Базовая классификация обратимых алгоритмов сжатия

Существует много разных практических методов сжатия без потери информации, которые, как правило, имеют разную эффективность для разных типов данных и разных объемов. Однако, в основе этих методов лежат три главные классические схемы сжатия:

Кодирование серий последовательностей (RLE);

Статистические методы сжатия;

Словарные (эвристические) методы сжатия.

Сжатие способом кодирования серий: алгоритм RLE

Наиболее известный простой подход и алгоритм сжатия информации обратимым путем - это кодирование серий последовательностей (Run Length Encoding - RLE). Суть методов данного подхода состоит в замене цепочек или серий повторяющихся байтов или их последовательностей на один кодирующий байт и счетчик числа их повторений . Проблема всех аналогичных методов заключается в определении способа, при помощи которого распаковывающий алгоритм мог бы отличить в результирующем потоке байтов кодированную серию от других - некодированных последовательностей байтов. Решение проблемы достигается обычно простановкой меток в начале кодированных цепочек. Такими метками могут быть, например, характерные значения битов в первом байте кодированной серии, значения первого байта кодированной серии и т.п. Данные методы, как правило, достаточно эффективны для сжатия растровых графических изображений (BMP, PCX, TIF, GIF), т.к. последние содержат достаточно много длинных серий повторяющихся последовательностей байтов. Недостатком метода RLE является достаточно низкая степень сжатия или стоимость кодирования файлов с малым числом серий и, что еще хуже - с малым числом повторяющихся байтов в сериях.

В основе алгоритма RLE лежит идея выявления повторяющихся последовательностей данных и замены их более простой структурой, в которой указывается код данных и коэффициент повторения. Например, пусть задана такая последовательность данных, что подлежит сжатию: 1 1 1 1 2 2 3 4 4 4 . В алгоритме RLE предлагается заменить ее следующей структурой: 1 4 2 2 3 1 4 3 , где первое число каждой пары чисел - это код данных, а второе - коэффициент повторения. Если для хранения каждого элемента данных входной последовательности отводится 1 байт, то вся последовательность будет занимать 10 байт памяти, тогда как выходная последовательность (сжатый вариант) будет занимать 8 байт памяти. Понятно, что алгоритм RLE будет давать лучший эффект сжатия при большей длине повторяющейся последовательности данных. В случае рассмотренного выше примера, если входная последовательность будет иметь такой вид: 1 1 1 1 1 1 3 4 4 4, то коэффициент сжатия будет равен 60%. В связи с этим большая эффективность алгоритма RLE достигается при сжатии графических данных (в особенности для однотонных изображений).

Эвристические (словарные) алгоритмы сжатия (LZ, LZW) ищут в файле строки, которые повторяются и строят словарь фраз, которые уже встречались. Обычно такие алгоритмы имеют целый ряд специфических параметров (размер буфера, максимальная длина фразы и т.п.), подбор которых зависит от опыта автора работы, и эти параметры добираются таким образом, чтобы достичь оптимального соотношения времени работы алгоритма, коэффициента сжатия и перечня файлов, которые хорошо сжимаются.

Статистические алгоритмы (Хаффмана, Шеннона-Фано, арифметические) Статистические алгоритмы используют статистическую модель данных, и качество сжатия информации напрямую зависит от того, насколько хороша эта модель. Учет статистических свойств данных в простейшем случае означает использование для кодирования неравномерных кодов – часто встречающиеся символы кодируются короткими кодами, а редко – длинными. Т.е., такие алгоритмы нуждаются в знании вероятностей появления символов в изображении, оценкой чего может являться в простом случае частота появления символов во входных данных. Как правило, эти вероятности неизвестны. Целью кодирования является преобразование входного потока в поток бит минимальной длины, что достигается уменьшением энтропии (хаотичности) входного потока путем учета частот символов.

Длина кода, представляющего символы из алфавита потока должна быть пропорциональна объему информации входного потока, а длина символов потока в битах может быть не кратна 8 и даже переменной. Если распределение вероятностей частот появления символов из алфавита входного потока известно, то можно построить модель оптимального кодирования. Однако, ввиду существования огромного числа различных форматов файлов задача значительно усложняется, т.к. распределение частот символов данных заранее неизвестно. В таком случае используются два подхода.

Первый заключается в просмотре входного потока и построении кодирования на основании собранной статистики (при этом требуется два прохода по файлу - один для просмотра и сбора статистической информации, второй - для кодирования, что несколько ограничивает сферу применения таких алгоритмов, т.к., таким образом, исключается возможность однопроходного кодирования "на лету", применяемого в телекоммуникационных системах, где и объем данных, подчас, не известен, а их повторная передача или разбор может занять неоправданно много времени). В таком случае, в выходной поток записывается статистическая схема использованного кодирования. Данный метод известен как статическое кодирование Хаффмена. Вместе со сжатым файлом передается таблица символов. Такие алгоритмы достаточно неплохо сжимают большинство файлов, но необходимая дополнительная передача таблицы частот символов, а также необходимость двух проходов исходного файла для набора статистики и сжатия.

Второй метод - метод адаптивного кодирования. Его принцип состоит в том, чтобы менять схему кодирования в зависимости от характера изменений входного потока. Адаптивные - начинают работать с фиксированной начальной таблицей частот символов (обычно все символы сначала равновероятны) и в процессе работы эта таблица изменяется в зависимости от символов, которые встречаются в файле. Преимущества: однопроходность алгоритма, не нуждается в передаче таблицы частот символов, достаточно эффективно сжимает широкий класс файлов. Такой подход имеет однопроходный алгоритм и не требует сохранения информации об использованном кодировании в явном виде. Адаптивное кодирование может дать большую степень сжатия, по сравнению со статическим, поскольку более полно учитываются изменения частот входного потока. Данный метод известен как динамическое кодирование Хаффмена.

С учетом этого статистические алгоритмы можно разделить на три класса:

1. Не адаптивные - используют фиксированные, заблаговременно заданные вероятности символов. Таблица вероятностей символов не передается вместе с файлом, поскольку она известна заблаговременно. Недостаток: узкая область использования для определенной таблицы частот, для которых достигается приемлемый коэффициент сжатия.

2. Полуадаптивные - для каждого файла строится таблица частот символов и на основе неё сжимают файл. Вместе со сжатым файлом передается таблица символов. Такие алгоритмы достаточно неплохо сжимают большинство файлов, но необходимая дополнительная передача таблицы частот символов, а также необходимость двух проходов исходного файла для набора статистики и сжатия.

3. Адаптивные - начинают работать с фиксированной начальной таблицей частот символов (обычно все символы сначала равновероятны) и в процессе работы эта таблица изменяется в зависимости от символов, которые встречаются в файле. Преимущества: однопроходность алгоритма, не нуждается в передаче таблицы частот символов, достаточно эффективно сжимает широкий класс файлов.

В основе алгоритма Хаффмана лежит идея кодирования битовыми группами. Сначала проводится частотный анализ входной последовательности данных, то есть устанавливается частота вхождения каждого символа, встречащегося в ней. После этого, символы сортируются по уменьшению частоты вхождения.

Основная идея состоит в следующем: чем чаще встречается символ, тем меньшим количеством бит он кодируется. Результат кодирования заносится в словарь, необходимый для декодирования. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий работу алгоритма Хаффмана.

В статическом кодировании Хаффмена входным символам (цепочкам битов различной длины) ставятся в соответствие цепочки битов, также, переменной длины - их коды. Длина кода каждого символа берется пропорциональной двоичному логарифму его частоты, взятому с обратным знаком. А общий набор всех встретившихся различных символов составляет алфавит потока. Это кодирование является префиксным, что позволяет легко его декодировать в результативный поток, т.к., при префиксном кодировании, код любого символа не является префиксом кода никакого другого символа - алфавит уникален.

• Tutorial

Давным-давно, когда я был ещё наивным школьником, мне вдруг стало жутко любопытно: а каким же волшебным образом данные в архивах занимают меньше места? Оседлав свой верный диалап, я начал бороздить просторы Интернетов в поисках ответа, и нашёл множество статей с довольно подробным изложением интересующей меня информации. Но ни одна из них тогда не показалась мне простой для понимания - листинги кода казались китайской грамотой, а попытки понять необычную терминологию и разнообразные формулы не увенчивались успехом.

Поэтому целью данной статьи является дать представление о простейших алгоритмах сжатия тем, кому знания и опыт пока ещё не позволяют сходу понимать более профессиональную литературу, или же чей профиль и вовсе далёк от подобной тематики. Т.е. я «на пальцах» расскажу об одних из простейших алгоритмах и приведу примеры их реализации без километровых листингов кода.

Сразу предупрежу, что я не буду рассматривать подробности реализации процесса кодирования и такие нюансы, как эффективный поиск вхождений строки. Статья коснётся только самих алгоритмов и способов представления результата их работы.

