Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Однозначное декодирование Прямое и обратное условие Фано Учитель информатики и ИКТ МБОУ СОШ № 7 г. Оха Сахалинской области Сергиенко Татьяна Геннадьевна

Задача 1 Пусть для кодирования фразы «Доброе утро» выбран такой код: Д О Б Р Е У Т Пробел 111 000 00 1 01 0 10 11

Коды букв «сцепляются» в единую битовую строку и передаются, например, по сети: Доброе утро→ 11100000100001110101000 В пункте назначения возникает проблема – как восстановить исходное сообщение, и возможно ли это.

11100000100001110101000 Раскодировать данное сообщение можно разными способами. В том числе предположим, что оно состоит только из букв Р – 1 и У – 0. Тогда получим РРРУУУУУРУУУУРРРУРУРУУУ, т.е. бессмысленный набор букв.

Код называется однозначно декодируемым, если любое кодовое сообщение можно расшифровать единственным способом (однозначно).

Значит, код не является однозначно декодируемым.

Задача 2 Равномерные коды. Для той же фразы используем равномерный код: Д О Б Р Е У Т Пробел 111 000 001 101 011 010 100 110

Равномерные коды неэкономичны – гораздо длиннее неравномерных. Это приводит к усложнению кодирования, но при этом они раскодируются однозначно, что, естественно, облегчает задачу.

Задача 3 Чтобы сократить длину сообщения, можно попробовать применить неравномерный код, т.е. код, в котором кодовые слова, соответствующие разным символам исходного алфавита, могут иметь разную длину, от одного до нескольких символов.

Используем следующий код: 01Эта битовая цепочка декодируется однозначно. Д О Б Р Е У Т Пробел 01 00 1011 100 1010 1101 1110 1111

Первая буква - Д (код 01), т.к. ни одно другое кодовое слово не начинается с 01. Вторая буква – О (код 00). Никакое другое слово не начинается с 00. Это же свойство, которое называется условием Фано, выполняется и для кодовых слов других букв.

УСЛОВИЕ ФАНО Никакое кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова. Такие коды называются префиксными (раскодируются с начала сообщения) и декодируются однозначно.

Задача 4 Рассмотрим ещё один код: Он не является префиксным, т.к. код буквы Д (10) совпадает с началом кода буквы Б (1011), У(1000) и код буквы О(00) совпадает с началом кода буквы Р (001). Д О Б Р Е У Т Пробел 10 00 1011 001 0101 1000 0111 1111

Закодируем наше сообщение: ДОБРОЕ УТРО→ 10 00 1011 001 00 0101 1111 1000 0111 001 00 Начнём раскодировать с начала. Первая – Д, или У, а дальше идут вообще разные варианты: Р или Б… Т.е. надо «заглядывать» вперёд, что очень неудобно.

Попробуем раскодировать сообщение с конца – оно однозначно декодируется! Выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не совпадает с окончанием другого кодового слова.

Коды, для которых выполняется обратное условие Фано, называются постфиксными.

Сделаем вывод: Сообщение декодируется однозначно, если для используемого кода выполняется прямое или обратное условие Фано.

Условие Фано - это достаточное, но не необходимое условие однозначной декодируемости Это значит, что: - для однозначной декодируемости достаточно выполнения хотя бы одного из двух условий - прямого или обратного. - могут существовать коды, для которых не выполняется ни прямое, ни обратное условие Фано, но тем не менее обеспечивается однозначное декодирование, т.к. иначе теряется смысл выражения.

Задача 5 Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А – 00, Б – 01, В – 100, Г – 101, Д – 110.

Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно? Коды остальных букв меняться не должны. Выберите правильный вариант ответа: 1) для буквы Д -11 2) это невозможно 3) для буквы Г - 10 4) для буквы Д -10

РЕШЕНИЕ: Исходный код – префиксный. Для него выполняется условие Фано – ни один из трёхбитных кодов не начинается ни с 00 (А), ни с 01 (Б). (При этом обратное условие Фано не выполняется – код А (00) совпадает с окончанием В (100), а код Б (01) совпадает с окончанием Г (101).)

Теперь проверим ответы. Сократим Д до 11. Если полученный код нарушит прямое условие Фано, то свойство однозначного декодирования будет нарушено. Но этого не произошло, нет других кодов, начинающихся с 11. Это и есть верное решение. Проверим остальные варианты.

Вариант 2 сразу не рассматриваем – ответ у нас найден. Вариант 3 нарушает прямое условие Фано – с 10 начинается код буквы В (101). Вариант 4 – так же нарушает прямое условие Фано. Т.е. ответ однозначный, других вариантов нет.

