Вредоносное ПО (malware) - это назойливые или опасные программы,...
Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть дан произвольный линейный оператор в .
Определение 10. Линейный оператор называется транспонированным оператором для оператора , если для любых векторов и из :
. (106)
Существование и единственность транспонированного оператора устанавливаются совершенно аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора в унитарном пространстве.
Транспонированный оператор обладает следующими свойствами:
2.
,
3. ( – вещественное число),
Введем ряд определений.
Определение 11. Линейный оператор называется нормальным, если
Определение 12. Линейный оператор называется симметрическим, если
Определение 13. Симметрический оператор называется неотрицательным, если для любого вектора из
Определение 14. Симметрический оператор называется положительно определенным, если для любого вектора из
Определение 15. Линейный оператор называется кососимметрическим, если
Произвольный линейный оператор всегда представим, и притом однозначно, в виде
где – симметрический, а – кососимметрический оператор.
Действительно, из (107) следует
Из (107) и (108) вытекает
. (109)
Обратно, формулы (109) всегда определяют симметрический оператор и кососимметрический , для которых имеет место равенство (107).
И носят название симметрической и кососимметрической компонент оператора .
Определение 16. Оператор называется ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых векторов из
. (110)
Равенство
(110) в силу (106) можно переписать так: 
. Отсюда следует:
Обратно, из (111) вытекает (110) (при произвольных векторах ). Из (111) следует: , т. е.
Мы будем ортогональный оператор называть оператором первого рода, если , и второго рода, если .
Симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального оператора.
Рассмотрим
произвольный ортонормированный базис в данном евклидовом пространстве. Пусть
линейному оператору в этом базисе соответствует матрица (здесь все – вещественные
числа). Читатель без труда покажет, что транспонированному оператору отвечает в этом же
базисе транспонированная матрица , где 
. Отсюда вытекает, что в
ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица , симметрическому
оператору отвечает
симметрическая матрица , кососимметрическому оператору – кососимметрическая
матрица и, наконец,
ортогональному оператору – ортогональная матрица .
Аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора, здесь устанавливается следующее предложение:
Если некоторое подпространство в инвариантно относительно линейного оператора , то ортогональное дополнение к в инвариантно относительно оператора .
Для исследования линейных операторов в евклидовом пространстве мы расширим евклидово пространство до некоторого унитарного пространства . Это расширение проведем следующим образом:
1. Векторы из будем называть вещественными векторами.
2. Введем в рассмотрение «комплексные» векторы , где и – вещественные векторы, т. е. .
3. Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплексных векторов образует -мерное векторное пространство над полем комплексных чисел, содержащее в себе как часть .
4. В вводится эрмитова метрика так, чтобы в она совпадала с имеющейся там евклидовой метрикой. Читатель легко проверит, что искомая эрмитова метрика задается следующим образом:
Если и , то
Полагая при этом и , будем иметь:
Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в , то будет представлять собой совокупность всех векторов с комплексными, а – с вещественными координатами в этом базисе.
Всякий линейный оператор в однозначно расширяется до линейного оператора в :
.
Среди всех линейных операторов в операторы, получившиеся в результате такого расширения из операторов в , характеризуются тем, что переводят в . Такие операторы будем называть вещественными.
В вещественном базисе вещественные операторы определяются вещественными матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.
Вещественный оператор переводит комплексно сопряженные векторы и снова в комплексно сопряженные
У вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэффициенты, поэтому умеете с корнем -й кратности оно имеет и корень -й кратности . Из следует: , т. е. сопряженным характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.
Двумерное
подпространство имеет
вещественный базис: 
. Плоскость в с этим базисом будем
называть инвариантной плоскостью оператора , отвечающей паре характеристических
чисел .
Пусть .
Тогда, как легко видеть,
Рассмотрим вещественный оператор простой структуры с характеристическими числами:
где – вещественные числа, причем .
Тогда соответствующие этим характеристическим числам собственные векторы можно выбирать так, чтобы
.