RLE - компактность единообразия

Алгоритм RLE является, наверное, самым простейшим из всех: суть его заключается в кодировании повторов. Другими словами, мы берём последовательности одинаковых элементов, и «схлопываем» их в пары «количество/значение». Например, строка вида «AAAAAAAABCCCC» может быть преобразована в запись вроде «8×A, B, 4×C». Это, в общем-то, всё, что надо знать об алгоритме.

Пример реализации

Допустим, у нас имеется набор неких целочисленных коэффициентов, которые могут принимать значения от 0 до 255. Логичным образом мы пришли к выводу, что разумно хранить этот набор в виде массива байт:
unsigned char data = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 80, 80, 80, 80, 0, 2, 2, 2, 2, 255, 255, 255, 255, 255, 0, 0 };

Для многих гораздо привычней будет видеть эти данные в виде hex-дампа:
0000: 00 00 00 00 00 00 04 02 00 04 04 04 04 04 04 04
0010: 50 50 50 50 00 02 02 02 02 FF FF FF FF FF 00 00

Подумав, мы решили, что хорошо бы для экономии места как-то сжимать такие наборы. Для этого мы проанализировали их и выявили закономерность: очень часто попадаются подпоследовательности, состоящие из одинаковых элементов. Конечно же, RLE для этого подойдёт как нельзя кстати!

Закодируем наши данные, используя свежеполученные знания: 6×0, 4, 2, 0, 7×4, 4×80, 0, 4×2, 5×255, 2×0.

Пришло время как-то представить наш результат в понятном компьютеру виде. Для этого, в потоке данных мы должны как-то отделять одиночные байты от кодируемых цепочек. Поскольку весь диапазон значений байта используется нашими данными, то просто так выделить какие-либо диапазоны значений под наши цели не удастся.

Есть как минимум два выхода из этой ситуации:

1. В качестве индикатора сжатой цепочки выделить одно значение байта, а в случае коллизии с реальными данными экранировать их. Например, если использовать в «служебных» целях значение 255, то при встрече этого значения во входных данных мы вынуждены будем писать «255, 255» и после индикатора использовать максимум 254.
2. Структурировать закодированные данные, указывая количество не только для повторяемых, но и последующих далее одиночных элементов. Тогда мы будем заранее знать, где какие данные.

Первый способ в нашем случае не кажется эффективным, поэтому, пожалуй, прибегнем ко второму.

Итак, теперь у нас имеется два вида последовательностей: цепочки одиночных элементов (вроде «4, 2, 0») и цепочки одинаковых элементов (вроде «0, 0, 0, 0, 0, 0»). Выделим в «служебных» байтах один бит под тип последовательности: 0 - одиночные элементы, 1 - одинаковые. Возьмём для этого, скажем, старший бит байта.

В оставшихся 7 битах мы будем хранить длины последовательностей, т.е. максимальная длина кодируемой последовательности - 127 байт. Мы могли бы выделить под служебные нужды, допустим, два байта, но в нашем случае такие длинные последовательности встречаются крайне редко, поэтому проще и экономичней просто разбивать их на более короткие.

Получается, в выходной поток мы будем писать сперва длину последовательности, а далее либо одно повторяемое значение, либо цепочку неповторяемых элементов указанной длины.

Первое, что должно броситься в глаза - при таком раскладе у нас есть парочка неиспользуемых значений. Не может быть последовательностей с нулевой длиной, поэтому мы можем увеличить максимальную длину до 128 байт, отнимая от длины единицу при кодировании и прибавляя при декодировании. Таким образом, мы можем кодировать длины от 1 до 128 вместо длин от 0 до 127.

Второе, что можно заметить - не бывает последовательностей одинаковых элементов единичной длины. Поэтому, от значения длины таких последовательностей при кодировании мы будем отнимать ещё единичку, увеличив тем самым их максимальную длину до 129 (максимальная длина цепочки одиночных элементов по-прежнему равна 128). Т.е. цепочки одинаковых элементов у нас могут иметь длину от 2 до 129.

Закодируем наши данные снова, но теперь уже и в понятном для компьютера виде. Будем записывать служебные байты как , где T - тип последовательности, а L - длина. Будем сразу учитывать, что длины мы записываем в изменённом виде: при T=0 отнимаем от L единицу, при T=1 - двойку.

0, , 4, 2, 0, , 4, , 80, , 0, , 2, , 255, , 0

Попробуем декодировать наш результат:

• . T=1, значит следующий байт будет повторяться L+2 (4+2) раз: 0, 0, 0, 0, 0, 0.
• . T=0, значит просто читаем L+1 (2+1) байт: 4, 2, 0.
• . T=1, повторяем следующий байт 5+2 раз: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
• . T=1, повторяем следующий байт 2+2 раз: 80, 80, 80, 80.
• . T=0, читаем 0+1 байт: 0.
• . T=1, повторяем байт 2+2 раз: 2, 2, 2, 2.
• . T=1, повторяем байт 3+2 раз: 255, 255, 255, 255, 255.
• . T=1, повторяем байт 0+2 раз: 0, 0.

А теперь последний шаг: сохраним полученный результат как массив байт. Например, пара , упакованная в байт, будет выглядеть вот так:

В итоге получаем следующее:
0000: 84 00 02 04 02 00 85 04 82 80 00 00 82 02 83 FF
0010: 80 00

Таким вот нехитрым образом на данном примере входных данных мы из 32 байт получили 18. Неплохой результат, особенно если учесть, что на более длинных цепочках он может оказаться гораздо лучше.

Возможные улучшения

Эффективность алгоритма зависит не только от собственно алгоритма, но и от способа его реализации. Поэтому, для разных данных можно разрабатывать разные вариации кодирования и представления закодированных данных. Например, при кодировании изображений можно сделать цепочки переменной длины: выделить один бит под индикацию длинной цепочки, и если он выставлен в единицу, то хранить длину и в следующем байте тоже. Так мы жертвуем длиной коротких цепочек (65 элементов вместо 129), но зато даём возможность всего тремя байтами закодировать цепочки длиною до 16385 элементов (2 14 + 2)!

Дополнительная эффективность может быть достигнута путём использования эвристических методов кодирования. Например, закодируем нашим способом следующую цепочку: «ABBA». Мы получим « , A, , B, , A» - т.е. 4 байта мы превратили в 6, раздули исходные данные аж в полтора раза! И чем больше таких коротких чередующихся разнотипных последовательностей, тем больше избыточных данных. Если это учесть, то можно было бы закодировать результат как « , A, B, B, A» - мы бы потратили всего один лишний байт.

LZ77 - краткость в повторении

LZ77 - один из наиболее простых и известных алгоритмов в семействе LZ. Назван так в честь своих создателей: Абрахама Лемпеля (Abraham L empel) и Якоба Зива (Jacob Z iv). Цифры 77 в названии означают 1977 год, в котором была опубликована статья с описанием этого алгоритма.

Основная идея заключается в том, чтобы кодировать одинаковые последовательности элементов. Т.е., если во входных данных какая-то цепочка элементов встречается более одного раза, то все последующие её вхождения можно заменить «ссылками» на её первый экземпляр.

Как и остальные алгоритмы этого семейства семейства, LZ77 использует словарь, в котором хранятся встречаемые ранее последовательности. Для этого он применяет принцип т.н. «скользящего окна»: области, всегда находящейся перед текущей позицией кодирования, в рамках которой мы можем адресовать ссылки. Это окно и является динамическим словарём для данного алгоритма - каждому элементу в нём соответствует два атрибута: позиция в окне и длина. Хотя в физическом смысле это просто участок памяти, который мы уже закодировали.

Пример реализации

Попробуем теперь что-нибудь закодировать. Сгенерируем для этого какую-нибудь подходящую строку (заранее извиняюсь за её нелепость):

«The compression and the decompression leave an impression. Hahahahaha!»

Вот как она будет выглядеть в памяти (кодировка ANSI):
0000: 54 68 65 20 63 6F 6D 70 72 65 73 73 69 6F 6E 20 The compression
0010: 61 6E 64 20 74 68 65 20 64 65 63 6F 6D 70 72 65 and the decompre
0020: 73 73 69 6F 6E 20 6C 65 61 76 65 20 61 6E 20 69 ssion leave an i
0030: 6D 70 72 65 73 73 69 6F 6E 2E 20 48 61 68 61 68 mpression. Hahah
0040: 61 68 61 68 61 21 ahaha!

Мы ещё не определились с размером окна, но условимся, что он больше размера кодируемой строки. Попробуем найти все повторяющиеся цепочки символов. Цепочкой будем считать последовательность символов длиной более единицы. Если цепочка входит в состав более длинной повторяющейся цепочки, будем её игнорировать.

«The compression and t de leave[ an] i . Hah !»

Для пущей наглядности посмотрим на схему, где видны соответствия повторяемых последовательностей и их первых вхождений:

Пожалуй, единственным неясным моментом здесь будет последовательность «Hahahahaha!», ведь цепочке символов «ahahaha» соответствует короткая цепочка «ah». Но здесь нет ничего необычного, мы использовали кое-какой приём, позволяющий алгоритму иногда работать как описанный ранее RLE.