Спасибо за внимание!

3. Коды без разделителя. Условие Фано

Рассмотрев один из вариантов двоичного неравномерного кодирования, попробуем найти ответ на следующий вопрос: возможно ли такое кодирование без использования разделительных знаков?

Суть этой проблемы состоит в нахождении такого варианта кодирования сообщения, при котором последующее выделение из сообщения каждого отдельного знака (то есть декодирование) оказывается однозначным без специальных указателей разделения знаков.

Наиболее простыми и употребимыми кодами без разделителя являются так называемые префиксные коды , которые удовлетворяют следующему условию –условию Фано :Сообщение, закодированное с использованием неравномерного кода может быть однозначно декодировано, если никакой из кодов в данном сообщении не совпадает с префиксом * (началом) какого-либо иного более длинного кода.

Например, если имеется код 110, то уже не могут использоваться коды 1, 11, 1101, 110101 и пр.

Если условие Фано выполняется, то при прочтении (декодировании, расшифровке) закодированного сообщения путем сопоставления с таблицей кодов всегда можно точно указать, где заканчивается один код и начинается другой.

Пример 1 . Являются ли коды, представленные втабл. 4,префиксными? Коды, представленные в табл. 4, не являются префиксными. См., например, коды букв «О» и «Е», «А» и «Н», «С» и «М», «Д» и «Ч».

Пример 2 . Имеется таблица префиксных кодов (табл. 6). Требуется декодировать следующее сообщение, закодированное с использованием этой приведенной кодовой таблицы:

00100010000111010101110000110

Табл. 6. Таблица префиксных кодов

Декодирование производится циклическим повторением следующих действий:

«Отрезать» от текущего сообщения крайний слева символ, присоединить его справа к рабочему (текущему) кодовому слову;

сравнить текущее кодовое слово с кодовой таблицей; если совпадения нет, вернуться к пункту 1.

С помощью кодовой таблицы текущему кодовому слову поставить в соответствие символ первичного алфавита;

Проверить, имеются ли еще знаки в закодированном сообщении; если да, то перейти к пункту 1.

Применение данного алгоритма к предложенному выше закодированному сообщению дает:

00100010000111010101110000110

Таким образом, доведя процедуру декодирования до конца, можно получить сообщение: «мама мыла раму».

Таким образом, использование префиксного кодирования позволяет делать сообщение более коротким, поскольку нет необходимости передавать разделители знаков.

Однако условие Фано не устанавливает конкретного способа формирования префиксного кода, оставляя поле для деятельности по разработке наилучшего из возможных префиксных кодов.

4. Префиксный код Шеннона–Фано

Рассмотрим вариант кодирования, который был предложен в 1948 – 1949 гг. независимо К. Шенноном и Р. Фано.

Рассмотрим схему кодирования (как она строится) Шеннона–Фано на следующем примере .

Пусть имеется первичный алфавит , состоящий из шести знаков:, где
. Пусть вероятности появления этих знаков в сообщениях таковы:
,
,
,
,
и
. Расположим эти знаки в таблице в порядке убывания вероятностей.

Разделим знаки на две группы так, чтобы суммы вероятностей в каждой из этих двух групп были бы приблизительно равными. При этом в 1-ю группу попадут и, а остальные – во 2-ю группу. Знакампервой группы присвоим первый слева разряд их кодов «0», а первым слева разрядом кодов символов второй группы пусть будет «1».

Продолжим деление каждой из получающихся групп на подгруппы по той же схеме, то есть так, чтобы суммы вероятностей на каждом шаге в обеих подгруппах делимой группы были бы возможно более близкими. Таким образом будем получать по одному следующие разряды кодов символов . Эти следующие разряды будем приписывать справа к уже имеющимся.

Вся эта процедура может быть схематически изображена в табл 7.

Табл. 7. Построение кода Шеннона-Фано

Видно, что построенные коды знаков удовлетворяют условию Фано, следовательно, такое кодирование является префиксным.

Найдем среднюю длину полученного кода по формуле

,

где – число разрядов (символов) в коде, соответсвующем символу.

Из таблицы видно, что
,
,
.

Таким образом, получаем:

Таким образом, для кодирования одного символа первичного алфавитапотребовалось в среднем 2.45 символов вторичного (двоичного) алфавита.

Определим среднее количество информации, приходящееся на знак первичного алфавита в первом приближении (с учетом различной вероятности появления этих знаков в сообщениях). Применим формулу Шеннона:

.

Найдем избыточность полученного двоичного кода:

,

то есть избыточность – около 2.5.