образуют базис в евклидовом пространстве . При этом
(114)
В базисе (113) оператору соответствует вещественная квазидиагональная матрица
. (115)
Таким образом, для каждого оператора простой структуры в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором оператору соответствует матрица вида (115). Отсюда следует, что всякая вещественная матрица простой структуры вещественно-подобна канонической матрице вида (115):
Транспонированный оператор для в после расширения становится сопряженным оператором для в . Следовательно, нормальный, симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы в после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на эрмитовым, унитарным вещественным операторами в .
Нетрудно показать, что для нормального оператора в евклидовом пространстве можно выбрать канонический базис – ортонормированный базис (113), для которого имеют место равенства (114). Поэтому вещественная нормальная матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна матрице вида (115):
(117)
У симметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор становится эрмитовым. Для симметрического оператора в формулах (114) следует положить . Тогда получим:
Симметрический оператор в евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами. Поэтому вещественная симметрическая матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна диагональной матрице
У кососимметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен произведению на эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в формулах (114) следует положить:
после чего эти формулы принимают вид
(120)
Поскольку является нормальным оператором, базис (113) можно считать ортонормированным. Таким образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице:
. (124)): из равенств параллельно вектору . Нами доказана теорема Эйлер – Даламбера:
Произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.
В этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств.
1. Общие замечания.
Рассмотрим произвольное -мерное вещественное евклидово пространство V и оператор А, действующий в V.
Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства.
Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов любых вещественных чисел а и Р выполняется равенство
В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора.
Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора.
Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора.
В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны.
В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах § 6 настоящей главы о квадратичных формах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства.
Предварительно введем понятие оператора А, сопряженного к оператору А. Именно, оператор А называется сопряженным к А, если для любых х и у из V выполняется равенство
Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора.
Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой
По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание.
Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве Пусть В - функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре векторов вещественное число
Определение 2. Функция называется билинейной формой, заданной на если для любых векторов из и любого вещественного числа X выполняются соотношения
Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы в виде
где А - некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы § 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы . В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы где - данная линейная форма в вещественном пространстве.
В § 6 настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма - это полуторалинейная форма в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением (черта над В означает, что берется комплексно сопряженное значение для В).
В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением
Билинейная форма заданная на линейном пространстве называется кососимметричной, если для любых векторов из выполняется соотношение Очевидно, что для каждой билинейной формы функции
являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку то мы получаем следующее утверждение:
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы.
Нетрудно видеть, что такое представление является единственным.
Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах).
Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства V, была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), был самосопряженным.
Доказательство. Если А - самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим
Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. билинейная форма симметричная.
Если же форма симметричная, то справедливы соотношения
Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана.
Введем понятие матрицы линейного оператора А, Пусть - какой-либо базис в -мерном вещественном линейном пространстве . Положим
Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если то . Для компонент вектора справедливо представление
Матрица называется матрицей линейного оператора А в базисе
Аналогично тому, как это было сделано в § 2 настоящей главы, можно доказать, что величина не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель оператора А.
Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характеристическим многочленом оператора А.
Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве.
Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны.
Доказательство. Пусть - корень характеристического уравнения
самосопряженного оператора А.
Фиксируем в V какой-либо базис и обозначим через - элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что - вещественные числа).
Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно
Так как определитель системы (5.116) равен (напомним, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение
Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.116), учитывая при этом, что и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы вещественных чисел удовлетворяют следующей системе уравнений:
Рассмотрим в данном базисе векторы х и у с координатами соответственно. Тогда соотношения (5.117) можно переписать в виде
Умножим первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе - на х. Очевидно, получим равенства
Так как оператор А самосопряженный, то Поэтому путем вычитания соотношений (5.118) получим равенство
Но (если то следовательно, решение было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое). Поэтому а так, как - мнимая часть корня характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, -вещественное число. Теорема доказана.
Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение.
Теорема 5.35. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном вещественном евклидовом пространстве V, существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство. Пусть - вещественное собственное значение оператора А, а - единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению
Обозначим через -мерное подпространство пространства V, ортогональное к Очевидно, - инвариантное подпространство пространства V (т. е. если то ). Действительно, пусть тогда Поскольку оператор А самосопряженный - собственное значение А, получим
ЛЕКЦИЯ 9
Операторы в евклидовых пространствах
Линейные операторы,
действующие в евклидовых пространствах,
обладают рядом специальных свойств,
которые весьма важны для приложений
линейной алгебры в различных предметных
областях. Мы остановимся только на
основных вопросах этой теории, в
частности, будем изучать теорию линейных
операторов исключительно в вещественных
пространствах с ортонормированными
базисами, а именно в пространстве
.
