Технология многомерных баз данных. Многомерные системы с потерями. Обобщенные процессы обслуживания нагрузки

© 2005 г. А. И. Саичев*, С. Г. Уткин*

ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТ АНОМАЛЬНОЙ К ЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

Рассматриваются многомерные процессы "квазианомальных" случайных блужданий, имеющие линейно-диффузионную асимптотику на больших временах и подчиняющиеся аномально-диффузионным закономерностям на промежуточных (также достаточно больших относительно микроскопических масштабов) временах. Демонстрируется переход скачкообразного процесса от аномальной к линейной диффузии. С помощью численного счета подтверждается справедливость аналитических расчетов для двумерного и трехмерного случаев. , .....

Ключевые слова: аномальная субдиффузия, аномальная супердиффузия, уравнения в частных дробных производных, промежутоная асимптотика, квазианомальные случайные блуждания.

1. ВВЕДЕНИЕ

Главным признаком аномальной диффузии служит нелинейный рост среднего квадрата случайного процесса со временем: >г: V» „

характерный, например, для таких физических явлений, как турбулентная диффузия , хаотическая динамика гамильтоновых систем , , перенос заряда в аморфных полупроводниках и др. Динамика подобных явлений адекватно моделируется скачкообразными случайными процессами с теми или иными распределениями / (г) интервалов между скачками и распределениями w(x) величины скачков.

Известно также, что аномальная диффузия возникает из-за нарушения центральной предельной теоремы (ЦПТ) или закона больших чисел (ЗБЧ) (см., например, ). В свою очередь, неприменимость ЗБЧ обусловлена бесконечностью первых моментов времени ожидания скачков, а нарушение ЦПТ связано с бесконечностью вторых моментов скачков. Эти обстоятельства служат объектом критики теории аномальной диффузии со стороны физиков, справедливо замечающих, что для большинства физических явлений указанные моменты ограничены.

"Нижегородский государственный университет, Нижний Новгород, Россия. E-mail: [email protected]; [email protected]

Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.

456 А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН;

Целью данной работы является демонстрация того факта, что аномальная субдиффузия может возникать и в "классическом случае", когда ЗБЧ и ЦПТ справедливы. А именно, наряду с детально исследованными "чисто" аномальными диффузионными процессами существуют и "квазианомальные" случайные процессы, подчиняющиеся законам линейной диффузии на очень больших временах и пространственных масштабах, а на "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные аномально-диффузионные асимптотики. Данная работа посвящена анализу именно таких квазианомальных случайных процессов в пространствах разной размерности. Обнаружено, в частности, что, в отличие от классической многомерной диффузии, случайные координаты аномально-диффузионного скачкообразного процесса статистически зависимы даже при независимых компонентах векторов случайных скачков.

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ

Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению чч-.

*-----. < к 1

Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков т~к = tk - ifc-i и сами случайные скачки hk взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x), соответственно. Очевидно, что

где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени n-го скачка Т(п):

t = T(n) = ] " "

Используя очевидное соотношение эквивалентности для этих функций ~ !! N(t)^n T{n)

и разбиение единицы - м. .„ >».. л ■ >.

1= ^IIn(z) = ^, z>0, "У ■

где x(z) - функция ступеньки, выведем уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса X (f):

©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /ехр (ш £ hk) V п=0 ^ ^ fc=1 " "

Цена 18 дуб. Переплет Í р.

■го) аномальная субдиф-и ЦПТ справедливы. А ми диффузионными про-л, подчиняющиеся зако-анственных масштабах, ьные аномально-диффу-но таких квазианомаль-1. Обнаружено, в част-I, случайные координа-гически зависимы даже

шяющиися простеише-

1лы ожидания скачков а также имеют одина-)

1ени п-го скачка Т(п):

г > О, ^ " ической функции рас-

ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ. ..

Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию:

Найденное выражение для лаплас-образа 0(u; s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса . Здесь f(s) -лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что Q(u; s) подчиняется уравнению

0(u;s) - w(u)Q(u;s) =

........... ÎM (2-2)

Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить (в зависимости от вида распределений /(г) и w(x)) как классическое уравнение Колмогоро-ва-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии.

