостей P2. Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов. На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом a = p, s также существует единственная a-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S 3). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S 3. Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности a-структур (a = p, s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно. Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ³ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в; и касательные векторы к Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение p: Е ╝ Х, что для каждой точки х Î Х прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {Ua} пространства X, что для любого a прообраз p≈1(Ua) гомеоморфен произведению Ua ` , причём существует гомеоморфизм p≈1(Ua) ╝ Ua ` , линейно отображающий каждый слой p≈1(x), x Î Ua, на векторное пространство {х} ` . При Е = TX непрерывное отображение p сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем p≈1(x) будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого a. При a = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при a = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое a-многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х), KPL(X) или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его a-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), и оказывается, что на n-мерном (n ³ 5) компактном и связном a"-многообразии X, где a" = t, p, тогда и только тогда можно ввести a-структуру (a = р, если a" = t, и a = s, если a" = p), когда его a"-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы . Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества , где Ya ≈ некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при a = s топологическое пространство Ya обозначается обычно символом PL/O, а при a = p ≈ символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности a-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что pi(PL/O) = 0 при i £ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n £ 7 сглаживаемо, а при n £ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K(ℤ2, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H 3(X, ℤ2). Такие структуры заведомо существуют, если H 4(X, ℤ2) = 0, но при H 4(X, ℤ2) ¹ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать. В частности, на сфере S n существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S n может быть много, например, на S 7 существует 28 различных гладких структур. На торе T n (топологических произведении n экземпляров окружности S 1) существует при n ³ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7. Задачу описания (с точностью до a-гомеоморфизма) всех n-мерpных (n ³ 5) связных компактных a-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности a-многообразий и условия a-гомеоморфности гомотопически эквивалентных a-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных a-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n-мерных (n ³ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей). Наряду с a-многообразиями можно рассматривать так называемые a-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) a-гомеоморфны полупространству Xn ³ 0 пространства. Край является (n≈1)-мерным a-многообразием (вообще говоря, несвязным). Два n-мерных компактных a-многообразия Х и Y называются (ко) бордантными, если существует такое (n+1)-мерное компактное a-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, a-гомеоморфных Х и У. Если отображения вложения X ╝ W и Y ╝ W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называются h-кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ³ 5 односвязные компактные a-многоооразия a-гомеоморфны, если они h-кобордантны. Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления a-гомеоморфности a-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных a-многообразий. Совокупность ═классов кобордантных компактных a-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс a-многообразий, являющихся краями, то есть кобордантных нулю. Оказывается, что эта группа при a = s изоморфна гомотопической группе p2n+1MO (n+1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO (n+1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при a = p, t. Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу. В частности, оказывается, что группа ═является прямой суммой групп ℤ2 в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2m≈

Например, = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив, ═= ℤ2, так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость P

М. М. Постников.

6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18≈19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое ≈ М. Фреше, топологическое ≈ Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун ≈ чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).

Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).

Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т. Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора (М. Атья, Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии (Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).

Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.

А. А. Мальцев.

═Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.≈Л., 1948; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.≈Л., 1947; его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Милнор Дж., Уоллес А, Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М., 1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.≈Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарев В. И, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975; Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1≈2, М., 1966≈69; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

Топология (значения)

Топология :

• Топология - раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности.
• Топология - система множеств, использующаяся в определении топологического пространства.
• Сетевая топология - схема расположения и соединения сетевых устройств.

Примеры употребления слова топология в литературе.

Понтрягина, усилиями которых был создан новый раздел математики - топологическая алгебра, - изучающий различные алгебраические структуры, наделенные топологией .

И нельзя понять гистологии без гидрологии, гидрологии без геологии, геологии без географии, географии без топографии, топографии без топологии и все вместе без омнеологии, а омнеологии - без таблиц.

Мы не поняли гистологии, Мы не поняли гидрологии, гидрографии, географии, топографии, топологии .

Вообще, этот подход подразумевает документирование сетевой топологии , прикладных программ и используемых протоколов.

Так он продолжал, употребляя все более замысловатые термины, ссылаясь на топологию духа и геометрию осознаний и озарений, излагая элементы эндоскопической онтографии, климатизации эмоциональной жизни, ее уровней, экстремумов, подъемов, спадов, а также упадков духа, и болтал так долго, что охрип, а у короля разболелась голова.

Карты топологии маршрутизации почты полезны для решения проблем с передачей почты между серверами.

Аналогично, мы надеемся увидеть библиотеку разрешителя на более высоком уровне, сортирующую ответы на основе информации о топологии , существующей только на клиентском хосте.

Это означает, что сетевая топология и сегментация становится важным фактором защиты.

Ведь, в сущности, любая теория сводится к топологии образов, а любая онтология - это не более как дедуктивный комплекс универсальных образов, индуктивно привязанных к эмпирической реальности.

Чтобы создать топологию удаленных серверов, сначала определяют базы данных, к которым рабочие станции и сервера будут иметь доступ наиболее часто.

А именно - в континумальном мире топология его внутренних связей позволяет конституировать среду, в которой интерсубъективность становится функцией распределения рацональностей внутри нее.

То есть, согласно объективистской топологии корпускулярного мира проблема интерсубъективности решается в нем с помощью интерсубстанциального посредника.

Речь идет о неких топологиях пространств, проваливающихся друг в друга, выворачивающихся друг в друга, подобно тому как предстают в разных аспектах или чередуются буквы в монограмме окна.

Однако в маленьких организациях, эта топология гарантирует быстрое обновление данных.

Поскольку Вы планируете топологию , Вы должны рассмотреть и топологию движения почты и репликаций.