Причём операторы будем считать
преобразованиями, то есть будем изучать
операторы
.
Сопряжённый
оператор
.
Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого
к оператору
,
действующему в евклидовом пространстве
.
Определение
9.1.
Пусть
– некоторый линейный оператор. Оператор
называется
сопряжённым
к оператору
,
если
выполняется условие
.
(9.1)
Теорема 9.1.
Для любого
линейного оператора
существует единственный сопряжённый
оператор
,
который также является линейным.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. 1) Пусть оператор
существует, докажем его единственность.
Для этого предположим, что этот оператор
не единственный, то есть существуют,
например, два оператора
и
,
удовлетворяющих определению 9.1. Тогда
по формуле (9.1) имеем:
,
,
(9.2)
откуда получаем
В силу того, что
в определении 9.1 (в формуле (9.1)) вектор
произволен, положим в равенстве (9.3)
,
.
Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем
откуда в силу
произвольности вектора
следует, что
и единственность сопряжённого оператора
доказана.
2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:
,
и
а)
;
Из сравнения формул
а) и б) следует линейность сопряжённого
оператора
,
а именно:
.
3)
Докажем
теперь существование сопряжённого
оператора. Зафиксируем в пространстве
канонический базис
,
и запишем векторы
и
в виде их разложений по каноническому
базису:
;
.
(9.4)
Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):
;
.
Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:
.
(9.5)
Итак, если матрица
оператора
имеет вид
,
то матрица сопряжённого оператора имеет вид
.
(9.6)
Из (9.6) следует, что
матрица сопряжённого оператора
в любом ортонормированном базисе
находится путем транспонирования
матрицы оператора
,
что и доказывает существование
сопряжённого оператора.
Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.
Теорема 9.2.
Справедливы
следующие свойства сопряжённого
оператора
:
и
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
(9.7)
5)
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Докажем первое соотношение.
Пусть
– произвольный линейный оператор. Для
сопряжённого оператора
сопряжённым будет оператор
.
Тогда:
Последнее равенство
выполняется при любом векторе
,
то есть,
,
откуда следует доказательство первого свойства.
Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:
Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.
Остальные свойства
доказываются аналогично.
Самосопряжённые операторы . В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы .
Определение
9.2.
Линейный
оператор
называется
самосопряжённым
,
если
.
Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение
.
(9.9)
Так как матрица
сопряжённого оператора
равна транспонированной матрице
оператора
,
то у самосопряжённого оператора элементы
матрицы удовлетворяют равенству
,
то естьэлементы
матрицы самосопряжённого оператора,
симметричные относительно главной
диагонали, равны
.
Такая матрица называется симметрической
.
По этой причине самосопряжённые операторы
часто называютсясимметрическими
.
Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.
1. Единичный
оператор
является самосопряжённым.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
.
2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Если
и
,
то
.
3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.
Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если
,
,
где
– нулевой оператор. Если
,
,
то
,
что равно
в том и только в том случае, если операторы
коммутативны.
4. Оператор
,
обратный к невырожденному самосопряжённому
оператору
также самосопряжённый оператор.
Д о к а з а т е л ь
с т во. Действительно, если
,
то
.
5. Если
– самосопряжённый оператор, то
произведение этого оператора на некоторое
вещественное число
является самосопряжённым оператором.
Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:
.
Теорема 9.3.
Собственные
векторы самосопряжённого оператора
,
действующего в пространстве
,
соответствующие попарно различным
собственным значениям, взаимно
ортогональны.
:
и
,
причём
.
Так как оператор самосопряжённый, то
.
Поэтому в левой и правой частях,
соответственно, имеем:
;
.
Откуда в силу
получаем:
.
Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.
Теорема 9.4.
Все корни
характеристического многочлена
самосопряжённого оператора
вещественные и различные.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. В общем случае доказательство
теоремы достаточно громоздкое. По этой
причине приведём доказательство для
случая оператора
.