Выясним, является ли полученный код оптимальным. Нулей в полученных кодах – 6 штук, а единиц – 11 штук. Таким образом, вероятности появления 0 и 1 далеко не одинаковы. Следовательно, полученный код нельзя считать оптимальным.

Естественно возникает вопрос: существуют ли неравномерные коды, для которых декодирование всегда однозначно? Да, существуют.

Роберт Фано сформулировал следующее достаточное условие того, что код имеет однозначное декодирование: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Если это условие выполнено, то никаких проблем с декодированием не будет.

Пусть A 1 , A 2 и A 3 - слова над некоторым алфавитом такие, что A 1 =A 2 A 3 , то есть A 1 получается из A 2 простым приписыванием к нему слова A 3 (слова A 2 или A 3 могут быть односимвольными). Назовем слово A 2 , которое является начальной частью слова A 1 , префиксом слова A 1 . Например, для слова 11101101 префиксами будут слова 1110110 , 111011 , 11101 , 1110 , 111 , 11 , 1 .

Тогда условие Фано для кодов, можно сформулировать так:

Никакое кодовое слово не является префиксом другого кодового слова .

Коды, удовлетворяющие условию Фано, называются префиксными . Итак, если код префиксный, он допускает однозначное декодирование.

Например, код, состоящий из кодовых слов {0, 10, 11} , является префиксным, и следующую кодовую последовательность 01001101110 можно разбить на кодовые слова единственным образом: 0 10 0 11 0 11 10 .

А код, состоящий из кодовых слов {0, 10, 11, 100} , префиксным не является и он не допускает однозначного декодирования. Действительно, ту же самую последовательность можно разбить на кодовые слова разными способами: 0 10 0 11 0 11 10 или 0 100 11 0 11 10 .

Важно отметить, что условие Фано является только достаточным условием однозначного декодирования для кодов, но не является необходимым условием.

Например, простой код, состоящий всего из двух кодовых слов {1, 10} , очевидно не является префиксным, но он дает однозначное декодирование любой кодовой последовательности, полученной при кодировании этим кодом. Действительно, в такой последовательности не может стоять рядом два нуля. А тогда каждый ноль со стоящей перед ней единицей заменяем на прообраз второго кодового слова, а все оставшиеся единицы - на прообраз первого слова, это и будет однозначным декодированием.

Существуют и другие, менее простые коды, обладающие тем же свойством. Например, код {01,10,011} также не является префиксным, но обладает однозначным декодированием (попробуйте доказать это самостоятельно).

Как же все-таки определить является ли код однозначно декодируемым, если для него не выполняется условие Фано? Можно использовать следующий метод.

Пусть слово A 2 является префиксом слова A 1 . Тогда A 1 =A 2 A 3 , где A 3 некоторое слово, конечная часть слова A 1 . Назовем A 3 суффиксом пары слов A 1 и A 2 , одно из которых является префиксом другого, а саму пару A 1 и A 2 назовем префиксной .

Рассмотрим в заданном коде все префиксные пары кодовых слов и построим по ним множество всех суффиксов. Далее рассмотрим все пары префиксных слов, из которых одно является кодовым, а другое – суффиксом, и для них построим суффиксы, расширяя множество суффиксов. Продолжим этот процесс до тех пор пока не перестанут появляться новые суффиксы. Код является однозначно декодируемым тогда и только тогда, когда никакой суффикс не совпадает ни с каким кодовым словом.

Например, для кода {01,10,011} множеством суффиксов будет {1,0,11} . Ни один суффикс здесь не совпадает ни с одним кодовым словом, поэтому, можно утверждать, что этот код является однозначно декодируемым.

Задача 1. Определить обладают ли свойством однозначной декодируемости следующие коды: а) {110, 11, 100, 00, 10} б) {100, 001, 101, 1101, 11011} .

Декодирование последовательностей, полученных кодами, не являющимися префиксными, требует более сложного анализа, чем для префиксных кодов. Префиксные коды иногда называют мгновенными (мгновенно декодируемыми), так как для них при чтении кодовой последовательности конец кодового слова распознается сразу по достижении конечного символа слова. В этом состоит преимущество префиксных кодов.

Здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич и я являюсь московским профессиональным репетитором по информатике и программированию. Вам попалась задача, связанная с кодированием и , и вы запутались в алгоритме ее решения? Вам срочно нужно познакомиться с условием Фано , а также записаться ко мне на индивидуальные уроки. На своих уроках я акцентирую внимание на решении тематических простых и сложных упражнений.

В чем смысл прямого условия Фано?

