Что такое эпсилон окрестность. МА. Предел функции. Определение на языке "эпсилон-дельта". Окрестности конечных точек

texvc -окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества не более, чем на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon .

Определения

• Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (X,\varrho) есть метрическое пространство , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 \in X, и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon > 0. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc называется множество

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.

• Пусть дано подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \subset X. Тогда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью этого множества называется множество

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x).

Замечания

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 таким образом называется открытый шар с центром в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 и радиусом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon.
• Прямо из определения следует, что

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством .

Примеры

Напишите отзыв о статье "Эпсилон-окрестность"

Отрывок, характеризующий Эпсилон-окрестность

– Ну, что – послушаем? – нетерпеливо подталкивала меня малышка.
Мы подошли вплотную... И я почувствовала чудесно-мягкое прикосновение сверкающей волны... Это было нечто невероятно нежное, удивительно ласковое и успокаивающее, и в то же время, проникающее в самую «глубинку» моей удивлённой и чуть настороженной души... По моей стопе пробежала, вибрируя миллионами разных оттенков, тихая «музыка» и, поднимаясь вверх, начала окутывать меня с головой чем-то сказочно красивым, чем-то, не поддающимся никаким словам... Я чувствовала, что лечу, хотя никакого полёта наяву не было. Это было прекрасно!.. Каждая клеточка растворялась и таяла в набегающей новой волне, а сверкающее золото вымывало меня насквозь, унося всё плохое и грустное и оставляя в душе только чистый, первозданный свет...
Я даже не почувствовала, как вошла и окунулась в это сверкающее чудо почти с головой. Было просто невероятно хорошо и не хотелось никогда оттуда выходить...
– Ну, всё, хватит уже! Нас задание ждёт! – ворвался в сияющую красоту напористый Стеллин голосок. – Тебе понравилось?
– О, ещё как! – выдохнула я. – Так не хотелось выходить!..
– Вот, вот! Так и «купаются» некоторые до следующего воплощения... А потом уже больше сюда не возвращаются...

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши.

Содержание

Определение окрестности точки

Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Эпсилон - окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон - окрестность:
(2) .
Эпсилон - окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ - окрестность, σ - окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. ). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон - окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 - это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 :
.

Проколотая эпсилон - окрестность точки x 0 :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

.
;
;
.

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство

Сформулируем первое определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше ,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть - наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно , . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:

– квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;

– квантор существования, – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

– знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Определение предела последовательности

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность:

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.

Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .

Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерам окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Теоретический минимум

Понятие предела применительно к числовым последовательностям уже вводилось в теме " ".
Рекомендуется сначала ознакомиться с содержащимся там материалом.

Переходя к предмету этой темы, напомним понятие функции. Функция представляет собой очередной пример отображения. Мы будем рассматривать самый простой случай
вещественной функции одного вещественного аргумента (в чём заключается сложность других случаев - будет сказано позже). Функция в рамках этой темы понимается как
закон, по которому каждому элементу множества , на котором определена функция, ставится в соответствие один или несколько элементов
множества , называемого множеством значений функции. Если каждому элементу области определения функции ставится в соответствие один элемент
множества значений, то функция называется однозначной, в противном случае функция называется многозначной. Мы здесь будем говорить для простоты только об
однозначных функциях.

Сразу хотелось бы подчеркнуть принципиальное отличие функции от последовательности: существенно различны множества, связанные отображением в этих двух случаях.
Чтобы избежать необходимости использовать терминологию общей топологии, поясним различие с помощью неточных рассуждений. При обсуждении предела
последовательности мы говорили только об одном варианте: неограниченный рост номера элемента последовательности. При этом росте номера сами элементы
последовательности вели себя гораздо разнообразнее. Они могли "накапливаться" в малой окрестности некоторого числа; они могли неограниченно расти и т.п.
Грубо говоря , задание последовательности - задание функции на дискретной "области определения". Если же говорить о функции, определение которой дано
в начале темы, то понятие предела следует строить аккуратнее. Имеет смысл говорить о пределе функции при стремлении её аргумента к определённому значению .
Такая постановка вопроса не имела смысла применительно к последовательностям. Возникает необходимость внести некоторые уточнения. Все они связаны с тем,
как именно аргумент стремится к тому значению , о котором идёт речь.

Рассмотрим несколько примеров - пока что вскользь:


Эти функции позволят нам рассмотреть самые разные случаи. Приведём здесь же графики этих функций для большей наглядности изложения.