Дело в том, что при распаковке мы будем считывать из словаря указанное количество символов. А поскольку вся последовательность периодична, т.е. данные в ней повторяются с некоторым периодом, и символы первого периода будут находиться прямо перед позицией распаковки, то по ним мы можем воссоздать всю цепочку целиком, просто копируя символы предыдущего периода в следующий.

С этим разобрались. Теперь заменим найденные повторы на ссылки в словарь. Будем записывать ссылку в формате , где P - позиция первого вхождения цепочки в строке, L - её длина.

«The compression and t de leave i . Hah !»

Но не стоит забывать, что мы имеем дело со скользящим окном. Для большего понимания, чтобы ссылки не зависели от размера окна, заменим абсолютные позиции на разницу между ними и текущей позицией кодирования.

«The compression and t de leave i . Hah !»

Теперь нам достаточно отнять P от текущей позиции кодирования, чтобы получить абсолютную позицию в строке.

Пришло время определиться с размером окна и максимальной длиной кодируемой фразы. Поскольку мы имеем дело с текстом, редко когда в нём будут встречаться особо длинные повторяющиеся последовательности. Так что выделим под их длину, скажем, 4 бита - лимита на 15 символов за раз нам вполне хватит.

А вот от размера окна уже зависит, насколько глубоко мы будем искать одинаковые цепочки. Поскольку мы имеем дело с небольшими текстами, то в самый раз будет дополнить используемое нами количество бит до двух байт: будем адресовать ссылки в диапазоне из 4096 байт, используя для этого 12 бит.

По опыту с RLE мы знаем, что не всякие значения могут быть использованы. Очевидно, что ссылка может иметь минимальное значение 1, поэтому, чтобы адресовать назад в диапазоне 1..4096, мы должны при кодировании отнимать от ссылки единицу, а при декодировании прибавлять обратно. То же самое с длинами последовательностей: вместо 0..15 будем использовать диапазон 2..17, поскольку с нулевыми длинами мы не работаем, а отдельные символы последовательностями не являются.

Итак, представим наш закодированный текст с учётом этих поправок:

«The compression and t de leave i . Hah !»

Теперь, опять же, нам надо как-то отделить сжатые цепочки от остальных данных. Самый распространённый способ - снова использовать структуру и прямо указывать, где сжатые данные, а где нет. Для этого мы разделим закодированные данные на группы по восемь элементов (символов или ссылок), а перед каждой из таких групп будем вставлять байт, где каждый бит соответствует типу элемента: 0 для символа и 1 для ссылки.

Разделяем на группы:

• «The comp»
• «ression »
• «and t de»
• « leave »
• «i . Hah »

Компонуем группы:

«{0,0,0,0,0,0,0,0} The comp{0,0,0,0,0,0,0,0} ression {0,0,0,0,0,1,0,0} and t de{1,0,0,0,0,0,1,0} leave {0,1,0,0,0,0,0,1} i . Hah {0} !»

Таким образом, если при распаковке мы встречаем бит 0, то мы просто читаем символ в выходной поток, если же бит 1, мы читаем ссылку, а по ссылке читаем последовательность из словаря.

Теперь нам остаётся только сгруппировать результат в массив байтов. Условимся, что мы используем биты и байты в порядке от старшего к младшему. Посмотрим, как пакуются в байты ссылки на примере :

В итоге наш сжатый поток будет выглядеть так:

0000: 00 54 68 65 20 63 6f 6d 70 00 72 65 73 73 69 6f #The comp#ressio
0010: 6e 20 04 61 6e 64 20 74 01 31 64 65 82 01 5a 6c n #and t##de###l
0020: 65 61 76 65 01 b1 20 41 69 02 97 2e 20 48 61 68 eave## #i##. Hah
0030: 00 15 00 21 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ###!

Возможные улучшения

В принципе, здесь будет верно всё, что описывалось для RLE. В частности, для демонстрации пользы эвристического подхода при кодировании, рассмотрим следующий пример:

«The long goooooong. The loooooower bound.»

Найдём последовательности только для слова «loooooower»:

«The long goooooong. The wer bound.»

Для кодирования такого результата нам понадобится четыре байта на ссылки. Однако, более экономично было бы сделать так:

«The long goooooong. The l wer bound.»

Тогда мы потратили бы на один байт меньше.

Вместо заключения

Несмотря на свою простоту и, казалось бы, не слишком уж большую эффективность, эти алгоритмы до сих пор широко применяются в разнообразных областях IT-сферы.

Их плюс - простота и быстродействие, а на их принципах и их комбинациях могут быть основаны более сложные и эффективные алгоритмы.

Надеюсь, изложенная таким образом суть этих алгоритмов поможет кому-нибудь разобраться в основах и начать смотреть в сторону более серьёзных вещей.

Данных, который поддерживается большинством форматов файлов растровых изображений: TIFF, BMP и PCX. RLE подходит для сжатия любого типа данных независимо от его информационного содержимого, но содержание данных влияет на коэффициент сжатия. Несмотря на то что большинство алгоритмов RLE не могут обеспечить высокие коэффициенты сжатия более сложных методов, данный инструмент легко реализовать и быстро выполнить, что делает его хорошей альтернативой.

На чем основан алгоритм сжатия RLE?

RLE работает, уменьшая физический размер повторяющейся строки символов. Эта строка, называемая run, обычно кодируется в два байта. Первый байт представляет количество символов в пробеге и называется счетчиком прогона. На практике кодированный прогон может включать от 1 до 128 и 256 символов. Счетчик обычно содержит число символов минус один (значение в диапазоне значений от 0 до 127 и 255). Второй байт — это значение символа в прогоне, которое содержится в диапазоне значений от 0 до 255 и именуется значением запуска.

Без сжатия символьный пробег в 15 символов обычно требует 15 байтов для хранения:

AAAAAAAAAAAAAAA.

В той же строке после RLE-кодирования потребуется только два байта: 15А.

Кодировка 15A, сгенерированная для обозначения символьной строки, называется RLE-пакетом. В данном коде первый байт, 15, является счетчиком прогона и содержит необходимое количество повторений. Второй байт, A, является значением run и содержит фактическое повторяющееся значение в пробеге.

Новый пакет генерируется каждый раз, когда символ запуска изменяется, или каждый раз, когда количество символов в пробеге превышает максимальное количество. Предположим, что 15-символьная строка согласно условиям содержит 4 разных символа:

Используя кодировку с длиной строки, она может быть сжата в четыре двухбайтовых пакета:

После кодирования по длине строки для 15-байтовой строки потребуется всего восемь байтов данных для представления строки, в отличие от исходных 15 байтов. В этом случае кодирование во время выполнения давало коэффициент сжатия почти 2 к 1.

Особенности

Длинные прогоны редки в некоторых типах данных. Например, открытый текст ASCII редко содержит длинные прогоны. В предыдущем примере последний пробег (содержащий символ t) был только одним символом в длину. 1-символьный прогон все еще работает. И счет запуска, и значение запуска должны быть записаны для каждого пробега в 2 символа. Для кодирования пробега с помощью алгоритма RLE требуется информация, состоящая не менее чем из двух символов. В связи с чем запуск одиночных символов на самом деле занимает больше места. По тем же причинам данные, состоящие полностью из 2-символьных прогонов, остаются неизменными после кодирования RLE.

Схемы алгоритма сжатия RLE отличаются простотой и высокой скоростью выполнения, но их эффективность зависит от типа кодируемых данных изображения. Черно-белое изображение, которое в основном белого цвета, например страницы книги, будет очень хорошо кодироваться из-за большого количества смежных данных, имеющих одинаковый цвет. Однако изображение со многими цветами, например, фотография, не будет кодироваться так же хорошо. Это связано с тем, что сложность изображения выражается в виде большого количества разных цветов. И из-за этой сложности будет относительно мало пробегов одного цвета.

Варианты кодирования по длине

Существует несколько вариантов кодировки во время выполнения. Данные изображения, как правило, закодированы в последовательном процессе, который обрабатывает визуальный контент как 1D-поток, а не как 2D-карту данных. При последовательной обработке растровое изображение кодируется, стартуя с верхнего левого угла, и направляется слева направо по каждой строке сканирования в нижний правый угол растрового изображения. Но альтернативные схемы RLE также могут быть записаны для кодирования данных по длине растрового изображения вдоль столбцов для сжатия в 2D-плитки или даже для кодирования пикселей по диагонали зигзагообразным способом. Нечетные варианты RLE могут использоваться в узкоспециализированных приложениях, но обычно встречаются довольно редко.