Условие Фано названо в честь его создателя, итальянско-американского ученого Роберта Фано. Условие является необходимым в теории кодирования при построении самотерминирующегося кода. Учитывая другую терминологию, такой код называется префиксным.

Сформулировать данное условие можно следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве начала любого другого кодового слова ».

С математической точки зрения условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова BC не существует в коде ».

В чем смысл обратного условия Фано?

Существует также и обратное правило Фано, формулировка которого звучит следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве окончания любого другого кодового слова ».

С математической точки зрения обратное условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова CB не существует в коде ».

Практическое применение условия Фано

Рассмотрим телефонные номера в традиционной телефонии. Если уже существует номер «102», то номер «1029876» попросту не будет выдан. В случае набора первых трех цифр АТС перестает распознавать и принимать все остальные цифры, соединяя с абонентом по номеру 102. Однако это правило не является действительным для операторов мобильной связи. Связано это с тем, что для набора номера необходимо нажатие соответствующей клавиши, которой, в основном, является клавиша с изображением зеленой телефонной трубки. По этой причине, номера «102», «1020» и «1029876» могут существовать и быть закрепленными за разными адресатами.

Условие задачи: дана последовательность, которая состоит из букв «A», «B», «C», «D» и «E». Для кодирования приведенной последовательности применяется неравномерный двоичный код, при помощи которого можно осуществить однозначное декодирование.

Вопрос : есть ли возможность для одного из символов сократить длину кодового слова таким образом, чтобы сохранить возможность однозначного декодирования? При этом коды остальных символов должны остаться неизменными.

Решение : для того, чтобы сохранилась возможность декодирования, достаточным является соблюдение прямого или обратного условия Фано . Проведем последовательную проверку вариантов 1, 3 и 4. В случае если ни один из вариантов не подойдет, правильным ответом будет вариант 2 (не представляется возможным).

Вариант 1. Код: A - 00, B - 01, C - 011, D - 101, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «B» совпадает с началом кода символа «C». Обратное правило Фано не выполняется: код символа «B» совпадает с окончанием кода символа «D». Вариант не является подходящим.

Вариант 3. Код: A - 00, B - 010, C - 01, D - 101, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «C» совпадает с началом кода символа «B». Обратное условие также не выполняется: код символа «C» совпадает с окончанием кода символа «D». Вариант не является подходящим.

Вариант 4. Код: A - 00, B - 010, C - 011, D - 01, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «D» совпадает с началом кода символов «B» и «C». Однако наблюдается выполнение обратного правила Фано: код символа «D» не совпадает с окончанием кода всех остальных символов. По этой причине, вариант является подходящим.

После проверки вариантов решения задачи на соответствие прямому и обратному условию Фано , было установлено, что правильным является вариант 4.

Ответ : 4

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимедийным решением задачи, которая была предложена в демонстрационном варианте ЕГЭ по информатике и ИКТ. Кстати, данная задача относится к типу задач, решаемых с использованием условия Фано .

Остались вопросы?

Если после прочтения данной публикации у вас все равно остались какие-то вопросы, непонимания или вы хотите закрепить пройденный материал практическими решениями, то звоните и записывайтесь ко мне на частные уроки по информатике и ИКТ.

На тестах для подготовки к ЕГЭ по информатике встречаются задачи на применение условия Фано. Материала в учебниках не нашел. Заходим в Википедию.

Условие Фано (англ. Fano condition, в честь Роберта Фано) - в теории кодирования необходимое условие построения самотерминирующегося кода (в другой терминологии, префиксного кода). Обычная формулировка этого условия выглядит так:

Никакое кодовое слово не может быть началом другого кодового слова.
Более «математическая» формулировка:

Если в код входит слово a, то для любой непустой строки b слова ab в коде не существует.

Алгоритм Шеннона - Фано - один из первых алгоритмов сжатия, который впервые сформулировали американские учёные Шеннон и Роберт Фано. Данный метод сжатия имеет большое сходство с алгоритмом Хаффмана, который появился на несколько лет позже. Алгоритм использует коды переменной длины: часто встречающийся символ кодируется кодом меньшей длины, редко встречающийся - кодом большей длины. Коды Шеннона - Фано префиксные, то есть никакое кодовое слово не является префиксом любого другого. Это свойство позволяет однозначно декодировать любую последовательность кодовых слов.

Основные сведения
Кодирование Шеннона- Фано(англ. coding) - алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Подобно алгоритму Хаффмана, алгоритм Шеннона - Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов - более длинными двоичными последовательностями.

Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).