Функция в любой точке области определения имеет предел - это понятно интуитивно. Какую бы точку области определения мы ни взяли,
сразу можно сказать, к какому значению стремится функция, при стремлении аргумента к выбранному значению, причём предел будет конечным, если только аргумент
не стремится к бесконечности. График функции имеет излом. Это сказывается на свойствах функции в точке излома, но с точки зрения предела
эта точка ничем не выделена. Функция уже интереснее: в точке непонятно, какое значение предела приписать функции.
Если мы подходим к точке справа, то функция стремится к одному значению, если слева - функция стремится к другому значению. В предыдущих
примерах такого не было. Функция при стремлении к нулю хоть слева, хоть справа ведёт себя одинаково, стремясь к бесконечности -
в отличие от функции , которая при стремлении аргумента к нулю стремится к бесконечности, но знак бесконечности зависит от того, с какой
стороны мы подходим к нулю. Наконец, функция ведёт себя в нуле совершенно непонятно.

Формализуем понятие предела с помощью языка "эпсилон-дельта". Основное отличие от определения предела последовательности будет заключаться в необходимости
прописать стремление аргумента функции к некоторому значению. Для этого требуется вспомогательное в данном контексте понятие предельной точки множества.
Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестности содержится бесчисленное множество точек,
принадлежащих и отличных от . Чуть позже станет ясно, зачем требуется давать такое определение.

Итак, число называется пределом функции в точке , являющейся предельной точкой множества , на котором определена
функция, если

Последовательно разберём это определение. Выделим здесь части, связанные со стремлением аргумента к значению и со стремлением функции
к значению . Следует понимать общий смысл записанного утверждения, который приближённо можно трактовать следующим образом.
Функция стремится к при , если взяв число из достаточно малой окрестности точки , мы будем
получать значение функции из достаточно малой окрестности числа . И чем меньше будет окрестность точки , из которой берутся значения
аргумента, тем меньше станет окрестность точки , в которую будут попадать соответствующие значения функции.

Снова вернёмся к формальному определению предела и прочитаем его в свете только что сказанного. Положительное число ограничивает окрестность
точки , из которой будем брать значения аргумента. Причём значения аргумента, конечно, из области определения функции и не совпадающие с самой
точкой : мы ведь стремление пишем, а не совпадение! Так вот если мы возьмём значение аргумента из указанной -окрестности точки ,
то значение функции попадёт в -окрестности точки .
Наконец, сводим определение воедино. Какой бы малой мы ни выбрали -окрестность точки , всегда найдётся такая -окрестность точки ,
что при выборе значений аргумента из неё мы попадём в окрестность точки . Разумеется, размер -окрестности точки при этом
зависит от того, какая была задана окрестность точки . Если окрестность значения функции будет достаточно велика, то и соответствующий разброс значений
аргумента будет большим. С уменьшением окрестности значения функции уменьшится и соответствующий разброс значений аргумента (см. рис. 2).

Осталось уточнить некоторые детали. Во-первых, требование, чтобы точка была предельной, избавляет от необходимости заботиться, что точка
из -окрестности вообще принадлежит области определения функции. Во-вторых, участие в определении предела условия означает,
что аргумент может стремиться к значению как слева, так и справа.

Для случая, когда аргумент функции стремится к бесконечности, следует отдельно определить понятие предельной точки. называется предельной
точкой множества , если для любого положительного числа в интервале содержится бесчисленное множество
точек из множества .

Вернёмся к примерам. Функция особого интереса для нас не представляет. Разберёмся подробнее с другими функциями.

Примеры.

Пример 1. График функции имеет излом .
Функция несмотря на особенность в точке имеет в этой точке предел. Особенность в нуле - потеря гладкости.

Пример 2. Односторонние пределы .
Функция в точке не имеет предела. Как уже отмечалось, для существования предела требуется, чтобы при стремлении
слева и справа функция стремилась к одному и тому же значению. Здесь это, очевидно, не выполняется. Однако можно ввести понятие одностороннего предела.
Если аргумент стремится к данному значению со стороны бòльших значений, то говорят о правостороннем пределе; если со стороны меньших значений -
о левостороннем пределе.
В случае функции
- правосторонний предел Однако можно привести пример, когда бесконечные колебания синуса не мешают существованию предела (причём двустороннего).
Примером может служить функция . График приведён ниже; по понятным причинам построить его до конца в окрестности
начала координат невозможно. Предел при равен нулю.

Замечания .
1. Существует подход к определению предела функции, использующий предел последовательности - т.н. определение Гейне. Там строится последовательность точек, сходящаяся к требуемому значению
аргумента - тогда соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу функции при этом значении аргумента. Эквивалентность определения Гейне и определения на языке
"эпсилон-дельта" доказывается.
2. Случай функций двух и более аргументов усложняется тем, что для существования предела в точке требуется, чтобы значение предела получалось одним и тем же при любом способе стремления аргумента
к требуемому значению. Если аргумент один, то стремиться к требуемому значению можно слева или справа. В случае большего количества переменных число вариантов резко возрастает. Случай функций
комплексной переменной и вовсе требует отдельного разговора.