Алгоритм кодирования с ошибкой длины пробега

Другим редко встречающимся вариантом является алгоритм кодирования RLE с ошибкой длины пробега. Данные инструменты обычно выполняют сжатие без потерь, но отбрасывание данных во время процесса кодирования, как правило, путем обнуления одного или двух младших значащих битов в каждом пикселе, может увеличить коэффициенты сжатия, не влияя отрицательно на качество сложных изображений. Эта программа алгоритма RLE хорошо работает только с изображениями реального мира, которые содержат много тонких вариаций значений пикселей.

Кросс-кодирование

Кросс-кодирование — это объединение строк сканирования, которое происходит, когда процесс сжатия теряет различие между исходными линиями. Если данные отдельных линий объединены алгоритмом кодирования повторов RLE, точка, где одна линия сканирования остановлена, а другая - потеряна, является уязвимой и сложной для обнаружения.

Иногда происходит перекрестное кодирование, которое усложняет процесс декодирования, добавляя стоимость времени. Для форматов файлов растровых изображений этот метод ставит целью организовать растровое изображение по линиям сканирования. Хотя многие спецификации формата файлов явно указывают, что данные строки должны быть индивидуально кодированы, многие приложения кодируют эти изображения как непрерывный поток, игнорируя границы строк.

Как с помощью алгоритма RLE закодировать изображение?

Индивидуальное кодирование строк сканирования имеет преимущества в тех случаях, когда приложение должно использовать только некоторую часть изображения. Предположим, что фото содержит 512 строк развертки, и необходимо отображать только строки от 100 до 110. Если мы не знали, где строки сканирования начинались и заканчивались данными кодированного изображения, нашему приложению пришлось бы декодировать строки с 1 по 100, прежде чем найти десять строк, которые требуются. Если переходы между линиями сканирования были отмечены каким-то легко узнаваемым маркером разграничения, приложение могло бы просто считывать закодированные данные, подсчитывая маркеры, пока не дойдет до нужных ему строк. Но этот подход был бы довольно неэффективным.

Альтернативный вариант

Другим вариантом для определения начальной точки любой конкретной строки сканирования в блоке кодированных данных является построение таблицы строк развертки. Данная табличная структура обычно содержит один элемент для каждой строки сканирования на изображении, и каждый элемент содержит значение смещения соответствующей строки сканирования. Чтобы найти первый RLE-пакет строки 10 сканирования, все, что нужно сделать декодеру, — это найти значения позиции смещения, хранящегося в десятом элементе таблицы поиска строки сканирования. Таблица строк развертки также может содержать количество байтов, используемых для кодирования каждой строки. Используя этот метод с целью найти первый RLE-пакет строки сканирования 10, ваш декодер будет объединять значения первых 9-ти элементов таблицы строк развертки. Первый пакет для строки 10 сканирования будет начинаться с этого смещения байта от начала данных изображения с кодированием RLE.

Единицы измерения

Части алгоритмов кодирования по длине, которые различаются, — это решения, которые принимаются на основе типа данных, которые декодируются (например, длина прогона данных). Схемы RLE, используемые для сжатия растровой графики, обычно подразделяются на классы по типу атомных (то есть наиболее фундаментальных) элементов, которые они кодируют. Три класса, используемые большинством графических форматов файлов, — это бит, байты и пиксельные RLE.

Качество сжатия

Битовые уровни RLE-схем кодируют прогоны нескольких бит в строке сканирования и игнорируют границы байтов и слов. Только монохромные (черно-белые), 1-битные изображения содержат достаточное количество бит, чтобы сделать этот класс RLE-кодирования эффективным. Типичная схема RLE на уровне бит кодирует от одного до 128 бит в однобайтовом пакете. Семь младших значащих бит содержат счетчик запуска минус один, а старший бит содержит значение битового прогона, равное 0 или 1. Прогон длиной более 128 пикселей разбит на несколько RLE-кодированных пакетов.

Исключения

Схемы RLE на уровне байта кодируют прогоны одинаковых байтовых значений, игнорируя некоторые биты и границы слов в строке сканирования. Наиболее распространенная схема RLE на байтовом уровне кодирует прогоны байтов в 2-байтовые пакеты. Первый байт содержит счетчик от 0 до 255, а второй — содержит значение байтового запуска. Также распространено дополнение двухбайтовой схемы кодирования с возможностью хранения литеральных, незаписанных прогонов байтов в потоке кодированных данных.

В такой схеме семь младших значащих бит первого байта содержат счетчик прогона минус один, а самый старший бит первого байта является индикатором типа запуска, который следует за байтом подсчета прогона. Если старший бит установлен в 1, он обозначает кодированный прогон. Закодированные прогоны декодируются путем считывания значения пробега и повторения его количества раз, указанного числом циклов. Если самый старший бит установлен в 0, отображается литеральный прогон, а это означает, что байты подсчета следующего прогона считываются буквально из данных кодированного изображения. Затем байт счетчика выполнения содержит значение в диапазоне от 0 до 127 (счетчик запуска минус один). Схемы RLE на уровне байта хороши для данных изображения, которые сохраняются как один байт на пиксель.

Схемы RLE на уровне пикселей используются, когда два или более последовательных байта данных изображения используются для хранения значений одного пикселя. На уровне пикселей биты игнорируются, а байты подсчитываются только для идентификации каждого значения пикселя. Размер кодированных пакетов зависит от размера кодируемых значений пикселей. Количество бит или байтов на пиксель сохраняется в заголовке файла изображения. Запуск данных изображения, сохраненных в виде 3-байтовых значений пикселей, кодируется в 4-байтовый пакет, с одним байтом подсчета количества операций, за которым следуют три байта с байтами. Метод кодирования остается таким же, как и с байтовым RLE.

Алгоритм RLE

Первый вариант алгоритма

Данный алгоритм необычайно прост в реализации. Групповое кодирование - от английского Run Length Encoding (RLE) - один из самых старых и самых простых алгоритмов архивации графики. Изображение в нем (как и в нескольких алгоритмах, описанных ниже) вытягивается в цепочку байт по строкам растра. Само сжатие в RLE происходит за счет того, что в исходном изображении встречаются цепочки одинаковых байт . Замена их на пары <счетчик повторений, значение> уменьшает избыточность данных.

Алгоритм декомпрессии при этом выглядит так:

Initialization(...);
do {
if(является счетчиком(byte)) {
counter = Low6bits(byte)+1;
for(i=1 to counter)
De
}
else {
DecompressedFile.WriteByte(byte)
} while(ImageFile.EOF());

В данном алгоритме признаком счетчика (counter) служат единицы в двух верхних битах считанного файла:

Соответственно оставшиеся 6 бит расходуются на счетчик, который может принимать значения от 1 до 64. Строку из 64 повторяющихся байтов мы превращаем в два байта, т.е. сожмем в 32 раза.

Упражнение: Составьте алгоритм компрессии для первого варианта алгоритма RLE.

Алгоритм рассчитан на деловую графику - изображения с большими областями повторяющегося цвета. Ситуация, когда файл увеличивается, для этого простого алгоритма не так уж редка. Ее можно легко получить, применяя групповое кодирование к обработанным цветным фотографиям. Для того, чтобы увеличить изображение в два раза, его надо применить к изображению, в котором значения всех пикселов больше двоичного 11000000 и подряд попарно не повторяются.

Вопрос для самоконтроля: Предложите два-три примера “плохих” изображений для алгоритма RLE. Объясните, почему размер сжатого файла больше размера исходного файла.

Данный алгоритм реализован в формате PCX. См. пример в приложении.

Второй вариант алгоритма

Второй вариант этого алгоритма имеет больший максимальный коэффициент архивации и меньше увеличивает в размерах исходный файл.

Алгоритм декомпрессии для него выглядит так:

Initialization(...);
do {
byte = ImageFile.ReadNextByte();
counter = Low7bits(byte)+1;
if(если признак повтора(byte)) {
value = ImageFile.ReadNextByte();
for (i=1 to counter)
CompressedFile.WriteByte(value)
}
else {
for(i=1 to counter){
value = ImageFile.ReadNextByte();
CompressedFile.WriteByte(value)
}
CompressedFile.WriteByte(byte)
} while(ImageFile.EOF());

Признаком повтора в данном алгоритме является единица в старшем разряде соответствующего байта:

Как можно легко подсчитать, в лучшем случае этот алгоритм сжимает файл в 64 раза (а не в 32 раза, как в предыдущем варианте), в худшем увеличивает на 1/128. Средние показатели степени компрессии данного алгоритма находятся на уровне показателей первого варианта.

Упражнение: Составьте алгоритм компрессии для второго варианта алгоритма RLE.

Похожие схемы компрессии использованы в качестве одного из алгоритмов, поддерживаемых форматом TIFF, а также в формате TGA.

Характеристики алгоритма RLE:

Коэффициенты компрессии: Первый вариант: 32, 2, 0,5. Второй вариант: 64, 3, 128/129. (Лучший, средний, худший коэффициенты)

Класс изображений: Ориентирован алгоритм на изображения с небольшим количеством цветов: деловую и научную графику.