3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЛУЖДАНИЙ X(t)

Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей W(x; t) зависит от вида распределений /(г) и tu (ж), а точнее - от их лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W(x; t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения/(г) с лаплас-образом

V "I + sp " >

где S - малый параметр. Все моменты /(г) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение - (отвечающее значению 6 = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Рассмотрим случай, когда параметр 6 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/(5 достаточно велик. Тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии. Вначале, на временах t 1, поведение процесса зависит от тонкой структуры распределений / (г) ию(х) ияе отражает универсальных законов диффузии. Далее, на временах между 1 и 1/6, за счет медленно спадающих степенных хвостов распределения /(т) процесс подчиняется аномально-диффузионным законам. Затем, при t 3> 1/6, процесс подчиняется нормальному линейно-диффузионному закону благодаря экспоненциально убывающим при т 1/6 хвостам распределения /(г).

Подставим f(s) (3.1) в уравнение (2.2) и обсудим его асимптотику при s 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах.

Применительно к лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s оо, а также случай 6 s 1, ответственный за "промежуточный" режим 1

Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.

и (2.2) примет вид

А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН

в ©(«;«) + - ш(«)]в(«; 5) = 1,

а во втором/(в) ~ 1 - (1 + 8$) и, соответственно,

«"§(«; э) + (1 + - й(«)]в(и; «) = в"-1.

Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера

> + [цг{х.^ _ * Ц*)] = < оо,

или к обобщенному уравнению Колмогорова-Феллера

А+б0)т*м) - ж{х-л)*ю(,х)} = 1«*«

характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а2 по всем осям. Тогда из приведенных выше уравнений вытекают соответственно уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик:

е- л ".(< "■

т? 2ч* "" ч"#""" " г(1 -0)

Решение первого из них хорошо известно:

хШх), !«*<-. (3.3)

* " И" (х О- (1 + 1 + -

где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе.

Для того ч в п-мерном щ

компонентам ного аргуме! /3-устойчиво

Многомерна таг-Леффле

Таким обрг диффузии

где , причем .

Задачу цифрового моделирования многомерного нормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами.

Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра.

Мерный линейный фильтр определяется как линейная динамическая система с входами и выходами . Если - входное воздействие и - реакция системы, то связь между входом и выходом -мерного линейного непрерывного фильтра описывается с помощью передаточной матрицы в виде

где и - изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа; - передаточная матрица -мерного фильтра, у которой элементы являются передаточными функциями каналов -й вход - -й выход.

Аналогично описывается связь вход - выход в дискретных -мерных линейных фильтрах:

,

где и - изображения в смысле дискретного преобразования Лапласа входного и выходного сигналов; - передаточная матрица дискретного -мерного фильтра.

Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому

(2.107)

Видим, что каждый из выходных сигналов и является суммой линейных операторов от входных сигналов и . Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае. В этом и состоит идентификация передаточных матриц .

Пусть воздействие на входе -мерного линейного фильтра представляет собой -мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида

для непрерывного времени и

для дискретного времени, где - дельта-функция. -мерный белый шум определен здесь как совокупность независимых между собой -коррелированных случайных процессов.

Можно показать (см., например, ), что при воздействии белого шума спектральная матрица процесса на выходе - мерного фильтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей фильтра соотношениями

(2.108)

где символом обозначена транспонированная матрица.

Следовательно, для получения -мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно пропустить -мерный белый шум через -мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.108). Для нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбиение последней на два сомножителя вида (2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам .

Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая случайного процесса на выходе -мерного фильтра с передаточной матрицей получается путем суммирования по составляющих входного процесса , профильтрованных одномерными фильтрами с передаточными функциями [см. формулу (2.107)]. Алгоритмы одномерной фильтрации рассмотрены выше.

При данном способе моделирования возможны два пути: 1) заданную спектральную матрицу непрерывного -мерного случайного процесса можно непосредственно подвергнуть факторизации для получения передаточной матрицы непрерывного формирующего фильтра, а затем, используя описанные выше точные или приближенные методы дискретизации непрерывных, фильтров, осуществить многомерную фильтрацию непрерывного белого шума; 2) по заданной спектральной матрице непрерывного -мерного процесса , используя -преобразование, можно найти спектральную матрицу соответствующего дискретного случайного процесса (см. § 2.3), далее путем факторизации найти передаточную, функцию дискретного формирующего фильтра, а затем произвести многомерную фильтрацию дискретного белого шума.