Итак, пусть дан некоторый линейный
оператор
с матрицей
.
Тогда характеристическое уравнение
этого оператора имеет вид:
.
Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:
Решение этого уравнения находим по известной формуле:
.
Дискриминант имеет вид:
Первое слагаемое,
очевидно, всегда положительно, а второе
положительно, так как
.
Поэтому корни характеристического
уравнения вещественные и различные.
Теорема 9.5.
Пусть
– самосопряжённый оператор. Тогда в
пространстве
можно выбрать ортонормированный базис
так, чтобы матрица
оператора
в этом базисе была диагональной
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. По теореме 9.4 все корни
характеристического многочлена
самосопряжённого оператора вещественные
и различные, а следовательно, по теореме
9.3 собственные векторы самосопряжённого
оператора взаимно ортогональны. Систему
собственных векторов, очевидно, можно
нормировать. Но тогда эти векторы
образуют базис пространства
,
в котором оператор является оператором
простой структуры, то есть имеет
диагональную матрицу.
Ортогональные
операторы и их свойства, геометрическая
интерпретация
.
Рассмотрим определение и свойства
важного класса операторов, действующих
в пространстве
.
Определение
9.3.
Оператор
,
действующий в пространстве
,
называется
ортогональным
,
если он сохраняет скалярное произведение,
то есть
.
(9.10)
Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними .
Лемма 9.1.
Оператор
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
,
откуда имеем:
.
Полагая
,
получаем:
.
Пусть
.
Тогда имеем:
.
Очевидно, что ортогональный оператор невырожден , то есть, его матрица имеет обратную матрицу.
Теорема 9.6 (о
свойствах ортогональных операторов).
Ортогональные
операторы
обладают следующими свойствами:
1) единичный оператор является ортогональным;
2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;
3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;
4)
если
– ортогональный оператор, то оператор
является ортогональным в том и только
в том случае, если
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. 1. Доказательство этого свойства
почти очевидно:
.
2. Пусть
и
– ортогональные операторы. Тогда:
3. Пусть
ортогональный оператор. Рассмотрим
:
.
4. Пусть
– ортогональный оператор. Тогда
.
Теорема 9.7
(критерий ортогональности оператора).
Оператор
,
действующий в пространстве
,
является ортогональным в том и только
в том случае, если он переводит хотя бы
один ортонормированный базис в
ортонормированный базис
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
– ортогональный оператор. Тогда он,
сохраняя скалярное произведение,
переводит ортонормированный базис в
ортонормированный базис.
Пусть теперь
оператор
переводит ортонормированный базис
в новый ортонормированный базис
.
Тогда
.
.
Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.
Теорема 9.8.
Система
векторов-столбцов (строк) матрицы
ортогонального оператора
в любом ортонормированном базисе
является ортонормированной .
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
– некоторый ортогональный оператор и
– некоторый ортонормированный базис.
По теореме 9.9 система образов базисных
векторов сама является ортонормированной,
то есть
.
Поэтому для столбцов матрицы оператора
,
(как векторов
арифметического пространства
)
имеем:
.
(9.11)
Аналогичное
свойство справедливо и для строк матрицы
:
.
(9.12)
Теорема 9.9.
Матрица
ортогонального оператора
в любом ортонормированном базисе
удовлетворяет условию
.
(9.13)
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
– ортогональный оператор. Так как
матрицы операторов
и
связаны соотношениями
,
откуда для матрицы
оператора
получаем (9.11).
Обратно, пусть
выполнено соотношение (9.11). Тогда
,
откуда и следует, что оператор
является ортогональным.
Определение
9.4.
Матрица
,
для которой выполняется свойство
(9.13),
называется ортогональной
.
Приведём некоторые теоремы о свойствах ортогонального оператора.
Теорема 9.10.
Собственные
значения ортогонального оператора
действующий в пространстве
,
равны
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
.
Тогда
Так как по определению
,
то
.
Теорема 9.11.
Определитель
ортогональной матрицы
равен
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Для ортогональной матрицы
выполняется равенство
.
Поэтому
.
Тогда
.
Занятие 13 (Фдз 14).
Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.
13.1. Ортогональный оператор и его свойства.
13.2. Сопряженный линейный оператор
13.3. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор. Существование и нахождение ортонормированного собственного базиса симметричного линейного оператора.