Симметричность: Примерно единица.

Характерные особенности: К положительным сторонам алгоритма, пожалуй, можно отнести только то, что он не требует дополнительной памяти при архивации и разархивации, а также быстро работает. Интересная особенность группового кодирования состоит в том, что степень архивации для некоторых изображений может быть существенно повышена всего лишь за счет изменения порядка цветов в палитре изображения.

Алгоритм LZW

Название алгоритм получил по первым буквам фамилий его разработчиков - Lempel, Ziv и Welch. Сжатие в нем, в отличие от RLE, осуществляется уже за счет одинаковых цепочек байт.

Алгоритм LZ

Существует довольно большое семейство LZ-подобных алгоритмов, различающихся, например, методом поиска повторяющихся цепочек. Один из достаточно простых вариантов этого алгоритма, например, предполагает, что во входном потоке идет либо пара <счетчик, смещение относительно текущей позиции>, либо просто <счетчик> “пропускаемых” байт и сами значения байтов (как во втором варианте алгоритма RLE). При разархивации для пары <счетчик, смещение> копируются <счетчик> байт из выходного массива, полученного в результате разархивации, на <смещение> байт раньше, а <счетчик> (т.е. число равное счетчику) значений “пропускаемых” байт просто копируются в выходной массив из входного потока. Данный алгоритм является несимметричным по времени, поскольку требует полного перебора буфера при поиске одинаковых подстрок. В результате нам сложно задать большой буфер из-за резкого возрастания времени компрессии. Однако потенциально построение алгоритма, в котором на <счетчик> и на <смещение> будет выделено по 2 байта (старший бит старшего байта счетчика - признак повтора строки / копирования потока), даст нам возможность сжимать все повторяющиеся подстроки размером до 32Кб в буфере размером 64Кб.

При этом мы получим увеличение размера файла в худшем случае на 32770/32768 (в двух байтах записано, что нужно переписать в выходной поток следующие 2 15 байт), что совсем неплохо. Максимальный коэффициент сжатия составит в пределе 8192 раза. В пределе, поскольку максимальное сжатие мы получаем, превращая 32Кб буфера в 4 байта, а буфер такого размера мы накопим не сразу. Однако, минимальная подстрока, для которой нам выгодно проводить сжатие, должна состоять в общем случае минимум из 5 байт, что и определяет малую ценность данного алгоритма. К достоинствам LZ можно отнести чрезвычайную простоту алгоритма декомпрессии.

Упражнение: Предложите другой вариант алгоритма LZ, в котором на пару <счетчик, смещение> будет выделено 3 байта, и подсчитайте основные характеристики своего алгоритма.

Алгоритм LZW

Рассматриваемый нами ниже вариант алгоритма будет использовать дерево для представления и хранения цепочек. Очевидно, что это достаточно сильное ограничение на вид цепочек, и далеко не все одинаковые подцепочки в нашем изображении будут использованы при сжатии. Однако в предлагаемом алгоритме выгодно сжимать даже цепочки, состоящие из 2 байт.

Процесс сжатия выглядит достаточно просто. Мы считываем последовательно символы входного потока и проверяем, есть ли в созданной нами таблице строк такая строка. Если строка есть, то мы считываем следующий символ, а если строки нет, то мы заносим в поток код для предыдущей найденной строки, заносим строку в таблицу и начинаем поиск снова.

Функция InitTable() очищает таблицу и помещает в нее все строки единичной длины.

InitTable();
CompressedFile.WriteCode(СlearCode);
CurStr=пустая строка;
while(не ImageFile.EOF()){ //Пока не конец файла
C=ImageFile.ReadNextByte();
if(CurStr+C есть в таблице)
CurStr=CurStr+С;//Приклеить символ к строке
else {
code=CodeForString(CurStr);//code-не байт!
AddStringToTable (CurStr+С);
CurStr=С; // Строка из одного символа
}
}
code=CodeForString(CurStr);
CompressedFile.WriteCode(code);
CompressedFile.WriteCode(CodeEndOfInformation);

Как говорилось выше, функция InitTable() инициализирует таблицу строк так, чтобы она содержала все возможные строки, состоящие из одного символа. Например, если мы сжимаем байтовые данные, то таких строк в таблице будет 256 (“0”, “1”, ... , “255”). Для кода очистки (ClearCode) и кода конца информации (CodeEndOfInformation) зарезервированы значения 256 и 257. В рассматриваемом варианте алгоритма используется 12-битный код, и, соответственно, под коды для строк нам остаются значения от 258 до 4095. Добавляемые строки записываются в таблицу последовательно, при этом индекс строки в таблице становится ее кодом.

Функция ReadNextByte() читает символ из файла. Функция WriteCode() записывает код (не равный по размеру байту) в выходной файл. Функция AddStringToTable() добавляет новую строку в таблицу, приписывая ей код. Кроме того, в данной функции происходит обработка ситуации переполнения таблицы. В этом случае в поток записывается код предыдущей найденной строки и код очистки, после чего таблица очищается функцией InitTable() . Функция CodeForString() находит строку в таблице и выдает код этой строки.

Пример:

Пусть мы сжимаем последовательность 45, 55, 55, 151, 55, 55, 55. Тогда, согласно изложенному выше алгоритму, мы поместим в выходной поток сначала код очистки <256>, потом добавим к изначально пустой строке “45” и проверим, есть ли строка “45” в таблице. Поскольку мы при инициализации занесли в таблицу все строки из одного символа, то строка “45” есть в таблице. Далее мы читаем следующий символ 55 из входного потока и проверяем, есть ли строка “45, 55” в таблице. Такой строки в таблице пока нет. Мы заносим в таблицу строку “45, 55” (с первым свободным кодом 258) и записываем в поток код <45>. Можно коротко представить архивацию так:

• “45” - есть в таблице;
• “45, 55” - нет. Добавляем в таблицу <258>“45, 55”. В поток: <45>;
• “55, 55” - нет. В таблицу: <259>“55, 55”. В поток: <55>;
• “55, 151” - нет. В таблицу: <260>“55, 151”. В поток: <55>;
• “151, 55” - нет. В таблицу: <261>“151, 55”. В поток: <151>;
• “55, 55” - есть в таблице;
• “55, 55, 55” - нет. В таблицу: “55, 55, 55” <262>. В поток: <259>;

Последовательность кодов для данного примера, попадающих в выходной поток: <256>, <45>, <55>, <55>, <151>, <259>.

Особенность LZW заключается в том, что для декомпрессии нам не надо сохранять таблицу строк в файл для распаковки. Алгоритм построен таким образом, что мы в состоянии восстановить таблицу строк, пользуясь только потоком кодов.

Мы знаем, что для каждого кода надо добавлять в таблицу строку, состоящую из уже присутствующей там строки и символа, с которого начинается следующая строка в потоке.

Алгоритм декомпрессии, осуществляющий эту операцию, выглядит следующим образом:

code=File.ReadCode();
while(code != СodeEndOfInformation){
if(code = СlearСode) {
InitTable();
code=File.ReadCode();
if(code = СodeEndOfInformation)
{закончить работу};
ImageFile.WriteString(StrFromTable(code));
old_code=code;
}
else {
if(InTable(code)) {
ImageFile.WriteString(FromTable(code));
AddStringToTable(StrFromTable(old_code)+
FirstChar(StrFromTable(code)));
old_code=code;
}
else {
OutString= StrFromTable(old_code)+
FirstChar(StrFromTable(old_code));
ImageFile.WriteString(OutString);
AddStringToTable(OutString);
old_code=code;
}
}
}

Здесь функция ReadCode() читает очередной код из декомпрессируемого файла. Функция InitTable() выполняет те же действия, что и при компрессии, т.е. очищает таблицу и заносит в нее все строки из одного символа. Функция FirstChar() выдает нам первый символ строки. Функция StrFromTable() выдает строку из таблицы по коду. Функция AddStringToTable() добавляет новую строку в таблицу (присваивая ей первый свободный код). Функция WriteString() записывает строку в файл.

Замечание 1 . Как вы могли заметить, записываемые в поток коды постепенно возрастают. До тех пор, пока в таблице не появится, например, в первый раз код 512, все коды будут меньше 512. Кроме того, при компрессии и при декомпрессии коды в таблице добавляются при обработке одного и того же символа, т.е. это происходит “синхронно”. Мы можем воспользоваться этим свойством алгоритма для того, чтобы повысить степень компрессии. Пока в таблицу не добавлен 512 символ, мы будем писать в выходной битовый поток коды из 9 бит, а сразу при добавлении 512 - коды из 10 бит. Соответственно декомпрессор также должен будет воспринимать все коды входного потока 9-битными до момента добавления в таблицу кода 512, после чего будет воспринимать все входные коды как 10-битные. Аналогично мы будем поступать при добавлении в таблицу кодов 1024 и 2048. Данный прием позволяет примерно на 15% поднять степень компрессии:

Замечание 2. При сжатии изображения нам важно обеспечить быстроту поиска строк в таблице. Мы можем воспользоваться тем, что каждая следующая подстрока на один символ длиннее предыдущей, кроме того, предыдущая строка уже была нами найдена в таблице. Следовательно, достаточно создать список ссылок на строки, начинающиеся с данной подстроки, как весь процесс поиска в таблице сведется к поиску в строках, содержащихся в списке для предыдущей строки. Понятно, что такая операция может быть проведена очень быстро.