Наибольшие трудности встречаются при факторизации спектральных матриц. В настоящее время разработаны алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы которых являются дробно-рациональными функциями аргументов или .

Опишем, опуская доказательства, один из алгоритмов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из .

Пусть задана рациональная спектральная матрица

.

Матрица может быть приведена к виду

путем следующих преобразований.

1. Определяется ранг матрицы , затем один из главных миноров порядка располагается в левом верхнем углу матрицы .

2. Матрица приводится к диагональному виду. Для этого к -й строке матрицы , , прибавляется первая строка, умноженная на - , затем к -му столбцу прибавляется первый столбец, умноженный на ; получается матрица

, (2.109)

где элементы матрицы

имеют вид

(2.110)

С матрицей проделываются те же преобразования, что с исходной матрицей . При продолжении этого процесса на -м шаге получается диагональная матрица

такая, что .

3. Находится вспомогательная матрица

элементы которой имеют следующий вид:

(2.111)

где определяются из рекуррентных соотношений

(2.112)

4. Находятся вспомогательные полиномы

где - нули полиномов , лежащих в нижней полуплоскости, считаемые столько раз, какова их максимальная кратность, причем - знаменатели дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы :

.

5. По способу, рассмотренному в § 2.9, п. 2, дробно-рациональные функции

представляются в виде

,

где полиномы и не имеют нулей в нижней полуплоскости.

На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде

(2.113)

Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных процессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге.

Пример 1. Пусть задан двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс с корреляционной матрицей

, (2.114)

где - некоторые положительные константы, причем .

Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.114), имеет вид

, (2.115)

где и - автокорреляционные и взаимно корреляционный моменты процессов и соответственно; - коэффициент взаимной корреляции процессов и совпадающие моменты времени. Коэффициенты и представляют собой в данном случае ширину (на уровне 0,5) энергетических спектров и взаимного энергетического спектра процессов и .

Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.114) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра.

Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным выше алгоритмом факторизации.

1. В данном случае ранг спектральной матрицы .

2. Для приведения матрицы к диагональной требуется один шаг. По формулам (2.109) и (2.110) получаем

.

3. В соответствии с выражениями (2.111) и (2.112) вспомогательная матрица имеет вид

4. В рассматриваемом случае нужно найти лишь один вспомогательный полином . Для этого требуется найти корни знаменателя у элемента матрицы , т. е. корни полинома . Эти корни равны

Следовательно,

.

5. На заключительном этапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций

В данном случае корни числителей и знаменателей у дробно-рациональных функций и легко вычисляются. Используя корни, лежащие в верхней полуплоскости (корни с положительными мнимыми частями), получим и к переменной :

.

На рис. 2.9 показана структурная схема двумерного формирующего фильтра, на выходе которого образуется двумерный случайный процесс с требуемыми спектральными характеристиками, если на вход фильтра воздействует белый шум. Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т. е. дискретных реализаций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоненциальными авто- и взаимно корреляционными функциями вида (2.115).

При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретного многомерного случайного процесса . В рассматриваемом примере эта матрица имеет вид

И матрицы (2.116).

Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. При факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение.

В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений - й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на ЦВМ как стандартную программу. Для этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации .

Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки.

В предыдущей секции мы рассматривали двухмерную диаграмму переходов состояний. Для увеличивающегося числа потоков нагрузки число состояний (и следовательно уравнений) увеличивается очень быстро. Однако, можно упростить проблему, используя структуру диаграммы переходов состояний. Рассмотрим двухмерную диаграмму переходов состояний, показанную в рис. 10.2. Для четырех соседних состояний поток в направлении по часовой стрелке должен равняться потоку в противоположном направлении (Kingman, 1969 ), (Sutton, 1980 ). Взглянем на рис. 10.2.

Рис. 10.2.

По часовой стрелке :

Против часовой стрелки :

Мы можем сократить оба выражения на вероятности состояния и затем получить условие (10.12). Необходимое и достаточное условие для обратимости - что следующие два выражения являются равными.