13.1.
Линейный оператор , заданный в евклидовом пространстве со скалярным произведением , называется ортогональным оператором
, если , где 
.
Ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е.
.
В произвольном базисе 
пространства
, (1)
где - матрица ортогонального оператора, - матрица Грама, - координаты векторов в базисе 
. В случае ортонормированного базиса , и равенство (1) заменяется равенством
Следовательно, в любом ортонормированном базисе пространства ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу .
Пример 1
. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением 
. Пусть - линейный оператор поворота векторов вокруг начала координат на заданный угол . Доказать, что - ортогональный оператор.
С геометрической точки зрения ортогональность заданного оператора очевидна.
Проведем строгое доказательство.
- единичные векторы осей . Эти векторы образуют стандартный ортонормированный базис пространства , с которым связано стандартное скалярное произведение.
Рассмотрим два произвольных вектора .
Т.к. 
, делаем вывод: - ортогональный оператор.
В дополнение к проведенному доказательству проверим ортогональность матрицы оператора в ортонормированном базисе . Из формул (3), (2) находим
, 
- ортогональная матрица.
Пример 2
. Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.
Проверим выполнение равенства .
- матрица Грама в базисе .
Не является ортогональным оператором.
13.2.
Пусть даны два линейных оператора и в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется сопряженным оператором
оператору , если , где 
.
Если и матрицы оператора и сопряженного ему оператора в базисе
Указанная связь между матрицами и позволяет найти матрицу , если известна матрица , и наоборот, найти матрицу , если известна матрица .
В ортонормированном базисе, где , равенство (4) заменится равенством .
Следует отметить, что сопряженный оператор оператору совпадает с оператором . Поэтому, операторы и называются взаимно сопряженными .
Пример 3
. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Потребуем найти матрицу сопряженного оператора в данном базисе. Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .
- матрица Грама в базисе .
Из матричного равенства (5) выводим: 
.
Займемся теперь поиском матрицы оператора . Согласно формуле (5) выводим:
13.3.
Пусть - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется самосопряженным или симметричным
, если , где .
Если - матрица оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то
В ортонормированном базисе (в котором ) это равенство заменится равенством
Следовательно, в ортонормированном базисе симметричный оператор имеет симметрическую матрицу.
Важные свойства симметричного оператора фиксирует следующая теорема .
Все собственные значения симметричного оператора действительны, и собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны .
Из собственных векторов симметричного оператора можно не только образовать собственный базис, но и даже ортонормированный собственный базис. Поэтому, любой симметричный оператор является оператором простого типа (см. занятие 7).
Пример 4
. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу 
.
1. Из характеристического уравнения найдем собственные значения оператора .
2. Теперь найдем собственные векторы.
Собственный вектор с собственным значением .
В ортонормированном базисе скалярное произведение задается формулой
, где 
- координаты векторов в этом базисе.
Ортогональные векторы (что согласуется с выводами теоремы, приведенной выше) - линейно независимая система. Т.к. евклидово пространство двумерно, приходим к выводу: - ортогональный собственный базис.
Чтобы получить ортонормированный собственный базис нужно пронормировать векторы .
Итак, 
- собственный базис симметричного оператора .
Пример 5 . Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу
.
Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .
Собственный вектор с собственным значением .
Собственный вектор с собственным значением .
Собственный вектор с собственным значением .
Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, - ортогональная система векторов и одновременно является собственным ортогональным базисом оператора . Чтобы получить собственный ортонормированный базис , пронормируем векторы .
Пример 6 . Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .
Т.к. , а тройка векторов в базисе
Пусть S - евклидово пространство и - его комплексификация. Введем скалярное произведение в S по формуле:
Нужно проверить корректность этого определения. Аддитивность по первому аргументу при фиксированном втором очевидна. Для проверки линейности по первому аргументу достаточно убедиться в возможности вынесения комплексного множителя из первого аргумента. Соответствующее вычисление не представляет труда, но довольно громоздко. Именно:
Симметрия с инволюцией очевидна - при перестановке местами вещественная часть скалярного произведения не меняется, а мнимая меняет знак на обратный.
Наконец, если . Таким образом, комплексификация евклидова пространства S становится унитарным пространством.