Заметим также, что реально нам достаточно хранить в таблице только пару <код предыдущей подстроки, добавленный символ>. Этой информации вполне достаточно для работы алгоритма. Таким образом, массив от 0 до 4095 с элементами <код предыдущей подстроки; добавленный символ; список ссылок на строки, начинающиеся с этой строки> решает поставленную задачу поиска, хотя и очень медленно.

На практике для хранения таблицы используется такое же быстрое, как в случае списков, но более компактное по памяти решение - хэш-таблица. Таблица состоит из 8192 (2 13) элементов. Каждый элемент содержит <код предыдущей подстроки; добавленный символ; код этой строки>. Ключ для поиска длиной в 20 бит формируется с использованием двух первых элементов, хранимых в таблице как одно число (key). Младшие 12 бит этого числа отданы под код, а следующие 8 бит под значение символа.

В качестве хэш-функции при этом используется:

Index(key)= ((key >> 12) ^ key) & 8191;

Где >> - побитовый сдвиг вправо (key >> 12 - мы получаем значение символа), ^ - логическая операция побитового исключающего ИЛИ, & логическое побитовое И.

Таким образом, за считанное количество сравнений мы получаем искомый код или сообщение, что такого кода в таблице нет.

Подсчитаем лучший и худший коэффициенты компрессии для данного алгоритма. Лучший коэффициент, очевидно, будет получен для цепочки одинаковых байт большой длины (т.е. для 8-битного изображения, все точки которого имеют, для определенности, цвет 0). При этом в 258 строку таблицы мы запишем строку “0, 0”, в 259 - “0, 0, 0”, ... в 4095 - строку из 3839 (=4095-256) нулей. При этом в поток попадет (проверьте по алгоритму!) 3840 кодов, включая код очистки. Следовательно, посчитав сумму арифметической прогрессии от 2 до 3839 (т.е. длину сжатой цепочки) и поделив ее на 3840*12/8 (в поток записываются 12-битные коды), мы получим лучший коэффициент компрессии.

Упражнение: Вычислить точное значение лучшего коэффициента компрессии. Более сложное задание: вычислить тот же коэффициент с учетом замечания 1.

Худший коэффициент будет получен, если мы ни разу не встретим подстроку, которая уже есть в таблице (в ней не должно встретиться ни одной одинаковой пары символов).

Упражнение: Составить алгоритм генерации таких цепочек. Попробовать сжать полученный таким образом файл стандартными архиваторами (zip, arj, gz). Если вы получите сжатие, значит алгоритм генерации написан неправильно.

В случае, если мы постоянно будем встречать новую подстроку, мы запишем в выходной поток 3840 кодов, которым будет соответствовать строка из 3838 символов. Без учета замечания 1 это составит увеличение файла почти в 1.5 раза.

LZW реализован в форматах GIF и TIFF.

Характеристики алгоритма LZW:

Коэффициенты компрессии: Примерно1000, 4, 5/7 (Лучший, средний, худший коэффициенты). Сжатие в 1000 раз достигается только на одноцветных изображениях размером кратным примерно 7 Мб.

Класс изображений: Ориентирован LZW на 8-битные изображения, построенные на компьютере. Сжимает за счет одинаковых подцепочек в потоке.

Симметричность: Почти симметричен, при условии оптимальной реализации операции поиска строки в таблице.

Характерные особенности: Ситуация, когда алгоритм увеличивает изображение, встречается крайне редко. LZW универсален - именно его варианты используются в обычных архиваторах.

Алгоритм Хаффмана

Классический алгоритм Хаффмана

Один из классических алгоритмов, известных с 60-х годов. Использует только частоту появления одинаковых байт в изображении. Сопоставляет символам входного потока, которые встречаются большее число раз, цепочку бит меньшей длины. И, напротив, встречающимся редко - цепочку большей длины. Для сбора статистики требует двух проходов по изображению.

Для начала введем несколько определений.

Определение . Пусть задан алфавит Y ={a 1 , ..., a r }, состоящий из конечного числа букв. Конечную последовательность символов из Y

будем называть словом в алфавите Y , а число n - длиной слова A . Длина слова обозначается как l(A).

Пусть задан алфавит W , W ={b 1 , ..., b q }. Через B обозначим слово в алфавите W и через S (W ) - множество всех непустых слов в алфавите W .

Пусть S =S(Y ) - множество всех непустых слов в алфавите Y , и S" - некоторое подмножество множества S . Пусть также задано отображение F , которое каждому слову A, A? S(Y ) , ставит в соответствие слово

B=F(A), B? S(W ) .

Слово В будем назвать кодом сообщения A, а переход от слова A к его коду - кодированием .

Определение . Рассмотрим соответствие между буквами алфавита Y и некоторыми словами алфавита W :

a 1 - B 1 ,
a 2 - B 2 ,
. . .
a r - B r

Это соответствие называют схемой и обозначают через S . Оно определяет кодирование следующим образом: каждому слову из S" (W ) =S (W ) ставится в соответствие слово , называемое кодом слова A. Слова B 1 ... B r называются элементарными кодами . Данный вид кодирования называют алфавитным кодированием.

Определение . Пусть слово В имеет вид

B=B" B"

Тогда слово B" называется началом или префиксом слова B, а B" - концом слова B. При этом пустое слово L и само слово B считаются началами и концами слова B .

Определение . Схема S обладает свойством префикса, если для любых i и j (1? i , j? r, i? j ) слово B i не является префиксом слова B j .

Теорема 1. Если схема S обладает свойством префикса, то алфавитное кодирование будет взаимно однозначным.

Предположим, что задан алфавит Y ={a 1 ,..., a r } (r >1 ) и набор вероятностей p 1 , . . . , p r появления символов a 1 ,..., a r . Пусть, далее, задан алфавит W , W ={b 1 , ..., b q } (q >1 ). Тогда можно построить целый ряд схем S алфавитного кодирования

a 1 - B 1 ,
. . .
a r - B r

обладающих свойством взаимной однозначности.

Для каждой схемы можно ввести среднюю длину l ср , определяемую как математическое ожидание длины элементарного кода:

- длины слов.

Длина l ср показывает, во сколько раз увеличивается средняя длина слова при кодировании со схемой S .

Можно показать, что l ср достигает величины своего минимума l * на некоторой S и определена как

Определение . Коды, определяемые схемой S с l ср = l * , называются кодами с минимальной избыточностью , или кодами Хаффмана.

Коды с минимальной избыточностью дают в среднем минимальное увеличение длин слов при соответствующем кодировании.

В нашем случае, алфавит Y ={a 1 ,..., a r } задает символы входного потока, а алфавит W ={0,1}, т.е. состоит всего из нуля и единицы.

Алгоритм построения схемы S можно представить следующим образом:

Шаг 1. Упорядочиваем все буквы входного алфавита в порядке убывания вероятности. Считаем все соответствующие слова B i из алфавита W ={0,1} пустыми.

Шаг 2. Объединяем два символа a i r-1 и a i r с наименьшими вероятностями p i r-1 и p i r в псевдосимвол a" {a i r-1 a i r } c вероятностью p i r-1 +p i r . Дописываем 0 в начало слова B i r-1 (B i r-1 =0B i r-1 ), и 1 в начало слова B i r (B i r =1B i r ).

Шаг 3. Удаляем из списка упорядоченных символов a i r-1 и a i r , заносим туда псевдосимвол a" {a i r-1 a i r }. Проводим шаг 2, добавляя при необходимости 1 или ноль для всех слов B i , соответствующих псевдосимволам, до тех пор, пока в списке не останется 1 псевдосимвол.

Пример: Пусть у нас есть 4 буквы в алфавите Y ={a 1 ,..., a 4 } (r =4 ), p 1 =0.5, p 2 =0.24, p 3 =0.15, p 4 =0.11 . Тогда процесс построения схемы можно представить так:

Производя действия, соответствующие 2-му шагу, мы получаем псевдосимвол с вероятностью 0.26 (и приписываем 0 и 1 соответствующим словам). Повторяя же эти действия для измененного списка, мы получаем псевдосимвол с вероятностью 0.5. И, наконец, на последнем этапе мы получаем суммарную вероятность 1.