По часовой стрелке :

Против часовой стрелки :

Если эти два выражения равны, то имеется локальное или частичное равновесие . Таким образом, необходимым условием для обратимости является то, что если есть поток (стрелка) от состояния i к состоянию j , тогда должен также быть поток (стрелка) от состояния j до состояния i . Мы можем применить уравнения сечения между любыми двумя подключенными состояниями. Итак, из рисунка 10.2 мы получаем:

Мы можем выразить любую вероятность состояния с помощью вероятности состояния , выбирая любой путь между этими двумя состояниями (критерии Колмогорова ). Мы можем, например, выбрать путь :

Тогда получаем следующее уравнение равновесия:

Если мы рассматриваем многомерную систему с потерями, имеющую N потоков нагрузки, то любым потоком нагрузки может быть зависимый от состояния Пуассоновский процесс. В конкретном потоке могут быть нагрузки типа BPP (Бернулли, Пуассон, Паскаль ). Для N - мерных систем условия обратимости аналогичны (10.12). Критерий Колмогорова должен выполняться для всех возможных путей. Практически, мы не испытываем никаких проблем, потому что решение, полученное согласно предположению об обратимости, будет правильным решением тогда и только тогда, когда выполнены уравнения равновесия узла. В следующей секции мы используем это как основание , чтобы ввести общую многомерную модель нагрузки.

Многомерные Системы с потерями

В этой секции мы рассматриваем обобщения классической теории телетрафика для систем, которые состоят из нескольких типов потоков нагрузки, поступающих на единственный канал или группу каналов или пучков каналов. Каждый поток нагрузки может иметь отдельные параметры и может быть зависимыми от состояния Пуассоновскими потоками вызовов с ограниченными классами и мультислотовым трафиком. Этот общий класс моделей нечувствителен к распределению времени пребывания в системе, которое может быть классом. Мы вводим обобщения по одному и представляем маленькое социологическое исследование, чтобы проиллюстрировать основные идеи.

Ограничение класса

По сравнению со случаем, который рассматривают в секции 10.1, мы теперь ограничим число одновременных запросов для каждого потока нагрузки (класса). Таким образом, не будет полной доступности, но в отличие от систем перегрузки, где физически существует доступ только к заданным каналам, теперь возможно использование всех каналов, но в любой момент мы можем занять только ограниченное их число. Это обеспечивает сервисная защита (защита числа виртуальных каналов = ограничение на класс обслуживания = приоритетная пороговая стратегия). Таким образом, мы вводим ограничения числа одновременных вызовов в классе j следующим образом:

Если последнее ограничение не выполнено, то мы получаем отдельные группы, соответствующие N обычным независимым одномерным системам с потерями . Из-за ограничений диаграмма переходов состояний усечена. Для двух потоков нагрузки она показана на рис.10.3 .

Заметим, что усеченная диаграмма переходов состояний все еще является обратимой и что значение относительно значения при усечении не изменяется. Изменяется только нормировочная константа. Фактически, из-за локального свойства равновесия мы можем удалить любое состояние, не изменяя вышеупомянутые свойства. Можно рассмотреть больше общих ограничений класса к наборам потоков нагрузки так, чтобы любой поток нагрузки имел минимум (гарантируемый) числа распределенных каналов.

Обобщенные процессы обслуживания нагрузки

Мы можем рассматривать PCT -I нагрузку только как в секции 10.1. Каждый поток нагрузки может быть зависимым от состояния, например, Пуассоновский поток вызовов с линейной зависимостью от состояния и своей скоростью выхода из системы (гибели), см. (10.16) и (10.17)

Система удовлетворяет условиям обратимости, см. (10.12). Таким образом, форма произведения также существует для BPP -потоков нагрузки и более общих Пуассоновских процессов, зависимых от состояния. Если все потоки нагрузки - энгсетовские (Биноминальные) процессы, то мы получаем многомерную формулу Энгсета (Jensen, 1948). Как уже упомянуто выше, система нечувствительна к распределениям времени пребывания в системе. Каждый поток нагрузки может иметь свое собственное отдельное распределение времени пребывания в системе.

Мультислотовая нагрузка

В системах с интеграцией служб требуемая пропускная способность может зависеть от типа обслуживания. Например, для обслуживания телефонного соединения с передачей только речи требуется один канал (слот), тогда как, например, для передачи видеоизображения может потребоваться каналов одновременно. Мы получаем дополнительные ограничения:

где - фактическое число вызовов типа . Результирующая диаграмма переходов состояний будет обратима, и будет иметь форму произведения.