1. Основные понятия
Закодировать текст – значит сопоставить ему другой текст. Кодирование применяется при передаче данных – для того, чтобы зашифровать текст от посторонних, чтобы сделать передачу данных более надежной, потому что канал передачи данных может передавать только ограниченный набор символов (например, - только два символа, 0 и 1) и по другим причинам.
При кодировании заранее определяют алфавит, в котором записаны исходные тексты (исходный алфавит) и алфавит, в котором записаны закодированные тексты (коды), этот алфавит называется кодовым алфавитом. В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1. Слова в двоичном алфавите иногда называют битовыми последовательностями.
2. Побуквенное кодирование
Наиболее простой способ кодирования – побуквенный. При побуквенном кодировании каждому символу из исходного алфавита сопоставляется кодовое слово – слово в кодовом алфавите. Иногда вместо «кодовое слово буквы» говорят просто «код буквы». При побуквенном кодировании текста коды всех символов записываются подряд, без разделителей.
Пример 1. Исходный алфавит – алфавит русских букв, строчные и прописные буквы не различаются. Размер алфавита – 33 символа.
Кодовый алфавит – алфавит десятичных цифр. Размер алфавита - 10 символов.
Применяется побуквенное кодирование по следующему правилу: буква кодируется ее номером в алфавите: код буквы А – 1; буквы Я – 33 и т.д.
Тогда код слова АББА – это 1221.
Внимание: Последовательность 1221 может означать не только АББА, но и КУ (К – 12-я буква в алфавите, а У – 21-я буква). Про такой код говорят, что он НЕ допускает однозначного декодирования
Пример 2. Исходный и кодовый алфавиты – те же, что в примере 1. Каждая буква также кодируется своим номером в алфавите, НО номер всегда записывается двумя цифрами: к записи однозначных чисел слева добавляется 0. Например, код А – 01, код Б – 02 и т.д.
В этом случае кодом текста АББА будет 01020201. И расшифровать этот код можно только одним способом. Для расшифровки достаточно разбить кодовый текст 01020201 на двойки: 01 02 02 01 и для каждой двойки определить соответствующую ей букву.
Такой способ кодирования называется равномерным. Равномерное кодирование всегда допускает однозначное декодирование.
Далее рассматривается только побуквенное кодирование
3. Неравномерное кодирование
Равномерное кодирование удобно для декодирования. Однако часто применяют и неравномерные коды, т.е. коды с различной длиной кодовых слов. Это полезно, когда в исходном тексте разные буквы встречаются с разной частотой. Тогда часто встречающиеся символы стоит кодировать более короткими словами, а редкие – более длинными. Из примера 1 видно, что (в отличие от равномерных кодов!) не все неравномерные коды допускают однозначное декодирование.
Есть простое условие, при выполнении которого неравномерный код допускает однозначное декодирование.
Код называется префиксным, если в нем нет ни одного кодового слова, которое было бы началом (по-научному, - префиксом) другого кодового слова.

Но я хочу продемонстрировать как можно автоматизировать данный процесс.
Видеоролик выложу в интернет
Приведу пример из подготовки к ЕГЭ по информатике (фирма 1С - материалы Центра Сертифицированного Обучения):
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв С, Т, Р, О, К и А, используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано, и следовательно, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: С - 000, Т - 001, Р - 010, О - 100, К - 011, А - 11. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по прежнему удовлетворял условию Фано? Коды остальных букв меняться не должны.

Выберите правильный вариант ответа.

Варианты ответов:
1) для буквы Р - 01
2) для буквы О - 10
3) для буквы А - 1
4) это невозможно

Правильный вариант - 2
Решение:
Вариант 1) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв Р и К
Вариант 2) подходит - слово 10 не является началом кодовых слов для других букв
Вариант 3) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв А и О
Вариант 4) не подходит - см. вариант 2)

Теперь посмотрим, что выдаст программа для автоматизированного решения подобных задач и контроля знаний.
В задании не задана частотность или вероятность появления букв, поэтому в программе примем ее равной 0,01 для всех букв.

Вероятности:
0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01

Значения:
C, T, P, O, K, A

Результат:
C 000
T 001
P 01
O 100
K 101
A 11

Из решения видно, вариантов решения может быть несколько, но все они отвечают условию Фано.

Полагаю, что подобные программы будут полезны для контроля знаний, а включение подобной функции в язык программирования усилит возможности языка, поэтому включаю данную функцию в язык SmartMath. Программа сама определяет количество символов для анализа, сортирует их в зависимости от частотности и присваивает коды согласно условия Фано. Преимущество автоматизации в создании кода при выполнении условия Фано в том, что можно быстро создавать решения для любой последовательности.
Смотрите ссылку.