Для того, чтобы восстановить кодирующие слова, нам надо пройти по стрелкам от начальных символов к концу получившегося бинарного дерева. Так, для символа с вероятностью p 4 , получим B 4 =101, для p 3 получим B 3 =100, для p 2 получим B 2 =11, для p 1 получим B 1 =0. Что означает схему: a 1 - 0,
a 2 - 11
a 3 - 100
a 4 - 101 Эта схема представляет собой префиксный код, являющийся кодом Хаффмана. Самый часто встречающийся в потоке символ a 1 мы будем кодировать самым коротким словом 0, а самый редко встречающийся a 4 длинным словом 101.

Для последовательности из 100 символов, в которой символ a 1 встретится 50 раз, символ a 2 - 24 раза, символ a 3 - 15 раз, а символ a 4 - 11 раз, данный код позволит получить последовательность из 176 бит (). Т.е. в среднем мы потратим 1.76 бита на символ потока.

Доказательства теоремы, а также того, что построенная схема действительно задает код Хаффмана, смотри в .

Как стало понятно из изложенного выше, классический алгоритм Хаффмана требует записи в файл таблицы соответствия кодируемых символов и кодирующих цепочек.

На практике используются его разновидности. Так, в некоторых случаях резонно либо использовать постоянную таблицу, либо строить ее “адаптивно”, т.е. в процессе архивации/разархивации. Эти приемы избавляют нас от двух проходов по изображению и необходимости хранения таблицы вместе с файлом. Кодирование с фиксированной таблицей применяется в качестве последнего этапа архивации в JPEG и в рассмотренном ниже алгоритме CCITT Group 3.

Характеристики классического алгоритма Хаффмана:

Коэффициенты компрессии: 8, 1,5, 1 (Лучший, средний, худший коэффициенты).

Класс изображений: Практически не применяется к изображениям в чистом виде. Обычно используется как один из этапов компрессии в более сложных схемах.

Симметричность: 2 (за счет того, что требует двух проходов по массиву сжимаемых данных).

Характерные особенности: Единственный алгоритм, который не увеличивает размера исходных данных в худшем случае (если не считать необходимости хранить таблицу перекодировки вместе с файлом).

Алгоритм Хаффмана с фиксированной таблицей CCITTGroup 3

Близкая модификация алгоритма используется при сжатии черно-белых изображений (один бит на пиксел). Полное название данного алгоритма CCITT Group 3. Это означает, что данный алгоритм был предложен третьей группой по стандартизации Международного Консультационного Комитета по Телеграфии и Телефонии (Consultative Committee International Telegraph and Telephone). Последовательности подряд идущих черных и белых точек в нем заменяются числом, равным их количеству. А этот ряд, уже в свою очередь, сжимается по Хаффману с фиксированной таблицей.

Определение : Набор идущих подряд точек изображения одного цвета называется серией .Длина этого набора точек называется длиной серии .

В таблице, приведенной ниже, заданы два вида кодов:

• Коды завершения серий - заданы с 0 до 63 с шагом 1.
• Составные (дополнительные) коды - заданы с 64 до 2560 с шагом 64.

Каждая строка изображения сжимается независимо. Мы считаем, что в нашем изображении существенно преобладает белый цвет, и все строки изображения начинаются с белой точки. Если строка начинается с черной точки, то мы считаем, что строка начинается белой серией с длиной 0. Например, последовательность длин серий 0, 3, 556, 10, ... означает, что в этой строке изображения идут сначала 3 черных точки, затем 556 белых, затем 10 черных и т.д.

На практике в тех случаях, когда в изображении преобладает черный цвет, мы инвертируем изображение перед компрессией и записываем информацию об этом в заголовок файла.

Алгоритм компрессии выглядит так:

for(по всем строкам изображения) {
Преобразуем строку в набор длин серий;
for(по всем сериям) {
if(серия белая) {
L= длина серии;
while(L > 2623) { // 2623=2560+63
L=L-2560;
ЗаписатьБелыйКодДля(2560);
}
if(L > 63) {
L2=МаксимальныйСостКодМеньшеL(L);
L=L-L2;
ЗаписатьБелыйКодДля(L2);
}
ЗаписатьБелыйКодДля(L);
//Это всегда код завершения
}
else {
[Код аналогичный белой серии,
с той разницей, что записываются
черные коды]
}
}
// Окончание строки изображения
}

Поскольку черные и белые серии чередуются, то реально код для белой и код для черной серии будут работать попеременно.

В терминах регулярных выражений мы получим для каждой строки нашего изображения (достаточно длинной, начинающейся с белой точки) выходной битовый поток вида:

((<Б-2560>)*[<Б-сст.>]<Б-зв.>(<Ч-2560>)*[<Ч-сст.>]<Ч-зв.>) +

[(<Б-2560>)*[<Б-сст.>]<Б-зв.>]

Где ()* - повтор 0 или более раз, () + .- повтор 1 или более раз, - включение 1 или 0 раз.

Для приведенного ранее примера: 0, 3, 556, 10... алгоритм сформирует следующий код: <Б-0><Ч-3><Б-512><Б-44><Ч-10>, или, согласно таблице, 0011010110 0110010100101101 0000100 (разные коды в потоке выделены для удобства). Этот код обладает свойством префиксных кодов и легко может быть свернут обратно в последовательность длин серий. Легко подсчитать, что для приведенной строки в 569 бит мы получили код длиной в 33 бита, т.е. коэффициент сжатия составляет примерно 17 раз.

Вопрос: Во сколько раз увеличится размер файла в худшем случае? Почему? (Приведенный в характеристиках алгоритма ответ не является полным, поскольку возможны большие значения худшего коэффициента сжатия. Найдите их.)

Заметим, что единственное “сложное” выражение в нашем алгоритме: L2=МаксимальныйДопКодМеньшеL(L) - на практике работает очень просто: L2=(L>>6)*64, где >> - побитовый сдвиг L влево на 6 битов (можно сделать то же самое за одну побитовую операцию & - логическое И).

Упражнение: Дана строка изображения, записанная в виде длин серий - 442, 2, 56, 3, 23, 3, 104, 1, 94, 1, 231, размером 120 байт ((442+2+..+231)/8). Подсчитать коэффициент компрессии этой строки алгоритмом CCITT Group 3.

Приведенные ниже таблицы построены с помощью классического алгоритма Хаффмана (отдельно для длин черных и белых серий). Значения вероятностей появления для конкретных длин серий были получены путем анализа большого количества факсимильных изображений.

Таблица кодов завершения:

Длина серии	Код белой подстроки	Код черной подстроки		Длина серии	Код белой подстроки	Код черной подстроки
0	00110101	0000110111		32	00011011	000001101010
1	00111	010		33	00010010	000001101011
2	0111	11		34	00010011	000011010010
3	1000	10		35	00010100	000011010011
4	1011	011		36	00010101	000011010100
5	1100	0011		37	00010110	000011010101
6	1110	0010		38	00010111	000011010110
7	1111	00011		39	00101000	000011010111
8	10011	000101		40	00101001	000001101100
9	10100	000100		41	00101010	000001101101
10	00111	0000100		42	00101011	000011011010
11	01000	0000101		43	00101100	000011011011
12	001000	0000111		44	00101101	000001010100
13	000011	00000100		45	00000100	000001010101
14	110100	00000111		46	00000101	000001010110
15	110101	000011000		47	00001010	000001010111
16	101010	0000010111		48	00001011	000001100100
17	101011	0000011000		49	01010010	000001100101
18	0100111	0000001000		50	01010011	000001010010
19	0001100	00001100111		51	01010100	000001010011
20	0001000	00001101000		52	01010101	000000100100
21	0010111	00001101100		53	00100100	000000110111
22	0000011	00000110111		54	00100101	000000111000
23	0000100	00000101000		55	01011000	000000100111
24	0101000	00000010111		56	01011001	000000101000
25	0101011	00000011000		57	01011010	000001011000
26	0010011	000011001010		58	01011011	000001011001
27	0100100	000011001011		59	01001010	000000101011
28	0011000	000011001100		60	01001011	000000101100
29	00000010	000011001101		61	00110010	000001011010
30	00000011	000001101000		62	00110011	000001100110
31	00011010	000001101001		63	00110100	000001100111

Таблица составных кодов:

Длина серии	Код белой подстроки	Код черной подстроки		Длина серии	Код белой подстроки	Код черной подстроки
64	11011	0000001111		1344	011011010	0000001010011
128	10010	000011001000		1408	011011011	0000001010100
192	01011	000011001001		1472	010011000	0000001010101
256	0110111	000001011011		1536	010011001	0000001011010
320	00110110	000000110011		1600	010011010	0000001011011
384	00110111	000000110100		1664	011000	0000001100100
448	01100100	000000110101		1728	010011011	0000001100101
512	01100101	0000001101100		1792	00000001000	совп. с белой
576	01101000	0000001101101		1856	00000001100	- // -
640	01100111	0000001001010		1920	00000001101	- // -
704	011001100	0000001001011		1984	000000010010	- // -
768	011001101	0000001001100		2048	000000010011	- // -
832	011010010	0000001001101		2112	000000010100	- // -
896	011010011	0000001110010		2176	000000010101	- // -
960	011010100	0000001110011		2240	000000010110	- // -
1024	011010101	0000001110100		2304	000000010111	- // -
1088	011010110	0000001110101		2368	000000011100	- // -
1152	011010111	0000001110110		2432	000000011101	- // -
1216	011011000	0000001110111		2496	000000011110	- // -
1280	011011001	0000001010010		2560	000000011111	- // -

Если в одном столбце встретятся два числа с одинаковым префиксом, то это опечатка.