Заметим еще, что скалярное произведение пары векторов и скалярное произведение пары комплексно сопряженных с ними векторов комплексно сопряженные. Это непосредственно следует из определения скалярного произведения в .
2. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию.
В евклидовом пространстве для оператора определяется сопряженный оператор той же формулой при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора При продолжении взаимно сопряженных операторов с S на они останутся сопряженными.
Действительно,
3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве.
Нормальный оператор в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.
Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.
Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению при базис из собственных векторов для собственного значения можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.
Все эти подпространства инвариантны, ортогональны друг другу и вещественным собственным векторам, соответствующим вещественным собственным значениям.
Комплексное пространство, натянутое на векторы и очевидно, совпадает с комплексным подпространством, натянутым на Вещественные векторы u и у, и, следовательно, является комплексификацией вещественного подпространства, натянутого на .
ибо в евклидовом пространстве S скалярное произведение симметрично.
Из этого равенства следует, что , т. е. векторы и и v ортогональны, а также . Вспомним теперь, что вектор нормированный, т. е., ввиду ортогональности и и . Поэтому , так что векторы и и v не нормированны, но становятся нормированными после умножения на
Итак, для нормального оператора, действующего в евклидовом пространстве S, существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов, принадлежащих вещественным собственным значениям, и умноженных на вещественных и мнимых частей собственных векторов, принадлежащих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на вещественные собственные векторы, и двумерные, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов, инвариантны, так что матрица оператора в построенном базисе квазидиагональна и составлена из диагональных блоков первого и второго порядка. Блоки первого порядка - это вещественные собственные значения. Найдем блоки второго порядка. Пусть и - собственный вектор, принадлежащий собственному значению . Тогда
Ровно те же соотношения сохранятся после умножения векторов на Таким образом, блоки второго порядка имеют вид
Заметим еще, что эти блоки появляются из подпространства, натянутого на сопряженные собственные векторы, принадлежащие сопряженным собственным значениям так что наряду с блоком записанным при помощи собственного значения не нужно включать блок соответствующий собственному значению
4. Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.
Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны. Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплексификации. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. V в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное произведение выражается через координаты вектора в ортонормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора М в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково:
ибо для ортогональной матрицы
Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.
Поэтому ограничимся их перечислением.
Самосопряженный оператор положительно определен в том и только в том случае, когда его собственные значения положительны.
Из самосопряженного положительно определенного оператора можно извлечь положительно определенный квадратный корень.
Любой невырожденный оператор можно представить в виде произведения положительно определенного самосопряженного оператора на ортогональный, как в одном, так? и в другом порядке.
Оператор ортогонального проектирования есть самосопряженный идемпотентный оператор и обратно, самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.
5. Ортогональные операторы.
Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормальном базисе. Так как ортогональный оператор нормален, существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора блочно-диагональна и состоит из вещественных чисел на диагонали и блоков вида ортогональности такой матрицы следует, что и в каждом блоке второго порядка (Это можно увидеть также из того, что ортогональный оператор становится унитарным при продолжении на комплексификацию, и, следовательно, все его собственные значения равны 1 по модулю.)
Можно положить . Оператор на плоскости с матрицей есть оператор вращения плоскости на угол .
Ортогональный оператор называется собственно ортогональным, если определитель его матрицы равен 1; если же определитель равен -1, то оператор называется несобственно ортогональным. Порядок базисных векторов можно выбрать так, чтобы по диагонали следовали сначала 1, потом -1 и за ними блоки второго порядка. В случае, если оператор собственно ортогонален, число диагональных элементов, равных -1, четно. Матрицу второго порядка рассматривать как блок второго порядка геометрически означающий поворот плоскости на .
Таким образом, действие собственно ортогонального оператора геометрически означает следующее. Пространство разбивается в ортогональную сумму подпространств, одно из которых натянуто на собственные векторы, принадлежащие собственному значению 1, - это подпространство неподвижных векторов, и нескольких двумерных подпространств, каждое из которых вращается на некоторый угол (вообще говоря, разные плоскости на разные углы).
В случае несобственно ортогонального оператора имеется еще один базисный вектор, переходящий в противоположный под действием оператора.