Этот алгоритм реализован в формате TIFF.

Характеристики алгоритма CCITT Group 3

Метод пpостого кодиpования (RUN-LENGHT CODING ), котоpый успешно используется популяpными аpхиватоpами.

Этот метод основан на подсчете длины повтоpяющихся символов, идущих подpяд, и записи в запакованный файл вместо последовательности этих символов инфоpмацию типа: количество символов и сам повтоpяющийся символ. Hапpимеp, имеется стpока типа "AAAAABBBCCCADDDEEL ". Она запакуется в последовательность типа "5A3B3CADDEEL ". Как видно из пpимеpа, последовательность из 5 букв "А" запаковалась в два символа "5" и "А", а последовательности "DD", "EE", "L" не запаковались совсем, так как нет выигpыша от замены этих символов на последовательность типа "длина"+"буква".

Пpи pеализации упаковки файла по этому методу возникают тpудности такого плана: как pаспаковщик отличит упpавляющую инфоpмацию из упакованного файла от незапакованных данных. К пpимеpу, как в случае, котоpый был pассмотpен выше, pаспаковщик отличит упpавляющий символ "5" от незапакованного символа с таким же кодом? Существует два ваpианта pешения данной пpоблемы:

(I) . Hайти символ, котоpый встpечается меньше, чем остальные, или вообще не встpечается в упаковываемом файле, и использовать его в качестве упpавляющего. Hазовем его пpефиксом для удобства в последующем объяснении. Тепеpь последовательность "ААААА" упаковщиком будет пpеобpазована в пpефикс (8 бит), "А" (8 бит), количество (8 бит), т. е. 5 байтов будут заменены тpемя. Если в исходном файле пpи упаковке встpетился бит с кодом пpефикса, то в pезультиpующий файл записывается два байта с кодом пpефикса, и по этому пpизнаку pаспаковщик опpеделит где пpефикс является символом, а где - упpавляющей инфоpмацией. Возможны модификации данного способа, напpимеp:

1. Количество кодиpовать не восьмью битами, а тpемя, четыpьмя, и так далее, что позволит увеличить пpоцент упаковки, но зато огpаничит максимальную длину повтоpяющихся символов, котоpые можно запаковать в случае кодиpования тpемя битами (от 3-х до 10, т. е. 000=3, ... ,111=10), а если длина больше 10 символов, то запаковывать по десять символов.

2.Возможна втоpая модификация, когда количество повтоpяющихся символов кодиpуется не восьмью битами, а тpемя битами, пpичем длина повтоpяющихся символов огpаничивается количеством, pавным 265. Возникает вопpос, как закодиpовать 256 pазличных длин в 3 бита. Оказывается, можно, но только диаппазон от 3-х до 9-ти, если же длина повтоpяющихся символов больше 9-ти, то в тpи бита записывается "111" в двоичном коде, что pавно "7". Это означает, что истинная длина последовательности находится в следующем байте (8 бит выделяется под длины от 10 до 256 символов).

Пpиведем пpимеpы:

Имеем последовательности:

а) "AAAAABBBBBBBBBBCCAAAAAAAAAAAAAAA"

б) "CBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEA"

Запакуем их:

1.По методу RLE(run-length encoding - паковать повтоpяющиеся байты).

а) Возьмем пpефикс, pавный "D", получим:
"D", "D", "A", 5, "D", "B", 10, "C", "D", "A", 15.

Пpоцент сжатия = 12 байт/32 байта = 37.5%

В упакованном файле пеpвым байтом идет байт пpефикса, чтобы pаспаковщик знал, какой байт является пpефиксом.

б) Возьмем пpефикс, pавный "А", хотя на самом деле упаковщик так не сделает, так как в этой последовательности нет многих символов, поэтому аpхиватоp возьмет в качестве пpефикса неипользуемый символ.

Запакованная последовательность:
"A", "C", "A", "B", 10, "A", "E", 10, "A", "A"

Пpоцент сжатия =10 байт/22 байта = 45.5%

2.Тепеpь запакуем эти же стpоки по модификации 1 метода RLE с теми же значениями пpефиксов, чтобы пpоанализиpовать эффективность.

"D" , "D" , "A" , 2 , "D" , "B" , 7 ,
8 бит 8 бит 8 бит 3 бита 8 бит 8 бит 3 бита

"D" , "A" , 7 , "D" , "A" , 2
8 бит 8 бит 3 бита 8 бит 8 бит 3 бита

Пpоцент сжатия=84 бита/(22*8) бит = 32.8%

"A" , "C" , "A" , "B" , 7 , "A" , "E" , 7 , "A" , "A"
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 4 бита 8 бит 8 бит 3 бита 8 бит 8 бит

Пpоцент сжатия=70 бит/(22*8) бит = 39.8%

3. Тепеpь пpовеpим эффективность последней модификации:

а) Запакованная последовательность:

"D" , "D" , "A" , 2 , "D" , "B" , 7 , 0
8 бит 8 бит 8бит 3 бита 8 бит 8 бит 3 бита 8 бит

"D" , "A" , 7 , 5
8 бит 8 бит 3 бита 8 бит

Пpоцент сжатия = 81 бит/(32*8) бит = 31.6%

б) Запакованная последовательность:

"A" , "C" , "A" , "B" , 7 , 0 , "A" , "E"
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 3 бит 8 бит 8 бит 8 бит

7 , 0 , "A" , "A"
3 бита 8 бит 8 бит 8 бит

Пpоцент сжатия = 86 бит/(22*8) бит = 48.9%

Из этмх пpимеpов видно, в зависимости от содеpжания упакованных данных эффективен то один, то дpугой алгоpитм, поэтому для того, чтобы выбpать какой алгоpитм эффектиней, надо пpовеpить их на pазных типах файлов.

(II) . Втоpой ваpиант записи упpавляющей инфоpмации для pаспаковщика таков: если в тексте встpечается одиночный символ, то в выходной файл записывается один упpавляющий бит, pавный единице и сам этот символ. Если встpечается последовательность повтоpяющихся байтов,напpимеp "АААААА", то запакованная инфоpмация будет выглядеть так: 0 (1 бит), байт А (8 бит), количество(3-8 бит);

Пpиведем пpимеp для наглядности. Для этого возьмем последовательности из пpедыдущих пpимеpов.

1) Количество повтоpяющихся байтов кодиpуем в 8 бит.

а) 0 , "A" , 5 , 0 , "B" , 10 , 1 , "C" , 1 , "C" , 0 , "A" , 15
1б. 8б. 8б. 1б. 8б. 8б. 1б. 8б. 1б. 8б. 1б. 8б. 8б.

Пpоцент сжатия = 71 бит/256 бит = 27.7%

б) 1 , "C" , 0 , "B" , 10 , 0 , "E" , 10 , 1 , "A"
1б. 8б. 1б. 8б. 8б. 1б. 8б. 8б. 1б. 8б.

Пpоцент сжатия = 52 бита/176 бит = 29.5%

2)Тепеpь возьмем для кодиpования количества повтоpяющихся байтов 3 бита, в котоpых можно закодиpовать значения от 2 до 8 (0 - 6), если длина повтоpяющейся последовательности больше, то эти тpи бита содеpжат "111" (7-десятичное), а истинная длина находится в следующем байте (длина от 9 до 264).

а) 0 , "A" , 3 , 0 , "B" , 7 , 1 , 0 , "C" , 0 , 0 , "A" , 7 , 6
1б. 8б. 3б. 1б. 8б. 3б. 8б. 1б. 8б. 3б. 1б. 8б. 3б. 8б.

Пpоцент сжатия = 64 бита/256 бит = 20.3%

б) 1 , "C" , 0 , "B" , 7 , 1 , 0 , "E" , 7 , 1 , 1, "A"
1б. 8б. 1б. 8б. 3б. 8б. 1б. 8б. 3б. 8б. 1б. 8б.

Пpоцент сжатия = 58 бит/176 бит = 33%

Если количество кодиpовать в 4 бита (2..16), то

1 , "C" , 0 , "B" , 8 , 0 , "E" , 8 , 1 , "A"
1б. 8б. 1б. 8б. 4б. 1б. 8б. 4б. 1б. 8б.

Пpоцент сжатия = 44 бита/176 бит = 25%

Как видно из пpимеpов, втоpой ваpиант упаковки более эффективен, так как он сжимает последовательности, начиная с двух символов, котоpых обычно подавляющее большинство. Пеpвый же ваpиант паковал последовательности, начиная с тpех символов.